向量法-求二面角大小
专题03 利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题【知识梳理】（1）异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅==a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,=n n θ或12,-n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅=n n n n θ．（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅=n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（5）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图），n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||nn⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅AB AB AH AB AB AB n AB AB θ||||⋅=AB n d n （6）点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．（7）在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为PA n d PA cos PA,n n⋅=〈〉=．【专题过关】【考点目录】考点1：异面直线所成角考点2：线面角考点3：二面角考点4：点到直线的距离考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离考点6：异面直线的距离【典型例题】考点1：异面直线所成角1．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A 33B ．36C ．63D ．66【答案】B【解析】以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ，()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-，设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选：B.2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B 2C ．12-D ．2【答案】A【解析】取BD 中点为O ，连接,AO CO ，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，又面ABD ⊥面CBD 且交线为BD ，AO ⊂面ABD ，所以AO ⊥面CBD ，OC ⊂面CBD ，则AO CO ⊥.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，()()()(0,0,1),1,0,0,0,1,0,1,0,0A B C D -，所以()()=1,0,1,=1,1,0AB CD ---，1cos ,222AB CD AB CD AB CD⋅==-⨯.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为12.故选:A3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，13CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．3210B ．3210-C ．24D 5【答案】A【解析】因为111ABC A B C -为直三棱柱，且90ACB ∠=︒，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()110,4,0,0,0,0,0,0,3,3,0,3B C C A ，所以()()110,4,3,3,0,3BC AC =-=--，115,992BC A C ==+设1BC 与1AC 所成角为θ，所以11932cos cos ,532BC A Cθ-===⨯.则1BC 与1AC 32故选：A.4．（2022·福建宁德·高二期中）若异面直线1l ，2l 的方向向量分别是()1,0,2a =-，()0,2,1b =，则异面直线1l 与2l 的夹角的余弦值等于（）A ．25-B ．25C ．255-D 255【答案】B【解析】由题，()22125a =+-=，22215b =+=，则22cos 555a b a bθ⋅-==⋅⋅，故选：B5．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（理））已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥平面ABCD ，线段,AB SC 的中点分别为E ，F ，若异面直线EC 与BF 5SD =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】如图示，以D 为原点，,,DA DC DS 分别为x 、y 、z 轴正方向联立空间直角坐标系.不妨设(),0SD t t =>.则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,S t ，11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，10,,22t F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以11,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,22t BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.因为异面直线EC 与BF 55211054cos ,1111444EC BF EC BF EC BFt -+==⨯+⨯++，解得：t =2.即SD =2.故选：C6．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高二期中）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，2AD =则异面直线CD 与BM 所成角的大小为___________.【答案】3π【解析】由题知，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD 所以DA 、DC 、DS 两两垂直故以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为2DC SD ==，2AD =，点M 是侧棱SC 的中点，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，)2,2,0B ，()0,0,2S ，()0,1,1M 所以()0,2,0DC =，()2,1,1BM =--设异面直线CD 与BM 所成角为θ则21cos 22211DC BM DC BMθ⋅-===⨯++⋅因为异面直线的夹角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦所以3πθ=故答案为：3π.7．（2021·广东·江门市广雅中学高二期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所10BD 的长为_______.【答案】【解析】如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()10,0,0,,2,0,1,0,22E F B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()1,2,0,1,22EF BD t ⎫==+⎪⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以cos ||||EF BD EF BD θ⋅==22314370t t +-=，解得1t =或3723t =-（舍去），所以BD ==故答案为：8．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）如图，在正四棱锥V ABCD -中， E 为BC 的中点，2AB AV ==.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为余弦值为216，则VF VA =________.【答案】23【解析】连接AC 、BD 交于点O ，则AC BD ⊥，因为四棱锥V ABCD -为正四棱锥，故VO ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OV 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则)A、E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、(V、()B ，设),0,VF VA λλ===-，其中01λ≤≤，(0,BV =，则)),1BF BV VF λ=+=-，22,22VE ⎛=- ⎝，由已知可得21cos ,6BF VE BF VE BF VE ⋅<>==⋅，整理可得2620λλ--=，因为01λ≤≤，解得23λ=，即23VF VA =.故答案为：23考点2：线面角9．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．【解析】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ．所以()1,0,1MN =--，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥，因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B （2）()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =-．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则1x =-，0y =，所以()1,0,1n =-设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ，则1111sin cos ,2A B n A B n A B nθ⋅===⋅．因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°．10．（2021·黑龙江·哈尔滨七十三中高二期中（理））如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F．(1)求证：1A C ⊥平面BED ；(2)求1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值．【解析】（1）连接AC ，因为1111ABCD AB C D -是正四棱柱，即底面为正方形，则BD AC ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1BD AA ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1A AC ，故BD ⊥平面1A AC ，而1AC ⊂平面1A AC ，则1BD AC ⊥，同理得1BE AC ⊥，又BD BE B ⋂=，,BD BE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ；（2）以DA 、DC 、1DD 分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系，则()2,2,0B ，()()12,0,4,0,2,0A C ，∴()10,2,4A B =-，()12,2,4AC =--，由题可知()12,2,4AC =--为平面BDE 的一个法向量，设1A B 与平面BDE 所成的角为α，则1130sin cos 62024,C A B A α==⋅，即1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值为306.11．（2021·河北唐山·高二期中）如图（1），△BCD 中，AD 是BC 边上的高，且∠ACD ＝45°，AB ＝2AD ，E 是BD 的中点，将△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，得到的图形如图（2）．(1)求证：AB⊥CD；(2)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；(2)由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，12），∴A E＝10,1,2⎛⎫,⎪⎝⎭BC＝(120),BE,-,＝10,1,2⎛⎫-,⎪⎝⎭设平面BCE的法向量为n＝（x，y，z），由20102BC n x yn BE y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y＝1，得x＝2，z＝2，则n＝（2，1，2），……设直线AE与平面BCE所成角为θ，则245 sin|cos,|15532AE nθ==⨯故直线AE与平面BCE4512．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=1，E是PB的中点.(1)证明：PB ⊥平面ADE ；(2)求直线AP 与平面AEC 所成角的正弦值.【解析】（1）因AD ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，则AD ⊥PB ，又PA =AB =2，E 是PB 的中点，则有AE ⊥PB ，而AE AD A =，,AE AD ⊂平面ADE ，所以PB ⊥平面ADE .（2）因AD ⊥平面ABP ，∠PAB =90°，则直线,,AB AD AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(1,0,1),(0,0,2),(2,1,0)A E P C ，(1,0,1),(2,1,0),(0,0,2)AE AC AP ===，令平面AEC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则020n AE x z n AC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =-，得(121)n ,,=-，令直线AP 与平面AEC 所成角的大小为θ，则||26sin |cos ,|||||62n AP n AP n AP θ⋅=〈〉==⨯所以直线AP 与平面AEC 613．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，2PA AB BC ===，1AD =，点M ，N 分别为棱PB ，DC 的中点．(1)求证：AM ∥平面PCD ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0A B C ,()()()1,0,0,0,0,2,0,1,1D P M ,则()()0,1,1,1,0,2AM PD ==-,()1,2,0CD =--,设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =r,则2020n PD x z n CD x y ⎧⋅=-=⎨⋅=--=⎩,令1z =,则2,1x y ==-,则平面PCD 的一个法向量为()2,1,1n =-,0110,n AM n AM∴⋅=-+=∴⊥//AM ∴平面PCD（2）由（1）得3,1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,0,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设直线MN 与平面PCD 所成角为θ.sin cos ,n MN MN n n MNθ⋅∴==⋅39=∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为27839.14．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，,//AB AD BC AD ⊥，点M 是棱PD 上一点，且满足2,4AB BC AD PA ====．(1)求二面角A CD P --的正弦值；(2)若直线AM 与平面PCD所成角的正弦值为3，求MD 的长．【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ，(2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =，又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，cos ,3m n m n m n⋅〈〉=，故二面角A CD P --3=．(2)设MD PD λ=（01λ≤≤），(0,4,4)MD λλ=-，点(0,4,44)M λλ-，∴(0,4,44)AM λλ=-，由（1）得平面PCD 法向量(1,1,1)n =，且直线AM 与平面PCD∴6cos ,3AM n AM n AM n⋅〈〉==，解得12λ=，即12=MD PD ，又PD 12==MD PD 15．（2022·北京市第十二中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 的中点．(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)若1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，F 为棱PB 上一点，DF 与平面BDE 所成角的大小为30°，求PFPB的值．【解析】(1)如图，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为M 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以//PA EM 又ME ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE(2)因为1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，所以AD BD ⊥，故以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,,,222D A B P C E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()111,,,0,1,0222DE DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，故取()1,0,1n =，设(01)PF PB λλ=<<，则()()0,,1,0,,1F DF λλλλ-=-因为直线DF 与平面BDE 所成角的大小为30，所以1sin302DF n DF n⋅==12=解得12λ=，故此时12PF PB =.16．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PD AD ==，AD PC ⊥，点E 在线段PC 上（不与端点重合），30PCD ∠=︒.(1)求证：AD ⊥平面PCD ；(2)是否存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30°？若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中，可得AD CD ⊥，又由AD PC ⊥，且CDPC C =，CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，根据线面垂直的判定定理，可得AD ⊥平面PCD .(2)在平面PCD 中，过点D 作DF CD ⊥交PC 于点F .由（1）知AD ⊥平面PCD ，所以AD DF ⊥，又由AD DC ⊥，以{},,DA DC DF 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()(0,0,0),2,0,0D A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(0,P -，设PEEC λ=，则PE EC λ=，所以212,,11AE AP PE λλλ⎛⎫-=+=- ++⎝⎭，()2,0,0AD =-，(2,3,PB =uu r设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，则2120120AE n x y AD n x λλ⎧-⋅=-++=⎪⎨+⎪⋅=-=⎩，取y =0,12x z λ==-，所以平面ADE的一个法向量()2n λ=-，因为直线PB 与平面ADE 所成角为30，所以1sin 30cos ,2PB n ︒==，解得5λ=±综上可得，存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30，且5PEEC=±考点3：二面角17．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AB 的中点，1B C 交1BC 于点E ，AC BC ⊥，1CA CB CC ==.(1)求证：DE ∥平面11AAC C ；(2)求平面1AB C 与平面11A B C 的夹角的余弦值.【解析】（1）证明：因为111ABC A B C -为三棱柱，所以平面11BCC B 是平行四边形，又1B C 交1BC 于点E ，所以E 是1B C 的中点．又D 为1AB 的中点，所以//DE AC ，又AC ⊂平面11AAC C ，DE ⊂/平面11AAC C ，所以//DE 平面11AAC C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，又AC BC ⊥，所以11C A 、11C B 、1C C 两两互相垂直，所以以1C 为坐标原点，分别以11C A 、11C B 、1C C 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，如图所示．设11CA CB CC ===，则1(0,0,0)C ，1(1,0,0)A ，1(0,1,0)B ，(1,0,1)A ，(0,0,1)C ，所以1(1,1,1)AB =--，(1,0,0)=-AC ，11(1,1,0)=-A B ，1(1,0,1)AC =-．设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y z x -+-=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，则(0,1,1)n =，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则(1,1,1)m =．所以cos ||||m n m n m n ⋅〈⋅〉===⋅所以平面1AB C 与平面11A B C18．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且1,2OA OB OC ===，E 是OC的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；(2)求二面角A BE C --的正弦值．【解析】（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,1,0E .()()()2,0,00,1,02,1,0EB =-=-，()0,2,1AC =-.2cos 5EB AC =-，.由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是25.（2）()()2,0,10,1,1AB AE =-=-，.设平面ABE 的法向量为()1,,n x y z =，则由11n AB n AE ⊥⊥，，得200x z y z -=⎧⎨-=⎩，取()11,2,2n =.由题意可得，平面BEC 为xOy 平面，则其一个法向量为()20,0,1n =u u r，1212122cos 3n n n n n n ⋅===⋅，，则12sin 3n n =，，即二面角A BE C --的正弦值为3．19．（2021·福建·厦门一中高二期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB =，2BC =，4ABC π∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动．(1)当AE DM ⊥时，求点M 的位置；(2)在（1）的条件下，求平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）2AB =2AD BC ==，4ABC π∠=，∴222cos 2AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠∴222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，AB AC ∴⊥，又AF AC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，所以以AB ，AC ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,1),(0,0,1)A B C D E F-，设(0,,1),02M y y 则2,1)AE =，(2,2,1)DM y =-AE DM ⊥，∴2(2)10AE DM y ⋅=-+=，解得22y =，∴12FM FE =．∴当AE DM ⊥时，点M 为EF 的中点．（2）由（1）可得(2,,1)2BM =，(BC =设平面MBC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111112020m BM y z m BC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取12y =，则m =，易知平面ECD 的一个法向量为(0,1,0)n =，∴cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=<>=⋅∴平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为105．20．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））如图，直角三角形ABC 中，60BAC ∠=，点F 在斜边AB 上，且4AB AF =，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，3AD =，4AC BE ==．(1)求证：DF ⊥平面CEF ；(2)点M 在线段BC 上，且二面角F DM C --的余弦值为25，求CM 的长度．【解析】（1）90ACB ∠=，60BAC ∠=，4AC =，8AB ∴=，又4AB AF =，2AF ∴=；2222cos 2016cos6012CF AC AF AC AF BAC ∴=+-⋅∠=-=，解得：CF =，222AF CF AC ∴+=，则AF CF ⊥；DA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，CF AD ∴⊥；又,AF AD ⊂平面ADF ，AFA AD =，CF ∴⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，DF CF ∴⊥；连接ED ，在四边形ABED 中，作DH BE ⊥，垂足为H，如下图所示，DF ==EF ==，DE =222DF EF DE ∴+=，则DF EF ^；,CF EF ⊂平面CEF ，CF EF F ⋂=，DF ⊥∴平面CEF .（2）以C 为坐标原点，,CA CB 正方向为,x y 轴，以BE 的平行线为z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设CM m =，则()0,,0M m ，()0,0,0C ，()4,0,3D，()F ，()4,,3MD m ∴=-，()4,0,3CD =，()1,FD =，设平面DMF 的法向量(),,n x y z =，则43030MD n x my z FD n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令9y =，解得：3x m =-z m =，()3n m m ∴=--；设平面CDM 的法向量(),,m a b c =，则430430CD m a c MD m a mb c ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令3a =，解得：0b =，4c =-，()3,0,4m ∴=-；二面角F DM C --的余弦值为25，2cos ,5m n m n m n ⋅∴<>==⋅，25=，((()222134381m m m ⎡⎤∴-=-++⎢⎥⎣⎦，解得：m；当m F DM C --为钝二面角，不合题意；则二面角F DM C --的余弦值为25时，CM =21．（2022·江苏徐州·高二期中）如图所示，在四棱锥中P ABCD -，2AB DC=，0AB BC ⋅=，AP BD ⊥，且AP DP DC BC ====(1)求证：平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)已知点E 是线段BP 上的动点（不与点P ､B 重合），若使二面角E AD P --的大小为4π，试确定点E 的位置.【解析】(1)连接BD ，由2AB DC =，0AB BC ⋅=知242,//,AB DC AB DC CD BC ==⊥，在Rt BCD 中，22216,4BD CD BC BD =+==，设AB 的中点为Q ，连接DQ ，则//,CD QB QB CD =，所以四边形BCDQ 为平行四边形，又,CD BC DC BC ⊥=，所以四边形BCDQ 为正方形，所以,22DQ AB DQ AQ ⊥==Rt AQD 中，22216AD AQ DQ =+=，在Rt ABD 中，222161632AD BD AB +=+==，所以AD BD ⊥，又,AP BD AP AD A ⊥⋂=，,AP AD ⊂平面ADP ，所以BD ⊥平面ADP ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)在APD △中，2228816AP PD AD +=+==，所以AP PD ⊥，在Rt APD 中，过点P 作PF AD ⊥，垂足为F ，因为PA PD =，所以F 为AD 中点，所以2PF DF ==，由（1）得BD ⊥平面ADP ，PF ⊂平面ADP ，则BD PF ⊥，,AD BD ⊂平面ABCD ，ADBD D =，则PF ⊥平面ABCD .以D 为原点，分别以,DA DB 所在直线为,x y 轴，以过点D 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(2,0,2),(4,0,0),(2,4,2)D A B P DA PB ==--，设()(2,4,2),0,1PE PB λλλλλ==--∈，则(22,4,22)DE DP PE λλλ=+=--，易知平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，设平面EAD 的法向量为(,,)n x y z =，则()()40224220n DA x n DE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令1z =，则1(0,,1)2n λλ-=，所以221cos ,cos 4211m n m n m nλπλλλ⋅-===⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，即2122521λλλ-=-+，即23210λλ+-=，解得1λ=-（舍）或13λ=，所以，当点E 在线段BP 上满足13PE PB =时，使二面角E AD P --的大小为4π.22．（2021·湖北十堰·高二期中）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，//,2,4,23AN BM AB AN BM CN ====(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM 上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --的余弦值为33，若存在求出CE EM 的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)正方形ABCD 中，BC AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD平面,ABMN AB BC =⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABMN ，所以BC BM ⊥，且BC BN ⊥，2,23BC CN ==所以2222BN CN BC -，又因为2AB AN ==，所以222BN AB AN =+，所以AN AB ⊥，又因为AN //BM ，所以BM AB ⊥，BC BA B =，所以BM ⊥平面ABCD .(2)由（1）知，BM ⊥平面,ABCD BM AB ⊥，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,4,0B C N M 设点(),,,,E x y z CE CM λ=[0,λ∈1]，则()(),,20,4,2x y z λ-=-，所以0422x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以()0,4,22E λλ-，所以()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ==-，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z =，()2204220m x y m y z λλ⋅=+=⎧∴⎨⋅=+-=⎩令1x =，所以21,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1m λλ=--，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，所以cos ,BC m BC m BC m⋅=⋅3==即2642λλ=-+，即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），则存在一点E ，且12CE EM =.考点4：点到直线的距离23．（2021·云南大理·高二期中）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 6C ．118D ．224【答案】B 【解析】因为AB BC =，且ABC 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC ，BA 的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故点F到直线AC 的距离2221136144422AF AF AC AC d ⎛⎫⋅⎛⎫⎪=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故点F 到直线AC 的距离是6424．（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）已知直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，点()0,1,1A 在直线l 上，则点()1,2,2P 到直线l 的距离为（）A ．230B 30C 3010D 305【答案】D【解析】由已知得(1,1,1)PA =---，因为直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，所以点()1,2,2P 到直线l 的距离为2222212930335512PA n PA n ⎛⎫⎛⎫⋅-----= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：D25．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）在空间直角坐标系中，已知长方体1111ABCD A B C D -的项点()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,4,2C =，则点1A 与直线1BC 之间的距离为（）A ．B ．2C ．125D ．52【答案】A【解析】如图，由题意知，建立空间直角坐标系D xyz -，1(000)(200)(240)(042)D A B C ，，，，，，，，，，，，则1422AB BC CC ===，，，连接111A B AC ，，所以1111A B A C BC ===得11A BC V 是等腰三角形，取1BC 的中点O ，连接1OA ，则1OA ⊥1BC ，即点1A 到直线1BC 的距离为1OA ，在1Rt A OB 中，有1OA ==故选：A26．（2021·北京市昌平区第二中学高二期中）已知空间中三点(1,0,0)A -，(0,1,1)B -，(2,1,2)C --，则点C 到直线AB 的距离为（）A B C D 【答案】A【解析】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=-则点C 到直线AB 的距离为63d =故选：A27．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.【答案】5【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===--，因点P 在线段1D E 上，则[0,1]λ∈，1(2,4,4)EP ED λλλλ==--，(22,4,4)CP CE EP λλλ=+=--，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅==，而||CP =，则点Р到直线1CC的距离4525h =，当且仅当15λ=时取“=”，所以点Р到直线1CC的距离的最小值为5.28．（2022·福建龙岩·高二期中）直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，且l 过点()1,1,1A -，则点()0,1,1P -到l 的距离为___________.【解析】(1,0,2)AP =-，直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，由题意得点P 到l的距离d =29．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为________.【答案】3【解析】如图，以D 为原点建系，则()()()12,0,2,2,1,1,1,2,0A O E ，则()()110,1,1,1,2,2AO A E =-=--，则111111cos ,3A O A E A O A E A O A E⋅==，又[]11,0,A O A E π∈，所以111sin ,3A O A E =，所以点O 到直线1A E的距离为1111sin ,33A O A O A E ==.故答案为：23.考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离30．（2020·山东省商河县第一中学高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：(2)求点B 到平面ACF 的距离．【解析】（1）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F ,设面ACF 的一个法向量为()=,,n x y z ，()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=，可得00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨令1z =则()=2,2,1n BE --=,BE ∴⊥平面ACF .（2）()=0,2,0AB ，则点B 到平面ACF 的距离为43AB nn⋅=.31．（2022·江苏·2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则点D 到平面ABC 的距离为______．【答案】33【解析】记AC 与BD 的交点为O ，图1中，由正方形性质可知AC BD ⊥，所以在图2中，,OB AC OD AC ⊥⊥，所以2BOD π∠=，即OB OD⊥如图建立空间直角坐标系，易知1OA OB OC OD ====则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -则(0,1,1),(1,0,1),(0,2,0)AB AC BD =--=-=设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00AB n y z AC n x z ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩，取1x =，得(1,1,1)n =-所以点D 到平面ABC 的距离22333BD n d n⋅===故答案为：23332．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别是上底棱的中点，则点A 到平面11B D EF 的距离为______．【答案】1【解析】以1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,1A ，()11,1,0B ，10,,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,0D ，设平面11B D EF 的法向量(),,m x y z =，则有1111020m D E y z m D B x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2y =得：2,1x z =-=-，故()2,2,1m =--，其中()10,1,1AB =-，则点A 到平面11B D EF 的距离为11AB m d m⋅===故答案为：133．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离是________.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()11,0,1B 、()1,1,0C 、()0,1,0D 、()10,0,1A 、()11,1,1C ，设平面1AB C 的法向量为()111,,m x y z =，()11,0,1AB =，()1,1,0AC =，由1111100m AB x z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1m =--，设平面11AC D 的法向量为()222,,n x y z =，()10,1,1DA =-，()11,0,1DC =，由12212200n DA y z n DC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，可得()1,1,1n =--r ，因为m n =，平面1AB C 与平面11AC D 不重合，故平面1//AB C 平面11AC D ，()0,1,0AD =uuu r ，所以，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离为1333AD m d m⋅==故答案为：33.34．（多选题）（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E O 分别是11A B ，11AC 的中点，P 在正方体内部且满足1132243AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是（）A ．点A 到直线BE 255B ．点O 到平面11ABCD 的距离是24C ．平面1A BD 与平面11B CD 3D ．点P 到直线AD 的距离为56【答案】ABCD【解析】如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,1,1)C ，()10,1,1D ，1,0,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(1,0,0),,0,12BA BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．设ABE θ∠=，则||5cos 5||||BA BE BA BE θ⋅==，25sin 5θ==．故A 到直线BE的距离1||sin 1d BA θ===，故选项A 正确．易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，平面11ABC D 的一个法向量1(0,1,1)DA =-，则点O 到平面11ABC D 的距离11211||224||DA C O d DA ⋅===，故选项B 正确．1111(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0)A B A D A D =-=-=．设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则110,0,n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，得1,1y x ==，所以(1,1,1)n =．所以点1D 到平面1A BD的距离113||||A D n d n ⋅===因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为3.故选项C 正确．因为1312423AP AB AD AA =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(1,0,0)AB =，则34||AP AB AB ⋅=，所以点P 到AB 的距离56d ==.故选项D 正确．故选：ABCD.考点6：异面直线的距离35．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中）如图正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =.动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（）A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x yy z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min 23DA n PQ n⋅==.故选：B .36．（2021·辽宁沈阳·高二期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（）A 5B 7C 6D ．67【答案】D【解析】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ，则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =，67AB n d n⋅∴==.故选：D.37．（2021·上海交大附中高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，则异面直线AB 和1AC 的距离为___________.【答案】【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由1(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(4,0,4)A B C A ，则1(0,4,0),(4,4,4)AB CA ==-，1(0,0,4)AA =设(,,)m x y z =是异面直线AB 和1AC 的公垂线的一个方向向量，则1404440m AB y m CA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则(1,0,1)m =-，所以异面直线AB 和1AC的距离为1AA m m ⋅==故答案为：38．（2021·广东·广州市第二中学高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==.（1）求证：平面GEF ⊥平面PBC ；（2）求证：EG 是直线PG 与BC 的公垂线；（3）求异面直线PG 与BC 的距离.【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,3,0,1,0,0,2,1,1,1,0A B C F E G ，()1,0,0GF =-，0,0GF PC GF PB ⋅=⋅=，所以,,GF PC GF PB PC PB P ⊥⊥⋂=，所以GF ⊥平面PBC ，由于GF ⊂平面GEF ，所以平面GEF ⊥平面PBC .（2）()()1,1,1,0,3,3EG BC =--=-，0,0EG PG EG BC ⋅=⋅=，所以EG 是直线PG 与BC 的公垂线.（3）2221113EG =++=所以异面直线PG 与BC39．（2021·全国·高二期中）如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值；（2）求异面直线PB 与CD 之间的距离．【解析】以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，且PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面PAB 的一个法向量．易知()()1,1,2,0,2,2PC PD =-=-uu u r uu u r ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,220,x y y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =解得1,1z x ==．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,AD m AD m AD m⋅==uuu r u r uuu r u r uuu r u r PAB 与平面PCD 所成夹角为锐角所以平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值为33．（2）()1,0,2BP =-，设Q 为直线PB 上一点，且(),0,2BQ BP λλλ==-，因为()0,1,0CB =-，所以(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，又()1,1,0CD =-，所以点Q 到直线CD 的距离()22cos d CQ CQ CQ CD =-⋅uu u r uu u r uu u r uu u r===，因为22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，所以23d≥，所以异面直线PB与CD之间的距离为2 3．。
二面角法向量求法
二面角的表示方法
二面角是由两个半平面所组成 的图形，其大小由两个半平面
的夹角决定。
二面角可以用角度制或弧度制 来表示，与平面角和空间角类
似。
二面角的大小与两个半平面的 方向有关，与半平面的大小无 关。
在求解二面角的大小时，通常 需要先找到两个半平面的法向 量，然后计算两个法向量之间 的夹角即可得到二面角的大小 。
二面角法向量求法
汇报人：XX 2024-01-23
• 引言 • 二面角的表示方法 • 法向量的求解方法 • 二面角法向量的性质 • 二面角法向量的应用 • 总结与展望
01
引言
二面角的定义
二面角是由两个半平面所组成的 图形，其大小由这两个半平面的
夹角决定。
二面角的大小范围在0°到180°之 间，当两个半平面重合时，二面 角为0°；当两个半平面形成一条
面积射影定理
根据面积射影定理，二面角的余弦值等于两个半 平面在棱上的投影面积之比。因此，可以通过求 出两个半平面在棱上的投影面积，然后利用面积 射影定理求出二面角的大小。
三垂线定理及其逆定理法
利用三垂线定理或其逆定理，可以构造出与二面 角的棱垂直的线段，进而通过解三角形求出二面 角的大小。
空间向量夹角公式
03
法向量的求解方法
平面法向量的求解方法
直接法
如果平面上的一个向量 已知，则该向量即为平 面的法向量。
待定系数法
设平面的法向量为 n=(x,y,z)，根据平面的 方程可以列出关于x,y,z 的方程组，通过求解方 程组得到法向量。
向量积法
如果平面上有两个不共 线的向量a和b，则平面 的法向量n可以通过计 算向量a和b的向量积得 到，即n=a×b。
向量法求二面角大小洋葱数学
向量法求二面角大小洋葱数学【原创实用版】目录一、引言二、向量法求二面角大小的基本原理1.求出所求二面角两个面上的法向量2.计算 cos（法向量 1 法向量 2）/（法向量 1 的模长法向量 2 的模长）3.根据图形判断是锐二面角还是钝二面角4.确定 cos 的符号5.用反三角函数表示这个角三、结论正文一、引言在数学中，二面角是指两个平面之间的夹角，它是一个非常重要的概念。
在实际应用中，求解二面角大小有着广泛的应用，而向量法是求解二面角大小的一种常用方法。
本文将从向量法的角度出发，详细介绍如何求解二面角大小。
二、向量法求二面角大小的基本原理1.求出所求二面角两个面上的法向量在求解二面角大小时，首先需要找到两个平面上的法向量。
法向量是垂直于平面的向量，它可以通过计算平面上两个向量的叉积得到。
假设平面 1 的法向量为 A，平面 2 的法向量为 B，则可以通过计算向量 A 和向量 B 的叉积得到法向量 C。
2.计算 cos（法向量 1 法向量 2）/（法向量 1 的模长法向量 2 的模长）接下来，需要计算二面角大小所对应的 cos 值。
根据向量内积的定义，可以得到 cos（法向量 1 法向量 2）=（法向量 1·法向量 2）/（法向量 1 的模长*法向量 2 的模长）。
其中，法向量 1·法向量 2 表示法向量 1 和法向量 2 的内积，法向量 1 的模长和法向量 2 的模长分别表示它们的模长。
3.根据图形判断是锐二面角还是钝二面角在计算出 cos 值后，需要根据图形来判断这个二面角是锐二面角还是钝二面角。
如果 cos 值为正，那么这个二面角就是锐二面角；如果 cos 值为负，那么这个二面角就是钝二面角。
4.确定 cos 的符号在计算 cos 值时，需要注意 cos 值的符号。
如果法向量 1 和法向量 2 的内积为正，那么 cos 值为正；如果内积为负，那么 cos 值为负。
在实际计算中，需要根据具体情况来确定 cos 值的符号。
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。
而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。
向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。
根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。
一．规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。
1n 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。
2n 二．法向量的夹角和二面角大小的关系1.设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量21,n n βα,βα--l θ的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有21,n n ϕ（图2）；πϕθ=+2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）ϕθ=图2图3三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向1.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条βα--l α)3,4,4(=n 件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需n 做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。
α2.若平面法向量，同理可做出从原点出发的法向量，如图5α)1,3,4(--=n 所示，显然，方向是指向二面角的外面。
利用法向量求二面角
2
课前热身
在正方体ABCD A1B1C1D1中，求锐二面角A1 DB A的余弦值。
解：作DB的中点O, 连结AO 1 , AO 在正方体中A1D AB, AD AB AO BD, AO BD 1
AOA 为二面角A1 DB A的平面角 1 A1 不妨设AA 2，则AO 2，
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课后练习
在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO ⊥面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8， PO=4，AO=3，OD=2. 在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二 面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理 由。
P
A O Bห้องสมุดไป่ตู้D
C
课堂总 结
思想方法
1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、 面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、 利用数量积的夹角公式计算. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系， 建系 方法的不同可能导致解题的简繁程度不同. (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就 以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽 可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建 立时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系， 在没有现成的垂直关系时要通过其 他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
课题：利用法向量求二面角
——小越中学 章惠芳
1
复习回顾
高中数学求二面角技巧
高中数学求二面角技巧
高中数学中，求解二面角是一项重要的技巧。
二面角是指两个平面相交而形成的角度，常常出现在几何题目中。
以下是一些求解二面角的技巧：
1. 使用向量法求解二面角
向量法是求解二面角的常用方法。
假设有两个平面AB和CD，且它们相交于一条直线EF。
设向量AB=n，向量CD=m，向量EF=a，则二面角θ的余弦值为：
cosθ=(n·m)/( |n|·|m| )
其中，n·m表示n和m的数量积，|n|和|m|表示向量n和向量m 的模长。
2. 利用三角函数求解二面角
如果已知二面角的两个面的斜率，可以使用三角函数求解二面角。
设两个平面的斜率分别为k1和k2，则二面角的正切值为：
tanθ=(k1-k2)/(1+k1k2)
可以使用反正切函数求解出二面角的值。
3. 利用平面几何知识求解二面角
通过平面几何知识，可以求解出两个平面的交线与一个球面的交线，从而求解二面角。
设两个平面在点O处相交，交线为AB和CD，球心为O，球面与交线AB和CD的交点分别为P和Q，则二面角θ等
于∠POQ。
以上是求解二面角的一些常用技巧，希望对高中数学学习有所帮
助。
二面角的求解策略
二面角的求解策略如何求二面角的大小，历来是空间几何中的难点.本文重点介绍二面角的各种求解方法，并讨论和比较各种解法的优劣.我们希望即将应考的考生面对有关的考题，不仅能够正确地解出，而且能省时省力地用尽可能好的方法解出.一般地说，求二面角大小的方法主要有如下三种：（1）直接法.即通过求二面角的平面角，直接求这个二面角的大小.（2）投影法.即通过投影公式cos S S θ'=⋅求二面角的大小.其中S ′、S 分别表示投影图形和被投影图形的面积，而θ则是这两个图形所在平面的夹角.（3）向量法.即通过作二面角的两个面的法向量，将求二面角的大小转化为求这两个法向量夹角的大小.在特殊情况下，有时也可以采用其他方法.如利用公式cos cos cos θαβ=⋅去求二面角的大小.其中θ、α、β分别表示有关的线线角，线面角和二面角.在实战中，到底选用何种方法，应当因题因人而异.事先就规定或提倡一定用某一种方法是不好的.请看：（一）二面角各种求法优劣性的比较.【例1】 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC=90°SA ⊥平面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=21，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值.【解析1】（向量法） 建立如图的空间直角坐标系.有：A （0，0，0），B （-1，0，0），C （-1，2，0），D （0，21，0）.由于AD ⊥平面SAB ，∴平面SAB 的一个法向量为：n 1=（0，1，0）；设平面SDC 的法向量为：n 2=（x ，y ，z ）.由()()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒⊥⊥01,2,1,,01,21,0,,22z y x z y x SC n SD n⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-⇒02021z y x z y 令z=1，则y=2，x=1.于是n 2=（1，2，1）.∴n 1·n 2=2，且∣n 1∣=1，∣n 2∣=6.设n 1，n 2夹角为θ，则33sin ,36612cos =∴=⋅==θθn n .于是22tan =θ，由于原二面角为锐二面角，故所求二面角的正切值亦为22.【评注】向量法的优点是，无须作出二面角的棱，也无须作其他的辅助线，仅凭向量的坐标运算即能A(0,0,0)S(0,0,1)C(-1,2,0)⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,0D X Y Z解决问题.但是本解也有明显的缺陷，一是计算繁杂，二是得准确处理原二面角与相应法向量夹角的关系.【解析2】（投影法）如图，延长BA 、CD 交于P ，连SP ，作AM ⊥PC 于M ，连SM ，则SM ⊥PC （三垂线定理）.显然，△SPD 在平面SPD 上的射影是△SAP.∵AD ∥BC ，且AD=12BC ，∴AD 是△PBC 的中位线，AP=AB=1，∴12ASP S ∆=，而AM=AP AD SM PD ⋅∴，∴12SPD S PD SM ∆=⨯⨯=，于是1cos 33SAPSPDS S θθ∆∆====，∴tan 2θ=.即所求二面角的正切值为2. 【评注】从计算量看，投影法比之向量法要小，而且技巧性更高，还免除了原二面角与相应法向量夹角之间的转化工作，所以就本题而言，投影法比向量法更为优越.【解析3】（直接法）如图，延长BA 、CD 交于P ，连SP ，则AD 是△PBC 的中位线，且AP=AB=AS=1. ∠SAP=90°，∴SP =作AQ ⊥SP 于Q ，连DQ ，显然AD ⊥平面SBP ，∴DQ ⊥SP ，∠AQD 是二面角C-SP-B 的平面角，设为θ.则在直角三角形AQD中，tan AD AQ θ==即所求二面角的正切值为.【评注】本题中两平面的夹角是无棱二面角.由于作其平面角不易，所以不少人都放弃了直接法.其实就本题而言，直接法恰好是最简单最实惠的方法.所以我认为，只要是能够比较顺利地作出二面角的平面角的，还是以选用直接法为好.那么，作二面角的平面角又有哪些技巧呢？请看：（二）作二面角的平面角的两种基本手段.【例2】（2004高考·广东卷·18）如下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、SA BCDPM11112SAB CDPQ 111112F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.【分析】本题的特点是：在二面角的两个面中，已有CC 1⊥平面ABCD ，故可考虑利用三垂线定理构造二面角的平面角.【解析】（1）延长DE 、CB 交于H ，连SH ，由△ADE ∽△BHE ，知BH=BE=1，∴CH=CD=4，△CDH 是等腰直角三角形，且，作CG ⊥DH 于G ，连C 1G ，∵CC 1⊥平面ABCD ，∴C 1G ⊥DH ，∠CGC 1是二面角C-DH-C 1D 的平面角.则在直角三角形CGC 1中，∵CC 1=2，CG ==∴tan ∠CGC 1=1CC CG=故所求二面角的大小为（2，解法略. 【例3】在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，过顶点B 、D 、C 1作截面，则二面角B-DC 1-C 的大小是【分析】本题的特点是：二面角的两个面是有公共底边的两个等腰三角形，因而由平面几何知识，只须作公底的两条中线，即得二面角的平面角，如图中的∠BMC 即是.本题答案是，解法略.（三）与二面角有关的考题举例.【例4】（2004高考·湖南卷·理19）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （I ）证明PA ⊥平面ABCD ；（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论.【解析】（1）从图形特点看，只须证明PA ⊥AB 且PA ⊥AD ，即可证明PA ⊥平面ABCD .ABCDA 1B 1C 1D 1E GH234311341由条件知菱形ABCD 的边长为a ，于是△PAB 与△PAD 中，AP=AB=AD=a ，且，由勾股定理知PA ⊥AB 且PA ⊥AD ，∴PA ⊥平面ABCD.（2）根据图形的特点，我们拟创造条件用第一种方法作二面角的平面角.作DG ⊥AD ，交 AE 延长线于G ，那么DG ∥AP ，12DG DE a PAEP==，且DG ⊥平面ABCD.连BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC.连OG ，则OG ⊥AC ，∠DOG 是二面角E-AC-D 的平面角，设为θ.直角三角形DOG 中，OD=12BD =，∴tan DG OD θ==.于是θ=30°，即所求二面角θ的大小为30°.（3）从图形特点看，这样的点应为平面BDG 与PC 的交点，也就是OC 的中点.我们试着从这个方向去验证答案.取PC 中点F ，连OF ，则OF 是△POC 的中位线，∴OF ∥PA ∥DG ，且OF=12PA=DG ，故四边形是矩形.∵OB=OD ，∴OB 与FG 平行且相等，即四边形OBFG 是平行四边形，从而BF ∥OG ，∴BF ∥平面ACG.于是存在棱PC 的中点F ，使BF//平面AEC.【例5】正三棱柱C B A ABC '''-中，D 是AC 的中点.（1）证明AB ∥平面DBC 1；（2）若 AB 1⊥BC 1，求二面角D-BC 1-C 的余弦值.P ABCDECDA 1B 1C 1【分析】第（1）问不难如图，连B 1C 交BC 1于O ，连DO ，则DO 是△ACB 1的中位线，∴AB 1∥DO ，故AB ∥平面DBC 1.为解决第（2）问，须先对图形进行数据分析.不妨设这个正三棱柱底面边长为2，容易算出.当AB 1⊥BC 1时，亦有DO ⊥BC 1，DO 是BC 1的垂直平分线，∴DC 1CC 1AB 1=BC 1.由此，我们可以利用三垂线定理作出这个二面角的平面角：作DE ⊥BC 于E ，且DE ⊥CC 1，∴DE ⊥平面BB 1C 1C ，故BC 1⊥OE ，∠DOE 是二面角D-BC 1-C 的平面角.注意到△DOE 中∠DEO=90°，以下只须求DO 及OE 之长即可.但是我们发现求这两条线段之长并非易事，而△BDC 1与△BEC 1的面积却相应好求，所以我们改变策略，用投影法求这个二面角D-BC 1-C 的余弦值.【解析】（1）略（2）由上可知：△BDC 1在平面BB 1C 1C 上的射影是△BEC 1，而111322BDC S BD DC ∆=⨯⨯=，11322BEC S ∆=⨯=cos ∠DOE=112BEC BDC S S ∆∆=.即所求二面角D-BC 1-C. 【例6】已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的边长为2，O 为AC 与BD 的交点，M 为DD 1的中点.求二面角B 1-MA-C 的正切值.【分析】本题看似简单，但若处理不当，计算量将是大而繁杂的.以下提供三种途径请读者鉴别之.ABCDA 1B 1C 1D 1M（1）如果你难以作出这个二面角的平面角，那么比较简单的方法是投影法：连MA 1，注意到△AB 1M 与△ACM 在平面AA 1D 1D 的射影分别是△AA 1M 和△ADM ，若设二面角A 1-AM-B 1，C-AM-B 1，C-AM-D 的大小分别为α、θ、β，显然α+θ+β=π.为求θ，只须用投影法先求出α和β即可.（2）连OB 1，OM.显然AC ⊥OM ，如果你能用数据分析的方法发现△MOB 1中∠MOB 1=90°，那么OB 1⊥平面AMC.再作OE ⊥AM 于E ，连B 1E ，则B 1E ⊥AM ，∠OEB 1是二面角C-AM-B 1的平面角，以下即可用直接法求之.（3）由于是正方体，故若以D 为原点建立空间直角坐标系，并设正方体棱长为2，则各个已知点的坐标易设，以下用向量法也是可行的.本题答案：（四）难题研究.以下是05年江苏卷的19题.原题共3问，其中第3问只要求考生直接写出答案，而无须交代过程.可见命题人已经预见到题解的繁杂性.我们在有关的各种资料上也只看到了答案，没有过程.因而笔者将这一问题提出两种解法，望各位批评指正.如图，在五棱锥S-ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°. （1）求异面直线CD 与SB 的夹角； （2）证明BC ⊥平面SAB ；（3）用反三角函数值表示二面角B-SC-D 的大小 【分析】本题前两问不难，我们只研究第三问的解法.如果用直接法，难以作出二面角B-SC-D 的平面角；如果用投影法，又难以找到必要的线面夹角.在这种情况下，选用向量法应是明智之举.【解析】由已知条件容易求出∠ABC= ∠AED=90°，且.S AABCDA 1B 1C 1D 1M OE过E 作平面ABCDE 的垂线EZ ，分别以直线EA 、ED 、EZ 为x ，y ，z 轴建立如图的空间直角坐标系，则有E （0，0，0），A （2，0，0），S （2，0，2），D （00）.设B （x ，y ，0），由∣BE ∣BA ∣=2，可得B （3，0）；由DC =12EB ，可得C 302⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.于是SC=122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，BC =（-32，2，0）DC=302⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.设平面SBC 与平面SCD 的 法向量分别为n 1=（x 1，1，z 1）n 2=（x 2，1，z 2）. 由n 1⊥SC ⇒（x 1，1，z 1）122⎛⎫-- ⎪⎝⎭=0 n 1⊥BC ⇒（x 1，1，z 1）302⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=0 111111202302x z x x z ⎧⎧-+==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪-+==⎪⎪⎩⎩. 由n 2⊥SC ⇒（x 2，1，z 2）122⎛⎫-- ⎪⎝⎭=0 N 2⊥DC ⇒（x 2，1，z 2）302⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=0 222221202302x z x x z ⎧⎧-+==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩于是n 1=⎝⎭，n 2=3⎛- ⎝. ∴n 1 ⋅n 2=1571343-++=，而 ∣n 1∣=3,32）（∣n 2∣6=. cos ∠（n 1 ，n 2）=由于原二面角是钝二面角，故其大小为：π-. 【评注】本题也可用直接法求解.但计算量却大得多.方法是：如图：作BF ⊥SC 于F ，FG ⊥SC ，交CD 延长线于G ，连BG ，容易求出∠SCD=α，则cos α可求.以下分别求出BF ，FG ，BG 之长，即可用余弦定理求出∠BFG 之值.【小结】以上介绍的求二面角大小的三种主要方法各有优长.一般地说，向量法比较容易操作，但有时计算繁杂，对于那些不能直接建立坐标系的习题尤其如此；直接法与投影法技巧性较高，平时学习备考多作训练以提高能力，临考时则有事半功倍之效.S A B CD EαF G。
向量法求二面角的大小
向量投影的计算方法：先求出两个向量的点积和模长然后根据定义计算投影长度。
向量投影的应用：在几何、物理和工程等领域中向量投影是重要的概念用于描述方向、速度和力等物理量在某个 方向上的分量。
向量投影的定义：向量的投影是该向量在给定平面上的正交投影长度。
向量法在二面角计算中的步 骤
向量法的基本原理
ห้องสมุดไป่ตู้
向量法在二面角计算中的优 势
向量法在二面角计算中的注 意事项
向量法求二面角大 小的步骤
确定原点：选择一个方便的点作为 原点通常选择二面角的顶点
确定坐标：根据需要在x轴和y轴上 选择单位长度并确定其他点的坐标
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确定轴：选择两个垂直的向量作为 x轴和y轴通常选择二面角的两个法 向量
向量投影的性质：投影长度总是非负的且与原向量平行。
向量投影的计算方法：先求出原向量与给定平面的法向量的点积再除以法向量的模的平 方。
向量投影的应用：在求解二面角的大小、向量的模等问题中可以通过计算向量投影来简 化计算。
向量法求二面角大 小的原理
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向量法定义：利用向量的数量积、向量积和向量的混合积计算二面角的大小。
向量的模定义：向 量的大小或长度记 作||计算公式为|| = √(x^2 + y^2)。
向量的数量积定义： 两个向量的点乘记 作 ·b 计 算 公 式 为 ·b = ||·|b|·cosθ其中 θ为两向量之间的 夹角。
向量的数量积性 质 ： ·b = b ·即 点 乘 满足交换律；分配 律 ： ( + b ) ·c = ·c + b ·c 。
立体几何向量法求二面角
立体几何向量法求二面角一、引言在几何学中，二面角是指两个平面或者一个平面和一个直线之间的夹角。
它是描述多面体中相邻两个面之间的夹角的重要参数。
在工程学、物理学和化学等领域，求解二面角是非常常见的问题。
本文将介绍立体几何向量法求解二面角的方法。
二、立体几何向量法立体几何向量法是一种非常有效的求解二面角的方法。
它基于向量叉积和点积的运算，通过将多面体分解成若干个三角形来计算二面角。
1. 向量叉积向量叉积是两个向量所构成的新向量，其大小等于两个向量所构成平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所构成平行四边形所在平面。
设有两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的叉积c = a × b定义为：c = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)其中c表示a和b所构成平行四边形所在平面上一条垂直这个平行四边形的向量。
2. 向量点积向量点积是两个向量所构成的标量，其大小等于两个向量夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积。
设有两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的点积c = a · b定义为：c = a1b1 + a2b2 + a3b3其中c表示a和b之间夹角的余弦值乘以它们的模长之积。
3. 二面角计算公式二面角可以通过计算相邻两个面法线向量之间夹角的余弦值来求解。
具体地，设有一个多面体，其中相邻两个面A和B所对应的法线分别为nA和nB，则它们之间的二面角θAB可以通过以下公式计算：cosθAB = -nA·nB / |nA||nB|其中“·”表示向量点积，“| |”表示向量模长。
4. 多面体分解在实际问题中，通常需要将多面体分解成若干个三角形来计算二面角。
具体地，考虑一个四面体（如图1），其中相邻两个三角形ABC和ABD所对应的法线分别为nABC和nABD，则它们之间的二面角θABC-D可以通过以下公式计算：cosθABC-D = -nABC·nABD / |nABC||nABD|其中“·”表示向量点积，“| |”表示向量模长。
用向量求二面角大小的五种方法
弦 ，避 开 了判 定 法 向量 的 夹 角和 二面 角 的大 小 关 系 的难 点 ．
二 、检 验 向量 法
例 １ （０ ５年 高考 全 国卷 ｍ） ２０ 如图 １ ，在 四 棱 锥 面 Ａ Ｃ 是正 方 形 ，侧 面 Ｖ Ｄ是 ＢＤ Ａ
互补的关 系，但 “ 等”还是 “ 相 互补”这 个问题始终 困扰 着我 图 １ 示 的空 间 直 角 坐标 系 ０ ｘｚ 所 一 ｙ ，正 方 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的 边 长 为 １ ，
则ｏ ，，）Ａ ００，（ １０， （ ００，（ ， ）曰 ｏ ， ．＇ ）
Ｄ１０ ） （０ ） ， ｏ ｖ’ ＇ ＇ｏ ， ．
的法向最． ， ． 与 ｎ ． 若 ｌ 耐 ， ，
同号 ，则 ０： 竹一（。 ｌ ； ，，，） ｌ
收稿 日期 ：２ １— ９ １ ０００—９
作者简介：宋波 （９ １ ，男，甘 肃甘谷人 ，中学高级教 师，甘肃省青年教学能手 ，兰 州市骨干教师 ，兰州市教科研 工作先进个人 ，主要从 １７ 一） 事高 中数 学教 学、解题思想和方法 、高考复习的研究．
如 图 ６ 已 知 四 棱 锥 Ｐ ＡＢ Ｄ 中 ， ， － Ｃ Ｐ Ｌ Ｄ，侧 面 Ｐ Ｄ 是 边 长 为 ２的 Ｂ＿Ａ Ａ
Ｃ
丁３ ， ｘ ｝ 音 ① －
因 为 ＝（ 一， ， ） ，
等边 三 角形 ，底 面 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ是菱 形 ，
于 ＝， ｏ ＝１０ ） 是 （ １） （，， ． １，，
设 平 面 Ｖ Ｄ 的法 向量 为 ， ＝（ Ｂ ｌ ，Ｙ ） １ ，ｚ ，
求二 面角的大小是立 体几何 中学 习的重点 ，也 是高考 的热 点． 用法 向量解决此类 问题 ，把空间几何问题转化 为代数 运算 ，
二面角的求法讲课周二
找点坐标
求法向量坐标
定值
求两法向量夹角
考点跟踪 1 ：数量关系隐藏于几何图形中需要用平面几何中的有关知识去解决；连续四年均 以菱形为底面或侧面水平放置的几何体，特别是斜三棱柱为重点；要注意解题规范性训练， 有利于提高运算准确率；
考点跟踪2：①、求线线角、线面角、二面角仍然是热点. ②、注意给角求值也不容忽视.
D C E B F A
解析 （1）由已知可得 AF DF ， AF FE ，所以 AF 平面 EFDC . 又 AF 平面 ABEF ，故平面 ABEF 平面 EFDC .
（2）过 D 作 DG EF ，垂足为 G ，由（1）知 DG 平面 ABEF .
F
D
C E B A
由已知， AB
又平面 ABCD
EF ，所以 AB
z D G C E A y
平面 EFDC .
CD ， CD EF .
x F
B
平面 EFDC CD ，故 AB
由 BE
AF ，可得 BE 平面 EFDC ，所以 CEF 为二面角 C BE F 的平面角，
故
CEF 60 ， 从 而 可 得 C (2，， 0 3) . 所 以 EC ( 1 ，， 0 3， ) EB (0，， 4 0) ，
G x F
B
跟踪训练（ 2017 全国 1 卷理科 18 ）如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， AB //CD ，且
BAP CDP 90 .
(1)求证：平面 PAB 平面 PAD ； (2)若 PA PD AB DC ， APD 90 ，求二面角 A PB C 的余弦值.
2 2
法向量法求二面角
显然平面SBA的一个法向量为
n1 = (1， 0) 0，，
设平面SCD的一个法向量为
S D
z 1 C
1 SA = , 2
B 1 y
A x
n 2 = ( x，y，z )，
则 n 2 ⊥ 平面SCD
图5
1 AD = . 2
n 2 • SD = 0 ∴ ⇒ n2 • SC = 0
x−z =0 取 z = 2, 则 n2 = (2 , − 1, 2) 2 x + 2 y − z = 0
∴ A1Q = (2, 2, −2), QD = (−2, 20)
面AA1D的法向量 n1 = (1,0,0) 设面A1DQ的法向量为
z
A1
D1 B1 DC1n2 = (a1 , a2 , a3 ),
2
y
Q
C B
4 2
O（A） （ ）
x
则
n2 ⋅ A1Q = 2a1 + 2a2 − 2a3 = 0, n2 ⋅ QD = −2a1 + 2a2 = 0,
令y=1,取平面的一个法向量为
n = (1,1,1)
注：因为平面的法向量有无数个，方向可上，可下， 模可大可小，我们只要求出平面的某个法向量即可.
例题4. 例题 在长方体ABCD—A1B1C1D1中， AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点， 求此时二面角A—A1D—Q的大小． 解 ： 如图2，建立空间直角坐标系． 依题意：A1（0，0，2），Q（2，2，0）， D（0，4，0），
解：延长BA，CD 交于E，则面SCD∩面SBA=SE.
AD 1 ∵ AD / / BC 且 = BC 2
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求二面角的方法
解题宝典空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.求二面角的大小是一类常见的问题.本文重点介绍求二面角大小的四种方法:定义法、向量法、面积投影法、三垂线定理法.一、定义法过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义来求解.首先在二面角的棱上选取一点，在两个面内作棱的垂线，则两条垂线的夹角，即为二面角的平面角，求得平面角的大小即可得到二面角的大小.例题：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B-EC-C1正弦值．图1图2解：（1）略；（2）由（1）知∠BEB1=90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=45°，故AE=AB，AA1=2AB．如图2所示，在平面BCE内过B点作BM⊥CE于点M，取棱CC1的中点N，连结MN,EN.因为EC1=EC，所以EN⊥CC1，所以ΔCEN为直角三角形.因为BC⊥BE，所以ΔCEB为直角三角形.令AB=1，则BC=NC=1,BE=EN=2,CE=3，所以RtΔBEC≌RtΔNEC，所以MN⊥EC，则∠BMN即为二面角B-EC-C1的平面角.在RtΔBEC中，sin∠BCE=BE CE=BM BC，所以BM=，MN.在ΔBMN中，cos∠BMN=BM2+MN2-BN22BM∙MN=-12，则sin∠BMN=，故二面角B-EC-C1正弦值.利用定义法求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角.在作图的过程中要充分利用题目条件中隐含的垂直关系，如等腰三角形三线合一的性质、菱形或正方形的对角线相互垂直、直角三角形中勾股定理及其逆定理等.另外在构造二面角的平面角时，常用的方法还有垂面法，即经过两个面的垂线的平面与两个平面的交线所夹的角即为二面角的平面角.二、三垂线法三垂线法是指利用三垂线定理求作二面角的平面角，求得二面角大小的方法.在求作二面角的平面角时，需过其中一个面内的一点作另一个面的垂线，再经过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上的垂足，进而构造出与二面角的平面角相关的角，再结合图形中的垂直关系求得二面角的大小.以上述例题为例.解：如图3，连接BD,AC，交点为O，过点O作CE的垂线，垂足为P，连接BP.由三垂线定理可知BP垂直于CE，所以∠BPO即为所求二面角平面角的补角.设AB=1，由（1）可知AE=1，所以BE=2，CE=3.因为BC⊥BE，所以ΔBCE为直角三角形，所以RtΔBCP∽RtΔBCE.陈秀林图342解题宝典所以BP.在Rt△BOP 中，sin ∠BPO =BC BP=，即所求二面角正弦值为.此法与定义法的不同之处是将所求二面角的相关角置于直角三角形中，从而使解题的过程更加简洁.三、向量法向量法是通过空间向量的坐标运算，将所求的二面角转化为两个平面的法向量的夹角的方法.解题的思路是通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量的数量积公式求出夹角，再利用法向量的夹角与二面角的关系来确定二面角的大小.值得说明的是，二面角的平面角与法向量的夹角的关系是相等或互补.以上述例题为例.解：（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt△ABE ≌Rt△A 1B 1E ，所以∠AEB =45°，故AE =AB ，AA 1=2AB ．以D 为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),E (1,0,1)，所以 CB =(1,0,0)，CE =(1,-1,1)，CC 1=(0,0,2)．设平面BCE 的法向量为n =(x ,y ,z )，则ìíî CB ∙n =0,CE ∙n =0,即{x =0,x -y +z =0,令y =-1,得n =(0,-1,-1).设平面ECC 1的法向量为m =(x ,y ,z )，则ìíî CC 1∙m =0,CE ∙m =0,即{2z =0,x -y +z =0,令x =1得m=(1,1,0)．于是cos m,n =m ∙n |m |∙|n |=-12.所以二面角B -EC-C 1平面角正弦值为．向量的引入降低了立体几何问题的难度，但对同学们的运算能力提出了更高的要求.求法向量的原则是先找后求，即如果存在一条已知的直线与二面角的某一个平面垂直，则该直线的方向向量即可视为此平面的法向量.四、投影法投影法，即为构造出二面角的两个平面中的一个平面在另外一个平面内的投影，从而利用此平面与其投影的夹角θ来判断所求二面角的大小的方法.若该平面与其投影的面积分别为S 1,S 2，则cos θ=S 1S 2.θ与所求二面角的关系有两种，即相等或互补.以上述例题为例.解：如图5，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ，所以点B 在面C 1CE 内的投影，三角形EOC 为ECB 的投影.设棱AB =1，由（1）可知AE =1，则AC =BE =2，EC =3，所以三角形OCE 的面积为S 1=12∙OC ∙AE =12，三角形BCE 的面积为S 2=12BC ∙BE =12×1×2.所以S 2S 1=42=12.所以面BCE 与面ECC 1所成锐二面角的余弦值为12，故二面角的正弦值为.在本题中，三角形ECB 与其在面ECC 1上的投影EOC 的夹角即为所求二面角的补角，而两角互补，则其正弦值相等，所以可直接利用投影法来求解.一般地，求二面角的问题主要有两类，即求有棱二面角的大小和无棱二面角的大小，虽然图形有所不同，但解题的方法基本上一致.同学们在解题的过程中要注意仔细审题，择优而用.（作者单位：江苏省大丰高级中学）图5图443。
空间向量二面角的计算公式
空间向量二面角的计算公式在我们学习数学的旅程中，空间向量和二面角可是一对让人又爱又恨的“小伙伴”。
特别是计算二面角时用到的空间向量，那可是相当有讲究。
咱先来说说啥是二面角。
想象一下，你把一张纸对折一下，折痕两边就形成了两个面，这两个面之间的夹角就是二面角。
空间向量在计算二面角时，就像是一把神奇的钥匙。
它的计算公式呢，就像是一个神秘的密码，等着我们去破解。
比如说，有这么一道题：已知两个平面的法向量分别是 n1=(1, 2, 3)，n2=(4, 5, 6)，求这两个平面所成二面角的大小。
这时候，我们就要用到空间向量二面角的计算公式啦。
先计算两个法向量的点积，也就是 n1·n2 = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 32。
然后分别计算两个法向量的模长，|n1| = √(1² + 2² + 3²) = √14，|n2| = √(4² + 5² + 6²) = √77。
接下来，根据公式cosθ = (n1·n2) / (|n1|×|n2|) ，算出cosθ = 32 /(√14×√77) 。
可别以为到这就结束啦，算出的cosθ 只是个值，还得根据实际情况判断二面角是锐角还是钝角。
我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别较真儿。
他就一直纠结为啥要判断是锐角还是钝角，怎么判断。
我就跟他说：“你想象一下，你正对着一个门，门打开的角度，有时候看起来大，有时候看起来小，咱们得搞清楚到底是多大呀。
” 然后给他举了个具体的例子，比如两个平面就像是两扇门，一扇开得大，一扇开得小，咱们得搞清楚到底是哪扇开得大。
经过反复的讲解和练习，这孩子终于弄明白了。
看着他恍然大悟的表情，我心里那叫一个欣慰。
其实啊，空间向量二面角的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习，多琢磨，就一定能掌握。
例说用向量方法求二面角
例说用向量方法求二面角一、平面法向量的2种算法在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设(,,)n x y z =，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x ,y ,z 的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有一种求法向量的办法也比较简便：若平面ABC 与空间直角坐标系x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (a ,0,0)、B (0,b ,0)、C (0,0,c )，定义三点分别在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标值x A = a , y B = b , z C = c （a ,b ,c 均不为0），则平面ABC 的法向量为111(,,)(0)n a b cλλ=≠ ．参数λ 的值可根据实际需要选取．这种方法非常简便，但要注意几个问题：（1）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为∞，法向量对应于该轴的坐标为0．比如若和x 轴平行（交点坐标值为∞），和y 轴、z 轴交点坐标值分别为b 、c ，则平面法向量为11(0,,)n b cλ= ；若平面和x ,y 轴平行，和z 轴交点的坐标值为c ，则平面法向量为1(0,0,)n cλ= ．（2）若平面过坐标原点O ，则可适当平移平面．例1．如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是AB 、SC 的中点。
设SD = 2CD ，求二面角A －EF －D 的大小；解：不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．平面AEFG 与x 轴、z 轴的交点分别为A (1,0,0)、G (0,0,1)，与y 轴无交点，则法向量1(1,0,1)n =，在CD 延长线上取点H ，使DH =AE ，则DH ∥ AE ，所以AH ∥ED ，由（1）可知AG ∥EF ，所以平面AHG ∥平面EFD ，平面AHG 与x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (1,0,0)、H (0,- 12,0)、G (0,0,1)，则法向量2(1,2,1)n =-，设二面角A -EF -D 的大小为α ，则1212cos 3n n n n α⋅==⋅ ，即二面角A -EF -D的大小为． 二、用向量法求解二面角的两种途径 （一）用法向量解二面角用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是[0, π ]，而两个向量的夹角取值范围也是[0, π ]，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过 π2 的那个角即可，但对二面角却是个难题. 笔者经过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参考.用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向？对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一），两个平面的法向量12,n n则应分别垂直于该平面角的两边. 易知，当12,n n 同为逆时针方向或同为顺时针方向时，它们所夹的解即为θ . 所以，我们只需要沿着二面角棱的方向观察，选取旋转方向相同的两个法向量即可. 或者可以通俗地理解，起点在半平面上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为“向内”的方向；否则称为“向外”的方向. 两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个“向内”，而另一个“向外”.对第二个问题，我们需要选取一个参照物. 在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如z 轴），通过前面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy 平面的关系，是自下而上穿过xOy 平面呢，还是自上而下穿过xOy平面？若是第一种情形，y图二图一则n 与→ OZ 所夹的角是锐角，只需取法向量的z 坐标为正即可；若是第二种情形，则n 与→OZ 所夹的角是钝角，只需取法向量的z 坐标为负即可．若法向量与xOy 平面平行，则可以选取其它如yOz 平面、zOx 平面观察．例2 已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB =90︒，P A ⊥底面ABCD ，且P A =AD =DC =12AB =1，M 是PB 的中点. （1）求二面角C -AM -B 的大小； （2）求二面角A -MC -B 的大小.分析：如图建立空间直角坐标系，则对二面角C -AM -B 而言，→AD 是平面AMB 的法向量（向内），易知平面ACM 符合“向外”方向的法向量是自下而上穿过xOy 平面，所以与→ AZ 所夹的角是锐角. 对二面角A -MC -B 而言，平面ACM 选取上述法向量，则为“向外”的方向，平面BCM 就应选取“向内”的方向，此时是自上而下穿过xOy 平面，与z 轴正向所夹的角是钝角.（1）解：如图三，以AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z轴建立空间直角坐标系，则平面AMB 的法向量为1n=(1,0,0), 设平面ACM 的法向量为2n=(x ,y ,z ).由已知C （1, 1, 0), P (0, 0, 1), B (0, 2, 0)，则M (0, 1, 12 ),∴ → AC =(1, 1, 0), → AM =(0, 1, 12).由220,0,10.0.2x y n AC y z n AM +=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩取y = -1，则x =1, z =2， ∴ 2n =(1, -1, 2). （满足2n ·→AZ >0）.设二面角C -AM -B 的大小为θ ，则cos θ=1212n n n n ⋅=⋅, ∴ 所求二面角的大小为arccos6. （2）解：选取（1）中平面ACM 的法向量2n=(1, -1, 2)，设平面BCM 的法向量为y图三3n= (x ,y ,z ).→ BC = (1, -1, 0), → BM = (0, -1, 12),由330,0,10.0.2x y n BC y z n BM -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩ 取z =-2，则y =-1, x =-1，3n = (-1, -1, -2)，则2n ，3n所夹的角大小即为二面角A -MC -B的大小，设为ϕ ，cos ϕ =23233n n n n ⋅=⋅， ∴ 所求二面角的大小为π - arccos 63.（二）用半平面内的向量解二面角由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角．如果分别在两个半平面内作两个向量（如图四），起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，与二面角的大小是相等的．这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响．例3 如图五，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AA 1=2，E 是BB 1的中点．（1）求二面角E -AC 1-B 的大小； （2）求二面角C 1-AE -B 的大小．分析：在第（1）题中，只需在AC 1上找到两点G 、H ，使得→ GB 、→ HE 均与→ AC 1 垂直，则→ GB 、→HE 的夹角即为所求二面角的大小．如何确定G 、H 的位置呢？可设1GA AC λ=，1GB GA AB AC AB λ=+=+ ，这样向量→ GB 就用参数λ 表示出来了，再由→ GB ·→AC 1 =0求出λ 的值，则向量→GB 即可确定，同理可定出H 点．第（2）题方法类似．图四图五解：以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0), A (0,1,0), C (1,0,0), B 1(0,0,2), C 1(1,0,2), E (0,0,1)．→ AC 1 = (1, -1, 2), →AB = (0, -1, 0).（1）设1(,,2)GA AC λλλλ==-，则 (,1,2),GB GA AB λλλ=+=--由→ GB · → AC 1 =0 ⇒ λ +(λ +1)+4λ =0，解得：16λ=-，∴ → GB = (151,,663---).同理可得：→ HE = (11,,022--)，→ HE ·→ AC 1 = 0．→ GB 、→ HE 的夹角等于二面角E -AC 1-B 的平面角． cos <→ GB ,→ HE > =62562GB HE GB HE GB HE GB HE⋅⋅==⋅⋅ , ∴ 二面角E -AC 1-B 的大小为（2）→AE = (0, -1, 1), 在AE 上取点M 、N ，设(0,,)MA AE γγγ==-，则(0,1,)MB MA AB γγ=+=--,由→ MB ·→ AE = 0得：γ +1+γ = 0，解得：γ = 12-， ∴ → MB =11(0,,)22--.同理可求得：→ NC 1 = ( 1, 12, 12), → NC 1 · →AE = 0. ∴ → MB 、→NC 1 的夹角等于二面角C 1-AE -B 的平面角．cos <→ MB , → NC 1> = 11113MB NC MB NC --⋅=-⋅ , xyzGHxyMN图七图六). ∴二面角C1-AE-B的大小为arccos(3。
高考数学专题：向量求二面角(含答案)
高考数学专题：向量求二面角向量法求二面角大小的两种方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．1、如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M为BC上一点，且BM＝12，MP⊥AP.(1)求PO的长；(2)求二面角A-PM-C的正弦值．2、如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F 分别为AC，DC的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E-BF-C的正弦值．3、如图所示，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1；(3)在(2)的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦值．4、如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值．5、如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.(1)求证：EG∥平面ADF；(2)求二面角O-EF-C的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AH＝23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值6、如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝π2，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．7、如图所示，在多面体A1B1D1-DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)证明：EF∥B1C；(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值．8、如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝π2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2.(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PD-C的余弦值．答案：1、解：(1)如图，连接AC，BD，因为ABCD为菱形，则AC∩BD＝O，且AC⊥BD.以O为坐标原点，OA →，OB →，OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz .因为∠BAD ＝π3，所以OA ＝AB ·cos π6＝3，OB ＝AB ·sin π6＝1，所以O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (－3，0，0)，OB →＝(0，1，0)，BC →＝(－3，－1，0)．由BM ＝12，BC ＝2知， BM→＝14BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－14，0， 从而OM→＝OB →＋BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34，0， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34，0.设P (0，0，a )，a >0，则AP→＝(－3，0，a )，MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－34，a . 因为MP ⊥AP ，故MP →·AP→＝0，即－34＋a 2＝0，所以a ＝32或a ＝－32(舍去)， 即PO ＝32.(2)由(1)知，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，32，MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－34，32，CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，32. 设平面APM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PMC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AP →＝0，n 1·MP →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋32z 1＝0，34x 1－34y 1＋32z 1＝0，故可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，533，2. 由n 2·MP →＝0，n 2·CP →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧34x 2－34y 2＋32z 2＝0，3x 2＋32z 2＝0，故可取n 2＝(1，－3，－2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－155， sin 〈n 1，n 2〉＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－1552＝105， 故所求二面角A -PM -C 的正弦值为105.2、(1)证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．易得B (0，0，0)，A (0，－1，3)，D (3，－1，0)，C (0，2，0)，因而E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，BC →＝(0，2，0)，因此EF →·BC→＝0. 从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .(2)平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)． 设平面BEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )． 又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0得其中一个n 2＝(1，－3，1)．设二面角E -BF -C 大小为θ，且由题意知θ为锐角， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝15. 因此sin θ＝25＝255，即所求二面角的正弦值为255.3、．解：以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a ，0，0)，B (2a ，2a ，0)，C (0，2a ，0)，D 1(0，0，a )，F (a ，0，0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)因为AB 1→＝(－a ，a ，a )，DD 1→＝(0，0，a )， 所以|cos 〈AB 1→，DD 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·DD 1→|AB 1→||DD 1→|＝33，所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)证明：因为BB 1→＝(－a ，－a ，a )，BC →＝(－2a ，0，0)，FB 1→＝(0，a ，a )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧FB 1→·BB 1→＝0，FB 1→·BC →＝0，所以FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC . 因为BB 1∩BC ＝B ， 所以FB 1⊥平面BCC 1B 1.(3)由(2)知，FB 1→为平面BCC 1B 1的一个法向量． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的法向量， 因为CC 1→＝(0，－a ，a )，FC →＝(－a ，2a ，0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·CC 1→＝0，n ·FC →＝0，即⎩⎨⎧－ay 1＋az 1＝0，－ax 1＋2ay 1＝0.令y 1＝1，则n ＝(2，1，1)，所以||cos 〈FB 1→，n 〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪FB 1→·n |FB 1→||n |＝33，因为二面角F -CC 1-B 为锐角， 所以二面角F -CC 1-B 的余弦值为33.4、解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC .又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC . (2)如图，过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ， 由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz . 由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°， 则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1，4，0)，B (－3，4，0)，E (－3，0，0)，D (0，0，3)． 由已知，AB ∥EF ， 所以AB ∥平面EFDC .又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°，从而可得C (－2，0，3)．所以EC→＝(1，0，3)，EB →＝(0，4，0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4，0，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0. 所以可取n ＝(3，0，－3)． 设m 是平面ABCD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0.同理可取m ＝(0，3，4)， 则cos 〈n ，m 〉＝n·m |n ||m |＝－21919.故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.5、解：依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为原点，分别以AD →，BA →，OF →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (－1，－1，0)，C (1，－1，0)，D (1，1，0)，E (－1，－1，2)，F (0，0，2)，G (－1，0，0)．(1)证明：依题意，AD→＝(2，0，0)，AF →＝(1，－1，2)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎨⎧2x ＝0，x －y ＋2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n 1＝(0，2，1)．又EG →＝(0，1，－2)，所以EG →·n 1＝0， 又因为直线EG ⊄平面ADF ， 所以EG ∥平面ADF .(2)易证，OA→＝(－1，1，0)为平面OEF 的一个法向量． 依题意，EF→＝(1，1，0)，CF →＝(－1，1，2)．设n 2＝(x ，y ，z )为平面CEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0，n 2·CF →＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0.不妨设x ＝1，可得n 2＝(1，－1，1)．因此cos 〈OA →，n 2〉＝OA →·n 2|OA →||n 2|＝－63，于是sin 〈OA →，n 2〉＝33.所以，二面角O -EF -C 的正弦值为33.(3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF .因为AF→＝(1，－1，2)，所以AH →＝25AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－25，45，进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35，45，从而BH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，85，45，因此cos 〈BH →，n 2〉＝BH →·n 2|BH →||n 2|＝－721.所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.6、解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)． (1)因为AD ⊥平面PAB ，所以AD→是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)．因为PC→＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0， 即⎩⎨⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0. 令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1.所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量． 从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33， 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)因为BP→＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又CB→＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝ (－λ，－1，2λ)，又DP→＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2.设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时， |cos 〈CQ→，DP →〉|的最大值为31010. 因为y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又因为BP ＝12＋22＝5， 所以BQ ＝25BP ＝255.7、解：(1)证明：由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D .又A 1D ⊂平面A 1DE ，B 1C ⊄平面A 1DE ，于是B 1C ∥平面A 1DE . 又B 1C ⊂平面B 1CD 1，平面A 1DE ∩平面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C .(2)因为四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD 且AA 1＝AB ＝AD ，以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→为x 轴，y 轴和z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D 1(0，1，1)，而E 点为B 1D 1的中点，所以E 点的坐标为(0.5，0.5，1)．设面A 1DE 的法向量为n 1＝(r 1，s 1，t 1)，而该面上向量A 1E →＝(0.5，0.5，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由n 1⊥A 1E →，n 1⊥A 1D →得r 1，s 1，t 1应满足方程组⎩⎨⎧0.5r 1＋0.5s 1＝0，s 1－t 1＝0，因为(－1，1，1)为其一组解，所以可取n 1＝(－1，1，1)．设面A 1B 1CD 的法向量为n 2＝(r 2，s 2，t 2)，而该面上向量A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由此同理可得n 2＝(0，1，1)，所以结合图形知二面角E -A 1D -B 1的余弦值为|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝23×2＝63. 8、解：(1)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，得PC ⊥DE .由CE ＝2，CD ＝DE ＝2得△CDE 为等腰直角三角形，故CD ⊥DE .又PC ∩CD ＝C ，所以DE ⊥平面PCD .(2)由(1)知，△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝π4.如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF ＝FC ＝FE ＝1.又EB ＝1，故FB ＝2.由∠ACB ＝π2得DF ∥AC ，DF AC ＝FB BC ＝23，故AC ＝32DF ＝32.如图，以C 为坐标原点，分别以CA→，CB →，CP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，P (0，0，3)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，E (0，2，0)，D (1，1，0)，ED →＝(1，－1，0)，DP →＝(－1，－1，3)，DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0. 设平面PAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·DP →＝0，n 1·DA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－y 1＋3z 1＝0，12x 1－y 1＝0， 故可取n 1＝(2，1，1)．由(1)可知，DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为ED→， 即n 2＝(1，－1，0)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝36， 故二面角A -PD -C 的余弦值为36.。
利用向量知识求线线角,线面角,二面角的大小
直线和平面所成的角、二面角都是教学大纲和高考考纲要求掌握的，是立体几何的重点内容，也是高考的必考内容.要熟练掌握它们，需要从以下四个方面入手。
一、1个公式公式12cos cos cos q q q =中涉及三个角，q 是指平面的斜线l 与平面内过斜足且不同于射影的直线m 所在所成的角，1q 是指l 与其射影'l 所成的角，2q 是指'l 与m 所成的角.其中210cos 1,.q q q <<<由此可得最小角定理.二、2个定义1.线面角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角（斜线和平面的夹角）.如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么说直线和平面所成的角是零度的角.直线和平面所成的角的取值范围为[0,90]鞍，斜线和平面所成角的取值范围为(0,90)鞍.2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，其中直线、半平面分别叫做二面角的棱和面.一个平面垂直于二面角l a b --的棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA OB 、，O 为垂足，则AOB Ð叫做二面角l a b --的平面角.它决定着二面角的大小.其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.二面角的取值范围为[0,180]鞍.三、3个定理1.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.2.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面.四、4类求法1.几何法求直线和平面的夹角：根据直线和平面所成角的定义，先找出或作出直线在平面内的射影，然后把直线、射影对应的线段放在三角形中进行求解，其中能够寻找到垂直关系用直角三角形求解更佳.2.向量法求直线和平面的夹角：主要适用于图形比较规则，容易建立空间直角坐标系或容易选择空间向量的基底(要求作为基底的三个向量的模及夹角已知)的题目.(1)平面向量法：在斜线上取向量a 和其射影上取向量'a (注意方向，夹角为锐角)，则|'|c o s ,'|||'|a a a a a a ×<>=×，这里a 、'a 形式上在同一个平面内；(2)法向量法：在斜线上取向量a ，并求出平面的法向量n ，所求夹角记为q ，则||sin |cos ,|||||a n a n a n q ×=<>=×，所以||arcsin ||||a n a n q ×=×.需要注意的是，当法向量与坐标平面平行或垂直时，可以直接给出法向量，当法向量与坐标平面不平行也不垂直时，由于法向量不唯一，不妨设横坐标、纵坐标、竖坐标中的某一个坐标为1，而且尽量让1以外的坐标在点乘中与0相乘，这样计算量较小.3.几何法求二面角的大小：(1)定义法(垂面法)：过二面角内的一点作棱的垂面，垂面与二个半平面的交线形成所求平面角. (2)等价定义法：在二面角的棱上取一点(中点等特殊点) ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.(3)三垂线法：先作(或找)出二面角的一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角.(4)射影面积法：利用面积射影公式cos S S q =射投其中 为平面角的大小，特点在于不需要画出平面角，也不需要找出棱，尤其适用于没有画出棱的二面角问题.4.向量法求二面角的大小：图形比较规则，又不容易直接作出平面角的具体顶点时，可采用此法.(1)平面向量法:在棱上取一平面角的顶点，利用向量垂直时点乘等于零，求出平面角顶点的坐标，进而转化为向量夹角问题，此时两个向量形式上在同一个平面内.(2)空间向量法：方法基本同(1)，此时两个向量形式上不在同一个平面内，思维量、运算都小一些，试题更具有一般性.(3)法向量法：建立空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量,，利用公式||||,cos n m ⋅>=<.另外：证明两个平面垂直的关键是面面垂直转化为线面垂直；两个平面垂直的性质应用关键是在一个平面内找出两个平面交线的垂线.利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
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空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
① 建立空间直角坐标系； ② 求出所需各点的坐标； ③ 求出两个平面的法向量； ④ 求出两个法向量的夹角； ⑤ 写出所求二面角的大小。
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
P
M
A
D
B
NC
【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
∴ cosq =
6
3
得 tanq =
2
2
∴
所求面SCD与面SBA所成二面角的正切值是22
【练习2】 已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、 CC1上的点, 且 BE1=2EB, CF=2FC1 .
(1) 求面AEF与面ABC所成二面角的正切值 .
【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.
=
3 3
由条件知,二面角A-CD-E为锐角，∴
所求二面角的余弦值为
3 3
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .
S
B
C
A D
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
P
(1) 证明: ∵ PA⊥底面ABCD, N为BC的中点. ∴ PA⊥AN 又 菱形ABCD, ∠ABC=60O . ∴ AN⊥AD 又 PA∩AD=A , ∴ AN⊥平面PAD
x1+y1- z1=0
y1=-z1
21x1-z1 = 0 得 x1=2z1
B
1
C
1
令z1= 1, 则 n1=(2,-1,1),
A
1 2
D
x
又 BC⊥平面SBA ∴ BC是平面SBA的一个法向量 . ∴ n2=(1,0,0),
∴ cos<n1·n2>=|n1n|1··|nn22| =
2 6×1
=
6
3
设 所求面SCD与面SBA所成二面角的大小为q, 由图形知q是锐角,
空间向量法---求二面角的大小
空间向量法---求二面角的大小
“空间向量法”-求二面角的大小，这个方法 在这几年高考解题中经常被不少考生运用．
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题基本步 骤：
① 建立空间直角坐标系； ② 求出所需各点的坐标； ③ 求出两个平面的法向量； ④ 求出两个法向量的夹角； ⑤ 写出所求二面角的大小。
(4) 设 a =(a1, a2, a3)，b =(b1, b2, b3)，则 a ·b a1b1+a2b2+a3b3
=
(5)
cos<n1·n2 >=
n1·n2 |n1|·|n2|
【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA⊥平面ABCD , AD∥BC∥FE ,
AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD.
(1)求二面角A-CD-E的余弦值.
F
E
A
D
B C
【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA⊥平面ABCD , AD∥BC∥FE ,
AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD.
(1)求二面角A-CD-E的余弦值.
F
E
A
D
Байду номын сангаас
B C
【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA⊥平面ABCD , AD∥BC∥FE ,
11
设AD=2, 则
A 1K 1 D
1
2
y
A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1).
B
设 平面ACD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), x
1C
平面CDE的一个法向量为n2 =(x2,y2,z2),
另外 AF =(0,0,1), CE =(-1,0,1) DE = (0,-1,1)
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .
S
1
B
1
C
1
A
1 2
D
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .
z
S
y
1
B
1
C
1
A
1 2
D
x
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .
(1) 解: 以点A为原点,建立如图的空间直角坐标系 A-xyz,
得:
A(0,0,0),
① 建系； ② 求坐标； ③ 求法向量； ④ 求夹角； ⑤ 得结论。
空间向量法的直角坐标运算的常用公式:
(1) 设 a =(x,y,z)，则 |a|= x2+y2+z2
(2) 设 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则 AB= (x2-x1,y2-y1,z2-z1 )
(3) a b ⇔ a ·b =0
B(0,1,0),C(1,1,0),
S(0,0,1),
D(
1 2
,0,0)
z
设 平面SCD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), S
平面SBA的一个法向量为n2 =(x2,y2,z2),
y
另外
SC =(1,1,
-1)
,
SD
=
(
1 2
,0,-1),
BC =(1,0, 0) ,
1
由 n1 ·SC,得= 0 n1 ·SD = 0
AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD.
(1)求二面角A-CD-E的余弦值.
F1 E
1
A
D
1
2
B 1C
【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA⊥平面ABCD , AD∥BC∥FE ,
AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD.
(1)求二面角A-CD-E的余弦值.
z
F1 E
解：以点A为原点, 建立如图的空间直角坐标系,
又 AF⊥平面ABCD ∴ AF是平面ACD的一个法向量 , ∴ n1=(0,0,1).
由 n2 ·CE,得= 0 n2 ·DE = 0
-x2+z2= 0
x2=z2
得
-y2+z2= 0
y2=z2
令z2= 1, 则 n2=(1,1,1),
∴
cos<n1·n2>=|n1n|1··|nn22|
=
1 1× 3