3第三章 能控性和能观测性

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3.1.2 线性系统能控性的判据
x&(t) = Ax(t) + Bu(t)
1、线性定常连续系统可控性的格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统{A，B} 状态完全可控的充要条件是：存在时
刻t1>0，使如下定义的可控性格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。
∫Δ
Wc (0, t1) =
t1 e− Aτ BB T e− ATτ dτ
,τ
)dτ
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2、线性定常连续系统能控性的秩判据
线性定常连续系统{A，B} 状态完全能控的充要条件是：
能控性判别阵S行满秩，其中
为能控性判别阵。S = [BM ABM A2BMLM An−1B]
证明:充分性：已知S满秩，证系统能控。
用反证法，假设rankS=n，而系统不能控，那么根据格拉姆矩
阵判据可知
第三章 线性系统的 能控性和能观测性
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3.1 线性连续系统的能控性 线性连续系统的能控性概念 线性连续系统的能控性判据 线性连续系统的能控性指数
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3.1.1 线性连续系统能控性的概念
1、状态能控
x&(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
对于系统{A(t)，B(t)} 及某一个特定的初始状态xi(t0)。若 对每一个tf＞t0，总有定义在时间域[t0，tf]上的控制函数u(·)，能 把系统{A(t)，B(t)}从初始状态xi (t0)，转移到状态xi (tf)=0，则 称该系统的这一特定状态xi (t0)在t0时刻是能控的。 若xi (t0)对所有初始时刻都是能控的，则称xi (t)为一致能控的。
3
2、系统状态完全能控 如果系统的每一个状态xi (t0)(i=1~n)都能控，则称该系
统为状态完全可控，简称状态能控。 物理意义是： 不论初始状态在何处，通过控制函数u(t)，可以将初始状态 转移到原点位置。 相关概念——能达性：初始状态在原点位置，可以通过控制 函数u(t)，可以将初始状态转移到状态空间中任意指定位置。
∫Δ
Wc (0, t1) =
t1 e− Aτ BB T e− ATτ dτ
0
为奇异，即存在一个非零n维向量α使
∫ α TWc (0, t1)α =
t1 α T e− Aτ BB T e− ATταdτ
0
∫= t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0 0
α T e− Aτ B = 0, ∀t ∈[0, t1]
采用反证法，假设系统能控，而Wc(0,t1)是奇异，那么一定存在
一个非零的向量 x0 使下式成立
x0TWc (0, t1)x0 = 0
∫t1
0
x0T e− Aτ BBT e− ATτ
⋅ x0dτ
=
0
∫t1 [BT e−ATτ
0
⋅ x0 ]T BT e−ATτ
⋅ x0dτ
=
0
∫t1
0
BT e− ATτ
线性定常连续系统{A，B} 状态完全能控的充要条件是：存在时
刻t1>0，使如下定义的格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。对于
∫Δ
Wc (0, t1) =
t1 e− Aτ BB T e− ATτ dτ
0
对于初始时刻不为零的情况，格拉姆（Gram)矩阵为
∫ τ Δ
Wc (t0 , t1) =
e BB e d t1 − A(τ −t0 )
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3、线性连续系统的输出能控性
x&(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)})及某一个特定的初始输出y(t0)。 若对每一个tf＞t0，总存在定义在时间域[t0，tf]上的控制函数 u(·)，能把系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)}从初始输出y(t0)，转 移到任意输出y(tf)，则称该系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)}为输 出完全能控的。 物理意义是： 不论初始输出在何处，通过控制函数u(t)，可以将初始输出 转移到指定位置。 这个问题实际上是系统设计的基本问题。
0
=0
∫ ∫ x0
= −e− At1
t1 e A(t1−τ ) Bu (τ )dτ
0
= − t1 e−Aτ Bu(τ )dτ 0
∫ x0
2
=
x0T x0
= [−
t1 0
e−
Aτ
Bu
(τ
)dτ
]T
x0
∫ =
−
t1 0
u
T
Hale Waihona Puke (τ)BT
e
−
ATτ
x0
dτ
=0
向量 x0 为零，与假设矛盾，必要性得证。
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1、线性定常连续系统可控性的格拉姆矩阵判据
⋅ x0
2
dτ
=0
BT e− ATt ⋅ x0 = 0, ∀t ∈[0, t1]
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BT e− ATt ⋅ x0 = 0, ∀t ∈[0, t1]
其中 x0 ≠ 0,
而因为系统完全能控，对于这样一个非零向量 x0 找到一个控制
量u，使得
∫ x(t1) = eAt1 x0 +
t1 e A(t1−τ ) Bu (τ )dτ
T − AT (τ −t0 )
t0
实际上，对于线性时变系统也存在类似的能控性判据
线性时变连续系统{A(t)，B (t)} 状态完全能控的充要条件是：存
在时刻t1> t0 ，使如下定义的格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。
∫Δ
Wc (t0 , t1) =
t1 t0
Φ(t0
,τ
)
B(t
)
BT
(t
)Φ
T
(t
0
⋅Wc−1(0, t1)x0
= 0 = e At1 x0 − e At1 ⋅Wc (0, t1) ⋅Wc−1(0, t1)x0
结果表明，对于任一x0≠0，存在有限时间t1>0和控制量u(t)， 使状态由x0转移到t1时刻x(t1 ) ＝0。充分性得证。
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再证必要性：即系统能控那么Wc(0,t1)一定非奇异。
t1
)
x0
,
t ∈[0, t1]
∫ x(t1) = e At1 x0 +
t1 e A(t1−τ ) Bu (τ )dτ
0
∫ = e At1 x0 − e At1
t1 0
e
−
Aτ
BB
T
e
−
ATτ
Wc−1
(0,
t1
)
x0
dτ
∫ = e At1 x0 − e At1
t1 0
e− Aτ
BB T
e− ATτ
dτ
0
证明:充分性，已知Wc(0,t1)非奇异，证明系统完全能控。 因为Wc(0,t1)非奇异，那么Wc-1存在,因此对任意非零初始状态 x0，可构造控制u(t)为
u (t )
=
−BT
e−
AT
W t −1 c
(0,
t1 ) x0
,
t ∈[0, t1]
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u (t )
=
−BT
e−
AT
W t −1 c
(0,