乘法公式的拓展及常见题型整理
乘法公式综合-拓展篇
【答案】a = 2, b = -1 【解析】由已知可得 : a + b - 1 2 + 2a - 2 2 < 1， ∵ a、b 为整数，∴ 0 ≤ a + b - 1 2 + 2a - 2 2 < 1， ∴ a + b - 1 2+ 2a - 2 2= 0， ∴ a = 2，b = -1. 例 2 - 2.已知 a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 8，b - c = 3，求 (b - a) (c - a) 的值.
乘法公式综合拓展
【必记公式】
1.平方差公式：(a + b) (a - b) = a2 - b2；
2.完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2，(a - b)2 = a2 - 2ab + b2；
公式推广：(x1 + x2 +⋯ +xn)2 = x12 + x22 +⋯ +xn2 + 2x1x2 + x1x3 +⋯ +x1xn + x2x3 +⋯ +xn-1xn ； 3.完全立方：(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3，(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3；
4.立方和公式：a + b a2 - ab + b2 = a3 + b3；
5.立方差公式：a - b a2 + ab + b2 = a3 - b3；
6.大立方公式：a3 + b3 + c3 - 3abc = a + b + c a2 + b2 + c2 - ab - bc - + c = 0 时，a3 + b3 + c3 = 3abc；
专题1.3 乘法公式-重难点题型(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题1.3 乘法公式-重难点题型【北师大版】【题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（2021•锦江区校级开学）下列运算正确的是（ ）A ．（x +y ）（﹣y +x ）＝x 2﹣y 2B ．（﹣x +y ）2＝﹣x 2+2xy +y 2C ．（﹣x ﹣y ）2＝﹣x 2﹣2xy ﹣y 2D ．（x +y ）（y ﹣x ）＝x 2﹣y 2【变式1-1】（2021春•龙岗区校级期中）下列关系式中，正确的是（ ）A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2B ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C ．（a +b ）2＝a 2+b 2D ．（﹣a ﹣b ）2＝a 2+2ab +b 2【变式1-2】（2021春•舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．（m +1）（﹣1+m ）B ．（2a +3b ﹣5c ）（2a ﹣3b ﹣5c ）C ．2021×2019D ．（x ﹣3y ）（3y ﹣x ）【变式1-3】（2021春•龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）A ．（2a +b ）（2b ﹣a ）B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a +2b ）C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a +3b ）D ．（13a +1）（―13a ―1）【题型2 完全平方公式（求系数的值）】【例2】（2021春•仪征市期中）若多项式4x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）A．6B．12C．±12D．±6【变式2-1】（2021春•南山区校级期中）如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）A．4B．16C．±4D．±16【变式2-2】（2021春•新城区校级期末）已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 ．【变式2-3】（2021春•邗江区期中）若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝ ．【题型3 完全平方公式的几何背景】【例3】（2021春•兴宾区期末）有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B 并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）A．13B．19C．11D．21【变式3-1】（2021春•芝罘区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（ ）A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【变式3-2】（2021春•岚山区期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ）A．3B．6C．12D．18【变式3-3】（2021春•深圳期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ）A．28B．29C．30D．31【题型4 平方差公式的几何背景】【例4】（2021•庐江县开学）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（ ）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【变式4-1】（2021春•博山区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x【变式4-2】（2021春•洪江市期末）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【变式4-3】（2020春•阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式 ．【题型5 乘法公式（求代数式的值）】【例5（2021春•邗江区校级期末）若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．（1）求（x﹣2）（y+2）的值；（2）求x2﹣xy+y2的值．【变式5-1】（2021•宁波模拟）已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝ ．【变式5-2】（2021春•驿城区期末）已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 ．【变式5-3】（2021春•聊城期末）已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值：（1）ab；（2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．【题型6 乘法公式的综合运算】【例6】（2020秋•东湖区期末）实践与探索如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ．②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【变式6-1】（2021•滦南县二模）【阅读理解】我们知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，所以ab=(a b)24―(a b)24=(a b2)2―(a b2)2．利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．例：51×49=(51492)2―(51492)2=502―12=2500﹣1＝2499．【发现运用】根据阅读解答问题（1）填空：102×98＝ （102982） 2﹣ （102982） 2；（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．【变式6-2】（2021春•平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab=(a b)2(a2b2)2等．根据以上变形解决下列问题：（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ ．（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．【变式6-3】（2021春•滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1： ；方法2： ；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．。
乘法公式的拓展及常见题型整理
乘法公式的拓展及常见题型整理例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。
⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()222a c c b b a -+-+-的值是⑵1=+y x ，则222121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b22+=____________，a b =_________⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a-=++22，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。
⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bdac ，求))((2222d c b a ++例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2(2)ab例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值⑴若499,7322=-=-y x yx ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 ba ba -+的值为 ⑷已知20042005+=x a，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．（四）步步为营例题：3⨯(22+1)⨯(24+1)⨯(28+1)⨯(162+1)6⨯)17(+⨯(72+1)⨯(74+1)⨯(78+1)+1()()()()()224488a b a b a ba bab-++++1)12()12()12()12()12()12(3216842++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+222222122009201020112012-++-+- ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411…⎪⎭⎫⎝⎛-2201011（五）分类配方 例题：已知03410622=++-+n m n m ，求n m +的值。
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题及答案(师)
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题一、知识概述 1、平方差公式 由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a －b . 即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差. 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式 由多项式乘法得到（a±b） ＝a ±2ab＋b2 2 2 2 2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍. 推广形式：（a＋b＋c） ＝a ＋b ＋c ＋2ab＋2bc＋2ca 4、完全平方公式的特征 (a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a－b) ＝a －2ab＋b 都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数 和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． ①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其 中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不 同． ②公式中的 a、b 可以是数，也可以是单项式或多项式． ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算． 5、乘法公式的主要变式 （1）a －b ＝(a＋b)(a－b); （2）(a＋b) －(a－b) ＝4ab; （3）(a＋b) ＋(a－b) ＝2(a ＋b )； （4）a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab （5）a ＋b ＝(a＋b) －3ab(a＋b)． 熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程． 注意：(1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2二、典型例题讲解 例 1、计算： (1)(3a＋2b)(2b－3a)； (2)(x－2y)(－x－2y)；(3) (4)(a＋b＋c)(a－b－c). 解：；(1)原式＝(2b＋3a)(2b－3a) ＝(2b) －(3a) ＝4b －9a2 2 2 2(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x) ＝(－2y) －x ＝4y －x2 2 2 2(3)原式＝＝＝ (4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] ＝a －(b＋c)2 2 2 2＝a －(b ＋2bc＋c ) ＝a －b －2bc－c 例 2、计算： (1)2004 －19962 2 2 2 2 22(2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)． 解：(1)2004 －1996 ＝(2004＋1996)(2004－1996) ＝4000×8＝32000 (2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2 2 2 2＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz （3）(2x＋y－3)(2x－y－3)＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y] ＝(2x－3) －y ＝4x －12x＋9－y ＝4x －y －12x＋9； 例 3、计算： (1)(3x＋4y) ； (3)(2a－b) ；2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)(－3＋2a) ； (4)(－3a－2b)22解：(1)原式＝(3x) ＋2·3x·4y＋(4y) ＝9x ＋24xy＋16y2 2 22(2)原式＝(－3) ＋2·(－3)·2a＋4a ＝4a －12a＋922(3)原式＝(2a) ＋2·2a·(－b)＋(－b) ＝4a －4ab＋b2 222(4)原式＝[－(3a＋2b)] ＝(3a＋2b)2 22＝(3a) ＋2·(3a)·2b＋(2b) ＝9a ＋12ab＋4b2 22例 4、已知 m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）2．例 5、多项式 9x ＋1 加上一个单项式后，使它能够成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ________(填上一个你认为正确的即可)． 分析： 解答时，很多学生只习惯于课本上的完全平方的顺序，认为只有添加中间(两项的乘积的 2 倍)项，即 9x ＋1＋6x＝(3x＋1) 或 9x －6x＋1＝(3x－1) ；但只要从多方面考虑，还会得出2 2 2 2，9x ＋1－1＝9x ＝(3x) ， 9x ＋1－9x ＝12， 所以添加的单项式可以是 6x，22222－6x，，－1，－9x ．2答案：±6x 或 例 6、计算：或－1 或－9x2，并说明结果与 y 的取值是否有关． 解：从上述结果可以看出，结果中不含 y 的项，因此结果与 y 的取值无关． 点评： (1)利用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的 a，哪一项是公式中的 b； (2)通常在各因式中， 相同项在前， 相反项在后， 但有时位置会发生变化， 因此要归纳总结公式的变化， 使之更准确的灵活运用公式． ①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a －b ； ②符号变化：(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b) －a ＝b －a ； ③系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a) －(2b) ＝9a －4b ； ④指数变化：(a ＋b )(a －b )＝(a ) －(b ) ＝a －b ； ⑤连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a ＋b )(a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(a ＋b )＝(a －b )(a ＋b ) ＝a －b ； ⑥逆用公式变化：(a－b＋c) －(a－b－c)2 2 8 8 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 3 3 3 3 3 2 3 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝[(a－b＋c)＋(a－b－c)][(a－b＋c)－(a－b－c)] ＝4c(a－b)． 例 7、已知 ．求 分析：的值．若直接代入求解则十分繁杂。
专题1.3 乘法公式【九大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.3 乘法公式【九大题型】【北师大版】【题型1 乘法公式的基本运算】 (1)【题型2 利用完全平方式确定系数】 (3)【题型3 乘法公式的运算】 (4)【题型4 利用乘法公式求值】 (6)【题型5 利用面积法验证乘法公式】 (7)【题型6 乘法公式的应用】 (9)【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】 (12)【题型8 整式乘法中的新定义问题】 (17)【题型9 整式乘法中的规律探究】 (20)【题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（2022春•青川县期末）下列各式中计算正确的是（ ）A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2【分析】根据平方差公式对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2，故本选项错误；B、应为（﹣a+2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4ab﹣4b2，故本选项错误；C、（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2，正确；D、应为（﹣a﹣2b）（a+2b）＝﹣a2﹣4ab﹣4b2，故本选项错误．故选：C ．【变式1-1】（2022春•六盘水期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）A ．（﹣x +2y ）（x ﹣2y ）B ．（3x ﹣5y ）（﹣3x ﹣5y ）C ．（1﹣5m ）（5m ﹣1）D ．（a +b ）（b +a ）【分析】根据平方差公式的特征：（1）两个两项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A 、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；B 、﹣5y 是相同的项，互为相反项是3x 与﹣3x ，符合平方差公式的要求；C 、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；D 、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算；故选：B ．【变式1-2】（2022春•巴中期末）下列运算正确的是（ ）A ．（x +y ）（y ﹣x ）＝x 2﹣y 2B ．（﹣x +y ）2＝﹣x 2+2xy +y 2C ．（﹣x ﹣y ）2＝﹣x 2﹣2xy ﹣y 2D ．（x +y ）（﹣y +x ）＝x 2﹣y 2【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．【解答】解：A 、结果是y 2﹣x 2，故本选项不符合题意；B 、结果是x 2﹣2xy +y 2，故本选项不符合题意；C 、结果是x 2+2xy +y 2，故本选项不符合题意；D 、结果是x 2﹣y 2，故本选项符合题意.【变式1-3】（2022秋•天心区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）A ．（a ﹣b ）（﹣b ﹣a ）B ．（﹣n 2﹣m 2）（m 2+n 2）C ．(−12p +q)(q +12p)D ．（2x ﹣3y ）（2x +3y ）【分析】A 、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；B 、原式第一个因式提取﹣1变形后利用完全平方公式计算得到结果，符合题意；C 、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；D 、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意．【解答】解：A 、原式＝b 2﹣a 2，本选项不合题意；B 、原式＝﹣（m 2+n 2）2，本选项符合题意；C、原式＝q2−1p2，本选项不合题意；4D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意，故选：B．【题型2 利用完全平方式确定系数】【例2】（2022秋•望城区期末）若二项式x2+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ ）A．1个B．2个C．3个D．5个【分析】本题考查运用完全平方式进行因式分解的能力，式子x2和4分别是x和2的平方，可当作首尾两项，根据完全平方公式可得中间一项为加上或减去x和2的乘积的2倍，即±4x，同时还应看到x2+4加上﹣4或﹣x2或x4后也可分别构成完全平方式，所以可加的单项式共有5个．16等5个．【解答】解：可添加±4x，﹣4，﹣x2或x416故选：D．【变式2-1】（2022•南通模拟）如果多项式x2+2x+k是完全平方式，则常数k的值为（ ）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【分析】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是1，平方即可．【解答】解：∵2x＝2×1•x，∴k＝12＝1，故选A．【变式2-2】（2022秋•青县期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，则常数K的值为（ ）A．0B．﹣5或7C．7D．9【分析】根据完全平方式的定义解决此题．【解答】解：9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2﹣（K﹣1）x+12．∵9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，∴9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2±2•3x•1+12＝（3x）2±6x+12．∴﹣（K﹣1）＝±6．当﹣（K﹣1）＝6时，K＝﹣5．当﹣（K﹣1）＝﹣6时，K＝7．综上：K＝﹣5或7．故选：B ．【变式2-3】（2022秋•崇川区校级月考）（x +a ）（x +b ）+（x +b ）（x +c ）+（x +c ）（x +a ）是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成（ ）A ．a ＜b ＜cB ．（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2＝0C ．c ＜a ＜bD ．a ＝b ≠c【分析】先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3x 2+2（a +b +c ）x +（ab +bc +ac ）＝（a +b +c ）]2，化简有ab +bc +ac ＝a 2+b 2+c 2，那么就有（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2＝0，三个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0，故可求a ＝b ＝c ．故选答案B ．【解答】解：原式＝3x 2+2（a +b +c ）x +（ab +bc +ac ），∵（x +a ）（x +b ）+（x +b ）（x +c ）+（x +c ）（x +a ）是完全平方式，∴3x 2+2（a +b +c ）x +（ab +bc +ac ）＝+a +b +c ）]2，∴ab +bc +ac =13（a +b +c ）2=13（a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ），∴ab +bc +ac ＝a 2+b 2+c 2，∴2（ab +bc +ac ）＝2（a 2+b 2+c 2），即（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2＝0，∴a ﹣b ＝0，b ﹣c ＝0，c ﹣a ＝0，∴a ＝b ＝c ．故选：B ．【题型3 乘法公式的运算】【例3】（2022春•龙胜县期中）计算：（1−152）×（1−162）×（1−172）×…×（1−1992）×（1−11002）的结果是（ ）A ．101200B ．101125C ．101100D ．1100【分析】根据a 2﹣b 2＝（a ﹣b ）（a +b ）展开，中间的数全部约分，只剩下第一个数和最后一个数相乘，从而得出答案．【解答】解：原式＝（1−15）×（1+15）×（1−16）×（1+16）×（1−17）×（1+17）×…×（1−199）×（1+199）×（1−1100）×（1+1100）=45×65×56×76×67×87×⋯×9899×10099×99100×101100=45×101100=101125．故选：B．【变式3-1】（2022秋•碾子山区期末）先化简，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x ＝1，y＝2．【分析】利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．【解答】解：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），＝4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2），＝4x2﹣y2﹣4y2+x2，＝5x2﹣5y2，当x＝1，y＝2时，原式＝5×12﹣5×22＝5﹣20＝﹣15．【变式3-2】（2022春•乳山市期末）用乘法公式进行计算：（1）20192﹣2018×2020；（2）112+13×66+392．【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．【解答】解：（1）20192﹣2018×2020＝20192﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20192﹣（20222﹣1）＝1；（2）112+13×66+392＝112+13×2×3×11+392＝112+2×11×39+392＝（11+39）2＝502＝2500．【变式3-3】（2022春•顺德区校级月考）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（264+1）＝（24﹣1）（24+1）…（264+1）＝…＝（264﹣1）（264+1）＝2128﹣1．【题型4 利用乘法公式求值】【例4】（2022秋•九龙坡区校级期中）若a 2﹣b 2＝16，（a +b ）2＝8，则ab 的值为（ ）A ．−32B ．32C ．﹣6D ．6【分析】根据a 2﹣b 2＝16得到（a +b ）2（a ﹣b ）2＝256，再由（a +b ）2＝8，求出（a ﹣b ）2＝32，最后根据ab 【解答】解：∵a 2﹣b 2＝16，∴（a +b ）（a ﹣b ）＝16，∴（a +b ）2（a ﹣b ）2＝256，∵（a +b ）2＝8，∴（a ﹣b ）2＝32，∴ab ==8−324=−6，故选：C ．【变式4-1】（2022春•姜堰区校级月考）已知4m +n ＝90，2m ﹣3n ＝10，求（m +2n ）2﹣（3m ﹣n ）2的值．【分析】原式利用平方差公式分解，变形后将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵4m +n ＝90，2m ﹣3n ＝10，∴（m +2n ）2﹣（3m ﹣n ）2＝[（m +2n ）+（3m ﹣n ）][（m +2n ）﹣（3m ﹣n ）]＝（4m +n ）（3n ﹣2m ）＝﹣900．【变式4-2】（2022春•双峰县期中）若x 、y 满足x 2+y 2=54，xy =−12，求下列各式的值．（1）（x +y ）2（2）x 4+y 4．【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x 2+y 2=54，xy =−12，∴原式＝x 2+y 2+2xy =54−1=14；（2）∵x 2+y 2=54，xy =−12，∴原式＝（x 2+y 2）2﹣2x 2y 2=2516−12=1716．【变式4-3】（2022春•包河区期中）已知（2022﹣m ）（2022﹣m ）＝2021，那么（2022﹣m ）2+（2022﹣m ）2的值为（ ）A ．4046B ．2023C ．4042D ．4043【分析】利用完全平方公式变形即可．【解答】解：∵（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2，∴a 2+b 2＝（a ﹣b ）2+2ab ．∴（2022﹣m ）2+（2022﹣m ）2＝[（2022﹣m ）﹣（2022﹣m ）]2+2×（2022﹣m ）（2022﹣m ）＝4+2×2021＝4046．故选：A ．【题型5 利用面积法验证乘法公式】【例5】（2022春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2【分析】利用两个图形面积之间的关系进行解答即可．【解答】解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b），图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．【变式5-1】（2022春•乐平市期末）如图所示，两次用不同的方法计算这个图的面积，可验证整式乘法公式是（ ）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】用代数式表示各个部分以及总面积即可得出答案．【解答】解：大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，四个部分的面积分别为a2、ab、ab、b2，由面积之间的关系得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选：C．【变式5-2】（2022春•锦州期末）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（ ）A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9B．（a+3）2＝a2+6a+9C．a（a+3）＝a2+3a D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可．【解答】解：图1中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣32＝a2﹣9，图2是长为a+3，宽为a﹣3的长方形，因此面积为（a+3）（a﹣3），所以有（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故选：D．【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是（ ）A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a）B．x2+2ax＝x（x+2a）C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x）D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）【分析】根据阴影部分面积相等得到恒等式即可．【解答】解：第一幅图阴影部分面积＝（x+a）2﹣a2，第二幅图阴影部分面积＝（x+a+a）x＝x（x+2a），∴（x+a）2﹣a2＝x（x+2a），故选：A．【题型6 乘法公式的应用】【例6】（2022春•榆次区期中）如图1，从边长为（a+5）cm的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）cm 的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（ ）A．9cm2B．（6a﹣9）cm2C．（6a+9）cm2D．（6a+21）cm2【分析】由图形可知长方形的长为两正方形的和，宽为两长方形的差，据此可得答案．【解答】解：根据题意，长方形的面积为[（a+5）+（a+2）][（a+5）﹣（a+2）]＝3（2a+7）＝（6a+21）cm，故选：D．【变式6-1】（2022秋•西峰区期末）如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．【分析】设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，所以正方形MFNP的面积为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝900．【解答】解：）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．【变式6-2】（2022春•湖州期末）如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（ ）A．16B．14C．12D．10【分析】设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，根据图形及已知条件可将③长方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为16及大长方形的面积为100，得出x2与y2的数量关系，然后解得y2即可．【解答】解：设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，则标号为③的长方形长为（x+y），宽为（x﹣y），∵每个小长方形③的面积均为16，∴（x+y）（x﹣y）＝16，∴x2﹣y2＝16，∴x2＝16+y2∵大长方形的长等于标号为③的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为③的小长方形的宽与标号为①的正方形的边长的和，∴大长方形的长为：[（x+y）+x]＝2x+y，宽为：[（x﹣y）+x]＝2x﹣y，∵大长方形的面积为100，∴（2x+y）（2x﹣y）＝100，∴4x2﹣y2＝100，∴4（16+y2）﹣y2＝100，∴y2＝12，即标号为②的正方形的面积为y2＝12．故选：C．【变式6-3】（2022秋•香坊区校级期中）如图，我校一块边长为2x米的正方形空地是八年级1﹣4班的卫生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情况，其中1班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．（1）分别用x、y的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积；（2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？【分析】（1）结合图形、根据平方差公式计算即可；（2）根据图形分别表示出2班的卫生区的面积和1班的卫生区，根据平方差公式和完全平方公式化简、求差即可．【解答】解：（1）八年3班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；八年4班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；（2）[2x﹣（x﹣2y）]2﹣（x﹣2y）2＝8xy．答：2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多8xy平方米．【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】【例7】（2008秋•上海校级期中）我们已经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如图一，我们可以得到两数差的完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（1）请你在图二中，标上相应的字母，使其能够得到两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，（2）图三是边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分拼成图四的形状，利用这两幅图形中面积的等量关系，能验证公式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ；（3）除了拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立，请试画出一个这样的图形，并标上相应的字母．【分析】（1）此题只需将大正方形的边长表示为a，小正方形的边长表示为b即可，（2）此题只需将两个图形的面积表示出来写成等式即可；（3）此题还可以拼成一个矩形来验证公式的成立．【解答】解：（1）．（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）（2）根据两图形求得两图形的面积分别为：S1＝a2﹣b2；S2=12（3）拼成的图形如下图所示：【变式7-1】（2022春•西城区校级期中）阅读学习：数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长是a+b，宽是a﹣b，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（1）观察图3，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式 （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ．（2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式： （2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2 ．（3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据．【分析】（1）利用完全平方公式找出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系即可；（2）根据面积的两种表达方式得到图4所表示的代数恒等式；（3）由已知的恒等式，画出相应的图形即可．【解答】解：（1）（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（2）图4所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．（3）如图所示：故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．【变式7-2】（2022春•武侯区校级期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：（1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，xy=11，求（x﹣y）2的值；[知识迁移]类似地，2用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．（3）根据图③，写出一个代数恒等式： （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ；（4）已知a+b＝3，ab＝1【分析】（1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积；（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．（4）利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案．【解答】解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（2）由题（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，=14．∴﹣（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣4×112（3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．（4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b），把a+b＝3，ab＝1代入得：a3+b3＝33﹣3×1×3＝18．9．【变式7-3】（2022春•贺兰县期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： 十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果 证明上述速算方法的正确性．【分析】（1）利用面积法即可解决问题；（2）模仿例题，构建几何模型，利用面积法计算即可；拓展应用：模仿例题计算57×53即可；探究规律，利用规律解决问题即可；【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；【题型8 整式乘法中的新定义问题】【例8】（2022春•嘉兴期中）定义：对于三个不是同类项的单项式A，B，C，若A+B+C可以写成（a+b）2的形式，则称这三项为“完全搭配项”，若单项式x2，4和m是完全搭配项，则m可能是 4x或﹣4x或116x 4 ．（写出所有情况）【分析】分为三种情况：①m 为第二项时，②当m 为第一项时，根据完全平方式求出m 即可．【解答】解：①x 2±4x +4，此时m ＝±4x ，②（14x 2）2+x 2+4，此时m ＝（14x 2）2=116x 4，故答案为：4x 或﹣4x 或116x 4．【变式8-1】（2022春•成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；（2）试说明神秘数能被4整除；（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．【解答】解：（1）是，理由如下：∵28＝82﹣62，2012＝5042﹣5022，∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：（2k +2）2﹣（2k ）2＝（2k +2+2k ）（2k +2﹣2k ）＝2（4k +2）＝4（2k +1），∴“神秘数”是4的倍数；（3）设两个连续的奇数为：2k +1，2k ﹣1，则（2k +1）2﹣（2k ﹣1）2＝8k ，而由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，但8不是4的偶数倍，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．【变式8-2】（2022春•博山区期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为：“奇异数”．如8，16，24都是“奇异数”．（1）写出两个奇异数（8，16，24除外）；（2）试问偶数6050是不是奇异数？为什么？【分析】（1）根据奇异数的定义判断即可；（2）偶数6050不是奇异数，根据两个连续正奇数的平方差，即（n+2）2﹣n2＝6050，求出n的值，判断即可．【解答】解：（1）奇异数可以为32，40；（2）不是奇异数，理由为：假设偶数6050为奇异数，即为两个连续正奇数的平方差，可设（n+2）2﹣n2＝6050，分解因式得：2（2n+2）＝6050，解得：n＝1511.5，可得n不是奇数，不符合题意，则偶数6050不是奇异数．【变式8-3】（2022•永川区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，否则称这个正整数为“非智慧数”．例如：22﹣12＝3；32﹣22＝5；32﹣12＝8；42﹣32＝7；42﹣22＝12；42﹣12＝15；…，等等．因此3，5，8，…，都是“智慧数”；而1，2，4，…，都是“非智慧数”．对于“智慧数”，有如下结论：①设k为正整数（k≥2），则k2﹣（k﹣1）2＝2k﹣1．∴除1以外，所有的奇数都是“智慧数”；②设k为正整数（k≥3），则k2﹣（k﹣2）2＝ 4（k﹣1） ．∴都是“智慧数”．（1）补全结论②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧数”；（2）求出从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”．【分析】（1）由平方差公式即可得出答案，根据①②的结论除去奇数及4的正整数倍数，即可得所有大于5而小于20的“非智慧数”；（2）根据①②可判断出在1，2，3，4四个数中，只有1个“智慧数”3；k为正整数时，则4k+1，4k+3是奇数，4k+2，4k+4是偶数，而4k+2是“非智慧数”，4k+1，4k+3，4k+4是“智慧数“．从而根据循环规律判断出结果．【解答】解：（1）k2﹣（k﹣2）2＝（k+k﹣2）（k﹣k+2）＝2（2k﹣2）＝4（k﹣1）；智慧数是除4以外，所有4的正整数倍数．根据①，除去奇数：7，9，11，13，15，17，19；根据②，除去4的正整数倍数：8，12，16．则所有大于5而小于20的“非智慧数”有：6，10，14，18．（2）在1，2，3，4四个数中，只有1个“智慧数”3．当k为正整数时，则4k+1，4k+3是奇数，4k+2，4k+4是偶数，而4k+2是“非智慧数”，4k+1，4k+3，4k+4是“智慧数”．∴在从1开始的正整数中前4个正整数只有3为“智慧数”，此后每连续4个数中有3个“智慧数”．∵100＝1+3×33，∴4×（33+1）＝136．又∵136后面的3个“智慧数”为137，139，140，∴从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”是140．【题型9 整式乘法中的规律探究】【例9】（2022春•江阴市期中）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……根据规律计算：（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1的值为（ ）DA．22019﹣1B．﹣22019﹣1C．22019−13【分析】先计算（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]＝（﹣2）2019﹣1，然后再计算所给式子．【解答】解：∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]，＝（﹣2）2019﹣1，＝﹣22019﹣1，∴（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1=故选：D．【变式9-1】（2022•丰顺县校级开学）解答下列问题．（1）观察下列各式并填空：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8× 3 ；②92﹣ 7 2＝8×4；③ 112 ﹣92＝8×5；④132﹣ 11 2＝8× 6 ；…（2）通过观察、归纳，请你用含字母n（n为正整数）的等式表示上述各式所反映的规律；（3）你能运用平方差公式来说明（2）中你所写规律的正确性吗？【分析】（1）观察算式，补全空白即可；（2）观察算式，归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用平方差公式证明即可．【解答】解：（1）观察下列算式：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8×3；②92﹣72＝8×4；③112﹣92＝8×5；④132﹣112＝8×6；…故答案为：3，7，112，11，6；（1）通过观察归纳，猜想第n个式子为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）证明：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝4n•2＝8n，所以（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n得证．【变式9-2】（2022秋•肥城市期中）我们知道，1+2+3+…+n=n(n1)，关于这个公式的推导方法，有很多，2比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法：首先，我们知道：（n+1）2＝n2+2n+1，变形一下，就是（n+1）2﹣n2＝2n+1，依次给n一些特殊的值：1，2，3，…，我们就能得到下面一列式子：22﹣12＝2×1+1；32﹣22＝2×2+1；42﹣32＝2×3+1；…（n+1）2﹣n2＝2×n+1；观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到（n+1）2﹣12＝2×（1+2+3+…+n）+n，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为S就是：（n+1）2﹣12＝2×S+n，．把S表示出来，得到：S＝1+2+3+…+n=n(n1)2用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下S＝12+22+32+…+n2的值．【分析】根据已知等式得到n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1公式的n的式子，相加推导出12+22+32+42+…+n2的公式．【解答】解：∵n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：13﹣03＝3﹣3+1，23﹣13＝3×22﹣3×2+1，33﹣23＝3×32﹣3×3+1，…，n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，将这n个等式的左右两边分别相加得：n3＝3×（12+22+32+…+n2）﹣3×（1+2+3+…+n）+n，n（n+1）（2n+1）．即12+22+32+42+…+n2==16【变式9-3】（2022春•漳浦县期中）你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ a2﹣1 ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ a3﹣1 ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ a4﹣1 ；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝ a100﹣1 （2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，即可确定出结果；（2）利用得出的结果将原式变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；（2）①（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，由于2﹣1＝1，则2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；②∵a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，∴a6＝1．。
乘法公式的拓展及常见题型
乘法公式的拓展及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+aa a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四：杨辉三角形3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-二．基本考点例1：已知：32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 例2：化简与计算 221999922011（）；（）()()()()222x 3y 3m n 42x+32x 3-+----；（）；（）；（）。
练习：1、（a+b －1）（a －b+1）= 。
2．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）A ．5B ．6C ．－6D ．－53、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值.4、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
5、(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2= 。
6、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
7、2200720092008⨯-（运用乘法公式）考点连接题型一：乘法公式在解方程和不等式组中的应用解方程：()()()()()()2x 12x 13x 2x 27x 1x 1+-+-+=+-题型二：应用完全平方公式求值设m+n=10，mn=24，求()222m n m n +-和的值。
乘法公式知识点及复习题
蒙迪尔国际教育咨询电话：83737513乘法公式一、知识梳理1.平方差公式：a-b a b二a2-b22 2 22.完全平方公式：a_b a b _2ab23.x a x b]=x a b x ab2 23 34.立方和（差）公式：a b a b - ab = a ba「b ii a2b2ab 二a3_b32 2 2 25.三数和平方公式：（a+b+c）=a +b +c +2ab+2ac + 2bc2 2 2 3336.欧拉公式： a b c a b c- ab - ac - be = a b c - 3abc二、例题讲解2 2例1、要使等式（P *q ）+ M =（p -q ）成立，代数式M应为__________________ 。
2 2例2、（1）如果x+6xy+ky是一个完全平方公式的展开式，那么常数k= ________ 2 2（2）如果x +kx r^9y是一个完全平方式的展开式，那么常数k= ________ 。
2 2例3、已知a,b 满足a F=3，ab=2,则a b二-------------------“22 2芦a—b=3,ab=2,贝V a +b = _______ ,(a+b)= ________ .右m 丄=3,求m2 2禾廿! m _ 1例4、已知mm * m 的值。
蒙迪尔国际教育咨询电话：83737513例5、试说明不论a,b取任何有理数，代数式a2• b2-2a -4b 5的值总是非负数。
4 , 4 2 ,2 , ,a b a b b-aab“例6、计算'人八 A 丿的结果是________________ 例7、用乘法公式计算：（1）20142-2013 2015(2)2 3 1 32 1 33 1 川332 1 1例&如果（2a+2b+1 ）（2a+2b-1 ）=63,那么a+b的值为多少?例9、已知a =2013x 2012,b =2013x 2013,c =2013x 2014,则a2 b2 c2 -ab -be-ac =例10、若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”4 =22 - 02,12 =42 -22,20 £-42，因此4,12,20这三个数都是神秘数。
乘法公式拓展与常见题型整理
乘法公式的拓展及常见题型整理2 >2例题：已知 a + b=4,求"一；二+ “。
⑴如果a-b = 3,(t-c = l.那么("一b)2+(b-c)2+(c-a)2的值是__________________________⑵x + y = 1,则一x2 +xy + -y2 = _________________________ (3)已知x(x-l)-(x2-y) = 一2，则"• 一xy = __________________________2 2 2⑴若则cr -+^r = __________ , cb= ___________⑵设(5a+3b) 2= (5a-3b) 2+A,则A= __________________ ⑶若则a 为 __________⑷如果(X-y)2 +M =(x + y)\那么M等于___________________ ⑸已知(a+b)'m・ (a-b)2=n>则ab等于________________⑹若G 一3疔=(2a + 3b)2 + N ,则N的代数式是__________________ ⑺已知(a + b)2 = 7,(a-b)2 = 3,求a2+b2 + ab的值为_。
⑻已知实数a,b,c,d满足ac+bd = 3, ad —be = 5.求(a2 +b2)(c2 + J2)例题：已知(a+b)—7, 求值：⑴齐F (2)ab例2：已叫-x+20. b—x+.9,计+21,求屮—ac的值⑴若x-3y = 7,x2 -9y2 =49 ,则x + 3y = ______________________(2)_____________________________________ 若a+b = 2,则a2-Z?2+4Z?= _______________________ 若a + 5b = 6・则+5oZ? + 30Z?= ______________________________________⑶已知a'+bJGab且a>b>0・求匕二2的值为________________a -b⑷已知a = 2005x + 2004, b = 2005x4-2006 , c = 2OO5x + 200& 则代数式/ +b2 +c2 -ab-be-ca的值是.(四)步步为营例题：3X (22 +1) x (24 +1) x (2”和)x ( 2,6+1)6X (7 + 1) X(7 2 +1) X (74+1)X (78+1)+1 (a-/?)(a + Z?)(a，+b‘)(十+//)(“' + b")(2 +1) x (22 +1)X(24+1)X(28+1)X (216 +l)x (232 +1) + 12012? JOllSOlO 2-2009?+……+22-!2 （冷加扛冷）…卜縞（五）分类配方例题：已知一6〃? + 10〃 + 34 = 0,求〃7 +n 的值。
乘法公式的拓展及常见题型整理教学文稿
乘法公式的拓展及常见题型整理乘法公式的拓展及常见题型整理例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。
⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()222a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。
⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bdac ，求))((2222d c b a ++ 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab例2：已知a=201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=xc ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．（四）步步为营例题：3⨯(22+1)⨯(24+1)⨯(28+1)⨯(162+1)6⨯)17(+⨯(72+1)⨯(74+1)⨯(78+1)+1 ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++1)12()12()12()12()12()12(3216842++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+222222122009201020112012-++-+-ΛΛ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411…⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011（五）分类配方例题：已知03410622=++-+n m n m，求n m +的值。
乘法公式的复习(题型扩展2)
乘法公式的复习二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例1. 计算：解：原式(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2. 计算：解：原式例3.计算：解：原式三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
例4. 计算：解：原式四、变用: 题目变形后运用公式解题。
例5. 计算：解：原式五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：例6.已知，求的值。
解：例7. 计算：解：原式例8. 已知实数x、y、z满足，那么( )解：由两个完全平方公式得：从而三、学习乘法公式应注意的问题(一)注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”、例1、计算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b。
解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4、例2、计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b、(解略) (二)注意为使用公式创造条件例3、计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式、解：原式=[(2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y+2yz-z2例4、计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便、解：原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2=[(a3-1)(a6+a3+1)]2=(a9-1)2=a18-2a9+1例5、计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项(2-1)，则可运用公式，使问题化繁为简、解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1(三)注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc、可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍例6、计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y、(四)注意公式的变换，灵活运用变形公式例7、(1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值。
乘法公式活用专题训练(整理)
乘法公式活用专题训练(整理)一、公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2② 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③ 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④ 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤ 换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥ 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦ 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)] =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz例1、已知，，求的值。
例2、已知，，求的值。
例3：计算19992-20001998例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。
例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x2-z2的值。
例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？例7、运用公式简便计算（1）1032 （2）1982例8、计算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c)（2）(3x+y-2)(3x-y+2)例9、解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。
（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。
初中数学整式乘法详细讲解以及拓展
整式乘法1.平方差公式：_____________________________________________两个完全平方公式;______________________________________________2、乘法公式的使用技巧：①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。
例1、 运用乘法公式计算：（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.例2、 运用乘法公式计算：（1）(13a-14b )(-14b -a 3); （2）(x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2)③逆用公式将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a 2-b 2 = (a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得a n b n =(ab)n ,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。
例3、 计算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; （2）(a-1/2)2(a 2+1/4) 2(a+1/2)2④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
计算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).3.巧用公式做整式乘法一. 先分组，再用公式例1. 计算：()()a b c d a b c d -+-----二. 先提公因式，再用公式例2. 计算：8244x y x y +⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪三. 先分项，再用公式例3. 计算：()()232236x y x y ++-+四. 先整体展开，再用公式例4. 计算：()()a b a b +-+221五. 先补项，再用公式例5. 计算：331313131842+++++()()()()六. 先用公式，再展开例6. 计算：11211311411102222-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪…七. 乘法公式交替用例7. 计算：()()()()x z x xz z x z x xz z +-+-++2222224.中考与乘法公式1.（03年四川中考）多项式912x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。
乘法公式的题型扩展训练12019.11.05
乘法公式各种类型拓展训练2019.11.05乘法公式 （x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab 【公式1】例1: 1: (x+2)(x+3) 2: (a+5)(a--7) 3: (y+4)(y-2)练: 1: (x--3)(x--4) 2: (a+12)(a--2) 3: (m--6)(m+5)乘法公式----两数和的平方 2()a b +=222a ab b ++ 【公式2】 乘法公式两数差的平方2()a b -=222a ab b -+ 【公式3】利用公式2、3展开下列各式：(1) 2(1)x + (2) 2(23)x y +(3) 2()x a - (4) 2(23)x y -（5）1092 （6） (-a 2+4b )2三项和的完全平方公式：2()++a b c =222222a b c ab bc ac +++++【公式4】例1、利用公式4展开下列各式：(1) 2(3)x y ++ (2) 2(23)a b c +-(3) 2(23)x y z -- (4) 2(345)-+-x y z变形公式：（1） ()()222222a b a b a b ++-=+【公式5】（2） ()()224a b a b ab +--=【公式6】例2、解下列各式（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。
（2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。
（3）已知a (a -1)-(a 2-b )=2，求222a b ab +-的值。
（4）已知13x x -=，求441x x +的值。
(5)已知a b ab -==45，，求a b22+的值【平方差公式】()()a b a b +-=22a b - 【公式7】例2、 利用公式5展开下列各式：(1) (34)(34)x y x y +- (-2x 2-5)(2x 2-5) (2) ()()a b c a b c +--+(3) (31)(31)x y x y ++-- (4) 22()()x y x y +-（5）22788212-（6）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （7）(3x +y -2)(3x -y +2)(8)()()()()111124-+++a a a a (9)()()x y z x y z +-++26 （10） 观察下列各式：()()()()()()x x x x x x x x x x x x -+=--++=--+++=-111111111223324……由猜想到的规律可得()()x x xx x n n n -+++++=--1112…____________。
乘法公式(题型拓展)
A. 4x 2x2 3x 1 8x3 12x2 4x
C. 4a 14a 1 1 16a 2
B. x y x 2 y 2 x3 y3
D. x 2 y2 x 2 2xy 4 y 2
例 2：多项式 4x 2 1 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的多项式可以是
（A）a4－1 （B）a4＋1 （C）a4＋2a2＋1 （D）1－a4
2、若（x＋m）（x－8）中不含 x 的一次项，则 m 的值为………………………（ ）
（A）8
（B）－8
（C）0
（D）8 或－8
3、下列计算正确的是（ ）
A、 3 2 3 3 2 3 9
B、 a b2 a 2 b2
例 6：已知 a b 3 ， ab 1 ，求： 2
（1）a2＋b2
（2）a2＋ab＋b2
（3）a4＋b4
（二）思维重点突破
例 7 观察下列各式（x－1）（x＋1）=x2－1，（x-1）（x2＋x＋l）=x3－l．（x－l）（x3＋x2＋x＋l）=x4-1，
根据前面各式的规律可得（x－1）（xn＋xn-1＋…＋x＋1）＝
4、已知
x＋
1 x
＝2，求
x2＋
1 x2
的值．
5、已知 a2＋6a＋b2－10b＋34＝0，求代数式（2a＋b）（3a－2b）＋4ab 的值．
AB=4a，MP=b，正方形 APCD 与正方形 PBEF 的面积之差为 S。 （1）用 a，b 的代数表示 S。 （2）当 a=4、b=1/2 时，S 的值是多少？当 a=S，b=1/4 时呢？
D
C
F
E
A
MP B
A 类作业：
最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版)•、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 22例：计算 1999 -2000 X 199822 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b)例：运用公式简便计算3. 完全平方公式a+b(或a-b)、ab 、a 2+b 2这三者任意知道两项就可以求出第三项(a+b)2、(a-b) 2、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项① a 2 b 2 = (a b)2 - 2aba 2b 2 = (a-b) 2+2ab2 2 2 2② (a-b) =(a+b) -4ab(a+b) =(a-b) +4ab(2)完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b) =2 (a+b)例1 •已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。
2例 2.已知 a • b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。
例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。
2 2例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值.例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值.例6.已知a +丄=5,求(1) a 2+W , (2) (a —丄)2的值.a a a(1)完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项2 2 2=a -2ab+b (1) 1032(2) 19821 1例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。
x x3=a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用 _ 2 2(1)位置变化，x y -y x =x_y(2 )符号变化，(彳勺片—x j_y 2= x 2-y 22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”2 2例1计算(-a +4b )分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时， ______ 就是公式中的a, _____ 就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则 ________ 是公式中的a ,而 _______ 就是公式中的b .(解略)练习 1•计算：5x 23y 25x 2-3y 2练习2•计算： x -y z x -y —z 练习 3.计算：Ixy z m Jlxy- z m 1练习 4.计算：x ■ y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2-5)(2 x 2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2-b 2中的a,而 _____ 则是公式中的b .解：原式=(3 )应用整体思想，要善于分组加括号例&解下列各式(1) (2) (3) 已知 a 24b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。
专题1.3 乘法公式【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.3 乘法公式【十大题型】【北师大版】【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】 (1)【题型2 利用完全平方式确定系数】 (3)【题型3 乘法公式的计算】 (5)【题型4 利用乘法公式求值】 (8)【题型5 利用面积法验证乘法公式】 (10)【题型6 乘法公式的应用】 (13)【题型7 平方差公式的几何背景】 (17)【题型8 完全平方公式的几何背景】 (22)【题型9 乘法公式中的新定义问题】 (28)【题型10 乘法公式的规律探究】 (31)【知识点乘法公式】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。
这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1判断运用乘法公式计算的正误】【例1】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）计算(x−y+3)(x+y−3)时，下列变形正确的是（）A．[(x−y)+3][(x+y)−3]B．[(x+3)−y][(x−3)+y]C．[x−(y+3)][x+(y−3)]D．[x−(y−3)][x+(y−3)]【答案】D【分析】将(y−3)看做一个整体，则x是相同项，互为相反项的是(y−3)，对照平方差公式变形即可求解．【详解】解：(x−y+3)(x+y−3)=[x−(y−3)][x+(y−3)]，故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是找出相同项和相反项．【变式1-1】（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）下列运算正确的是（）A ．(x +y )(−y +x )=x 2−y 2B ．(−x +y )2=−x 2+2xy +y 2C ．(−x−y )2=−x 2−2xy−y 2D ．(x +y )(y−x )=x 2−y 2【答案】A【分析】根据平方差公式和完全平方公式，逐个进行判断即可．【详解】解：A 、(x +y )(−y +x )=x 2−y 2，故A 正确，符合题意；B 、(−x +y )2=x 2−2xy +y 2，故B 不正确，不符合题意；C 、(−x−y )2=x 2+2xy +y 2，故C 不正确，不符合题意；D 、(x +y )(y−x )=y 2−x 2，故D 不正确，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查根据平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式(a +b )(a−b )=a 2−b 2和完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2．【变式1-2】（2023春·天津滨海新·七年级统考期末）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（ ）A ．(x +y)(x−y)B ．(−x +y)(x +y)C ．(−x−y)(−x +y)D ．(x−y)(−x +y)【答案】D【分析】根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可．【详解】A 、B 、C 选项都是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式，D 选项变形后为−(x−y)2，不能使用平方差公式；故选：D ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【变式1-3】（2023春·广东茂名·七年级统考期中）下列多项式不是完全平方式的是( )．A ．x 2−4x−4B ．14+m 2+mC ．a 2+2ab +b 2D ．t 2+4t +4【答案】A【分析】根据a 2±2ab +b 2的形式判断即可；【详解】x 2−4x−4不是完全平方公式，故A 符合题意；14+m 2+m =+m 2，故B 不符合题意；a 2+2ab +b 2=(a +b )2，故C 不符合题意；t2+4t+4=(t+2)2，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的判断，准确分析是解题的关键．【题型2利用完全平方式确定系数】【例2】（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）若将多项式4a2−2a+1加上一个单项式成为一个完全平方式，则这个单项式可以是．（只要写出符合条件的一个）【答案】−2a，6a，−34，−3a2．【分析】根据完全平方公式的特点分情况讨论：若把4a2和1看成两个平方项，则该完全平方式可以；是(2a−1)2或(2a+1)2；②若把4a2看成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(2a−12)2；③若把1看成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(a−1)2．分别算出所需添加的单项式即可．【详解】①若把4a2和1看成两个平方项，则该完全平方式可以是(2a−1)2或(2a+1)2，∵(2a−1)2=4a2−4a+1=4a2−2a+1+(−2a)，∴这个单项式可以是−2a；∵(2a+1)2=4a2+4a+1=4a2−2a+1+6a，∴这个单项式可以是6a；②若把4a2成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(2a−12)2，∵(2a−12)2=4a2−2a+14=4a2−2a+1+(−34)，∴这个单项式可以是−34；③若把1成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(a−1)2，∵(a−1)2=a2−2a+1=4a2−2a+1+(−3a2)，∴这个单项式可以是−3a2．综上，添加的这个单项式可以是−2a，6a，−34，−3a2．故答案为：−2a，6a，−34，−3a2．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点，进行分类讨论是解题的关键．【变式2-1】（2023春·四川达州·七年级校考期中）若x2+2(m−3)x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则n m的值为．【答案】4或16【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m 与n 的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：∵x 2+2(m−3)x +1是完全平方式，∴m−3=±1，∴m =4或m =2，∵x +n 与x +2的乘积中不含x 的一次项，(x +n )(x +2)=x 2+(n +2)x +2n ，∴n +2=0，∴n =−2，当m =4，n =−2时，n m =(−2)4=16；当m =2，n =−2时，n m =(−2)2=4，则n m =4或16，故答案为：4或16．【点睛】本题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．【变式2-2】（2023春·七年级课时练习）若9x 2−(k−1)xy +25y 2是关于x 的完全平方式，则k =．【答案】31或−29/−29或31【分析】由9x 2−(k−1)xy +25y 2是关于x 的完全平方式，得出9x 2−(k−1)xy +25y 2=(3x ±5y )2，进而得出−(k−1)=±30，即可求出k 的值．【详解】解：∵9x 2−(k−1)xy +25y 2是关于x 的完全平方式，∴9x 2−(k−1)xy +25y 2=(3x ±5y )2，∴−(k−1)=±30，解得：k =31或−29，故答案为：31或−29【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点，考虑两种情况是解决问题的关键．【变式2-3】（2023春·福建泉州·七年级晋江市季延中学校考期中）已知B 是含字母x 的单项式，要使x 2+B +14是完全平方式，那么B = ．【答案】±x 或x 4．【分析】分类讨论：①当x 2+B +14是完全平方式时和当B +x 2+14是完全平方式时，再根据完全平方式的特点即可得出答案．【详解】解：分类讨论：①当x 2+B +14是完全平方式时．∵x 2+B +14=x 2+B +，∴B =±2×x ×12=±x ；②当B +x 2+14是完全平方式时．∵B +x 2+14=B +2×x 2×12+，∴B =x 4．综上可知，B =±x 或x 4．故答案为：±x 或x 4．【点睛】本题考查完全平方式．掌握完全平方式的结构特征和利用分类讨论的思想是解题关键．【题型3 乘法公式的计算】【例3】（2023春·云南昭通·七年级校考期末）计算：(1)(2m−n +3p)(2m +3p +n)；(2)化简求值：(x−3)(x +3)−(x 2−2x +1)，其中x =12．【答案】(1)4m 2+12mp +9p 2−n 2(2)2x−10，−9【分析】（1）先把原式化为[(2m +3p)−n ][(2m +3p)+n ]，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可；（2）先利用平方差公式和去括号法则展开，再合并同类项，最后求值即可．【详解】（1）解：原式=[(2m +3p)−n ][(2m +3p)+n ]=(2m +3p)2−n 2=4m 2+12mp +9p 2−n 2；（2）原式=x 2−9−x 2+2x−1=2x−10，当x =12时，原式=1−10=−9．【点睛】本题考查了整式的混合运算以及平方差公式，熟练掌握整式的混合运算法则是解本题的关键．【变式3-1】（2023春·山东东营·六年级统考期末）利用整式乘法公式计算．(1)1002−98×102；(2)(a+b+3)(a+b−3)；(3)(−2m+3)(−2m−3)；x−2y 2．【答案】(1)4(2)a2+2ab+b2−9(3)4m2−9(4)14x2−2xy+4y2【分析】（1）首先把98×102转化为(100−2)×(100+2)，然后再根据平方差公式计算即可；（2）利用平方差公式变形，然后再根据完全平方公式计算即可；（3）根据平方差公式计算即可；（4）根据完全平方公式计算即可．【详解】（1）解：1002−98×102=1002−(100−2)×(100+2)=1002−(1002−22)=1002−1002+22=4；（2）解：(a+b+3)(a+b−3)=[(a+b)+3][(a+b)−3]=(a+b)2−32=a2+2ab+b2−9；（3）解：(−2m+3)(−2m−3)=(−2m)2−32=4m2−9；（4x−2y2=14x2−2xy+4y2．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握整式的乘法公式进行计算．【变式3-2】（2023春·湖南永州·七年级校联考期中）1−1−=．【答案】1528【分析】根据平方差公式得，1−=1−+...1−+=12×32×23×43×34×54...×1314×1514，然后计算求解即可．【详解】解：1−==12×32×23×43×34×54...×1314×1514=12×1514=1528，故答案为：1528．【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式3-3】（2023春·江西抚州·七年级校联考期中）运用乘法公式计算：(1)(2m−3n)(−2m−3n)−(2m−3n)2(2)1002−992+982−972+…+22−12．【答案】(1)−8m2+12mn(2)5050【分析】(1)原式第一项利用平方差是化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；(2)原式结合后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．【详解】（1）原式=9n2−4m2−4m2+12mn−9n2=−8m2+12mn；（2）原式=(100+99)×(100−99)+(98+97)×(98−97)+…+(2+1)×(2−1)=100+99+98+97+96+……+1=5050．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．【题型4利用乘法公式求值】【例4】（2023春·山东济南·七年级统考期末）设a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023．若a2+b2=16，则c2的值是( )A．5B．6C．7D．8【答案】C【分析】根据完全平方公式得出ab=6，a−b=2，进而根据已知条件得出c2=(a−1)(b+1)，进而即可求解．【详解】∵a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023，∴a−1=x−2023=c=b+1，a−b=2，∵a2+b2=16，∴(a−b)2+2ab=16，∴ab=6，∴c2=(a−1)(b+1)=ab+a−b−1=6+2−1=7，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出c2=(a−1)(b+1)是解题的关键．【变式4-1】（2023春·广西贵港·七年级校考期末）若x−y−7=0，则代数式x2−y2−14y的值为．【答案】49【分析】先计算x−y的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将x−y的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解．【详解】解：∵x−y−7=0，∴x−y=7，∴x2−y2−14y=(x+y)(x−y)−14y=7(x+y)−14y=7x +7y−14y =7(x−y )=49．故答案为：49．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．【变式4-2】（2023春·湖南永州·七年级校考期中）（1）已知a +1a =3，求a 2+1a 2的值；（2）已知(a−b )2=9，ab =18，求a 2+b 2的值．【答案】（1）7；（2）45【分析】（1）根据完全平方和公式恒等变形后，代值求解即可得到答案；（2）根据完全平方差公式，代值求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵ a 2+1a 2=a−2，a +1a =3，∴原式=32−2=9−2=7；（2）∵(a−b )2=a 2−2ab +b 2，(a−b )2=9，ab =18，∴ 9=a 2−2×18+b 2，解得a 2+b 2=9+2×18=45．【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方和与完全平方差公式是解决问题的关键．【变式4-3】（2023春·陕西西安·七年级校考期中）已知m 满足(3m−2015)2+(2014−3m )2=5．(1)求(2015−3m )(2014−3m )的值．(2)求6m−4029的值．【答案】(1)−2(2)±3【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，计算即可确定出原式的值；（2）原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．【详解】（1）解：设a =3m−2015，b =2014−3m ，可得a +b =−1，a 2+b 2=5，∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴1=5+2ab，即ab=−2，则(2015−3m)(2014−3m)=(3m−2015)(2014−3m)=−ab=2；（2）解：设a=3m−2015，b=2014−3m，可得6m−4029=(3m−2015)−(2014−3m)=a−b，∵(a−b)2=a2+b2−2ab，∴(6m−4029)2=(a−b)2=a2+b2−2ab=5+4=9，则6m−4029=±3．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．【题型5利用面积法验证乘法公式】【例5】（2023春·七年级课时练习）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（）A．①B．②C．①②D．①②都不能【答案】C【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式，即可得到答案．【详解】解：在图①中，左边的图形中阴影部分的面积为：a2−b2，右边图形中的阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，故可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可验证平方差公式，符合题意；在图②中，左边的图形中阴影部分的面积为：a2−b2，右边图形中的阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，故可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可验证平方差公式，符合题意；故能够验证平方差公式的是：①②，故选：C．【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键．【变式5-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证(a+b)2=(a−b)2 +4ab的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】用面积公式和作差法求小正方形、长方形的面积，令其与大正方形相等．【详解】A、不能验证公式，该选项不符合题意；B、可以验证(a+b)2=a2+2ab+b2，该选项不符合题意；C、可以验证(a+b)2=(a−b)2+4ab，该选项符合题意；D、可以验证a2=(a−b)2+2ab−b2，即(a−b)2=a2−2ab+b2，该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何验证，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式5-2】（2023春·福建宁德·七年级校联考期中）下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（）A．(a+b)2=a2+2ab+b2B．(a+b)(b+c)=ab+ac+b2+bcC．(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bcD．(a+b)(a−b)=a2−b2【答案】D【分析】利用图形面积直接得出等式，从而可选择．【详解】解：等式(a+b)2=a2+2ab+b2是由边长为(a+b)的正方形推导而出，故A可验证，不符合题意；等式(a+b)(b+c)=ab+ac+b2+bc是由长为(b+c)，宽为(a+b)的长方形推导而出，故B可验证，不符合题意；等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc是由边长为(a+b+c)的正方形推导而出，故C可验证，不符合题意；等式(a+b)(a−b)=a2−b2，图中找不到有关于a−b的面积，故D不可验证，符合题意．故选D．【点睛】本题考查多项式的乘法与图形面积．利用数形结合的思想是解题关键．【变式5-3】（2023春·江西抚州·七年级统考期末）（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是______，图2验证的是______；（2）应用公式计算：①已知x+y=5，xy=−1，求x2+y2的值；②求20222−2021×2023的值．【答案】（1）(a+b)2=a2+b2+2ab，a2−b2=(a+b)(a−b)；（2）①27；②1【分析】（1）根据图1中大正方形的面积为两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和得到完全平方公式，根据图2中左右两边阴影部分的面积相等得到平方差公式；（2）①利用x2+y2=(x+y)2−2xy进行计算即可；②利用平方差公式将2021×2023=(2022−1) (2022+1)=20222−1化简即可．【详解】解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为a2，边长为b的正方形的面积为b2，长为a宽为b的长方形的面积为ab，大正方形的边长为(a+b)，面积为(a+b)2，∵大正方形的面积为两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和，∴(a+b)2=a2+b2+2ab图2中，左边阴影部分的面积为：a2−b2，右边阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，∵左右两边的阴影部分面积相等，∴a2−b2=(a+b)(a−b)，故答案为：(a+b)2=a2+b2+2ab，a2−b2=(a+b)(a−b)；（2）①∵x+y=5，xy=−1，∴x2+y2=(x+y)2−2xy=52−2×(−1)=27；②20222−2021×2023=20222−(2022−1)(2022+1)=20222−(20222−1)=1．【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握(a+b)2=a2+b2+2ab，a2−b2=(a+b) (a−b)是解题的关键．【题型6乘法公式的应用】【例6】（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为30平方米长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m>n，花圃区域AEGQ和HKCS 总周长为14米，则m-n的值为（）A．4米B．7米C．5米D．3.5米【答案】B【分析】根据长方形的周长及面积计算公式，可找出关于m，n的方程组，变形后可得出(m−n)2=49，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意得：2(m−3)+2(n−3)=14①mn=30②，由①可得：m+n=13，∵(m−n)2=(m+n)2−4mn，∴(m−n)2=49，∴m−n=7或m−n=−7(不合题意，舍去)．故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，牢记(a±b)2=a2±2ab+b2是解题的关键．【变式6-1】（2023春·陕西西安·七年级校考期中）我们知道，将完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多数学问题．请你观察、思考，并解决以下问题：(1)若m+n=9，mn=10，求m2+n2的值；(2)如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形院子，再以AD、CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m2，求原有长方形用地ABCD的面积．【答案】(1)61(2)800m2【分析】(1)利用完全平方公式代入计算即可；(2)设CD=x m，AD=y m,由周长可得x+y=60, 由两块正方形的面积和为2000平方米，x²+y²=2000,求xy即可.【详解】（1）∵(m+n)²=m²+n²+2mn,m+n=9，mn=10,∴m²+n²=(m+n)²−2mn=92−2×10=61,（2）设CD=x m，AD=y m,∵长方形ABCD的周长是120米,∴2(x+y)=120,即x+y=60,又∵两块正方形的面积和为2000平方米，∴x²+y²=2000,=800，∴xy=602−20002答: 长方形ABCD的面积为800平方米.【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，适当的等式变形是解决问题的的关键.【变式6-2】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）如图，某校一块边长为2a m的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级（1）班的清洁区是一块边长为(a−2b)m的正方形．(0<2b<a)(1)分别求出七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积．(2)七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多多少？【答案】(1)七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积均为(a+2b)(a−2b)=(a2−4b2)(m2)(2)多8ab m2【分析】（1）根据图形可知：七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区为长方形，通过2a−(a−2b)=(a+2b) (m)，可求出对应的长，(a+2b)(a−2b)=(a2−4b2)(m2)，即可解答此题．（2）由正方形的面积公式可得到：(a+2b)2−(a−2b)2=a2+4ab+4b2−(a2−4ab+4b2)=8ab(m2)，从而解答此题．【详解】（1）解：（1）因为2a−(a−2b)=(a+2b)(m)，所以七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积均为(a+2b)(a−2b)=(a2−4b2)(m2)．（2）因为(a+2b)2−(a−2b)2=a2+4ab+4b2−(a2−4ab+4b2)=8ab(m2)，所以七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多8ab m2．【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．【变式6-3】（2023春·浙江温州·七年级期中）学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地ABCD上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a 米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席．(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简；(2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且a+b=20米，求“红”字正方形边长b的值．【答案】(1)2a2+4ab(2)16【分析】（1）根据题意，分别表示出正方形空地ABCD的面积和“红五月”三个正方形平台的面积，相减即为阴影部分的面积；（2）根据阴影部分的面积求出a2+2ab=144，再根据a+b=20，得到a2+2ab+b2=400，进而求得b2 =256，即可求出正方形边长b的值．【详解】（1）解：由题意可知，正方形空地ABCD的边长为2a+b，∴正方形空地ABCD的面积为(2a+b)2，∵“红五月”三个正方形平台的面积为a2+b2+a2=2a2+b2，∴阴影部分的面积为(2a+b)2−(2a2+b2)=4a2+4ab+b2−2a2−b2=2a2+4ab；（2）解：阴影部分的面积为288平方米，∴2a2+4ab=288，∴a2+2ab=144，∵a+b=20，∴(a+b)2=a2+2ab+b2=400，∴b2=400−144=256，∵b>0,∴b=16．【点睛】本题考查了正方形的面积公式，列代数式，完全平方公式，平方根知识，根据题意正确得出阴影部分的面积是解题关键．【题型7平方差公式的几何背景】【例7】（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形(如图2)，解答下列问题：(1)设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1=______ ，S2=______ ；(不必化简)(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______ ；(3)利用（2）中得到的公式，计算：20232−2022×2024．【答案】(1)a2−b2，(a+b)(a−b)(2)(a+b)(a−b)=a2−b2(3)1【分析】（1）根据图形的和差关系表示出S1，根据长方形的面积公式表示出S2；（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式是(a+b)(a−b)=a2−b2；（3）由（2）中所得公式，可得2022×2024=(2023+1)(2023−1)=20232−1，从而简便计算出该题结果．【详解】（1）解：由题意得，S1=a2−b2，S2=(a+b)(a−b)．故答案为：a2−b2，(a+b)(a−b)；（2）解：由（1）中的结果可验证的乘法公式为(a+b)(a−b)=a2−b2．故答案为：(a+b)(a−b)=a2−b2；（3）解：由（2）中所得乘法公式(a+b)(a−b)=a2−b2可得，20232−2021×2023=20232−(2023+1)×(2023−1)=20232−(20232−1)=20232−20232+1=1．【点睛】本题考查了平方差公式几何背景的应用能力，掌握图形准确列式验证平方差公式，并能利用所验证公式解决相关问题是关键．【变式7-1】（2023春·全国·七年级期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．(1)在图2中的阴影部分的面积S1可表示为；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为；（写成两数平方差的形式）；(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2(3)请利用所得等式解决下面的问题：①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，则2m﹣n＝；②计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．【答案】(1)（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；(2)B(3)①3，②264，6【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式即可求解即可；（2）根据两个阴影部分的面积相等由（1）的结果即可解答.（3）①利用（2）得到的等式求解即可；②可以先把原式乘上一个（2﹣1），这样可以和（2+1）凑成平方差公式，以此逐步解答即可．【详解】（1）解：图2中长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2．故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2．（2）解：由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故选B．（3）解：①因为4m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，又因为2m+n＝4，所以2m﹣n＝12÷4＝3．故答案为：3；②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝……＝264﹣1+1＝264，而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其个位数字2，4，8，6，重复出现，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”经过16次循环，因此264的个位数字为6．答：其结果的个位数字为6．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用和数字类规律，灵活应用平方差公式成为解答本题的关键．【变式7-2】（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）【知识生成】（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；【知识应用】（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=(a+2m)(a−2m)，Q=(a+m) (a−m)，比较P、Q大小；【知识迁移】（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．【答案】（1）−3m2；（2）P<Q；（3）x(x+1)(x−1)=x3−x．【分析】（1）分别用代数式表示图1，图2的面积即可；（2）利用（1）中得到的等式计算P−Q的值即可；（3）分别用代数式表示图3中左图和右图的体积即可．【详解】解：（1）图1中剩余部分的面积为a2−b2，图2的面积为(a+b)(a−b)，所以代数恒等式为(a+b)(a−b)=a2−b2；（2）∵P=(a+2m)(a−2m)，Q=(a+m)(a−m)，∴P−Q=(a+2m)(a−2m)−(a+m)(a−m)=a2−4m2−(a2−m2)=−3m2因为m是不为0的有理数，所以−3m2<0，即P−Q<0，所以P<Q；（3）图3中左图的体积为x⋅x⋅x−1×1×x=x3−x，图3中右图是长为x+1，宽为x，高为x−1的长方体，因此体积为(x+1)⋅x⋅(x−1)，所以有x(x+1)(x−1)=x3−x．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，利用代数式表示图形的面积和体积是正确解答的关键．【变式7-3】（2023春·山西大同·七年级统考期中）【实践操作】（1）如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把图①中L形的纸片按图②剪拼，改造成了一个大长方形如图③，请求出图③中大长方形的面积；（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：．【应用探究】（3）利用（2）中验证的公式简便计算：499×501+1；（4）计算：1−×1−×1−×…×1−×1−【知识迁移】（5）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为a的正方体中去掉一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式为：a3−b3=．（结果不需要化简）；(5)(a−b)a2+(a−b)b2+(a−b)ab或【答案】(1)a2−b2；(2)(a−b)(a+b)=a2−b2；(3)250000；(4)20234044(a−b)(a2+b2+ab)【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘以宽即可．（2）图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积，分别计算即可得出：(a−b)(a+b)=a2−b2（3）观察（2）的的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将499拆成500−1，将501拆成500+1即可．（4）利用a2−b2=(a+b)(a−b)将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘积为0，故答案为第一个因式乘以最后一个因式．（5）将立体图形分割成三部分，分别为：a2(a−b)、b2(a−b)、ab(a−b)，其和为a2(a−b)+b2(a−b)+ab (a−b)，恰等于a3−b3．【详解】解：（1）长方形的面积为：2(a−b)(a−b2+b)=(a−b)(a−b+2b)=(a−b)(a+b)=a2−b2；（2）图③整个大长方形的面积等于图①阴影部分的面积：∴(a−b)(a+b)=a2−b2；（3）原式=(500−1)×(500+1)+1=5002-12+1=250000；（4）原式=1−1−=12×32×23×43×34×45×⋯×20202021×20222021×20212022×20232022=12×20232022=20234044；（5）将立体图形分割成三部分，分别为：a2(a−b)、b2(a−b)、ab(a−b)，其和为a2(a−b)+b2(a−b)+ab(a−b)=a3−b3．故答案为：a2(a−b)+b2(a−b)+ab(a−b)．【点睛】本题考查了“数形结合”中的乘法公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律．【题型8完全平方公式的几何背景】【例8】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的面积为；(2)观察图2，三个代数式(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系是；(3)若x+y=−6，xy=11，则x−y=；（直接写出答案）4【答案】(1)(m−n)2(2)(m+n)2−4mn=(m−n)2(3)±5【分析】（1）根据阴影部分的面积等于右边大正方形的面积减去左边矩形的面积进而得出答案；（2）由（1）中计算过程可得答案；（3）根据（2）中的等式可得答案．【详解】（1）解：图2中的阴影部分为正方形，边长为(m−n)，则面积为(m−n)2．故答案为：(m−n)2；（2）解：左边图形的面积=2m×2n=4mn，右边的大正方形面积=(m+n)2，则阴影部分的面积=(m+n)2−4mn，因此三个代数式(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系为：(m+n)2−4mn=(m−n)2；故答案为：(m+n)2−4mn=(m−n)2；（3）解：由（2）得(x+y)2−4xy=(x−y)2，=25，∴(x−y)2=(−6)2−4×114∴x−y=±=±5，故答案为：±5．【点睛】本题考查了完全平方公式的背景知识以及完全平方公式的变形，解题的关键是认真观察图形，用不同的形式表示图形的面积．【变式8-1】（2023春·七年级课时练习）完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．解：因为a+b=3，所以(a+b)2=9，即：a2+2ab+b2=9，又因ab=1，所以a2+b2=7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy的值为______；(2)拓展：若(4−x)x=3，则(4−x)2+x2=______．(3)应用：如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为160，求图中阴影部分的面积和．【答案】(1)12(2)10(3)384【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；（2）设4−x=a，x=b，则a+b=4，ab=3，然后完全平方公式进行计算，即可解答；（3）根据题意可得FC=20−x，CE=12−x，然后设FC=20−x=a，CE=12−x=b，则a−b=8，ab=160，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．【详解】（1）解：∵x+y=8，x2+y2=40，∴2xy=(x+y)2−(x2+y2)=82−40=64−40=24，∴xy=12．（2）解：设4−x=a，x=b，∴a+b=4−x+x=4，∵(4−x)x=3，∴ab=3，∴(4−x)2+x2=a2+b2=(a+b)2−2ab=42−2×3=16−6=10．（3）解：∵四边形ABCD是长方形，∴AB=CD=20，AD=BC=12，∵BE=DF=x，∴FC=DC−DF=20−x，CE=BC−BE=12−x，设FC=20−x=a，CE=12−x=b，∴a−b=20−x−(12−x)=8，∵长方形CEPF的面积为160，∴FC⋅CE=(20−x)(12−x)=ab=160，∴正方形CFGH的面积+正方形CEMN的面积=CF2+CE2=(20−x)2+(12−x)2=a2+b2=(a−b)2+2ab=82+2×160=64+320=384，∴图中阴影部分的面积和为384．【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式变形的计算是解题的关键．【变式8-2】（2023春·江苏·七年级期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b)．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：方法1：，方法2：；（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是；（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝；【知识迁移】（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式：．【答案】（1）（a-b）2，（a+b）2-4ab；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）80；（4）x3-x=x（x+1）（x-1）【分析】（1）利用直接和间接的方法表示出阴影部分面积；（2）由阴影部分面积相等可得结果；（3）直接根据（2）的结论代入求值即可；（4）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可．【详解】解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2，方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab；（2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，可得：102-4×5=（a-b）2，∴（a-b）2=80；（4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1），∴恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）．【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．【变式8-3】（2023春·江苏·七年级期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b(a>b)的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到(a−b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式：________﹔【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)．利用上面所得的结论解答下列问题：（1）已知x+y=6,xy=11，求(x−y)2的值；4（2）已知a+b=6,ab=7，求a3+b3的值．【答案】[知识生成]（a+b）2-4ab=（a-b）2；[知识迁移]（1）25；（2）90。
乘法公式地复习(题型扩展)
标准乘法公式的复习 一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+ba ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+ba ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
乘法公式经典题型及拓展
乘法公式一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，x y y x x 2y 2 ② 符号变化，x y x y x 2y 2 x 2y 2③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化，2a b 2a b 4a 2b 2 ⑤ 换式变化，xy z m xy z mxy 2z m 2x 2y 2z m z m x 2y 2z 2zm zm m 2 x 2y 2z 22zm m 2⑥ 增项变化，x y z x y zx y 2z 2 x y x y z 2 x 2xy xy y 2z 2 x 22xy y 2z 2⑦ 连用公式变化，x y x y x 2y 2x 2y 2x 2y 2 x 4y 4⑧ 逆用公式变化，x y z 2x y z 2 x y z x y z x y zx y z2x 2y 2z 4xy 4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
乘法分配律思维拓展题
乘法分配律思维拓展题乘法分配律可是个超有趣的数学知识点呢！咱们来好好聊聊关于它的思维拓展题吧。
先来说说什么是乘法分配律，就是a×(b + c)=a×b + a×c，就好像把a这个东西分给b和c，那总共分出去的量就等于分别分给b和c的量加起来。
不过思维拓展题可不会这么简单地让你用这个公式就完事儿了。
比如说，有这样一道题：34×99+34，猛一看可能有点懵，但如果我们把它转化一下，就变成34×99+34×1，这时候就可以用乘法分配律啦，那就是34×(99 + 1)=34×100 = 3400。
是不是很巧妙呢？还有像25×(40 + 8)这样的题，直接按照乘法分配律来算，就是25×40+25×8，25×40 = 1000，25×8 = 200，加起来就是1200。
再看一道有点难度的，98×12=(100 - 2)×12，这里把98变成100 - 2，然后根据乘法分配律就是100×12 - 2×12，1200 - 24 = 1176。
又比如17×23+17×76+17，这时候可以把17提出来，变成17×(23 + 76+1)，23+76+1 = 100，17×100 = 1700。
有时候，乘法分配律还会和其他运算律混合起来考呢。
就像125×88，我们可以把88拆成8×11，那就是125×8×11，先算125×8 = 1000，再乘以11就是11000。
这其中也用到了乘法分配律的变形思想哦。
再想一道题，45×101 - 45，这就等于45×(101 - 1)=45×100 = 4500。
做乘法分配律的思维拓展题啊，关键就是要会灵活变形，看到一个式子要能想到怎么把它转化成可以用乘法分配律的形式。
2023-2024学年七年级数学下册 专题06 乘法公式压轴五大类型(解析版)
专题06乘法公式压轴五大类型题型一：展开式是完全平方问题题型二：利用乘法公式化简求值问题题型三：利用完全平方配方法求最值值问题题型四：平方差公式在几何图形中的应用题型五：完全平方公式在几何图形中的应用题型一：展开式是完全平方问题【典例1】（2023秋•宁强县期末）已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（）A．6B．±6C．12D．±12【答案】D【解答】解：∵（3x+a）2＝9x2+bx+4，∴9x2+6ax+a2＝9x2+bx+4，∴，∴．故选：D．【变式1-1】（2023秋•望城区期末）若（x﹣3）2＝x2+kx+9，那么k的值是（）A．﹣6B．﹣3C．6D．﹣9【答案】A【解答】解：（x﹣3）2＝x2﹣6x+9＝x2+kx+9，可得k＝﹣6．故选：A．【变式1-2】（2023•任丘市模拟）小刚把（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，把（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（）A．1B．﹣1C．4043D．﹣4043【答案】C【解答】解：∵（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，∴a＝20222，∵（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，∴m＝20212，∴a﹣m＝20222﹣20212＝（2022+2021）（2022﹣2021）＝4043，故选：C．【变式1-3】（2023秋•松江区月考）若（x+m）2＝x2﹣6x+n，则m+n＝6．【答案】6．【解答】解：已知等式整理得：x2+2mx+m2＝x2﹣6x+n，可得2m＝﹣6，m2＝n，解得：m＝﹣3，n＝9，m+n＝﹣3+9＝6．故答案为：6．题型二：利用乘法公式化简求值问题【典例2】（2023秋•衡阳期末）先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1）＝x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x＝x2+3，当x＝时，原式＝2+3＝5．【变式2-1】（2023春•道县期中）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x﹣2）2﹣3x2，其中x＝﹣．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝4x2﹣1﹣x2+4x﹣4﹣3x2＝4x﹣5，当x＝﹣时，原式＝﹣1﹣5＝﹣6．【变式2-2】（2022秋•东莞市期末）先化简，再求值：（2x﹣3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣，y＝﹣2．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝4x2﹣12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）＝4x2﹣12xy+9y2﹣4x2+y2＝10y2﹣12xy，当x＝﹣，y＝﹣2时，原式＝10×（﹣2）2﹣12×（﹣）×（﹣2）＝36．【变式2-3】（2022秋•郸城县期中）先化简，再求值：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x ﹣y）2]÷（2y），其中x＝1，y＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y）＝[x2﹣y2+2xy﹣2y2﹣x2+2xy﹣y2]÷（2y）＝[﹣4y2+4xy]÷（2y）＝﹣2y+2x，当x＝1，y＝2时，原式＝﹣2×2+2×1＝﹣2．题型三：利用完全平方配方法求最值问题【典例3】（2022秋•偃师市期末）（1）用等号或“＞”、“＜”填空，探究规律并解决问题：比较a2+b2与2ab的大小．①当a＝3，b＝3时，a2+b2＝2ab；②当a＝2，时，a2+b2＞2ab；③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2＞2ab．（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；（3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为S1，S2．若△BCG 的面积为2保持不变，请直接写出S1+S2的最小值．【答案】（1）＝，＞，＞；（2）a2+b2≥2ab；证明见解答；（3）8．【解答】解：（1）①把a＝3，b＝3代入，a2+b2＝9+9＝18，2ab＝2×3×3＝18，所以a2+b2＝2ab；②把a＝2，b＝代入，a2+b2＝4+＝，2ab＝2×2×＝2，所以a2+b2＞2ab；③把a＝﹣2，b＝3代入，a2+b2＝4+9＝13，2ab＝2×（﹣2）×3＝﹣12，所以a2+b2＞2ab；故答案为：＝，＞，＞：（2）由（1）可得，a2+b2≥2ab，理由如下：∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab；（3）由题意可知S1＝a2，S2＝b2，∵△BCG的面积为2，即ab＝2，∴ab＝4，∵S1+S2＝a2+b2≥2ab，∴S1+S2＝a2+b2≥8，因此S1+S2的最小值为8．【变式3-1】（2022秋•硚口区期末）a、b为实数，整式a2+b2﹣4a+6b的最小值是（）A．﹣13B．﹣4C．﹣9D．﹣5【答案】A【解答】解：a2+b2﹣4a+6b＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）﹣13＝（a﹣2）2+（b+3）2﹣13，∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0，∴（a﹣2）2+（b+3）2﹣13的最小值为﹣13，即a2+b2﹣4a+6b的最小值为﹣13．故选：A．【变式3-2】（2022春•庐阳区校级期中）用四个长为m，宽为n的相同长方形按如图方式拼成一个正方形．（1）根据图形写出一个代数恒等式：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）已知3m+n＝9，mn＝6，试求3m﹣n的值；（3）若m+n＝1，求m2+n2的最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵直接用阴影正方形边长的平方可求阴影面积＝（m﹣n）2，用大正方形面积减四个小长方形的面积可求阴影面积＝（m+n）2﹣4mn，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）∵（3m﹣n）2＝（3m+n）2﹣12mn，∴（3m﹣n）2＝81﹣72＝9，∴3m﹣n＝±3；（3）∵m+n＝1，∴m＝1﹣n，∴m2+n2＝（1﹣n）2+n2＝1+2n2﹣2n＝2（n﹣）2+≥，∴m2+n2的最小值为．【变式3-3】（2023春•龙岗区校级期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，换句话说，“算两次”的思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．理解：（1）如图2，四个完全一样的长方形摆成一个大的正方形，长方形的长和宽分别为a和b，运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab（用a、b表示）应用：（2）利用（1）中的结论解决问题：若x+y＝8，xy＝4，则（x﹣y）2＝48；拓展：（3）如图3，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB 上一动点．求CD的最小值．【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）48；（3）．【解答】解：（1）图2中正方形ABCD的面积＝（a+b）2，图2中正方形ABCD的面积＝（a﹣b）2+4ab，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）∵x+y＝8，xy＝4，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝64﹣16＝48，故答案为：48；（3）当CD⊥AB时，CD取得最小值，设CD的最小值为h，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴△ABC的面积＝，△ABC的面积＝，∴＝，解得h＝＝，∴CD的最小值为．题型四：平方差公式在几何图形中的应用【典例4】（2022秋•任泽区期末）乘法公式的探究及应用．【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：①若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；②计算：102×98．【拓展】（3）计算：．【答案】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①3；②9996；（3）．【解答】解：（1）大的正方形边长为a，面积为a2，小正方形边长为b，面积为b2，∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，∴图1阴影部分面积＝a2﹣b2，图2阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b），∵图1的阴影部分与图2面积相等，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，x+3y＝4，即：4×（x﹣3y）＝12，∴x﹣3y＝3；②102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996；（3）＝＝＝＝．【变式4-1】（2023春•高密市月考）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是B；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a+ab2＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（22+42+62+82+102+122+…1002）﹣（12+32+52+72+92+112+…992）．【答案】（1）B；（2）①3；②5050．【解答】解：（1）左图中，阴影部分为正方形，面积为：a2﹣b2，右图阴影是拼成的长方形，长是：a+b，宽是：a﹣b，所以右图阴影部分面积为：（a+b）（a﹣b），由于左右两图面积相等，所以有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：B．（2）①由（1）中规律，利用平方差公式可得：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），∵x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，∴x﹣2y＝12÷4＝3．故答案为：3．②通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律将原式写成：（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+（82﹣72）+……+（1002﹣992），＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+（6+5）（6﹣5）+（8+7）（8﹣7）+……+（100+99）（100﹣99），＝3+7+11+15+……+199＝（3+199）×[（199﹣3）÷4+1]÷2＝202×50÷2＝5050．故答案为：5050．【变式4-2】（2023秋•林州市期末）（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（用式子表达）．（2）运用你所得到的公式，计算（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（2）（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c），＝[（a﹣c）+2b][（a﹣c）﹣2b]，＝（a﹣c）2﹣（2b）2，＝a2﹣2ac+c2﹣4b2．【变式4-3】（2022秋•杜尔伯特县月考）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）试利用这个公式计算：①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）②③（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原阴影面积＝a2﹣b2，拼剪后的阴影面积＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）验证的公式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p），＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]，＝（2m）2﹣（n﹣p）2，＝4m2﹣n2+2np﹣p2；②＝＝＝＝5；③（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1，＝（232﹣1）（232+1）+1，＝264﹣1+1，＝264．题型五：完全平方公式在几何图形中的应用【典例5】（2023秋•清原县期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．（1）【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：方法一：（m+n）2﹣4mn；方法二：（m﹣n）2；（2）【得出结论】根据（1）中的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系为（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）【知识迁移】根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b＝8，ab＝7，求a﹣b的值．【答案】（1）方法一：（m+n）2﹣4mn；方法二：（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）﹣6或6．【解答】解：（1）方法一：（m+n）2﹣4mn；方法二：（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2（2）代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2（3）由（2）可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝82﹣4×7＝36．∴a﹣b＝6或a﹣b＝﹣6．【变式5-1】（2023秋•大安市期末）完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝4；（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积．【答案】（1）xy＝4；（2）5．【解答】解：（1）∵x+y＝6，x2+y2＝28，∴（x+y）2＝36，则x2+y2+2xy＝36，∴2xy＝36﹣28＝8，则xy＝4；故答案为：4；（2）设AC＝x，BC＝y，∵AB＝8，∴x+y＝8，则（x+y）2＝64，∵S1+S2＝44，∴x2+y2＝44，∴x2+y2+2xy＝44+2xy＝64，∵xy＝10，∴【变式5-2】（2022秋•宁乡市期末）【阅读理解】若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值．解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100，a+b＝（32﹣x）+（x ﹣12）＝20，（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×100＝200，我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．【解决问题】（1）若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5，则（100﹣x）2+（x﹣95）2＝15；（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2000）2＝229，求（2023﹣x）（x﹣2000）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝24cm，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝12cm，且BE＝DF＝xcm，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为320cm2，求图中阴影部分的面积和．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据阅读材料的方法，设100﹣x＝a，x﹣95＝b，则ab＝5，而a+b＝5，∴（100﹣x）2+（x﹣95）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×5＝15；故答案为：15；（2）设2023﹣x＝a，x﹣2000＝b，则a2+b2＝229，而a+b＝23，∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝232﹣229＝529﹣229＝300，∴ab＝150，即（2023﹣x）（x﹣2000）＝150；（3）由题意得：CF＝CD﹣DF＝24﹣x，BC＝CE+BE＝x+12，设CF＝a，BC＝b，∴a+b＝24﹣x+x+12＝36，∵长方形CBQF的面积为320cm2，∴（24﹣x）（12+x）＝ab＝320，∴图中阴影部分的面积和＝（24﹣x）2+（x+12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝362﹣2×320＝656（cm2）．【变式5-3】（2023春•揭阳期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2．（2）若a+b＝9，ab＝21，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab．（2）∵a+b＝9，ab＝21∴S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝81﹣3×21＝18∴S1+S2的值为18．（3）由图可得：S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣＝（a2+b2﹣ab）∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30∴S3＝×30＝15∴图3中阴影部分的面积S3为15一．选择题（共2小题）1．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（）A．10B．20C．30D．40【答案】C【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；①则S△BDOS△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2；②S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2；③∴阴影部分面积＝①+②+③＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2＝{a2+2b2﹣（ab+b2）+（ab﹣b2）+b2}÷2＝（a2+b2）÷2，④由已知a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：（a+b）2＝102，解得a2+b2+2ab＝100，a2+b2＝100﹣2•20，化简＝60代入④式，得60÷2＝30，∴S＝30．阴影部分故选：C．2．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（）A．5B．9C．13D．17【答案】C【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34，解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13．故选：C．二．填空题（共6小题）3．若规定符号的意义是：＝ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得，＝m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m）＝m3﹣7m+3，∵m2﹣2m﹣3＝0，∴m2＝2m+3，m2﹣2m＝3∴m3﹣7m+3＝m（m2）﹣7m+3＝m（2m+3）﹣7m+3＝2m2﹣4m+3＝2（m2﹣2m）+3＝2×3+3＝9，所以当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9．故答案为：9．4．已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为10．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（a﹣4）（a﹣2）＝3，∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2＝（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2＝（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3＝4，∴（a﹣4）2+（a﹣2）2＝10．故答案为：10．5．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如3＝22﹣12，7＝42﹣32，16＝52﹣32，3，7，16就是三个智慧数．在正整数中，从1开始，第2022个智慧数是2699．【答案】见试题解答内容【解答】解：设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．设两个数分别为k+1，k﹣1，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k ﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，k＝2时，4k＝8，∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数；除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2＝m2﹣n2，∴4k+2＝2（2k+1）＝（m+n）（m﹣n）①，∵m+n和m﹣n这两个数的奇偶性相同，∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，又∵（2022﹣1）÷3＝673••••••2，∴第2022个智慧数在1+673+1＝675（组），并且是第三个数，即675×4﹣1＝2699，是个奇数，∴2k+1＝2699，解得k＝1349，k+1＝1350，即第2022个智慧数是2699，1349和1350是它的智慧分解．故答案为：2699．6．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+2b）20的展开式中第二项的系数为40．【答案】40．【解答】解：根据“杨辉三角“，可知，（a+2b）0的第二项系数为0×2，（a+2b）1的第二项系数为1×2，（a+2b）2的第二项系数为2×2，（a+2b）3的第二项系数为3×2，……（a+2b）20的第二项系数为20×2＝40，故答案为：40．7．已知m2+2km+16是完全平方式，则k＝±4．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵m2+2km+16是完全平方式，∴2km＝±8m，解得k＝±4．8．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，＝（532﹣1）+，＝．三．解答题（共11小题）9．先化简，后求值：[（2a﹣b）2﹣（b+2a）（b﹣2a）]÷（4a），其中．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝[4a2﹣4ab+b2﹣（b2﹣4a2）]÷（4a）＝（4a2﹣4ab+b2﹣b2+4a2）÷（4a）＝（8a2﹣4ab）÷（4a）＝2a﹣b，当时，原式＝．10．阅读材料：若x满足（x﹣3）（x﹣5）＝16，求（x﹣3）2+（x﹣5）2的值．解：设x﹣3＝a，x﹣5＝b，则ab＝（x﹣3）（x﹣5）＝16，a﹣b＝（x﹣3）﹣（x﹣5）＝2，∴（x﹣3）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝22+2×16＝36．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（x﹣2）（x﹣5）＝10，求（x﹣2）2+（x﹣5）2的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形DFGH．①MF＝x﹣1，DF＝x﹣3；（用含x的代数式表示）②若长方形EMFD的面积为24，则阴影部分的面积为20．【答案】（1）29；（2）①x﹣1，x﹣3；②20．【解答】解：（1）设x﹣2＝a，x﹣5＝b，∴a﹣b＝x﹣2﹣（x﹣5）＝3，∵（x﹣2）（x﹣5）＝10，∴ab＝10，∴（x﹣2）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×10＝9+20＝29，∴（x﹣2）2+（x﹣5）2的值为29；（2）①由题意得：MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，故答案为：x﹣1；x﹣3；②由题意得MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，则（x﹣1）（x﹣3）＝24，设x﹣1＝a，x﹣3＝b．则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝24，a﹣b＝x﹣1﹣x+3＝2，∴（x﹣1+x﹣3）2＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×24＝100，∵a≥0，b≥0，∴x﹣1+x﹣3＝a+b＝＝10，∴阴影部分面积为（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝10×2＝20．11．有一系列等式：1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）22×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）23×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）24×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果892（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1＝（82+3×8+1）2＝892；故答案为：892；（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2，理由如下：等式左边＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝n4+6n3+9n2+2n2+6n+1＝n4+6n3+11n2+6n+1，等式右边＝（n2+3n+1）2＝（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2＝n4+2n2+1+6n3+6n+9n2＝n4+6n3+11n2+6n+1，左边＝右边．12．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE 和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是a2﹣b2（写成平方差的形式）（2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE 的面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式相乘的形式）（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（4）利用所得公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2；（2）根据题意得：阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；（3）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）原式＝4（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+＝4（1﹣））（1+）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）+＝4（1﹣）+＝4﹣+＝4．故答案为：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b213．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为＝﹣2，恰好为x ＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为；（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求（m+n）（m﹣n）的值；（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n和﹣3x＝mn+m都是“恰解方程”，求代数式4（mn+n）2﹣6（mn+m）﹣（m﹣n）的值．【答案】（1）（2）（3）【解答】解：（1）3x+k＝0，3x＝﹣k，，∵关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，∴x＝3﹣k，∴，﹣k＝9﹣3k，﹣k+3k＝9，2k＝9，，故答案为：；（2）把x＝n代入关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n，∴﹣2n＝mn+n，∴mn＝﹣3n，∴m＝﹣3，∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，即方程为﹣2x﹣mn﹣n＝0，∴x＝﹣2﹣（﹣mn﹣n）＝﹣2+mn+n，∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n解为x＝n（n≠0），∴﹣2+mn+n＝n，∴mn＝2，∴﹣3n＝2，解得：，∴（m+n）（m﹣n）．＝＝＝＝；（3）解3x＝mn+n得：，∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝3+mn+n，∴，∴mn+n＝，解﹣3x＝mn+m得：，∵方程﹣3x＝mn+m是“恰解方程”，∴x＝﹣3+mn+m．∴，∴mn+m＝，∴解得m﹣n＝，4（mn+n）2﹣6（mn+m）﹣（m﹣n）．＝4×﹣6×﹣＝4×﹣6×﹣＝．14．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n＝4，mn＝12，求m+n的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）方法一：∵大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，∴中间阴影部分的面积为S＝（m+n）2﹣4mn．方法二：∵中间小正方形的边长为m﹣n，∴其面积为（m﹣n）2．（4分）（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2或（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn）．（6分）（3）由（2）得（m+n）2﹣4×12＝42，即（m+n）2＝64，∴m+n＝±8．又m、n非负，∴m+n＝8．（8分）15．阅读理解：①32+42＞2×3×4②32+32＝2×3×3；③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×（﹣5）（1）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有a、b的式子表示上述规律；（2）运用你所学的知识证明你发现的规律；（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）规律是：如果a、b是两个实数，则有a2+b2≥2ab；（2）∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab；（3）∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2﹣2ab≥2ab，（a+b）2≥4ab，ab≤（a+b）2＝×16＝4．故ab的最大值是4．16．已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，求x2+y2与xy的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝1①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49②，∴①+②得：2（x2+y2）＝50，即x2+y2＝25；①﹣②得：4xy＝﹣48，即xy＝﹣12．17．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4＝x2﹣2xy+y2+y2+4y+4＝（x﹣y）2+（y+2）2＝0，∴x﹣y＝0，y+2＝0，解得x＝﹣2，y＝﹣2，∴x y＝（﹣2）﹣2＝；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，即（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，a﹣5＝0，b﹣4＝0，解得a＝5，b＝4，∵c是△ABC中最长的边，∴5＜c＜9．18．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，则当a与b满足a＝2b时，S为定值，且定值为a2．（用含a或b的代数式表示）【答案】a＝2b，a2．【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）如图，（3）设DG长为x．∵S1＝a[x﹣（a+2b）]＝ax﹣a2﹣2ab，S2＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab，∴S＝S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣a2﹣2ab）＝（2b﹣a）x+a2，由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，可知当2b﹣a＝0时，即a＝2b时，S＝a2为定值，故答案为：a＝2b，a2．19．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（只要写出一个即可）；（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝，x2+4y2+9z2＝44，求2xy﹣3xz﹣6yz的值．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）①45；②﹣20．【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）①∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）＝112﹣2×38＝45；②∵2x×4y÷8z＝，∴2x×22y÷23z＝，∴2x+2y﹣3z＝2﹣2，∴x+2y﹣3z＝﹣2，∵（x+2y﹣3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy﹣3xz﹣6yz），x2+4y2+9z2＝44，∴（﹣2）2＝44+2（2xy﹣3xz﹣6yz），∴2xy﹣3xz﹣6yz＝﹣20．。
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乘法公式的拓展及常见题型整理例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。
⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()222a c c b b a -+-+-的值是⑵1=+y x ，则222121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b22+=____________，a b =_________⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a-=++22，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。
⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bdac ，求))((2222d c b a ++例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2(2)ab例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值⑴若499,7322=-=-y x yx ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 ba ba -+的值为 ⑷已知20042005+=x a，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．（四）步步为营例题：3⨯(22+1)⨯(24+1)⨯(28+1)⨯(162+1)6⨯)17(+⨯(72+1)⨯(74+1)⨯(78+1)+1()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++1)12()12()12()12()12()12(3216842++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+222222122009201020112012-++-+-ΛΛ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411…⎪⎭⎫⎝⎛-2201011（五）分类配方 例题：已知03410622=++-+n m n m ，求n m +的值。
⑴已知：x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值为 。
⑵已知x ²+y ²-6x-2y+10=0，则11x y+的值为 。
⑶已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004xy +的值为 .⑷若x y x y 2246130++-+=，x ，y 均为有理数，求yx 的值为 。
⑸已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值为⑹说理:试说明不论x,y 取什么有理数,多项式x 2+y 2-2x+2y+3的值总是正数.（六）首尾互倒 例1：已知242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a+=++-求：（）例2：已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221aa +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；⑴已知0132=--x x，求①221x x += ②221x x-=⑵若x 2－219x ＋1=0，求441x x +的值为⑶如果12a a +=,那么221a a += 2、已知51=+x x ，那么221x x +=_______⑷已知31=-x x ，则221x x +的值是⑸若12a a += 且0<a<1,求a － a1的值是 ⑹已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+和a － a1和221a a +的值为⑺已知31=+x x ，求①221x x += ②441x x +=⑻已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221aa +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；（七）知二求一例题：已知3,5==+ab b a ， 求：①22b a + ②b a - ③22b a - ④abb a + ⑤22b ab a +- ⑥33b a +⑴已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______⑵若a 2+2a=1则(a+1)2=________.⑶若22a b +=7，a+b=5，则ab= 若22a b +=7，ab =5，则a+b= ⑷若x 2+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=_________.22ab +=7，a-b=5，则ab= ⑸若22a b +=3，ab =-4，则a-b=⑹已知:a+b=7,ab=-12,求 ①a 2+b 2= ②a 2-ab+b 2= ③(a-b)2= ⑺已知a ＋b=3，a 3＋b 3=9，则ab= ，a 2+b 2= ,a -b=第五讲 乘法公式应用与拓展【基础知识概述】一、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b2完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2变形公式：（1）()2222ab a b ab +=+-（2）()2222a b a b ab +=-+（3） ()()222222a b a b a b ++-=+（4）()()224a b a b ab +--=二、思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式。
③ 注意公式的逆用。
④ 2a ≥0。
⑤ 用公式的变形形式。
三、典型问题分析：1、顺用公式： 例1、计算下列各题：①()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++② 3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+12、逆用公式：例2. ①1949²-1950²+1951²-1952²+……+2011²-2012²②⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411……⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011③ 1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655【变式练习】填空题：① 26a a ++＿＿= 2__a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+②241x ++＿＿=（ 2)6．x 2+ax+121是一个完全平方式，则a 为（ ） A ．22 B ．－22 C ．±22 D ．03、配方法：例3．已知：x ²+y ²+4x-2y+5=0，求x+y 的值。
【变式练习】①已知x ²+y ²-6x-2y+10=0，求11x y+的值。
②已知：x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值。
③当x = 时，代数式2x 取得最小值，这个最小值是当x = 时，代数式24x +取得最小值，这个最小值是 当x = 时，代数式()234x -+取得最小值，这个最小值是 当x= 时，代数式243x x --取得最小值，这个最小值是对于2243x x ---呢？4、变形用公式： 例5. 若()()()240x z x y y z ----=，试探求x z +与y 的关系。
例6．化简：()()22a b c d a b c d +++++--例7. 如果22223()()ab c a b c ++=++，请你猜想：a 、b 、c 之间的关系，并说明你的猜想。
完全平方公式变形的应用练习题 一:1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值2、已知0136422=+-++y x y x，y x 、都是有理数，求y x 的值。
3．已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
二：1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
3、已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
4、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值5．已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
6．已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --的值。
7．已知16x x-=，求221x x +的值。
8、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x x+9、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
10、已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()ab c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？B 卷：提高题一、七彩题1．（多题－思路题）计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n +1）+1（n 是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）一变：利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）二变：利用平方差公式计算：22007 200820061⨯+．二、知识交叉题3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．三、实际应用题4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？课标新型题1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______．②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m，n和数字4．3.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．4、探究拓展与应用(2+1)(22+1)(24+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22－1)(22+1)(24+1) =(24－1)(24+1)=(28－1). 根据上式的计算方法，请计算(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)－2364的值.“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考： 1、当代数式532++x x的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.2、已知2083-=x a ，1883-=x b ，1683-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。