向量法-求二面角大小
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空间向量法---求二面角的大小
空间向量法---求二面角的大小
“空间向量法”-求二面角的大小，这个方法 在这几年高考解题中经常被不少考生运用．
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题基本步 骤：
① 建立空间直角坐标系； ② 求出所需各点的坐标； ③ 求出两个平面的法向量； ④ 求出两个法向量的夹角； ⑤ 写出所求二面角的大小。
又 AF⊥平面ABCD ∴ AF是平面ACD的一个法向量 , ∴ n1=(0,0,1).
由 n2 ·CE,得= 0 n2 ·DE = 0
-x2+z2= 0
x2=z2
得
-y2+z2= 0
y2=z2
令z2= 1, 则 n2=(1,1,1),
∴
cos<n1·n2>=|n1n|1··|nn22|
=
1 1× 3
(4) 设 a =(a1, a2, a3)，b =(b1, b2, b3)，则 a ·b a1b1+a2b2+a3b3
=
(5)
cos<n1·n2 >=
n1·n2 |n1|·|n2|
【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA⊥平面ABCD , AD∥BC∥FE ,
AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD.
(1)求二面角A-CD-E的余弦值.
F
E
A
D
B C
【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA⊥平面ABCD , AD∥BC∥FE ,
AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD.
(1)求二面角A-CD-E的余弦值.
F
E
A
D
B C
【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA⊥平面ABCD , AD∥BC∥FE ,
z
S
y
1
B
1
C
1
A
1 2
D
x
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
(1ຫໍສະໝຸດ Baidu 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .
(1) 解: 以点A为原点,建立如图的空间直角坐标系 A-xyz,
得:
A(0,0,0),
=
3 3
由条件知,二面角A-CD-E为锐角，∴
所求二面角的余弦值为
3 3
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .
S
B
C
A D
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
B(0,1,0),C(1,1,0),
S(0,0,1),
D(
1 2
,0,0)
z
设 平面SCD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), S
平面SBA的一个法向量为n2 =(x2,y2,z2),
y
另外
SC =(1,1,
-1)
,
SD
=
(
1 2
,0,-1),
BC =(1,0, 0) ,
1
由 n1 ·SC,得= 0 n1 ·SD = 0
① 建系； ② 求坐标； ③ 求法向量； ④ 求夹角； ⑤ 得结论。
空间向量法的直角坐标运算的常用公式:
(1) 设 a =(x,y,z)，则 |a|= x2+y2+z2
(2) 设 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则 AB= (x2-x1,y2-y1,z2-z1 )
(3) a b ⇔ a ·b =0
11
设AD=2, 则
A 1K 1 D
1
2
y
A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1).
B
设 平面ACD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), x
1C
平面CDE的一个法向量为n2 =(x2,y2,z2),
另外 AF =(0,0,1), CE =(-1,0,1) DE = (0,-1,1)
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
① 建立空间直角坐标系； ② 求出所需各点的坐标； ③ 求出两个平面的法向量； ④ 求出两个法向量的夹角； ⑤ 写出所求二面角的大小。
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
P
M
A
D
B
NC
【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
P
(1) 证明: ∵ PA⊥底面ABCD, N为BC的中点. ∴ PA⊥AN 又 菱形ABCD, ∠ABC=60O . ∴ AN⊥AD 又 PA∩AD=A , ∴ AN⊥平面PAD
AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD.
(1)求二面角A-CD-E的余弦值.
F1 E
1
A
D
1
2
B 1C
【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA⊥平面ABCD , AD∥BC∥FE ,
AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD.
(1)求二面角A-CD-E的余弦值.
z
F1 E
解：以点A为原点, 建立如图的空间直角坐标系,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .
S
1
B
1
C
1
A
1 2
D
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .
x1+y1- z1=0
y1=-z1
21x1-z1 = 0 得 x1=2z1
B
1
C
1
令z1= 1, 则 n1=(2,-1,1),
A
1 2
D
x
又 BC⊥平面SBA ∴ BC是平面SBA的一个法向量 . ∴ n2=(1,0,0),
∴ cos<n1·n2>=|n1n|1··|nn22| =
2 6×1
=
6
3
设 所求面SCD与面SBA所成二面角的大小为q, 由图形知q是锐角,
∴ cosq =
6
3
得 tanq =
2
2
∴
所求面SCD与面SBA所成二面角的正切值是22
【练习2】 已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、 CC1上的点, 且 BE1=2EB, CF=2FC1 .
(1) 求面AEF与面ABC所成二面角的正切值 .
【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.
空间向量法---求二面角的大小
“空间向量法”-求二面角的大小，这个方法 在这几年高考解题中经常被不少考生运用．
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题基本步 骤：
① 建立空间直角坐标系； ② 求出所需各点的坐标； ③ 求出两个平面的法向量； ④ 求出两个法向量的夹角； ⑤ 写出所求二面角的大小。
又 AF⊥平面ABCD ∴ AF是平面ACD的一个法向量 , ∴ n1=(0,0,1).
由 n2 ·CE,得= 0 n2 ·DE = 0
-x2+z2= 0
x2=z2
得
-y2+z2= 0
y2=z2
令z2= 1, 则 n2=(1,1,1),
∴
cos<n1·n2>=|n1n|1··|nn22|
=
1 1× 3
(4) 设 a =(a1, a2, a3)，b =(b1, b2, b3)，则 a ·b a1b1+a2b2+a3b3
=
(5)
cos<n1·n2 >=
n1·n2 |n1|·|n2|
【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA⊥平面ABCD , AD∥BC∥FE ,
AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD.
(1)求二面角A-CD-E的余弦值.
F
E
A
D
B C
【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA⊥平面ABCD , AD∥BC∥FE ,
AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD.
(1)求二面角A-CD-E的余弦值.
F
E
A
D
B C
【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA⊥平面ABCD , AD∥BC∥FE ,
z
S
y
1
B
1
C
1
A
1 2
D
x
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
(1ຫໍສະໝຸດ Baidu 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .
(1) 解: 以点A为原点,建立如图的空间直角坐标系 A-xyz,
得:
A(0,0,0),
=
3 3
由条件知,二面角A-CD-E为锐角，∴
所求二面角的余弦值为
3 3
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .
S
B
C
A D
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
B(0,1,0),C(1,1,0),
S(0,0,1),
D(
1 2
,0,0)
z
设 平面SCD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), S
平面SBA的一个法向量为n2 =(x2,y2,z2),
y
另外
SC =(1,1,
-1)
,
SD
=
(
1 2
,0,-1),
BC =(1,0, 0) ,
1
由 n1 ·SC,得= 0 n1 ·SD = 0
① 建系； ② 求坐标； ③ 求法向量； ④ 求夹角； ⑤ 得结论。
空间向量法的直角坐标运算的常用公式:
(1) 设 a =(x,y,z)，则 |a|= x2+y2+z2
(2) 设 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则 AB= (x2-x1,y2-y1,z2-z1 )
(3) a b ⇔ a ·b =0
11
设AD=2, 则
A 1K 1 D
1
2
y
A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1).
B
设 平面ACD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), x
1C
平面CDE的一个法向量为n2 =(x2,y2,z2),
另外 AF =(0,0,1), CE =(-1,0,1) DE = (0,-1,1)
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
① 建立空间直角坐标系； ② 求出所需各点的坐标； ③ 求出两个平面的法向量； ④ 求出两个法向量的夹角； ⑤ 写出所求二面角的大小。
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
P
M
A
D
B
NC
【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
P
(1) 证明: ∵ PA⊥底面ABCD, N为BC的中点. ∴ PA⊥AN 又 菱形ABCD, ∠ABC=60O . ∴ AN⊥AD 又 PA∩AD=A , ∴ AN⊥平面PAD
AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD.
(1)求二面角A-CD-E的余弦值.
F1 E
1
A
D
1
2
B 1C
【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA⊥平面ABCD , AD∥BC∥FE ,
AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD.
(1)求二面角A-CD-E的余弦值.
z
F1 E
解：以点A为原点, 建立如图的空间直角坐标系,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .
S
1
B
1
C
1
A
1 2
D
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .
x1+y1- z1=0
y1=-z1
21x1-z1 = 0 得 x1=2z1
B
1
C
1
令z1= 1, 则 n1=(2,-1,1),
A
1 2
D
x
又 BC⊥平面SBA ∴ BC是平面SBA的一个法向量 . ∴ n2=(1,0,0),
∴ cos<n1·n2>=|n1n|1··|nn22| =
2 6×1
=
6
3
设 所求面SCD与面SBA所成二面角的大小为q, 由图形知q是锐角,
∴ cosq =
6
3
得 tanq =
2
2
∴
所求面SCD与面SBA所成二面角的正切值是22
【练习2】 已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、 CC1上的点, 且 BE1=2EB, CF=2FC1 .
(1) 求面AEF与面ABC所成二面角的正切值 .
【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.