拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表1.表A-1 拉氏变换的基本性质2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式11n 1n n n 011m 1m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n 1n 10a ,a ,...,a ,a -，m1m 10b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n 1i iin n i i 2211s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：或式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 =nni i 1r 1r 111r 11r r 1r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： 原函数)(t f 为ts n 1r i i t s 122r 1r 1r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=Λ （F-6）。
Laplace变换表
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(完整版)拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换及反变换1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定一般形式理L[af ( t)] aF (s)L[ f1 (t ) f 2 ( t )] F1 ( s) F2 ( s) L[ df (t ) ] sF (s) f (0)dtL[d 2 f (t) 2f（）dt 2 ] s F (s) sf (0) 0n nd f (t ) n n k ( k 1 )L dt n s F (s) k 1 s f (0) f ( k 1) (t ) d k 1 f (t )dt k 1初始条件为 0 时一般形式3积分定理初始条件为 0 时4延迟定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[d n f (t) ndt n ] s F (s)L[ f (t)dt]F (s) [ f (t)dt] t 0s sL[ f (t)(dt)2 ] F (s)[ f (t )dt]t 0[ f (t)( dt) 2 ] t 0s2 ss2共 n个n共 n个nF (s) 1 nL[ f (t )(dt) ] 1 [ f (t)( dt) ] t 0nk 1 sn ks共 n个F (s)L[ f (t )( dt) n ]s nL[ f (t T )] e Ts F ( s)L[ f ( t)e at ] F (s a)lim f (t ) lim sF (s)t s0lim f (t ) lim sF ( s)t 0 st 1 ( ) 2 ( ) ] [ t 1 ( ) 2 ( ) ] 1() 2()[ f d L f f t dL f t t F s F s0 012．表 A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表拉氏变换E(s)111 e Ts1s12s13s1s n 11s a1( s a) 2as( s a)b a( s a)(s b)s2 2ss2 2( s a) 2 2s a( s a)2 21s (1 / T ) ln a 时间函数 e(t)δ(t)T (t )(t nT )n01(t )tt 22ntn!e atte at1 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos ta t / T23．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
拉普拉斯变换表word版本
拉普拉斯变换表附录A 拉普拉斯变换及反变换收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ （F-1） 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c is s i i-=→ （F-2） 或is s i s As B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A'为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝t s n i i ie c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11nr rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()(收集于网络，如有侵权请联系管理员删除式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c rs s r -=→ )]()([lim 111s F s s dsd c rs s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c rj j s s j r -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c rr r s s --=--→ 原函数)(t f 为[])()(1s F L t f -= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr ii t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
拉普拉斯变换表-互联网类
拉普拉斯变换表－互联网类关键信息项：1、拉普拉斯变换的定义和基本原理2、常见函数的拉普拉斯变换公式3、拉普拉斯变换的性质4、逆拉普拉斯变换的方法5、拉普拉斯变换在互联网领域中的应用场景6、协议的生效日期和有效期限7、协议的更新和修订机制11 拉普拉斯变换的定义和基本原理拉普拉斯变换是一种数学变换，用于将时域函数转换为复频域函数。
其定义为对于函数 f(t)，其拉普拉斯变换 F(s) 定义为：＼F(s) ＝＼int_0^＼infty f(t) e^｛st} dt\其中，s ＝σ ＋jω 是复变量，σ 为实部，ω 为虚部。
111 拉普拉斯变换的目的在于将微分方程转化为代数方程，从而简化系统的分析和设计。
12 常见函数的拉普拉斯变换公式以下是一些常见函数的拉普拉斯变换：单位阶跃函数 u(t) 的拉普拉斯变换为 1/s。
指数函数 e^at 的拉普拉斯变换为 1/（s a)。
正弦函数sin(ωt) 的拉普拉斯变换为ω/（s^2 ＋ω^2)。
余弦函数cos(ωt) 的拉普拉斯变换为 s/（s^2 ＋ω^2)。
121 更多复杂函数的拉普拉斯变换可以通过基本函数的组合和性质推导得出。
13 拉普拉斯变换的性质包括线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、卷积性质等。
131 线性性质：若 Lf1(t) ＝ F1(s)，Lf2(t) ＝ F2(s)，则对于任意常数a，b，有 Laf1(t) ＋ bf2(t) ＝ aF1(s) ＋ bF2(s)。
132 微分性质：若 Lf(t) ＝ F(s)，则 Lf'（t) ＝ sF(s) f(0)。
133 积分性质：若 Lf(t) ＝ F(s)，且 f(t) 在 t ＝ 0 处连续，则L∫f(t)dt ＝ F(s)／s ＋ f^（－1)（0)／s。
134 位移性质：若 Lf(t) ＝ F(s)，则 Le^at f(t) ＝ F(s a)。
135 卷积性质：若 Lf1(t) ＝ F1(s)，Lf2(t) ＝ F2(s)，则 Lf1(t) f2(t) ＝F1(s)F2(s)。
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式11n 1n nn11m 1m mmas a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- （m n >）式中系数n1n 1a ,a ,...,a ,a-，m1m 1b ,b ,b ,b - 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n1i iinnii2211ss cs s c s s c s s c s s c )s (F 式中，Sn 2S 1S ，，， 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c is s i-=→或is s i)s (A )s (B c='=式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]t s n 1i i n 1i i i 11i e c s s cL )s (F L )t (f -==--∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())s s ()s s ()s s ()s (B s F n1r r 1---=+=nnii1r 1r 111r 11r r 1rss cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)s (F )s s (lim c r1s s r-=→)]s (F )s s ([dsdlim c -=)s (F )s s (dsd lim !j 1c -=)s (F )s s (dsdlim )!1r (1c --=原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=s s cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c L e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-= （F-6）。
拉普拉斯变换及Z变换表
式中， s1 为 F(s)的 r 重根， sr 1 ，…, s n 为 F(s)的 n-r 个单根； 其中， c r 1 ，…, cn 仍按式(F-2)或(F-3)计算， cr ， cr 1 ，…, c1 则按下式计算：
c r lim ( s s1 ) r F ( s )
s s1
c r 1 lim
z 2 ze aT cos T z 2 ze aT cos T e 2 aT
2
sa (s a) 2 2
1 s (1 / T ) ln a
z za
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行 反变换。设 F ( s ) 是 s 的有理真分式
1 s2
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Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1)3
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F (s)
B ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 A( s ) a n s n a n 1 s n 1 中系数 a 0 , a1 ,..., a n 1 , a n ， b0 , b1 , bm 1 , bm 都是实常数； m , n 是正整数。按代数定理可 将 F ( s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ①
表a2常用函数的拉氏变换和z变换表拉氏变换es时间函数et42112用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开然后逐项查表进行反变换
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换的基本性质
由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域(即s域)中的推广，因而也具有与傅里叶变换的性质相应的一些性质。
这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系，利用这些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。
关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1中列出。
对于这些性质，由于读者在工程数学课中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复习有关的工程数学书籍。
表5-1 拉普拉斯变换的基本性质
利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数的拉
普拉斯变换式，如表5-2中所列。
利用此表可以方便地查出待求的像函数
或原函数
表5-2 拉普拉斯变换表
()()t U t f ()s F ()t f。
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
完整版拉普拉斯变换表
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是探究信号和系统之间关系的重要工具，它在工程和科学领域中得到广泛应用。
本文将为读者详细介绍完整的拉普拉斯变换表，并讨论其应用。
拉普拉斯变换表如下所示：1. 常数函数L{1} = 1/s2. 单位阶跃函数L{u(t)} = 1/s3. 单位冲激函数L{δ(t)} = 14. 指数函数L{e^at} = 1/(s-a)5. 正弦函数L{sin(ωt)} = ω/(s^2+ω^2)6. 余弦函数L{cos(ωt)} = s/(s^2+ω^2)7. 常数乘以函数L{c*f(t)} = c*F(s)8. 函数相加L{f(t)+g(t)} = F(s) + G(s)9. 函数乘以指数L{e^at*f(t)} = F(s-a)10. 函数的积分L{∫f(t)dt} = F(s)/s11. 函数的导数L{df(t)/dt} = sF(s)-f(0)12. 积分的拉普拉斯变换L{∫F(s)ds} = f(t)13. 周延函数L{f(t)} = F(s)|s=jω14. 高斯函数L{e^(-a^2t^2)} = √π/a*e^(-(s^2)/(4a^2))15. 狄利克雷函数L{D(t-a)} = e^(-as)16. 波尔图-特拉潘函数L{e^(-as)/s} = 1/(s+a)拉普拉斯变换表是通过将函数从时间域转换到复频域来描述信号的性质。
每个函数在拉普拉斯域中都具有一个对应的表达式，使得我们可以分析和处理各种复杂的信号和系统。
接下来，我们将讨论拉普拉斯变换的一些应用。
1. 系统分析拉普拉斯变换可用于对线性时不变（LTI）系统进行分析。
通过将输入信号和系统的响应转换到拉普拉斯域，我们可以通过观察系统函数的性质来预测系统的输出。
这对于控制系统和信号处理中的滤波器设计非常有用。
2. 解决微分方程拉普拉斯变换也可用于求解线性常微分方程（ODEs）。
通过将微分方程转换为代数方程，我们可以通过求解代数方程得到原始微分方程的解。
拉普拉斯反变换公式表
拉普拉斯反变换公式表在数学中，拉普拉斯变换和反变换是常常被用到的数学工具。
它们是将时间域中的函数转变为复平面上的函数，并在解决微分方程、信号分析等领域中发挥着至关重要的作用。
其中，拉普拉斯反变换作为将复平面上的函数转变成时间域中的函数的数学工具，更是无法被替代的。
下面是拉普拉斯反变换公式表：1. $L^{-1}\{\frac{1}{s-a}\}=e^{at}$这是最基本的拉普拉斯反变换公式，其中$a$为一个实数。
2. $L^{-1}\{\frac{1}{(s-a)^n}\}=\frac{t^{n-1}e^{at}}{(n-1)!}$这也是一个经典的公式，其中$n$为一个正整数，$a$为一个实数。
3. $L^{-1}\{\frac{1}{s^2+a^2}\}=\frac{1}{a}sin(at)$这是一个很有用的公式，它与振动系统有关。
其中$a$为一个正实数。
4. $L^{-1}\{\frac{s}{s^2+a^2}\}=cos(at)$这是由公式3导出的，是一个很有用的公式。
5. $L^{-1}\{\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\}=sin(\omega t)$这是一个与谐振子有关的公式，其中$\omega$为一个正实数。
6. $L^{-1}\{\frac{1}{s(s^2+\omega^2)}\}=\frac{1}{\omega}cos(\omega t)-\frac{1}{\omega^2}sin(\omega t)$这是一个由公式4和公式5导出的公式，也与谐振子有关。
7. $L^{-1}\{\frac{1}{s^2-b^2}\}=\frac{1}{2b}e^{bt}sinh(bt)$这是一个与阻尼振动系统有关的公式，其中$b$为一个正实数。
8. $L^{-1}\{\frac{1}{s(s^2-b^2)}\}=\frac{1}{2b}e^{bt}\left(cos(b t)-sinh(b t)\right)$这是一个由公式4和公式7导出的公式，也与阻尼振动系统相关。
(完整版)拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质12．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni iin n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ （F-1）式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2） 或is s i s A s B c ='=)()(（F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts ni i i e c -=∑1(F-4)4② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r r s s s s s s s B s F ---=+Λ=n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r ss r -=→ )]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
完整版拉普拉斯变换表
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它能将时间域上的函数转换为频率域上的函数，为信号处理、电路分析等领域的数学建模和分析提供了极大的便利。
下面是完整版的拉普拉斯变换表，列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式。
1. 常数函数：f(t) = 1，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s2. 单位阶跃函数：f(t) = u(t)，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s3. 指数函数：f(t) = e^-at，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/(s + a)4. 正弦函数：f(t) = sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/(s^2 + ω^2)5. 余弦函数：f(t) = cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = s/(s^2 + ω^2)6. 指数衰减正弦函数：f(t) = e^-at sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+a)^2 + ω^2 )7. 指数衰减余弦函数：f(t) = e^-at cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+a)/( (s+a)^2 + ω^2 )8. 阻尼正弦函数：f(t) = e^-αt sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+α)^2 + ω^2 )9. 阻尼余弦函数：f(t) = e^-αt cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+α)/( (s+α)^2 + ω^2 )10. 给定函数f(t)的导数Laplace变换：f'(t) 的Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= s*F(s) - f(0)11. 给定函数f(t)的不定积分Laplace变换：∫f(t)dt 的 Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= 1/s*F(s)12. Laplace变换与乘法定理：L{f(t) g(t)} = F(s)G(s)13. Laplace变换与移位定理：L{f(t-a) u(t-a)} = e^-as F(s)14. Laplace变换与初值定理：f(0+) = lims→∞ sF(s)f'(0+) = lims→∞ s^2F(s) - sf(0+)f''(0+) = lims→∞ s^3F(s) - s^2f(0+) - sf'(0+)15. Laplace变换与终值定理：limt→∞ f(t) = lims→0 sF(s)limt→∞ f'(t) = lims→0 s^2F(s) - sf(0+)limt→∞ f''(t) = lims→0 s^3F(s) - s^2f(0+) -sf'(0+)这是完整版的拉普拉斯变换表，其中列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式，以及常见的拉普拉斯变换定理和公式。
拉式变化公式表
拉式变化公式表拉普拉斯变换（Laplace Transform）公式表：一、基本函数的拉普拉斯变换。
1. 单位阶跃函数。
- 函数定义：u(t)=0, t < 0 1, t≥0- 拉普拉斯变换：L[u(t)]=(1)/(s), Re(s)>02. 冲激函数（狄拉克δ函数）- 函数定义：δ(t)，满足∫_-∞^∞δ(t)dt = 1且δ(t)=0 for t≠0 - 拉普拉斯变换：L[δ(t)] = 13. 指数函数。
- 函数定义：f(t)=e^at，其中a为常数。
- 拉普拉斯变换：L[e^at]=(1)/(s - a), Re(s)>a4. 正弦函数。
- 函数定义：f(t)=sin(ω t)，其中ω为角频率。
- 拉普拉斯变换：L[sin(ω t)]=(ω)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0 5. 余弦函数。
- 函数定义：f(t)=cos(ω t)- 拉普拉斯变换：L[cos(ω t)]=(s)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0二、拉普拉斯变换的性质。
1. 线性性质。
- 若L[f_1(t)] = F_1(s)，L[f_2(t)]=F_2(s)，则对于任意常数a和b，L[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(s)+bF_2(s)2. 时移性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(t - t_0)u(t - t_0)]=e^-st_0F(s)，其中t_0>03. 频移性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[e^atf(t)]=F(s - a)4. 尺度变换性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(at)]=(1)/(a)F((s)/(a))，a>05. 微分性质。
- 一阶导数：若L[f(t)] = F(s)，则L[f^′(t)]=sF(s)-f(0)- 二阶导数：L[f^′′(t)] = s^2F(s)-sf(0)-f^′(0)- 一般地，n阶导数：L[f^(n)(t)]=s^nF(s)-s^n - 1f(0)-s^n - 2f^′(0)-·s - f^(n - 1)(0)6. 积分性质。
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表.doc
拉普拉斯变换及其反变换表1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定理一般形式初始条件为0 时L [ af ( t )] aF ( s )L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s )L [df ( t )sF ( s ) f ( 0 )dt ]d2f 2 ( t )L [dt] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f （0 ）L dnf n ( t ) s n F ( s )ns n k f ( k 1 ) ( 0 )kdt 1f ( k 1 ) ( t )d k1 f ( t )dt k 1L [d nf n ( t ) ] s n F ( s )dt一般形式3积分定理L[ f (t )dt] F (s)[f (t )dt]t 0s s2F (s) [ f (t)dt]t 0 [L[ f (t)( dt) ] s2 s2共n个n共 n个nF (s) 1L[ f (t)(dt) ] [s n k 1 s n k 1共n个2f (t )(dt) ]t 0f (t)(dt)n ]t 0初始条件为0 时4延迟定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[ f ( t)( dt) n ] F ( s)s nL[ f (t T )1(t T )] e Ts F ( s)L[ f (t )e at ] F ( s a)lim f ( t) lim sF ( s)t s 0lim f (t ) lim sF (s)t 0 stf1(t ) f2 ( )d ]tL[ L[ f1(t) f2 (t )d ] F1 (s)F2 (s)0 02．表 A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表序号1 2 3 4 5 6 7 拉氏变换F(s)111 e Ts1s12s13s1s n 11s a时间函数f(t)δ(t)T (t)(t nT )n 01(t )tt 22t nn!e atZ 变换 F(z)1zz 1zz 1Tz(z 1)2T 2 z(z 1)2(z 1) 3lim( 1) n nzn ( aT)a 0 n! a z ezaTz eaT8 1( s a) 2 te at Tze( z e aT )2aT91011121314as(s a)b a(s a)(s b)s2 2ss2 2(s a)2 2s a(s a)2 211 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos t(1 e ) z(z 1)( z e aT )z zz e aT z e bTz sin Tz2 2zcos T 1z( z cos T )z2 2 zcos T 1ze aT sin Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz2 ze aT cos Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz15 s (1 / T ) ln a a t / Tz a3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
拉普拉斯变换表及一些性质
4194204213． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数422[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4) ② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。
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419
附录A 拉普拉斯变换及反变换
1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1
线性定理
齐次性 [()]()L af t aF s =
叠加性
1212[()()]()()L f t f t F s F s ±=±
2
微分定理
一般形式
=
-=][ '- -=-=----=-∑1
1
)1()
1(1
22
2)
()()
0()()(0)0()(])([)0()(])
([
k k k k n
k k n n n
n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时
)(])([s F s dt
t f d L n n
n =
3
积分定理
一般形式
∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=+
+=+=
n
k t n n k n n n
n t t t dt t f s s s F dt t f L s
dt t f s dt t f s s F dt t f L s
dt t f s s F dt t f L 10
102
2022
]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个
共个
共
初始条件为0时
n n n s
s F dt t f L )
(]))(([=⎰⎰个
共
4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=--
5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-
6 终值定理 )(lim )(lim 0
s sF t f s t →∞
→=
7 初值定理
)(lim )(lim 0
s sF t f s t ∞
→→=
420
8 卷积定理
1212120
[()()][()()]()()t t
L f t f d L f t f t d F s F s τττττ-=-=⎰⎰
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序
号 拉氏变换E(s)
时间函数e(t) Z 变换E(z)
1 1
δ(t)
1 2 Ts
e --11
∑∞
=-=0
)()(n T nT t t δδ
1
-z z 3 s
1 )(1t
1
-z z 4 21s
t
2
)1(-z Tz
5 3
1s 2
2t
3
2
)1(2)1(-+z z z T
6 11+n s
!n t n
)(!)1(lim 0aT n n n a e
z z a n -→-∂∂- 7 a
s +1 at e -
aT
e z z
-- 8 2
)(1a s +
at
te
- 2
)(aT aT e z Tze ---
9 )
(a s s a
+ at
e
--1
)
)(1()1(aT aT e z z z e ----- 10 )
)((b s a s a
b ++-
bt at e e ---
bT
aT e z z
e z z ----- 11 2
2ωω
+s t ωsin
2
sin 2cos 1
z T
z z T ωω-+ 12 2
2ω+s s t ωcos
1
cos 2)cos (2
+--T z z T z z ωω 13 2
2
)(ω
ω
++a s t e at ωsin - aT
aT aT e T ze z T
ze 22cos 2sin ---+-ωω 14
2
2)(ω+++a s a s
t e
at
ωcos -
aT
aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω
421
15
a
T s ln )/1(1- T t a /
a
z z - 3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式
11
10
111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将
)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)
(=s A 无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n
i i
i
n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122
11)( （F-1）
式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i
-=→ （F-2）
或
i
s
s i s A s B c ='=
)()
( （F-3）
式中，
)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11
1
)()(＝t
s n i i i
e c -=∑1
(F-4)
② 0)
(=s A 有重根
设0)
(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
())
()()()
(11n r r
s s s s s s s B s F ---=
+
422
=
n
n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+
+-++-+-++-+-++-- 11
111111)()()(
式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：
)()(lim 11
s F s s c r s s r -=→
)]()([lim
111
s F s s ds
d
c r s s r -=→-
)()(lim !11)()
(1s F s s ds
d j c r j j s s j
r -=→- (F-5)
)()(lim )!1(11)1()
1(11s F s s ds
d r c r r r s s --=--→
原函数)(t f 为
[])()(1s F L t f -=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11
111
1111)()()
( t s n
r i i t s r r r r i
e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-+-=112211
1
)!2()!1( （F-6）。