海明码题目

海明码：通常讨论的海明码，是一种可以纠正一位错的编码。

思路：是利用在k位信息位中增加r位冗余位，构成一个长度n=k+r的码子

编码效率：R=k/(k+r)

海明码生成步骤：

1、根据信息位确定校验位长度

规则：满足公式2r>=k+r+1的最小r就是校验位数，其中k为信息位长度

如：信息位为8位，则校验位满足2r>=8+r+1，可得到最小r=4，也就是说校验位要有4位

2、长度确定就可以求校验位

校验位r n的位置为2n（也就是说都是2的倍数），其余位置由信息位填充

例：上述信息位为8位，得到校验位应为4位，在校验位和信息和按照如下表格确定在最终

I1

I2的位置为5=4+1=22+20

I3的位置为6=4+2=22+21

I4的位置为7=4+2+1=22+21+20

I5的位置为9=8+1=23+20

I6的位置为10=8+2=23+21

I7的位置为11=8+2+1=23+21+20

I8的位置为12=8+4=23+22

r n的值等于上述可被r n校验的各个信息位数据的模二相加之和：

r0=I1+ I2+ I4+ I5+ I7（模二相加）

3、纠错和检错机制

题目：信息位8位的海明码，在接收到报文1100 1010 0000，判断传输是否出错，如果是错误的，求出发送端发送的信息位。

1）根据信息位长，可知道校验位长4

2）根据接收到的报文填充如下的表格

3）由表可知：信息位数据位-11000100 校验位数据-1000

4）根据信息位，结合上面分析的验证关系，可计算出发送端的校验位（模二加法）r’3= I8+ I7+ I6+ I5=1+1+0+0=0

r’2= I8+ I4+ I3+ I2=1+0+1+0=0

r’1= I7+ I6+ I4+ I3 + I1=1+0+0+1=0

r’0= I7+ I5+ I4+ I2+ I1=1+0+0+0+0=1

接收端可根据以下关系验证是否出错（模二加法）

S3= r3+ r’3=1+0=1

S2= r2+ r’2=0+0=0

S1= r1+ r’1=0+0=0

S0= r0+ r’0=0+1=1

最后得到监督位：S3 S2 S1 S0 如果结果全0 表示接收正确，非全0则将之转化为十进制，其对应位置就是出错的信息位，将出错的信息位取反即可得到正确的数据上述结果非全0，二进制为：1001，对应十进制为9，即表明接收到的数据的第9位出错，也就是I5出错，将之由0改为1，可得到发送端信息位为：11010100