压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量

三角函数与平面向量 结 束
解：(1)由题意得2ωπ·π＝2π2，所以ω＝1． 又A＝2g174π＝2tan174π＝2tanπ4＝2， 所以f(x)＝2sinx＋π4． 由2kπ－π2≤x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)， 得2kπ－34π≤x≤2kπ＋π4(k∈Z)． 故f(x)的单调递增区间为2kπ－34π，2kπ＋π4(k∈Z)．
B－sin sin A
C＝ccooss
CA，
即 2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，
所以 cos A＝12，所以 A＝60°．
三角函数与平面向量 结 束Leabharlann Baidu
(2)由正弦定理，得sina A＝sinb B＝sinc C＝2，
则 b＝2sin B，c＝2sin C，所以 b2＋c2＝4sin2B＋4sin2C
三角函数与平面向量 结 束
[解] (1)f(x)＝2sin2π4＋x－ 3cos 2x＝1－cosπ2＋2x－ 3 cos 2x＝1＋sin 2x－ 3cos 2x＝1＋2sin2x－π3， 因为 x∈π4，π2，所以π6≤2x－π3≤23π，故 2≤1＋2sin2x－π3≤3， 所(以2)因f(x为)m－ax＝2＜f51fπ2(x＝)－3m，＜f(x2)⇔minf＝(x)f－π42＝＜2m．＜f(x)＋2，x∈π4，π2，
三角函数与平面向量 结 束
(2)h(x)＝32f2(x)＋2 3cos2x ＝32×4sin2x＋π4＋2 3cos2x＝31－cosπ2＋2x＋ 3(cos 2x＋1) ＝3＋ 3＋3sin 2x＋ 3cos 2x＝3＋ 3＋2 3sin2x＋π6． 因为 h(x)的最小值为 3， 令 3＋ 3＋2 3sin2x＋π6＝3⇒sin2x＋π6＝－12． 因为 x∈a，π3，所以 2x＋π6∈2a＋π6，56π， 所以 2a＋π6＝－π6，即 a＝－π6．
即 b2＋c2 的取值范围是(3,6]．
三角函数与平面向量 结 束
[方法点拨] 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、 余弦定理先确定三角形的边、角，再代入到三角函数中， 三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．
三角函数与平面向量 结 束
[对点演练] 已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x－76π． (1)求函数 f(x)的最大值，并写出 f(x)取最大值时 x 的取值集合； (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 f(A) ＝32，b＋c＝2，求实数 a 的最小值．
三角函数与平面向量 结 束
解：(1)∵f(x)＝2cos2x－sin2x－76π＝(1＋cos 2x)－

sin

2xcos76π－cos
2xsin
76π＝1＋
3 2 sin
2x＋12cos
2x
＝1＋sin2x＋π6．∴函数 f(x)的最大值为 2． 要使 f(x)取最大值，则 sin2x＋π6＝1， ∴2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，解得 x＝kπ＋π6，k∈Z．
所以 m＞f(x)max－2 且 m＜f(x)min＋2． 又 x∈π4，π2时，f(x)max＝3，f(x)min＝2，所以 1＜m＜4， 即 m 的取值范围是(1,4)．
三角函数与平面向量 结 束
[方法点拨] 本题求解的关键在于将三角函数 f(x)进行正确的“化一”及 “化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式， 并借助三角函数的图象和性质去确定函数 f(x)的最值．
三角函数与平面向量 结 束
三角函数和解三角形
[典例] 已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 的
对边，且2ba－c＝ccooss CA．
(1)求 A 的大小；
(2)当 a＝ 3时，求 b2＋c2 的取值范围．
[解] (1)已知在△ABC 中，2ba－c＝ccooss CA，
由正弦定理，得2sin
a2＝b2＋c2－2bccosπ3＝(b＋c)2－3bc． 由 b＋c＝2，知 bc≤b＋2 c2＝1， 当且仅当 b＝c＝1 时等号成立．即 a2≥1． ∴当 b＝c＝1 时，实数 a 的最小值为 1．
三角函数与平面向量 结 束
[对点演练] 已知函数 f(x)＝Asinωx＋π4(A＞0，ω＞0)，g(x)＝tan x，它们 的最小正周期之积为 2π2，f(x)的最大值为 2g174π． (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)设 h(x)＝32f2(x)＋2 3cos2x，当 x∈a，π3时，h(x)的最小值 为 3，求 a 的值．
故 f(x)取最大值时 x 的取值集合为xx＝kπ＋π6，k∈Z
．

三角函数与平面向量 结 束
(2)由题意知，f(A)＝sin2A＋π6＋1＝32，化简得 sin2A＋π6＝12． ∵A∈(0，π)，∴2A＋π6∈π6，136π， ∴2A＋π6＝56π，∴A＝π3． 在△ABC 中，根据余弦定理，得
压轴题命题区间(三)
三角函数与平面向量 结 束
三角函数与平面向量
三角函数的图象与性质
[典例] 已知函数f(x)＝2sin2 π4＋x － 3 cos 2x，x∈ π4，π2．
(1)求f(x)的最大值和最小值； (2)若不等式－2＜f(x)－m＜2在x∈π4，π2上恒成立，求实 数m的取值范围．
＝2(1－cos 2B＋1－cos 2C)
＝2[2－cos 2B－cos 2(120°－B)]＝2[2－cos 2B－cos(240°－2B)]
＝22－12cos
2B＋
3 2 sin
2B＝4＋2sin(2B－30°)．
因为 0°＜B＜120°，所以－30°＜2B－30°＜210°，
所以－12＜sin(2B－30°)≤1，所以 3＜b2＋c2≤6．