圆周运动及其应用
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【答案】 AB
练习1.如图a、b、c质量分别2m、m、m三物体放在 旋转的水平台上,它们与台的动摩擦因数同,知ab 距轴R,C距轴2R.当圆台转动时,三物体均沿台打滑 (fmax=fμ)则( AB )
A.C的a向最大
C.a的a向最大
B.b受的f最小
D.c的f最小。 2.a=rω2.
a b c
分析:1.同轴转动ω 同
分析:车停瞬间,V不发生突变,由于惯性 以V大小做圆周运动。 解:受力如图 T v mg
由牛顿第二定律:F合=F向。
T-mg= 所以T=
m v
2
r
处理圆周的一般步骤:
(1)确定研究对象,找出运动轨迹和圆心
(2)正确分析受力 (3)建立直角坐标系,常以质点所在位置为圆心,沿半径指圆 心为x轴,垂直运动平面或v的方向为y轴。 (4)用牛二定律及平衡条件列方程 垂直运动平面方向合外力为0 指向圆心方向合外力为向心力 即Fy=0 Fx=F向。
圆周切线方向 飞出去的倾向。
供多近心
2.受力特点(如图所示) (1)当F= mrω2 时,物体做匀速圆周运动;
ห้องสมุดไป่ตู้
供少离心
(2)当F=0时,物体沿切线方向飞出; (3)当F<
2 mrω时,物体逐渐远离圆心,F为实际
提供的向心力。 (4)当F>mrω2时,物体逐渐向 圆心 靠近。
圆周运动和动能定理
3. 如右图所示,一物体沿光滑球面下滑,在最高点时速度为 2 m/s,球面半径为1 m,求当物体下滑到什么位置时开始脱离 球面?(g=10 m/s2)
(2)分析此时物块受力如右图所示 由牛顿第二定律有 mgtan θ=mrω2。 H R 其中 tan θ= ,r= , 2 R 2gH 可得 ω= 。 R
mgH 【答案】 (1) H2+R2
mgR H2+R2
2gH (2) R
2. (2011·杭州模拟)如右图所示,一个内壁光滑的圆锥筒的轴 线垂直于水平面,圆锥筒固定不动,有两个质量相同的小球 A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运
3.摩擦力提供向心力:f=F向=mrω2=ma
随ω 的增大,谁先滑动? a供=a需,稳定圆周。 a供<a需,离心圆周。 a供>a需,近心圆周。
所以c先滑动。
物理模型
轻绳模型 常见 类型 过最高 点的临 界条件
竖直面内圆周运动问题
轻杆模型
v2 由 mg=m 得 v 临= gr r (1)过最高点时,v≥ gr,FN v2 +mg=m ,绳、轨道对球产 r 生弹力 FN。 (2)当 v< gr时,不能过最高 点, 在到达最高点前小球已经 脱离了圆轨道 取竖直向下为正方向
)
【解析】 物体做匀速圆周运动时线速度大小恒定,所以相等的时 间内通过的路程相等,但位移的方向是不相同的,故A对,C错;
虽然加速度大小是不变化的,但方向是不断变化的,相等的时间
内速度的变化量大小是相等的,但方向不相同,所以相等时间内 速度的变化量不相等,故B错;由于做匀速圆周运动的物体的角速 度是恒定的,所以相等的时间内转过的角度是相等的,故D对。 【答案】 AD
【解析】 设物体下滑到某点的半径与竖直半径成θ角时,开 始脱离球面。设开始脱离时的速度为v。
1 2 1 2 由动能定理得: mv - mv0=mgr(1-cos θ)① 2 2 脱离球面时,重力沿圆半径方向的分力等于需要的向心力。 v2 球面对物体的支持力为 0 即 N=0 所以 m =mgcos θ② r 4 由①②式可得:cos θ= ,θ=37 ° 5
第三节 圆周运动及其应用
一:匀速圆周运动 1.定义:任意相等的时间内通过的弧长相等。 1)运动特征:速度大小不变,方向时刻变化。
2)运动性质:变速运动(变速曲线运动)。非匀变曲线运动。
3)受力特点:合外力大小不变,方向时刻变化。 F合⊥V,方向指圆心。变力。 即不改变V大小,只改变V方向。
二、描述圆周运动的物理量及其相互关系
如下图所示,一个竖直放置的圆锥筒可绕其中 心轴OO′转动,筒内壁粗糙,筒口半径和筒高分别为R和 H,筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的 小物块。求
(1)当筒不转动时,物块静止在 筒壁A点受到的摩擦力和支持 力的大小; (2)当物块在A点随筒匀速转动,且其受到的摩擦力为零时, 筒转动的角速度。 【解题切点】 对物块进行受力分析,分别根据共点力平衡 和圆周运动所需向心力利用正交分解列方程求解。
V F向 F合=F向 F合只提供F向。 只改变V方向,不 改变V大小 F合 V F合 F切 F向
V F切 F合提供F向只改变V方向,F切只改变V大 小。
2.小球质量为m,用长为L的悬线固定在O点,在O点正下方 L/2处有一光滑 圆钉C(如右图所示)。今把小球拉到悬线呈水平后无初速地释放,当悬线呈竖 直状态且与钉相碰时( ) A.小球的速度突然增大 C.小球的向心加速度不变 B.小球的向心加速度突然增大 D.悬线的拉力突然增大
【解析】 开始球绕O点做圆周运动,当悬线与钉子相碰后, 球绕C点做圆周运动,球的转动半径突然变小,而速度大小 v2 并没有发生突变,由 an= r 得,小球的向心加速度突然变 大,悬线的拉力F=mg+man,所以拉力突然变大。
故B、D正确。
【答案】 BD
四、离心运动
1.本质:做圆周运动的物体,由于本身的惯性,总有沿着
CD
分析:1.va=vc,ω b=ω c,v=rω . ∴vc=2vb. ωa=2ωc.
2.aa=va2/r,ad=vd2/4r,而ωd=ωc.则vd=2vc. ∴D正确
1. 对于做匀速圆周运动的物体,下面说法正确的是( A.相等的时间里通过的路程相等 B.相等的时间里速度变化量相等 C.相等的时间里发生的位移相同 D.相等的时间里转过的角度相等
【解题切点】 对于杆类问题在最高点时,既可产生支持 力,又可产生拉力。
【解析】 设小球以速率 v0 通过最高点时, v2 0 球对杆的作用力恰好为零,即 mg=m ,得 L
v0= gL= 10×0.50 m/s= 5 m/s。 由于 v=2.0 m/s< 5 m/s,可知过最高点时, 球对细杆产生压力。如右图所示,为小球的受力情况图。 v2 由牛顿第二定律 mg-FN=m ,得 L
【解析】 (1)物块静止时,对物块进行受力分析如图所示,
设筒壁与水平面的夹角为θ。 由平衡条件有 Ff=mgsin θ FN=mgcos θ
由图中几何关系有 R H cos θ= 2 ,sin θ= 2 R +H2 R +H2
mgH mgR 故有 Ff= 2 ,FN= 2 2 R +H R +H2
讨论 分析
在最高 点的 FN-v2 图线
长度为L=0.50 m的轻质细杆OA,A端有一质量为m=3.0 kg的小 球,如右图所示,小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动,通过最 高点时小球的速率是2.0 m/s,g取10 m/s2,则此时细杆OA受到( )
A.6.0 N的拉力 C.24 N的拉力 B.6.0 N的压力 D.24 N的压力
【解析】 物体 A 经过 Q 点时,其受力情况如图所示。 由牛顿第二定律得: v2 mg+FN=m R 物体 A 刚好过 Q 点时有 FN=0 解得 v= gR=4 m/s 对物体从 L 到 Q 全过程,由动能定理得 1 FxLM-2mgR= mv2 2 解得 F=8 N。
【答案】 8 N
1.汽车起重机用2m长的缆绳吊着1t的重物,以2m/s速度水平 行驶,若突然刹车,求此瞬间绳的拉力。
【答案】 当物体下滑到圆上某点时的半径与竖直半径成37°角时
圆周运动中的动力学问题分析
1.向心力的来源:向心力是按力的作用效果命名的,可以是
重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的合力或某个
力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加向心力。 2.向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的位置。
描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、 转速、向心加速度、向心力等,现比较如下表:
定义、意义 (1)描述做圆周运动的物体运动 ① 快慢 的物理量(v) (2)是矢量,方向和半径垂直,和圆 周② 相切 (1)描述物体绕圆心③ 转动快慢 的 物理量(ω) (2)中学不研究其方向 公式、单位 Δl 2πr (1)v= = Δt T (2)单位:m/s
三:同轴转动角速度相等,皮带(齿轮)传动线速度相等。 固定在同一转轴上的转动的物体各点的角速度相等。 不打滑的皮带传动,皮带轮缘各处的线速度相等。
例.如右图所示为一皮带传动装置,右轮的半径为r,a是它边缘上的一点, 左侧是一轮轴,大轮的半径为4r,小轮的半径为2r,b点在小轮上,到小轮 中心的距离为r,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在转动过程中, 皮带不打滑,则( ) A.a点与b点的线速度大小相等 B.a点与b点的角速度大小相等 C.a点与c点的线速度大小相等 D.a点与d点的向心加速度大小相等
由小球能运动即可得 v 临 =0 (1)当 v=0 时, N=mg, N 为支持力, F F 沿半径背离圆心。 v2 (2)当 0<v< gr时, N+mg=m , -F r FN 背离圆心,随 v 的增大而减小。 (3)当 v= gr时,FN=0。 v2 (4)当 v> gr时,FN+mg=m ,FN r 指向圆心并随 v 的增大而增大 取竖直向下为正方向
动,则(
)
A.球A的线速度必定大于球B的线速度 B.球A的角速度必定小于球B的角速度
C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
【解析】 对 A、B 两球受力分析如图, 得:FN=mg/sin θ,故 D 错误;
v2 2π F 合 =mgcot θ=FA 向心=FB 向心=m =mrω2=mr( )2 r T 分析得 r 大,v 一定大,ω 一定小,T 一定大, 故 A、B 正确,C 错误。
三、匀速圆周运动与非匀速圆周运动两种运动的比较
项目 定义 运动 特点 向心力 匀速圆周运动 线速度⑭ 大小不变 的 圆周运动 F 向、a 向、v 均大小不变, 方向变化,ω 不变 F 向=F 合 非匀速圆周运动 线速度大小⑮ 不断变化 的 圆周运动 F 向、a 向、v 大小、方向均发 生变化,ω 发生变化 由 F 合沿半径方向的分力提 供
(2)分析物体的受力情况,找出所有的力沿半径方向指向圆心 的合力,该力就是向心力。
3.解决圆周运动问题的主要步骤 (1)审清题意,确定研究对象; (2)分析物体的运动情况,即物体的线速度、角速度、周期 、轨道平面、圆心、半径等; (3)分析物体的受力情况,画出受力示意图,确定向心力的 来源; (4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程; (5)求解、讨论。
2π Δθ (1)ω= =④ T Δt (2)单位:rad/s
线速度
矢量
角速度
标量
周期 和转速
(1)周期是物体沿圆周运动 ⑤ 一圈 的时间(T) (2)转速 是物 体在 单位 时间 内转 过 的⑥ 圈数 (n),也叫频率(f)
2πr ;单位:s v (2)n 的单位 r/s、r/min (3)f 的单位:Hz, 1 f= T (1)T=
向心 加速度
向心力
相互关系
(1)描述速度⑦ 方向 变化⑧ 快慢 的 v2 (1)an= =ω2r r 物理量(an) (2)单位:m/s2 (2)方向指向⑨ 圆心 (1)作用效果是产生向心加速度,只 2 2 2r =mv =m4π r 改变线速度的⑩ 方向 , 不改变线 (1)Fn=⑬ mω r T2 速度的⑪ 大小 (2)单位:N (2)方向指向⑫ 圆心 2πr (1)v=rω= =2πrf 控制变量讨论 T 2 2 v 4π r 其关系 (2)an= =rω2=ωv= 2 =4π2f2r r T v2 4π2r 2 (3)Fn=m =mrω =m 2 =mωv=m4π2f2r r T
2 2 v2 g-v =3.0×(10- 2.0 ) N=6.0 N。 FN=mg-m =m 0.50 L L
【答案】 B
圆周和动能定理。 轻绳模型
3.如图所示,LMPQ是光滑轨道,LM水平,长为5.0 m,MPQ 是一半径为R=1.6 m的半圆,QOM在同一竖直面上,在恒力F作 用下,质量m=1 kg的物体A从L点由静止开始运动,当达到M时 立即停止用力。欲使A刚好能通过Q点,则力F大小为多少? (取g=10 m/s2)