2020届山西省高考考前质检数学理科试卷(三)(有答案)
2020年山西省运城市高中联合体高考数学三模试卷(理科)
2020年山西省运城市高中联合体高考数学三模试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|12x 2+x >0}，B ={x|(12)x >1}，则A ∩B =( )A. {x|x <−2}B. {x|x <0}C. {x|−2<x <0}D. {x|0<x <1}2. 若(a +i)(−3+i)=x +yi(a,x ，y ∈R)，则( )A. x +y +4=0B. x +y +2=0C. x +3y +10=0D. x +3y +8=03. 若函数f(x)={g(x),x <02x −3,x >0为奇函数，则f(g(−1))=( )A. −52B. 52C. −1D. 14. (x +2x )(x −1)5展开式中x 3项的系数为( )A. −5B. −20C. 15D. 55. 若|AM|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3，|AN|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−8，则|MN|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2√2B. √6C. √14D. √1426. 若[x]表示不超过x 的最大整数，如[2.5]=2，[4]=4，则函数f(x)=[x]称为取整函数，又称高斯函数．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为( )A. 8B. 7C. 6D. 57. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 为棱AB 中点，则过点P与DB 1垂直的平面截正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为( )A. 6√3B. 4√3C. 3√3D. 2√38. 已知直线l 与直线x +√3y −3=0垂直，且与x 轴关于双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√33B. √2C. 2√33或2 D. √2或439. 设α∈(0,π2)，β∈(0,π4)，且tanα=1+sin2βcos2β，则下列结论中正确的是( )A. 2α−β=π4B. 2α+β=π4C. α−β=π4 D. α+β=π410. 已知曲线C 由抛物线y 2=2x 及抛物线y 2=−2x 组成，A(1,2)，B(−1,2)，M ，N 是曲线C 上关于y 轴对称的两点(A,B ，M ，N 四点不共线，且点M 在第一象限)，则四边形ABNM 周长的最小值为( )A. 2+√17B. 1+√17C. 3D. 411. 已知f(x)=sin(2x −φ)(0<φ<π2)在[0,π3]上是增函数，且f(x)在(0,7π8)有最小值，则φ的取值范围是( )A. [π6,π2)B. [π6,π4)C. [π3,π2)D. [π4,π3)12. 若对任意x ∈(0,+∞)，xe x −2lnx >2x +a 恒成立，则a 的取值范围是( )A. (−∞,−2ln2)B. (−∞,ln2)C. (−∞,2−2ln2)D. (−∞,2+2ln2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件{x +y −2≤03x −y +2≥0x −2y −1≤0，则x −y 的最大值为______．14. 棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1封闭薄壁容器内有一个高为2，底面半径为1的圆柱水平移动，在移动过程中，该圆柱的一个底面恒在平面ABCD 内，则该圆柱不能到达的区域的体积为______． 15. 已知△ABC 中，∠BAC =2π3，∠BAC 的平分线交BC 于D ，AD =2，则BC 的最小值为______．16. 已知函数f(x)的定义域D =(−∞,0)∪(0,+∞)，且对任意x 1，x 2∈D ，恒有f(x 1x 2)=f(x 1)+f(x 2)，当x >1时，f(x)<0，若f(2m −1)>f(m)+3m 2−4m +1，则m 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=2a 1，S 3=a 5+2．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =a n 2+a n+12S n，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.采购经理指数(PMI)是衡量一个国家制造业的“体检表”，是衡量制造业在生产、新订单、商品价格、存货、雇员、订单交货新出口订单和进口等八个方面状况的指数，如图为2018年9月−2019年9月我国制造业的采购经理指数(单位：%)．(1)求2019年前9个月我国制造业的采购经理指数的平均数(精确到0.1)；(2)从2018年10月−2019年9月这12个月任意选取4个月，记采购经理指数与上个月相比有所回升的月份个数为X，求X的分布列与期望．19.如图，四边形ABCD为平行四边形，且AB=AD=BD=2，点E，F为平面ABCD外两点，EF//AC且EF=2AE=2√3，∠EAD=∠EAB．(1)证明：BD⊥CF；(2)若∠EAC=60°，求异面直线AE与DF所成角的余弦值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，圆x 2+y 2−2y =1经过椭圆C 的左右焦点F 1，F 2． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B ，D ，E 是椭圆C 上不同四点(其中点D 在第一象限)，且AB//DE ，直线DA ，DB 关于直线x =1对称，求直线DE 的方程．21. 已知函数f(x)=e x (x −ax −2)，其定义域为 (0,+∞).(其中常数e =2.71828⋅⋅⋅，是自然对数的底数)(1)求函数f(x)的递增区间；(2)若函数f(x)为定义域上的增函数，且f(x 1)+f(x 2)=−4e ，证明：x 1+x 2≥2．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+2√55ty =a −√55t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ． (1)若曲线C 关于直线l 对称，求a 的值；(2)若A，B为曲线C上两点，且OA⊥OB，求△AOB面积的最大值．23.已知函数f(x)=|2x−2a|+|x+a|(a>0)．(1)求不等式f(x)≥3a的解集；(2)若f(x)的最小值为2−b(b>0)，求证：√2a+1+√b+1≤2√2．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为A={x|12x2+x>0}={x|x<−2或x>0}，B={x|(12)x>1}={x|x<0}，所以A∩B={x|x<−2}．故选：A．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵(a+i)(−3+i)=−(3a+1)+(a−3)i，∴x=−(3a+1)，y=a−3，∴x+3y+10=0，故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解．本题考查复数相等的条件，是基础的计算题．3.【答案】C【解析】解：当x<0时，−x>0，因为x>0时，f(x)=2x−3，则f(−x)=2−x−3，因为f(x)为奇函数，故f(−x)=−f(x)，即f(x)=−12x+3，故f(x)={−12x+3,x<0 2x−3,x>0，所以g(−1)=1，∴f(g(−1))=f(1)=2−3=−1．故选：C．由已知结合奇函数的定义先求出g(x)，然后求解g(1)，进而可求．本题主要考查了利用分段函数求解函数值，属于基础试题．4.【答案】B【解析】解：(x −1)5展开式中x 2项的系数：(−1)3C 53=−10；(x −1)5展开式中x 4项的系数：(−1)⋅C 51=−5； 故(x +2x )(x −1)5展开式中x 3项的系数为C 53(−1)3+2C 51(−1)=−20，故选：B ．求出表达式的(x −1)5中的x 2的系数以及(x −1)5中x 4的系数，求和即可得到展开式中x 3项的系数． 本题是基础题，考查二项式定理的应用，二项式中特定项的系数的求法，考查计算能力．5.【答案】A【解析】 【分析】根据条件可求出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，从而根据|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2即可求出答案．本题考查了向量数量积的运算，向量减法的几何意义，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题． 【解答】解：∵|AM|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3，|AN|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −9=−8， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，|MN|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2√2．故选：A ．6.【答案】D【解析】解：第一次执行循环：s =[1003]=33，k =9，满足条件；第二次执行循环：s =[333]=11，k =8满足条件； 第三次执行循环：s =[113]=3，k =7，满足条件； 第四次执行循环：s =[33]=1，k =6，满足条件；第五次执行循环：s =[13]=0，k =5，不再满足条件，结束循环，输出的k 的值为5． 故选：D ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s的值并输出相应变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】C【解析】解：过点P与DB1垂直的平面被正方体ABCD−A1B1C1D1截面是以AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，AA1中点P，E，F，G，H，Q为顶点，边长为√2的正六变形，因为B1D⊥平面A1BC1，平面A1BC1//平面PEFGHQ，所以B1D⊥平面PEFGHQ，且面积为6×(√2)2×√34=3√3．故选：C．作出截面图形，计算正六边形的面积，即可得出答案．本题考查正方体中的截面面积问题，考查空间想象能力，运算求解能力，求解时注意平行性质的应用，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由直线l与直线x+√3y−3=0垂直，可得直线l的斜率为3，倾斜角为60°，由直线l与x轴关于双曲线C的一条渐近线对称，得双曲线C的一条渐近性的倾斜角为30°或120°，斜率为√33或−√3，即ba =√33或√3，由双曲线C的离心率e=√1+(ba )2，得e=2√33或2，故选：C．通过直线垂直，结合双曲线的渐近线的斜率关系，推出a，b关系，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.【答案】C【解析】【分析】化简可得tanα=1+tanβ1−tanβ=tan(β+π4)，根据角的范围得到α=β+π4．本题主要考查了三角恒等变换，属于基础题．【解答】解：tanα=1+sin2βcos2β=(sinβ+cosβ)2 cos2β−sin2β=sinβ+cosβcosβ−sinβ=1+tanβ1−tanβ=tan(β+π4)．∵α∈(0,π2)，β+π4∈(π4,π2)，所以α=β+π4．故选：C．10.【答案】B【解析】解：设抛物线y2=2x的焦点为F，则四边形ABNM的周长l=|AB|+2|AM|+2x M=2+2|AM|+2|AF|−1≥1+√17，当A，M，F共线时取等号，故选：B．通过抛物线的位置关系．转化求解四边形的周长，推出最小值即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正弦函数的最值、定义域和值域，属于中档题．由题意利用正弦函数的最值、定义域和值域，求得φ的取值范围．【解答】解：由x∈[0,π3]，可得2x−φ∈[−φ,2π3−φ]，结合0<φ<π2，由f(x)在[0,π3]上是增函数，可得2π3−φ≤π2，所以π6≤φ<π2①.当x∈(0,7π8)时，2x−φ∈(−φ,7π4−φ)，由f(x)在(0,7π8)有最小值，可得7π4−φ>3π2，即φ<π4②，结合①②可得，π6≤φ<π4，故选：B．12.【答案】C【解析】解：xe x−2lnx>2x+a恒成立，∴a<xe x−2lnx−2x，设f(x)=xe x−2lnx−2x，对任意x∈(0,+∞)，设t=lnx+x，则t∈R，且f(x)=e t−2t，设g(t)=e t−2t，则g′(t)=e t−2，令g′(t)=0，解得t=ln2，当t<ln2时，g′(t)<0，当t>lnt，g′(t)>0，∴g(t)在(−∞,ln2)上是减函数，在(ln2,+∞)上是增函数，∴g(t)≥g(ln2)=2−2ln2，∴g(t)的最小值为2−2ln2，即f(x)的最小值为2−2ln2，∴a<2−2ln2，故选：C．设f(x)=xe x−2lnx−2x，则f(x)>a恒成立，再构造函数g(t)=e t−2t，根据导数和函数最值的关系即可求出最值，即可求出a的范围．本题考查了导数和函数最值的关系，参数的取值范围和函数恒成立的问题，考查了转化能力，属于中档题．13.【答案】43【解析】解：作出可行域如图中阴影部分所示，设z=x−y，则y=x−z，当直线y=x−z经过点B(53,13)时，截距−z取得最小值，此时z取得最大值，z max=53−13=43．故答案为：43．作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14.【答案】17−2π【解析】解：该圆柱到达的区域为一个柱体，柱体的底面图形如图，该柱体的底面积S=32−4(1−π4)=5+π，高为2，体积为10+2π，所以该圆柱不能到达的区域的体积为33−(10+2π)=17−2π．故答案为：17−2π．通过圆柱的的底面积，体积，分析判断求解即可．本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15.【答案】4√3【解析】解：设AB=c，AC=b，BC=a，由S△ABC=S△ADB+S△ADC得12bcsin2π3=12⋅2csinπ3+12⋅2bsinπ3，整理得bc=2(b+c)≥4√bc，所以√bc≥4，bc≥16，由余弦定理得a=√b2+c2+bc≥√3bc≥4√3，当b=c时取等号，所以BC的最小值为4√3．故答案为：4√3由已知结合三角形的面积公式及基本不等式可求bc的范围，然后结合余弦定理即可求解．本题主要考查了三角形的面积公式，基本不等式及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题．16.【答案】(13,12)∪(12,1)【解析】解：由f(x 1x 2)=f(x 1)+f(x 2)，取x 1=x 2=1，得f(1)=0，取x 1=x 2=−1，得f(−1)=12f(1)=0， 取x 1=x ，x 2=−1，得f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)， 所以f(x)是偶函数．设x 1>x 2>0，则x 1x 2>1，f(x1x 2)<0，所以f(x 1)=f(x 2⋅x 1x 2)=f(x 2)+f(x1x 2)<f(x 2)，所以f(x)在(0,+∞)上是减函数．设g(x)=f(x)−x 2，则偶函数g(x)在(0,+∞)上是减函数，所以f(2m −1)>f(m)+3m 2−4m +1⇔f(2m −1)−(4m 2−4m +1)>f(m)−m 2⇔g(2m −1)>g(m)⇔g(|2m −1|)>g(|m|) ⇔0≠|2m −1|<|m|⇔0≠(2m −1)2<m 2⇔13<m <1且m ≠12， 所以m 的取值范围是(13,12)∪(12,1)． 故答案为：(13,12)∪(12,1)．分别令x 1=x 2=1和x 1=x 2=−1，求出f(1)和f(−1)，再取x 1=x ，x 2=−1，然后判断f(x)的奇偶性，再设g(x)=f(x)−x 2，判断g(x)的奇偶性和单调性，由题意得到关于m 的不等式，解不等式得到m 的取值范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，不等式的解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2=2a 1，S 3=a 5+2得{a 1+d =2a13a1+3d =a 1+4d +2，解得a 1=2，d =2，所以a n =a 1+(n −1)d =2n ； (2)由a n =2n ，得S n =n(n +1)，b n =a n 2+a n+12S n=8n 2+8n+4n(n+1)=8+4n(n+1)=8+4(1n −1n+1)，所以T n=b1+b2+⋯+b n=8n+4(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=8n+4−4n+1=8n2+12nn+1．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题设条件列出d与a1的方程组，解出d与a1，即可求得a n；(2)先由(1)求得b n，再利用裂项相消法求前n项和T n．本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)2019年前9个月我国制造业的采购经理指数的平均数为49.5+49.2+50.5+50.1+49.4+49.4+49.7+49.5+49.89≈49.7．(2)2018年10月−2019年9月这12个月中，采购经理指数与上个月相比有所回升的依次为2019年1月、3月、7月、9月，共4个，所以X的取值依次为0，1，2，3，4，P(X=0)=C84C124=1499，P(X=1)=C41C83C124=224495，P(X=2)=C42C82C124=56165，P(X=3)=C43C81C124=32495，P(X=4)=C44 C124=1495，所以X的分布列为X01234P 149922449556165324951495数学期望E(X)=0×1499+1×224495+2×56165+3×32495+4×1495=43．【解析】(1)根据折线图中2019年前9个月的数据和平均数的求法即可得解；(2)由折线图可知，采购经理指数与上个月相比有所回升的共4个月，所以X的可能取值为0，1，2，3，4，再根据超几何分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．本题考查折线图中平均数的求法、超几何分布、离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：设BD与AC相交于点G，连接EG，由题意可得四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，DG=GB，在△EAD和△EAB中，AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB，所以△EAD≌△EAB，所以ED =EB ，所以BD ⊥EG ，因为AC ∩EG =G ，所以BD ⊥平面ACFE ， 因为CF ⊂平面ACFE ，所以BD ⊥CF ．(2)解：如图，在平面AEFC 内，过G 作AC 的垂线，交EF 于M 点， 由(1)可知，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以MG ⊥平面ABCD ，故直线GM ，GA ，GB 两两互相垂直， 分别以GA ，GB ，GM 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系G −xyz ， 因为∠EAC =60°，则A(√3,0,0)，D(0,−1,0)，E(√32,0,32)，F(−3√32,0,32)，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,0,32)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√32,1,32)，异面直线AE 与DF 所成角的余弦值为： |cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AE⃗⃗⃗⃗⃗ ||DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|94+0+94|√3⋅√10=3√3020．【解析】(1)设BD 与AC 相交于点G ，连接EG ，从而BD ⊥AC ，推导出△EAD≌△EAB ，从而BD ⊥平面ACFE ，由此能证明BD ⊥CF ．(2)过G 作AC 的垂线，交EF 于M 点，分别以GA ，GB ，GM 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系G −xyz ，利用向量法能求出异面直线AE 与DF 所成角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间位置等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)设c =√a 2−b 2，由题意得c a =12，由圆x 2+y 2−2y =1经过椭圆C 的左，右焦点F 1，F 2得c =1， 所以a =2，b =√3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)由题意可得D(1,32)，且直线DA 的斜率存在， 设DA ：y =k(x −1)+32，A(x A ,y A )，B(x B ,y B ). 把y =k(x −1)+32与椭圆方程x 24+y 23=1联立，得(3+4k 2)x 2+4k(−2k +3)x +4k 2−12k −3=0．所以x D ⋅x A =1×x A =4k 2−12k−33+4k 2，所以x A =4k 2−12k−33+4k 2，y A =k(x A −1)+32=−12k 2−6k 3+4k 2+32，由直线DA ，DB 关于直线x =1对称，可得直线DB 的斜率为−k ． 用−k 代替k ，得x B =4k 2+12k−33+4k 2，y B =−12k 2+6k 3+4k 2+32，k AB =y B −yA x B−x A=−12k 2+6k 3+4k 2+32−−12k 2−6k 3+4k 2−324k 2+12k−33+4k 2−4k 2−12k−33+4k 2=12．又AB//DE ，所以直线DE 的方程为y −32=12(x −1)，即x −2y +2=0．【解析】(1)设c =√a 2−b 2，通过离心率ca =12，结合圆x 2+y 2−2y =1经过椭圆C 的左，右焦点F 1，F 2得c =1，然后求解a ，b 即可得到椭圆方程．(2)设DA ：y =k(x −1)+32，A(x A ,y A )，B(x B ,y B ).把y =k(x −1)+32与椭圆方程x 24+y 23=1联立，利用韦达定理．转化求解直线AB 的斜率，然后求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21.【答案】解：(1)易知f′(x)=e x (x−1)(x 2−a)x 2，①若a ≤0，由f′(x)>0，解得：x >1， 故函数f(x)在(1,+∞)递增，②若0<a <1，令f′(x)>0，解得：0<x <√a ，或x >1， 令f′(x)<0，解得：√a <x <1，故f(x)在(0,√a)递增，在(√a,1)递减，在(1,+∞)递增， ③若a =1，则f′(x)=e x (x−1)2(x+1)x 2≥0，故函数f(x)在(0,+∞)递增，④若a >1，令f′(x)>0，解得：0<x <1或x >√a ， 令f′(x)<0，解得：1<x <√a ，故f(x)在(0,1)递增，在(1,√a)递减，在(√a,+∞)递增， 综上，若a ≤0，f(x)在(1,+∞)递增， 若0<a <1，f(x)在(0,√a)，(1,+∞)递增， 若a =1，f(x)在(0,+∞)递增，若a >1，f(x)在(0,1)，(√a,+∞)递增； (2)∵函数f(x)在(0,+∞)递增， ∴a =1，即f(x)=e x (x −1x −2)，注意到f(1)=−2e ，故f(x 1)+f(x 2)=−4e =2f(1)， 即证−4e −f(x 1)≥f(2−x 1)，即证f(x 1)+f(2−x 1)≤−4e ， 令ℎ(x)=f(x)+f(2−x)，0<x ≤1， 只需证明ℎ(x)≤ℎ(1)，故ℎ′(x)=f′(x)−f′(2−x)=e 2−x (x −1)2[e 2x−2(x+1)x 2−(3−x)(2−x)2]，下面证明ℎ′(x)≥0，即证e 2x−2(x+1)x 2−3−x(2−x)2≥0，由熟知的不等式e x ≥1+x 可知e 2x−2=(e x−1)2≥(1+x −12=x 2, 当0<x ≤1时，即e 2x−2x 2≥1，故e 2x−2(x+1)x 2−3−x(2−x)2≥x +1−3−x(x−2)2=x 3−3x 2+x+1(x−2)2，易知当0<x ≤1时，x 2−2x −1<0，故x 3−3x 2+x +1=(x −1)(x 2−2x −1)≥0， 故e 2x−2(x+1)x 2−3−x(2−x)2≥0，故ℎ′(x)≥0，即ℎ(x)递增，即ℎ(x)≤ℎ(1)， 从而x 1+x 2≥2．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为证f(x 1)+f(2−x 1)≤−4e ，令ℎ(x)=f(x)+f(2−x)，0<x ≤1，即证e 2x−2(x+1)x 2−3−x (2−x)2≥0，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =1+2√55ty =a −√55t ，消去参数t 得直线l 的普通方程为x +2y −2a −1=0． 由{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−2x =0，即(x −1)2+y 2=1，因为圆C 关于直线l 对称，所以圆心(1,0)在直线x +2y −2a −1=0上， 所以a =0．(2)由点A ，B 在圆ρ=2cosθ且OA ⊥OB ，不妨设∠AOx =α，∠BOx =α−π2， 则△AOB 的面积S =12×|OA||OB|=12×|2cosα||2cos(α−π2)|=|sin2α|≤1， 当α=π4时，取最大值． 所以△AOB 面积的最大值为1．【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】解：(1)f(x)={−3x +a,x <−a−x +3a,−a ≤x ≤a 3x −a,x >a ．①当x <−a 时，由f(x)≥3a ，得x <−a ； ②当−a ≤x ≤a 时，由f(x)≥3a ，得−a ≤x ≤0； ③当x >a 时，由f(x)≥3a ，得x ≥4a 3，综上不等式的解集为{x|x ≤0或x ≥4a 3}；(2)证明：由f(x)={−3x +a,x <−a−x +3a,−a ≤x ≤a 3x −a,x >a ，可知f(x)min =f(a)=2a ，∴2a =2−b ，∴2a +b =2，∴√2a +1+√b +1≤√2[(2a +1)+(b +1)]=√2(2a +b +2)=2√2， 当且仅当a =12，b =1时取等号， ∴√2a +1+√b +1≤2√2．【解析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≥3a ，利用零点分段法解不等式即可； (2)先求出f(x)的最小值，然后根据f(x)的最小值为2−b ，得到a ，b 的关系，再证明不等式即可． 本考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想，属中档题．。
2020年山西省高考考前适应性测试理科数学·答案与解析
则
A
′（0，0，
3），设 2
P（52
-
a，
3
a，0），其中 0
<
a
≤
3 2
，则
A′P
=
(
5 2
-
a,
3 a, -
3 2
).
平面 A′BM 的法向量为 n=（0，1，0），设直线 PA′与平面 A′BM 所成角为 θ，
| | 则 sinθ = cos A′P, n =
3a
= 3 10 .
( 5 - a )2 + 3a2 + 3
10
2
4
2a2 - 15a + 21 = 0. 解得 a = 15 ± 57 > 3 ，
4
2
所以不存在 P 满足条件 . ………………………………………………………………………………………… 12 分
19. 解：（1）设点 A( a, 0 )关于直线 y = x - 1 的对称点为 A′( x′, y′ )，
P
满足条件，这时
PB
=
3.
………………………………………………
12 分
（iii）若用条件③A′B= 7 ，在△A′BM 中，由余弦定理得 ∠A′MB = 120°.
过 A′作 A′O⊥BM，垂足为 O，则 A′O⊥平面 BCNM.
同（ii），以 O 为原点，OB, OD, OA′ 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 .
ì y′
则
ïï í ïï î
x′ y′ 2
=
a a
=
+ 2
- 1, x′ -
解得 x′ 1,
=
2020年山西省晋城市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年山西省晋城市高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={2x2-x≥0}，B={y|y＞-1}，则A∩B=（）A. （-1，0]B. （-1，0]∪[）C. （-1，]D. [）2.若=m+ni，其中m，n∈R，则m-n=（）A. B. C. D.3.某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如图的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在[20，30）的概率为（）A.B.C.D.4.记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=272，则a3+a9+a15=（）A. 24B. 36C. 48D. 645.《九章算术》卷第七--盈不足中有如下问题；“今有垣高九尺．瓜生其上，蔓日长七寸．瓤生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢．”翻译为“今有墙高9尺．瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸．葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺．问需要多少日两蔓相遇．”其中1尺=10寸．为了解决这一问题，设计程序框图如图所示，则输出的k的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 86.设双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN=∠F2NM，则|MN|=（）A. 8B. 4C.D.7.函数f（x）=|sin x|+cos2x的值域为（）A. B. C. D.8.如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 32B. 20C. 10D. 89.已知a=ln，b=e-1，c=，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AAˈ⊥l，垂足为Aˈ，若四边形AAˈPF的面积为14，且，则抛物线C的方程为（）A. B. C. D.11.如图所示，体积为8的正方体中ABCD-A1B1C1D1，分别过点A1，C1，B作A1M，C1N，BP垂直于平面ACD1，垂足分别为M，N，P，则六边形D1MAPCN的面积为（）A. B. 12 C. D.12.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）＜0，且，则（）A. B.C. D. f（3）＜e2•f（1）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量=（2，4），=（-3，λ）λ∈R，⊥，则λ=______．14.若x，y满足约束条件，则的取值范围为______.15.（2-3x）2（1-x）7的展开式中，x3的系数为______．16.记正项数列{a n}的前n项和为S n，且当n≥2时，2a n=na n-（n-1）a n-1+7，若a2=9，则S40=______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，锐角△ABC中，，点D在线段BC上，且，△ACD的面积为，延长BA至E，使得EC⊥BC．（1）求AD的值；（Ⅱ）若，求AE的值．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=∠CAA1=90°，AA1=AB=2AC=A1B．（1）求证：A1B⊥BC；（2）若M是棱B1C1的中点，求二面角M-AB-C的余弦值．19.某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分．（Ⅰ）设消费者的年龄为x，对该款智能家电的评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，且年龄x的方差为，评分y的方差为．求y与x的相关系数r，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱．（Ⅱ）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关．好评差评青年816中老年206附：线性回归直线=x的斜率=；相关系数r=独立性检验中的K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.82820.已知△ABC的周长为6，B，C关于原点对称，且B（-1，0）．点A的轨迹为Γ．（Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）若D（-2，0），直线l：y=k（x-1）（k≠0）与Γ交于E，F两点，若，，成等差数列，求λ的值．21.已知函数．（Ⅰ）若a＜0，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a≥0，证明：．22.已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），以原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）过点（-2，1）的直线l与曲线C交于两点，且|AB|=2，求直线l的方程．23.已知f（x）=|x+m|+|2x-3|．（Ⅰ）若m=2，求不等式f（x）＞6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|2x-3|+3x在[1，5]上恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：；∴．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：C解析：【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得m，n，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．【解答】解：由==m+ni，得m=-，n=-，∴m-n=-．故选：C．3.答案：B解析：解：依题意．该公司共有20名员工，其中迟到次数在[20，30）的有6人，故所求概率为P=，故选：B．该公司共有20名员工，根据茎叶图，迟到次数在[20，30）的有6人，代入古典概型的概率公式即可，本题考查了茎叶图，概率的计算，考查运算求解能力及滑轨思想，属于基础题．4.答案：C解析：数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，S17=272===17a9，所以a9=16，所以a3+a9+a15=3a9=48，故选：C．S17=272===17a9，所以a9=16，所以a3+a9+a15=3a9=48，本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的性质，是基础题．5.答案：B解析：解：第一次，S=9-1.7=7.3，k=2，第二次，S=7.3-1.7=5.6，k=3，第三次，S=5.6-1.7=3.9，k=4，第四次，S=3.9-1.7=2.2，k=5，第五次，S=2.2-1.7=0.5，k=6，第六次，S=0.5-1.7=-1.2，满足条件，输出k=6，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件，进行模拟运算是解决本题的关键．6.答案：C解析：【分析】根据双曲线的定义得出|F1M|和|F1N|的大小关系即可．本题考查抛物线的定义性质的应用，结合图形性质是解决问题的方法之一．【解答】解：由双曲线的性质可知：|F2M|-|F1M|=2a=4，|F1N|-|F2N|=2a=4，∴|F2M|=|F1M|+4，|F1N|=|F2N|+4，∵∠F2MN=∠F2NM，∴|F2M|=|F2N|，∴|F1N|=|F1M|+8，∴|MN|=|F1N|-|F1M|=8．故选：C．7.答案：C解析：【分析】本题考查了三角函数的化简求值，考查计算能力转化思想，属中档题．利用三角函数的平方关系式，化简函数的表达式，结合sin x的范围，然后求出函数的最值．【解答】解：f（x）=|sin x|+cos2x=，=，①当0≤sin x≤1时，f（x）=，∴当sin x=时，；当sin x=1时，f（x）min=0，∴f（x）∈[0，]，②当-1≤sin x＜0时，f（x）=，∴当sin x=时，；当sin x=-1时，f（x）min=0，∴f（x）∈[0，]，综上，f（x）的值域为：[0，]．故选：C．8.答案：B解析：【分析】本题考查三视图求解几何体的体积，判断三视图对应几何体的形状是解题的关键．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体的直观图如图：ABCD-EFGH，是底面边长为2的正四棱柱，被一个平面所截剩余的多面体，几何体的体积为：2×2×2+×2×2=20．故选：B．9.答案：D解析：【分析】考查对数的运算，构造函数解决问题的方法，以及根据导数符号判断函数单调性的方法．可先得出，然后设，根据导数符号即可判断出f（x）在[e，+∞）上单调递减，从而得出f（e）＞f（3）＞f（8），即得出b＞a＞c．【解答】解：；设，；∴x≥e时，（x）≤0；∴f（x）在[e，+∞）上单调递减；∴f（e）＞f（3）＞f（8）；∴；∴b＞a＞c．故选：D．10.答案：C解析：分析：本题主要考查了抛物线的定义标准方程及其性质、四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′．设|AF′|=3x，根据cos∠FAA′=，可得|AF|=5x，|F′F|=4x．由抛物线定义可得：|AF|=|AA′|=5x．|A′F′|=2x=p，解得x．利用四边形AA'PF的面积S=即可得出．解：过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′．设|AF′|=3x，∵cos∠FAA′=，∴|AF|=5x，|F′F|=4x，由抛物线定义可得：|AF|=|AA′|=5x，则|A′F′|=2x=p，解得x=，∴四边形AA'PF的面积S===14，解得p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．故选：C．11.答案：D解析：解：由题意可知正方体棱长为2，故△ACD1为边长为2的等边三角形，由对称性可知六边形D1MAPCN为正六边形，∴六边形的面积为2S=2××（2）2=4．故选：D．根据对称性可知六边形为正六边形，利用正六边形知识求出面积即可．本题考查了空间线面位置关系，考查空间想象与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：，所以f（x）+2f'（x）＜0．构造函数：g（x）=e x•f2（x），所以g'（x）=e x•f2（x）+2e x•f（x）•f'（x）=e x•f（x）•[f（x）+2f'（x）]＞0．所以函数g（x）在R上单调递增，所以g（2）＞g（1），即e2•f2（2）＞e•f2（1），即e•f2（2）＞f2（1）．故选：C．化简已知条件，构造函数，g（x）=e x•f2（x），利用函数的导数判断函数的单调性，转化求解即可．本题考查导数与函数的单调性，考查逻辑推理能力．13.答案：解析：解：依题意•=0，即-6+4λ=0，解得λ=，故答案为：．依题意•=0，即-6+4λ=0，解得即可．本题考查了向量垂直的充要条件，考查了运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题．14.答案：[-5，]解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图所示；z=的几何意义为可行域内的动点M与定点D（10，-1）连线的斜率，由，解得A（1，0），由，解得B（9，4），计算k DA==-，k DB==-5，所以的取值范围是[-5，-]．故答案为：[-5，]．画出约束条件对应的可行域，根据z=的几何意义为可行域内的动点与定点D（10，-1）连线的斜率，结合图形找出最优解，从而求出z的取值范围．本题考查了线性规划的变形应用已经数形结合的解题思想，也考查了转化思想的应用问题，是基础题．15.答案：-455解析：解：由（1-x）7的展开式的通项为T r+1=（-x）r得：（2-3x）2（1-x）7=（4-12x+9x2）（1-x）7的展开式中，x3的系数为4××（-1）3+（-12）×（-1）2+9××（-1）1=-455，故答案为：-455．二项式定理及展开式通项公式得：（4-12x+9x2）（1-x）7的展开式中，x3的系数为4××（-1）3+（-12）×（-1）2+9××（-1）1=-455，得解．本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题．16.答案：1840解析：解：当n≥2时，2a n=na n-（n-1）a n-1+7，∴2a n+1=（n+1）a n+1-na n+7，相减可得：（n-1）a n+1+（n-1）a n-1=2（n-1）a n，即a n+1+a n-1=2a n．∴数列{a n}是等差数列．n=2时，可得：2a2=2a2-a1+7，解得a1=7，∵a2=9=a1+d，∴d=2．则S40=40a1+d=40×7+=1840，故答案为：1840．当n≥2时，2a n=na n-（n-1）a n-1+7，2a n+1=（n+1）a n+1-na n+7，相减可得：a n+1+a n-1=2a n．可得数列{a n}是等差数列．n=2时，可得：2a2=2a2-a1+7，解得a1，又a2=9=a1+d，联立解得a1，d．利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：（Ⅰ）在△ACD中，=．所以．因为0°＜∠ACD＜90°，所以．由余弦定理得：AD2=CD2+CA2-2•CD•CA•cos∠ACD=56，可得：．（Ⅱ）因为EC⊥BC，所以．在△AEC中，由正弦定理得，可得：，所以．解析：（Ⅰ）在△ACD中，利用三角形的面积公式可求，结合范围0°＜∠ACD＜90°，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠ACD的值，根据余弦定理可得AD的值；（Ⅱ）由EC⊥BC，利用诱导公式可求sin∠ACE的值，在△AEC中，由正弦定理AE的值．本题考查诱导公式、三角形的面积公式、正余弦定理，着重考查运算求解能力以及数形结合思想，属于中档题．18.答案：解：（1）证明：∵∠BAC=∠CAA1=90°，即AB⊥AC，AC⊥AA1，AB∩AA1=A，AB，AA1平面ABB1A1，∴AC⊥平面ABB1A1，又A1B⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，设AA1=2，∴AB=A1B=2，∴=，∴A1B⊥AB，∵AC∩AB=A，AC,AB平面ABC，∴A1B⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴A1B⊥BC．（2）由（1）知，直线A1C1，A1B1，BA1两两互相垂直，如图，以A1为原点，分别以A1C1，A1B1，BA1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=2，则A1（0，0，0），A（0，-2，-2），M（1，1，0），B（0，0，-2），∴=（0，2，0），=（-1，-1，-2），设平面MAB的法向量为=（x，y，z），则，∴，取z=1，则=（-2，0，1），平面ABC的一个法向量=（0，0，1），∴cos＜＞==，由图知二面角M-AB-C的平面角为锐角，∴二面角M-AB-C的余弦值为．解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．（1）推导出AC⊥平面ABB1A1，AC⊥A1B，A1B⊥AB，从而A1B⊥平面ABC，由此能证明A1B⊥BC．（2）以A1为原点，分别以A1C1，A1B1，BA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AB-C的余弦值．19.答案：解：（Ⅰ）由题意，计算相关系数为r==•=•=1.2×=0.96；据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强；（Ⅱ）根据列联表中的数据，计算K2=≈9.624＞6.635，所以有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关．解析：（Ⅰ）由题意计算相关系数r的值，即可得出结论“相关性较强”；（Ⅱ）根据列联表中的数据计算K2，对照数表得出结论．本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了相关性强弱的判断问题，是基础题．20.答案：解：（Ⅰ）依题意，B（-1，0），C（1，0），故|BC|=2，则|AB|+|AC|=4＞|BC|=2，故点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），故Γ的方程为．（Ⅱ）依题意，，故．联立，整理得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，．故==== =，则λ=2．解析：（Ⅰ）利用已知条件判断A满足椭圆定义，转化求Γ的方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合，，成等差数列，然后推出经过．本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力、推理论证能力．21.答案：解：（1）依题意，x∈（0，+∞），f′（x）=+a-==；令f′（x）=0，则x=1或x=-；当a≤-1时，ax+（a+1）＜0，由f′（x）＞0得x∈（0，1），由f′（x）＜0得x∈（1，+∞）；当a=-时，f′（x）=-×≤0；当a＞-1且-＜1，即：-1＜a＜-时，由，f′（x）＞0，得：x∈（-，1）；由f′（x）＜0得：x∈（0，-）；或x∈（1，+∞）；当-＞1时，即：-＜a＜0时；由f′（x）＞0，得：x∈（1，-）；由f′（x）＜0，得：x∈（0，1）或：x∈（-，+∞）；综上所述，当a≤-1时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当a=-时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当-1＜a＜-时，函数f（x）在（0，-）和（1，+∞）上单调递减，在（-，1）上单调递增；当-＜a＜0时，函数在（0，1）和（-，+∞）上单调递减，在（1，-）上单调递增；（Ⅱ）要证明：．即证：≥．即证：ln x+ax+-2a≥；即证：ln x+ax+-2a-≥0；令F（x）=ln x+ax+-2a-；F′（x）=+a--=-=（x-1）（+）；因为a≥0，所以当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增所以F（x）min=F（1）=0，即F（x）≥0．故当a≥0时，得证．解析：（Ⅰ）若a＜0，求函数f（x）的导函数分类讨论a可得函数的单调性；（Ⅱ）若a≥0，分析法证明：．在令新函数F（x）=ln x+ax+-2a-；利用导数求最值可得答案．本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．属于难题．22.答案：解：（Ⅰ）由为参数），消去参数α，可得（x-2）2+（y-1）2=9．故x2+y2-4x-2y-4=0．就曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ-4=0；（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在．设直线方程为y-1=k（x+2），即kx-y+2k+1=0．而|AB|=2，则圆心到直线l的距离d=．又d=，∴=，解得k=±1．∴直线l的方程为x+y+1=0或x-y+3=0．解析：（Ⅰ）直接消去参数α可得C的普通方程，进一步转化为极坐标方程；（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y-1=k（x+2），即kx-y+2k+1=0，再求出圆心到直线l的距离d，求解即可得答案．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．23.答案：解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=|x+2|+|2x-3|=，当x＜-2时，不等式f（x）＞6化为-3x+1＞6，解得x＜-，所以x＜-2；当-2≤x≤时，不等式f（x）＞6化为5-x＞6，解得x＜-1，所以-2≤x＜-1；当x＞时，不等式f（x）＞6化为3x-1＞6，解得x＞，所以x＞；综上所述，不等式f（x）＞6的解集为{x|x＜-1或x＞}；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤|2x-3|+3x化为|x+m|≤3x，所以-3x≤x+m≤3x，即-4x≤m≤2x在[1，5]上恒成立，所以，解得-4≤m≤2，所以实数m的取值范围是[-4，2]．解析：（Ⅰ）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）＞6的解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤|2x-3|+3x化为|x+m|≤3x，再根据绝对值的定义求出m的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想与转化方法，是中档题．。
2020年山西省高考考前适应性测试理科数学·答案与解析
c sinC
得 sinA
sinC cosA
=
3 sinC.
而行 又因为 sinC ≠ 0，∴tanA =
3 ，∴A =
π 3
.
…………………………………………………………………………
6分
西思 （2）由△ABC 的面积为 3 ，得 bc = 4，
山 司 由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bccosA = b2 + c2 - bc ≥ 2bc - bc = bc = 4，
的最小值为
π 6
.
思 公 11. D 【解 析】如 图 所 示 ，E, F, G, H, N 分 别 为 B1C1, C1 D1, DD1, DA, AB 的 中 点 ，则 西 限 EF ∥ B1 D1 ∥ NH，MN ∥ B1 A ∥ FG，所以平面 MEFGHN∥平面 AB1D1，所以动点 P 山 有 的轨 迹 是 六 边 形 MEFGHN 及 其 内 部 . 因 为 AB = AD = 2，AA1 = 4，所 以 EF=HN=
山西 司 棱锥组合而成，圆柱体的体积为 27π，正四棱锥的体积为 12，所以几何体的体积为 27π + 12.
限公 8. B 【解析】设 PA = a，AB = b，AC = c，则
科技有 VP - ABC
=
1 3
·S
△ABC
·PA
=
1 6
abc，又 VP - ABC
=
1 3
S1 R
+
1 3
S2 R
15. 2；y = -
2x 4
【解析】由已知得| AF1 | + | AF2 | = 2a | | ①，AF1 2 | | + AF2 2 = 4c2 ②，
山西省临汾市2020年高考考前适应性训练考试(三)数学(理科)试题答案
所以 BC =3 ．...............................................................................................12 分
在 ∆ACD 中，由余弦定理的推论可得 cos ∠ACD = AC 2 + CD 2 − AD 2 ............................................................5 分
2AC ⋅ CD = m2 + 9m2 − 8m2 = 1 ．.........................................................6 分
33
所以直线 PD 和平面 PAB 所成角的正弦值为 2 ．..............................12 分 2
【另解】
（1）因为点 C 是正 ∆PAB 边 PB 的中点， 所以 AC ⊥ BC ，又因为 PA ⊥ BC ，且 AC ∩ PA = A ，
所以 BC ⊥ 平面PAC ．...............................................................................4 分
6 ) ， PA = ( 4
32 ,0,−
6 ) ， AB = (−2
3,2,0) ．
3
3
3
3
.....................................8 分
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)
2020年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|320}A x x x =-+…，{|1}B x x a =+…，若A B R =U ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，)+∞B ．(-∞，2]C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]2．（5分）若复数z 满足(12)z i i =-g ，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知1a b >>，0c <，则( ) A ．c ca b< B ．a b c c <C ．c c a b <D ．log ()log ()a b b c a c ->-4．（5分）已知sin cos αα-(0,)απ∈，则tan α的值是( )A ．1-B ．CD ．15．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．26．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = ) A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-7．（5分）平面向量a r，b r 共线的充要条件是( )A ．||||a b a b =r rr r gB ．a r，b r 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈，b a λ=r rD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r8．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为() A ．16B ．14 C ．13D ．129．（5分）把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位后，得到函数()y g x =的图象．则()g x 的解析式是( ) A ．2()sin ()12g x x π=+B ．1()cos(2)212g x x π=--C ．11()cos(2)262g x x π=--+D ．11()sin(2)262g x x π=-+10．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +„（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]11．（5分）已知抛物线2:8C x y =，过点0(M x ，0)y 作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则0y 的值为( ) A ．1-B ．2-C ．4-D ．不能确定12．（5分）点M 在曲线:3G y lnx =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，若3OM ONOP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数122log (01),()1(1),x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪->⎩„则1(())8f f = ．14．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆则A = ．15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为 ．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥②直线1B F 与直线BC所成角的正切值的取值范围是，1]2③α与平面11CDD C所成锐二面角的正切值为④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，11n n n n a b b nb +++=． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设12n nnc b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（12分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：（1）填写下面22x 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）若对年龄在[45，55)，[25，35)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据22()()()()()n adbc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AA C C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D ．（Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面11AA C C ； （Ⅱ）求二面角111A B C A --的余弦值．。
2020山西高考理科数学模拟试题含答案
2020年高三年级模拟试题（三）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|320,|230A x x x B x x =-+<=->，则R A C B =I （ ） A ．31,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 若()125i z i -+=-，则z 的值为（ ）A ． 3B ．5CD 3. “221a b +=”是“sin cos 1a b θθ+≤”恒成立的（ ） A ． 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件4. 若01a b <<<，则1,,log ,log b a b aa b a b 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>>5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数n 除以正整数m 后的余数为r ，则记为()mod n r m =，例如()112mod3=.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．21B ． 22 C. 23 D ．246. 已知()()611x ax -+展开式中2x 的系数为0，则正实数a =（ ） A ．1 B ．25 C. 23D ．2 7. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，若1111,3n n a S a +==，则7a =（ ） A ．74 B ．534⨯ C. 634⨯ D ．641+8. 如图是正四面体的平面展开图，,,,G H M N 分别是,,,DE BE EF EC 的中点，在这个正四面体中：①DE 与MN 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ． 1B ． 2 C. 3 D ．49. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于,M N两点，若3PF MF =u u u r u u u r，则MN =（ ）A ．163B ．8 C. 16 D 8310. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1B -，且在,183ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12172,,123x x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ） A ．3- B ． -1 C. 1 D ．211. 下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．514π B ．412πC. 41π D ．31π 12. 设函数()f x 满足()()()2232,28xe xf x x f x e f '+==，则2x ≥时，()f x 的最小值为（ ）A ． 22eB ．232e C. 24e D ．28e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.由曲线y x =y x =所围成的图形的面积是 ．14.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为16，左焦点为,F M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若16OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为 ．15.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有 种（用数字作答）.16.已知数列{}n a 与{}n b 满足()()()1*113121,2n nn n n n n b a b a b n N -+++-+=-+=∈，且12a =，则2n a = ．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知ABC ∆的内切圆面积为π，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2cos cos b c A a C -=.（1）求角A ；（2）当AB AC u u u r u u u rg 的值最小时，求ABC ∆的面积.18. 如图，在梯形ABCD 中，0//,120AB CD BCD ∠=，四边形ACFE 为矩形，CF ⊥平面,ABCD AD CD BC CF ===，点M 是线段EF 的中点. （1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）求平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角的余弦值.19.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表投保类型浮动因素浮动比率1A上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X 为该车在第四年续保时的费用，求X 的分布列；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元，若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，.不过原点的直线l 与椭圆C 相交于,M N 两点，设直线OM ，直线l ，直线ON 的斜率分别为12,,k k k ，且12,,k k k 成等比数列. （1）求12k k g的值； （2）若点D 在椭圆C 上，满足()221,0OD OM ON λμλμλμ=++=≠u u u r u u u u r u u u r g 的直线l 是否存在？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.已知函数()()()ln 20f x x a ax a =+->的最大值为()M a .（1）若关于a 的方程()M a m =的两个实数根为12,a a ，求证：1241a a <；（2）当2a >时，证明函数()()g x f x x =+在函数()f x 的最小零点0x 处取得极小值. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:6OM πθ5=与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()21f x x x =++-.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()10f x ax +->的解集为R ，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDADC 6-10: BBCAB 11、12：CD 二、填空题13. 16142n -三、解答题17.解：（1）由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=， ∴2sin cos sin cos sin cos sin B A C A A C B =+=， ∵sinB 0≠，∴2cos 1A =，∴3A π=；（2）由余弦定理得222a b c bc =+-， 由题意可知ABC ∆的内切圆半径为1，如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，,D E 为切点， 可得2,3AI AD AE ===， 则23b c a +-= 于是(2223b c b c bc +-=+-，化简得()43348bc b c bc =+≥ 所以12bc ≥或43bc ≤， 又3,3b c >>，所以12bc ≥，即[)16,2AB AC bc =∈+∞u u u r u u u r g ，当且仅当b c =时，AB AC u u u r u u u rg 的最小值为6，此时三角形ABC 的面积11sin 12sin 33223bc A π==⨯⨯=18.解：（1）在梯形中ABCD ，∵0//,,120AB CD AD BC BCD =∠=， ∴0060,120DAB ABC ADC ∠=∠=∠=， 又∵AD CD =，∴030DAC ∠=，∴030CAB ∠=，∴090ACB ∠=， 即BC AC ⊥. ∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC CF ⊥，而CF BC C =I ， ∴AC ⊥平面BCF ，∵//EF AC ，∴EF ⊥平面BCF ； （2）建立如图所示空间直角坐标系，设1AD CD BC CF ====， 则())()30,0,0,3,0,0,0,1,0,C AB M ⎫⎪⎪⎝⎭，∴()33,1,0,1,1AB BM ⎫==-⎪⎪⎝⎭u u u r u u u u r ，设()1,,n x y z =u r为平面MAB 的一个法向量，由110n AB n BM⎧=⎪⎨⎪⎩u r u u u r g u r u u u u r g 得3030x y y z ⎧+=-+=， 取1x =，则133,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u r ， ∵()21,0,0n =u u r是平面FCB 的一个法向量，∴1212219cos 3134n n n n θ===++u r u u r g u r u u r g . 19.解：（1）由题意可知X 的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a ，由统计数据可知：()()()()()()1111310.9,0.8,0.7,, 1.1, 1.348841616P X a P X a P X a P X a P X a P X a ============，所以X 的分布列为X 0.9a0.8a0.7aa 1.1a1.3aP14181814316116（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为14，三辆车中至少有2辆事故车的概率为321311351144432P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为4000,8000-. 所以的分布列为：所以()40008000500044E Y =-⨯+⨯=，所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为()10050E Y ⨯=万元.20.解：（1）由已知得c c e a ===224,1a b ==， 故椭圆C 的方程为2214x y +=； 设直线l 的方程为()()()11220,,,,y kx m m M x y N x y =+≠，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()()222148410,0k x kmx m +++-=∆>， 则()2121222418,1414m kmx x x x k k -+=-=++， 由已知()()()21212221212121212kx m kx m km x x m y y k k k k x x x x x x ++++====+， 则()2120km x x m ++=，即22222810,144k m m k k -+==+， 所以21214k k k ==； （2）假设存在直线l 满足题设条件，且设()00,D x y ，由OD OM ON λμ=+u u u r u u u u r u u u r，得012012,x x x y y y λμλμ=+=+，代入椭圆方程得：()()22121214x x y y λμλμ+++=，即2222221212121221442x x x x y y y y λμλμλμ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则121240x x y y +=，即()()121240x x kx m kx m +++=， 则()()22121214440k x x km x x m ++++=，所以()()2222222413214401414m k m k m k k-+-+=++g ， 化简得：22214m k =+，而214k =，则1m =±， 此时，点,M N 中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处），与12,k,k k 成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在.21.解：（1）()()121,2,022a x a a f x a x a a x ax a⎛⎫-+-⎪⎝⎭'=-=>->++，由()0f x '>，得122a x a a -<<-；由()0f x '<，得12x a a>-； 所以，()f x 的增区间为12,2a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，减区间为12,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以()21221ln M a f a a a a ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭， 不妨设12a a <，∴22112221ln 21ln a a a a --=--，∴()222212112ln ln lna a a a a a -=-=， ∴22212121212ln a a aa a a a a -=g ，∴2121212142ln a a a a a a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭g ，∴211221122ln4a a a a a a a a =⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设()()12ln 1h t t t t t =-->，则()22121110h t t t t ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，所以，()h t 在()1,+∞上单调递增，()()10h t h >=，则12ln 0t t t->>， 因211a a >，故2212121121122ln2ln 0,1a a a a a a a a a a a a ->><-，所以1241a a <； （2）由（1）可知，()f x 在区间12,2a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，又2x a →-时，()f x →-∞， 易知，()21221ln f a M a a a a ⎛⎫-==-- ⎪⎝⎭在()2,+∞递增，()()27ln 20M a M >=->， ∴0122a x a a -<<-，且02a x x -<<时，()0f x <；012x x a a<<-时，()0f x >， 当122a x a a -<<-时，()()()()()()001ln 2,21ln 21,2a x x a a x x g x x a a x x x a a ⎧+-+-<<⎪=⎨⎛⎫+--<<- ⎪⎪⎝⎭⎩， 于是02a x x -<<时，()()()0111122g x a a x a x a'=+-<+-++， 所以，若证明0121x a a <-+，则证明()01102a x a +-<+， 记()()211221ln 111H a f a a a a a ⎛⎫=-=+--+ ⎪++⎝⎭， 则()()211411H a a a a '=--++，∵2a >，∴()118093H a '>-->， ∴()H a 在()2,+∞内单调递增，∴()()222ln 203H a H >=->， ∵11221a a a a-<-+， ∴()f x 在112,22,21a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-⊆-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭内单调递增， ∴012,21x a a a ⎛⎫∈-- ⎪+⎝⎭，于是02a x x -<<时， 22.解：（1）圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数），∴圆C 的普通方程为()2239x y +-=；（2）化圆C 的普通方程为极坐标方程6sin ρθ=， 设()11,P ρθ，则由6sin 6ρθπθ=⎧⎪5⎨=⎪⎩解得1153,6πρθ==， 设()22,Q ρθ，则由2sin 656πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2254,6πρθ==， ∴211PQ ρρ=-=.23.解：（1）∵函数()()21213f x x x x x =++-≥+--=，故函数()21f x x x =++-的最小值为3，此时21x -≤≤；（2）当不等式()10f x ax +->的解集为R ，函数()1f x ax >-+恒成立， 即()f x 的图象恒位于直线1y ax =-+的上方，函数()21,2213,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩，而函数1y ax =-+表示过点()0,1，斜率为a -的一条直线，如图所示：当直线1y ax =-+过点()1,3A 时，31a =-+，∴2a =-，当直线1y ax =-+过点()2,3B -时，321a =+，∴1a =，数形结合可得a 的取值范围为()2,1-.。
2020年山西省太原市高考数学(理科)三模试卷 (解析版)
2020年太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．15．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．26．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a3﹣8，且S3＝13，则a2＝（）A．﹣3B．3C．−353D．3或−3537．平面向量a→，b→共线的充要条件是（）A．a→⋅b→=|a→||b→|B．a→，b→两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，b→=λa→D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．129．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象．则g（x）的解析式是（）A．g(x)=sin2(x+π12 )B．g(x)=−12cos(2x−π12)C．g(x)=−12cos(2x−π6)+12D．g(x)=12sin(2x−π6)+1210．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（log12a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[12，2]B．[1，2]C．(0，12)D．（0，2]11．已知抛物线C：x2＝8y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣4D．不能确定12．点M在曲线G：y＝3lnx上，过M作x轴垂线l，设l与曲线y=1x交于点N，若OP→=OM→+ON→3，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”则曲线G上的“水平黄金点”的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= ． 14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝ ． 15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 ．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12]③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =1nn，求数列{c n }的前n 项和S n ． 18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知四边形AA 1C 1C 为矩形，AA 1＝6，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝∠BAA 1＝60°，∠A 1AC 的角平分线AD 交CC 1于D ． （Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； （Ⅱ）求二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．21．已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax 2（a ∈R ）． （1）讨论函数的极值点个数；（2）若g （x ）＝f （x ）﹣x 有两个极值点x 1，x 2，试判断x 1+x 2与x 1•x 2的大小关系并证明．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]【分析】求出集合A，B，由A∪B＝R，能求出实数a的取值范围．解：∵集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x+1≥a}＝{x|x≥a﹣1}，A∪B＝R，∴a﹣1≤1，解得a≤2，∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．解：z＝（1﹣2i）•i＝2+i，z=2﹣i在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D．3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）【分析】直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果．解：①由于a＞b＞1，所以0＜1a＜1b，c＜0，故ca＞cb，选项A错误．②当c＝﹣2，a＝3，b＝2时，c a＞c b，故选项B错误．③由于a＞b＞1，c＜0，故a c＜b c，选项C正确．④由于a＞b＞1，c＜0，所以a﹣c＞b﹣c，故log a（b﹣c）＜log b（a﹣c），故错误．故选：C．4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．1【分析】由条件可得1﹣2sinαcosα＝2，求得sin2α＝﹣1，可得2α的值，从而求得tanα的值．解：∵已知sinα−cosα=√2，α∈(0，π)，∴1﹣2sinαcosα＝2，即sin2α＝﹣1，故2α=3π2，∴α=3π4，tanα＝﹣1．故选：A．5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a＝3，b＝1n＝1a=92，b＝2不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝2，a =274，b ＝4 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝3，a =818，b ＝8 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝4，a =24316，b ＝16 此时，满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为4． 故选：B ．6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝a 3﹣8，且S 3＝13，则a 2＝（ ） A ．﹣3B ．3C ．−353D ．3或−353【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解． 解：设公比为q ，易知q ≠1． 由{a 1=a 3−8S 3=13得{a 1=a 1q 2−8a 1(1−q 3)1−q =13， 解得{a 1=1q =3或{a 1=253q =−75， 当{a 1=1q =3时，a 2＝a 1q ＝3； 当{a 1=253q =−75时，a 2=a 1q =−353 所以a 2＝3或a 2=−353， 故选：D ．7．平面向量a →，b →共线的充要条件是（ ）A ．a →⋅b →=|a →||b →|B ．a →，b →两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b →=λa →D ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a →+λ2b →=0→【分析】写出共线向量基本定理，找四个选项中的等价命题得结论． 解：由共线向量基本定理可知，若平面向量a →，b →共线，则存在不为零的实数λ，使b→=λa→（a→≠0→），即λa→−b→=0→，其等价命题为存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→．故选：D．8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．12【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率．解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为p=mn=636=16．故选：A．9．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象．则g（x）的解析式是（）A．g(x)=sin2(x+π12 )B．g(x)=−12cos(2x−π12)C．g(x)=−12cos(2x−π6)+12D．g(x)=12sin(2x−π6)+12【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：把函数f（x）＝sin2x=12−12cos2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）=12−12cos（2x−π6）的图象，故选：C．10．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a 满足f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1），则a 的取值范围是（ ）A ．[12，2]B ．[1，2]C ．(0，12)D ．（0，2]【分析】由偶函数的性质将f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）化为：f （log 2a ）≤f （1），再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围． 解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以f （log 12a ）＝f （﹣log 2a ）＝f （log 2a ），则f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）为：f （log 2a ）≤f （1），因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增， 所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，则a 的取值范围是[12，2]，故选：A ．11．已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则y 0的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣4D ．不能确定【分析】设出AB 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M ，转化求解y 0的值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1≠x 2，由x 2＝8y ，可得y ′=x 4，所以k MA =x14，k MB =x 24， 因为过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，所以，k MA •k MB =x24•x 14=−1，可得x 1x 2＝﹣16，直线MA 的方程为：y ﹣y 1=x14（x ﹣x 1），x 1x ＝4（y +y 1）…①，同理直线MB 的方程为：y ﹣y 2=x24（x ﹣x 2），x 2x ＝4（y +y 2）…②， ①×x 2﹣②×x 1，可得y =x 1x28=−2，即y 0＝﹣2， 故选：B ．12．点M 在曲线G ：y ＝3lnx 上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线y =1x 交于点N ，若OP →=OM →+ON →3，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】设M （x 1，3lnx 1），可得直线l 的方程，联立曲线y =1x，可得N 的坐标，再由向量的加法运算可得P 的坐标，再由P 的纵坐标始终为0，考虑方程的解的个数，设出函数，求得导数和单调性、极值和最值，判断最值的符号，即可得到所求个数．解：设M （x 1，3lnx 1），则直线l ：x ＝x 1，由{x =x 1y =1x 可得y =1x 1，即N （x 1，1x 1）， OP →=OM →+ON →3=13（2x 1，3lnx 1+1x 1）＝（2x 13，lnx 1+13x 1）， 又P 的纵坐标始终为0，即lnx 1+13x 1=0，可令f （x ）＝lnx +13x （x ＞0），导数为f ′（x ）=1x −13x 2=3x−13x 2，由f ′（x ）＝0，可得x =13，则当0＜x ＜13时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减；x ＞13时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增． 可得f （x ）在x =13处取得极小值，且为最小值f （13）＝ln 13+1＝1﹣ln 3， 由1﹣ln 3＜0，则f （x ）在（0，+∞）有两个零点，即方程lnx 1+13x 1=0有两个不等实根，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= 8 ． 【分析】依题意得f （18）＝3，从而f （f （18））＝f （3），由此能求出结果．解：∵函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)， 则f （18）＝log1218=3；∴f(f(18))=f （3）＝32﹣1＝8．故答案为：8．14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝2π3．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解． 解：由余弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝﹣2bc cos A ， △ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4=−√32bccosA ， 又因为S △ABC =12bcsinA =−√32bccosA ，所以tan A =−√3， 由A ∈（0，π）可得A =2π3． 故答案为：2π315．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 √3 ．【分析】根据点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，推出P 的位置，然后求解双曲线的离心率． 解：F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|， 可知：PF 2⊥F 1F 2，|PF 2|=b 2a ，tan ∠F 1PF 2=2cb 2a=√3，即2ac =√3（c 2﹣a 2），可得√3e 2﹣2e −√3=0，e ＞1， ∴e =√3． 故答案为：√3．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12]③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ①②③④ ．（写出所有正确的命题序号）【分析】分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，然后利用面面平行的判定定理证明平面MNB 1∥平面A 1BE ，从而确定平面MNB 1就是平面α． 当F 为线段MN 的中点时，可证明①；②利用平移的思想，将直线B 1F 与直线BC 所成角转化为B 1F 与B 1C 1所成的角，由于B 1C 1⊥平面MNC 1，所以tan ∠FB 1C 1即为所求，进而求解即可；③平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，也就是求出tan ∠B 1QC 1即可； ④由正方体的对称性和二面角的含义即可判断． 解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，则MN ∥A 1B ，MB 1∥EA 1，∵MN 、MB 1⊂平面MNB 1，A 1B 、EA 1⊂平面A 1BE ，且MN ∩MB 1＝M ，A 1B ∩EA 1＝A 1， ∴平面MNB 1∥平面A 1BE ，∴当F 在MN 上运动时，始终有B 1F ∥平面A 1BE ，即平面MNB 1就是平面α． 对于①，当F 为线段MN 的中点时，∵MB 1＝NB 1，∴B 1F ⊥MN ，∵MN ∥CD 1，∴B 1F ⊥CD 1，即①正确；对于②，∵BC ∥B 1C 1，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角即为所求， ∵B 1C 1⊥平面MNC 1，C 1F ⊂平面MNC 1，∴B 1C 1⊥C 1F ，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角为∠FB 1C 1，且tan ∠FB 1C 1=FC1B 1C 1，而FC 1的取值范围为[√22，1]，B 1C 1＝2，所以tan ∠FB 1C 1∈[√24，12]，即②正确；对于③，平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，取MN 的中点Q ，因为B 1C 1⊥平面MNC 1，所以∠B 1QC 1就是所求角，而tan ∠B 1QC 1=B 1C 1QC 1=22=2√2，即③正确；对于④，由对称性可知，与α所成的锐二面角相等的面有平面BCC 1B 1，平面ADD 1A 1，平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ，即④正确． 故答案为：①②③④．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =12nb n，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【分析】（1）先由题设条件求得a 1，再求a n ，进而论证数列{nb n }是常数列，最后求得b n ；（2）先由（1）求得c n ，再由错位相减法求S n ．解：（1）由已知得：a 1b 2+b 2＝b 1，∴a 1＝1．又∵{a n }是公差为1的等差数列，∴a n ＝n ．∵a n b n +1+b n +1＝nb n ，∴（n +1）b n +1＝nb n ，所以数列{nb n }是常数列，∴nb n ＝b 1＝1，∴b n =1n； （2）由（1）得：c n =12nb n =n •（12）n ， ∴S n ＝1×12+2×（12）2+3×（12）3+…+n •（12）n ①，又12S n ＝1×（12）2+2×（12）3+3×（12）4+…+n •（12）n +1②，由①﹣②可得：12S n =12+（12）2+（12）3+…+（12）n ﹣n •（12）n +1 =12[1−(12)n ]1−12−n •（12）n +1＝1﹣（n +2）•（12）n +1， ∴S n ＝2﹣（n +2）•（12）n ．18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．解：（1）根据题意填写2x 2列联表，年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝29 c ＝3 32 不了解 b ＝11 d ＝7 18 合计401050计算K 2=50×(29×7−11×3)240×10×32×18≈6.272＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）=C82⋅C42C102⋅C52=84225，P（X＝1）=C82⋅C41+C81⋅C21⋅C42C102⋅C52=104225，P（X＝2）=C81⋅C21⋅C41+C22⋅C42C102⋅C52=35225，P（X＝3）=C22⋅C41C102⋅C52=2225；所以随机变量X的分布列为：X0123P84225104225352252225所以X的数学期望为E（X）＝0×84225+1×104225+2×35225+3×2225=45．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知四边形AA1C1C为矩形，AA1＝6，AB＝AC＝4，∠BAC＝∠BAA1＝60°，∠A1AC的角平分线AD交CC1于D．（Ⅰ）求证：平面BAD⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．【分析】（Ⅰ）过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，推导出DE⊥AE，四边形AEDC为正方形，CE⊥AD，推导出△BAC≌△BAE，从而BC＝BE，CE⊥BO，从而CE⊥平面BAD，由此能证明平面BAD⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）推导出BO⊥AD，BO⊥CE，从而BO⊥平面AA1C1C，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．解：（Ⅰ）如图，过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，∵AC⊥AA1，∴DE⊥AE，又AD为∠A1AC的角平分线，∴四边形AEDC为正方形，∴CE⊥AD，又∵AC＝AE，∠BAC＝∠BAE，BA＝BA，∴△BAC≌△BAE，∴BC＝BE，又∵O 为CE 的中点，∴CE ⊥BO ，又∵AD ，BO ⊂平面BAD ，AD ∩BO ＝O ，∴CE ⊥平面BAD ． 又∵CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ．（Ⅱ）在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝60°，∴BC ＝4， 在Rt △BOC 中，∵CO =12CE =2√2，∴BO =2√2，又AB ＝4，AO =12AD =2√2，∵BO 2+AO 2＝AB 2，∴BO ⊥AD ，又BO ⊥CE ，AD ∩CE ＝O ，AD ，CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴BO ⊥平面AA 1C 1C ， 故建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A （2，﹣2，0），A 1（2，4，0），C 1（﹣2，4，0），B 1(0，6，2√2)， ∴C 1B 1→=(2，2，2√2)，AC 1→=(−4，6，0)，C 1A 1→=(4，0，0)， 设平面AB 1C 1的一个法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 则{m →⊥C 1B 1→m →⊥AC 1→，∴{−4x 1+6y 1=02x 1+2y 1+2√2z 1=0， 令x 1＝6，得m →=(6，4，−5√2)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，则{n →⊥C 1B 1→n →⊥C 1A 1→，∴{4x 2=02x 2+2y 2+2√2z 2=0，令y 2=√2，得n →=(0，√2，−1)， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=9√2102⋅3=3√1717，故二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值为3√1717．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．【分析】（1）由题意焦距的值可得c 的值，再由过点的坐标，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分B 的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B 的坐标，由O 是三角形的重心可得MN 的中点的坐标，设M ，N 的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，求出O 到直线MN 的距离的表达式，再由B 的纵坐标的范围求出d 的取值范围，进而求出d 的最小值．解：（1）由题意可得：{c =11a 2+94b2=1c 2=a 2−b 2，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）设B （m ，n ），记线段MN 中点D ，因为O 为△BMN 的重心，所以BO →=2OD →，则点D 的坐标为：（−m 2，−n2）， 若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m|2，即为1，若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣m ，y 1+y 2＝﹣n ， 又x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，两式相减(x 1+x 2)(x 1−x 2)4+(y 1+y 2)(y 1−y 2)3=0，可得：k MN =y 1−y 2x 1−x 2═−3m4n ，故直线MN 的方程为：y =−3m4n（x +m 2）−n 2，即6mx +8ny +3m 2+4n 2＝0， 则点O 到直线MN 的距离d =|3m 2+4n 2|√36m +64n ，将m 24+n 23=1，代入得d =√n +9，因为0＜n 2≤3，所以d min =√32，又√32＜1，故原点O 到直线MN 的距离的最小值为√32．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈一、选择题）．（1）讨论函数的极值点个数；（2）若g（x）＝f（x）﹣x有两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与x1•x2的大小关系并证明．【分析】（1）先求出f'（x）＝lnx+x⋅1x−2ax＝lnx﹣2ax+1（x＞0），令f'（x）＝0，得2a=1+lnxx，记Q（x）=1+lnxx，则函数f（x）的极值点个数转化为函数Q（x）与y＝2a的交点个数，再利用导数得到Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且Q（x）max＝Q（1）＝1，对a分情况讨论，即可得到函数f（x）的极值点个数情况；（2）g（x）＝xlnx﹣ax2﹣x，g'（x）＝lnx﹣2ax（x＞0），令g'（x）＝0，则lnx﹣2ax＝0，所以2a=lnxx，记h（x）=lnxx，利用导数得到h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，h（x）max＝h（e）=1e，当x＞e时，f（x）＞0，所以当0＜2a＜1e即1＜a＜12e时g（x）有2个极值点x1，x2，从而得到2a=ln(x1x2)x1+x2，所以ln（x1+x2）＜ln（x1x2），即x1+x2＜x1x2．解：（1）f'（x）＝lnx+x⋅1x−2ax＝lnx﹣2ax+1（x＞0），令f'（x）＝0，得2a=1+lnxx，记Q（x）=1+lnxx，则Q'（x）=−lnxx2，令Q'（x）＞0，得0＜x＜1；令Q'（x）＜0，得x＞1，∴Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且Q（x）max＝Q（1）＝1，∴当2a＞1，即a＞12时，f'（x）＝0 无解，∴f（x）无极值点，当2a＝1，即a=12时，f'（x）＝0有一解，2a≥1+lnxx，即lnx﹣2ax+1≤0，f'（x）≤0 恒成立，∴f （x ）无极值点，当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，f '（x ）＝0有两解，∴f （x ）有2个极值点， 当2a ≤0，即a ≤0时，f '（x ）＝0有一解，∴f （x ）有一个极值点，综上所述：当a ≥12时，f （x ）无极值点；0＜a ＜12时，f （x ）有2个极值点；当a ≤0时，f （x ）有1个极点；（2）g （x ）＝xlnx ﹣ax 2﹣x ，g '（x ）＝lnx ﹣2ax （x ＞0）， 令g '（x ）＝0，则lnx ﹣2ax ＝0，∴2a =lnxx， 记h （x ）=lnxx ，则h '（x ）=1−lnx x 2， 由h '（x ）＞0得0＜x ＜e ，由h '（x ）＜0，得x ＞e ，∴h （x ）在（0，e ）上是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，h （x ）max ＝h （e ）=1e， 当x ＞e 时，f （x ）＞0， ∴当0＜2a ＜1e即1＜a ＜12e时g （x ） 有2个极值点x 1，x 2， 由{lnx 1=2ax 1lnx 2=2ax 2得，ln （x 1x 2）＝lnx 1+lnx 2＝2a （x 1+x 2）， ∴2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2，不妨设x 1＜x 2，则1＜x 1＜e ＜x 2，∴x 1+x 2＞x 2＞e ， 又h （x ）在（e ，+∞） 上是减函数， ∴ln(x 1+x 2)x 1+x 2＜lnx 2x 2=2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2， ∴ln （x 1+x 2）＜ln （x 1x 2）， ∴x 1+x 2＜x 1x 2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ﹣6cos θ＝0，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，转换为直角坐标方程为（x﹣3）2+y2＝9．直线l过点M（0，2），倾斜角为34π．整理得参数方程为{x=−√22ty=2+√22t（t为参数）．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得(−√22t−3)2+(2+√22t)2=9，整理得t2+5√2t+4=0，所以：t1+t2=−5√2，t1t2＝4，所以求1|MA|+1|MB|=|t1+t2||t1t2|=5√24．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，再利用零点分段法解不等式f（x）＜4即可；（2）根据条件可知，m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集，然后求出f（x）的值域和m2﹣2m+4的取值范围，再求出a的范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|={2x−1，x＞23，−1≤x≤2−2x+1，x＜−1．∵f（x）＜4，∴{x＞22x−1＜4或{−1≤x≤23＜4或{x＜−1−2x+1＜4，∴2＜x＜52或﹣1≤x≤2或−32＜x＜−1，∴−32＜x＜52，∴不等式的解集为{x|−32＜x＜52}．（2）∵对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），∴m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集．∵f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|≥|2a+1|，∴f（x）的值域为[|2a+1|，+∞），又m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3≥3，∴|2a+1|≤3，∴﹣2≤a≤1，∴实数a的取值范围为[﹣2，1]．。
2020年山西省运城市高中联合体高考数学三模试卷(理科) (含解析)
2020年山西省运城市高中联合体高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|2x >12}，B ={x|x+1x−2≤0}，则A ∩B =( )A. (−1,2)B. [−1,2)C. (−1,2]D. [−1,2]2. (−1+i)(2i +1)=( )(i 为虚数单位)A. 1−iB. 1+iC. −3−iD. −3+i3. 若函数f(x)={g(x),x >02−x −2,x<0为奇函数，则f(g(2))=( )A. −2B. −1C. 0D. 24. 若(x 2−a)(x +1x )10的展开式x 6的系数为30，则a 等于( )A. 13B. 12C. 1D. 25. 已知|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=5，a ⃗ ⋅b ⃗ =−3，则|a ⃗ +b⃗ |等于( ) A. 23 B. 35 C. √23D. √356. 若[x]表示不超过x 的最大整数，如[2.1]=2，[−2.1]=−3执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为4，M ，N ，P 分别是棱A 1D 1，A 1A ，D 1C 1的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截该正方体所得截面的面积为( )A. 2√3B. 4√3C. 6√3D. 12√38. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与直线y =2x 有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. (1,√5)B. (1,√5)∪(√5,+∞)C. (√5,+∞)D. [√5,+∞)9.已知α∈(π4,π)，若sin2α=45，则cosα=()A. −2√55B. 2√55C. −√55D. √5510.已知A(5,3)，F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上的动点，则△PAF周长的最小值为()A. 9B. 10C. 11D. 1511.已知f(x)=sin(2x−φ)(0<φ<π2)在[0,π3]上是增函数，且f(x)在(0,7π8)有最小值，则φ的取值范围是()A. [π6,π2) B. [π6,π4) C. [π3,π2) D. [π4,π3)12.已知函数f(x)=e x−e−x，若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)>mx恒成立，则m的取值范围为()A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (−∞,2)D. (−∞,2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x,y满足{x−y+1⩾0,x+y−1⩾0,3x−y−3⩽0,则目标函数z=2x−y的最大值是____，满足条件的实数x,y构成的平面区域的面积等于____．14.已知高为8的圆柱内接于一个直径为10的球内，则该圆柱的体积为__________．15.在△ABC中，已知cosA=−14，AB=1，AC=2，∠BAC的平分线交BC 于点D ，则AD 的长为________．16.已知函数f(x)=x2+(a+1)x+2 (a≠−1)，若f(x)=g(x)+ℎ(x)，其中g(x)为奇函数，ℎ(x)为偶函数。
2020年山西省阳泉市高考数学第三次质检试卷(理科)(三模) (含解析)
2020年山西省阳泉市高考数学第三次质检试卷(理科)(三模)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−4x<0}，B={x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A. (0,4]B. (−∞,4)C. [4,+∞)D. (4,+∞)2.若复数(1+ai)(2+i)是纯虚数，则实数a等于()A. 12B. 2 C. −12D. −23.在△ABC中，“sinB<cosC”是“△ABC为钝角三角形”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为()A. 19B. 29C. 16D. 135.执行如图所示的程序框图，则输出的S是()A. −1B. 1C. −3D. 36.函数f(x)=log32(|x|−1)的大致图象是()A. B.C.D.7. 如图，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗8. 已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=a n +n(n ∈N ∗)，则a 4等于( )A. −7B. 4C. 7D. 29. 如图，已知点P(√2,0)，正方形ABCD 内接于圆O ：x 2+y 2=1，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点．当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A. [−2,2] B. [−√2,√2] C. [−1,1]D. [−√22,√22]10. 设抛物线x 2=4y 的准线与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线相交于A ，B 两点，若|AB|=1，则双曲线C 的离心率是( )A. √5B. √52C. √17D. √17211. 如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边AB ，AC 上的点，当△APQ的周长为2时，则∠PCQ 的大小是( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°12. 已知P (x 0,y 0)是抛物线y 2=2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得，在y 2=2px 两边同时对x 求导，得2yy′=2p ，则y′=py ，所以过点P 的切线的斜率k =py 0，试用上述方法求出双曲线x 2−y 22=1在P(√2,√2)处的切线方程为( )A. 2x −y =0B. 2x −y −√2=0C. 2x −3y −√2=0D. x −y −√2=0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某医院响应国家精准扶贫号召，准备从3名护士和6名医生中选取5人组成一个医疗小组到扶贫一线工作，要求医疗小组中既有医生又有护士，则不同的选择方案种数是______.(用数字作答)14. (2x +√x 3)n的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x 2项的系数为________．15. 已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，设直线l 是抛物线C 的切线，且l//MN ，P 为l 上一点，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为________． 16. 如图，正三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB =4，AA 1=6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A—A 1EF 的体积是_____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sinB =3sinC ，a =b ．(1)求cos A ；(2)若a =3，求△ABC 的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AP=AB=1，F，E分别是PB，PC中点．(1)求DE与平面PAB所成角的正弦；(2)求平面ADEF与平面PDE所成锐二面角的值．19.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期(单位：天)[0,2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,14]人数85205310250130155(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期>6天总计50 岁以上(含50岁)10050 岁以下55总计200(3)以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．(即概率最大．．．．．)是多少？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．20.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．求△OPQ的面积的最大值．21.已知函数f(x)=e x−e−x−2x，x∈R(1)证明f(x)为奇函数，并在R上为增函数；(2)若关于x的不等式f(x)≤me x−2x+2m−3在(0,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)设g(x)=f(2x)−4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值。
2020-2021学年山西省高考考前质量检测(三)数学(理)试题及答案解析
高考考前质量检测（三）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数i R b a bi a z ,,(∈+=为虚数单位）满足12-=z ，则=b （ ）A ．iB ．i ±C ．1D ．1±2.用199,,1,0⋅⋅⋅给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第二段中被取出的零件编号为（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．253.曲线x x y 23-=在点)1,1(-处的切线方程为（ ）A ．0=-y xB ．02=--y xC ．0=+y xD ．02=-+y x4.P 为双曲线1322=-y x 的渐近线位于第一象限上的一点，若点P 到该双曲线左焦点的距离为32，则点P 到其右焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．15.如图所示，将（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）6.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若4,262==S S ，在=4S （ ） A ．22 B ．3 C ．51+ D ．310 7.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+,0,0,0y y x a y x 若y x z 2-=的最小值为1-，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28.若，且，则的值为（ ）9.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ） A ．213 B ．6 C ．211D ．510.已知b a ,为同一平面内的两个向量，且a b a 21),,1(==，若2+与-2垂直，则与的夹角为（ ） A ．0 B ．4πC ．32πD ．π 11.在体积为3的三棱锥ABC S -中，SC SA ABC BC AB ==∠==,120,2ο，且平面⊥SAC 平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A ．π3520 B ．π328 C ．π20 D ．π8 12.函数116)(243++++=x x x x x f 的最大值与最小值的乘积为（ ）A ．2B ．97 C ．1615 D ．1617 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某公益活动为期三天,现要为6名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需1人工作，第二天需2人工作，第三天需3人工作，则不同的安排方式有_____种.（请用数字作答） 14.已知集合{}{}A x xB A ⊆==,1,0，则A ___B .（用∉∈⊇⊆,,,填空）15.已知21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，Q 为椭圆C 上的一点，且O O QF (1∆为坐标原点）为正三角形，若射线QO QF ,1与椭圆分别相交于点R P ,，则O QF 1∆与QPR ∆的面积的比值为______.16.已知数列{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列，数列{}n b 满足1)(11=+++n n n n n a a a a b ，则数列{}n b 的前32项的和为______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，点D 是ABC ∆的边BC 上一点，且AD AC 3=，BD CD AC CD 2,23==. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若ABD ∆的外接圆的半径为3，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入x （单位：万元） 12345销售收益y （单位：万元）2 3 2 7表中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算y 关于x 的回归方程.回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为x b y a xn xy x n yx b ni ini ii ∧∧==∧-=--=∑∑,1221.19.（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点C 为圆O 上的一点，且AC BC 3=，点D 为线段AB 上一点，且DB AD 31=，PD 垂直圆O 所在的平面.（Ⅰ）求证：⊥CD 平面PAB ；（Ⅱ）若BD PD =，求二面角A PB C --的余弦值.20.（本小题满分12分）F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 的直线l 与C 交于B A ,两点，C 的准线与x 轴的交点为E ，动点P 满足EA EB EP +=.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB 的面积最小时，求直线l 的方程. 21.（本小题满分12分） 已知函数xe xf =)(.（Ⅰ）当1->x 时，证明：2)1()(2+>x x f ；（Ⅱ）当0>x 时，1)1(ln 2)1(+-≤+-x a x x f 恒成立，求正实数a 的值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，AB AC =，连接CE CD ,，分别于⊙O 交于点F ，点G .（Ⅰ）求证：ACE ADC ∆∆~； （Ⅱ）求证：AC FG ∥.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆C 的方程为为参数）θθθ(,sin 21,cos 21⎩⎨⎧+=+=y x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l 的极坐标方程)(sin cos R m m ∈=+θρθρ.（Ⅰ）当3=m 时，判断直线l 与C 的关系；（Ⅱ）当C 上有且只有一点到直线l 的距离等于2时，求C 上到直线l 距离为22的点的坐标. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知12,11≤-≤-y x . （Ⅰ）求y 的取值范围；（Ⅱ）若对任意实数y x ,，3122≤-+-a y x 成立，求实数a 的值.高考考前质量检测考试（三）理科数学参考答案及评分标准评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2． 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4． 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题（每小题5分）1. D2. D3. B4. A5. B6. C7. D8. B9. D 10. D 11. A 12. C 二、填空题（每小题5分） 13. 60 14. ∈15.16. 215三、解答题17．解：（Ⅰ）设AD=a ，则a ，CD=2a ，则222CD AD CA =+.∴90,60,120.CAD CDA ADB ∠=︒∠=︒∠=︒又2,,CD BD DB a =∴=∴ADB∆为顶角为120︒的等腰三角形，30B ∴=︒. ………………6分（Ⅱ）在ADB ∆中，由21sin 2AD aa B ===a =3, 3.AC AB ∴==且120.CAB ∠=︒1332ABC S ∆∴=⨯⨯=. …………………………………………………………12分18．解：(Ⅰ) 设各小长方形的宽度为m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(0.080.10.140.120.040.02)0.51m m +++++⋅==，故2m =. …………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知各小组依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]， 其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04， 故可估计平均值为10.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………8分 (Ⅲ) 空白栏中填5. 由题意可知，1234535x ++++==，232573.85y ++++==，51122332455769i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑，根据公式，可求得26953 3.812 1.2555310b-⨯⨯===-⨯$，$ 3.8 1.230.2a =-⨯=， 即回归直线的方程为$1.20.2y x =+. ……………………………………………………12分 19．(Ⅰ)证明：连接CO ，由AD=13DB 知，点D 为AO 的中点．ΘC 为圆O 上的一点，AB 为圆O 的直径，AC BC ⊥∴。
2020年山西省晋城市高考数学三模试卷(理科)含答案解析
2020年山西省晋城市高考数学三模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，则A∩B的子集的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知复数=4+2i（i为虚数单位），则复数z在平面上的对应点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为A，若AF 与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A． +1 B．C．D．6．已知（+x6）4展开式中的常数项为a，且X～N（1，1），则P（3＜X＜a）=（）（附：若随机变量X～N）（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=99.74%）A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.47727．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π8．若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．[﹣，+∞）D．[﹣，﹣）9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n a n+1=2n，则S20=（）A．3066 B．3063 C．3060 D．306910．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，且f（x）＞1对于任意的x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]11．已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，点M（﹣2，4）满足•=0，则|AB|=（）A．6 B．8 C．10 D．1612．某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，则截去部分和剩余部分的体积之比为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知数列{a n}、{b n}均为等差数列，且满足a5+b5=3，a9+b9=19，则a100+b100=_______．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，•=﹣2，||=2，则实数m=_______．15．已知实数x，y满足不等式组，则z=|x+5y﹣6|的最大值为_______．16．已知关于x的方程x3﹣ax2﹣x+1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为_______．三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．18．已知A、B两个盒子中都放有4个大小相同的小球，其中A盒子中放有1个红球，3个黑球；B盒子中放有2个红球，2个黑球．（1）若甲从A盒子中任取一球、乙从B盒子中任取一球，求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率；（2）若甲每次从A盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次；乙每次从B盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次．在四次取球的结果中，记两球颜色相同的次数为X，求X的分布列和数学期望．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=a x﹣x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当λ＞0时，若不等式lna＞恒成立，求实数λ的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=•；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求•的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．2020年山西省晋城市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，则A∩B的子集的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集，即可确定出交集的子集个数．【解答】解：∵A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，∴A∩B={2，4}，则集合A∩B的元素个数为22=4，故选：B．2．已知复数=4+2i（i为虚数单位），则复数z在平面上的对应点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由=4+2i，得，∴复数z在平面上的对应点的坐标为（），在第四象限．故选：D．3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A错误；直接写出特称命题的否定说明B错误；写出原命题的否命题说明C错误；由复合命题的真假判断及充要条件的判定方法说明D正确．【解答】解：对于A、由f（0）=0，不一定有f（x）是奇函数，如f（x）=x2；反之，函数f（x）是奇函数，也不一定有f（0）=0，如f（x）=．∴“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要的条件．故A错误；对于B、若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0．故B错误；对于C、命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1且x≠﹣1”．故C错误；对于D、如命题p和命题q有且仅有一个为真命题，不妨设p为真命题，q为假命题，则￢p∧q为假命题，￢q∧p为真命题，则（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题；反之，若（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题，则￢p∧q或￢q∧p至少有一个真命题．若￢p ∧q真￢q∧p假，则p假q真；若￢p∧q假￢q∧p真，则p真q假；不可能￢p∧q与￢q∧p都为真．故命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的T，S，n的值，当T=，S=10时满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，T=40执行循环体，T=20，S=1，n=2不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=5，S=6，n=4不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=，S=10，n=5满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为A，若AF 与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A． +1 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出F（c，0），A（0，b），双曲线C的一条渐近线y=x，运用两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（c，0），A（0，b），若AF与双曲线C的一条渐近线y=x垂直，可得•=﹣1，即为ac=b2，由b2=c2﹣a2，即有c2﹣ac﹣a2=0，由e=可得e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去），故选：C．6．已知（+x6）4展开式中的常数项为a，且X～N（1，1），则P（3＜X＜a）=（）（附：若随机变量X～N）（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=99.74%）A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.4772【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；二项式定理的应用．【分析】根据二项式定理求出a，进而根据正态分布的对称性，结合已知中的公式，得到答案．【解答】解：（+x6）4展开式中通项为：x﹣2（4﹣r）•x6r=x8r﹣8，令8r﹣8=0，则r=1，故a==4，∵X～N（1，1），则P（﹣1＜X＜3）=95.44%，则P（﹣2＜X＜4）=99.74%，∴P（3＜X＜4）=（99.74%﹣95.44%）=0.0215，故选：B．7．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理建立方程，求出R，即可求出外接球O的表面积．【解答】解：由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理可得R2=（R﹣1）2+（）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：D．8．若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．[﹣，+∞）D．[﹣，﹣）【考点】函数的值域．【分析】由题意画出图形，得到0＜a＜1且，求出log a2的范围，则f（2）的取值范围可求．【解答】解：由f（x）=作出函数图象如图，由图象可知，0＜a＜1且，即．又f（2）=，∴f（2）∈[﹣，﹣）．故选：D．9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n a n+1=2n，则S20=（）A．3066 B．3063 C．3060 D．3069【考点】数列递推式．【分析】由a1=1，a n a n+1=2n，可得：n=1时，a2=2．n≥2时，==2，数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n a n+1=2n，∴n=1时，a2=2．n≥2时，==2，∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．则S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）=+=3×1023=3069．故选：D．10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，且f（x）＞1对于任意的x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用余弦函数的图象和性质，求得ω=1，再根据当x∈（﹣，）时，sin（x+φ）＞恒成立，可得﹣+φ≥，且+φ≤，由此求得φ的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，∵=2π，ω=1，f（x）=2sin（x+φ）．当x∈（﹣，），即x+φ∈（﹣+φ， +φ）时，f（x）＞1恒成立，∴sin（x+φ）＞恒成立，∴﹣+φ≥，且+φ≤．求得≤φ≤，故选：B．11．已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，点M（﹣2，4）满足•=0，则|AB|=（）A．6 B．8 C．10 D．16【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，直线y=k（x﹣2）过抛物线的焦点，将直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦定理表示出x1+x2及x1x2进而求得y1y2和y1+y2，由•=0即可求得k的值，由弦长公式即可求得|AB|．【解答】解：由抛物线C：y2=8x可得焦点F（2，0），直线y=k（x﹣2）过抛物线的焦点，代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∴x 1+x 2=，x 1x 2=4．∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣16，M （﹣2，4），═（x 1+2，y 1﹣4），=（x 2+2，y 2﹣4），•=（x 1+2，y 1﹣4）•（x 2+2，y 2﹣4）=x 1x 2+2（x 1+x 2）+4+y 1y 2﹣4（y 1+y 2）+16=0， 整理得：k 2﹣2k +1=0，解得k=1， ∴x 1+x 2=12，x 1x 2=4． |AB |=•=•=16，故答案选：D ． 12．某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，则截去部分和剩余部分的体积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M ，N 分别为B 1B ，B 1C 1的中点，F 点在A 1C 1上，且FC 1=，则该截面为AMNF ．利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M ，N 分别为B 1B ，B 1C 1的中点，F 点在A 1C 1上，且FC 1=，则该截面为AMNF ．连接MN ，并延长交CC 1的延长线于点E ，交CB 的延长线于点D ，三棱柱的体积为×2×4=4，设截去的部分和剩余的部分的体积分别为V 1，V 2，EC 1=2，BD=1， ∴=×2=．V M ﹣ABD =×2=．V A ﹣DCE ==3．∴V1=3﹣﹣=，V2=﹣=，∴=．二、填空题13．已知数列{a n}、{b n}均为等差数列，且满足a5+b5=3，a9+b9=19，则a100+b100=383．【考点】等差数列的性质．【分析】由数列{a n}、{b n}均为等差数列，可得数列{a n+b n}是等差数列，由已知求出数列{a n+b n}的公差，代入等差数列的通项公式求得a100+b100．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，设数列{a n}的首项为a1，公差为d1，数列{b n}的首项为b1，公差为d2，∴a n=a1+（n﹣1）d1，b n=b1+（n﹣1）d2，则a n+b n=a1+b1+（d1+d2）n﹣（d1+d2），∴数列{a n+b n}是以d1+d2为公差的等差数列．由a5+b5=3，a9+b9=19，得，∴a100+b100=a5+b5+95（d1+d2）=3+95×4=383．故答案为：383．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，•=﹣2，||=2，则实数m=﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可在的两边同乘以向量便可得出，而根据条件可得到，带入上式即可求出m的值．【解答】解：在两边同乘以得：；∵；∴，且；∴4=0﹣2m；∴m=﹣2．故答案为：﹣2．15．已知实数x，y满足不等式组，则z=|x+5y﹣6|的最大值为13．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，求出A，C的坐标，令a=x+5y﹣6得：y=﹣x++，通过图象求出|a|的最大值即z的最大值即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：三角形ABC的三边及其内部部分：联立⇒得：A（4，3）．联立⇒得：B（2，0）．令a=x+5y﹣6得：y=﹣x++，显然直线过A（4，3）时，a最大，此时a=13，直线过B（2，0）时，a最小，此时a=﹣4，故z=|a|，故z的最大值是13，故答案为：13．16．已知关于x的方程x3﹣ax2﹣x+1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为（﹣∞，1）．【考点】函数的零点．【分析】分离参数a=x，利用导数判断单调性，画出图象，求解极值，利用y=a，y=x﹣交点个数判断即可．【解答】解：x3﹣ax2﹣x+1=0，a=x，令y=x，y′=，x3+x﹣2=0，x=1x＜0时y′＞0，x＞1时，y′＞0，0＜x＜1时，y′＜0，∴函数在（﹣∞，0），（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，x=1时，函数取的极小值为1﹣1+1=1∴y=a，与y=x交点为1个时，a＜1，故答案为：（﹣∞，1）．三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．【考点】正弦定理．【分析】（1）直接利用正弦定理，三句话内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解；（2）利用△ABC的面积求出bc，利用余弦定理以及c2+abcosC+a2=4，求出b2+c2=8﹣3a2，然后通过余弦定理求a．【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b，∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB，∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，且△ABC的面积为=bcsinA=bc，∴解得：bc=1，∵c2+abcosC+a2=4，cosC=，∴c2+ab×+a2=4，整理可得：b2+c2=8﹣3a2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=8﹣3a2﹣1，整理可得：a=．18．已知A、B两个盒子中都放有4个大小相同的小球，其中A盒子中放有1个红球，3个黑球；B盒子中放有2个红球，2个黑球．（1）若甲从A盒子中任取一球、乙从B盒子中任取一球，求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率；（2）若甲每次从A盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次；乙每次从B盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次．在四次取球的结果中，记两球颜色相同的次数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”，由此利用对立事件能求出甲、乙两人所取球的颜色不同的概率．（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”，则P（A）=1﹣=．（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4，甲每次所取的两球颜色相同的概率为=，乙每次所取的两球颜色相同的概率为，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=++×=，P（X=3）=+=，P（X=4）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4PEX==．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，则EG∥A1B1，从而GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，从平面GEF∥平面ABB1A1，由此能证明EF∥平面ABB1A1．（Ⅱ）连结AC1，推导出AC1⊥AA1，从而AC1⊥平面ABB1A1，再求出AC1⊥AB，AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，在△A1B1C1中，EG为中位线，∴EG∥A1B1，∴GE⊄平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，∴GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，又GF∩GE=G，∴平面GEF∥平面ABB1A1，∵EF⊂平面GEF，∴EF∥平面ABB1A1．解：（Ⅱ）连结AC1，在△AA1C1中，，，∴由余弦定理得=+﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1=，∴AA1=AC1，△A1AC1是等腰直角三角形，AC1⊥AA1，又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，∴AC1⊥平面ABB1A1，∵AB⊂平面ABB1A1，∴AC1⊥AB，又∵侧面ABB1A1为正方形，∴AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），A1（1，0，0），B1（1，1，0），C1（0，0，1），C（﹣1，0，1），D（0，2，0），∴=（2，1，﹣1），=（1，2，﹣1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面CB1D的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，3），cos＜＞===，∴平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l1：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，可得△MAB的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，可得中点M（，），|MP|==，设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=•=•，可得△MAB的面积为S=•••=4，设t=4+k2（t＞4），可得==＜=1，可得S＜4，且S＞0，综上可得，△MAB的面积的取值范围是（0，4]．21．已知函数f（x）=a x﹣x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当λ＞0时，若不等式lna＞恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）问题等价于lna=在（0，+∞）上有2个解，令F（x）=，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出F（x）的范围，得到关于a的不等式，解出即可；（Ⅱ）原不等式等价于＞恒成立，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令h（t）=lnt﹣，根据函数的单调性求出λ的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：a x=x在（0，+∞）上有2个解，即xlna=lnx⇔lna=在（0，+∞）上有2个解，令F（x）=，F′（x）=，∴x∈（0，e）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（e，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）递减，故x＞0时且x→0时，F（x）=lnx→﹣∞，x→+∞时，lnx＜x，F（x）=lnx→0，故F（x）的最大值是F（e）=，要使方程lna=有2个解，需满足0＜lna＜，解得：1＜a＜；（Ⅱ）由lnx1=x1lna，lnx2=x2lna，作差得：ln=（x1﹣x2）lna，即lna=，故原不等式等价于＞恒成立，∵0＜x1＜x2，∴ln＜恒成立，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令h（t）=lnt﹣，又h′（t）=，0＜λ≤1时，即λ2t﹣1＜0时，h′（t）＞0，h（t）在（0，1）大致，又h（1）=0，h（t）＜0在（0，1）恒成立，符合题意，λ＞1时，t∈（0，）上大致，在t∈（，1）上递减，又h（1）=0，∴h（t）在t∈（0，1）不能恒小于0，不合题意，舍去，综上，若不等式lna＞恒成立，只需0＜λ≤1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=•；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，证明，，即可证明：=•；（Ⅱ）求出DC，证明△ADC∽△ABE，可得比例线段，即可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，∴=，∠BAD=∠ADM，∵∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADM，∴AM=MD，∴，，∴，同理∴=•；（Ⅱ）解：∵AD•DE=BD•CD，，∴DC=，∵△ADC∽△ABE，∴，∴AD•AE=AB•AC，∴AD•（AD+DE）=AB•AC，∴AD2=AB•AC﹣AD•DE=AB•AC﹣BD•DC=3×=，∴AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求•的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）直线l的方程是y=6，利用y=ρsinθ可得极坐标方程．圆C的参数方程是（φ为参数），利用cos2φ+sin2φ=1可得普通方程，进而化为极坐标方程．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．可得=．同理可得：=，即可得出．【解答】解：（I）直线l的方程是y=6，可得极坐标方程：ρsinθ=6．圆C的参数方程是（φ为参数），可得普通方程：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．化为极坐标方程：ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．∴|OP|=2sinα，|OM|=，可得=．同理可得：==．∴•=．当时，取等号．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解出即可得出．（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．利用单调性即可证明．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解得：，或，或．∴不等式f（x）＜x+3的解集为：．证明：（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．当x＞时，f（x）＞+a．当x＜﹣时，f（x）＞+．当时， +≤f（x）≤+a．∴f（x）min=+≥=，当且仅当a=时取等号．2020年9月15日。
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.2.若复数z满足，则复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知，，则A. B.C. D.4.已知，，则的值是A. B. C. D. 15.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a，b分别为3，1，则输出的n等于A. 5B. 4C. 3D. 26.已知等比数列的前n项和为，若，且，则A. B. 3 C. D. 3或7.平面向量，共线的充要条件是A.B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，，8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为A. B. C. D.9.把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象．则的解析式是A. B.C. D.10.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是A. B. C. D.11.已知抛物线C：，过点作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则的值为A. B. C. D. 不能确定12.点M在曲线G：上，过M作x轴垂线l，设l与曲线交于点N，若，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”则曲线G上的“水平黄金点”的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数则______．14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为，则______．15.设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使，且，则双曲线的离心率为______．16.正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，记与F的轨迹构成的平面为．，使得直线与直线BC所成角的正切值的取值范围是与平面所成锐二面角的正切值为正方体的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个．其中正确命题的序号是______写出所有正确的命题序号三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知是公差为1的等差数列，数列满足，，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．18.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄频数510101555了解4581221填写下面2x2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数合计了解不了解合计若对年龄在，的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考公式和数据，其中．19.如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线AD交于D．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ求二面角的余弦值．20.已知椭圆C：的焦距为2，且过点．求椭圆C的方程；已知是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为的重心，求点O到直线MN 距离的最小值．21.已知函数．讨论函数的极值点个数；若有两个极值点，，试判断与的大小关系并证明．22.已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点，倾斜角为．求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．23.已知函数．若，解不等式；对任意的实数m，若总存在实数x，使得，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合或，，，，解得，实数a的取值范围是．故选：B．求出集合A，B，由，能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：，在复平面内所对应的点位于第四象限．故选：D．利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：由于，所以，，故，选项A错误．当，，时，，故选项B错误．由于，，故，选项C正确．由于，，所以，故，故错误．故选：C．直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求得，是解题的关键，属于基础题．由条件可得，求得，可得的值，从而求得的值．【解答】解：已知，，即，故，，．故选A．5.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，此时，满足条件，退出循环，输出n的值为4．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：D解析：解：设公比为q，易知．由得，解得或，当时，；当时，，所以或，故选：D．由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力．7.答案：D解析：解：由共线向量基本定理可知，若平面向量，共线，则存在不为零的实数，使，即，其等价命题为存在不全为零的实数，，．故选：D．写出共线向量基本定理，找四个选项中的等价命题得结论．本题考查共线向量基本定理的应用，熟练掌握共线向量基本定理及其等价条件是关键，是基础题．8.答案：A解析：解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为．故选：A．每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，故选：C．由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．10.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题．由偶函数的性质将化为：，再由的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．【解答】解：因为函数是定义在R上的偶函数，所以，则为：，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，则a的取值范围是，故选：A．11.答案：B解析：解：设，，，由，可得，所以，，因为过点作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，所以，，可得，直线MA的方程为：，，同理直线MB的方程为：，，，可得，即，故选：B．设出AB的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M，转化求解的值．本题考查函数的导数的应用，曲线与方程相结合，考查计算能力．12.答案：C解析：【分析】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查新定义“水平黄金点”的理解和应用，考查函数方程的转化思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．设，可得直线l的方程，联立曲线，可得N的坐标，再由向量的加法运算可得P的坐标，再由P的纵坐标始终为0，考虑方程的解的个数，设出函数，求得导数和单调性、极值和最值，判断最值的符号，即可得到所求个数．【解答】解：设，则直线l：，由，可得，即，，又P的纵坐标始终为0，即，可令，导数为，由，可得，则当时，，递减；当时，，递增．可得在处取得极小值，且为最小值，由，则在有两个零点，即方程有两个不等实根，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2，故选：C．13.答案：8解析：解：函数则；．故答案为：8．依题意得，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解析：解：由余弦定理可得，的面积为，又因为，所以，由可得．故答案为：由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：解析：解：，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使，且，可知：，，，即，可得，，．故答案为：．根据点P为双曲线上一点，，且，推出P的位置，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义与性质，解题的关键是确定，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查空间立体几何的综合，涉及空间线面的位置关系、异面直线的夹角和面面角等问题，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于难题．分别取和的中点M，N，连接MN、、，然后利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而确定平面就是平面．当F为线段MN的中点时，可证明；利用平移的思想，将直线与直线BC所成角转化为与所成的角，由于平面，所以即为所求，进而求解即可；平面与平面所成的锐二面角即为所求，也就是求出即可；由正方体的对称性和二面角的含义即可判断．【解答】解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取和的中点M，N，连接MN、、，则，，、平面，B、平面，且，，平面平面，当F在MN上运动时，始终有平面，即平面就是平面．对于，当F为线段MN的中点时，，，，，即正确；对于，，直线与直线所成的角即为所求，平面，平面，，直线与直线所成的角为，且，而的取值范围为，，所以，即正确；对于，平面与平面所成的锐二面角即为所求，取MN的中点Q，因为平面，所以就是所求角，而，即正确；对于，由对称性可知，与所成的锐二面角相等的面有平面，平面，平面，平面ABCD，即正确．故答案为：．17.答案：解：由已知得：，又是公差为1的等差数列，，，所以数列是常数列，，；由得：，，又，由可得：，．解析：先由题设条件求得，再求，进而论证数列是常数列，最后求得；先由求得，再由错位相减法求．本题主要考查等差数列基本量的计算、数列通项公式的求法及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数合计了解32不了解18合计401050计算，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算，，，；所以随机变量X的分布列为：X0123P所以X的数学期望为．解析：根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列和数学期望问题，是中档题．19.答案：解：Ⅰ如图，过点D作交于E，连接CE，BE，设，连接BO，，，又AD为的角平分线，四边形AEDC为正方形，，又，，，≌，，又为CE的中点，，又，平面BAD，，平面BAD．又平面，平面平面C.Ⅱ在中，，，，在中，，，又，，，，又，，AD，平面，平面，故建立如图空间直角坐标系，则，4，，4，，，，，，设平面的一个法向量为，则，，令，得，设平面的一个法向量为，则，，令，得，，故二面角的余弦值为．解析：Ⅰ过点D作交于E，连接CE，BE，设，连接BO，推导出，四边形AEDC为正方形，，推导出≌，从而，，从而平面BAD，由此能证明平面平面C.Ⅱ推导出，，从而平面，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算南求解能力，是中档题．20.答案：解：由题意可得：，解得：，，所以椭圆的方程为：；设，记线段MN中点D，因为O为的重心，所以，则点D的坐标为：，若，则，此时直线MN与x轴垂直，故原点O到直线MN的距离为，即为1，若，此时直线MN的斜率存在，设，，则，，又，，两式相减，可得：，故直线MN的方程为：，即，则点O到直线MN的距离，将，代入得，因为，所以，又，故原点O到直线MN的距离的最小值为．解析：由题意焦距的值可得c的值，再由过点的坐标，及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；分B的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B的坐标，由O是三角形的重心可得MN的中点的坐标，设M，N的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN的斜率，求出直线MN的方程，求出O到直线MN的距离的表达式，再由B的纵坐标的范围求出d的取值范围，进而求出d的最小值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及三角形重心的应用，属于中档题．21.答案：解：，令，得，记，则，令，得；令，得，在上是增函数，在上是减函数，且，当，即时，无解，无极值点，当，即时，有一解，，即，恒成立，无极值点，当，即时，有两解，有2个极值点，当，即时，有一解，有一个极值点，综上所述：当时，无极值点；时，有2个极值点；当时，有1个极点；，，令，则，，记，则，由得，由，得，在上是增函数，在上是减函数，，当时，，当即时有2个极值点，，由得，，，不妨设，则，，又在上是减函数，，，．解析：先求出，令，得，记，则函数的极值点个数转化为函数与的交点个数，再利用导数得到在上是增函数，在上是减函数，且，对a分情况讨论，即可得到函数的极值点个数情况；，，令，则，所以，记，利用导数得到在上是增函数，在上是减函数，，当时，，所以当即时有2个极值点，，从而得到，所以，即．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，是难题．22.答案：解：曲线C的极坐标方程是，转换为直角坐标方程为．直线l过点，倾斜角为整理得参数方程为为参数．将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，整理得，所以：，，所以求．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，．，或或，或或，，不等式的解集为对任意的实数m，若总存在实数x，使得，的取值范围是值域的子集．，的值域为，又，，，实数a的取值范围为．解析：将代入中，再利用零点分段法解不等式即可；根据条件可知，的取值范围是值域的子集，然后求出的值域和的取值范围，再求出a的范围．本题考查了绝对值不等式的解法和函数恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年山西省运城市高中联合体高考数学三模试卷(理科) (解析版)
2020年高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝，B＝，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜0}C．{x|﹣2＜x＜0}D．{x|0＜x＜1} 2．若（a+i）（﹣3+i）＝x+yi（a，x，y∈R），则（）A．x+y+4＝0B．x+y+2＝0C．x+3y+10＝0D．x+3y+8＝03．若函数f（x）＝为奇函数，则f（g（﹣1））＝（）A．B．C．﹣1D．14．展开式中x3项的系数为（）A．﹣5B．﹣20C．15D．55．若＝3，＝1，＝﹣8，则＝（）A．2B．C．D．6．若[x]表示不超过x的最大整数，如[2.5]＝2，[4]＝4，则函数f（x）＝[x]称为取整函数，又称高斯函数．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．8B．7C．6D．57．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为棱AB中点，则过点P与DB1垂直的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（）A．6B．4C．3D．28．已知直线l与直线x+y﹣3＝0垂直，且与x轴关于双曲线C：的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．或2D．或9．设，，且tanα＝，则下列结论中正确的是（）A．2α﹣β＝B．2α+β＝C．α﹣β＝D．α+β＝10．已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝﹣2x组成，A（1，2），B（﹣1，2），M，N是曲线C上关于y轴对称的两点（A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限），则四边形ABNM周长的最小值为（）A．2+B．C．3D．411．已知在上是增函数，且f（x）在有最小值，则φ的取值范围是（）A．B．C．D．12．若对任意x∈（0，+∞），xe x﹣2lnx＞2x+a恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2ln2）B．（﹣∞，ln2）C．（﹣∞，2﹣2ln2）D．（﹣∞，2+2ln2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知x，y满足约束条件，则x﹣y的最大值为．14．棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1封闭薄壁容器内有一个高为2，底面半径为1的圆柱水平移动，在移动过程中，该圆柱的一个底面恒在平面ABCD内，则该圆柱不能到达的区域的体积为．15．已知△ABC中，∠BAC＝，∠BAC的平分线交BC于D，AD＝2，则BC的最小值为．16．已知函数f（x）的定义域D＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），且对任意x1，x2∈D，恒有f （x1x2）＝f（x1）+f（x2），当x＞1时，f（x）＜0，若f（2m﹣1）＞f（m）+3m2﹣4m+1，则m的取值范围为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必考题：共60分. 17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝2a1，S3＝a5+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．采购经理指数（PMI）是衡量一个国家制造业的“体检表”，是衡量制造业在生产、新订单、商品价格、存货、雇员、订单交货新出口订单和进口等八个方面状况的指数，如图为2018年9月﹣2019年9月我国制造业的采购经理指数（单位：%）．（1）求2019年前9个月我国制造业的采购经理指数的平均数（精确到0.1）；（2）从2018年10月﹣2019年9月这12个月任意选取4个月，记采购经理指数与上个月相比有所回升的月份个数为X，求X的分布列与期望．19．如图，四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD＝BD＝2，点E，F为平面ABCD外两点，EF∥AC且EF＝2AE＝2，∠EAD＝∠EAB．（1）证明：BD⊥CF；（2）若∠EAC＝60°，求异面直线AE与DF所成角的余弦值．20．已知椭圆C：的离心率为，圆x2+y2﹣2y＝1经过椭圆C的左右焦点F1，F2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A，B，D，E是椭圆C上不同四点（其中点D在第一象限），且AB∥DE，直线DA，DB关于直线x＝1对称，求直线DE的方程．21．已知函数，其定义域为（0，+∞）．（其中常数e＝2.71828⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）求函数f（x）的递增区间；（2）若函数f（x）为定义域上的增函数，且f（x1）+f（x2）＝﹣4e，证明：x1+x2≥2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）若曲线C关于直线l对称，求a的值；（2）若A，B为曲线C上两点，且OA⊥OB，求△AOB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2a|+|x+a|（a＞0）．（1）求不等式f（x）≥3a的解集；（2）若f（x）的最小值为2﹣b（b＞0），求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝，B＝，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜0}C．{x|﹣2＜x＜0}D．{x|0＜x＜1}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：因为，，所以A∩B＝{x|x＜﹣2}．故选：A．2．若（a+i）（﹣3+i）＝x+yi（a，x，y∈R），则（）A．x+y+4＝0B．x+y+2＝0C．x+3y+10＝0D．x+3y+8＝0【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解．解：∵（a+i）（﹣3+i）＝﹣（3a+1）+（a﹣3）i，∴x＝﹣（3a+1），y＝a﹣3，∴x+3y+10＝0，故选：C．3．若函数f（x）＝为奇函数，则f（g（﹣1））＝（）A．B．C．﹣1D．1【分析】由已知结合奇函数的定义先求出g（x），然后求解g（1），进而可求．解：当x＜0时，﹣x＞0，因为x＞0时，f（x）＝2x﹣3，则f（﹣x）＝2﹣x﹣3，因为f（x）为奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x），即，故，所以g（﹣1）＝1，∴f（g（﹣1））＝f（1）＝2﹣3＝﹣1．故选：C．4．展开式中x3项的系数为（）A．﹣5B．﹣20C．15D．5【分析】求出表达式的（x﹣1）5中的x2的系数以及（x﹣1）5中x4的系数，求和即可得到展开式中x3项的系数．解：（x﹣1）5展开式中x2项的系数：（﹣1）3C53＝﹣10；（x﹣1）5展开式中x4项的系数：（﹣1）•C51＝﹣5；故展开式中x3项的系数为，故选：B．5．若＝3，＝1，＝﹣8，则＝（）A．2B．C．D．【分析】根据条件可求出，从而根据即可求出答案．解：∵，，∴，∴，．故选：A．6．若[x]表示不超过x的最大整数，如[2.5]＝2，[4]＝4，则函数f（x）＝[x]称为取整函数，又称高斯函数．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．8B．7C．6D．5【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s的值并输出相应变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：第一次执行循环：，k＝9，满足条件；第二次执行循环：，k＝8满足条件；第三次执行循环：，k＝7，满足条件；第四次执行循环：，k＝6，满足条件；第五次执行循环：，k＝5，不再满足条件，结束循环，输出的k的值为5．故选：D．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为棱AB中点，则过点P与DB1垂直的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（）A．6B．4C．3D．2【分析】作出截面图形，计算正六边形的面积，即可得出答案．解：过点P与DB1垂直的平面被正方体ABCD﹣A1B1C1D1截面是以AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，AA1中点P，E，F，G，H，Q为顶点，边长为的正六变形，因为B1D⊥平面A1BC1，平面A1BC1∥平面PEFGHQ，所以B1D⊥平面PEFGHQ，且面积为6××＝3．故选：C．8．已知直线l与直线x+y﹣3＝0垂直，且与x轴关于双曲线C：的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．或2D．或【分析】通过直线垂直，结合双曲线的渐近线的斜率关系，推出a，b关系，然后求解离心率即可．解：由直线l与直线垂直，可得直线l的斜率为3，倾斜角为60°，由直线l与x轴关于双曲线C的一条渐近线对称，得双曲线C的一条渐近性的倾斜角为30°或120°，斜率为或，即或，由双曲线C的离心率，得或2，故选：C．9．设，，且tanα＝，则下列结论中正确的是（）A．2α﹣β＝B．2α+β＝C．α﹣β＝D．α+β＝【分析】利用二倍角公式得出，然后分子分母同时除以cosβ，最后由角的范围得出答案即可．解：．因为，β+∈（，），所以．故选：C．10．已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝﹣2x组成，A（1，2），B（﹣1，2），M，N是曲线C上关于y轴对称的两点（A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限），则四边形ABNM周长的最小值为（）A．2+B．C．3D．4【分析】通过抛物线的位置关系．转化求解四边形的周长，推出最小值即可．解：设抛物线y2＝2x的焦点为F，则四边形ABNM的周长l＝|AB|+2|AM|+2x M＝2+2|AM|+2|AF|﹣1，当A，M，F共线时取等号，故选：B．11．已知在上是增函数，且f（x）在有最小值，则φ的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用正弦函数的最值、定义域和值域，求得φ的取值范围．解：由，可得，结合，由f（x）在上是增函数，可得，所以①．当时，，由f（x）在有最小值，可得，即φ＜②，结合①②可得，，故选：B．12．若对任意x∈（0，+∞），xe x﹣2lnx＞2x+a恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2ln2）B．（﹣∞，ln2）C．（﹣∞，2﹣2ln2）D．（﹣∞，2+2ln2）【分析】设f（x）＝xe x﹣2lnx﹣2x，则f（x）＞a恒成立，再构造函数g（t）＝e t﹣2t，根据导数和函数最值的关系即可求出最值，即可求出a的范围．解：xe x﹣2lnx＞2x+a恒成立，∴a＜xe x﹣2lnx﹣2x，设f（x）＝xe x﹣2lnx﹣2x，对任意x∈（0，+∞），设t＝lnx+x，则t∈R，且f（x）＝e t ﹣2t，设g（t）＝e t﹣2t，则g'（t）＝e t﹣2，令g'（t）＝0，解得t＝ln2，当t＜ln2时，g'（t）＜0，当t＞lnt，g'（t）＞0，∴g（t）在（﹣∞，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，∴g（t）≥g（ln2）＝2﹣2ln2，∴g（t）的最小值为2﹣2ln2，即f（x）的最小值为2﹣2ln2，∴a＜2﹣2ln2，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知x，y满足约束条件，则x﹣y的最大值为．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可的得到结论．解：作出可行域如图中阴影部分所示，设z＝x﹣y，则y＝x﹣z，当直线y＝x﹣z经过点时，截距﹣z取得最小值，此时z取得最大值，．故答案为：．14．棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1封闭薄壁容器内有一个高为2，底面半径为1的圆柱水平移动，在移动过程中，该圆柱的一个底面恒在平面ABCD内，则该圆柱不能到达的区域的体积为17﹣2π．【分析】通过圆柱的的底面积，体积，分析判断求解即可．解：该圆柱到达的区域为一个柱体，柱体的底面图形如图，该柱体的底面积，高为2，体积为10+2π，所以该圆柱不能到达的区域的体积为33﹣（10+2π）＝17﹣2π．故答案为：17﹣2π．15．已知△ABC中，∠BAC＝，∠BAC的平分线交BC于D，AD＝2，则BC的最小值为4．【分析】由已知结合三角形的面积公式及基本不等式可求bc的范围，然后结合余弦定理即可求解．解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，由S△ABC＝S△ADB+S△ADC得，整理得，所以，bc≥16，由余弦定理得，当b＝c时取等号，所以BC的最小值为．故答案为：16．已知函数f（x）的定义域D＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），且对任意x1，x2∈D，恒有f （x1x2）＝f（x1）+f（x2），当x＞1时，f（x）＜0，若f（2m﹣1）＞f（m）+3m2﹣4m+1，则m的取值范围为（，）∪（，1）．【分析】分别令x1＝x2＝1和x1＝x2＝﹣1，求出f（1）和f（﹣1），再取x1＝x，x2＝﹣1，然后判断f（x）的奇偶性，再设g（x）＝f（x）﹣x2，判断g（x）的奇偶性和单调性，由题意得到关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围．解：由f（x1x2）＝f（x1）+f（x2），取x1＝x2＝1，得f（1）＝0，取x1＝x2＝﹣1，得，取x1＝x，x2＝﹣1，得f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1）＝f（x），所以f（x）是偶函数．设x1＞x2＞0，则，，所以，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．设g（x）＝f（x）﹣x2，则偶函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，所以f（2m﹣1）＞f（m）+3m2﹣4m+1⇔f（2m﹣1）﹣（4m2﹣4m+1）＞f（m）﹣m2⇔g（2m﹣1）＞g（m）⇔g（|2m﹣1|）＞g（|m|）⇔0≠|2m﹣1|＜|m|⇔0≠（2m﹣1）2＜m2⇔且，所以m的取值范围是．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必考题：共60分. 17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝2a1，S3＝a5+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题设条件列出d与a1的方程组，解出d与a1，即可求得a n；（2）先由（1）求得b n，再利用裂项相消法求前n项和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝2a1，S3＝a5+2得，解得a1＝2，d＝2，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝2n；（2）由a n＝2n，得S n＝n（n+1），b n＝＝＝8+＝8+4（﹣），所以＝．18．采购经理指数（PMI）是衡量一个国家制造业的“体检表”，是衡量制造业在生产、新订单、商品价格、存货、雇员、订单交货新出口订单和进口等八个方面状况的指数，如图为2018年9月﹣2019年9月我国制造业的采购经理指数（单位：%）．（1）求2019年前9个月我国制造业的采购经理指数的平均数（精确到0.1）；（2）从2018年10月﹣2019年9月这12个月任意选取4个月，记采购经理指数与上个月相比有所回升的月份个数为X，求X的分布列与期望．【分析】（1）根据折线图中2019年前9个月的数据和平均数的求法即可得解；（2）由折线图可知，采购经理指数与上个月相比有所回升的共4个月，所以X的可能取值为0，1，2，3，4，再根据超几何分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）2019年前9个月我国制造业的采购经理指数的平均数为．（2）2018年10月﹣2019年9月这12个月中，采购经理指数与上个月相比有所回升的依次为2019年1月、3月、7月、9月，共4个，所以X的取值依次为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，，，，所以X的分布列为X01234P数学期望．19．如图，四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD＝BD＝2，点E，F为平面ABCD外两点，EF∥AC且EF＝2AE＝2，∠EAD＝∠EAB．（1）证明：BD⊥CF；（2）若∠EAC＝60°，求异面直线AE与DF所成角的余弦值．【分析】（1）设BD与AC相交于点G，连接EG，从而BD⊥AC，推导出△EAD≌△EAB，从而BD⊥平面ACFE，由此能证明BD⊥CF．（2）过G作AC的垂线，交EF于M点，分别以GA，GB，GM为x，y，z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，利用向量法能求出异面直线AE与DF所成角的余弦值．解：（1）证明：设BD与AC相交于点G，连接EG，由题意可得四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，DG＝GB，在△EAD和△EAB中，AD＝AB，AE＝AE，∠EAD＝∠EAB，所以△EAD≌△EAB，所以ED＝EB，所以BD⊥EG，因为AC∩EG＝G，所以BD⊥平面ACFE，因为CF⊂平面ACFE，所以BD⊥CF．（2）解：如图，在平面AEFC内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACFE⊥平面ABCD，所以MG⊥平面ABCD，故直线GM，GA，GB两两互相垂直，分别以GA，GB，GM为x，y，z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，因为∠EAC＝60°，则，D（0，﹣1，0），，，所以，，异面直线AE与DF所成角的余弦值为：|cos＜＞|＝．20．已知椭圆C：的离心率为，圆x2+y2﹣2y＝1经过椭圆C的左右焦点F1，F2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A，B，D，E是椭圆C上不同四点（其中点D在第一象限），且AB∥DE，直线DA，DB关于直线x＝1对称，求直线DE的方程．【分析】（1）设，通过离心率，结合圆x2+y2﹣2y＝1经过椭圆C的左，右焦点F1，F2得c＝1，然后求解a，b即可得到椭圆方程．（2）设，A（x A，y A），B（x B，y B）．把与椭圆方程联立，利用韦达定理．转化求解直线AB的斜率，然后求解即可．解：（1）设，由题意得，由圆x2+y2﹣2y＝1经过椭圆C的左，右焦点F1，F2得c＝1，所以a＝2，，所以椭圆C的标准方程为．（2）由题意可得，且直线DA的斜率存在，设，A（x A，y A），B（x B，y B）．把与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+4k（﹣2k+3）x+4k2﹣12k﹣3＝0．所以，所以，，由直线DA，DB关于直线x＝1对称，可得直线DB的斜率为﹣k．用﹣k代替k，得，，．又AB∥DE，所以直线DE的方程为y﹣＝（x﹣1），即x﹣2y+2＝0．21．已知函数，其定义域为（0，+∞）．（其中常数e＝2.71828⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）求函数f（x）的递增区间；（2）若函数f（x）为定义域上的增函数，且f（x1）+f（x2）＝﹣4e，证明：x1+x2≥2．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证f（x1）+f（2﹣x1）≤﹣4e，令h（x）＝f（x）+f（2﹣x），0＜x≤1，即证﹣≥0，根据函数的单调性证明即可．解：（1）易知f′（x）＝，①若a≤0，由f′（x）＞0，解得：x＞1，故函数f（x）在（1，+∞）递增，②若0＜a＜1，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，或x＞1，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，③若a＝1，则f′（x）＝≥0，故函数f（x）在（0，+∞）递增，④若a＞1，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜，故f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+∞）递增，综上，若a≤0，f（x）在（1，+∞）递增，若0＜a＜1，f（x）在（0，），（1，+∞）递增，若a＝1，f（x）在（0，+∞）递增，若a＞1，f（x）在（0，1），（，+∞）递增；（2）∵函数f（x）在（0，+∞）递增，∴a＝1，即f（x）＝e x（x﹣﹣2），注意到f（1）＝﹣2e，故f（x1）+f（x2）＝﹣4e＝2f（1），即证﹣4e﹣f（x1）≥f（2﹣x1），即证f（x1）+f（2﹣x1）≤﹣4e，令h（x）＝f（x）+f（2﹣x），0＜x≤1，只需证明h（x）≤h（1），故h′（x）＝f′（x）﹣f′（2﹣x）＝e2﹣x（x﹣1）2[﹣]，下面证明h′（x）≥0，即证﹣≥0，由熟知的不等式e x≥1+x可知e2x﹣2＝（e x﹣1）2≥（1+x﹣1）2＝x2，当0＜x≤1时，即≥1，故﹣≥x+1﹣＝，易知当0＜x≤1时，x2﹣2x﹣1＜0，故x3﹣3x2+x+1＝（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）≥0，故﹣≥0，故h′（x）≥0，即h（x）递增，即h（x）≤h（1），从而x1+x2≥2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）若曲线C关于直线l对称，求a的值；（2）若A，B为曲线C上两点，且OA⊥OB，求△AOB面积的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为，消去参数t得直线l的普通方程为x+2y﹣2a﹣1＝0．由，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x＝0，即（x﹣1）2+y2＝1，因为圆C关于直线l对称，所以圆心（1，0）在直线x+2y﹣2a﹣1＝0上，所以a＝0．（2）由点A，B在圆ρ＝2cosθ且OA⊥OB，不妨设∠AOx＝α，，则△AOB的面积＝≤1，当时，取最大值．所以△AOB面积的最大值为1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2a|+|x+a|（a＞0）．（1）求不等式f（x）≥3a的解集；（2）若f（x）的最小值为2﹣b（b＞0），求证：．【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≥3a，利用零点分段法解不等式即可；（2）先求出f（x）的最小值，然后根据f（x）的最小值为2﹣b，得到a，b的关系，再证明不等式即可．解：（1）．①当x＜﹣a时，由f（x）≥3a，得x＜﹣a；②当﹣a≤x≤a时，由f（x）≥3a，得﹣a≤x≤0；③当x＞a时，由f（x）≥3a，得，综上不等式的解集为{x|x≤0或}；（2）证明：由，可知f（x）min＝f（a）＝2a，∴2a＝2﹣b，∴2a+b＝2，∴≤＝，当且仅当，b＝1时取等号，∴．。
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山西省高考考前质检数学试卷（理科）（三）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）满足z2=﹣1，则b=（）A．1 B．±1 C．i D．±i2．用0，1，…，199给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是（）A．25 B．10 C．15 D．203．曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x+y﹣2=04．P为双曲线x2﹣=1的渐近线位于第一象限上的一点，若点P到该双曲线左焦点的距离为2，则点P到其右焦点的距离为（）A．2 B．C．D．15．如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图是（）A．B．C． D．6．设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S2=2，S6=4，则S4=（）A．1+B．C．2D．37．实数x，y满足，若z=x﹣2y的最小值为﹣1，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣18．若=﹣，且α∈（，），则tan2α的值是（）A．﹣ B．﹣C．D．9．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．6 C．D．510．已知，为同一平面内的两个向量，且=（1，2），||=||，若+2与2﹣垂直，则与的夹角为（）A．0 B．C． D．π11．在体积为的三棱锥S﹣ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，SA=SC，且平面SAC⊥平面ABC，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A．πB．πC．20πD．8π12．函数f（x）=+1的最大值与最小值的乘积为（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．某公益活动为期三天，现要为6名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需1人工作，第二天需2人工作，第三天需3人工作，则不同的安排方式有_______种．（请用数字作答）14．已知A={0，1}，B={x|x⊆A}，则A_______B（用∈，∉，⊆，⊊填空）．15．已知F1，F2分别为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，Q为椭圆C上的一点，且△QF1O （O为坐标原点）为正三角形，若射线QF1，QO与椭圆分别相交于点P，R，则△QF1O与△QPR的面积的比值为_______．16．已知数列{a n}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{b n}满足b n（a n+a n+1）=1，则数列{b n}的前32项的和为_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，点D是△ABC的边BC上一点，且AC=AD，CD=2AC，CD=2BD．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABD的外接圆的半径为，求△ABC的面积．18．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元） 1 2 3 4 5销售收益y（单位：万元） 2 3 2 7表格中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=，=﹣．19．如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上的一点，且BC=AC，点D为线段AB上一点，且AD= DB．PD垂直于圆O所在的平面．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB；（Ⅱ）若PD=BD，求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．20．F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=e x．（Ⅰ）当x＞﹣1时，证明：f（x）＞；（Ⅱ）当x＞0时，f（1﹣x）+2lnx≤a（x﹣1）+1恒成立，求正实数a的值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，AC=AB，连接CD、CE，分别与⊙O交于点F，点G．（1）求证：△ADC～△ACE；（2）求证：FG∥AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，圆C的方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m ∈R）．（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于时，求C上到直线l距离为2的点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1．（1）求y的取值范围；（2）若对任意实数x，y，|x﹣2y+2a﹣1|≤3成立，求实数a的值．山西省高考考前质检数学试卷（理科）（三）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）满足z2=﹣1，则b=（）A．1 B．±1 C．i D．±i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】求出z2=a2﹣b2+2abi，再由z2=﹣1得到关于a，b的方程组，求解方程组得答案．【解答】解：∵z=a+bi，∴z2=a2﹣b2+2abi，由z2=﹣1，得，解得或．∴b=±1．故选：B．2．用0，1，…，199给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是（）A．25 B．10 C．15 D．20【考点】系统抽样方法．【分析】根据已知计算出组距，可得答案【解答】解：因为是从200个零件中抽取10个样本，∴组距是20，∵第一段中编号为5的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是5+20=25．故选：A．3．曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x+y﹣2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导公式求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程再化为一般式．【解答】解：由题意得，y′=3x2﹣2，∴在点（1，﹣1）处的切线斜率是1，∴在点（1，﹣1）处的切线方程是：y+1=x﹣1，即x﹣y﹣2=0，故选A．4．P为双曲线x2﹣=1的渐近线位于第一象限上的一点，若点P到该双曲线左焦点的距离为2，则点P到其右焦点的距离为（）A．2 B．C．D．1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求出两焦点的坐标，设出P（m，）（m＞0），由点P到该双曲线左焦点的距离为2求得m值，得到P的坐标，代入两点间的距离公式求得点P到其右焦点的距离．【解答】解：如图，由双曲线x2﹣=1，得a=1，b=，∴c=，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），一条渐近线方程为y=，设P（m，）（m＞0），由|PF1|=，解得：m=﹣2（舍）或m=1．∴P（1，），则|PF2|=．故选：A．5．如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图是（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的定义判断棱AD1和C1F的位置及是否被几何体遮挡住判断．【解答】解：从几何体的左面看，对角线AD1在视线范围内，故画为实线，右侧面的棱C1F不在视线范围内，故画为虚线，且上端点位于几何体上底面边的中点．故选B．6．设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S2=2，S6=4，则S4=（）A．1+B．C．2D．3【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列{a n}的前n项和的性质可得：S2，S4﹣S2，S6﹣S4，也成等比数列，即可得出．【解答】解：由等比数列{a n}的前n项和的性质可得：S2，S4﹣S2，S6﹣S4，也成等比数列，∴=S2•（S6﹣S4）．∴，化为﹣2S4﹣4=0，解得S4=1．由已知可得：等比数列{a n}是单调递增数列，因此S4=1+．故选：A．7．实数x，y满足，若z=x﹣2y的最小值为﹣1，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出a的值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（，），由z=x﹣2y得：y=x﹣，平移直线y=x，显然直线过A时，z最小，z的最小值是z=﹣a=﹣1，解得：a=2，故选：A．8．若=﹣，且α∈（，），则tan2α的值是（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号求得sin2α、cos2α的值，可得tan2α的值．【解答】解：∵==（cosα﹣sinα）=﹣，且α∈（，），∴cosα﹣sinα=﹣，∴平方可得sin2α=．结合2α∈（，π），可得cos2α=﹣=﹣，则tan2α==﹣，故选：B．9．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．6 C．D．5【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值，依次写出每次循环得到的a，S，i的值，当i=11时，满足条件i＞10，退出循环，输出S的值为5．【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，i=1，S=0执行循环体，a=，S=，i=2不满足条件i＞10，执行循环体，a=﹣1，S=﹣，i=3不满足条件i＞10，执行循环体，a=2，S=，i=4不满足条件i＞10，执行循环体，a=，S=2，i=5不满足条件i＞10，执行循环体，a=﹣1，S=1，i=6不满足条件i＞10，执行循环体，a=2，S=3，i=7不满足条件i＞10，执行循环体，a=，S=，i=8不满足条件i＞10，执行循环体，a=﹣1，S=，i=9不满足条件i＞10，执行循环体，a=2，S=，i=10不满足条件i＞10，执行循环体，a=，S=5，i=11满足条件i＞10，退出循环，输出S的值为5．故选：D．10．已知，为同一平面内的两个向量，且=（1，2），||=||，若+2与2﹣垂直，则与的夹角为（）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算||，||，根据向量垂直列方程得出，代入向量的夹角公式计算夹角余弦．【解答】解：||=，||=，∵（+2）⊥（2﹣），∴（+2）•（2﹣）=2+3﹣2=0，即10+3﹣=0，∴=﹣．∴cos＜，＞==﹣1．∴＜，＞=π．故选：D．11．在体积为的三棱锥S﹣ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，SA=SC，且平面SAC⊥平面ABC，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A．πB．πC．20πD．8π【考点】球的体积和表面积．【分析】求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出S到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积．【解答】解：三棱锥S﹣ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=2，∠ABC=120°，∴由余弦定理可得AC=2，∴△ABC外接圆半径2r==4，即r=2∴S△ABC=×2×2×sin120°=，∵三棱锥S﹣ABC的体积为，∴S到底面ABC的距离h=3，设O到平面ABC的距离为d如图所示，由平面SAC⊥平面ABC，可得SD=3，利用勾股定理可得R2=（3﹣d）2+（2﹣1）2，22+d2=R2，∴d=1，R=球的体积：πR3=π．故选：A．12．函数f（x）=+1的最大值与最小值的乘积为（）【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求导f′（x）==，从而利用导数的正负确定函数的单调性，从而确定函数的最值即可．【解答】解：∵f（x）=+1，∴f′（x）==，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；而f（﹣1）=+1=，f（1）=+1=，故f（﹣1）f（1）=，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．某公益活动为期三天，现要为6名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需1人工作，第二天需2人工作，第三天需3人工作，则不同的安排方式有60种．（请用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，直接根据分步计数原理可得．【解答】解：每人工作一天，且第一天需1人工作，第二天需2人工作，第三天需3人工作C61C52C33=60种，故答案为：60．14．已知A={0，1}，B={x|x⊆A}，则A∈B（用∈，∉，⊆，⊊填空）．【考点】集合的表示法．【分析】先写出集合A的子集，然后表示出集合B，通过比较集合B与A的元素关系，去判断A与B应具有何种关系．【解答】解：B中有4个元素：∅，{0}，{1}，{0，1}，所以A是B中元素，所以A∈B．故答案为：A∈B，15．已知F1，F2分别为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，Q为椭圆C上的一点，且△QF1O （O为坐标原点）为正三角形，若射线QF1，QO与椭圆分别相交于点P，R，则△QF1O与△QPR的面积的比值为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），求得Q（﹣c，c），可得R（c，﹣c），△QF1F2是直角三角形，运用椭圆的定义可得a=c，b2=a2﹣c2=c2，求得椭圆的方程，将QF1的方程y=（x+c），代入椭圆方程，解得Q，P的纵坐标，分别求得△QF1O与△QPR的面积，即可得到所求比值．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），△QF1O为正三角形，可设Q（﹣c，c），可得R（c，﹣c），由|OQ|=|OF1|=|OF2|=c，可得△QF1F2是直角三角形，由双曲线的定义可得c+c=2a，即有a=c，b2=a2﹣c2=c2，则椭圆C的方程为+=1，由QF1的方程y=（x+c），代入椭圆方程消x化简可得，y2﹣2cy﹣c2=0，解得y=c或y=﹣c，则△QF1O的面积为c2，△QPR的面积为2S△QPO=2•|OF1|•|y Q﹣y P|=c|c+c|=（3﹣）c2，即有△QF1O与△QPR的面积的比值为．故答案为：．16．已知数列{a n}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{b n}满足b n（a n+a n+1）=1，则数列{b n}的前32项的和为．【考点】数列的求和．【分析】通过等差数列{a n}的首项和公差可知a n=3n+1，利用平方差公式、裂项可知b n=（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】解：∵数列{a n}是首项为4、公差为3的等差数列，∴a n=4+3（n﹣1）=3n+1，∵b n（a n+a n+1）=1，∴b n==•=（﹣），∴数列{b n}的前n项和为（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=（﹣），故所求值为（﹣）=，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，点D是△ABC的边BC上一点，且AC=AD，CD=2AC，CD=2BD．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABD的外接圆的半径为，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（I）设AD=x，则AC=x，CD==2x，由于AD2+AC2=CD2，可得∠CAD=90°．即可得出C．又CD=2BD，可得BD=AD=x，即可得出∠B=∠BAD=．（II）在△ABD中，由正弦定理可得：=2，可得AD=．AC=3，可得S△ABC=．【解答】解：（I）设AD=x，则AC=x，CD==2x，∴AD2+AC2==4x2=CD2，∴∠CAD=90°．∴sinC==，可得C=30°，∠CDA=60°．又CD=2BD，∴BD=AD=x，∴∠B=∠BAD==30°．（II）在△ABD中，由正弦定理可得：=2，∴AD=2sin30°=．∴AC=3，∴S△ABC===．18．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元） 1 2 3 4 5销售收益y（单位：万元） 2 3 2 7表格中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=，=﹣．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，建立方程，即可求得结论；（2）利用组中值，求出对应销售收益的平均值；（3）利用公式求出b，a，即可计算y关于x的回归方程．【解答】解：（1）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m=1，∴m=2；（2）由（1）可知个小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），其中点分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，故可估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5；（3）空白处填5．由题意，=3，=3.8，x i y i=69，=55，∴b==1.2，a=3.8﹣1.2×3=0.2，∴y关于x的回归方程为y=1.2x﹣0.2．19．如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上的一点，且BC=AC，点D为线段AB上一点，且AD= DB．PD垂直于圆O所在的平面．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB；（Ⅱ）若PD=BD，求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结CO，推导出BC⊥AC，CD⊥AO，PD⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAB．（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣A的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结CO，由AD=，得点D为AO的中点，∵C是圆O上的一点，AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，由BC=，知∠CAB=60°，∴△ACO为正三角形，∴CD⊥AO，又PD⊥圆O所在的平面，CD在圆O所在平面内，∴PD⊥CD，∵PD∩AO，∴CD⊥平面PAB．解：（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设AC=2，则D（0，0，0），C（，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），∴=（），=（0，3，﹣3），设向量=（x，y，z）为平面PBC的法向量，则，取z=1，得=（，1，1）为平面PBC的一个法向量，又=（，0，0）为平面PAB的一个法向量，∵cos＜＞==．∴二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．20．F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）求出F，E的坐标，设l方程为x﹣my﹣1=0，联立方程组消元，根据根与系数的关系求出AB 中点坐标，由向量加法的几何意义可知AB的中点也是EP的中点，利用中点坐标公式得出P的轨迹关于m 的参数方程，转化为普通方程即可；（II）利用弦长公式和点到直线的距离公式计算|AB|，E到l的距离d，得出S关于m的函数，求出S取得最小值时的m，代入x﹣my﹣1=0得出l的方程．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．∴AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）．∵=+=2，∴M为EP的中点．∴，∴，即y2=4x﹣12．∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12．（II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===4（m2+1）．E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，∴S△ABE=•|AB|•d=4，∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE=8．∴当m=0时，S取得最小值8．此时直线l的方程为x﹣1=0．21．已知函数f（x）=e x．（Ⅰ）当x＞﹣1时，证明：f（x）＞；（Ⅱ）当x＞0时，f（1﹣x）+2lnx≤a（x﹣1）+1恒成立，求正实数a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，证出结论即可；（Ⅱ）问题等价于e1﹣x+2lnx﹣a（x﹣1）﹣1≤0在（0，+∞）恒成立，令p（x）=e1﹣x+2lnx﹣a（x﹣1）﹣1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：令g（x）=e x﹣，（x＞﹣1），则g′（x）=e x﹣x﹣1（x＞﹣1），令h（x）=e x﹣x﹣1（x＞﹣1），则h′（x）=e x﹣1，（x＞﹣1），令h′（x）＞0，解得：x＞0，令h′（x）＜0，解得：x＜0，∴h（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，∴g（x）在（﹣1，+∞）递增，∴g（x）＞g（﹣1）=＞0，即原命题成立；（Ⅱ）当x＞0时，f（1﹣x）+2lnx≤a（x﹣1）+1恒成立，等价于e1﹣x+2lnx﹣a（x﹣1）﹣1≤0在（0，+∞）恒成立，令p（x）=e1﹣x+2lnx﹣a（x﹣1）﹣1，（x＞0），则p′（x）=﹣e1﹣x﹣a，（x＞0），令q（x）=﹣e1﹣x﹣a，（x＞0），则q′（x）=﹣，（x＞0），由（Ⅰ）得q′（x）＜0，q（x）在（0，+∞）递减，①a=1时，q（1）=p′（1）=0且p（1）=0，在（0，1）上p′（x）＞0，p（x）递增，在（1，+∞）上，p′（x）＜0，p（x）递减，故p（x）的最大值是p（1），即p（x）≤0恒成立；②a＞1时，p′（1）＜0，x∈（0，1）时，由p′（x）=﹣e1﹣x﹣a＜﹣1﹣a＜0，解得：＜x＜1，即x∈（，1）时，p′（x）＜0，p（x）递减，又p（1）=0，故p（x）＞0与p（x）＜0矛盾；③0＜a＜1时，由p′（x）=﹣e1﹣x﹣a＞﹣1﹣a＞0，解得：1＜x＜，即x∈（1，）时，p′（x）＞0，p（x）递增，又p（1）=0，故此时p（x）＞0与p（x）≤0恒成立矛盾，综上：a=1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，AB是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，AC=AB，连接CD、CE，分别与⊙O交于点F，点G．（1）求证：△ADC～△ACE；（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的判定；弦切角．【分析】（1）根据已知和切割线定理可得AC2=AD•AE，即=，又∠CAD=∠EAC，即可证明△ADC∽△ACE．（2）由F，G，E，D四点共圆，可得∠CFG=∠AEC，利用三角形相似可得∠ACF=∠AEC，通过证明∠CFG=∠ACF，即可得解FG∥AC．【解答】（本题满分为10分）证明：（1）根据题意，可得：AB2=AD•AE，∵AC=AB，∴AC2=AD•AE，即=，又∵∠CAD=∠EAC，∴△ADC∽△ACE．…5分（2）∵F，G，E，D四点共圆，∴∠CFG=∠AEC，又∵∠ACF=∠AEC，∴∠CFG=∠ACF，∴FG∥AC．…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，圆C的方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m ∈R）．（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于时，求C上到直线l距离为2的点的坐标．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）将曲线方程化成直角坐标方程，计算圆心到直线的距离与圆的半径比较大小得出结论；（II）由题意可知直线与圆相离，且圆心到直线l的距离为2，故到直线l的距离等于2的点在过圆心且与直线l平行的直线上，求出此直线的参数方程代入圆的方程求出该点对应的参数，得出该点的坐标．【解答】解：（I）圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，∴圆心坐标为（1，1），半径r=．m=3时，直线l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．∴圆心C到直线l的距离d==＜r．∴直线l与圆C相交．（II）直线l的普通方程为x+y﹣m=0．∵C上有且只有一点到直线l的距离等于，∴直线l与圆C相离，且圆心到直线的距离为．∴圆C上到直线l的距离等于2的点在过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线上．∴过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线的参数方程为：（t为参数）．将：（t为参数）代入圆C的普通方程得t2=2，∴t1=，t2=﹣．当t=时，，当t=﹣时，．∴C上到直线l距离为2的点的坐标为（0，2），（2，0）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1．（1）求y的取值范围；（2）若对任意实数x，y，|x﹣2y+2a﹣1|≤3成立，求实数a的值．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）去掉绝对值，可求y的取值范围；（2）若对任意实数x，y，|x﹣2y+2a﹣1|≤3成立，则3+2|a﹣2|≤3，即可求实数a的值．【解答】解：（1）由|y﹣2|≤1，可得﹣1≤y﹣2≤1，∴1≤y≤3．（2）|x﹣2y+2a﹣1|=|x﹣1﹣2y+4+2a﹣4|≤|x﹣1|+2|y﹣2|+2|a﹣2|≤1+2+2|a﹣2|，∴3+2|a﹣2|≤3，∴|a﹣2|≤0，∴a=2．。