函数过程性概念的发展

函数过程性概念的发展

Development of the Process

Conception of Function

Author(s): Daniel Breidenbach, Ed Dubinsky, Julie Hawks and Devilyna Nichols

一、引言 (4)

二、函数的认识论（研究的理论体系） (5)

三、研究方法及结果分析 (5)

(一) 学校环境的结果 (5)

1. WHAT IS A FUNCTION? (6)

2. EXAMPLES OF FUNCTIONS (6)

(二) 计算机学习的效果 (7)

1. WHAT IS A FUNCTION? (8)

2. EXAMPLES OF FUNCTIONS (8)

3. FUNCTIONS IN SITUATIONS (9)

四、函数教学方案的效果 (10)

在教学治疗完成后，使用三个独立的工具来获得学生的对函数的新概念及其变化。 (10)

(一) 研究工具 (10)

1. SOME QUESTIONS ABOUT FUNCTIONS (10)

2. INTERVIEWS ABOUT FUNCTIONS IN SITUATIONS (10)

3. FINAL EXAM (10)

(二) 研究结果 (11)

1. SOME QUESTIONS ABOUT FUNCTIONS (11)

2. INTERVIEWS ABOUT FUNCTIONS IN SITUATIONS (11)

3. FINAL EXAM (12)

五、结论与启示 (12)

摘要我们在本文中的目标是提出两点。首先，大学生，即使是那些已经参加过相当数量的数学课程的人，对函数概念依然没有很多的了解;其次，我们一直在发展的认识论理论指向了一种使用计算机的指导教学，这导致许多学生学习函数概念实质性改善。他们可以形成一个函数的过程性概念，并能够使用它来解决数学问题。在引言结束之后，我们在第二部分概述了我们的研究所基于的理论体系，并指出它如何适用于函数概念。在第三到五部分中，我们提供了关于这项研究的具体细节，并描述了我们正在考虑的学生中出现的函数过程性概念的发展。在最后一部分中，我们解释研究结果并得出相应的结论。

Abstract Our goal in this paper is to make two points. First, college students, even those who have taken a fair number of mathematics courses, do not have much of an understanding of the function concept; and second, an epistemological theory we have been developing points to an instructional treatment, using computers, that results in substantial improvements for many students. They seem to develop a process conception of function and are able to use it to do mathematics. After an introductory section we outline, in Section 2, our theoretical epistemology in general and indicate how it applies to the function concept in particular. In Sections 3, 4, and 5 we provide specific details on this study and describe the development of the function concept that appeared to take place in the students that we are considering. In Section 6 we interpret the results and draw some conclusions.

一、引言

我们认为，“理解函数概念”，如果它超越仅仅是操纵公式或使用维恩图，必须包括一个过程性的概念。我们希望学生有能力通过构建一个转换（精神）对象的心理过程来解决某种情况。我们不是第一个观察到一个过程性概念不是在我们文化中的人类自发产生的，也不是大量的学校教育就能在这方面有很大的影响。参见Sfard（1987）和Even（1988）所做的研究。我们在第三部分中给出的数据只是更加确认了这个结论。我们在本文中的意图不仅仅是观察和分类学生学习函数的困难，我们试图从理论的角度来解释这些困难，并使用这种解释来设计教学方案。根据我们的理论观点，学生似乎不能达到的一个学习函数主要要求是在他们的头脑中构建过程并使用它们来思考函数问题的能力。我们的研究数据表明，以某种方式使用计算机似乎可以大体上对学生这样的构建能力有所提高。我们展示他们不能在我们的教学指导之前对函数概念有所构建。此外，我们提出这是他们的一种新的学习能力的体现，在教学指导后，他们可以成功地解决大大超过他们现阶段能力水平的数学问题。

我们运用的理论视角来组织和解释从我们的观察中获得的大量数据。我们试图展示一些例子，说明学生如何通过理论分析来建构建概念，我们提出这是因为教学方案侧重于概念的构建。我们认为研究结果支持我们的理论观点。我们在本文中关注的学生，大部分是职前教师，主要是中学，但也有一些小学教师。我们对函数的一些比对这样的学生通常要求或预期更复杂的理解感兴趣。这些包括使用函数来分析合理复杂的情况，用复杂方式执行具有特定功能的操作（例如，用不同的分割域来组合或乘以两个函数），诸如保留属性如1-1的功能的理论问题，以及其域和范围是函数集的函数。最后，我们指出，这不是一个孤立的实验。我们的教学指导和我们所有的观察发生在两个离散数学的班级一学期课程的情况下。有一本教科书，Baxter et al（1988），它支持我们的方法，这门课程已经在不同机构和不同导师的教学中在几个场合有所运用。有大量关于学习函数概念的文献，我们参考Leinhardt et al（1990）进行调查。我们的工作受益于对学生困难的研究，如Thomas（1969），Orton（1970），Herscovics（1982）和Vinner&Dreyfus（1989）；函数概念的分类法，如Lovell（1971）和Dreyfus&Eisenberg（1983）;考虑课程排序，如Buck（1970）和Freudenthal （1982）;理论分析如SfaFd（1987）;由Schoenfeld（1990）等人开发的微观世界，以及多个表示的研究，如Kaput（1987）。我们非常依赖Piaget对函数概念（Piaget，1977）和他的关于函数整体理论的基本研究。他研究从4岁到14岁的学生，并对函数概念、因果关系和他所谓的操作的概念之间的认识论关系感兴趣，主要（但不是唯一地）涉及形式f（x）= ax的非常简单的函数，并试图说明这样的函数如何导致比例的概念。我们的工作与皮亚杰不同，我们关心的是年龄较大的学生，以及教学设计、实施和评估。

我们在这一领域的工作开始于Ayres（1988）与Dubinsky和Lewin（1986）和Dubinsky et al（1989）等人。本研究中的学生主要是二年级和初级数学专业，准备成为高中，中学或小学数学教师。在开始课程之前，他们已经接受了相当数量的本科数学，包括完整的计算序列。他们在数学上的表现可能很平凡。这个课程共有62名学生。