【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 大题专项强化练四 Word版含解析
《师说》2017届高考数学(文)二轮复习高考大题标准练(二)Word版含解析
高考大题标准练(二)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．函数f (x )＝3sin ( 2x⎭⎫＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )的最小正周期为π.x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3. 2．(2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63. (1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2， 解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q＝63，知q ≠－1， 所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1) ＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12， 即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列． 设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. 3．(2015·北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3. (3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．4．(2016·四川卷如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD . (1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由；(2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解：取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接CM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB .又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ，所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明：由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ， 所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面P AB ⊥平面PBD .5．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165. 6．(2015·四川卷)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0.(1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．(1)解：由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．(2)证明：由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0，解得a ＝x －1－ln x .令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2＝(1＋ln x )2－2x ln x ，则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0.于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)．由u ′(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故0＝u (1)<a 0＝u (x 0)<u (e)＝e －2<1.即a 0∈(0,1)．当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0.再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )<0，从而f (x )>f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而f (x )>f (x 0)＝0；又当x ∈(0,1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x >0.故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0.综上所述，存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．。
【师说】2017届高考数学(人教版文科)二轮专项训练：专题能力提升练(五)
14．过抛物线x2＝4y上一点M(x0，y0)(x0>0)作抛物线的切线与抛物线的准线交于点N(x1，y1)，则x0－x1的最小值为__________．
解析：由x2＝4y，得y＝ x2，则y′＝ x，抛物线的准线方程为y＝－1.因为点M(x0，y0)是抛物线x2＝4y上一点，所以y0＝ x ，且过点M的抛物线的切线的斜率k＝ x0，切线方程为y－y0＝ x0(x－x0)，即y－ x ＝ x0(x－x0)，令y＝－1，得x1＝ x0－ ，所以x0－x1＝ x0＋ ≥2，所以x0－x1的最小值为2.
解析：依题意得不等式组 ，
解得m<－1或1<m< .
答案：D
7．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 ，设椭圆与抛物线y2＝4x的交点P到点F(1,0)的距离为 ，则椭圆的标准方程为()
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
解析：设P(x0，y0)，根据题意知x0－(－1)＝ ，所以x0＝ ，代入y2＝4x，得y0＝± ，所以P .由椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，则 ，
答案：B
10．已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0，a≥4)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点F重合，设抛物线的准线与椭圆 ＋ ＝1相交于A，B两点，则△ABF的面积的最小值为()
பைடு நூலகம்A．4 B．6
C．8 D．12
解析：由题意知，抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，准线为x＝－2，
所以c＝2，a2－b2＝4.
把x＝－2代入椭圆方程 ＋ ＝1，
得y2＝b2 ，
取A ，B .
因为△ABF的面积为
【师说】2017届高考数学(人教版文科)二轮专项训练：课时巩固过关练(一)
D．綈p：△ABC中存在两个内角α，β，cosα＋cosβ≤0；假命题
解析：∵p：对△ABC的任意两个内角α，β，都有cosα＋cosβ>0，∴綈p：在△ABC中存在两个内角α，β，有cosα＋cosβ≤0；假命题，理由是α＋β<180°，α<180°－β，∴cosα>cos(180°－β)，∴cosα＋cosβ>0，故选D.
答案：D
3．(2016·浙江杭州严州中学一模)已知集合A＝{x|y＝ln(1－2x)}，B＝{x|x2≤x}，则∁A∪B(A∩B)等于()
A．(－∞，0) B.
C．(－∞，0)∪ D.
解析：∵集合A＝{x|y＝ln(1－2x)}＝{x|1－2x>0}＝ ，B＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，∴A∪B＝{x|x≤1}，A∩B＝ ，∴∁A∪B(A∩B)＝(－∞，0)∪ ，故选C.
答案：D
2．(2016·山东泰安统考)已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，R＝{x|y＝x2＋1}，M＝{(x，y)|y＝x2＋1}，N＝{x|x≥1}，则()
A．P＝MB．Q＝R
C．R＝MD．Q＝N
解析：集合P只含有一个元素，即函数y＝x2＋1.集合Q，R，N中的元素全是数，即这三个集合都是数集，集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，集合R＝{x|x∈R}，集合N＝{x|x≥1}．集合M的元素是函数y＝x2＋1图象上所有的点．故选D.
答案：C
4．(2016·河南实验中学期中)命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有()
A．0个B．2个
【师说】2017届高考数学(人教版文科)二轮专项训练：高考大题标准练(三)
＝ sin2x－ cos2x
＝cos sin2x－sin cos2x
＝sin .
(1)f(x)的最小正周期T＝ ＝ ＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤ ，
∴－ ≤2x－ ≤ .
当2x－ ＝ ，即x＝ 时，f(x)取得最大值1.
当2x－ ＝－ ，即x＝0时，f(0)＝－ ，
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．
解：(1)所有可能的摸出结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．
(2)由(1)知f(x)＝ ＋ －lnx－ ，
则f′(x)＝ ，
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5.
即(xM－2)2＋y ＝x ＋y ，
化简得xM＝1，即 ＝1，
解得k＝－ 或k＝ .
所以直线l的斜率为－ 或 .
6．已知函数f(x)＝ ＋ －lnx－ ，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝ － － ，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ x知f′(1)＝－ －a＝－2，解得a＝ .
【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 专题能力提升练(四) Word版含解析
专题能力提升练(四) 立体几何一、选择题(每小题5分)1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83πB.163π C ．8π D ．16π 解析：该几何体是从一个圆柱里挖去一个圆锥所得，所以体积为V ＝π×22×2－13π×22×2＝163π.答案：B2．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是( )A.13 B ．13 C ．29 D.29解析：由题意可知四棱锥的底面是上、下底边长分别为2,4，高为3的直角梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直于底面，所以侧棱最长为22＋32＋42＝29.答案：D3．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，则该棱锥外接球的体积是( )A.4π3B.8π3C.82π3D.162π3解析：该几何体是一个底面是边长为2的正方形、高为2的四棱锥，其中一条侧棱垂直于底面，它是长方体的一部分，与长方体具有相同的外接球．则原四棱锥的外接球半径r ＝122＋2＋4＝2，故其体积为4π3×(2)3＝82π3. 答案：C4．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( )A ．8πB ．16πC ．32πD ．64π解析：该几何体为一四棱锥，其直观图如图，它是三棱柱的一部分，四棱锥与三棱柱具有相同的外接球．三棱柱的底面为等腰直角三角形，所以其外接球的半径r ＝22＋22＝22，所以该几何体外接球的表面积为4πr 2＝32π.答案：C5．下列结论正确的是( )A ．过一点有且只有一个平面与已知平面垂直B ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直解析：过一点如果有两条直线与已知平面垂直，根据直线与平面垂直的性质定理可知，这两条直线平行，矛盾，所以选项D 中的结论正确；过一点有无数个平面与已知平面垂直，选项A 中的结论不正确；当直线与平面垂直时，过该直线的任意平面即与已知平面垂直，选项B 中的结论不正确；在空间，过一点与已知直线垂直的直线有无数条，选项C 中的结论不正确．答案：D6．正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 是线段AO 上一点，且∠BMC＝90°，则AMMO的值为( )A ．1B ．2 C.12 D.23解析：如图，连接OB ，设正四面体的棱长为a ，则OB ＝33a ，MB ＝22a ，故OM ＝66a ＝12AO ，则AM MO＝1.答案：A7．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m解析：选项A 中，一条直线与一个平面内的一条直线垂直，不能保证该直线与该平面垂直；两平行线中的一条与一个平面垂直，另一条也垂直于这个平面，选项B 中的说法正确；选项C 中，一条直线与一个平面平行，不能保证其平行于平面内的任意直线，选项C 中的说法不正确；平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，选项D 中的说法不正确．答案：B8．已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为，顶点都在一个球面上，若该球的表面积为16π3，则此三棱柱的侧面积为( )A. 3B.32C ．8D ．6解析：如图，根据球的表面积可得球的半径为r ＝43，设三棱柱的底面边长为x ，则⎝⎛⎭⎫432＝x 2＋⎝⎛⎭⎫33x 2，解得x ＝1，故该三棱柱的侧面积为3×1×2＝6. 答案：D9．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，连接AD ，DD 1，AD 1. 显然DD 1⊥B 1C 1，AD 1⊥B 1C 1， 故B 1C 1⊥平面ADD 1，故平面AB 1C 1⊥平面ADD 1，故DD 1在平面AB 1C 1内的射影在AD 1上，∠AD 1D 即为直线DD 1与平面AB 1C 1所成的角． 在Rt △AD 1D 中，AD ＝3，DD 1＝3，所以tan ∠AD 1D ＝33，所以∠AD 1D ＝π6.因为BB 1∥DD 1，所以直线BB 1与平面AB 1C 1所成角的大小为π6.答案：A10．正三角形ABC 的边长为23，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 的外接球的半径为( )A.13B.132C ．2 3 D. 3解析：球心O 一定在与平面BCD 垂直且过底面正三角形中心O ′的直线上，也在平面ADO 中AD 的垂直平分线上，如图．OE ＝O ′D ＝3×32×23＝1，DE ＝12AD ＝12×23×32＝32，故所求外接球的半径r ＝12＋⎝⎛⎭⎫322＝132.答案：B二、填空题(每小题5分)11．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．解析：由题可知该几何体由两个相同的半圆柱和一个长方体拼接而成，因此该几何体的体积V ＝1×2×4＋π×12×2＝8＋2π.答案：8＋2π12．如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为__________．解析：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，ED ，BD ，PE . 设BD ∩AE ＝O ，连接PO .设AB ＝a ，则OA ＝OB ＝22a . 又PB ＝P A ＝PD ，O 为BD 的中点，所以BD ⊥PO ，所以PO ＝a 2－⎝⎛⎭⎫22a 2＝22a ，所以PO ⊥OA ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥AE .由已知可得四边形ABED 为正方形，所以BD ⊥AE ，所以AE ⊥平面PBD ，所以AE ⊥PB .又CD ∥AE ，所以CD ⊥PB ，即异面直线CD 与PB 所成角的大小为90°.答案：90° 13．(2016·池州二模)表面积为60π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S －ABC 体积的最大值为________．解析：∵表面积为60π的球，∴球的半径为15，设△ABC 的中点为D ，则OD ＝3，所以DA ＝23，则AB ＝6棱锥S －ABC 的底面积S ＝34×62＝93为定值，欲使其体积最大，应有S 到平面ABC 的距离取最大值， 又平面SAB ⊥平面ABC ，∴S 在平面ABC 上的射影落在直线AB 上，而SO ＝15，点D 到直线AB 的距离为3， 则S 到平面ABC 的距离的最大值为33，∴V ＝13×93×33＝27.答案：2714．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，将△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为__________．解析：易知四面体A ′EFD 的三条侧棱A ′E ，A ′F ，A ′D 两两垂直，且A ′E ＝1，A ′F ＝1，A ′D ＝2，我们把四面体A ′EFD 扩成棱长为1,1,2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A ′EFD 的外接球，所以球的半径为r ＝1212＋12＋22＝62.答案：6215.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．若平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，则四棱锥P －ABCD 与三棱锥P －QBM 的体积之比是__________．解析：过点M 作MH ∥BC 交PB 于点H .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊥AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD .∵P A ＝PD ＝AD ＝AB ＝2，∠BAD ＝60°， ∴PQ ＝BQ ＝ 3.∴V P －ABCD ＝13PQ ·S 菱形ABCD ＝13×3×2×3＝2.又PQ ⊥BC ，BQ ⊥AD ，AD ∥BC ， ∴BQ ⊥BC ，又QB ∩QP ＝Q ，∴BC ⊥平面PQB ，又MH ∥BC ，PM ＝2MC ，∴MH ⊥平面PQB ，MH BC ＝PM PC ＝23，∵BC ＝2，∴MH ＝43，∴V P －QBM ＝V M －PQB ＝13×12×3×3×43＝23，∴V P －ABCD V P －QBM ＝答案：三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16．如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面AA ′C ′C ；(2)设AB ＝λAA ′，当λ为何值时，CN ⊥平面A ′MN ，试证明你的结论．解：(1)取A ′B ′的中点E ，连接ME ，NE ，因为M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点，所以NE ∥A ′C ′，ME ∥AA ′.又ME ∩NE ＝E ，A ′C ′∩AA ′＝A ′， 所以平面MNE ∥平面AA ′C ′C ， 因为MN ⊂平面MNE ， 所以MN ∥平面 AA ′C ′C .(2)连接BN ，设AA ′＝a ，则AB ＝λAA ′＝λa ，由题意知BC ＝2λa ，NC ＝BN ＝a 2＋12λ2a 2，因为三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面， 所以平面A ′B ′C ′⊥平面BB ′C ′C ，因为AB ＝AC ，点N 是B ′C ′的中点，所以A ′N ⊥平面BB ′C ′C ， 所以CN ⊥A ′N ，要使CN ⊥平面A ′MN ， 只需CN ⊥BN 即可， 所以CN 2＋BN 2＝BC 2，即2⎝⎛⎭⎫a 2＋12λ2a 2＝2λ2a 2，所以λ＝2， 则当λ＝2时，CN ⊥平面A ′MN .17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，侧面P AB ⊥底面ABCD ，P A ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)证明：平面PBC ⊥平面PDC ； (2)若∠P AB ＝120°，求点B 到直线PC 的距离． 解：(1)延长BA ，CD 交于M 点，连接MP ，则BM ＝2，A 是BM 的中点，因为P A ＝12BM ，所以MP ⊥PB ，又因为侧面P AB ⊥底面ABCD ，AB ⊥BC ， 所以BC ⊥平面PBM ，所以BC ⊥MP ，故MP ⊥平面PBC ，因为MP ⊂平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD .(2)过B 点作BN ⊥PC 于N ，则BN 为点B 到直线PC 的距离． 因为∠P AB ＝120°，P A ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2， 所以MP ＝1，PB ＝3，PC ＝7，因为BN ×PC ＝BC ×PB ，所以BN ＝237＝2217.18．(2016·山东烟台期末)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，点D 是棱B 1C 1的中点．(1)求证：A 1D ⊥平面BB 1C 1C ；(2)求证：AB 1∥平面A 1DC ； (3)求三棱锥C 1－A 1CD 的体积．解：(1)∵面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形， AA 1⊥A 1C 1，AA 1⊥A 1B 1，A 1C 1∩A 1B 1＝A 1，A 1C 1，A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∵AA 1∥CC 1，∴CC 1⊥平面A 1B 1C 1. ∵A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴CC 1⊥A 1D ， ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1，AB ＝AC ＝1， ∴A 1B 1＝A 1C 1，∵D 是B 1C 1的中点，∴A 1D ⊥B 1C 1.∵CC 1∩B 1C 1＝C 1，又CC 1，B 1C 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1D ⊥平面BB 1C 1C .(2)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OD ， ∵四边形ACC 1A 1为正方形，点O 为AC 1的中点，D 为B 1C 1的中点， ∴OD 为△AB 1C 1的中位线，∴AB 1∥OD ， ∵OD ⊂平面A 1DC ，AB 1⊄平面A 1DC ， ∴AB 1∥平面A 1DC .(3)由(1)CC 1⊥平面A 1B 1C 1，∴CC 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高， ∵A 1B 1＝A 1C 1＝1，∠B 1A 1C 1＝90°， D 是B 1C 1的中点，S △A 1C 1D ＝12S △A 1B 1C 1＝12×12×12＝14，VC 1－A 1CD ＝VC －A 1C 1D ＝13S △A 1C 1D ·CC 1＝13×14×1＝112，即三棱锥C 1－A 1CD 的体积V ＝112.19．(2016·河北衡水二中期中)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；(3)线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由．解：(1)在△P AD 中，P A ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD .又侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .(2)连接BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ，有OD ∥BC 且OD ＝BC ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OB ∥DC .由(1)知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角，所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角． 因为AD ＝2AB ＝2BC ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝1，AO ＝1，所以OB ＝2，在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1，所以OP ＝1，在Rt △PBO 中，PB ＝3，所以cos ∠PBO ＝63，所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为63.(3)假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32.设QD ＝x ，则S △DQC ＝12x ，由(2)得CD ＝OB ＝2， 在Rt △POC 中，PC ＝2，所以PC ＝CD ＝DP ，S △PCD ＝34×(2)2＝32，由V P －DQC ＝V Q －PCD ，得x ＝32，所以存在点Q 满足题意，此时AQ QD ＝13.20．(2016·天津五区期末)已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1⊥底面ABCD ，ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ，AB ＝2，AD ＝1，∠ABC ＝60°，E ，F 分别为A 1C ，A 1B 1的中点．(1)求证：D 1E ∥平面BB 1C 1C ；(2)求证：BC ⊥A 1C ；(3)若A 1A ＝AB ，求直线DF 与平面A 1ADD 1所成角的正弦值．解：(1)连接D 1F ，EF ，B 1C ，因为EF 是△A 1CB 1的中位线，所以EF ∥CB 1. 因为AB ∥DC ，所以A 1B 1∥D 1C 1， 又AB ＝2AD ＝2，∠ABC ＝60°，可求D 1C 1＝1，故D 1C 1＝FB 1，所以四边形C 1D 1FB 1为平行四边形，所以D 1F ∥C 1B 1，又EF ∩D 1F ＝F ，CB 1∩C 1B 1＝B 1， 所以平面D 1EF ∥平面BB 1C 1C ，又D 1E ⊂平面D 1EF ， 所以D 1E ∥平面BB 1C 1C .(2)连接AC ，在等腰三角形ADC 中可求AC ＝3，又因为BC ＝1，AB ＝2，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以BC ⊥AC . 又四棱柱是直四棱柱，故A 1A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以A 1A ⊥BC .因为A 1A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面A 1AC ，A 1C ⊂平面A 1AC ， 所以BC ⊥A 1C .(3)取A 1D 1的中点G ，连结FG ，由已知可知△A 1D 1F 为正三角形，故FG ⊥A 1D 1，又因为四棱柱是直四棱柱，所以平面A 1D 1F ⊥平面A 1ADD 1， 所以FG ⊥平面A 1ADD 1.连结DG ，则∠FDG 为直线DF 与平面A 1ADD 1所成的角．在Rt △FDG 中，FG ＝32，DG ＝172，故DF ＝5，所以sin ∠FDG ＝FG DF ＝325＝1510.21．(2016·江西赣州期中)如图①，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图②所示．(1)求四面体PBFC 的体积； (2)证明：AE ∥平面PFC ；(3)证明：平面PFC ⊥平面PCD .解：(1)由左视图可得F 为AB 的中点，∴△BFC 的面积为S ＝12×1×2＝1.∵P A ⊥平面ABCD ，∴四面体PBFC 的体积为V P －BFC ＝13S △BFC ·P A ＝13×1×2＝23.(2)取PC 中点Q ，连接EQ ，FQ . 由正(主)视图可得E 为PD 的中点，∴EQ ∥CD ，EQ ＝12CD .又AF ∥CD ，AF ＝12CD ，∴AF ∥EQ ，AF ＝EQ .∴四边形AFQE 为平行四边形， ∴AE ∥FQ .∵AE ⊄平面PFC ，FQ ⊂平面PFC ， ∴直线AE ∥平面PFC .(3)∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD.∴CD⊥平面P AD.∵AE⊂平面P AD，∴CD⊥AE.∵P A＝AD，E为PD中点，∴AE⊥PD.∴AE⊥平面PCD.∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD.∵FQ⊂平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD.。
《师说》2017届高考数学(文)二轮复习课时巩固过关练(二)Word版含解析
课时巩固过关练(二) 向量运算与复数运算、算法、合情推理A 组一、选择题1．(2016·广东佛山期中)如图，在△ABC 中，已知BD →＝2DC →，则AD →等于()A ．－12AB →＋32AC → B.12AB →＋32AC →C.13AB →＋23AC →D.13AB →－23AC → 解析：根据平面向量的运算法则可知：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB→＋23AC →.故选C. 答案：C2．(2016·福建南安期中)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2 D.2m ＋1n 是定值，定值为3 解析：解法一：过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，∴AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，∴AM AB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1， ∵AM →＝mAB →，∴m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n ＝3.解法二：∵M ，D ，N 三点共线，∴AD →＝λAM →＋(1－λ)AN →.又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，∴AD →＝λm AB →＋(1－λ)nAC →①.又BD →＝12DC →，∴AD →－AB →＝12AC →－12AD →，∴AD →＝13AC →＋23AB →②.由①②知λm＝23，(1－λ)n ＝13.∴2m ＋1n ＝3，故选D. 答案：D3．(2015·陕西高考)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2解析：因为|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |，所以A 选项正确；当a 与b 方向相反时，B 选项不成立，所以B 选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以C 选项正确；(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2所以D 选项正确，故选B. 答案：B4．(2016·山东淄博期中)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC →·DB →等于( ) A ．1 B ．－1 C. 6 D ．2 2解析：解法一：如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，C (2，1)，D (0,1)，∴AC →＝(2，1)，DB →＝(2，－1)，则AC →·DB →＝2－1＝1.解法二：记AB →＝a ，AD →＝b ，则a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，∴AC →·DB →＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝2－1＝1.故选A. 答案：A5．(2016·山东德州一中一模)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋23 解析：当n ＝1时，左边＝1＋2＋22＋23. 答案：D 6．(2016·四川巴蜀中学月考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A ，小前提与结论应互换，错误；对于B ，符合演绎推理过程且结论正确；对于C ，大前提和小前提颠倒，错误；对于D ，大、小前提和结论颠倒，错误．故选B.答案：B 7．(2016·四川雅安中学月考)执行如图所示的程序框图，若输入的x ，t 均为2，则输出的S 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：若x ＝t ＝2，则第一次循环，1≤2成立，则M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝2，第二次循环，2≤2成立，则M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝3，此时3≤2不成立，输出S＝7，故选D.答案：D 8．(2016·江西赣州于都实验中学月考)阅读程序框图，若输入m ＝4，n ＝6，则输出a ，i 分别是( )A ．a ＝12，i ＝3B ．a ＝12，i ＝4C ．a ＝8，i ＝3D ．a ＝8，i ＝4解析：由程序框图得：第一次运行i ＝1，a ＝4；第二次运行i ＝2，a ＝8；第三次运行i ＝3，a ＝12，满足a 被6整除，结束运行，输出a ＝12，i ＝3.故选A.答案：A9．(2016·安徽江南十校联考)复数i2－i在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵i2－i ＝i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝－1＋2i5，∴对应的点在第二象限，故选B.答案：B10．(2016·新疆克拉玛依十三中月考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：∵(z －3)(2－i)＝5，∴z －3＝52－i ＝2＋i ，∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i.故选D. 答案：D 二、填空题11．(2016·吉林辽源联考)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，且a ∥b ，则锐角θ等于__________．解析：∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，∴cos θ＝±22.又θ为锐角，∴θ＝45°.答案：45° 12．(2016·江西高安段考)已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，则b 在a 方向上的投影为__________．解析：根据a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，求得a ＝(4，－2)，b ＝(1，－8)，根据投影公式可得b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝4＋1625＝2 5.答案：2 5 13．(2016·河北南宫一中周测)某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A ，B ，C ，D ，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是B 就行； 小张说：B ，C ，D ，E 都行；小李说：我喜欢D ，但是只要不是C 就行； 小刘说：除了E 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为__________．解析：根据小赵，小李和小刘的说法可排除B ，C ，E ，剩余A 和D ，再根据小张的说法可知选D 影片．答案：D14．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则框图内m 的取值范围是__________．解析：第一次运行：S ＝2×1，k ＝2；第二次运行：S ＝2×1＋2×2，k ＝3；……；当输出结果是8时，此时S ＝2×1＋2×2＋…＋2×7＝56，故m ≤56，并且m >2×1＋2×2＋…＋2×6＝42.综上可知m 的取值范围是(42,56]．答案：(42,56]15．(2016·黑龙江大庆实验中学期末)化简2＋4i(1＋i )2的结果是__________．解析：原式＝2＋4i2i＝2－i.答案：2－iB 组一、选择题1．(2016·广东深圳调研)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充要条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥b 且方向相同C ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：非零向量a 、b 使a |a |＝b|b |成立⇔a ＝|a ||b |b ⇔a 与b 共线且方向相同，故选B.答案：B 2．(2016·江西南昌一联)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为△ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．答案：B3．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →解析：如图，由题意，BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，则|b |＝2，故A 错误．因为|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1，又AB →·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2a ·b ＝2×2cos60°＝2，所以a ·b ＝－1，故B ，C 错误，设B ，C 中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，且AD →⊥BC →，而2AD →＝2a ＋(2a ＋b )＝4a ＋b ，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.答案：D4．(2016·河南南阳期中)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3OA →＋4OB →＋5OC→＝0，则OC →·AB →的值为( )A ．－15 B.15C ．－65 D.65解析：∵3OA →＋4OB →＋5OC →＝0， ∴3OA →＋4OB →＝－5OC →，∴9OA →2＋24OA →·OB →＋16OB →2＝25OC →2，∵A ，B ，C 在圆上，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1.代入原式得OA →·OB →＝0，∴OC →·AB →＝－15(3OA →＋4OB →)·(OB →－OA →)＝－15(3OA →·OB →＋4OB →2－3OA →2－4OA →·OB →)＝－15.答案：A 5．(2016·甘肃会宁四中期末)将正整数排列如下： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …则在表中数字2 016出现在( )A ．第44行第81列B ．第45行第81列C ．第44行第80列D ．第45行第80列解析：依题意可知第n 行有(2n －1)个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(个)，∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936<2 016,2 025>2 016，∴2 016在第45行，又2 025－2 016＝9，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 016在第89－9＝80列．故选D.答案：D 6．(2016·广西钦州调研)如图所示的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－π4<θ<3π4，θ≠0，θ≠π4，θ≠π2中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，则θ值所在范围是()A.⎝⎛⎭⎫－π4，0B.⎝⎛⎭⎫0，π4C.⎝⎛⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 解析：程序框图的功能是求a ，b ，c 的最大值．∵输出的结果是sin θ，∴sin θ最大，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ≥cos θ，sin θ≥tan θ，－π4<θ<3π4，θ≠0，θ≠π4，θ≠π2，解得π2<θ<34π，故选D.答案：D 7．(2016·广东佛山期中)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如表所示的数据观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8观测数据a i40 41 43 43 44 46 47 488个数据的平均数)，则输出的S 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：∵a ＝18(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44，S ＝18(42＋32＋12＋12＋02＋22＋32＋42)＝7，故选C.答案：C8．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )解析：由题图可知z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－1＋i ，则复数z ＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故A 正确．答案：A9．(2016·安徽三校联考)已知复数3＋ix －i(x ∈R )在复平面内对应的点位于以原点O 为圆心，以2为半径的圆周上，则x 的值为( )A ．2B ．1＋3iC ．±2D ．±12解析：3＋ix －i ＝(3＋i )(x ＋i )x 2＋1＝3x －1x 2＋1＋3＋xx 2＋1i ，所以该复数对应的点为⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x 2＋1，3＋x x 2＋1，该点在x 2＋y 2＝2上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x x 2＋12＝2，解得x ＝±2，故选C. 答案：C二、填空题10．(2016·福建厦门适应性考试)如图，在△ABC 中，AD →·BC →＝0，BC →＝3BD →，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值是__________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.设AD →＝xAM →＋yAN →(x ＋y ＝1)，则AD→＝xλAB →＋yμAC →，则⎩⎨⎧xλ＝23，yμ＝13，故⎩⎨⎧λ＝23x ，μ＝13y，故λ＋2μ＝23⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝23⎝⎛⎭⎫1＋y x ＋x y ＋1 ≥23⎝⎛⎭⎫2＋2y x ×x y ＝83.当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．故答案为83. 答案：8311．(2016·河北衡水期中)已知点P 是边长为4的正三角形ABC 的边BC 上的中点，则AP →·(AB →＋AC →)＝__________.解析：由P 为边长为4的正三角形ABC 的边BC 上的中点，可得AP →＝12(AB →＋AC →)，AB →·AC→＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝4×4×12＝8，则AP →·(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AC →)2＝12(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝12×(16＋16＋16)＝24.答案：2412．(2016·辽宁抚顺月考)已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，照此规律总结出第n 个不等式为__________．解析：由已知条件1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，可归纳猜想得出其第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n.答案：1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n13．(2013·福建高考)当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式：1＋x ＋x 2＋…＋x n ＋…＝11－x. 两边同时积分得：120⎰1d x ＋120⎰x d x ＋120⎰x 2d x ＋…＋120⎰x nd x ＋…＝120⎰11－xd x ， 从而得到如下等式： 1×12＋12×⎝⎛⎭⎫122＋13×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋…＝ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C 0n ×12＋12C 1n ×⎝⎛⎭⎫122＋13C 2n ×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝__________.解析：由C 0n ＋C 1n x ＋…＋C 2n x 2＋C n n x n ＝(1＋x)n，两边同时积分得，C 0n120⎰1d x ＋C 1n120⎰x d x＋C 2n120⎰x2d x ＋…＋C n n120⎰x nd x ＝120⎰(1＋x)n d x ，12C 0n ＋12C 1n ⎝⎛⎭⎫122＋13C 2n ⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1C n n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1(1＋x )n ＋1⎪⎪⎪⎪120＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1 －1n ＋1＝1n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n ＋1－1. 答案：1n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n ＋1－114．(2016·广西柳州二中月考)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是S<__________(填一个数字)．解析：由题意知判断框中的条件需在i ＝4，即S ＝9时执行此判断框后的“否”，而在i ＝3，即S ＝8时执行后面的“是”．答案：915．(2016·湖北枣阳一中月考)定义一种运算如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝ad －bc ，则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1 2 3i 的共轭复数是__________．解析：复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1 2 3i ＝3i (1＋i )－(－1)×2＝－1＋3i ，其共轭复数为－1－3i .答案：－1－3i。
【师说】2017届高考数学(人教版文科)二轮专项训练：小题专项滚动练三
5．已知α为第四象限角，则tan ()
A．一定是正数B．一定是负数
C．正数、负数都有可能D．有可能是零
解析：已知α为第四象限角，则有2kπ＋ ＜α＜2kπ＋2π(k∈Z)，kπ＋ ＜ ＜kπ＋π(k∈Z)，故 一定是第二或第四象限角，则tan ＜0，选B
答案：B
6．当－ ≤x≤π时，函数f(x)＝sinx＋ cosx的()
三、三角函数及解三角形
小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！姓名：________班级：________
一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f(x)＝sin (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈ ，则x0＝()
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.C＝60°，c＝ ，则 ＝________.
解析：由题设得，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cosC＝13－12cosC，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA·cosA＝5＋4cosC，②
由①②得：cosC＝ ，故C＝60°，BD＝ .
故四边形ABCD的面积S＝ AB·DA·sinA＋ BC·CD·sinC＝ ·sin60°＝2 .
答案：2
答案：A
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝ ，则角C＝()
A. B.
C. D. 或
解析：在△ABC中，由余弦定理得cosA＝ ，即 ＝ ，所以b2＋c2－a2＝ bc，又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝ bc，所以c＝( －1)b＜b，a＝ b，所以cosC＝ ＝ ，所以C＝ .
【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 大题专项强化练五 Word版含解析
五、数列(A 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！ 姓名：________ 班级：________1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3，得a n ＝2S n －1＋3，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3. 当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3. ∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列．∴a n ＝3×3n －1＝3n .(2)由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)×3n .∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n ，①3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)×3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)×3n ＋1 ＝－6－(2n －2)×3n ＋1.∴T n ＝(n －1)×3n ＋1＋3.2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n (a n ＋2)的前n 项和为T n ，求证：12≤T n <1. 解：(1)因为2S n ＝(n ＋1)a n ，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，两式相减，得 2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，即(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1， 所以a n n ＝a 11. 因为a 1＝2，所以a n ＝2n .(2)因为a n ＝2n ，令b n ＝4a n (a n ＋2)，n ∈N *， 所以b n ＝42n (2n ＋2)＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 因为1n ＋1>0，所以1－1n ＋1<1. 因为f (n )＝1n ＋1在N *上是递减函数， 所以1－1n ＋1在N *上是递增的， 所以当n ＝1时，T n 取最小值12. 所以12≤T n <1.。
《师说》2017届人教版高考数学(文)二轮数学(文)专项训练高考大题标准练(八)Word版含解析
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2的观测值
k＝ ＝ ≈4.762＞3.841.
所以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
4．(2015·新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为 ，求该三棱锥的侧面积．
证明：(1)因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，
所以AC⊥BE，又因为BE∩BD＝B，
故AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)解：设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得
AG＝GC＝ x，GB＝GD＝ .
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，
可得EG＝ x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，
可得BE＝ x.
由已知得，三棱锥E－ACD的体积
VE－ACD＝ × AC·GD·BE
＝ x3＝ .故x＝2.
附：K2＝
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
解：(1)300× ＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得2×(0.150＋0.125＋0.075＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率的估计值为0.75.
【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 高考大题标准练(四) Word版含解析
高考大题标准练(四)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．(2016·山东卷)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值． 解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位， 得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 2．(2015·湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎨⎧ a n ＝19(2n ＋79)b n ＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1. 3．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12. 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，知样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为 4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的概率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E －ABC 的体积．证明：(1)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC .所以BB 1⊥AB .又因为AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC . 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1.所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3. 所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. 5．(2016·四川卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |. 解：(1)由已知，a ＝2b ，又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P ⎝⎛⎭⎫3，12， 故34b 2＋14b2＝1，解得b 2＝1. 所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1. (2)证明：设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，① 方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)．由Δ＞0，即2－m 2＞0，解得－2＜m ＜ 2.由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2， 所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，直线OM 的方程为y ＝－12x . 由方程组⎩⎨⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝⎛⎭⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎫2，－22. 所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)． 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)] ＝54(2－m 2)， 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.6．(2016·山东卷)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R .(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x. 当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当a >0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >0时，g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ，单调减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当0<a <12时，12a>1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，12a 内单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．③当a ＝12时，12a＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意．④当a >12时，0<12a<1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为a >12.。
2017届高考数学(文)二轮复习(全国通用)教师用书专题四至专题八Word版含解析
第1讲 空间几何体中的计算高考定位 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算；2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.真 题 感 悟1.(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π解析 由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和，易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π，故选A. 答案 A2.(2016·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝（23）2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C. 答案 C3.(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A.18＋365B.54＋18 5C.90D.81解析 由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，35，几何体的表面积S ＝3×6×2＋3×3×2＋3×35×2＝54＋18 5. 答案 B4.(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________.解析 由三视图知该四棱柱为直四棱柱， 底面积S ＝（1＋2）×12＝32，高h ＝1，所以四棱柱体积V ＝S ·h ＝32×1＝32. 答案 32考 点 整 合1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.2.几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正，高平齐，宽相等.3.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；③S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)； ④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；③V球＝43πR3.热点一以三视图为载体的几何体的表面积与体积的计算[微题型1]以三视图为载体求几何体的表面积【例1－1】(1)(2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A.1＋ 3B.1＋2 2C.2＋ 3D.2 2(2)(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.解析(1)由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示.∴其表面积S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选C. (2)由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2 cm ，下面长方体是底面边长为4 cm ，高为2 cm ，其直观图如右图：其表面积S ＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm 2).体积V ＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm 3). 答案 (1)C (2)80 40探究提高 (1)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理.[微题型2] 以三视图为载体求几何体的体积【例1－2】 (1)(2016·郑州模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.（4＋π）33B.（4＋π）32C.（4＋π）36D.(4＋π) 3(2)(2016·衡水大联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.203B.8C.223D.163解析 (1)由该几何体的三视图，可知该几何体是由底面半径为1、高为3、母线长为2的半圆锥，和底面为等腰三角形(底边长为2、高为2)、高为3的三棱锥拼成的一个组合体.所以此组合体的体积为13×12×π×12×3＋13×12×2×2×3＝（4＋π）36.(2)由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥. 所以此几何体的体积为2×2×2－13×12×1×2×2＝223.故选C. 答案 (1)C (2)C探究提高 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积. [微题型3] 与球有关的体积问题【例1－3】 (1)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A.36πB.64πC.144πD.256π(2)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此三棱锥的体积为( ) A.26B.36C.23D.22解析 (1)如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大为13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π，选C.(2)法一 (排除法)V ＜13×S △ABC ×2＝36，排除B 、C 、D ，选A. 法二 (直接法)：在Rt △ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，所以SA ＝4－1＝ 3.同理，SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因为△SAC ≌△SBC ，所以BD ⊥SC ，AD ＝BD ，故SC ⊥平面ABD ，且△ABD 为等腰三角形.因为∠ASC ＝30°，故AD ＝12SA ＝32，则△ABD 的面积为12×1×AD 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝24，则三棱锥S －ABC 的体积为13×24×2＝26.答案 (1)C (2)A探究提高 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 【训练1】 (1)(2016·成都诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2π B.13π6 C.7π3D.5π2(2)(2016·西安模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.54B.60C.66D.72解析 (1)该几何体由一个圆柱和一个半圆锥组成，其体积为V ＝π×12×2＋12×13π×12×1＝2π＋π6＝136π.(2)还原为如图所示的直观图，S 表＝S △ABC ＋S △DEF ＋S 矩形ACFD ＋S 梯形ABED ＋S 梯形CBEF ＝12×3×4＋12×3×5＋5×3＋12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×5＝60. 答案 (1)B (2)B热点二 多面体的体积计算 [微题型1] 多面体体积的间接计算【例2－1】 (1)如图所示，ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AC ，PC 的中点，P A ＝2，AB ＝1，则三棱锥C －PED 的体积为________.(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连接EF ，FB ，DE ，BD 则几何体EFC 1－DBC 的体积为( ) A.66 B.68 C.70D.72解析 (1)∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A 是三棱锥P －CED 的高，P A ＝2. ∵ABCD 是正方形，E 是AC 的中点， ∴△CED 是等腰直角三角形.AB ＝1，故CE ＝ED ＝22，S △CED ＝12CE ·ED ＝12×22×22＝14.故V C －PED ＝V P －CED ＝13·S △CED ·P A ＝13×14×2＝16.(2)如图，连接DF ，DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－BDC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求几何体EFC 1－DBC 的体积为66. 答案 (1)16 (2)A探究提高 (1)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解.[微题型2] 多面体体积的直接计算【例2－2】 (2016·武汉模拟)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点.(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积. (1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ， 则F 为AC 1中点.又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝13×12×6×3×2＝1.探究提高有关多面体的体积计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式，作好辅助线等.【训练2】(2016·豫南九校联考)如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，P A＝23，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3.(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积.(1)证明因BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.因为P A ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面P AC . (2)解 三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积 S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12·2·2·sin 2π3＝ 3. 由P A ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13·3·23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18P A ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13·3·18·23＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.(4)注意几何体的表面积与侧面积的区别，侧面积只是表面积的一部分，不包括底面积，而表面积包括底面积和侧面积.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a 的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为32a ，a 2，22a .3.锥体体积公式为V ＝13Sh ，在求解锥体体积中，不能漏掉13.一、选择题1.(2015·全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为V A －A 1B 1D 1V B 1C 1D 1－ABCD ＝V A －A 1B 1D 1V A 1B 1C 1D 1－ABCD －V A －A 1B 1D 1＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15.选D. 答案 D2.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( ) A.90 cm 2 B.129 cm 2 C.132 cm 2 D.138 cm 2解析 该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm ，4 cm ，3 cm ，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，所以表面积S ＝(2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3)＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋3×5＋2×12×3×4＝138(cm 2)，故选D. 答案 D3.(2016·皖南八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2πD.23＋2π解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝π＋13，选A. 答案 A4.(2015·全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( ) A.1 B.2 C.4D.8解析 由题意知，设几何体由一个半圆柱和一个半球拼接而成， ∴2r ·2r ＋2πr 2＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，∴r ＝2. 答案 B5.三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA ＝AB ＝BC ＝1，则球O 的表面积为( ) A.32π B.32π C.3πD.12π解析 如图，因为AB ⊥BC ，所以AC 是△ABC 所在截面圆的直径，又因为SA ⊥平面ABC ，所以△SAC 所在的截面圆是球的大圆， 所以SC 是球的一条直径. 由题设SA ＝AB ＝BC ＝1，由勾股定理可求得：AC ＝2，SC ＝3， 所以球的半径R ＝32，所以球的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π.答案 C 二、填空题6.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3).答案 8π37.(2016·四川卷)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.解析 由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，△ABC 为等腰三角形，且AC ＝23，AC 边上的高为1，∴S △ABC ＝12×23×1＝ 3.由侧视图可知：三棱锥的高h ＝1，∴V S －ABC ＝13S △ABC h ＝33.答案 338.(2016·成都诊断)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是________.解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱， ∵V P －A 1MN ＝V A 1－PMN ， 又∵AA 1∥平面PMN ， ∴V A 1－PMN ＝V A －PMN ，∴V A －PMN ＝13×12×1×12×12＝124，故V P －A 1MN ＝124. 答案 124 三、解答题9.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 解 (1)交线围成的正方形EHGF .如图：(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72. 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97(79也正确).10.(2015·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD 为菱形，G 是AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD . (1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E －ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积.(1)证明 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥BE .因为BE ∩BD ＝B ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)解 设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB＝GD ＝x2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x .由BE ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD 知BE ⊥BG ，故△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x .由已知得，三棱锥E －ACD 的体积V E －ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63.故x ＝2. 从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2 5.11.(2016·岳阳4月模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1.(1)求证：A1C⊥CC1；(2)若AB＝2，AC＝3，BC＝7，问AA1为何值时，三棱柱ABC－A1B1C1体积最大，并求此最大值.(1)证明由AA1⊥BC知BB1⊥BC，又BB1⊥A1B，且BC∩A1B＝B，故BB1⊥平面BCA1，又A1C⊂平面BCA1，即BB1⊥A1C，又BB1∥CC1，所以A1C⊥CC1.(2)解法一设AA1＝x，在Rt△A1BB1中，A1B＝A1B21－BB21＝4－x2.同理，A1C＝A1C21－CC21＝3－x2.在△A1BC中，cos ∠BA1C＝A1B2＋A1C2－BC2 2A1B·A1C＝－x2（4－x2）（3－x2），sin ∠BA1C＝12－7x2（4－x2）（3－x2），所以S△A1BC ＝12A1B·A1C·sin ∠BA1C＝12－7x22.从而三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S直·l＝S△A1BC ·AA1＝x12－7x22，因x12－7x2＝12x2－7x4＝－7（x2－67）2＋367，故当x＝67＝427，即AA1＝427时，体积V取到最大值377.法二 如图，过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD . 由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，AA 1∩A 1D ＝A 1，故BC ⊥平面AA 1D ，BC ⊥AD ，又∠BAC ＝90°，所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ，所以AD ＝2217.设AA 1＝x ，在Rt △AA 1D 中，A 1D ＝AD 2－AA 21＝127－x 2， S △A 1BC ＝12A 1D ·BC ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7（x 2－67）2＋367，故当x ＝67＝427， 即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.第2讲 空间中的平行与垂直的证明问题高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题；2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.真 题 感 悟(2016·全国Ⅰ卷)如图，已知正三棱锥P －ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . (1)证明：G 是AB 的中点；(2)作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体P －DEF的体积.(1)证明 因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以AB ⊥PD . 因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE .且PD ∩DE ＝D ， 所以AB ⊥平面PED ，又PG ⊂平面PED ，故AB ⊥PG . 又由已知可得，P A ＝PB ，从而G 是AB 的中点.(2)解 在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F 即为E 在平面P AC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC ，P A ∩PC ＝P ， 因此EF ⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影.连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG . 由题设可得PC ⊥平面P AB ，DE ⊥平面P AB ， 所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC .由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A ＝6，可得DE ＝2，PE ＝2 2. 在等腰直角三角形EFP 中， 可得EF ＝PF ＝2.所以四面体P －DEF 的体积 V ＝13×12×2×2×2＝43.考 点 整 合1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α. (2)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b .(3)面面平行的判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b . 2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝P ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.热点一空间平行、垂直关系的证明【例1】(2016·山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.【训练1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点.求证：(1)CE ∥平面P AD ； (2)平面EFG ⊥平面EMN .证明 (1)法一 如图1，取P A 的中点H ，连接EH ，DH . 又因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，且EH ＝12AB .图1又AB ∥CD ，CD ＝12AB ， 所以EH ∥CD ，且EH ＝CD .所以四边形DCEH 是平行四边形.所以CE ∥DH . 又DH ⊂平面P AD ， CE ⊄平面P AD ， 因此，CE ∥平面P AD .法二 如图2，连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .图2又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD ，又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形.因此CF ∥AD . 又CF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD .(2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又AB ⊥P A ，所以AB ⊥EF .同理可证AB ⊥FG . 又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， 因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ，又AB ∥DC ，所以MN ∥AB ， 所以MN ⊥平面EFG .又MN ⊂平面EMN ， 所以平面EFG ⊥平面EMN .热点二 利用平行、垂直关系判断点的存在性【例2】 (2016·四川卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由.(2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB . 又AB ⊂平面P AB .CM ⊄平面P AB . 所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以P A ⊥平面ABCD .从而P A ⊥BD .连接BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC ∥MD ，且BC ＝MD . 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB . 又BD ⊂平面PBD ， 所以平面P AB ⊥平面PBD .探究提高 探求点的位置常常是线段的中点、三等分点等，关键是通过垂直、平行关系寻找线线平行.【训练2】 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°. (1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC 的值.(1)解 由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P －ABC 的高，又P A ＝1.所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)证明 在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ， 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.热点三 平面图形翻折中的平行、垂直关系【例3】 (2016·全国Ⅱ卷)如图，菱形ABCD 的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝22，求五棱锥D′－ABCFE的体积.(1)证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得AEAD＝CFCD，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)解由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(22)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC＝DHDO得EF＝92.五边形ABCFE的面积S＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝13×694×22＝2322.探究提高(1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.【训练3】(2016·江西八校联考)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝2 2.(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG . (1)证明 在等边△ABC 中，AD ＝AE ，∴AD DB ＝AEEC 在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立. ∴DE ∥BC ，又DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)证明 在等边△ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥CF .∵在三棱锥A －BCF 中，BC ＝22，BF ＝CF ＝12， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2， ∴CF ⊥BF . 又BF ∩AF ＝F ， ∴CF ⊥平面ABF .(3)解 由(1)、(2)可知GE ⊥平面DFG ，即GE 为三棱锥E －DFG 的高. V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12×DG ×FG ×GE ＝13×12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32×13＝3324.1.空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.3.在应用直线和平面平行的性质定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的所有直线”的错误.4.解决平面图形的翻折问题，关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与“量”，即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等.一、选择题1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n解析由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确.故选C.答案 C2.(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A. 答案 A3.若a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的为()A.若a∥α，b∥α，则a∥bB.若α∥a，β∥a，则α∥βC.若a⊥α，b⊥α，则a∥bD.若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ解析对于A，空间中平行于同一个平面的两直线可能异面、相交或平行，故A错误；对于B，空间中平行于同一条直线的两面平行或相交，故B错误.对于C，空间中垂直于同一个平面的两条直线平行，故C正确；对于D，空间中垂直于同一个平面的两平面相交或平行，故D错误.答案 C4.已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β；③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是()A.①B.②C.③D.①③解析对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也成立，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B、C.对于③，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90°，因为a⊥β，b⊥α，所以α，β所成的角为90°，即α⊥β，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A，选D.答案 D5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故选D.答案 D二、填空题6.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线P A垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点.有以下四个命题：①P A∥平面MOB；②MO∥平面P AC；③OC⊥平面P AC；④平面P AC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).解析①错误，P A⊂平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC 矛盾；④正确，因为BC⊥平面P AC.答案②④7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF＝G，现在沿AE、EF、F A把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P－AEF中必有________(填序号).①AP⊥△PEF所在平面；②AG⊥△PEF所在平面；③EP⊥△AEF所在平面；④PG⊥△AEF所在平面.解析 在折叠过程中，AB ⊥BE ，AD ⊥DF 保持不变.∴⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PEAP ⊥PF PE ∩PF ＝P ⇒AP ⊥面PEF .答案 ①8.(2016·东北三校联考)点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为________. 解析 如图所示，O 为球的球心，由AB ＝BC ＝2，AC ＝2可知∠ABC ＝π2，即△ABC 所在的小圆的圆心O 1为AC 的中点，故AO 1＝1，S △ABC ＝1，当D 为O 1O 的延长线与球面的交点时，D 到平面ABC 的距离最大，四面体ABCD 的体积最大.连接OA ，设球的半径为R ，则DO 1＝R ＋R 2－1，此时V D －ABC ＝13×S △ABC ×DO 1＝13(R ＋R 2－1)＝23，解得R ＝54，故这个球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝25π4.答案25π4三、解答题9.(2016·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC . (1)求证：DC ⊥平面P AC ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由.(1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴CD⊥平面P AC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面P AC，∴AB⊥平面P AC，AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AC.(3)解棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，∴EF为△P AB的中位线，∴EF∥P A.又P A⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴P A∥平面CEF.10.(2015·山东卷)如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.证明(1)法一连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.法二在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.又因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE，GE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.11.(2016·南昌5月模拟)如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.(1)证明∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，。
【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 大题专项强化练六 Word版含解析
六、数列(B 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！ 姓名：________ 班级：________1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式．解：(1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝45a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－5d ＝2，故a n ＝2n －7(n ∈N *)． (2)由a n ＝2n －7<0，得n <72，即n ≤3， 所以当n ≤3时，a n ＝2n －7<0，当n ≥4时，a n ＝2n －7>0.易知S n ＝n 2－6n ，S 3＝－9，S 5＝－5，所以T 5＝－(a 1＋a 2＋a 3)＋a 4＋a 5＝－S 3＋(S 5－S 3)＝S 5－2S 3＝13.当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；当n ≥4时，T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2，n ≤3n 2－6n ＋18，n ≥4. 2．已知等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，a 22＝S 3，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1＋a 5＋a 9＋…＋a 4n －3，求T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由a 22＝S 3得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，解得d ＝0，不符合题意．若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝2或d ＝0(不符合题意，舍去)． 因此数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1.(2)由(1)知a 4n －3＝8n －7，故数列{a 4n －3}是首项为1，公差为8的等差数列．从而T n ＝n 2(a 1＋a 4n －3)＝n 2(8n －6)＝4n 2－3n .。
《师说》2017届人教版高考数学(文)二轮数学(文)专项训练小题专项滚动练五Word版含解析
五、立体几何小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！姓名：________班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a⊥b，则a不一定垂直于α，故充分性不成立；若a⊥α，则a⊥b一定成立，故必要性成立，所以“a⊥b”是“a⊥α”的必要不充分条件，选B.答案：B2．下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是()解析：通解：(利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”判断)对选项A，易判断PR∥SQ，故点P、Q、R、S共面；对选项B，易判断QR∥SP，故点P、Q、R、S共面；对选项C，易判断PQ∥SR，故点P、Q、R、S共面；而选项D中的RS、PQ为异面直线，故选D.优解：如图，可知选项A、B中的四点共面．对于选项C，易知可构成平行四边形．故选D.答案：D3．设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若a⊥α，α∥β，则a⊥βD．若a∥α，b∥β，则a∥b解析：A中两条直线的位置关系不能确定，所以A错误；B中a与平面β的位置关系不确定，所以B错误；显然C正确；D中两条直线分别与两个平面平行，则两条直线的位置关系不确定，所以D错误，故选C.答案：C2中，∠BAC＝π2，的中点，同理可得△A1B1与侧棱平行，∴PQ⊥平面ABC，到A，B，C，A1，)由题知该四棱锥为正四棱锥，如图，由该四棱锥的正视图可知，四棱锥．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形和半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为由三视图可知，该几何体下面是半径为2的半球，上面是一个底面是腰的三棱锥，其体积V＝1 2×，△P AC是正三角形，∠所成角的正弦值为()D．－85 10为菱形，边长为2折起至EBHD，使得平面()32D．260°，E为AB的中点，所以DE⊥AB，故翻折之后，因此AE⊥平面EBHD，故V A－EBHD＝13×S，现有下列结论：③直线l与平面BCC__________．(写出所有不成立结论的序号＝A1Q＝x，∥平面MEF，的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为__________．(写出所有正确命题的序号其面积的最大值为1 ②当④当x ＝12，y ∈⎝ ⎛12，⎭⎪⎫1时，如图(3)， ，使DD 1∩QR ＝N ，连接AN 交A 1D 1于点T ，连接PCQ ∽△ADN ，CP AD ＝QC DN ＝12，答案：②④。
【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 专题能力提升练练四 Word版含解析
四、数列小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a n ＝n －7n －52，设a m 为数列{a n }的最大项，则m ＝( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10解析：作出函数a n ＝1＋52－7n －52，n ∈N *的图象可得a 8是数列{a n }的最大项，故m ＝8. 答案：B2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式为a n ＝( )A ．(n ＋1)3B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(2n ＋1)2－1解析：当n ＝1时，4(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8，当n ≥2时，由4(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n n ＋1，得4(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1n ，两式相减得，4a n ＝(n ＋2)2a n n ＋1－(n ＋1)2a n －1n ，即a n a n －1＝(n ＋1)3n 3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(n ＋1)3n 3×n 3(n －1)3×…×3323×8＝(n ＋1)3，经验证n ＝1时也符合，所以a n ＝(n ＋1)3.答案：A3．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )－f 2(x )＋12，数列{a n }满足a n ＝f 2(n )－f (n )，若其前m (m ∈N *)项和为－3516，则m 的值为( ) A ．16 B ．17 C ．18 D ．19解析：由题意[f (x ＋1)－12]2＝f (x )－f 2(x )，即f 2(x ＋1)－f (x ＋1)＋14＝f (x )－f 2(x )，所以－14≤f 2(n )－f (n )＝a n ≤0，所以a n ＋1＋14＝－a n ，即a n ＋1＋a n ＝－14.若m 为偶数，则其前m 项和为－14×m 2＝－3516，解得m ＝352∉N *，所以m 不可能是偶数，排除A 、C ；若m ＝17，则a 17＝S 17－S 16＝－3516＋14×8＝－316∈⎣⎡⎦⎤－14，0，符合题意；若m ＝19，则a 19＝S 19－S 18＝－3516＋14×9＝116＞0，不符合题意，故排除D ，选择B. 答案：B4．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3·a 5，则a 7＝( )A ．4 B.14 C ．8 D.18解析：由等比数列的性质可得a 24＝a 3·a 5，又a 4＝a 3·a 5，所以a 24＝a 4，解得a 4＝1(a 4＝0舍去)，又a 1＝8，所以8q 3＝1，得到q ＝12，所以a 7＝8×⎝⎛⎭⎫126＝18，选D. 答案：D5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则双曲线x 2n ＋1－y 2n＝1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±223x B ．y ＝±324x C ．y ＝±31010x D ．y ＝±103x 解析：a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，则S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，由S n ＝910＝1－1n ＋1，可得n ＝9，则双曲线方程为x 210－y 29＝1，其渐近线方程为y ＝±b a x ＝±310x ＝±31010x ，选C. 答案：C6．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝6，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．10D ．15解析：由a 1＋a 3＋a 5＝6可得3a 3＝6，故a 3＝2，S 5＝(a 1＋a 5)×52＝10a 32＝5a 3＝10，选C.答案：C7．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，且a 2－1，a 3，a 7恰好构成等比数列的前三项，则a 1＝( )A.12B ．1C ．2D ．4 解析：因为a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，所以a 2n ＝2S n －1＋n －1＋4(n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1，所以a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2，故a n ＋1－a n ＝1，又a 23＝(a 2－1)a 7，所以(a 2＋1)2＝(a 2－1)(a 2＋5)，解得a 2＝3，又a 22＝2a 1＋1＋4，得到a 1＝2，选C.答案：C8．已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝23n ＋13B ．a n ＝23n －13C ．a n ＝13n ＋23D ．a n ＝23n ＋14解析：依题意可得a n ＋1＝2＋3a n 3，则有a n ＋1＝a n ＋23，故数列{a n }是以1为首项，23为公差的等差数列，则a n ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13，故选A. 答案：A9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1a 3＝8a 2，且a 1与a 2的等差中项为12，则S 5的值为( )A ．496B ．33C ．31 D.312解析：由等比数列的性质可得a 1a 3＝a 22，又a 1a 3＝8a 2，故a 22＝8a 2，解得a 2＝8(a 2＝0舍去)，因为a 1与a 2的等差中项为12，所以a 1＋a 2＝24，故a 1＝16，所以公比q ＝12，故S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝16×⎝⎛⎭⎫1－1321－12＝31，故选C.答案：C10．已知a n ＝1n sin n π50，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，n ∈N *，则在S 1，S 2，…，S 2016中，值为正数的个数为( )A ．2 016B ．2 015C ．1 003D ．1 008解析：依题意知，a 1≥0，a 2≥0，…，a 50≥0，a 51≤0，a 52≤0，…，a 100≤0，考虑到y ＝1n的递减性及正弦函数的周期性，有a 1＋a 51＞0，a 2＋a 52＞0，…，故S 1，S 2，…，S 100均为正数，以此类推，可知S 1，S 2，…，S 2016均为正数，故选A.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝0，若对任意的正整数n ，m (n ＞m )，有a 2n －a 2m ＝a n－m a n ＋m ，则a 2 015＝________.解析：令n ＝2，m ＝1，则a 22－a 21＝a 1a 3，得a 3＝－1；令n ＝3，m ＝2，则a 23－a 22＝a 1a 5，得a 5＝1；令n ＝5，m ＝2，则a 25－a 22＝a 3a 7，得a 7＝－1，所以猜想当n 为奇数时，{a n }为1，－1,1，－1，…，所以a 2 015＝－1.答案：－112．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 9＝24，则S 88·S 1010的最大值为________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 4＋a 9＝3a 1＋12d ＝24，即a 1＋4d ＝8，所以S n n ＝na 1＋n (n －1)2d n ＝a 1＋n －12d ＝8－4d ＋n －12d ，则S 88＝8－4d ＋72d ＝8－d 2，S 1010＝8－4d ＋92d ＝8＋d 2，S 88·S 1010＝⎝⎛⎭⎫8－d 2⎝⎛⎭⎫8＋d 2＝64－d 24≤64，当且仅当d ＝0时取等号，所以S 88·S 1010的最大值为64.答案：6413．设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，若a 4，a 3，a 5成等差数列，则S 4S 2＝________. 解析：若a 4，a 3，a 5成等差数列，则有2a 3＝a 4＋a 5，即2a 1q 2＝a 1q 3＋a 1q 4，因为q ≠1，a 1≠0，所以2＝q ＋q 2，解得q ＝－2，则S 4S 2＝1－q 41－q 2＝1＋q 2＝1＋(－2)2＝5. 答案：514．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.解析：因为{b n }为等差数列，b 3＝－2，b 10＝12，故b 10＝－2＋7d ＝12，解得d ＝2，b 3＝b 1＋2×2＝－2，解得b 1＝－6，故b n ＝－6＋(n －1)×2＝2n －8，所以a n ＋1－a n ＝2n －8，a n －a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝(2×1－8)＋(2×2－8)＋…＋[2×(n －1)－8]＝n (n －1)－8(n －1)＝n 2－9n ＋8(n ≥2)，所以a n ＝n 2－9n ＋8＋3＝n 2－9n ＋11，故a 8＝82－9×8＋11＝3.答案：315．已知数列{a n }为等差数列，且各项均不为0，T n 为前n 项和，T 2n －1＝a 2n ，n ∈N *，若不等式4×(－1)n n ＋1≥t (－1)n ＋1a n ＋1对任意的正整数n 恒成立，则t 的取值范围为__________________．解析：因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，T n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以T 2n －1＝(2n －1)a 1＋(2n －1)(2n －2)2d ＝(2n －1)[a 1＋(n －1)d ]＝(2n －1)a n ，又T 2n －1＝a 2n ，所以(2n －1)a n ＝a 2n ，又a n ≠0，故a n ＝2n －1，因为4×(－1)n n ＋1≥t (－1)n ＋1a n ＋1对任意的正整数n 恒成立，即4×(－1)n n ＋1≥t (－1)n ＋12n ＋1.当n 为偶数时，有(2n ＋1)⎝⎛⎭⎫4n ＋1≥－t 对任意的正整数n 恒成立，则由(2n ＋1)⎝⎛⎭⎫4n ＋1≥－t 可得4n ＋2n ＋9≥－t ，设f (x )＝4x ＋2x ，f ′(x )＝2－4x 2，当且仅当x ＝2时 ，f (x )取得最小值，所以当n ＝1或2时，4n＋2n ＋9取得最小值，即15≥－t ，所以t ≥－15；当n 为奇数时， 有(2n ＋1)⎝⎛⎭⎫1－4n ≥t 对任意的正整数n 恒成立，则由(2n ＋1)⎝⎛⎭⎫1－4n ≥t 可得2n －4n－7≥t ，设g (x )＝2x －4x ，g ′(x )＝4x 2＋2＞0，所以当n ＝1时，2n －4n－7取得最小值，即t ≤－9.综上可得－15≤t ≤－9.答案：－15≤t ≤－9。
《师说》2017届高考数学(文)二轮复习专题能力提升练练一Word版含解析
一、集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、合情推理、不等式小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≥0}，B ＝{x|－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,1]C ．[－1,2)D ．[1,2)解析：A ＝{x|x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，选A .答案：A2．已知集合A ＝{0,1，m}，B ＝{x|0＜x ＜2}，若A ∩B ＝{1，m}，则m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,1)∪(1,2)D ．(0,2)解析：由A ∩B ＝{1，m}知0＜m ＜2，再根据集合中元素的互异性可得m ≠1，所以m 的取值范围是(0,1)∪(1,2)，故选C .答案：C3．“x ＜0”是“ln (x ＋1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：ln (x ＋1)＜0⇔0＜x ＋1＜1⇔－1＜x ＜0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x ＜0”是“ln (x ＋1)＜0”的必要不充分条件．答案：B4．已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q)；④(綈p)∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③綈q 为真命题，则p ∧(綈q)为真命题，④綈p 为假命题，则(綈p)∨q 为假命题，所以选C .答案：C5．已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，因为|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C. 答案：C6．已知M 是△ABC 所在平面内一点，MB →＋MC →＋4MA →＝0，现将一个质点随机撒在△ABC 内，则质点落在△MBC 内的概率是( )A.14B.13C.23D.12解析：由MB →＋MC →＋4MA →＝0得MB →＋MC →＝－4MA →，设BC 边的中点为D ，则2MD →＝－4MA →，即MD →＝－2MA →，|AM →||MD →|＝12，S △MBC S △ABC ＝23，所以质点落在△MBC 内的概率是23，故选C. 答案：C7．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝( ) A ．1＋i B ．2－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，故选A. 答案：A8．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为( )A ．a 1＋x 0[a 3＋x 0(a 0＋a 2x 0)]的值B ．a 3＋x 0[a 2＋x 0(a 1＋a 0x 0)]的值C ．a 0＋x 0[a 1＋x 0(a 2＋a 3x 0)]的值D ．a 2＋x 0[a 0＋x 0(a 3＋a 1x 0)]的值解析：由程序框图知，输出的S ＝a 0＋x 0[a 1＋x 0(a 2＋a 3x 0)]，故选C.答案：C9．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，…，则777的末两位数是( )A ．49B ．43C ．01D ．07解析：∵76＝117 649,77＝823 543，∴末两位数以4为周期循环出现，又77＝4×19＋1，∴777的末两位数与75＝16 807的末两位数相同，为07.答案：D10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为15，则M 处的条件可以是( )A ．k ≥16？B ．k ＜8？C ．k ＜16？D ．k ≥8?解析：循环前，S ＝0，k ＝1；第一次循环：S ＝1，k ＝2；第二次循环：S ＝3，k ＝4；第三次循环：S ＝7，k ＝8；第四次循环：S ＝15，k ＝16.故退出循环的条件可以是“k ≥16？”，故选A.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n 个等式为 ________.解析：观察可知，第n 个等式的左边为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )；右边为2n ×1×3×5×…×(2n －1)．所以第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)(n ∈N *)答案：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)(n ∈N *)12．已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝4－i ，若z 1＋z 2，z 1－z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，且OA→⊥OB →，则|z 1|＝ ________.解析：z 1＋z 2＝(a ＋4)＋(b －1)i ，z 1－z 2＝(a －4)＋(b ＋1)i ，∴OA →＝(a ＋4，b －1)，OB →＝(a －4，b ＋1)．又OA →⊥OB →，∴(a ＋4)(a －4)＋(b －1)(b ＋1)＝0，得a 2＋b 2＝17，∴|z 1|＝a 2＋b 2＝17. 答案：1713在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是________．解析：由程序框图知，本题计算的是这8个数据的方差，因为a －＝100＋101＋103＋103＋104＋106＋107＋1088＝104，所以输出的S ＝18×(42＋32＋12＋12＋02＋22＋32＋42)＝7. 答案：714．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2≤4x －2y －4≤0，2x －y ＋2≥0则z ＝2x ＋y 的最大值为 ________.解析：x ，y 满足的平面区域如图中阴影部分所示，根据阴影部分可得，当直线z ＝2x ＋y 与圆相切于第一象限时，z 取最大值，此时|z |5＝2，所以z 的最大值为2 5.答案：2 515．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0，－1)，m ＝a ＋(2t 2＋3)b ，n ＝－k a ＋1tb ，k ，t 为正实数．若m ⊥n ，则k 的最小值为 ________.解析：由题知，m ＝(1，－2t 2－3)，n ＝⎝⎛⎭⎫－k ，－1t .由m ⊥n ，得－k ＋1t(2t 2＋3)＝0，整理得k ＝2t 2＋3t .因为k ，t 为正实数，所以k ＝2t ＋3t ≥26，当且仅当t ＝62时，取等号，故k 的最小值为2 6.答案：2 6。
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四、概率与统计(B组)
大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！姓名：________班级：________ 1．(2015·新课标全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
x y w∑
8
i＝1
(x i－x)2
∑
8
i＝1
(w i－
w)2
∑
8
i＝1
(x i－x)(y i－
y)
∑
8
i＝1
(w i－w)(y i－
y)
46.6563 6.8289.8 1.6 1 469108.8
表中w i＝x i，w＝
1
8∑i＝1
w i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
(ⅰ)年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u n，v n)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
β＝
∑
n
i＝1
(u i－u)(v i－v)
∑
n
i＝1
(u i－u)2
，α
^
＝v－β
^
u.
解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．由于d
^＝
∑
8
i＝1
(w i－w)(y i－y)
∑
8
i＝1
(w i－w)2
＝108.8
1.6
＝68，
c
^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.
(3)(ⅰ)由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值
y
^＝100.6＋6849＝576.6，
年利润z的预报值
z ^
＝576.6×0.2－49＝66.32.
(ⅱ)根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^
＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.
所以当x ＝13.62
＝6.8，即x ＝46.24时，z ^
取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
2．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
附：Χ2
＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n
P (Χ2≥k ) 0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
⎝ ⎛⎭
⎪⎫注：此公式也可以写成K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．
其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A 1，B 1)，(A 1，
B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝7
10
.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手 非生产能手
合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 合计
30
70
100
所以得
K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
＝100×(15×25－15×45)2
60×40×30×70
＝25
14≈1.79.
因为1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．。