高三数学12月阶段性质量检测试题 文
2024—2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测高三数学试卷
2024—2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测高三数学试卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设为虚数单位，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知的值为（ ）AB ．CD ．3．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（ ）个奇数A ．1012B ．1348C ．1350D ．13524．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）i 32i i z -=z =2i+2i -12i +12i -cos 1sin αα=+cos sin 1αα-ABC V H BC M AH AM AB AC λμ=+ λμ+231216133log 5a =2log 3b =4ln 3e c =a b c <<c b a <<b c a <<c a b<<1323A ．B ．C ．D ．7．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ）AB ．C ．D．8．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．[0,1]二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若且，则B ．若且，则C ．若且，则D ．存在，使得10．在菱形中，，，E 为AB 的中点，将沿直线DE 翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）A ．平面B ．C ．异面直线，所成的角为D ．与平面11．随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．168120818272881:4350l x y ++=22:(4)(3)4C x y -+-=,P Q l P C ,A B PA QAQB +ABCD DA DB =E ABCD DE DA DE DB DA DB⋅⋅= CE xCB yCD =+ x y +[]1,231,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦,A B ⊆R {},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂A B ⊕,A B {}{}1,2,3,2,3,4A B =={}1,4A B ⊕=,A B ⊆R A B B ⊕=A =∅,A B ⊆R A B ⊕=∅A B=,A B ⊆R A B A ⊕⊆A B⊆,A B ⊆R A B A B⊕≠⊕R R ððABCD 2AB =60BAD ∠=︒ADE V 1A DE △1A DE C --P 1AC //BP 1A DEDP EC⊥PB 1A D π31A B PBD A B ()12P A =()23P B =()34P A B =()()()P AB P A P B =()38P AB =()34P A B +=()()()()()22P AB A B P AB P A P B +=三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 .13．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 .14．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式 ；若，则，这里，称为1的一个n 次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是 ．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知数列的前项和，，且．(1)求；(2)求数列的前项和；(3)设数列的前项和，且满足16.（本小题15分）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，{}n a 271717,2842,2n n tn t n n a t n ⎧⎛⎫-++≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩{}n a t π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭[]0,1[],m n 3n m -=ω(17071783)-cos sin i e i θθθ=+θπi e 10π+=e πi cos sin i e i θθθ=+πi i π3e e +i a b +,R,i a b ∈1n z =(0,1,2,,1)k z z k n ==- 2π2πcos isin k k k z n n =+(0,1,2,,1)k n =- k z ()543211(1)1x x x x x x -=-++++2πi5e z =()()()()2342222z z z z ----{}n a n 3(1)n n S na n n =--*n ∈N 317a =1a {}n a n n S {}n b n n T n b =n T <ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2C A c a b -=+C 2AC BC ==,D E AB DCE ∠30o CED α∠=α的面积取到最小值，并求出最小值.17.（本小题15分）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，对的中点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值；(3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.18.（本小题17分）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.（i）求m的取值范围；（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.19.（本小题17分）已知函数.(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值；(3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：.CDE,,,,,A B C D E F ABCD CDEF,,2,4,AB CD CD EF AB DE EF CF CD AD BC AE=======∥∥M CDABCD⊥CDEFAEM BEMN ADM△0ND NM⋅=AN EN BF2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>()P n1k2k12||4k k AB==(4,0):4l x my=+AD BE()()2,e lnxf x xg x x==e x my+=()1y g x=+m1,0ea⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()11ah x x g xx=---123,,x x x123x x x<<1232ex x x++>。
高三数学第一次教学质量监测12月试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学第一次教学质量监测〔12月〕试题文〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题有且只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．112A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，{}01B x x =<≤，那么A B =〔〕．A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.[)1,0-C.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[]1,1-【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算法那么直接求解.【详解】由题：集合112A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，{}01B x x =<≤，应选：A【点睛】此题考察集合的交集运算，属于简单题目，根据运算法那么直接求解.11az i=--为纯虚数，那么实数a =〔〕． A.2- B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法那么化简11azi=--，纯虚数，即实部为零，虚部不为零. 【详解】由题：(1)11111(1)(1)222a a i a ai a a z i i i i ++=-=-=-=-+--+为纯虚数，那么10202aa ⎧-=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得：2a =.故答案为：D【点睛】此题考察复数的根本运算和概念辨析，需要注意纯熟掌握运算法那么，弄清相关概念，纯虚数必须实部为零且虚部不为零.α的终边过点()3,4A -，那么()sin α-=〔〕．A.45-B.35C.35D.45【答案】D 【解析】 【分析】根据角α的终边过点()3,4A -求出sin α，再根据正弦函数的奇偶性求出()sin α-【详解】由题：角α的终边过点()3,4A -，那么4sin 5α=-， 由正弦函数是奇函数，所以()4sin sin 5αα-==. 应选：D【点睛】此题考察三角函数的定义，根据角的终边上的点求角的正弦值，再根据正弦函数的奇偶性求值，或者者得出α-的终边上的点，根据三角函数定义求值也可.cos y x x =+的大致图象是〔〕A. B.C. D.【答案】B 【解析】 由于()()cos ,cos f x x x f x x x =+∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-，故此函数是非奇非偶函数，排除,A C ；又当2x π=时，满足cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ，应选B ．0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除{}n a 中，2a ，14a 是方程2860x x ++=的根，那么3138a a a 的值是〔〕． A.410-+6C.6-D.6-6【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质结合韦达定理求出：2214214313880,6a a a a a a a +=-<===，讨论8a 的符号即可求得. 【详解】在等比数列{}n a 中，2a ，14a 是方程2860x x ++=的根，6424400∆=-=>由韦达定理：21421480,6a a a a +=-<=，所以214,a a 同为负数，等比数列所有偶数项符号一样，所以80a <根据等比数列的性质：221431386a a a a a ===，86a =-所以3138a aa==应选：C【点睛】此题考察等比数列的性质，结合二次方程韦达定理解决项的关系.R的函数()f x是偶函数，且对任意()12,0,x x∈+∞，()()1212f x f xx x-<-．设()2a f=，()πb f=，()1c f=-，那么〔〕．A.b a c<< B.c a b<< C.c b a<< D.a c b<<【答案】A【解析】【分析】根据题意，函数为偶函数且在0,单调递减，将所求函数值转化成0,的函数值进展比较即可.【详解】由题：对任意()12,0,x x∈+∞，()()1212f x f xx x-<-任取12120,0x x x x<<-<，因为()()1212f x f xx x-<-，那么12())0(f x f x->，即12()()f x f x>，所以函数()f x在0,单调递减函数()f x是定义域为R的偶函数，所以()()11c f f=-=，12,(1)(2)()f f fππ<<>>，所以b a c<<应选：A【点睛】此题考察通过函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小，关键在于准确判断函数的单调性，将所求值转化到同一单调区间利用单调性比较大小.()0,8a =，()4,b m=，且()a b b-⊥，那么向量a与b夹角为〔〕．A.π3B.π6C.π4D.π2【答案】C 【解析】 【分析】()a b b -⊥即()0,0a b b a b b b -⋅=⋅-⋅=，代入坐标求出m ，根据向量夹角余弦值公式求解即可. 【详解】由题：()a b b -⊥即()20,8160a b b a b b b m m -⋅=⋅-⋅=--=，解得：4m =，()0,8a=，()4,4b =，根据向量夹角的取值范围限制在[0,]π 所以向量a 与b 夹角为π4应选：C【点睛】此题考察通过向量的垂直关系求参数值，再求向量的夹角，对根本公式通式通法的考察. 8.以下结论中正确的个数是〔〕． ①在ABC 中，假设sin 2sin 2A B =，那么ABC 是等腰三角形； ②在ABC 中，假设sin sin A B >，那么A B >③两个向量a ，b 一共线的充要条件是存在实数λ，使b a λ=④等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数． A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】 【分析】①：假设sin 2sin 2A B =，那么22A B =或者22A B π+=；ABC 中，假设A B ≤，那么sin sin A B ≤，结合正弦函数单调性可证；③：假设0,0a b=≠④：常数列不合题意.【详解】对于①：假设sin 2sin 2A B =，那么22A B =或者22A B π+=，即A B =或者2A B π+=即ABCABC 中，假设A B ≤，那么sin sin A B ≤当02A B π<≤≤时，由正弦函数sin ,[0,]2y x x π=∈单调递增可得sin sin A B ≤；当2B ππ<<时，0,02A C A A C π<+<<<+，sin sin()sin A A C B <+=对于③：假设0,0a b =≠，满足向量a ，b 一共线，但不存在实数λ，使b a λ=对于④：常数列{}n a ，通项公式1n a =，其前n 项和公式n S n =不是二次函数，所以该选项不正确，综上：只有一个正确. 应选：B .9.正在创立全国文明城，现有甲、乙、丙、丁4人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组清扫卫生，那么甲、乙不在同一组的概率为〔〕． A.12B.13C.23D.16【答案】C 【解析】 【分析】考虑根本领件总数时，按照指挥交通组选人，清扫组选人，计算根本领件总数，先计算甲乙在同一组的概率，其对立事件的概率即为所求.【详解】根据指挥交通组选人清扫组选人，根本领件总数为22426C C =，甲乙在同一组包含根本领件总数为2，其概率为13，其对立事件：“甲、乙不在同一组〞 所以甲、乙不在同一组概率为12133-= 故答案为：C【点睛】此题考察古典概型，关键在于准确算出根本领件总数和某一事件包含的根本领件个数，其中考察根本计数原理，解题中合理使用对立事件概率关系能降低解题难度.2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，那么双曲线的离心率为〔〕．B.2+C.2【答案】D 【解析】 【分析】设以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为1(,),0,0P m n m n >>，代入双曲线和圆的方程，根据正方形关系，求解离心率.【详解】设以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为1(,),0,0P m n mn >>，22221m n a b-=，222m n c += 以12F F 为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，那么mn =代入可得：2222122c c a b -=，22222122()c c a c a -=- 4224420c a c a -+=，两边同时除以4a 得：42420e e -+=，22e ==±21,1e e >>所以e =应选：D【点睛】此题考察通过双曲线上的点的关系求解离心率，关键在于将题目所给条件转化成代数关系求解，构造齐次式解方程.11.唐代诗人李颀的诗古从HY 行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．〞诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将HY 饮马〞问题，即将HY 在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回HY 营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设HY 营所在区域为222xy +≤，假设将HY 从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将HY 只要到达HY 营所在区域即回到HY 营，那么“将HY 饮马〞的最短总路程为〔〕．A.D.3【答案】B 【解析】 【分析】 求出点()3,0A 关于直线4x y +=的对称点A '，所求问题即点A '到HY 营的最短间隔.【详解】由题点()3,0A 和HY 营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧，设点()3,0A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，AA '中点3(,)22a bM +在直线4x y +=上， 3422013a bb a +⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得：41a b =⎧⎨=⎩，即(4,1)A '，设将HY 饮马点为P ，到达营区点为B ，那么总路程PB PA PB PA '+=+，要使路程最短，只需PB PA '+最短，即点A '到HY 营的最短间隔，即点A '到222x y +≤区域的最短间隔为：OA '=应选：B【点睛】此题结合中国优秀传统文化内容考察点关于直线对称问题，以及圆外的点到圆上点的最小间隔，对数形结合思想要求较高.()f x 在定义域R 上的导函数为fx，假设函数()y f x ='没有零点，且()20202020xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，当()sing x x x kx =-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性一样时，实数k 的取值范围是〔〕．A.(],1-∞-B.(,-∞C.⎡-⎣D.)+∞【答案】B 【解析】 【分析】 函数()y f x ='没有零点，即函数()f x 的导函数恒为正或者恒为负，即()f x 在定义域内单调，()2020f t =只有唯一实根，即()2020x f x t -=，可得()2020x f x t =+可得()f x 在定义域内单调递增，()gx 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增，利用导函数恒大于等于零即可求解.【详解】函数()y f x ='没有零点，即函数0f x或者0f x恒成立，即()f x 在定义域内单调，那么()2020f x =只有唯一实根，设该实根为t 〔t 为常数〕，()20202020x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，即()2020x f x t -=，()2020x f x t =+ 所以()f x 在定义域内单调递增，所以()g x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增，()ππcos 0,,22g x x x k x ⎡⎤'=+-≥∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，ππcos ,,22x x k x ⎡⎤+≥∈-⎢⎥⎣⎦恒成立ππ2sin ,,622x k x π⎛⎫⎡⎤+≥∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，恒成立所以2sin 26x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭所以k ≤应选：B【点睛】此题考察通过导函数讨论函数单调性问题，涉及方程的根，不等式恒成立求参数范围问题，综合性比较强.二、填空题：本大题一一共4小题．把答案填写上在题中横线上．()2,01,02x x x f x x x ≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，()()1f f -=______．【答案】6 【解析】 【分析】根据分段函数依次求解()13f -=，再求()()1(3)f f f -=的值即可.【详解】由题()111(1)32f -⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故答案为：6【点睛】此题考察分段函数求值问题，根据分段函数解析式，依次求值即可.14.x ，y 满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，假设z x y =+的最大值是______．【答案】10 【解析】 【分析】作出可行域，求出顶点坐标，对目的函数表示直线进展平移，根据截距的最值求出最大值. 【详解】作出可行域如下列图，解出顶点坐标31(,),(6,4),(0,4)22A B C - 平移目的函数表示的直线y x z =-+，直线截距越大，即z 越大，由图可得当直线过(6,4)B 时直线截距最大，此时z x y =+获得最大值10. 故答案为：10【点睛】此题考察线性规划问题，关键在于准确作出可行域，求出顶点坐标，通过平移直线求得最值.{}n a 满足13a =，21n n S a =+，2n ≥，那么5a=______．【答案】16 【解析】 【分析】 根据21nn S a =+，2n ≥，求出数列{}n a 的通项公式即可.【详解】由题：21nn S a =+，2n ≥，1121n n S a --=+，3n ≥，两式相减：1122,2,3nn n n n a a a a a n --=-=≥当=2n 时，222321,2a a a +=+=所以13,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩所以45216==a .故答案为：16【点睛】此题考察通过数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解通项公式再求详细项的问题，关键在于根据弄清题目所给限制条件，注意适用范围，防止出错.ABC 中，8AB =，6BC =，10AC =，P 为ABC 外一点，满足PA PB PC ===，那么三棱锥P ABC -的外接球的半径为______．【答案】254【解析】 【分析】 取AC中点O ，连接,PO BO ，通过计算得出BO AO CO ==，PO ⊥平面ABC ，即O 为ABC 所在平面与球形成截面圆的圆心，球心在线段PO 上，列方程组即可求解.【详解】取AC 中点O ，连接,PO BO ，在ABC 中，8AB =，6BC =，10AC =，所以ABC 为直角三角形2ABC π∠=，所以5BO AO CO ===，O 为ABC 所在平面与球形成截面圆的圆心，又因为PA PB PC ===所以,10PO AC PO ⊥==，在PBO 中，222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥，OB 与AC 相交，那么PO ⊥平面ABC ，那么球心M 在PO 上，设球的半径,,10R AMPM R OM R ===-在AMO 中，22222,25(10)AM AO OM R R =+=+-解得：254R=故答案为：254【点睛】此题考察通过三棱锥特征求其外接球半径大小的问题，关键在于弄清几何特征，寻找等量关系，找出球心位置，建立方程组求解半径，平常学习中有必要积累常见几何体外接球半径求法.三、解答题：解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程．17题-21题为必考题．22题、23题为选考题． 17.某经销商从某养殖场购进某品种河蟹，并随机抽取了100只进展统计，按重量分类统计，得到频率分布直方图如下： 〔1〕记事件A 为“从这批河蟹中任取一只，重量不超过120克〞，估计()P A ；〔2〕试估计这批河蟹的平均重量；〔3〕该经销商按有关规定将该品种河蟹分三个等级，并制定出销售单价如下：试估算该经销商以每千克至多花多少元〔取整〕收买这批河蟹，才能获利？ 【答案】〔1〕()0.7P A =；〔2〕104g ；〔3〕至少163元【解析】 【分析】〔1〕由频率分布直方图求前四个小矩形面积之和即重量不超过120克的频率即为概率的估计值； 〔2〕根据频率分布直方图性质，每组小矩形面积乘以该组中间值，再求和即为平均数；〔3〕根据三个等级个数求出总售价，由〔2〕计算出总重量，再计算出平均本钱，要求本钱不超过售价才能获利.【详解】〔1〕由频率直方图可知：河蟹的重量不超过120g 的频率()200.00250.00750.01000.01500.7=⨯+++=，∴估计()0.7PA =．〔2〕由题估计平均重量为：()500.05700.15900.21100.31300.251500.05104g ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．〔3〕设该经销商收买该批河蟹每千克至多x 元，由〔2〕可知该100只河蟹的总重量为()100104100010.4kg ⨯÷=由图可知特级河蟹有200.00251005⨯⨯=只 ，一级河蟹有20(0.0150.0125)10055⨯+⨯=只， 二级河蟹有20(0.00250.00750.01)10040⨯++⨯=只， ∴10.454055204010x ≤⨯+⨯+⨯，而5405520401016310.4⨯+⨯+⨯≈，∴经销商以每千克至多花163元收买这批河蟹，才能获利【点睛】此题考察频率分布直方图相关数据求法，并根据数据作出决策，要求准确掌握频率分布直方图的众数，中位数，平均数的求法，计算准确无误.ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且向量()2,cos n a c C =-与向量(),cos m b B =一共线．〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设2BD DC =，且1CD =，AD =ABC 的面积．【答案】〔1〕π3B =；〔2〕ABC S =△【解析】 【分析】〔1〕根据向量一共线的坐标表示，即可列出等式结合正弦定理，求解未知数； 〔2〕根据向量关系求出线段长度，由余弦定理求出三角形边长，即可计算面积. 【详解】〔1〕∵向量()2,cos n a c C =-与向量一共线(),cos m b B =一共线，∴()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，∴()2sin cos sinsin A B B C A =+=．∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =． 又∵0πB <<，∴π3B =．〔2〕∵2BD DC =，且1CD =，AD =，∴2BD =，3BC =，在ABD △中，由余弦定理有222cos AD BD AB BD B =-⋅，即2742AB AB =+-，解得3AB =，或者1AB =-〔舍去〕，故11sin 3322ABCS AB BC B =⋅⋅=⨯⨯=△．【点睛】此题考察解三角形，结合向量一共线的坐标表示，建立等量关系结合正弦定理求角，根据余弦定理求边，计算面积.19.如图，在五棱锥P ABCDE -中，PA ⊥平面ABCDE ，AB CD ∥，ACED ，AE BC ∥，45ABC ∠=︒，AB =24BC AE ==．〔1〕求证：CD ⊥平面PAC ； 〔2〕求直线PA 与平面PCD 所成的角是π4，求五棱锥P ABCDE -的体积．【答案】〔1〕见解析；〔2〕3V =【解析】 【分析】〔1〕PA ⊥平面ABCDE 可得PA CD ⊥，通过计算证明CD AC ⊥，即可证明；〔2〕结合第一问结论找出线面角，通过角度计算PA 长度，即可求出锥体体积.【详解】〔1〕在三角形ABC 中，∵45ABC ∠=︒，4BC =，AB =∴2222cos 458AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，∴222BC AB AC =+，∴90BAC ∠=︒，∴AB AC ⊥．由AB CD ∥得CD AC ⊥．又PA ⊥平面ABCDE ，CD ⊂面ABCDE ，故PA CD ⊥．又PAAC A =，∴CD ⊥平面PAC ．〔2〕由〔1〕知平面PAC ⊥平面PCD ，∴APC ∠就是直线PA 与平面PCD 所成角，∴π4APC∠=，得PA AC ==，∴142ABC S AB AC =⋅=△． CD AC ⊥，AC ED ，AE BC ∥，4EAC π∠=，2AE =直角梯形ACDE 中，cos 4AC AE DE π=⋅+，sin 4CD AE π=⋅所以CDDE ==，梯形ACDE 面积(32ACDES==．故五棱锥P ABCDE -的体积()13433V=+⋅=．【点睛】此题考察线面垂直的证明和通过线面角的大小求线段长度，再求锥体体积，考察通式通法，属于中档题.P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =．〔1〕求点M 的轨迹C 的方程； 〔2〕过点()2,0F作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB 的面积最大时，求直线l 的方程．【答案】〔1〕22162x y +=；〔2〕20x y ±-=【解析】 【分析】〔1〕利用相关点法设坐标(),Mx y ，()00,P x y ，()0,0Q x ，通过代换关系即可求出轨迹方程；〔2〕设直线的方程与椭圆方程联立，整理成二次方程，结合韦达定理，表示出三角形的面积，利用函数关系求面积的最值.【详解】〔1〕依题意可设(),Mx y ，()00,P x y ，()0,0Q x∵3PQ MQ =，∴00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．又22006x y +=，∴2236x y +=，∴点M 的轨迹为椭圆，方程为22162x y +=．〔2〕由题：要形成三角形，那么直线倾斜角不能为0， 设l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，那么有()121212OABOFB OFA S S S OF y y y y =+=⋅+=-△△△，联立方程组222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 并整理得()223420m y my ++-=，∴1221224323m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，∴()()22212121222242443m y y y y y y m +-=+-=+． 令23tm =+，3t ≥那么有22122224484824114834t y y t t t t -⎡⎤-==-+=--+⎢⎥⎣⎦． ∴当4t =，即1m =±时OAB 面积最大，此时l 的方程为20x y ±-=．【点睛】此题考察利用相关点求轨迹方程，直线与椭圆形成图形中，结合韦达定理讨论三角形面积的最值问题，考察解析几何的通式通法，对综合才能要求较高.()23x f x xe ax =++．〔1〕假设曲线()y f x =在0x =处切线与坐标轴围成的三角形面积为92，务实数a 的值； 〔2〕假设12a =-，求证：()ln 4f x x ≥+． 【答案】〔1〕0a =或者1-；〔2〕见解析【解析】 【分析】〔1〕利用导函数求出曲线()y f x =在0x =处切线，表示出切线与坐标轴围成三角形面积即可求解；〔2〕需证明的不等式通过作差转化成证明()ln 10x h x xe x x =---≥，利用导函数单调性求出最小值即可得证. 【详解】〔1〕()()12x f x x e a '=++，那么()021f a '=+为切线斜率．又()03f =，∴切点为()0,3．∴曲线在0x =处切成方程为()321y a x -=+．当0x=时，3y =，当0y =时，321x a -=+〔易知210a +≠〕 那么切线与坐标轴围成三角形面积为13932212a -⨯⨯=+． ∴211a +=得211a +=±．所以0a=或者1-．〔2〕法一：12a =-时，()3xf x xe x =-+ 要证的不等式为3ln 4xxe x x -+≥+，即ln 10x xe x x ---≥．令()ln 1x hx xe x x =---，那么()()()11111x x h x x e x e x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭． 易知()h x '递增，()10h '>，)132022h ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，∴()0h x '=仅有一解0x 且001xe x =，即00ln x x =-．当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 递增．从而()hx 最小值为()0000000ln 11ln 10x f x x e x x x x =---=---=∴()()00h x h x ≥=，故原不等式成立．法二：12a =-时，要证的不等式为ln 10x xe x x ---≥．令x t xe =，那么ln ln t x x =+． 故问题化为证不等式ln 10t t --≥恒成立．()0,x ∈+∞时，()0,x t xe =∈+∞令()ln 1ht t t =--，那么()111t h t t t-'=-=，当()0,1t ∈时，()0h t '<，()h t 递减； 当()1,t ∈+∞时，()0h t '>，()h t 递增．∴()()10h t h ≥=，从而原不等式成立．【点睛】此题考察通过导函数求在某点处的切线，通过导函数证明不等式，其中用到隐零点问题解法，常用方法作差构造新函数，假设能考虑换元法由经典不等式讨论最值会更加简单. 请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做第一题计分．xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数，且[]0,πθ∈〕，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin 26ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 〔1〕求曲线C 的普通方程与直线的直角坐标方程；〔2〕设点M 在曲线C 上，求点M 到直线l 间隔的最小值与最大值．【答案】〔1〕曲线C ：()()221101x y y -+=≤≤，直线l ：40x +-=；〔2〕最小值为12，最大值为2 【解析】 【分析】〔1〕通过参数方程与普通方程的转化方法和直角坐标方程与极坐标方程之间的转化方法化简即可； 〔2〕用点M 的参数方程表示坐标，利用点到直线的间隔公式表示出间隔，再利用函数关系求最值. 【详解】〔1〕由[]0,πθ∈，01y ≤≤曲线C 的普通方程：()()221101x y y -+=≤≤由πsin 26ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得ππsin cos cos sin 266ρθρθ+=，1222y x +=，直线l 的直角坐标方程40x +-=． 〔2〕设点()1cos ,sin Mθθ+到直线l 的间隔为π32sin62d θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===． ∵[]0,πθ∈，ππ7π,666θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π1sin ,162θ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，1,22d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴点M 到直线l 间隔的最小值为12，最大值为2． 【点睛】此题考察参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程之间的转化，通过参数方程求点到直线间隔的最值问题，注意考虑参数的取值范围限制条件，防止范围取错.()212f x x =-+，()21g x x a x =--+．〔1〕求不等式()4f x x >+的解集；〔2〕假设对任意的12,x x R ∈，使得()()12f x g x >，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕1{3x x <-或者3}x >；〔2〕3122a -<< 【解析】 【分析】〔1〕利用零点分段讨论的方法求解不等式即可； 〔2〕对任意的12,x x R ∈，使得()()12f x g x >，只需()()min max f x g x >即可，结合绝对值不等式性质求出两个函数的最值，解不等式即可. 【详解】〔1〕将2124x x -+>+化为：122124x x x ⎧≥⎪⎨⎪-+>+⎩，或者1421224x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>+⎩，或者41224x x x ≤-⎧⎨-+>--⎩， 解得3x >，或者143x -<<-，或者4x ≤-． 解集为1{3x x <-或者3}x >． 〔2〕∵()2f x ≥，()212121g x x a x x a x a =--+≤---=+，由题意得，只需()()min max f x g x >即可，∴221a >+得2212a -<+<，∴3122a -<<． 【点睛】此题考察利用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式性质求绝对值最值间的大小关系，考察绝对值三角不等式，以及不等式恒成立求参数范围.。
精选高三数学12月阶段性质量检测试题文
高三数学阶段性教学质量检测数学（文）试题 2016.12本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{1,2},2,3M N ==，则集合MN 真子集的个数是A. 7B. 8C. 15D. 16 2.已知1a =，2b =，且()a a b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角为A. 6πB. 4πC. 34πD.4π或34π3．已知倾斜角为α的直线l 与直线240x y +-=垂直，则2017cos(2)2πα-的值为 A ．2B 12-C ．45D ．45- 4．下列说法正确的是A.命题“若a b ≥，则22a b ≥”的逆否命题为“若22a b ≤，则a b ≤”B.命题“2,10x R x x ∀∈++>”的否定为“2000,10x R x x ∃∈++≤”C.若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D.“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件5. 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日.”由此推断，该女子到第十一日时，大约已经完成三十日织布总量的 A ．49% B ．53% C ．61% D ．88%6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的 直径为4，该几何体的体积为1V ，直径为4的球的体积 为2V ，则12:V V =A.2:1B.1:1C.1:4D. 1:2.7.已知函数2ln ||(),x f x x x=-则函数()y f x =的大致图象为8．已知变量x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为A ．5B ．4C ．3D ．29．如图所示，正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB′、DD′交于M ，N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长L=f （x ），x ∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥C′﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数； 以上命题中假命题的序号为 A.①④B ．②C ．③D ．③④10．设函数f （x ）在R 上存在导数f ′（x ），对任意的x ∈R 有f （﹣x ）+f （x ）=x 2，x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＞x ．若f （2﹣a ）﹣f （a ）≥2﹣2a ，则实数a 的取值范围为 A ．[1，+∞）B ．（﹣∞，1]C ．（﹣∞，2]D ．[2，+∞）第Ⅱ卷（共100分）二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题纸的相应位置上 11.已知0,0,lg 2lg8lg 2,xyx y >>+=则113x y+的最小值为_______.12.如图，已知ABC ∆中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n += .13.已知ΔABC 满足,)cos(21sin sin 4322B A B A C AC BC +===⋅，，若角π则AB =. 14.已知圆C :22430x y x +++=，若直线1y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为 ．15.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，则(9)9g =；10的因数有1,2,5,10，(10)5g =；那么2016(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知非零向量(cos ,cos )a αα=，向量(sin ,cos 2sin )b θθθ=-，向量(1,2)c =. (I)若//a b ，求tan α的值；(II)若b c =，0θπ<<，求θ的值.17.（本小题满分12分）设函数()sin()ωϕf x A x =+（,,ωϕA 为常数， 且0,0,0ωϕπA >><<）的部分图象如图所示.（I ）求,,ωϕA 的值； （II ）设θ为锐角，且()f θ=，求()6f πθ-的值.18.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证：（I ）直线1A E ∥平面1ADC ； （II ）直线EF ⊥平面1ADC ．19.（本小题满分12分）AB CDEA 1BC 1 FB 已知数列{}n a 是非常值数列，且满足n n n a a a -=++122(*N n ∈)，其前n 项和为ns，若570s=，2722,,a a a 成等比数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT ≤<.20.（本小题满分13分）为美化环境，某市计划在以A 、B 两地为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂（如图所示）。
河北省邯郸市高三数学12月质量检测试题 文 新人教A版
注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟。
2、全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
3.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第I 卷一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.集合}22|{<<-=x x A ,}02|{2≤-=x x x B ,则=B A A ．)2,0( B ．]2,0( C. ]2,0[ D. )2,0[ 2.复数1ii -的共轭复数为 A ．i 2121+- B ．i 2121+ C. i 2121-- D. i 2121-3.抛物线的准线方程为4-=y ，则抛物线的标准方程为A ．y x 162=B ．y x 82= C. x y 162= D. x y 82= 4.某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为 A ．4?k > B ．5?k > C ．6?k > D ．7?k > 5.等差数列中，24)(2)(31310753=++++a a a a a ，则该数列前13项的和是 A ．13 B ．26 C ．52 D ．156 6.下列说法正确的是A ．若q p ∧为假，则q p 、均为假.B ．若01,:2>++∈∀x x R x p ，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≤. C ．若1=+b a ，则ba 11+的最小值为4. D ．线性相关系数||r 越接近1，表示两变量相关性越强.7.函数212sin 4y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为2π的奇函数 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．2π B ．22π C ．3πD ．23π9.如图所示，一游泳者自游泳池边AB 上的D 点，沿DC 方向 游了10米,60CDB ∠=,然后任意选择一个方向并沿此方向 继续游，则他再游不超过10米就能够回到游泳池AB 边的概率是A ．16 B ．14 C ．13 D ．1210.若函数x x f y cos )(+=在]43,4[ππ-上单调递减，则)(x f 可以是A ．1B ．x cosC ．x sin -D ．x sin11.过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若||||OF OP =，则双曲线的离心率为101010212.若直角坐标平面内B A 、两点满足条件：①点B A 、都在)(x f 的图象上；②点B A 、关于原点对称，则对称点对)(B A 、是函数的一个“兄弟点对”(点对()A B ,与()B A ,可看作一个“兄弟点对”).已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(lg )0(cos )(x x x x x f , 则)(x f 的“兄弟点对”的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三12月阶段性检测数学(文)试题 含答案
2021年高三12月阶段性检测数学（文）试题含答案一选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1、设集合∪={-2,-1,0,1,2},A={1,2},B={-2,-1,2},则A∪(CUB )等于( )A.{1}B.{1,2}C.{2}D.{0,1,2}2、下列命题中的假命题是（）A. B. C. D.3、设x,y为正数且x+4y=1, 则1x+14y的最小值为( ) (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D)4 。
4、将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，=（）A． B． C． D．5、首项为的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A. B. C. D.6、对于任意实数命题①；② ③；④；其中真命题的个数是 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 47、某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为( )A． B．C． D．8、函数在定义域内零点个数是（）A．3 B. 2 C． D．09、已知等比数列{a n}的前n项和为S n=3n+a,n∈N*，则实数a的值是（）A．―3 B. 3 C. -1 D. 1俯视图左视图主视图222210、已知O 是所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →+OB →+OC →=O →，则（ ） A. AO →=2OD → B. AO →=OD →C. AO →=3OD →D. 2AO →=OD →11、直线与圆相交于两点，若22，则的取值范围是( )A ．[-1，1] B ． C ． D ．12、已知a n =（13）n-1，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状，a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 …………………………记A （m,n ）表示第m 行的第n 个数，则A （9,10）= （ ）A ．（13）91B ． （13）90C ． （13）93D ． （13）112二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、已知函数f(x)＝⎩⎨⎧3x ＋2 x ＜1x 2＋ax x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝__ __．14、函数f(x)＝lnxx的单调递增区间是 。
2021年高三数学12月检测试题 文
2021年高三数学12月检测试题 文本试卷共5页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分，检测时间120分钟.第I 卷（选择题，共50分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上.一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则A. B.C. D.2.若复数z 的实部为1，且=2，则复数z 的虚部是A. B. C. D.3.已知，命题“若，则”的否命题是A.若B.若C.若D.若4.执行如右图所示的程序框图，若输入的的值为2，则输出的的值为A.3B.126C.127D.1285.在中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为1sin cos sin cos 2a B C c B Ab a b +=<∠，且，则B= A. B.C. D.6.函数的部分图象为7.设，若的最小值为A. B.8C. D.8.下列说法正确．．的是A.样本10，6，8，5，6的标准差是3.3.B.“为真”是“为真”的充分不必要条件；C.已知点在抛物线的准线上，记其焦点为F，则直线AF的斜率等于D.设有一个回归直线方程为，则变量每增加一个单位，平均减少1.5个单位；9.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是A. B. C. D.10.双曲线的离心率，则以双曲线的两条渐近线与抛物线的交点为顶点的三角形的面积为A. B. C. D.第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：1.第II 卷包括填空题和解答题共两个大题；2.第II 卷所有题目的答案考生需用中性笔答在答题卡指定的位置上.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.11.在区间上随机选取一个数X ，则的概率等于__________.12.若实数满足的取值范围为____________.13.某三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为___________.14.已知圆O 过椭圆的两焦点且关于直线对称，则圆O 的方程为_________.15.定义在R 上的奇函数()()()[]()402f x f x f x f x +==满足，且在，上()1,01294146sin ,12x x x f f x x π⎧-≤≤⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪<≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩，则_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为.（I ）求的值；（II ）讨论在区间上的单调性.17.（本小题满分12分）参加市数学调研抽测的某高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（I ）求参加数学抽测的人数、抽测成绩的中位数及分数分别在，内的人数；（II ）若从分数在内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在内的概率.18.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且.数列的前项和为.（I ）求数列的通项公式；（II ）设，求数列的前项和.19.（本小题满分12分）如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，36,2,AB BC BF CF DE EF ======,G 为FC 的中点，M 为线段CD 上的一点，且.（I ）证明：AF//面BDG ；（II ）证明：面面BFC ；（III ）求三棱锥的体积V.20.（本小题满分13分）已知函数（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为.（I）求椭圆C的方程；（II）过椭圆右焦点斜率为的直线与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线于点M，N，线段MN的中点为P，记直线的斜率为，求证：为定值.数学（文）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共50分）DBACA ADDBC二、填空题（每小题5分，共25分）11． 12． 13． 14． 15．三、解答题：16．（本小题满分12分）解:(Ⅰ) 2()4cos sin()cos 4f x x x x x x πωωωωω=⋅+=⋅+，…………3分因为的最小正周期为，且，从而有，故. ………………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，，………………………8分当，即时，单调递增；当，即时，单调递减. ……………11分 综上可知，上单调递减，上单调递增；在在]28[]8,0[)(πππx f .………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有人． ……………………………………………2分，由， 得 ， ……………………………………………3分茎叶图可知抽测成绩的中位数为 ． …………………………………4分分数在之间的人数为 ……………………5分参加数学竞赛人数，中位数为73，分数在、内的人数分别为 人、 人． ………………………………………6分（Ⅱ）设“在内的学生中任选两人，恰好有一人分数在内”为事件 ，将内的人编号为 ；内的人编号为，在内的任取两人的基本事件为： 共15个，…………………………………………9分 其中，恰好有一人分数在内的基本事件有共8个，故所求的概率得 ， …………………11分答：恰好有一人分数在内的概率为． (12)18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，，得． ………3分，，…………4分，两式相减，得数列为等比数列，． ………7分（Ⅱ） ，211321242()()n n n P a a a b b b ++=+++++++ …………9分……………10分 …………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接交于点，则为的中点，连接,因为点为中点，所以为的中位线,所以，……2分面，面，面……………………………………5分（Ⅱ）连接,，为的中点,,，,，为矩形, ………………7分，又，为平行四边形, ………………8分，为正三角形，面,面,面面．…………………………10分（Ⅲ）11233F BMC F BMG C BMG BMG BMGV V V S FC S ---=+=⨯⨯=⨯⨯,因为，,所以,所以．…………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当时，，此时，…………2分，又，所以切线方程为：，…6分在上,单调递增；…………………… 8分当时，，当,即时在恒成立，所以在单调递减；………………………10分当时，，此时在上,单调递减，在上单调递增；……………………12分综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；当时在单调递减. ……………………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，，……………………………2分所以，，所求椭圆方程为．…………………… 4分（Ⅱ）设过点的直线方程为：，设点，点，…………………………………5分将直线方程代入椭圆，整理得：………………………………… 6分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且…………………………8分直线的方程为：，直线的方程为：令，得点，，所以点的坐标， ………………………………… 10分直线 的斜率为)22(41130)22(21'22112211-+-=---+-=x y x y x y x y k 4)(24)(32414)(2)(241212121212121211212++-++-⋅=++-+-+=x x x x k x x k x kx x x x x y y y x x y ，……… 12分 将代入上式得：222222224128234134343'412844244343k k k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅=---+++， 所以为定值． ………………………………… 14分j`8AQ40262 9D46 鵆25335 62F7 拷]*722487 57D7 埗F22656 5880 墀B34989 88AD 袭。
天津市南开区2022-2023学年高三上学期12月阶段性质量监测(二)数学试题(含答案解析)
天津市南开区2022-2023学年高三上学期12月阶段性质量监测（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{3,2,1,2},{3,1,2,3}S T =--=--，则S T S ð等于（）．A ．{3,2}-B ．{2,1}-C ．{1,3}-D ．{2,1,1,3}--2．函数1()ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．3．“1a <”是“22R,20x x x a ∃∈-+<”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025dB -（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．对500人进行了听力测试，从中随机抽取了50人的测试值作为样本，制成如图频率分布直方图，从总体的500人中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率为（）．A ．0.2B ．0.8C ．0.02D ．0.085．已知0.154log 2,log 3,2a b c ===，则（）．A ．c b a<<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．a c b<<6．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎝⎭图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为3π4，则下列区间中()f x 单调递增的是（）．A ．ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．用底面半径为3cm 的圆柱形木料车出7个球形木珠，木珠的直径与圆柱形木料的高相同．下料方法：相邻的木珠相切，与圆柱侧面接触的6个木珠与侧面相切，如图所示是平行于底面且过圆柱母线中点的截面．则7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为（）．A ．227B ．427C ．727D ．14278．已知双曲线22:1124x y C -=，点F 是C 的右焦点，若点P 为C 左支上的动点，设点P到C 的一条渐近线的距离为d ，则||d PF +的最小值为（）A ．2+B ．C ．8D ．109．定义{},,max ,,.p p q p q q p q ≥⎧=⎨<⎩已知函数{}2()max ,32,()||f x x x g x x =-=．若方程3(())2f g x ax =+有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（）．A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,1)-二、填空题10．若复数1ii iz a +=-+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为________________．11．在53x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______________．12．在平面直角坐标系中，经过直线20x y +-=与两坐标轴的交点及点(0,0)的圆的方程为___________．三、双空题13．一个袋中有质地一样的小球5个，其中3个白色，2个黑色．现从中不放回地随机摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，则摸球两次停止的概率为____________；停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数的概率为______________．四、填空题14．已知0,0,3a b a b >>+=______．五、双空题15．已知平行四边形ABCD 中，2,45AB DAB ==∠=，E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =-，则||PD =________；PE PD ⋅=__________．六、解答题16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．(1)求角C ；(2)若cos 4A =，求cos(2)A C +的值；(3)若c ABC =△的面积为2，求ABC 的周长．17．在如图所示的多面体中，,,AB CD AB AD AE ⊥⊥∥平面,ABCD CF ⊥平面ABCD ，1,2AB AE CF AD CD =====，M ，N 分别是,BF DE 的中点．(1)求证：MN ∥平面CDF ；(2)求DF 与平面BEF 所成角的正弦值；(3)设平面BEF I 平面CDF l =，求二面角B l C --的正弦值．18．已知数列{}n a 是公差不等于0的等差数列，其前n 项和为n S ，且11241,,,a S S S =成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()12n n n b n a a *+=∈⋅N ，其前n 项和为n T ．（ⅰ）若222,,m T T T 成等差数列，求m 的值；（ⅱ）求121ia ni iT =-∑．19．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，其左焦点到(2,1)P．(1)求椭圆E 的方程；(2)椭圆E 的右顶点为D ，直线:l y kx m =+与椭圆E 交于A ，B 两点（A ，B 不是左、右顶点），若其满足0DA DB ⋅= ，且直线l 与以原点为圆心，半径为17的圆相切；求直线l的方程．20．已知函数()e xx f x =．(1)求()f x 的单调区间和极值；(2)若0x =是函数()()()sin g x f a f x x =⋅+的极值点．（ⅰ）证明：2ln 20a -<<；（ⅱ）讨论()g x 在区间()π,π-上的零点个数．参考答案：1．C【分析】求出{3,2,1,1,2,3}S T =--- ，再根据补集的定义即可求得答案.【详解】由集合{3,2,1,2},{3,1,2,3}S T =--=--可得{3,2,1,1,2,3}S T =--- ,故{1,3}S T S =- ð，故选：C 2．D【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A 、B 、C 选项，分析D 选项符合函数的性质.【详解】令1()ln 0f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝得11x x -=即210x x --=，此有方程有两根，故()f x 有两个零点，排除A 选项；函数1()ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有意义满足10x x->解得1x >或10x -<<，当1x <-时函数无意义，排除B 、C 选项；对D 选项：函数的定义域符合，零点个数符合，又∵当10x -<<与及1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故单调性也符合，所以()f x 的图象可能是D ；故选：D 3．B【分析】求得22R,20x x x a ∃∈-+<时的a 的取值范围，判断和“1a <”的逻辑推理关系，可得答案.【详解】由题意知22R,20x x x a ∃∈-+<，即方程2220x x a -+=的判别式2440a ∆=->，即11a -<<，故1a <时推不出11a -<<，但11a -<<时，一定有1a <成立，故“1a <”是“22R,20x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件，故选：B 4．A【分析】利用频率分布直方图，结合频率之和为l ，求出样本中测试值在区间(0,10]内的频率，由频率估计概率，即可得到案.【详解】根据频率分布直方图可知，样本中测试值在区间(0,10]内的频率为:1(0.060.080.02)510.80.2-++⨯=-=,以频率估计概率，故从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率为0.2,故选：A 5．C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可求解.【详解】因为55441log 2log log 2log 312a b =<==<=<，又因为0.10221c =>=，所以c b a >>，故选：C .6．B【分析】求出最小正周期，进而得到2π23T ω==，利用整体法求解单调递增区间，得到答案.【详解】设π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，由题意得：13π44T =，解得3πT =，因为0ω>，所以2π23T ω==，所以2π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2πππ2π,2π,Z 3226x k k k ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得：π3π,π3π,Z 2x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，B 正确；当1k =-时，7π,2π2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，当1k =时，5π4π2,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故其他选项，均不满足要求.故选：B 7．D【分析】由题意推出球形木珠和圆柱的半径之间的关系，确定圆柱的高，根据球和圆柱的体积公式即可求得答案.【详解】设球形木珠的半径为r ，圆柱形木料的底面半径为R ,由截面图可知26,3R r R r =∴=，圆柱形木料的高为2r ，故7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为3322447π7π1433π2π(3)227r r R r r r ⨯⨯==⨯⨯⨯⨯，故选：D 8．A【分析】设双曲线左焦点为(40)F '-，,求出其到渐近线的距离，利用双曲线定义将||d PF +转化为2||a PE F P ++'，利用当,,P F E '三点共线时，2F a PE P ++'取得最小值，即可求得答案.【详解】由双曲线22:1124x y C -=,可得2a b ==，(40)F ，,设双曲线左焦点为(40)F '-，，不妨设一条渐近线为:3b l y x a =-=-，即0x =，作PE l ⊥，垂足为E ，即||PE d =，作F H l '⊥,垂足为H，则||2F H '=，因为点P 为C 左支上的动点，所以2PF PF a '-=，可得2PF a PF '=+，故2|2|d FP PE a PF a PE F P '+=++=++'，由图可知，当,,P F E '三点共线时，即E 和H 点重合时，2||a PE F P ++'取得最小值，最小值为2||2F H '⨯=，即||d PF +的最小值为2，故选：A ．9．B【分析】根据新定义确定函数()()f g x 的解析式，作出其图象，结合条件，观察图象列不等式求出a 的取值范围.【详解】因为{}2()max ,32,()||f x x x g x x =-=，所以{}2(())max ,32f g x x x =-，由232x x ≤-，可得2230x x +-≤，又0x ≥，所以01x ≤≤，即11x -≤≤，所以，(){}222,1max ,3232,11,1x x f x x x x x x x ⎧<-⎪=-=--≤≤⎨⎪>⎩，作出函数()f x的图象如下图所示：因为方程()()302f x ax a =+>有四个不同的实根，则3120a a ⎧-+>⎪⎨⎪>⎩或3120a a ⎧+>⎪⎨⎪<⎩或0a =，解得1122a -<<，所以a 的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B.10．1-【分析】根据复数的除法运算化简1ii iz a +=-+，再根据纯虚数的概念，令实部等于0，虚部不等于0，即可求得答案.【详解】由题意得复数22221i (1i)(i)12i=i=i i 111a a a a z a a a a ++-+--=--+++++，因为复数1i i i z a +=-+为纯虚数，故令2101a a +=+且22201a a a --≠+，解得1a =-，即实数a 的值为1-，故答案为：1-11．15-【分析】在二项展开式的通项公式()53215C 3rr r r T x-+=⋅-⋅中，令x 的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中含x 项的系数．【详解】53x ⎫⎪⎭的展开式中，通项公式为()53521553C C 3rr rr rrr T x x --+⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令5312r-=，求得1r =，可得展开式中含x 项的系数()15C 315⨯-=-，故答案为：15-．12．22220x y x y +--=【分析】根据直线的方程求出直线与坐标轴的交点，利用待定系数法及点在圆上即可求解.【详解】令0y =，得020x +-=，解得2x =，所以直线20x y +-=与x 轴的交点为()2,0A ,令0x =，得020y +-=，解得2y =，所以直线20x y +-=与y 轴的交点为()0,2B ,设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则因为()2,0A ，()0,2B ，(0,0)O 三点都在圆上，所以222202200D F E F F ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩,解得2,2,0,D E F =-=-=故所求圆的方程为22220x y x y +--=故答案为：22220x y x y +--=.13．35##0.6310##0.3【分析】根据先分类再分步的思想，古典概型的概率公式解决概率问题即可.【详解】由题知，现从中不放回地随机摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，所以摸球两次停止是指第一次摸得白球且第二次摸得黑球，或第一次摸得黑球且第二次摸得白球两种情况，所以摸球两次停止的概率为111132231154C C C C 123C C 205P +===；停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数，说明至少得摸球3次，包括第一次摸得白球且第二次摸得白球且第三次摸得黑球，或第一次摸得白球且第二次摸得白球且第三次摸得白球且第四次摸得黑球，所以停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数的概率为1111111322321211111115435432C C C C C C C 12123C C C C C C C 6012010P =+=+=，故答案为：35；31014．【分析】由柯西不等式求解即可.【详解】解：由柯西不等式可得()222221112+⎡⎤⎢+⎥⎣⎦≤=，2a =，1b =时，等号成立，故答案为：15．5【分析】利用向量的线性运算得2A A P B =，将PD PE，都用AB AD ，表示，计算||PD 与PE PD ⋅即可.【详解】由题意知245AB AD DAB =∠=，12AE AB AD =+ ，22122AB AD AP AE AD AD AB =+⎛⎫=-- ⎪=⎝⎭ ，2PD AD AP AD AB =-=- ，所以2222244PD AD AB AD AB AD AB--⋅+= ＝2242cos 454210-⨯+⨯==，所以||PD = PE PD ⋅= ()()()1222AE AD AB A AP AP D AB AD AB ⎛⎫⋅=+-- ⎪⎝--⎭ ()122AD AB AD AB ⎛⎫-- ⎪⎝=⎭()22211125222AD AB PD ===-⨯= .；516．(1)π3(3)5【分析】（1）结合正弦定理、正弦和公式、三角形三角关系、诱导公式化简求值即可；（2）由平方关系、倍角公式、余弦和公式化简求值；（3）由余弦定理及面积公式化简求得a b +，即可求得周长.【详解】（1）由正弦定理得，()2cos (sin cos sin cos )2cos sin sin C A B B A C A B C +=+=，即()2cos sin π2cos sin sin C C C C C -==，∵()0,πC ∈，∴sin 0C ≠，∴1cos 2C =，∴π3C =；（2）()0,πA C Î、、∴221sin sin sin 22sin cos cos 2cos sin 4C A A A A A A A =====-=-，∴()11cos 2cos 2cos sin 2sin 42A C A C A C +=-=-⨯-（3）由余弦定理得222222cos 7c a b ab C a b ab =+-Þ=+-，由面积公式得1sin 62ab C ab =Þ=，则()2223736255a b a b ab ab a b +=+-+=+´=Þ+=，∴ABC的周长为5a b c ++=+.17．(1)详见解析；【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用空间向量方法证明线线平行从而证明线面平行（2）运用空间向量求取线面夹角和二面角.通过解方程求得平面BEF 的法向量m，利用sin cos DF θ=< ，m > 得解;（3）通过求解cos n <，m >=，然后利用sin ,m n <>= 即可得二面角的正弦值.【详解】（1）⊥AE 平面ABCD ，且AB AD ⊥，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图;则()0,0,0A ，()0,2,0D ，()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,1F ，31,1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,1,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3(,0,0)2MN =- ,(2,0,0)CD =- ,由34MN CD = ,可得MN CD ∥，又CD ⊂平面CDF ，MN ⊄平面CDF ，所以MN ∥平面CDF .（2）设平面BEF 的法向量(),,m x y z = ,(2,2,0)EF = ,(1,0,1)EB =- 则·0·220m EB x z m EF x y ⎧=-=⎨=+=⎩取1,x =()1,1,1m =- ，设求DF 与平面BEF 所成角为θ，则sin cos DF θ=<，m >=所以DF 与平面BEF所成角的正弦值为5.（3）由（2）知平面BEF 的法向量()1,1,1m =- ，平面ABE ∥平面CDF ,且平面ABE 的一个法向量为()0,1,0n = ，所以平面CDF 的一个法向量为()0,1,0n = ，故cos n <，3m >=-；sin ,3m n <>= ，平面ABE 与平面CDF所成的二面角的正弦值等于3.18．(1)21n a n =-(2)（ⅰ）4；（ⅱ）1261(4918n n ++-+⨯【分析】（1）设出等差数列{}n a 的公差，根据给定条件列式计算即可作答.（2）由（1）的结论求出n b ，借助裂项相消法求出n T ，利用222,,m T T T 成等差数列建立m 方程求解，再利用错位相减法求121ia ni i T =-∑..【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，因为124,,S S S 成等比数列，且11a =，所以4221S S S =⨯，所以2(2)1(46)d d +=⨯+，解得2d =，于是有()11221n a n n =+-⨯=-，所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-.（2）由(1)知，()()1221121212121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，因此，11111111335212121n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（ⅰ）因为2T ，m T ，22T 成等差数列，则2222m T T T +=，即11111214144121m ⎛⎫-+-=- ⎪+++⎝⎭，整理得11219m =+，解得4m =；（ⅱ）由（ⅰ）知2121221(21)2()41121(1)21i a i i ii i i T i --==+⨯=+⨯---+，记11221()412i a nn i n i i i i M T ==+==⨯-∑∑，则2313572121444()4()422222n nn n n M --+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ 所以234135721214444(4()422222n n n n n M +-+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ 两式相减得23132134(444)()422n n n n M ++-=⨯++++-⨯ 211144212616()4()414236n n n n n +++-++=+-⨯=-⨯-，所以1261()4918n n n M ++=-+⨯，即112261()41918i a n n i in T +=+=-+⨯-∑.19．(1)22143x y +=(2)321y x =-或321y x =-+【分析】（1）利用两点间的距离公式和椭圆的离心率公式，结合椭圆中,,a b c 的关系即可求解.（2）根据椭圆方程得出D 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及点在直线上，结合向量的数量积的坐标运算及直线与圆相切的条件即可求解.【详解】（1）由题意可知，椭圆的焦点位于x 轴上，即椭圆的左焦点为()1,0F c -，因为左焦点到(2,1)P，所以1PF ==()229c +=，解得1c =或5c =-（舍），又因为椭圆E 的离心率为12，所以12c e a ==，即112a =，解得2a =，所以2223b a c =-=，故所求椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）由题可得()2,0D ，设()()1122,,,A x y B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2223484120k x mkx m +++-=，所以()()()22284344120mk k m ∆=-+->，即22340k m +->，所以21212228412,3434mk m x x x x k k-+=-=++，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222224128343123344m mk k k m k k k km m -⎛⎫=⋅+-+= ⎝⎭-+++，因为0DA DB ⋅= ，所以()()()11221212122,2,240x y x y x x x x y y -⋅-=-+++=，所以2222224128343431224430m mk k k k m k -⎛-+++⎫-⋅-++= ⎪⎝⎭，即2271640m mk k ++=，解得2m k =-或27k m =-，满足22340k m +->，当2m k =-时，:2l y kx k =-过点D ，不合题意，所以27k m =-①，又直线l 与以原点为圆心半径为17的圆相切，17=②，联立①②，解得3k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线l的方程为321y x =-或321y x =-+.20．(1)函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，有极大值1e，无极小值.(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定单调区间，计算极值得到答案.（2）（ⅰ）计算得到1()cos e ea x a x g x x -'=⋅+，确定e 0a a +=，设()e x F x x =+，根据函数的单调性结合()01F =，()2ln 20F -<得到证明；（ⅱ）求导得到导函数，考虑()π,0x ∈-，0x =，()0,πx ∈三种情况，构造()e sin x F x x x =-，确定函数的单调区间，根据()00F =，()00F x >，()π0F <得到零点个数.【详解】（1）()e x x f x =，1()e x x f x -'=，取1()0e xx f x -'==得到1x =，当1x <时，()0f x ¢>，函数单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数单调递减.故函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，有极大值()11e f =，无极小值.（2）（ⅰ）()()()sin sin e e a x a x g x f a f x x x =⋅+=⋅+，1()cos e e a xa x g x x -'=⋅+，(0)10e a a g '=+=，故e 0a a +=，设()e x F x x =+，函数单调递增，()010F =>，()2ln 212ln 2e 2ln 2ln 404F --=-=-<.根据零点存在定理知2ln 20a -<<.（ⅱ）()sin e x x g x x =-+，()00g =，1()cos e x x g x x -'=+，设1()cos e x x h x x -=+，2()sin e xx h x x -'=-，当()π,0x ∈-时，20,sin 0e x x x -><，故()0h x '>，()g x '单调递增，()()0110g x g ''<=-+=，故函数()g x 单调递减，()()00g x g >=，故函数在()π,0-上无零点；当()0,πx ∈时，()1()sin e sin e e x x xx g x x x x =-+=-，设()e sin x F x x x =-，()()e sin cos 1x F x x x '=+-，设()()e sin cos 1x k x x x =+-，则()2e cos x k x x '=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=>，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=<故()k x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()00k =，π2πe 102k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()ππe 10k =--<，故存在0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00k x =，当()00,x x ∈时，()0k x >，()F x 单调递增；当()0,πx x ∈时，()0k x <，()F x 单调递减.()00F =，故()00F x >，()ππ0F =-<，故函数在()0,πx 上有1个零点.综上所述：()g x 在区间()π,π-上的零点个数为2【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.。
高三数学12月阶段性质量检测试题 文
高三数学阶段性教学质量检测数学（文）试题 2016.12本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{1,2},2,3M N ==，则集合MN 真子集的个数是A. 7B. 8C. 15D. 16 2.已知1a =，2b =，且()a a b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角为A. 6πB. 4πC. 34π D. 4π 或34π3．已知倾斜角为α的直线l 与直线240x y +-=垂直，则2017cos(2)2πα-的值为 A ．2B 12-C ．45D ．45- 4．下列说法正确的是A.命题“若a b ≥，则22a b ≥”的逆否命题为“若22a b ≤，则a b ≤”B.命题“2,10x R x x ∀∈++>”的否定为“2000,10x R x x ∃∈++≤”C.若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D.“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件5. 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日.”由此推断，该女子到第十一日时，大约已经完成三十日织布总量的 A ．49% B ．53% C ．61% D ．88%6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的 直径为4，该几何体的体积为1V ，直径为4的球的体积 为2V ，则12:V V =A.2:1B.1:1C. 1:4D. 1:2.7.已知函数2ln ||(),x f x x x=-则函数()y f x =的大致图象为8．已知变量x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为A ．5B ．4C ．3D ．29．如图所示，正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB′、DD′交于M ，N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长L=f （x ），x ∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥C′﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数； 以上命题中假命题的序号为 A.①④ B ．② C ．③D ．③④10．设函数f （x ）在R 上存在导数f ′（x ），对任意的x ∈R 有f （﹣x ）+f （x ）=x 2，x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＞x ．若f （2﹣a ）﹣f （a ）≥2﹣2a ，则实数a 的取值范围为A ．[1，+∞）B ．（﹣∞，1]C ．（﹣∞，2]D ．[2，+∞）第Ⅱ卷（共100分）二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题纸的相应位置上 11.已知0,0,lg 2lg8lg 2,xyx y >>+=则113x y+的最小值为_______. 12.如图，已知ABC ∆中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n += .13.已知ΔABC 满足,)cos(21sin sin 4322B A B A C AC BC +===⋅，，若角π则AB = . 14.已知圆C :22430x y x +++=，若直线1y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为 ．15.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，则(9)9g =；10的因数有1,2,5,10，(10)5g =；那么2016(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知非零向量(cos ,cos )a αα=，向量(sin ,cos 2sin )b θθθ=-，向量(1,2)c =. (I)若//a b ，求tan α的值； (II)若b c =，0θπ<<，求θ的值.17.（本小题满分12分）设函数()sin()ωϕf x A x =+（,,ωϕA 为常数，yO712π3-x6π-C x且0,0,0ωϕπA >><<）的部分图象如图所示.（I ）求,,ωϕA 的值； （II ）设θ为锐角，且3()35f θ=-，求()6f πθ-的值.18.（本小题满分12分） 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证：（I ）直线1A E ∥平面1ADC ； （II ）直线EF ⊥平面1ADC ．19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是非常值数列，且满足n n n a a a -=++122(*N n ∈)，其前n 项和为ns，若570s=，2722,,a a a 成等比数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<.20.（本小题满分13分）为美化环境，某市计划在以A 、B 两地为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂（如图所示）。
高三数学12月调研考试试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校一中2021级高三12月调研考试数学〔文〕试题第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.设集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，结合补集的定义可得：.此题选择A选项.2.设是虚数单位〕，那么复数在平面内对应〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】由题意可得：，那么复数在复平面内对应的点位于第一象限，此题选择A选项.3.设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，很明显，很明显函数在区间上单调递增，故，即：，那么：，据此有：，结合对数函数的单调性有：，即，综上可得：.此题选择B选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或者指数不一样，不能直接利用函数的单调性进展比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进展指数幂的大小比较时，假设底数不同，那么首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进展判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．4.如下列图的程序框图的算法思路源于数学名著几何本来中的“辗转相除法〞，执行程序框图〔图中“〞表示除以的余数〕，假设输入的分别为，那么输出的〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：,应选C.考点：1、程序框图；2、辗转相除法.5.的外接圆的圆心为，半径为，且，那么向量在向量方向上的投影为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，即：,即外接圆的圆心为边的中点，那么是以为斜边的直角三角形，结合有：，那么向量在向量方向上的投影为.此题选择D选项.6.且满足约束条件，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】绘制不等式组表示的可行域，如下列图，目的函数表示阴影局部中横纵坐标均为整数的点，结合目的函数的几何意义可得，由于不包括边界点，目的函数在点处获得最小值.此题选择C选项.7.定义运算，将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，那么的最小值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由新定义的运算有：，函数图象向左平移个单位长度所得函数的解析式为：，该函数为偶函数，那么当时，应满足：，令可得的最小值为.此题选择B选项.8.在锐角中，角所对的边分别为，假设，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】结合三角形面积公式可得：，那么：，①锐角三角形中，由同角三角函数根本关系有：，结合余弦定理：可得：，那么：，②①②联立可得：.此题选择A选项.9.设曲线上任一点处的切线斜率为，那么函数的局部图象可以为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】由函数的解析式可得那么.该函数为奇函数,选项BC错误；且当时，，选项A错误；此题选择D选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、挑选选项．10.某工件的三视图如下列图，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，那么原工件材料的利用率为〔材料利用率=新工件的体积/原工件的体积〕〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】结合三视图可得该几何体为圆锥，其底面半径为1，高为2，圆锥的体积：，如下列图，将其加工成一个体积尽可能打的长方体新工件，此长方体底面边长为的正方形，高为，根据轴截面可得：，解得：，那么长方体的体积函数：，由可得：，结合导函数与原函数的单调性之间的关系可知：.那么利用率为：.此题选择A选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)假设所给几何体的体积不能直接利用公式得出，那么常用等积法、分割法、补形法等方法进展求解．11.函数在区间上的最小值为，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】分类讨论：当时，，此时有：，当时，，此时有：，综上可得：的取值范围是：.此题选择D选项.12.设函数，假设关于的方程有四个不同的实数解，且，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】作出函数f(x)的图象，由图可知,x1+x2=−4,x3x4=1；当时,x=4或者，那么;故，其在上是增函数，故；即；即的取值范围是.此题选择D选项.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13.设，向量，且，那么__________.【答案】【解析】由题意可得：，，故：，据此可得：.14.是等差数列的前项和，假设，那么数列的公差为__________.【答案】【解析】由等差数列的前n项和公式可得：，结合题意有：，即：.15.三点都在体积为的球的外表上，假设，那么球心到平面的间隔为__________.【答案】【解析】设球的半径为R,那么,解得R=5.设△ABC的外接圆的半径为r,，解得r=4.∴球心O到平面ABC的间隔.故答案为：3.点睛：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最正确角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及表达这些元素之间的关系)，到达空间问题平面化的目的．16.曲线在点处的切线为，假设与曲线相切，那么_______.【答案】【解析】试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线〔切线〕得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线〔曲线〕方程便可求得参数．视频三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.函数.〔1〕当时，解不等式；〔2〕当时，有解，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)结合题意零点分段可得不等式的解集为.(2)由题意结合绝对值不等式的性质可得的取值范围是.试题解析：〔1〕当时，，当时，，解得，所以；当时，，解得，所以；当时，，无解，综上所述，不等式的解集为.〔2〕当时，有解，有解有解有解，因为，所以，所以，即实数的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法〞求解，表达了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想．18.在中，角所对的边分别为，且满足.〔1〕求角的大小；〔2〕假设的面积为，求的周长.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理边化角，整理可得：，那么.(2)由题意结合面积公式可得，，那么的周长为.试题解析：〔1〕因为，所以，由正弦定理可得,即，又角为的内角，所以，所以，又，所以.〔2〕由，得，又，所以，所以的周长为.19.四棱锥中，底面，底面为菱形，为的中点.〔1〕证明：平面平面；〔2〕假设，求点到平面的间隔.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可证得平面，利用面面垂直的判断定理有平面平面......................试题解析：〔1〕因为底面，所以，连接，在菱形中，，所以为等边三角形，又为的中点，所以，又，所以平面，因为，所以平面，所以平面，平面平面.〔2〕因为，所以，在中，，同理，易知，设点到平面的间隔为，连接，由得，所以.20.设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设，数列的前项和为，求证：.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意求得数列的公差为2，那么数列的通项公式为;(2)结合(1)的结论可得：，裂项求和可得：.试题解析：〔1〕设等差数列的首项为，公差为，那么，解得，或者〔舍去〕，故数列的通项公式为.〔2〕由，得，所以.21.如图，在四棱锥中，平面.〔1〕求证：平面；〔2〕假设为线段的中点，且过三点平面与线段交于点，确定的位置，说明理由；并求三棱锥的高.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可证得，，那么平面.(2)为的中点，由几何关系可知：点为过三点的平面与线段的交点，结合棱锥的体积公式可得三棱锥的高为.试题解析：〔1〕在直角梯形中，，，所以，即，又平面，所以，又，故平面.〔2〕为的中点，因为为的中点，为的中点，所以，且，又，所以，所以四点一共面，所以点为过三点的平面与线段的交点，因为平面，为的中点，所以到平面的间隔，又，所以，有题意可知，在直角三角形中，，在直角三角形中，，所以.设三棱锥的高为，解得，故三棱锥的高为.22.函数.〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕当时，证明：对任意的，有.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意结合导函数的解析式分类讨论有：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；(2)原问题等价于在上恒成立，构造函数，据此可得，那么恒成立.试题解析：〔1〕由题意得，当时，由得且，那么①当时，在上单调递增，在上单调递减；②当时，在上单调递增，在上单调递减；③当时，在上单调递增；④当时，在和上单调递增，在上单调递减；〔2〕当时，要证在上恒成立，只需证在上恒成立，令，因为，易得在上单调递增，在上单调递减，故，由得，得，当时，；当时，，所以，又，所以，即，所以在上恒成立，故当时，对任意的，恒成立.。
高三12月阶段性检测数学(理)试题 word版含答案
高三阶段性检测数学（理）试题1.设集合}31|{},23|{≤<-∈=<<-∈=n N n B m Z m A ，则=⋂B A （ ） A.{0，1} B.{-1，0，1} C.{0，1，2} D.{-1，0，1，2}2.下列命题中的假命题是 （ ） A.02,1>∈∀-x R x B.1lg ,<∈∃x R x C.0,2>∈∀x R x D.2tan ,=∈∃x R x3. 抛物线y 2=x y x 34=的焦点到直线的距离是（ ） A ．21 B ．23 C ．1D ．34.设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知7863==S S ，，则=++987a a a （ ） A.81 B. 81- C. 857 D. 855 5.已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数()()()2f x ax bx R =+∈是（ ）A.既是奇函数又是偶函数B.非奇非偶函数C.偶函数D.奇函数6．已知圆x 2+y 2-2x+my-4=0上两点M 、N 关于直线2x+y=0对称，则圆的半径为（ ） A ．9 B ．3 C ．23 D ．27.已知向量a =（x －1,2）,b =(y, －4)，若a ∥b ，则yx39+的最小值为（ ） A. 2 B. 32 C. 6 D. 98．在空间中．l 、m 、n 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列结论错误的是（ ）A ．若α∥β，α∥γ，则β∥γ B ．若l ∥α，l ∥β，α∩β=m ，则l ∥m C ．α⊥β，α⊥γ，β∩γ=l ，则l ⊥α D ．若α∩β=m ，β∩γ=l ，γ∩α=n ， l ⊥m ，l ⊥n ，则m ⊥n9. 已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，则（ ） A. 2AO OD = B. AO OD =C. 3AO OD =D. 2AO OD =10.函数)2||00)sin()(πφωφω<>>+=，，（A x A x f 的部分图象如图示，则将)(x f y =的图象向右平移6π个单位后所得图象解析式为（ ） A.x y 2sin = B.x y 2cos = C.)32sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y11.如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数)0(1>=x xy 图象下方的阴影部分区域， 则阴影部分E 的面积为 （ ） A.2ln B.2ln 1- C.2ln 2- D.2ln 1+12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()[]4,0,2f x f x x -=-∈且时，()()2log 1f x x =+，甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：()31f =； 乙：函数()[]6,2f x --在上是减函数； 丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若()0,1m ∈，则关于x 的方程()[]08,8f x m -=-在上所有根之和为8-， 其中正确的是 （ ） A.甲、乙、丁B.乙、丙C.甲、乙、丙D.甲、丙13. 若双曲线12222=-b y a x 的离心率为5，则渐近线方程为_______________；14.已知函数()()()21,4,1log 521,4xx f x f f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=+⎝⎭⎨⎪+<⎩则的值为___________； 15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，且()31056012,S x dx a a =++=⎰则___________；16.已知下列四个命题： ①若4tan 2,sin 25θθ==则； ②函数()()211f x g x x =++是奇函数； ③“a b >”是“22ab>”的充分不必要条件；④在ABC ∆中，若sin cos sin ,A B C ABC =∆则中是直角三角形. 其中所有真命题的序号是_________.17.（本小题满分12分）已知向量 m →=(2cos 2x , 3 ), n →=(1 , sin2x) ，函数f(x)= m →·n →. （1）求函数)(x f 的对称中心；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且32,1,3)(===ab c C f ，且b a >，求b a ,的值.18.（本小题满分12分） 已知函数()()()21x x a f x x ++=为偶函数.（I ）求实数a 的值；（II ）记集合(){}{}21,1,1,2,121215154E y y f x x g g g g λ==∈-=++-，判断E λ与的关系； （III ）当()11,0,0x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，若 函 数f(x) 的 值 域 为 []23,23m n --，求,m n 的值. 19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =1，底面ABCD 是直角梯形，且 AB ⊥AD ，AD =3，∠CDA =45°，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。
2024届天津市静海区一中高三上学期12月月考数学试题及答案
静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知 识 技 能学习能力内容集合简单逻辑函数圆锥曲线立体几何数列基本不等式平面向量三角函数复数关键环节分数10153520205518514第Ⅰ卷 基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}2. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.4. 设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（ ）A. c b a << B. b c a <<C. a b c<< D. b a c<<5. 已知2243x y ==，则3y xxy-的值为（ ）.A. 1B. 0C. 1-D. 26. 若三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 18πC. 20πD. 7. 已知函数()sin cos f x x x x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 的图象可由πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到D. 函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到8. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.C.D. 29. 设a R ∈，函数2sin 2,0()474,0x x f x x x a x π<⎧=⎨--≥⎩，若()f x 在区间(),a ∞-+内恰有5个零点，则a 取值范围是（ ）A 7511,2,424⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B. 75,22,42⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 37511,,2424⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦二、填空题：每小题5分，共30分.10. 已知复数2i2i 1a +-是纯虚数，则实数=a ______.11. 抛物线28y x =，过焦点的弦AB 长为8，则AB 中点M 的横坐标为____.12. 已知圆()22200x ax y a =+->截直线0x y -=所得弦长是，则a 的值为______．13. 设数列 {}n a 的通项公式为()π21cos 2n n a n =-⋅，其前n 项和为n S ，则20S =__________14. 已知0m >，0n >，21m n +=，则()()11m n mn++的最小值为______.15. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形Γ，其中正六边形边长为1，设的.AG xAB y AI =+ ，则x y +=______；P 是平面图形Γ边上的动点，则GE AP ⋅的取值范围是______.三、解答题：（本大题共5小题，共72分）16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC 的面.（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求sin 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ABCD ⊥面，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，BC =（I ）求证：CD PAC ⊥面； （Ⅱ）求二面角M AB C --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB，求AN NB 的值．18. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ．已知椭圆的离心率为12，||3AF =．（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，若四边形OPQA的面积是三角形的BFP 面积的3倍，求直线BP 的方程．19. 已知数列{}{},,n n n a b S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意N*n ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，131log b a =，且2465,1,3b b b ++-成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）记211,N n n n n nb d n b b a *++-=∈，求数列{}n d 前n 项和n T .（3）记2,,n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求211n k k k c c +=∑.第Ⅱ卷提高题（共14分）20. 已知函数()()e 11xf x a x =+--，其中a ∈R .（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a >时，证明：()cos f x x x a x >-.的静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷命题人：李静 审题人：陈中友考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知 识 技 能学习能力内容集合简单逻辑函数圆锥曲线立体几何数列基本不等式平面向量三角函数复数关键环节分数10153520205518514第Ⅰ卷 基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}【答案】B 【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B2. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】由等比数列的通项公式可得，111n n n a a a qq q-=⋅=⋅，.当10a >且01q <<时，则10a q >，且n y q =单调递减，则1n n aa q q=⋅是递减数列，故充分性满足；当1n n a a q q =⋅是递减数列，可得1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩，故必要性不满足；所以“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的充分不必要条件.故选：A3. 函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.【详解】方法一：因为202xx+>-，即()()220x x +⋅-<，所以22x -<<，所以函数()242log 2xf x x x+=-的定义域为()2,2-，关于原点对称，又()()242()log 2xf x x f x x--=-=-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C ,；当()0,2x ∈时，212x x+>-，即42log 02xx +>-，因此()0f x >，故排除A.故选:D.方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C ,；又()211log 302f =>，所以排除A.故选：D.4. 设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（ ）A. c b a<< B. b c a<<C. a b c <<D. b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.【详解】00.32,si 2n n212i 81s 30a b >=<===2e <<，则1ln 212<<，即112c <<，所以b<c<a .故选：B5. 已知2243x y ==，则3y xxy-的值为（ ）A. 1 B. 0C. 1- D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用指数与对数互化的公式表示出224log 3,log 3x y ==，再利用换底公式和对数的运算性质化简计算.【详解】因为2243x y ==，所以224log 3,log 3x y ==，由换底公式和对数的运算性质可得33333322433131813log 2log 24log 8log 24log log 1log 3log 3243y x xy x y -=-=-=-=-===-.故选：C6. 若三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 18πC. 20πD. 【答案】C 【解析】【分析】由题设知三棱锥-P ABC 是相应正六棱柱内的一个三棱锥，由此知该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，求出正六棱柱的外接球半径即可得．【详解】三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥-P ABC ，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R ==，则R =所以该球的表面积为224π4π20πS R ==⋅=．故选：C ．7. 已知函数()sin cos f x x x x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 的图象可由πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到D. 函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到【答案】B 【解析】【分析】首先化简函数()f x ，再根据三角函数的性质，求最小正周期判断A ，整体代入法判断对称中心判断B ，利用函数图象变换法则即可判断CD.【详解】()1πsin cos sin 22sin 223f x x x x x x x ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；当π6x =时，πππ2πsin 2sin 06633f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 一个对称中心，故B 错误；由πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到πsin(23y x =+，故C 正确；将sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到ππsin[2()]sin(2)63y x x =+=+，故D 正确.故选：B的8. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan bF F P a ∠=可得12cos aF F P c ∠==，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-⋅∠，即有2229422aa a c a c c=+-⨯⨯，化简可得223c a =，所以双曲线的离心率==ce a．故选：C ．9. 设a R ∈，函数2sin 2,0()474,0x x f x x x a x π<⎧=⎨-+-≥⎩，若()f x 在区间(),a ∞-+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 7511,2,424⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ B. 75,22,42⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 37511,,2424⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】解法一：利用排除法，分别令94a =和138a =求解函数的零点进行判断，解法二：分类讨论，分()f x 在区间(),0a -有5个零点且在区间[)0,∞+没有零点，()f x 在区间(),0a -有4个零点且在区间[)0,∞+有1个零点和()f x 在区间(),0a -有3个零点且在区间[)0,∞+有2个零点三种情况求解即可【详解】法一（排除法）：令94a =，则2sin 2,0()42,0x x f x x x x π<⎧=⎨--≥⎩，当0x <时，()f x 在区间9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭有4个零点，当0x ≥时，()020f =-<，Δ240=>，()f x 在区间[)0,∞+有1个零点，综上所述，()f x 在区间(),a ∞-+内有5个零点，符合题意，排除A ､C.令138a =，则2sin 2,0()14,02x x f x x x x π<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，当0x <时，()f x 在区间13,08⎛⎫- ⎪⎝⎭有3个零点，当0x ≥时，()1002f =>，Δ140=>，()f x 在区间[)0,∞+有2个零点，综上所述，()f x 在区间(),a ∞-+内有5个零点，符合题意，排除B ，故选D.法二（分类讨论）：①当()f x 在区间(),0a -有5个零点且在区间[)0,∞+没有零点时，满足0532a ∆<⎧⎪⎨-≤-<-⎪⎩，无解；②当()f x 在区间(),0a -有4个零点且在区间[)0,∞+有1个零点时，满足()000522f a ⎧⎪∆>⎪<⎨⎪⎪-≤-<-⎩，解得522a <≤；③当()f x 在区间(),0a -有3个零点且在区间[)0,∞+有2个零点时，满足()000322f a ⎧⎪∆>⎪≥⎨⎪⎪-≤-<-⎩，解得3724a <≤，综上所述，a 的取值范围是375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，故选：D.二、填空题：每小题5分，共30分.10. 已知复数2i2i 1a +-是纯虚数，则实数=a ______.【答案】1【解析】【分析】由复数的除法运算、纯虚数的概念即可求得参数a .【详解】由题意()()()()()()2i 2i+12241i 41i2i 222i 12i 12i+14155a a a a a a +-++++-===-----，由题意复数2i 2i 1a +-是纯虚数，则2205a-=且4105a +-=，解得1a =.故答案为：1.11. 抛物线28y x =，过焦点的弦AB 长为8，则AB 中点M 的横坐标为____.【答案】2【解析】【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦AB 的中点M 到准线的距离，最后求出弦AB 的中点M 的横坐标.【详解】抛物线28y x =的准线l 的方程为：2x =-，焦点为(2,0)F ,分别过,,A B M ，作,,AC l BD l MH l ⊥⊥⊥，垂足为,,C D H ，在直角梯形ABDC 中，2AC BDMH +=，由抛物线的定义可知：,AC AF BD BF ==，因此有4222AC BDAF BFAB MH ++====，所以点M 的横坐标为422-=.故答案为：2.12. 已知圆()22200x ax y a =+->截直线0x y -=所得弦长是，则a 的值为______．【答案】2【解析】【分析】化圆的方程为标准方程，可得圆心和半径，求得圆心到直线0x y -=的距离d ，代入弦长公式，即可求得答案.【详解】圆()22200x ax y a =+->可变形为：222()x a y a -+=，所以圆心为(,0)a ，半径r a =，所以圆心到直线0x y -=的距离d ，根据弦长公式可得2==，因为0a >，解得2a =.故答案为：213. 设数列 {}n a 的通项公式为()π21cos 2n n a n =-⋅，其前n 项和为n S ，则20S =__________【答案】20【解析】【分析】先由()πcos2n f n =的周期性及函数值特点，分析数列{}n a 的特点1234n n n n a a a a ++++++=()1,5,9,13,16n = ，；再根据这个特点求解即可.【详解】由()πcos 2n f n =可得：周期为2π4π2T ==，()π1cos 02f ==，()2π2cos 12f ==-，()3π3cos 02f ==，()4π4cos 12f ==.因为()π21cos 2n n a n =-⋅，所以123n n n n a a a a ++++++()()()()()()()1π2π3ππ21cos221cos 241cos 261cos 2222n n n n n n n n +++=-⋅++-⋅++-⋅++-⋅4=，()1,5,9,13,16n = ，所以数列{}n a 的前n 项和具有周期为4的周期性，且这样一个周期内的和为 4 ，所以204520S =⨯=故答案为：20.14. 已知0m >，0n >，21m n +=，则()()11m n mn++的最小值为______.【答案】8+8+【解析】【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为21m n +=，所以()()()()1122262238m n m m n n m n n m n mmnmnm nmn++++++⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为0m >，0n >，所以62n m m n +≥=，当且仅当62n m m n =时取等号，即23n m =-=时，()()11m nmn++有最小值8+，故答案为：8+【点睛】关键点睛：利用等式把代数式()()11m n mn++变形为628n m mn++.15. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形Γ，其中正六边形边长为1，设AG xAB y AI =+ ，则x y +=______；P 是平面图形Γ边上的动点，则GE AP ⋅的取值范围是______.【答案】 ①. 1 ②. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】以I 为原点，建立平面直角坐标系，根据,,G B I 三点共线，得到1x y +=，设(,)P x y ，求得)GE AP x ⋅=+ ，令z x =+，转化为求该直线在y 轴上截距的取值范围，得到目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】以I 为原点，,BG IO 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为,,G B I 三点共线，且AG xAB y AI =+，所以1x y +=，由正六边形的内角均为120 ，且边长为1，可得31(()22G E A -，设(,)P x y ，可得31),(22GE AP x y ==+ ，则31()22GE AP x y x ⋅=⋅+=+，令z x =，则)y x z =-，当该直线经过点C 时，截距最大，对应的z 最大，此时·GE AP最大值为3，当该直线经过点(G 时，截距最小，对应的z 最小，此时·GE AP的最小值为32-，所以·GE AP 3,32⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1；3[,3]2-.三、解答题：（本大题共5小题，共72分）16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC 的面.（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求sin 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）；（2； （3）1314.【解析】【分析】(1)已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a ；(2)由余弦定理求出b ，再根据正弦定理即可求出sin A ；(3)根据sin A 求出cos A ，再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值.【小问1详解】∵sin A C =，∴由正弦定理得a =，又ABC1sin1502ac ︒=，解得2c =，∴a =；【小问2详解】由余弦定理有2222cos150b a c ac =+-︒，∴b =.由正弦定理sin sin sin a b A A B =⇒==.【小问3详解】∵B ＝150°，∴A ＜90°，∴由sin A得，cos A =，∴sin 22sin cos A A A ==，211cos 22cos 114A A =-=.∴13sin 2sin 2cos cos 2sin 66614A A A πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ABCD ⊥面，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，BC =（I ）求证：CD PAC ⊥面； （Ⅱ）求二面角M AB C --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB，求AN NB 的值．的【答案】（I ）见解析；（Ⅱ）4；（Ⅲ）1．【解析】【分析】【详解】试题分析：(I)，，所以平面PAC ；(II)建立空间直角坐标系，求出两个法向量，平面MAB 的法向量，是平面ABC 的一个法向量，求出二面角；(III)设，平面MAB 的法向量，解得答案．试题解析：证明：(I)连结AC ．因为为在中，，，所以，所以．因为AB //CD ，所以．又因为地面ABCD ，所以．因为，所以平面PAC ．(II)如图建立空间直角坐标系，则．因为M是棱PD的中点，所以．所以，．设为平面MAB的法向量，所以，即，令，则，所以平面MAB的法向量．因为平面ABCD，所以是平面ABC的一个法向量．所以．因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为．(III)因为N是棱AB上一点，所以设，．设直线CN与平面MAB所成角为，因为平面MAB的法向量，所以．解得，即，，所以．18. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ．已知椭圆的离心率为12，||3AF =．（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，若四边形OPQA 的面积是三角形BFP 面积的3倍，求直线BP 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）2)4y x =-【解析】【分析】（1）根据已知线段长度与离心率，求解出,a c 的值，然后根据222a b c =+求解出b 的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件将问题转化为三角形ABQ 与三角形OBP 的面积比，由此得到关于,P Q y y 的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值得P 的坐标，则可求BP 直线方程.【小问1详解】因为，12c e a ==，||3AF =，所以2,3a c a c =+=，所以2,1a c ==，所以b ==所以椭圆方程为22143x y +=；【小问2详解】如图，因为四边形OPQA 与三角形BFP 的面积之比为3:1，所以三角形ABQ 与三角形OPB 的面积比为5:2，所以152122QP AB y OB y ⋅=⋅，所以54Q P y y =，显然直线BP 的斜率不为0，设直线BP 的方程为2x my =+，联立2223412x my x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2234120m y my ++=，所以21234P m y m =-+，2Qy m=-，所以22512434m m m -=-+，解得m =，当m =:2BP x y =+，当m =时，:2BP x y =+，故直线BP的方程为2)y x =-.19. 已知数列{}{},,n n n a b S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意N*n ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，131log b a =，且2465,1,3b b b ++-成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）记211,N n n n n nb d n b b a *++-=∈，求数列{}n d 的前n 项和n T.（3）记2,,n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求211n k k k c c +=∑.【答案】（1）3nn a =，21n b n =-（2）1122(21)3n nT n =-+⋅ （3）175402591648n n +-+⋅【解析】【分析】（1）首先根据n a 与n S 的关系得到n a ，再根据等比数列的性质即可得到n b ；（2）利用裂项相消法即可得结果；（3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果.【小问1详解】当1n =时，11323a a =+，解得13a =.当2n ≥时，11323n n a S --=+，所以113233n n nn n a a a a a --=⇒=-，即{}n a 是以首先13a =，公比为3的等比数列，即3nn a =.因为131log 3b ==，2465,1,3b b b ++-成等比数列，所以()()()2426153b b b +=+-，即()()()213115153d d d ++=+++-，解得2d =.所以()12121n b n n =+-=-.【小问2详解】由（1）得2112(2)2(21)(21)3n n nn n n b n d b b a n n ++-+-==-+⋅()()()()122111212132213213n n n n n n n n -⎡⎤+==-⎢⎥-+⋅-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦，则123n nd d d d T +++⋅⋅⋅+=0112231111111111[((()(2133333535373(21)3(21)3n nn n -=-+-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅0111()213(21)3n n =-⨯+⋅1122(21)3nn =-+⋅【小问3详解】1223221211k k n n n k c c c c c c c c =++=+++∑ ，因为()()()()2121212221221211021332193n n nn n n n n n n c c c c c c c n n -+-+-++=+=-+=-⋅，设()219n n d n =-⋅，前n 项和为n K ，则()121939219n n K n =⨯+⨯++-⨯ ，()()23191939239219n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，()()()()12118119892992199221919n n n n n K n n -++--=+++--⋅=+⨯--⋅- 1458593232n n n K +-=+⋅.所以211110754025931648n n n k k k c c n K +=+-==+⋅∑第Ⅱ卷提高题（共14分）20. 已知函数()()e 11x f x a x =+--，其中a ∈R .（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a >时，证明：()ln cos f x x x a x >-.【答案】（1）30x y -=（2）答案见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()0f '，利用导数几何意义结合点斜式方程即可求出切线方程；（2）求出导函数，按照1a ≥和1a <分类讨论研究函数的单调性即可；（3）把原不等式作差变形得()()e cos 1ln 0,0,x a x x x x x x ∞++--->∈+，结合()cos cos a x x x x +>+，把不等式证明转化为e cos 1ln 0x x x x +-->问题，构造函数，求导，利用函数的单调性求得最值即可证明.【小问1详解】当3a =时，()e 21x x x f =+-，()e 2x f x '=+，所以()00e 23f '=+=，又()00e 10f =-=，由导数几何意义知，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()030y x -=-，即30x y -=.【小问2详解】因为()()e 11x f x a x =+--，所以()e 1x f x a =+-'，当1a ≥时，()e 10xf x a =+->'，函数()f x 在R 上单调递增；当1a <时，由()e 10xf x a =+->'，得()ln 1x a >-，函数()f x 在区间()()ln 1,a ∞-+上单调递增，由()()e 10x f x a =+-<'，得()ln 1x a <-，函数()f x 在区间()(),ln 1a -∞-上单调递减.【小问3详解】要证()ln cos f x x x a x >-，即证()()e 11ln cos ,0,x a x x x a x x ∞+-->-∈+，即证()()e cos 1ln 0,0,xa x x x x x x ∞++--->∈+，设()cos k x x x =+，则()1sin 0k x x ='-≥故()k x 在()0,∞+上单调递增，又()010k =>，所以()1k x >，又因为1a >，所以()cos cos a x x x x +>+，所以()e cos 1ln e cos 1ln x xa x x x x x x x x ++--->+--，①当01x <≤时，因为e cos 10,ln 0x x x x +->≤，所以e cos 1ln 0x x x x +-->；②当1x >时，令()e cos ln 1x g x x x x =+--，则()e ln sin 1xg x x x '=---，设()()h x g x '=，则()1e cos x h x x x=--'，设()1e cos x m x x x =--，的则()21e sin x m x x x=++'，因为1x >，所以()0m x '>，所以()m x 即()h x '在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 1cos10h x h >=--'>'，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()1e sin110h x h >=-->，即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()1e cos110g x g >=+->，即e cos 1ln 0x x x x +-->.综上可知，当1a >时，()e cos 1ln e cos 1ln 0x xa x x x x x x x x ++--->+-->，即()ln cos f x x x a x >-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的常见形式是()()f x g x >，一般可构造“左减右”的函数，即先将不等式()()f x g x >移项，构造函数()()()h x f x g x =-，转化为证不等式()0h x >，进而转化为证明min ()0h x >，因此只需在所给区间内判断()h x '的符号，从而得到函数()h x 的单调性，并求出函数()h x 的最小值即可.。
高三数学12月阶段检测试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学12月阶段检测试题文〔含解析〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：此题一共12小题；每一小题5分，一共计60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项正确.1.假设集合11|2322x A x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}2|340B x N x x =∈-++>，那么AB =〔〕A.()1,4 B.[)1,4C.{}1,2,3 D.{}2,3【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式确定集合,A B ，再由交集定义求得交集．【详解】由题意{|15}A x x =≤≤，{|14}{0,1,2,3}B x N x =∈-<<=，∴{1,2,3}A B ⋂=．应选：C ．【点睛】此题考察集合的交集运算，求解时需选确定集合,A B 中的元素，然后才可以求交集运算．2.在公差d 不为零的等差数列{}n a 中，316a =，且1a ，3a ，7a 成等比数列，那么d =〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列通项公式表示出18,a a 再由等比数列性质可求得d ． 【详解】由题意132162a a d d =-=-，734164a a d d =+=+，∵1a ，3a ，7a 成等比数列，∴2317a a a =，即216(162)(164)d d =-+，解得4d =．应选：D ．【点睛】此题考察等差数列的通项公式，考察等比数列的性质．属于根底题．3.3sin 65πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，那么4cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭〔〕A.45 B.35C.45-D.35【答案】B 【解析】 【分析】 由〔6πα+〕＋〔43πα-〕＝32π，用诱导公式求解．【详解】4cos 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭33cos(()]sin()2665πππαα-+=-+=．应选：B ．【点睛】此题考察诱导公式，解题时需分析“角〞和“未知角〞的关系，确定选用什么公式． 4.假设直线1x ya b+=〔0a >，0b >〕过点()1,2，那么2+a b 的最小值等于〔〕A.9B.8C.3+D.4+【答案】A 【解析】 【分析】把(1,2)代入直线方程得,a b 满足的等量关系，用“1”的代换把2za b +凑配出根本不等式中的定值，然后用根本不等式求最小值． 【详解】∵直线1x y a b +=〔0a >，0b >〕过点()1,2，∴121a b+=，∴12222(2)()559a b a ba b a b b a +=++=++≥+=，当且仅当22a b b a =，即3a b ==时等号成立，∴2+a b 的最小值为9．应选：A ．【点睛】此题考察根本不等式求最值，解题时要注意根本不等式求最值的条件：一正二定三相等，常常需要凑配出定值，“1”的代换是常用凑配方法． 5.a ，b ，c ，d R ∈〕 A.假设a b >，那么22ac bc>B.假设a b >，c d >，那么a b c d> C.假设22ac bc >，那么a b >D.假设a b >-，那么c a c b ->+【答案】C 【解析】 【分析】 由不等式的 【详解】假设0c，那么220ac bc ==，A 错；2,1,10,2a b c d ====满足,a b c d >>，但是a bc d<，B 错；假设22ac bc >，那么20c >，∴a b >，C 正确；3,2a b ==，32>-，但32c c -<+，D 错。
江苏省常熟市2023-2024学年高三数学上学期12月联考质量检测试题(含答案)
江苏省常熟市2023-2024学年高三数学上学期12月联考质量检测试题注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）､多项选择题（第9题～第12题）､填空题（第13题～第16题）､解答题（第17题～第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卷交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置.3，请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠､破损.一律不准使用胶带纸､修正液､可擦洗的圆珠笔.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}11,,03A x x x B x x ⎧⎫=∈=⎨⎬-⎩⎭N ∣∣……，则A B ⋂=（ ）A.[)1,3B.[]1,3C.{}1,2D.{}1,2,32.已知i 为虚数单位，若复数4i1i z =++，则z =（ ）B.3.已知无穷数列{}n a ，则“*2,m m ∃∈N …，使得11m m m m a a a a -+⎧⎨⎩……”是“数列{}n a 有最大项”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若不等式240x ax -+…对任意[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.5a …B.4a …C.4a >D.133a …5.已知1cos 4α=，则sin24πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ）A.78-B. C.786.如图，圆台1OO 的轴截面为等腰梯形,2,ABCD AB CD E =在上底面的圆周上，且145CO E ∠= ，则AE 在AB上的投影向量为（）ABABABAB7.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0,F c F c O -为坐标原点，圆222:O x y c +=交双曲线E 的左支于点P ，直线2PF 交双曲线E 的右支于点Q ，若Q 为2PF 的中点，则双曲线E 的离心率为（ ）8.已知正数,a b 满足2e 12ln 182a b a b +++…，则e a b +=（ ）A.94B.32C.1D.34二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数,,a b c 满足0a b c >>>，则下列说法正确的是（）A.ac bc <B.c b a c+<-C.11c b c a >-- D.c cb a<10.已知四棱锥P ABCD -的高为2，侧棱长都相等，且各个顶点都在球O 的球面上，1AB =，90,BC ABC AD CD ∠===，则下列说法正确的是（ ）A.平面ABCD 截球O 所得的截面面积为πB.四棱锥P ABCD -的侧棱长为C.球O 的表面积为254πD.A 到平面PCD 的距离为4311.已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，则下列说法正确的是（）A.若1423a a a a ++…，则1q -…B.数列{}n a 的前2023项和2023S 一定大于0C.若()112ln a a a =+，则1q >D.若213e a a a =，则q 一定小于012.已知函数()121x f x -=-，若关于x 的方程()()f f x m=有6个不相等的实根，则实数m 的值可能为（ ）A.14B.13C.12三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()1f =__________.14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 和1O 分别为底面ABCD 和侧面11A ABB 的中心，则二面角1A OO B --的余弦值为__________.15.已知抛物线2Γ:4x y =的焦点为F ，准线l 与坐标轴的交点为E ，过抛物线Γ上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q ，设()0,3A ，若AQ 与PF 相交于点M ，且MA MP EM +=，则AMF 的面积为__________.16.已知定义在R 上的可导函数()f x 和()g x 满足：()()()()31,1f x g x f x g x =--''=-，且()2g x +为奇函数，则导函数()g x '的图象关于__________对称（写出一种对称即可，不必考虑所有情况）；若()11g =，则20231()k f k ==∑__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知方程222440x y x y m +-++=.（1）若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若m 的值为（1）中能取到的最大整数，将得到的圆设为圆E ，设P 为圆E 上任意一点，求P 到直线10x y +-=的距离的取值范围.18.（本小题满分12分）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos sin C c A =.（1）求A 的大小；（2）设E 是边BC 上的一点，且满足,1AB AE AE ⊥=，求ABC 的面积的最小值.19.（本小题满分12分）如图所示，三棱台111ABC A B C -的底面ABC 为正三角形，1AA ⊥平面ABC ，11111,2AA A B AB D ===和E 分别为AC 和AB 的中点，M 是线段BC （含端点）上一动点.（1）求证：1BC ∥平面1A DE ；（2）试问：是否存在M ，使得1A M 与平面11B BCC 的所成角为30 ？若存在，求出BM 的长度；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为()2*11,1,2,n n n n S a a S S n n -==+∈N ….（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21,35,,12n n n na n nb n a +⎧⎪+=⎨⎪-⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n T .21.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为()0,1B，设点(0,,A x 轴上的两个动点M 和N 满足AM AN ⊥，且当N位于椭圆的右焦点时，OM =（1）求椭圆的方程；（2）设直线BM 和BN 分别交椭圆于P 和Q 两点，求证：直线PQ 经过定点.22.（本小题满分12分）已知函数()e sin 1(0)x f x a x a =+-<.（1）若1a =-，求证：当0x …时，()0f x …；（2）讨论函数()()cos g x f x ax x=+在区间[]0,π上的零点个数.数学答案一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.14.13-16.()12,0k +或()2,2022x k k =∈-Z 四､解答题：本大题共6小题，共70分.17.解：（1）若此方程表示圆，则22(2)4440m -+-⨯>，解得54m <，即实数m 的取值范围为5,4∞⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）由（1）可知1m =，此时圆22:2440E x y x y +-++=，即22(1)(2)1x y -++=，则圆心()1,2-到直线10x y +-=的距离1d r>=，故圆E 与直线10x y +-=相离，所以P 到直线10x y +-=的距离的取值范围为[],d r d r -+，即1⎤-+⎦.18.解：（1cos sin C c A =，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，cos sin sin A C B C A =，所以())sin sin cos cos sin cos cos sin C A A C A C A C A C A C =+=+sin A C =，因为sin 0C >，所以sin A A =，即2sin 03A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得()3A k k ππ+=∈Z ，又因为()0,A π∈，所以23A π=；（2）由23BAC π∠=和AB AE ⊥，可知2326CAE πππ∠=-=，因为ABCAEB AEC S S S =+ ，所以11sin 22bc BAC c AE∠=⋅1sin sin 2BAE b AE CAE∠∠⋅+⋅⋅，又因为1AE =，所以2sinsin sin 326bc c b πππ=+12c b =+12c b =+=…，所以83bc …，（当且仅当12c b =，即b c ==时取“=”），所以118sin 223ABC S bc BAC ∠=⨯=…所以ABC.19.解：（1）连结11,C D A D ，设1A D 与1AC 交于F ，连结EF ，因为1AA ⊥平面,ABC AD ⊂平面ABC ，所以1AA AD ⊥，又因为D 是AC 中点，所以112AA AB AD ==，所以四边形11ADC A 为正方形，所以F 是1AC 的中点，因为E 为AB 的中点，所以EF 为1ABC 的中位线，所以EF∥1BC ，又因为EF ⊂平面11,A DE BC ⊄平面1A DE ，所以1BC ∥平面1A DE ；（2）连结BD ，正ABC 中BD AC ⊥，且1DC ⊥平面ABC ，以{}1,,DB DC DC 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，则())()()10,0,0,,0,1,0,0,0,1D BC C ，()10,1,1A -，于是11((1)BC BC A B ===-，设()(),,0,01BM BC λλλ==……，即)11,1,1A M AB BM λ=+=+- 设平面11B BCC 的一个法向量为(),,n x y z =，则100n BC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，则y z ==，得(n = ，若1A M 与平面11B BCC 的所成角为30 ，则1111sin 30cos ,2||A M n A M n A M n ⋅===⋅==，整理得212(21)47λ-+=，此式无解，故不存在这样的M .20.解：（1）因为()2*12,n n n a S S n n -=+∈N …，所以()2*1123,n n n aS S n n ---=+∈N …，相减得：()22113n n n n a a a a n ---=+…，因为0n a >，所以()113n n a a n --=…，又因为212211,a a S S ==+，所以22a =，即211a a -=，也适合上式，所以()112n n a a n --=…，即数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =；（2）()21,35,,12n n n n n b n n +⎧⎪+=⎨⎪-⎩为奇数为偶数当n 为偶数时，设()()()*221652,21212n k k k n k k b b k k ++=∈==-+N ()()212111212212k k k k -+=--+，所以()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++()()()335212111111113212323252212212n n n n n -+⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++-+-+-++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯-+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ()()()221211211111222122212n n n n n n n +++-=+-=+-++.21.解：（1）因为椭圆的上顶点为()0,1B ，所以1b =，在当N 位于椭圆的右焦点(),0c 时，Rt AMN 中，有2||OA ON OM=，即2c =，所以c =，于是2224a b c =+=，所以椭圆的方程为2214x y +=；（2）设()(),0,,0M s N t，则((,AM s AN t ==，因为AM AN ⊥，所以20AM AN st ⋅=+=，即2st =-，设直线BM 和BN 的斜率分别为1k 和2k ，则12101011002k k s t st --⋅=⋅==---（定值），（法一）因为直线BM 的方程为11y k x =+，则122144y k x x y =+⎧⎨+=⎩，化简得()22111480k xk x ++=，解得121814P k x k -=+，于是2112211814,1414k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可得2222222814,1414k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，又由1212k k =-，整理得211221141,11k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以221122421111311111221111411482214824126114PQk k k k k k k k k k k k k k ---++--===++++，于是直线PQ 的方程为22111221112181461414k k k y x k k k ⎛⎫--=++ ⎪++⎝⎭，化简得21121163k y x k -=-，所以直线PQ 经过定点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.（法二）设直线PQ 的方程为()11mx n y +-=，因为椭圆方程为2244x y +=，即224(11)4x y +-+=，所以()224(1)810x y y +-+-=，所以()()224(1)8110x y y mx n y ⎡⎤+-+-+-=⎣⎦，整理得()()2248(1)810x n y mx y ++-+-=，于是()21148810y y n m x x --⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，所以1212121111482y y k k x x n --=⋅==-+，解得34n =-，即直线PQ 的方程为()3114mx y --=，令0x =，有13y =-，所以直线PQ 经过定点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.22.解：（1）当1a =-时，()e sin 1x f x x =--，所以()e cos x f x x =-'，因为0x …，所以e 1cos x x ……，所以()e cos 0x f x x =-'…，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，()()00f x f =…，得证；（2）由题意，()()[]e sin cos 1,0,x g x a x x x x π=++-∈，所以()()e 2cos sin x g x a x x x =+-'，1 当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，因为cos 0,sin 0,0x x x a <<…，所以()()e 2cos sin 0xg x a x x x '=+->，所以()g x 在,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2 .当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为()()()e 3sin cos e 3sin cos 0x x g x a x x x a x x x =+--=-''+>，所以()()e 2cos sin x g x a x x x =+-'在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且2e 022a g πππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭'①当()0120g a =+'…即102a -<…时，()()e 2cos sin 0x g x a x x x '=+-…对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，结合1可知，()g x 在[]0,π上单调递增，因为()00g =，所以()g x 在区间[]0,π上的零点个数为1；②当()0120g a =+<'即12a <-时，00,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()00g x '=，结合1 可知：当[)00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减；当(]0,x x π∈时，()()0,g x g x '>单调递增，所以()()()()000,00,e 10g g x g g a πππ=<==-->，所以存在10x =和()20,x x π∈，使得()()120g x g x ==，即()g x 在区间[]0,π上的零点个数为2.综上：当102a -<…时，()g x 在区间[]0,π上的零点个数为1；。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学(文)试题(含答案解析)
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}13A x N x =∈≤≤，{}2650B x x x =-+<，则A B = （）A ．∅B ．{}1,2,3C ．(]1,3D ．{}2,32．在复平面内，复数212i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设函数()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，则()()24log 5f f -+=（）A ．5B ．6C ．7D ．84．若实数x ､y 满足210104210x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，则z =x +3y 的最小值为（）A ．-9B ．1C ．32D ．25．已知6log 2a =，sin1b =，12c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b<<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．a b c<<6．某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A ．132B ．223C ．152D ．2337．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.88．函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图象如图所示，则（）A ．3πϕ=，73πω=B ．()2y f x =+是奇函数C ．直线4x =-是()f x 的对称轴D ．函数()f x 在[]3,4上单调递减9．在ABC 中，()()221tan 7π2:sin πcos cos 21tan 2Bp B C A B B -⎛⎫-⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭+，:q ABC 为直角三角形，则“p ”是“q ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．2311．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与抛物线28y x =有共同的焦点2F ，双曲线左焦点为1F ，点P 是双曲线右支一点，过1F 向12F PF ∠的角平分线做垂线，垂足为,1N ON =，则双曲线的离心率是（）A ．2BC ．43D112．已知函数()(),f x g x 的定义域均为()R,f x 为偶函数，且()()21f x g x +-=，()()43g x f x --=，下列说法正确的有（）A ．函数()g x 的图象关于1x =对称B ．函数()f x 的图象关于()1,2--对称C ．函数()f x 是以4为周期的周期函数D ．函数()g x 是以6为周期的周期函数二、填空题13．已知()()()1,2,,3,2a b a b a λ==-⊥，则b = __________.14．已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，点A 在抛物线上，点B 在l 上，若ABF △为等边三角形，则ABF △的面积为__________.15．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是空间中任意一点.①若点P 是正方体表面上的点，则满足12AP =的动点轨迹长是π；②若点P 是线段1AD 上的点，则异面直线BP 和1B C 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③若点P 是侧面11BCC B 上的点，P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为2，则P 的轨迹是椭圆；④过点P 的平面α与正方体每条棱所成的角都相等，则平面α截正方体所得截面的最大面积是⑤设1BD 交平面11AC D 于点H ，则123BH HD =.以上说法正确的是__________.（填序号）三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，现给出下列三个条件：①1S ，2S ，4S 成等比数列；②416S =；③()8841S a =+．请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．(1)求n a 的通项公式；(2)若()142n n n b b a n --=，且13b =，设数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证1132n T ≤≤．18．某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄､更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.（1）以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数；（2）一支200人的队伍，男士占其中的38，40岁以下的男士和女士分别为30和70人，请补充完整22⨯列联表，并通过计算判断是否有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.40岁以下40岁以上合计男士30女士70合计200附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥L 0.050.0250.0100.0050.0010k L3.8415.0246.6357.87910.82819．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，120BCD ∠=︒，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，1BF =.（1）求证：BD ⊥平面AED ，AD ⊥平面BDEF ；（2）点P 在线段EF 上运动，求三棱锥C PBD -的体积.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，左、右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆C 上一点，且2AF x ⊥轴，1OM AF ⊥，M 为垂足，O 为坐标原点，且225OM AF =．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆交于,P Q 两点，G 为x 轴正半轴上一点，且22PGF QGF ∠=∠，求点G 的坐标．21．已知函数()()()e 21,R ,sin xf x ax a bg x x x =--∈=-.(1)当[)0,x ∈+∞对，求函数()g x 的最小值；(2)若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 取值集合；(3)求证：对*N n ∀∈，都有11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪⎪⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22．已知在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 1cos 2θρθ=-．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知过点3,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，倾斜角为α的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若M 为线段AB的三等分点，求tan α的值．23．已知函数()21f x x x =-++．(1)求不等式()2f x x >+的解集；(2)若关于x 的不等式()1f x a x x >-+恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．D【分析】本题考查集合的交集，易错点在于集合A 元素是自然数，集合B 的元素是实数．【详解】∵{}{}131,2,3A x N x =∈≤≤=，{}{}265015B x x x x x =-+<=<<，∴{}2,3A B ⋂=．故选：D ．2．A【分析】化简复数，求出z 的共轭复数，即可得到答案.【详解】()()212i i 12i 12i 2i 11i (1i)2i 2i i22z +++-+====-+-则z 的共轭复数为11i2+故选：A.3．D【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.【详解】因23252<<，则22log 53<<，而()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，所以()()2log 5224log 5log (44)2358f f -+=++=+=.故选：D 4．B【分析】做出可行域，由目标函数的几何意义求得最小值.【详解】有不等式组做出可行域，如图所示：由目标函数z =x +3y 的几何意义知，其在10（，）处取得最小值，此z =1+0=1.故选：B.5．A【分析】借助中间值12比较大小即可.【详解】661log 2log 2a =<，1sin1sin 62b π=>=，所以bc a >>.故选：A.6．C【分析】根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解．【详解】解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为3221111152111232322V ⎛⎫=-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：C.7．C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610，故选：C.8．C【分析】根据已知函数图象求得()f x 的解析式，再根据三角函数的奇偶性、对称性、以及单调性，对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】根据()f x 的函数图象可知，()()cos f x A x ωϕ=+的最大值为2，又0A >，故2A =；又()01f =，即2cos 1ϕ=，则1cos 2ϕ=，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3πϕ=；又102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1cos 023πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得1,232k k Z ππωπ+=+∈，故可得2,3k k Z πωπ=+∈；又142T >，则ωπ<，又0ω>，故当0k =时，3πω=；故()2cos 33f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对A ：由上述求解可知，3πϕ=，3πω=，故A 错误；对B ：()22cos 2cos 33f x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2cos 2cos 33x x ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()2f x +是偶函数，故B 错误；对C ：当4x =-时，()()2cos 2f x π=-=-，即当4x =-时，()f x 取得最小值，故4x =-是()f x 的对称轴，故C 正确；对D ：当[]3,4x ∈时，45,3333x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，而2cos y x =-在45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调，故D 错误.故选：C.9．D【分析】利用三角恒等变换公式，把p 中等式化为sin2sin 2B C =，从而()()cos sin 0B C B C +-=，得π2B C +=或0B C -=，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由()()221tan 7π2sin πcos cos 21tan2BB C A B B -⎛⎫-⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭+，得()222221π2s o in cos co c s π22sin os si c s 12n B B B C C B B -⎛⎫⋅=--⋅- ⎪⎝⎭+，即()2222π22s i in cos cos π22cos sin cos s 2n BBB C C BB -⎛⎫⋅=--⋅- ⎪⎝⎭+，即sin2sin 2B C =，即()()()()sin sin B C B C B C B C ++-=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()sin cos cos sin B C B C B C B C +-++-()()()()sin cos cos sin B C B C B C B C =+--+-整理得()()cos sin 0B C B C +-=，则()cos 0B C +=或()sin 0B C -=，因为0πB <<，0πC <<，0πB C <+<，ππB C -<-<，则π2B C +=或0B C -=，即π2A =或B C =，所以由p 不能推出q ；当ABC 为直角三角形时，A 不一定为π2，,B C 也不一定相等，所以由q 不能推出p ，故“p ”是“q ”的既不充分也不必要条件．故选：D ．10．C【分析】首先得到220()4f x x x m '=-≥+恒成立，则解出m 的范围，再根据其在[0,4]内取数，利用几何概型公式得到答案.【详解】22()4f x x x m '=-+ ，3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数22()40f x x x m '∴=-+≥恒成立21640m ∴∆=-≤解得2m ≥或2m ≤-又m 是区间[0,4]内任取的一个数24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率42142P -==故选：C ．11．A【分析】由抛物线的方程得焦点2(2,0)F ，延长1F N 交2PF 的延长线于点M ，由角平分线的性质得1PF PM =且1F N NM =，由中位线的性质得22F M =，根据双曲线的定义求得1a =，由双曲线的离心率公式即可得到答案.【详解】由抛物线28y x =的焦点2(2,0)F ，故2c =，延长1F N 交2PF 的延长线于点MPN 是12F PF ∠的角平分线，1F N PN ⊥于点N ，1PF PM ∴=且1F N NM=点O 是12F F 的中点，//ON PM∴212ON F M = 1ON =22F M ∴=由双曲线的定义得122PF PF a -=,故12222PF PF a F M -===1a ∴=故双曲线的离心率为221c e a ===故选：A.12．C【分析】根据题中所给条件可判断()g x 关于2x =和4x =对称，进而得()g x 的周期性，结合()g x 的周期性和()f x 的奇偶性即可判断()f x 的周期性，结合选项即可逐一求解.【详解】由()()21f x g x +-=得()()21f x g x -++=，又()f x 为偶函数，所以()()=f x f x -，进而可得()()22g x g x -=+；因此可得()g x 的图象关于2x =对称,又()()43g x f x --=可得()()843g x f x ---=，结合()f x 为偶函数，所以()()8g x g x =-，故()g x 的图象关于4x =对称，因此()()()44g x g x g x =-=+，所以()g x 是以4为周期的周期，故D 错误，由于()()()()()()223231322f x g x g x f x f x f x -=+-=--=--⇒=---，所以()()22f x f x -+-=-且()()()()224224f x f x f x f x =---=-----=-⎡⎤⎣⎦，因此()f x 的图象关于()1,1--对称，函数()f x 是以4为周期的周期函数，故C 正确，B 错误，根据()f x 是以4为周期的周期函数，由()()21f x g x +-=，()()43g x f x --=得()()24g x g x +-=，所以数()g x 的图象关于()1,2对称，故A 错误，故选：C 13．5【分析】根据()()()1,2,,3,2a b a b a λ==-⊥求出λ的值，然后再求b 【详解】()()()221,2,32,1a b λλ-=-=- 又()2a b a -⊥，220,4λλ∴-+=∴=()4,3,5b b ∴===故答案为：514【分析】先根据ABF △为等边三角形得到AF AB =，再设(A a ，表示出B 点坐标，再根据BF AB =,列出关于a 的方程，解出a ，解出三角形边长，利用面积公式即可得到答案.【详解】 ABF △为等边三角形AF AB∴=由题意得1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭设(A a ，则12B ⎛- ⎝12BF AB a ∴==+解得32a =2AB ∴=∴ABF △是边长为2的等边三角形，122sin 602ABF S ︒∴=⨯⨯⨯=15．【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin22ABC S ac B ∆==⨯=【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16．④【分析】满足12AP =的动点P 的轨迹是以A 为圆心，以12为半径的3个14圆弧,求出动点轨迹长即可判断①，证明1B C ⊥面11ABC D ，可得1B C BP ⊥，判断②，若P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为2，则点P 在线段1CC 上可判断③作出平面α截正方体的正六边形求出其面积可判断④，利用111111D A DC D D A C V V --=，求出1D H ，再利用11BH BD D H =-在求出BH .【详解】对于①，满足12AP =的动点P 的轨迹是以A 为圆心，以12为半径的3个14圆弧，因此动点轨迹为11332424ππ⨯⨯⨯=.故①正确；对于②，连接1BC ，则11B C BC ⊥,AB ⊥Q 面11BCC B ,1B C ⊂面11BCC B 1AB B C∴⊥1AB BC B =Q I ，1,AB BC ⊂面11ABC D 1B C ∴⊥面11ABC D 点P 是线段1AD 上的点，BP ∴⊂面11ABC D 可得1B C BP⊥故直线BP 和1B C 所成角恒为2π.故②不正确对于③，过点P 作PM BC ⊥于点M ，则P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为，当点P 在线段1CC 上时，112PM PC PC PC +>+=此时不满足P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为2，所以P 的轨迹为线段1CC ，故③不正确.对于④，过点P 的平面α与正方体每条棱所成的角都相等，只需过同一顶点的三条棱所成的角相等即可.111A P A R AQ ==,则平面PQR 与正方体过点1A 的三条棱所成的角相等，若点,,,,,E F G H M N 分别为相应棱的中点，则平面//EFGHMN 面PQR ，且六边形EFGHMN 为正六边形，边长，故六边形的面积为264⨯=,故④正确.对于⑤1111111111111222323D A DC D D A C A DC V V SD H H --==⨯⨯⨯==13D H ∴=1BD =1133BH BD D H ∴=-=12BH HD ∴=故⑤错误故答案为：④.17．(1)21n a n =-(2)证明见详解【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式将已知条件转化为关于1a 和d 的关系式，求出1a 和d 的值即可得到n a 的通项公式；（2）由（1）知184n n b b n --=-，利用累加法求出n b 的通项，再由裂项求和即可证明12n T <，再根据1n T T ≥即可证明1132n T ≤≤．【详解】（1）解：由条件①得，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，则2214S S S =，即()()2111246a d a a d +=+，又0d ≠，则12d a =，由条件②得414616S a d =+=，即1238a d +=，由条件③得()8841S a =+，可得()11828471a d a d +=++，即11a =．若选①②，则有112238d a a d =⎧⎨+=⎩，可得112a d =⎧⎨=⎩，则()1121n a a n d n =+-=-；若选①③，则122d a ==，则()1121n a a n d n =+-=-；若选②③，则123238a d d +=+=，可得2d =，所以()1121n a a n d n =+-=-．（2）证明：由()14842n n n b b a n n --==-，且13b =，所以当2n时，则有()()()()()()21213218412131220843412n n n n n b b b b b b b b n n --+-=+-+-++-=++++-=+=- ，又13b =也满足241n b n =-，故对任意的*n ∈N ，有241n b n =-，则()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦L ，由于21n n T n =+单调递增，所以113n T T ≥=，综上：1132n T ≤<．18．（1）37；（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.【分析】（1）根据频率分布直方图及平均数的定义直接计算即可；（2）列出22⨯列联表，计算2K 与临界值比较即可得出结论.【详解】（1）这60人年龄的平均数为150.15250.2350.3450.15550.1650.05750.0537⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题意队伍中男士共75人，女士125人，则22⨯列联表如下：40岁以下40岁以上合计男士304575女士7055125合计10010010020022200(30557045) 4.810010075125K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯=4.8 3.8> 所以，有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.19．（1）证明见解析；（2）12.【分析】（1）根据已知条件转化垂直关系，利用线面垂直的判断定理，即可证明；（2）根据C PBD P BCD V V --=计算棱锥的体积即可.【详解】（1）证明，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，120BCD ∠=︒，30CDB CBD ∴∠=∠=︒，120ADC DCB ∠=∠=︒，90ADB ∴∠=︒，AD BD ∴⊥.又四边形BDEF 是矩形，DE DB∴⊥又AD DE D ⋂=Q ，BD ∴⊥平面ADE平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ⋂平面ABCD BD =，DE ⊂平面BFED ，，又ED BD ⊥ ，ED ∴⊥平面ABCD ，ED AD ∴⊥ED BD D = ，AD ∴⊥平面BDEF .（2）//,EF DB EF ⊄ 平面ABCD ,DB ⊂平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，∴P 到平面ABCD 的距离等于1BF =,41sin 111222BCD BC S B C D C D ∠=⨯⨯⋅⨯=⋅=△113412C PBD P BCD V V --∴==⨯⨯=.20．(1)22143x y +=(2)()4,0G 【分析】（1）利用△1F MO ∽△12F F A 构造齐次方程，求出离心率，再利用焦距即可求出椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理求出12y y +和12y y ，利用几何关系可知0GP GQ k k +=，即可得1201221my y x y y =++，将韦达定理代入化简即可求得点G 的坐标.【详解】（1）∵椭圆的焦距为2，∴22c =，即1c =，2AF x ⊥ 轴，∴22b AF a =，则22212222b a b AF a AF a a a-=-=-=,由212AF F F ⊥，1OM AF ⊥，则△1F MO ∽△12F F A ，∴121OM OF AF AF =，即22225ac a b =-，整理得22522ac a c =+，即22520e e -+=，解得12e =或2e =（舍去）∴2a =，∴2223b a c =-=，则椭圆C 的标准方程为22143x y +=，（2）设直线l 的方程为1x my =+，且()()()11220,,,0P x y Q x y G x ，，，将直线方程与椭圆方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩联立得()2234690m y my ++-=，()()()22236493414410m m m ∆=-⨯-⨯+=+>，则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，∵22PGF QGF ∠=∠，∴0GP GQ k k +=，∴()()()()1202101210201020GP GQ y x x y x x y y k k x x x x x x x x -+-+=+=----0=,∴121021200y x y x y x y x -+-=，∴()()122112210121211y my y my y x y x x y y y y ++++==++121221my y y y =++229218341146634m m m m m m -⨯-+=+=+=--+，即()4,0G .21．(1)0(2)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)证明见解析【分析】（1）求导，得到函数单调性，从而求出最小值；（2）先根据()00f =，()00f '=得到12a =，再证明出充分性成立，而12a >与12a <均不合要求，从而得到答案；（3）由第一问结论得到11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，只需证明111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（2）可知，()e 10xf x x =--≥，得到()11e 1,2,3,,1en kn k k n n ++⎛⎫<=⋯ ⎪+⎝⎭，结合等比数列求和公式证明出1111111231e 1111e 1e 1n n n n n n n n n n ++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【详解】（1）()()1cos 0,g x x g x =≥'-在[)0,x ∈+∞上单调递增，所以()min ()00g x g ==.（2）()e 2xf x a '=-，由于()00f =，故()010e 21202f a a a '=-=-=⇒=，下证当12a =时，()e 10xf x x =--≥恒成立，此时令()e 10xf x '=->，解得：0x >，令()e 10xf x '=-<，解得：0x <，故()e 1xf x x =--在0x >上单调递增，在0x <上单调递减，故()e 1xf x x =--在0x =处取得极小值，也是最小值，且()()0min 0=e 010f f x =--=，故()0f x ≥对x ∈R 恒成立；当12a >时，()1e 21e x x f x ax x =-<---，则()0010e 0f -<-=，显然不合要求，舍去当12a <时，令()e 20xf x a '=->，解得：ln 2x a >，令()e 20xf x a '=-<，解得：ln 2x a <，其中ln 20a <，则()e 21xf x ax =--在ln 2x a <上单调递减，在ln 2x a >上单调递增，又()00f =，故当()ln 2,0x a ∈时，()0f x <，不合题意，舍去；综上：实数a 取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.（3）由（1）可知，11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，*N ,N k n *∈∈，所以1111123sin sin sin sin 1111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111231111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故只需证明：111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即可由（2）可知，()e 10x f x x =--≥，则1e x x +≤，()11(1)e n x n x ++∴+≤，令()11,2,3,,1k x k n n +==+ ，则()11e 1,2,3,,1e n k n k k n n ++⎛⎫<=⋯ ⎪+⎝⎭，()11112311231e e e e 1111e n n n n n n n n n n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()11111e 1e 1e e 1e e 1ee e 1e 1e 1n n n n n +++---=⋅==<----，11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.22．(1)22y x=(2)tan 2α=或2tan 3α=【分析】（1）利用二倍角公式化简已知式，两边同乘以ρ，结合极坐标与直角坐标的互化公式即可；（2）写出直线的参数方程，代入曲线C 的方程，得到关于参数t 的一元二次方程，由已知结合韦达定理以及参数t 的几何意义，可得关于tan α的方程，求解得答案.【详解】（1）由4cos 1cos 2θρθ=-，得2sin 2cos ρθθ=，所以22sin 2cos ρθρθ=所以曲线C 的直角坐标方程为22y x =．（2）设直线l 的参数方程为3,21x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数，t ∈R ），代入22y x =，得()()22sin 2cos sin 20t t ααα---=，0∆>恒成立，所以()22cos sin sin A B t t ααα-+=，22sin A B t t α-=．由M 为线段AB 的三等分点，且0A B t t <，故2A B t t =-．将2A B t t =-代入前式，得()24cos sin sin A t ααα-=，()22cos sin sin B t ααα--=，所以()2428cos sin 2sin sin αααα---=，224(cos sin )sin ααα-=，则23tan 8tan 40αα-+=解得：tan 2α=或2tan 3α=．23．(1){}13x x x 或(2)(),3-∞【分析】(1)首先分类讨论去绝对值，再求解不等式；（2）首先讨论0x =时，a 的范围，当0x ≠时，不等式化简为2212a x x-++>，利用含绝对值三角不等式求最值，即可求得a 的取值范围.【详解】（1）()21,1,3,12,21,2,x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩不等式()2f x x >+等价于1,212x x x <-⎧⎨-+>+⎩或12,32x x -≤<⎧⎨>+⎩或2,212,x x x ≥⎧⎨->+⎩解得1x <或3x >．故原不等式的解集为{}13x x x 或．（2）当0x =时，不等式()1f x a x x >-+恒成立，即a R ∈．当0x ≠时，()1f x a x x >-+可化为2212a x x -++>，因为222212123x x x x -++≥-++=，当且仅当22120x x ⎛⎫⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时等号成立所以3a <，即a 的取值范围为(),3-∞．。
2021年高三12月阶段测试数学试题(理)
2021年高三12月阶段测试数学试题（理）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如果需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上.3.考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在四边形ABCD 中， ，且｜｜=｜｜，那么四边形ABCD 为 A.平行四边形B.菱形C.长方形D.正方形2.154π,)4a a a a a a ++=+=n 96在等差数列{}中,若则tan( A.B.C.1D.-13.1,{21},{()1},2xU R A x x B y y A B ==-≤==+ U已知则()=A.[3,+∞）B.（3，+∞）C.[1，3]D.（1，3）4.设f(x)=cos 22x ，则f ′（）= A.2B.C.-1D.-25.1:1,:1,p x q p q x≤<⌝已知条件条件则是成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件6.a,b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是 A. B. C. D.(,1),(2,),(4,5),,A a B b C O OA OB OC a b 7.设为坐标平面内三点,为坐标原点若与在方向上的投影相同,则满足的关系式为A.4a-5b =3B.5a-4b =3C.4a+5b =14D.5a+4b =148.已知函数y=A sin(x+)+b 的一部分图象如图所示，如图A ＞0，＞0，｜｜＜，则A.A =4B.b=4C.=1D.=9.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ≠1，若S 5=3a 4+1，S 4=2a 3+1，则q 等于A.2B.-2C.3D.-110.111,1,ln ,,ln 44x y x y xy >>已知且成等比数列,则 A.有最大值eB.有最大值C.有最小值eD.有最小值11.已知对数函数f(x )=log a x 是增函数，则函数y=f （｜x ｜+1)的图象大致是12.设a ∈R ，函数f(x)=e x+a ·e -x的导函数是f ′（ x ），且 f ′（ x ）是奇函数，若曲线y=f （x )的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为A.B.-ln2C.D.ln2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．设向量与的模分别为6和5，夹角为120°，则｜｜等于 .14．已知命题p ：“ ”，命题q ：“”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数的取值范围是 .15．设x ，y 满足约束条件，若目标函数（a ＞0,b ＞0）的最大值为10，则5a+4b 的最小值为 .16．定义：F （x ，y ）=y x (x ＞0,y ＞0)，已知数列{a n }满足：a n =(n ∈N *)，若对任意正整数n ，都有a n ≥a k (k ∈N *)成立，则a k 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数f(x)=（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）若函数f(x)的图像向右平移m(m＞0)个单位后，得到的图像关于原点对称，求实数m的最小值.18．（本小题满分12分）数列{a n}中a1=3,已知点（a n，a n+1）在直线y=x+2上，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n·3n，求数列{b n}的前项和T n.19．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c.设向量（Ⅰ）若∥，求角C；（Ⅱ）20．（本小题满分12分）已知数列{a n}和{b n}满足（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数一定不是等差数列；（Ⅱ）当时，试判断{b n}是否为等比数列．21．（本小题满分12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R上的奇函数；（Ⅰ）若f(1)＞0，试求不等式f(x2+2x)+f(x-4) ＞0的解集；（Ⅱ）若f(1)=,且g(x)=a2x+a-2x-4f(x)，求g(x)在［1，+∞］上的最小值.22．（本小题满分14分）（x＞0，a∈R）.（Ⅰ）试求的单调区间；高三数学试题（理科）参考答案及评分标准三、解答题：17.解：（Ⅰ）3ππcos21 ()2(cos2cos sin2sin)2332xf x x x x+ =---…………………………………………………………………………2分∴f(x)的最小正周期T =仔 (4)分(k∈Z).ππππ(),()63k x k k Z f x -≤≤+∈即时函数单调递增,(k∈Z).……………………………………………………7分（Ⅱ）函数f(x)的图像向右平移m(m ＞0)个单位后得，………………………………………………………10分π(),π6g x m k =要使的图像关于原点对称只需-2-，………………………………11分ππ,π.212k m m =-5即所以的最小值为12…………………………………………… 12分18.解：（Ⅰ）………………………………………………………………2分{}3n a ∴数列是以为首项,以2为公差的等差数列,………………………………………3分………………………………………………………………… 5分 （Ⅱ）331335373(21)3(21)3n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ①………………６分231133353(21)33(21)3n n n n T n n -+∴=⨯+⨯++-⋅++⋅ ② (7)分由①-②得2312332(333)(21)3n n n T n +-=⨯++++-+⋅ (9)分………………………………………………………………………………11分 …………………………………………………………………………… 12分19.解：（Ⅰ）由∥sin sin cos cos 0cos()0,n A B A B A B ⇒-=⇒+=0180,90,180()90.A B A B C A B <+<︒+=︒=︒-+=︒因为所以 (4)分（Ⅱ）sin cos sin cos 0sin 2sin 20,m n A A B B A B ⊥⇒+=⇒+=由115,sin 2sin300,sin 2,2B A A =︒+︒==-已知所以023602330,2210,105.A B A A <<︒-=︒=︒=︒因为所以……………………………………………………………8分60.sin sin sin105sin 60sin105a c c c A C ︒=⇒=⇒=︒︒︒根据正弦定理sin105sin(4560)4+︒=︒+︒=因为…………………………………………11分……………………………………………………12分20.解（Ⅰ）当m=1时，212311122,,()a a a λλλλλ==+=++=++…………2分假设是等差数列，由得……………………3分即＜0，方程无实根.……………………………………………5分故对于任意的实数一定不是等差数列……………………………………………… 6分 （Ⅱ）当时，…………………………………7分112(1)412(1)412()39239239n n n n n n n b a a n a ++++=-+=-+-+=-+-……………………………………………………………………9分又∴当时，是以为首项，为公比的等比数列…………………………11分当时，不是等比数列………………………………………………………………12分 21.解：∵f（x ）是定义域为R 上的奇函数，∴f （0）=0，∴k -1=0，∴k=1……………………………………………………………………1分（Ⅰ）∵f(1)＞0，∴＞0，又＞0且，∴＞1，f （x ）=……………………………………………………………………2分 ∵f ′（x ）=＞0 ∴f （x ）在R 上为增函数…………………………………………………………………………3分原不等式变为：＞………………………………………………………6分 ∴＞即＞0∴＞1或＜-4，∴不等式的解集为{x|x ＞1或x ＜-4}………………………………………6分（Ⅱ）∵即2a 2-3a-2=0，∴a =2或a =-（舍去）22-2-()224(22)=(22)4(22)2x x x x x x x x g x --∴=+-----+……………………………8分 令(x≥1)则t=h(x)在[1，+∞）为增函数（由（Ⅰ）可知），即h(x)≥h(1)=…………………………10分 ∴∴当t=2时，此时…………………………………………12分22.解：（Ⅰ）f ′（x）=…………………………………………1分当a≤0时，f ′（x）＞0，在（0，+∞）上单调递增； (2)分当a＞0时，x∈（0，a）时，f ′（x）＜0，在（0，a）上单调递减；x∈（a，+∞）时，f ′（x）＞0，在（a，+∞）上单调递增. (3)分综上所述，当a≤0时，f （x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f （x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）. ………… 4分（Ⅱ）充分性：a =1时，由（Ⅰ）知，在x=1处有极小值也是最小值，即f min（x）=f（1）=0.而在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，在（0，+∞）上有唯一的一个零点x=1. (6)分必要性：f （x）=0在（0，+∞）上有唯一解，且a＞0，由（Ⅰ）知，在x=a处有极小值也是最小值f （a），而f （a）=lna-a+1.以a为自变量，记函数g（a）=lna-a+1，则g ′（a）=当0＜a＜1时，g ′（a）＞0，在（0，1）上单调递增；当a＞1时，g ′（a）＜0，在（1，+∞）上单调递减，g max（a）=g（1）=0，g（a）=0只有唯一解a=1.f （x）=0在（0，+∞）上有唯一解时必有a=1. (9)分综上，在a＞0时，f （x）=0在（0，+∞）上有唯一解的充要条件是a=1. (10)分（Ⅲ）证明：11112,(1)ln2(1)0.ln12x x x xx x<<∴-<⇔+-->-F′……………12分由（Ⅰ）知，1 1()()(1)0,ln10 a f x f x f xx =∴>=∴+->当时,在(1,2)单调递增,36969 9069 適[940457 9E09 鸉35183 896F 襯tk32058 7D3A 紺• 39648 9AE0 髠23659 5C6B 屫31611 7B7B 筻29379 72C3 狃30187 75EB 痫。
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高三数学阶段性教学质量检测数学（文）试题 2016.12本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{1,2},2,3M N ==，则集合MN 真子集的个数是A. 7B. 8C. 15D. 16 2.已知1a =，2b =，且()a a b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角为A. 6πB. 4πC. 34π D. 4π 或34π3．已知倾斜角为α的直线l 与直线240x y +-=垂直，则2017cos(2)2πα-的值为 A ．2B 12-C ．45D ．45- 4．下列说法正确的是A.命题“若a b ≥，则22a b ≥”的逆否命题为“若22a b ≤，则a b ≤”B.命题“2,10x R x x ∀∈++>”的否定为“2000,10x R x x ∃∈++≤”C.若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D.“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件5. 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日.”由此推断，该女子到第十一日时，大约已经完成三十日织布总量的 A ．49% B ．53% C ．61% D ．88%6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的 直径为4，该几何体的体积为1V ，直径为4的球的体积 为2V ，则12:V V =A.2:1B.1:1C. 1:4D. 1:2.7.已知函数2ln ||(),x f x x x=-则函数()y f x =的大致图象为8．已知变量x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为A ．5B ．4C ．3D ．29．如图所示，正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB′、DD′交于M ，N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长L=f （x ），x ∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥C′﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数； 以上命题中假命题的序号为 A.①④B ．②C ．③D ．③④10．设函数f （x ）在R 上存在导数f ′（x ），对任意的x ∈R 有f （﹣x ）+f （x ）=x 2，x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＞x ．若f （2﹣a ）﹣f （a ）≥2﹣2a ，则实数a 的取值范围为 A ．[1，+∞） B ．（﹣∞，1]C ．（﹣∞，2]D ．[2，+∞）第Ⅱ卷（共100分）二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题纸的相应位置上 11.已知0,0,lg 2lg8lg 2,xyx y >>+=则113x y+的最小值为_______. 12.如图，已知ABC ∆中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n += .13.已知ΔABC 满足,)cos(21sin sin 4322B A B A C AC BC +===⋅，，若角π则AB = . 14.已知圆C :22430x y x +++=，若直线1y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为 ．15.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，则(9)9g =；10的因数有1,2,5,10，(10)5g =；那么2016(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知非零向量(cos ,cos )a αα=，向量(sin ,cos 2sin )b θθθ=-，向量(1,2)c =. (I)若//a b ，求tan α的值；(II)若b c =，0θπ<<，求θ的值.17.（本小题满分12分）设函数()sin()ωϕf x A x =+（,,ωϕA 为常数， 且0,0,0ωϕπA >><<）的部分图象如图所示.（I ）求,,ωϕA 的值； （II ）设θ为锐角，且()f θ=，求()6f πθ-的值.18.（本小题满分12分） 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证：（I ）直线1A E ∥平面1ADC ； （II ）直线EF ⊥平面1ADC ．19.（本小题满分12分）AB CDEA 1BC 1 FAB C x 已知数列{}n a 是非常值数列，且满足n n n a a a -=++122(*N n ∈)，其前n 项和为ns，若570s=，2722,,a a a 成等比数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT ≤<.20.（本小题满分13分）为美化环境，某市计划在以A 、B 两地为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂（如图所示）。
已知A 、B 两地的距离为10km ，垃圾场对某地的影响度与其到该地的距离有关，对A 、B 两地的总影响度为对A 地的影响度和对B 地影响度的和。
记C 点到A 地的距离为x km ，垃圾处理厂对A 、B 两地的总影响度为y 。
统计调查表明：垃圾处理厂对A 地的影响度与其到A 地距离的的平方成反比，比例系数为32； 对B 地的影响度与其到B 地的距离的平方成反比，比例系数为k 。
当垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对A 、B 两地的总影响度 为0.15.（Ⅰ）将y 表示成x 的函数；（Ⅱ）判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对A 、B 两地的总影响度最小？若存在，求出该点到A 地的距离；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分） 已知函数()ln 1,af x x a R x=+-∈. （I ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直，求函数的极值； （II ）设函数1()g x x x=+.当1a =-时，若区间[1,]e 上存在0x ，使得00()[()1]g x m f x <+，求实数 m 的取值范围.（e 为自然对数底数）高三数学（文）试题参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1—5 A C C B B 6—10 D A D C B 二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11. 4 12. 12-3(,]4-∞ 15.2016413-三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分） 解：（I ）//a b ，sin cos cos (cos 2sin )0ααααα∴--=，∴23sin cos cos ααα-=0， ……3分cos 0α≠， 3sin cos 0αα∴-= ，所以1tan 3α=. ……5分 (II)由b c =可知，22sin (cos 2sin )5θθθ∴+-=， ……6分212sin 24sin 5θθ∴-+=，22sin 24sin 4.θθ∴-+=sin 2cos 2 1.θθ∴+=-sin(2)4πθ∴+=………9分 又0θπ<<，知92444πππθ<+<， 5244ππθ∴+=或7244ππθ+=. ………11分 因此2πθ=或34πθ=. ………12分17.（本小题满分12分） 解：（I）由图象，得A =最小正周期473126πππT ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 22Tπω∴==， …4分())ϕf x x ∴=+，由712f π⎛⎫=⎪⎝⎭722122ππϕπk ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈，523πϕπk ∴=-+，k Z ∈，0ϕπ<<，3πϕ∴=. ……6分 （II ）由3()3sin(2)335f πθθ=+=-，得3sin(2)35πθ+=-，(0,)2πθ∈，42,333πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又sin(2)03πθ+<，所以42,33ππθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 24cos(2)1sin (2)335ππθθ∴+=--+=-，……10分()3sin 23sin (2)633f πππθθθ⎡⎤∴-==+-⎢⎥⎣⎦3sin(2)cos cos(2)sin 3333ππππθθ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦314312333525⎛⎫-=-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭. …12分18．（本小题满分12分）（I ）连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，11B C 的中点， 所以1B E BD ∥且1B E BD =，所以四边形1B BDE 是平行四边形， …2分所以1BB DE ∥且1BB DE =，又11BB AA ∥且11BB AA =， 所以1AA DE ∥且1AA DE =，所以四边形1AA ED 是平行四边形， ……4分所以1A E AD ∥，又因为11A E ADC ⊄平面，1AD ADC ⊂平面， 所以直线1A E ∥平面1ADC ． ……6分（II ）在正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ， 又AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，又ABC △是正三角形，且D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥， ………8分 又1,BB BC ⊂平面11B BCC ，1BB BC B =，所以AD ⊥平面11B BCC ，又EF ⊂平面11B BCC ，所以AD EF ⊥， ……10分 又1EF C D ⊥，1,C D AD ⊂平面1ADC ，1C DAD D =，所以直线EF ⊥平面1ADC ． …………12分 19.（本小题满分12分） 解：（I ）数列{}n a 是等差数列且570s =，∴151070a d +=. ① ……1分2722,,a a a 成等比数列，∴27222a a a =即2111(6)()(21).a d a d a d +=++②………3分由①，②解得16,4a d ==或114,0a d ==（舍去）,………4分∴42n a n =+ …5分（II ）证明：由（I ）可得224n s n n =+， 所以211111()2442ns n n n n ==-++. ……6分所以123111111n n nT s s s s s -=+++++111111*********()()()()()41342443541142n n n n =-+-+-++-+--++ 3111()8412n n =-+++. …8分 3111()08412n T n n -=-+<++，∴38n T <. …10分 1111()0413n n T T n n +-=->++，∴数列{}n T 是递增数列，∴116n T T ≥=11分 ∴1368n T ≤<. …12分20.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知AC⊥BC,22100BC x =-,223(010)2100ky x x x =+<<-，……3分 其中当x =时，y=0.15,所以k =6， ……4分所以y 表示成x 的函数为2236(010)2100y x x x =+<<-. ……5分 （II ）存在. 由（I ）知22362100y x x =+-， 所以42232232236(2)123(100)'(100)(100)xx x y x x x x ⨯---=--=--, ……7分 令'0y =得422123(100)x x =-,所以21003x =,即3x =（负值舍去）,……9分当03x <<时, 422123(100)x x <-,即'0y <，所以函数为单调减函数,……10分 10x <<时, 422123(100)x x >-,即'0y >，所以函数为单调增函数. …11分因此当1033x =时, 函数2236(010)2100y x x x =+<<-有最小值. ……12分 即当C 点到A 地的距离为1033km 时,垃圾处理厂对两地的总影响度最小. ……13分 21.（本小题满分14分） 解：（I ）221()(0)a x af x x x x x-'=-=>， ……1分 因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直，所以(1)1f '=-， 即11a -=-，解得2a =.所以22()x f x x-'=， …3分 ∴当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 在(0,2)上单调递减；……4分当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(2,)+∞上单调递增；……5分∴当2x =时，()f x 取得极小值2(2)ln 21ln 22f =+-=. ∴()f x 极小值为ln 2. ……6分（II ）令欲使在区间上[1,]e 上存在0x ，使得00()(),g x mf x <只需在区间[1,]e 上()h x 的最小值小于零. ………7分,令()0h x '=得，1,x m =+或1x =-.当1,m e +≥即1m e ≥-时，()h x 在[1,]e 上单调递减，则()h x 的最小值为()h e ，1()0,mh e e m e +∴=+-<解得211e m e +>-.2111e e e +>--,211e m e +∴>-; ………9分 当11,m +≤即0m ≤时，()h x 在[1,]e 上单调递增，则()h x 的最小值为(1)h ，(1)110h m ∴=++<，解得2,m <-2m ∴<-; ………11分当11,m e <+<即01m e <<-时，()h x 在[1,1]m +上单调递减，在(1,]m e +上单调递增，则()h x 11()[()1]ln ,m h x x m f x x m x x x x=+-+=+-+2221[(1)](1)()1m m x m x h x x x x x -++'=---=的最小值为(1)h m +，0ln(1)1,m <+<0ln(1),m m m ∴<+<(1)2ln(1)2,h m m m m ∴+=+-+>此时(1)0h m +<不成立.……13分 综上所述，实数m 的取值范围为21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-. ……14分。