2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十二)文科数学
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（六）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|02A xx⎧⎫=>⎨-⎩⎭∈⎬N，则集合UA的子集的个数为（）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】D【解析】分析】通过解不等式12x>-，得到集合A，进而得出{0,1,2}UA=.因为集合中有3个元素，故其子集个数为32个.【详解】由102x >-得2x >，则{}|2A x x =∈>N {}{}20,1,2U A x x ∴=∈≤=N ，则UA 的子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查了补集的运算，集合子集个数的结论，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，若412a ii+-∈R ，则实数a 的值是（ ） A. 2- B. –1C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出复数.因为该复数是实数，所以令其虚部为零，求出a 的值. 【详解】4(4)(12)82412(12)(12)55a i a i i a a i i i i +++-+==+--+，且412a ii+-∈R ， 240a ∴+=，即2a =-.故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的分类知识，属于基础题.3.用计算机生成随机数表模拟预测未来三天降雨情况，规定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨，根据随机生成的10组三位数：654 439 565 918 288 674 374 968 224 337，则预计未来三天仅有一天降雨的概率为（ ） A.12B.13C.49D.25【答案】D 【解析】 【分析】从所给的随机三位数中找出有且仅有一个13之间的数字的三位数，即表示未来三天仅有一天降雨.据古典概型的计算公式，即可得出结果.【详解】题中规定：1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨， 在10组三位随机数：654 439 565 918 288 674 374 968 224 337中， 439 918 288 374这4组随机数仅含有一个13的数，即表示未来三天仅有一天降雨，根据古典概型的概率计算公式可知，其概率42105p ==. 故选：D.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.4.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若342332,32S a S a =-=-，则首项1a =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】将已知两式相减，可得出434a a =，则该等比数列的公比为4q =，再将用1a 和q 来表示2332S a =-，即可解得1a 的值.【详解】由34233232S a S a =-⎧⎨=-⎩得3433a a a =-，即434a a =，则该等比数列的公比为4q =，2332S a =-21113()2a a q a q ∴+=-，即1115162a a =-，12a ∴=.故选：B.【点睛】本题考查了利用等比数列的通项公式求基本量，其中两式相减求得公比，是本题的关键.属于基础题.5.已知0,,cos22sin 212πααα⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A.12B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式将已知三角函数式化简，结合(0,)2πα∈可得cos 2sin αα=，再利用平方关系，即可求出sin α.【详解】cos22sin 21αα=-，即cos212sin 2αα+=，∴由二倍角公式可得22cos 4sin cos ααα=，(0,)2πα∈，cos 0α∴>，则cos 2sin αα=又22sin cos 1αα+=，且sin 0α>5sin α∴=. 故选：C.【点睛】本题考查了利用二倍角公式进行三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，属于基础题.6.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是（ ）（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A. 16B. 17C. 24D. 25【答案】B 【解析】 【分析】由题知，每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的43倍，故折线长度构成一个以43为公比的等比数列，写出其通项公式4()3nn a a =⋅，则要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，只需求解不等式4()1003n n a a =>，即可得解. 【详解】设初始长度为a ，各次构造后的折线长度构成一个数列{}n a ，由题知143a a =，143n n a a +=，则{}n a 为等比数列，4()3n n a a ∴=⋅，假设构造n 次后，折线的长度大于初始线段的100倍，即4()1003n n a a => ， 43lg100log 100lg 4lg 3n ∴>=-，lg100216lg 4lg 320.30100.4771=≈-⨯-17n ∴≥【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.7.已知α，β为两个不同平面，m ，n 为两条不同直线，则下列说法不正确的是（ ） A. 若m α⊥，n α⊥，则//m n B. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αC. 若m α⊥，m β⊥，则//αβD. 若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥【答案】B 【解析】 【分析】利用线线，线面以及面面的位置关系的判定定理和性质定理，对每个选项进行逐一判断，即可得解. 【详解】对于A ，m α⊥，n α⊥，根据线面垂直的性质可知，垂直于 同一平面的两直线平行，选项A 正确；对于B ， m α⊥，m n ⊥，根据线面垂直的定义以及线面平行 的判定定理可知n ⊂α或//n α，故选项B 错误；对于C ， m α⊥，m β⊥，根据线面垂直的性质定理以及面面平行 的判定定理可得//αβ，故选项C 正确；对于D ，由m α⊥和αβ⊥可知//m β或m β⊂，又n β⊥，则由线面 平行的性质定理和线面垂直的性质定理可知，m n ⊥，故选项D 正确. 故选：B.【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，属于基础题.8.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且点(),n n a S 在直线3210x y --=上，则43S S =（ ） A.157B.4013C.112D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由题得3210n n a S --=，利用1(2)n n n a S S n -=-≥，求出13(2n n a a n -=≥且)n N *∈，11a =，从而判断出数列{}n a 是等比数列.再利用等比数列的求和公式，即可求出比值. 【详解】点(),n n a S 在直线3210x y --=上，3210n n a S ∴--=，当2n ≥时，113210n n a S ----=， 两式相减，得：13(2n n a a n -=≥且)n N *∈，又当1n =时，113210a S --=，则11a =，{}n a ∴是首项为1，公比为3的等比数列，1(13)31132n n n S ⨯--==-， 443331403113S S -∴==-. 故选：B.【点睛】本题考查了数列中由n S 与n a 的关系求数列的通项问题，等比数列的判定，等比数列的前n 项和公式，属于中档题.9.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆()22:102x y C a a a+=>+的蒙日圆为226x y +=，则a =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】分两条切线的斜率是否同时存在进行分类讨论，在两条切线的斜率同时存在时，可在圆上任取一点()00,x y ，并设过该点的直线方程为()00y y k x x -=-，与椭圆方程联立，利用0∆=可得出关于k 的二次方程，利用韦达定理可求得实数a 的值.【详解】当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为(，该点在圆226x y +=上，所以，226a +=，解得2a =；当椭圆两切线的斜率同时存在时，不妨设两切线的斜率分别为1k 、2k ， 设两切线的交点坐标为()00,x y ，并设过该点的直线方程为()00y y k x x -=-，联立()002212y kx y kx x y a a⎧=+-⎪⎨+=⎪+⎩， 消去y 得()()()()()()2220000222220a k a x k a y kx x a y kx a a ⎡⎤++++-++--+=⎣⎦，()()()()()()2222200004242220k a y kx a k a a y kx a a ⎡⎤⎡⎤∆=+--++⋅+--+=⎣⎦⎣⎦， 化简得()2220000220k a x kx y a y ⎡⎤+-++-=⎣⎦，由韦达定理得()2122012a y k k a x -==-+-，整理得()220022240a x y a +-+=-=，解得2a =. 综上所述，2a =. 故选：B.【点睛】本题考查利用椭圆两切线垂直求参数，考查分类讨论思想以及方程思想的应用，属于中等题. 10.已知正数a 、b 满足1410a b a b+++=，则+a b 的最大值是（ ） A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】将+a b 当作整体，在原式的两边同时乘以+a b ，使14a b+这一部分配凑基本不等式的条件，从而得到一个关于+a b 的二次不等式，求解即可.【详解】由1410a b a b +++=， 得14()()10()a b a b a b a b++++=+，24()()a b a b a b a b ++∴+++24()5b aa b a b=++++ 10()a b =+，210()()5a b a b ∴+-+-4b a a b =+4≥= 当且仅当4b a a b=，即2b a =时，等号成立， 2()10()90a b a b ∴+-++≤，则19a b ≤+≤.故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，解一元二次不等式.其中构造基本不等式的结构形式，将+a b 看成一个整体，是本题的关键，属于中档题.11.双曲线221313y x -=的上、下焦点为1F 、2F ，P 是双曲线上位于第一象限的点，4OP =，直线1PF 交x轴于点Q ，则2PQF 的内切圆半径为（ ）A.B. 2C. 3D.【答案】A 【解析】 【分析】分析出122F PF π∠=，并设1F P m =，可得出2F P m =+PQ t =，利用切线长定理可求得2PF Q △的内切圆半径.【详解】易知，双曲线221313y x -=的上焦点为()10,4F 、()20,4F -，又124OP OF OF ===，122F PF π∴∠=，设1F P m =，则223F P m =+PQ t =，则211F Q FQ F P PQ m t ==+=+， 设2PF Q △的内切圆与边PQ 、2PF 、2F Q 切于点M 、N 、Q ， 由切线长定理得PM PN =，22F N F D =，MQ DQ =，2MPN π∠=，2EN PF ⊥，EM PQ ⊥，且EM EN =，则四边形PMEN 为正方形，所以，(()2223232PF PQ F Q m t m t PM +-=++-+==，则3PM =， 因此，2PF Q △3故选：A.【点睛】本题考查双曲线中三角形内切圆半径的计算，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数()f x 满足()()2f x f x =，当[1,2)x ∈时，()ln f x x =，则函数()()0y f x ax a =->在)4[1x ∈,上的零点个数()g a 的值域为（ ）A. {}0,1B. {}0,1,2C. {}0,1,2,3D. {0,1,2,3,4}【答案】B 【解析】 【分析】先由求出[2,4)x ∈时，()ln2xf x =.再将函数()()0y f x ax a =->的零点问题，转化为函数()y f x =的图象与直线(0)y ax a =>的公共点的问题，利用数形结合思想，即可判断出公共点个数，求出函数()g a ，从而求出()g a 的值域.【详解】由()()2f x f x =知()()2x f x f =，设[2,4)x ∈，则[1,2)2x∈， 则()()ln 22x xf x f ==，ln ,[1,2)()ln ,[2,4)2x x f x x x ∈⎧⎪∴=⎨∈⎪⎩，令()()0y f x ax a =->=0，即()f x ax =，∴函数()()0y f x ax a =->的零点个数，即为函数()f x 与直线(0)y ax a =>的交点个数，若(0)y ax a =>与函数()ln ,[1,2)f x x x =∈的图象相切， 设切点为11(,ln )M x x ，则切线斜率1111ln 1x k x x ==， 1[1,2)x e ∴=∉，故不能相切，若(0)y ax a => 与函数()ln,[2,4)2xf x x =∈的图象相切， 设切点为22(,ln )2x N x ，则切线斜率2222ln 2122x k x x =⋅=，22[2,4)x e ∴=∉，故也不能相切，又(2,ln 2)A ，(4,ln 2)B ，则ln 22OA k =，ln 24OB k =， ln 20,2ln 2ln 2()1,42ln 22,04a g a a a ⎧≥⎪⎪⎪∴=≤<⎨⎪⎪<<⎪⎩，则()g a 的值域为{0,1,2}.故选：B.【点睛】本题考查了代入法求函数的解析式，函数的零点个数，考查了转化思想和数形结合思想，属于较难题.第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -，且//AB AC ，则x =__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求解, 【详解】()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -(1,5),(1,10)AB AC x =-=--， //,5(1)100,3AB AC x x ∴--+==.故答案为:3【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.14.已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为__________.【答案】34 【解析】 【分析】对*21(1,)nn n a a n N --=+-∈分奇偶进行讨论，得出数列21{}n a -是常数列，数列2{}n a 是公差为2的等差数列，然后用分组求和法，即可求解. 【详解】*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，∴当n 为奇数时，21210n n a a +--=，则数列21{}n a -是常数列，2112n a a -==；当n 为偶数时，2222n n a a +-=，则数列2{}n a 是以23a =为首项，2的等差数列，129139248()()a a a a a a a a a ∴+++=+++++++4325(342)2⨯=⨯+⨯+⨯ 34=.故答案为：34.【点睛】本题考查了数列递推求通项，等差数列的判定，分组求和法，等差数列的求和公式.考查了分类讨论的思想，属于中档题.15.三棱锥S ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形， SA ⊥面ABC ， 2SA =,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是_____________ .【答案】283π【解析】【详解】由题意可知三棱锥外接球，即为以ABC ∆为底面以SA 为高的正三棱柱的外接球∵ABC ∆是边长为2的正三角形 ∴ABC ∆的外接圆半径r =， 设球的半径为R ，因为SA ⊥面ABC ， 2SA =, 所以222284243R r =+=， ∴外接球的表面积为22843R ππ=， 故答案为283π点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()()31f f a f a -⎡⎤⎣⎦=的实数a 的取值集合为__________. 【答案】2{|3a a 或2log 3}a = 【解析】 【分析】由31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩知，当1a <时，()2f a <，当1a ≥时，()2f a ≥.令()t f a =，对t 进行分类讨论，结合分段函数解析式，求出t 的值，再进一步求出a . 【详解】当1a <时，()312f a a =-<， 当1a ≥时，()2f a ≥ 令()t f a =，若1t <，()31f t t =-，与已知解析式相符，311a ∴-<，即23<a ； 若1t ≥，则()2tf t = 由231t t =-，得1t =或3， 当1t =时，()311t f a a ==-=，23a =； 当3t =时，()23at f a ===，2log 3a =. 故答案为：2{|3a a或2log 3}a =. 【点睛】本题考查了求分段函数的自变量的问题，考查了分类讨论思想，注意解题过程中分类讨论标准的适当选取，做到不重不漏.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.17.若ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且224()si sin n sin sin sin 3A B C B C -=-. （1）求cos A ；（2）若ABC A 的角平分线AD 长的最大值.【答案】（1）13；（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理将已知式化角为边，再由余弦定理求出cos A ； （2）由（1）的结论1cos 3A =及ABC sin A =和4bc =.再由二倍角公式求出cos23A =.将ABC 拆分成两个三角形ABD △和ACD ，利用面积相等，求出AD ，再利用基本不等式求出其最大值.【详解】解：（1）由正弦定理sin sin sin A B Ca b c ==， 及224()si sinn sin sin sin 3A B C B C -=-，可得224()3b c a bc -=-，即22223b c a bc +-=，∴由余弦定理得：2221cos 23b c a A bc +-==；（2）由1cos 3A =，得sin A =， cos23A ==， 1sin 23S ABC bc A ==，则4bc =， 由ABCABDACDS SS=+得111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 2cos2cos 22A Abc bc A AD b c ∴=≤==+， 当且仅当2b c ==时，等号成立， 即max AD =. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，基本不等式的应用，属于中档题.18.如图，正方体ABCD A B C D '''-'的棱长为4，点E 、F 为棱CD 、B C ''的中点.（1）求证：//CF 平面B ED ''； （2）求点D '到平面ACF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）4. 【解析】 【分析】（1）取C D ''的中点M ，连接CM 、FM ，证明出平面//CFM 平面B ED ''，利用面面平行的性质可证明出//CF 平面B ED ''；（2）取A B ''的中点N ，连接FN 、A C ''、A F '、D M '、D N '，证明出F 、N 、A 、C 四点共面，利用等体积法计算出点D 到平面ANF 的距离，即为所求. 【详解】（1）取C D ''的中点M ，连接CM 、FM ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，//CD C D ''且CD C D ''=，E 、M 分别为CD 、C D ''的中点，//CE D M '∴且CE D M '=，∴四边形CED M '为平行四边形，//CM D E '∴，CM ⊄平面B ED ''，D E '⊂平面B ED ''，//CM ∴平面B ED ''，F 、M 分别为B C ''、C D ''的中点，//FM B D ''∴，FM ⊄平面B ED ''，B D ''⊂平面B ED ''，//FM ∴平面B ED ''， CMFM M =，∴平面//CFM 平面B ED ''，CF ⊂平面CFM ，//CF ∴平面B ED ''；（2）取A B ''的中点N ，连接FN 、A C ''、A F '、D M '、D N '，N 、F 分别为A B ''、B C ''的中点，//FN A C ''∴，在正方体ABCD A B C D ''''-中，//AA CC ''且AA CC ''=，所以，四边形AA C C ''是平行四边形，//A C AC ''∴，//FN AC ∴，F ∴、N 、A 、C 四点共面，FND '的面积为221142422622FND A B C D A D N C D F B NFS SSS S''''''''''=---=-⨯⨯⨯-⨯=， AA '⊥平面A B C D ''''，∴三棱锥A D NF '-的体积为1164833A D NF D NF V S AA ''-'=⋅=⨯⨯=.由勾股定理得22224225AN AA A N ''=+=+=1222FN A C ''==226A F AA A F '''=+=.在ANF 中，22210cos 210AN NF AF ANF AN NF +-∠==-⋅， 2310sin 1cos 10ANF ANF ∴∠=-∠=， ANF ∴的面积为11310sin 2522622ANFSAN NF ANF =⋅∠=⨯=， 设点D 到平面ACF 的距离为h ，由D ANF A D NF V V ''--=， 即116833ANFS h h ⋅=⨯⨯=，解得4h =. 因此，点D 到平面ACF 的距离为4.【点睛】本题考查利用面面平行证明线面平行，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力与推理能力，属于中等题.19.某连锁餐厅新店开业，打算举办一次食品交易会，招待新老顾客试吃.项目经理通过查阅最近5次食品交易会参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量y （袋），得到如下统计表：（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）的关系为40020,031380,31t t C t t -<<⎧=⎨≥⎩，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有13万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）.参考公式：()()()112221ˆn niii ii i nniii x x y y x y nx ybxnxx x ===---==--∑∑∑∑，a y bx =-.参考数据：511343i ii x y==∑，521558i i x ==∑，5213237i i y ==∑.【答案】（1） 2.51y x =-；（2）餐厅应该购买31袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为9920元. 【解析】 【分析】（1）计算出x 、y 的值，利用题中的数据结合最小二乘法公式求出b 和a 的值，即可得出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+； （2）由（1）中求出的线性回归方程计算13x =时y 的值，再根据题意计算对应的利润值，比较大小即可． 【详解】（1）由表格中的数据可得1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，515222151343510.4252.5558510.45i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-， 因此，y 关于x 的线性回归方程为 2.51y x =-；（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当13x =时， 2.513131.5y =⨯-=，即预计需要原材料31.5袋.40020,031380,31t t C t t -<<⎧=⎨≥⎩，当31t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+.当30t =时，30030209020L =⨯+=； 当31t =时，70031380319920L =⨯-⨯=； 当32t =时，70031.5380329890L =⨯-⨯=.综上所述，餐厅应该购买31袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为9920元.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了利润计算问题，是中档题．20.已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的中点E 的横坐标为32，5AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知点()1,2D ，过点()4,0作直线l 交抛物线于M 、N 两点，求DM DN ⋅的最大值，并求DM DN ⋅取得最大值时直线l 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）当直线l 的方程为40x y +-=时，DM DN ⋅取最大值1.【解析】 分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，可得出12322x x +=，利用焦点弦长公式可求得p 的值，进而可得出抛物线C 的方程；（2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，设直线l 的方程为4x my =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积公式将DM DN ⋅表示为以m 为自变量的函数，利用二次函数的基本性质可求得DM DN ⋅的最大值及其对应的直线l 的方程.【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，由于线段AB 的中点E 的横坐标为32，则12322x x +=， 由抛物线的焦点弦长公式得1235AB x x p p =++=+=，解得2p =. 因此，抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，设直线l 的方程为4x my =+，联立244y xx my ⎧=⎨=+⎩，消去x 并整理得24160y my --=.由韦达定理得344y y m +=，3416y y =-.()()()()333333,1,21,23,2DM x y x y my y =-=--=+-，同理可得()443,2DN my y =+-，()()()()()()()234343434332213213DM DN my my y y m y y m y y ⋅=+++--=++-++()()()22216143213483411m m m m m m =-++-+=---=-++.当1m =-时，DM DN ⋅取最大值1，此时，直线l 的方程为40x y +-=.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中平面向量数量积的最值的求解，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数()xf x ae x =-有两个零点1x 、2x .（1）求实数a 的取值范围;（2）若213x x ≥，求实数a 的取值范围.【答案】（1）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）⎛ ⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）由()0f x =得xx a e =，构造函数()x xg x e=，利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值，作出函数()y g x =的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围； （2）由题意推导出1201x x <<<，分1103x <≤和1113x ≤<两种情况讨论，结合213x x ≥以及函数()y g x =的单调性得出1x 的取值范围，再由()1a g x =以及函数()y g x =的单调性可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()x f x ae x =-，令()0f x =，可得xxa e =， 构造函数()x xg x e=，则直线y a =与函数()y g x =的图象有两个交点. ()1xxg x e -'=，令()0g x '=，得1x =，列表如下： x(),1-∞1()1,+∞()g x ' +-()g x极大值所以，函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，且在1x =处取得极大值()11g e=.当0x <时，()0x x g x e =<；当0x >时，()0x g x x e=>，如下图所示：如上图可知，当10a e<<时，直线y a =与函数()y g x =的图象有两个交点， 因此，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）由（1）可知1>0x ，20x >，且()()12g x g x =，2113x x x ≥>，1201x x ∴<<<.①若1103x <≤，则21130x x >≥>，合乎题意； ②若1113x <<，则131x >，2131x x ≥>且函数()x x g x e=的单调递减区间为()1,+∞， ()()213g x g x ∴≤，即()()113g x g x ≤，即111133x x x x e e ≤，解得1ln 32x ≤，此时11ln 332x <≤. 综上所述，1x 的取值范围是ln 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.函数()x x g x e =在区间ln 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，()()1ln 302g g x g ⎛⎫∴<≤ ⎪⎝⎭，即306a <≤.因此，实数a 的取值范围是30,6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数以及函数不等式求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于难题.（二）选考题.共10分请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ．【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭； 设()22Q ,ρθ，则由2sin 333{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭； 所以Q 2P =【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.23.如图，AB 是半圆的直径，O 为AB 的中点，⊥DO AB 、C 在AB 上，且AC x =，BC y =.（1）用x 、y 表示线段OD ，CD 的长度：（2）若0a >，0b >，2a b +=，求44a b +的最小值.【答案】（1）2x y OD +=，222x y CD +=（2）2 【解析】【分析】 （1）AB 为直径，AB x y =+，OD 为半径，则2x y OD +=.Rt OCD △中，利用勾股定理，可求出222x y CD +=（2）Rt OCD △中CD OD ≥2222++x y x y ，即可得222()122a b a b ++≥=.再令22,x a y b ==，2212a b +≥≥，由此解得442a b +≥. 【详解】解：（1）直径AB x y =+，则半径2x y OD +=， 在Rt OCD △中，CD ===即CD = （2）由（1）知，CD OD ≥，2+x y ，当且仅当x y =时，等号成立， 222()122a b a b ++∴≥=， 令22,x a y b ==2212a b +≥≥ 442a b ∴+≥（当且仅当1a b ==时，等号成立）， 44a b ∴+的最小值为2.【点睛】本题考查了勾股定理，基本不等式的变形应用，考查了转化的思想，属于中档题.。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)文科数学试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设函数y =定义域为A ，函数ln(3)y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A. (,3)-∞B. (8,3)--C. {3}D. [3,3)-【答案】D 【解析】 【分析】分别求出两个函数的定义域,A B ，进而求出AB 即可.详解】由题意，对于函数y =290x -≥，解得33x -≤≤，即[]3,3A =-； 对于函数ln(3)y x =-，30x ->，解得3x <，即(),3B =-∞， 所以AB =[3,3)-.故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题. 2.已知复数i()z a a =-∈R ，若8z z +=，则复数z =（ ） A. 4i + B. 4i -C.4i -+D.4i --【答案】B 【解析】 【分析】求出z 的表达式，再结合8z z +=，可求出a 的值，即可求出答案.【详解】由题意，i()z a a =-∈R ，i z a =+，所以i i 8a a -++=，解得4a =，故z =4i -. 故选：B.【点睛】本题考查共轭复数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.3.已知命题p ：0x ∀>，则31x >；命题q ：若a b <，则22a b <，下列命题为真命题的是( ) A. p q ∧ B. p q ∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质可知命题p 为真命题，则￢p 为假命题，命题q 是假命题， 则￢q 是真命题．因此p ∧￢q 为真命题．【详解】命题p ：0x ∀>，则31x >，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=-1，b=-2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了全称命题的否定，训练了函数零点存在性定理的应用方法，考查复合命题的真假判断，是基础题．4.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（ ）． A. 若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B. ,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥C. 若m ∥α，m β⊥，则αβ⊥D. ,,m n m αγβγ⋂=⋂=∥n ，则α∥β 【答案】C 【解析】试题分析：A ．错，因为没说明垂直于两平面的交线，B ．错，垂直于同一平面的两个平面相交或平行，C ．正确，因为平面存在垂直于的线，D ．错，因为与有可能相交．故选C ．考点：线线，线面，面面位置关系5.郑州市2019年各月的平均气温()℃数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ）A. 20B. 21C. 20.5D. 23【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可．【详解】解：由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23， 28，32，34， 故中位数是：202120.52+=， 故选：C ．【点睛】本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题． 6.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. (4,10]C. (2,4]D. (4,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：设输入x a =，第一次执行循环体后，32x a =-，1i =，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，98x a =-，2i =，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，2726x a =-，3i =，满足退出循环的条件； 故9882a -，且272682a ->， 解得：(4,10]a ∈， 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题．7.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ）A. 58- B.18C.14D.118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A.B. 10C. 3D.3【答案】D 【解析】 【分析】由题可知直线350x y -+=与渐近线b y x a =-垂直，可求出b a 的值，进而由c e a ==心率.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 又因为直线350x y -+=的斜率为30>，所以与该直线垂直的渐近线方程为by x a=-，则31b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即13b a =，故双曲线的离心率c e a ====故选：D.【点睛】本题考查双曲线的渐近线与离心率，考查垂直直线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.9.函数2||()24x x f x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、B 选项，再根据()0,2x ∈时，()0f x <，()2,x ∈+∞时，()0f x >，可选出答案.【详解】由题意，函数2||()24x x f x =-的定义域为}{,2x x x ∈≠±R ，又()22||||()2424x x x x f x ---==--，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，可排除A 、B 选项； 当()0,2x ∈时，2()024x x f x =<-；当()2,x ∈+∞时，2()024x x f x =>-，显然只有选项D 符合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，常常利用函数的定义域、奇偶性、单调性及特殊值等方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.10.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积．将aGini S=，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x>；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为1[0,1])y x =∈，则π12Gini =-； 其中正确的是：（ ） A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】 【分析】结合基尼系数曲线的特点，可判断出①正确；由劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可知②错误；再结合1[0,1])y x =∈对应的图形特征，可求出对应的,a S ，进而可求出Gini ，即可判断③是否正确.【详解】对于①，根据基尼系数公式aGini S=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x ≤，可得()1f x x≤，所以②错误；对于③，易知1[0,1])y x =∈表示圆心为()0,1，半径为1的14圆弧，则21111π111π4242a =⋅-⨯⨯=-，12S =，故11ππ421122a Gini S -===-，所以③正确. 故选：B.【点睛】本题考查新定义，考查不等式证明，考查几何图形面积的计算，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球表面积为4π，则正方体外接球的体积为( )A. B. 36πC. 3D. 6【答案】B 【解析】 【分析】利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱长，可求得正方体的棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果. 【详解】设正方体的棱长为a ，则BD =，因为三棱锥11A BC D -内切球的表面积为4π， 所以三棱锥11A BC D -内切球的半径为1， 设11A BC D -内切球的球心为O ，1A 到面1BC D 的距离为h ，则1114A BC D O BC D V V --=，11114133BC D BC D S h S ∆∆⨯=⨯⨯⨯，4h ∴=， 又(23h ==，4,3a ∴== 又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，∴3=，其体积为343363ππ⨯=，故选B. 【点睛】解答多面体内切球的表面积与体积问题，求出内切球半径是解题的关键，求内切球半径的常见方法有两种：一是对特殊几何体（例如正方体，正四面体等等）往往直接找出球心，求出半径即可；二是对不规则多面体，往往将多面体分成若干个以多面体的面为底面以内切球的球心为高的棱锥，利用棱锥的体积和等于多面体的体积列方程求出内切球半径. 12.已知函数π()2f x x=-，()cos sin g x x x x =-，当[4π,4π]x ∈-，且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是（ ） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 【分析】分别判断两个函数的奇偶性及单调性，进而做出二者的图象，根据图象交点个数可得出答案. 【详解】由题意，函数π()2f x x=-，在[)(]4π,00,4π-上是奇函数，且是反比例函数，又()()()()cos sin cos sin g x x x x x x x g x -=----=-+=-，所以()g x 在[)(]4π,00,4π-上是奇函数.又()sin g x x x '=-，所以()0,πx ∈时，()0g x '<；()π,2πx ∈时，()0g x '>；()2π,3πx ∈时，()0g x '<；()3π,4πx ∈时，()0g x '>.所以()g x 在()0,π上单调递减；在()π,2π上单调递增；在()2π,3π单调递减；在()3π,4π上单调递增. 作出(),()f x g x 的图象，如下图所示，()00g =，()ππg =-，()1π2f =-，()()ππf g >，则()f x 与()g x 的图象在()0,πx ∈上有1个交点；()2π2πg =，()12π4f =-，()()2π2πg f >，则()f x 与()g x 的图象在()π,2πx ∈上有1个交点；()3π3πg =-，()13π6f =-，()()3π3πf g >，则()f x 与()g x 的图象在()2π,3πx ∈上有1个交点；()4π4πg =，()14π8f =-，()()4π4πg f >，则()f x 与()g x 的图象在()3π,4πx ∈上有1个交点.故()f x 与()g x 的图象在(]0,4π上有4个交点，根据对称性可知，二者图象在[)4π,0-上4个交点，故当[4π,4π]x ∈-，且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是8.故选：D.【点睛】本题考查函数图象交点问题，考查函数图象的应用，考查学生的推理能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.幂函数()2()33mf x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m =_______.【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到m 的值，再根据图象关于y 轴对称验证m 的值. 【详解】函数()2()33mf x m m x =-+是幂函数，2331,m m ∴-+= 解得：1m =或2m =，当1m =时，函数y x =的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，函数2y x 的图象关于y 轴对称，∴实数2m =．【点睛】幂函数y x α=，若α为偶数，则图象关于y 轴对称.14.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为________. 【答案】712【解析】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b 可得6636n =⨯=种结果，由直线与圆()2222x y -+=有公共点a b ≤≤，故满足a b ≤的结果有65432121m =+++++=种，由古典概型的计算公式可得：直线0ax by +=与圆()2222x y -+=有公共点的概率为2173612m P n ===，应填答案712．15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且b =(sin )A A b =，则ABC的面积的最大值为_______．【解析】 【分析】由正弦定理边角转化，并结合()sin sin C A B =+，可得到cos sin sin A B A B =，从而可得tan 3B =，即可求出角B ，再结合余弦定理，可得到223a c ac =+-，利用基本不等式可求得3ac ≤，进而由1sin 2ABC S ac B =△，可求出答案. 【详解】由正弦定理可得，3sin (sin 3cos )sin C A A B =+， 又()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，所以()3sin cos sin cos (sin 3cos )sin A B B A A A B +=+，则3sin cos sin sin A B A B =， 因为sin 0A ≠，所以3cos sin B B =，即tan 3B =，故π3B =. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得223a c ac =+-， 又222232a c ac a c ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立， 所以3ac ≤，且11333sin 32224ABCSac B =≤⨯⨯=. 故答案为：33. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.16.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有______．①CPI 一篮子商品中权重最大的是居住 ②CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50% ③猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为0.18% 【答案】①②③【解析】 【分析】结合两个图，对四个结论逐个分析可得出答案.【详解】对于①，CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大，故①正确；对于②，CPI 一篮子商品中吃穿住所占19.9%8%23%50.9%++=，权重超过50%，故②正确； 对于③，由第二个图可知，猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5%，故③正确；对于④，由第二个图可知，猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为2.5% 2.1% 4.6%+=，故④错误.故答案为：①②③.【点睛】本题考查统计图的识别和应用，考查学生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()*11n n n b n a a +=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2,1,21, 2.n n a n n =⎧=⎨+≥⎩；（2）412030n n T n +=+【解析】 【分析】（1）由1n =时，11a S =，2n ≥时，1n n n a S S -=-，可求出{}n a 的通项公式； （2）由1n =时，1121b a a =，2n ≥时，11122123n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，进而结合裂项相消求和法可求出n T . 【详解】（1）当1n =时，112a S ==．当2n ≥时，()22121(1)2(1)121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦． 而12211a =≠⨯+，所以数列{}n a 的通项公式为2,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩.（2）当1n =时，1121112510b a a ===⨯， 当2n ≥时，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以1,110111.,222123n n b n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪++⎝⎭⎩，当1n =时，11110T b ==， 当2n ≥时，1231111111110257792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111411025232030n n n +⎛⎫=+-= ⎪++⎝⎭． 又114111020130T ⨯+==⨯+，符合412030n n T n +=+， 所以412030n n T n +=+()*N n ∈． 【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用裂项相消法求数列的前n 项和n T ，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18.在改革开放40年成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （2）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．（参考数据：()()612.8iii x x y y =--=∑，计算结果保留到小数点后两位）【答案】（1）0.16 6.44y x =+；（2）7.56万吨 【解析】 【分析】（1）先求出x 和y 的值，然后求出()621ii x x =-∑，进而由()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，a y bx =-，可求出ˆ,ba ，从而可求出y 关于x 的线性回归方程；（2）当年份为2020年时，年份代码为7x =，由（1）求得的回归方程，求出ˆy的值即可． 【详解】（1）由题意可知：1234563.56x +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5i i x x=-=-+-+-+++=∑，所以()()()1212.8ˆ0.1617.5niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑， 又70.16 3.5 6.44a y bx =-=-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为0.16 6.44y x =+．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码为7x =，此时0.167 6.447.56y =⨯+=． 所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．（1）求证：1//B C 平面1A BD ；（2）若160A AB ACB ∠=∠=︒，1AB BB =，2AC =，1BC =，求三棱锥1C AA B -的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）34【解析】 【分析】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，可知1//OD B C ，进而由线面平行的判定定理可证明1//B C 平面1A BD ；（2）在ABC 中，利用余弦定理可求得3AB =222AC AB BC =+，即AB BC ⊥，再结合平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知BC ⊥平面11AA B B ，进而求出1A AB S △，从而由1113C A AB AA BV S BC -=⋅可求出答案.【详解】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点，所以1//OD B C ， 又OD ⊂平面1A BD ，1B C ⊂/平面1A BD ， 所以1//B C 平面1A BD ． （2）2AC =，1BC ∴=，60ACB ∠=︒，22212cos 4122132AB AC BC AC BC ACB ∴=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，3AB ∴=，222AC AB BC ∴=+，AB BC ∴⊥．又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B平面ABC AB =，BC ⊂平面11AA B B ，BC ∴⊥平面11AA B B ．160A AB =︒∠，1AB BB =，∴四边形11AA B B 为菱形，1ABA △为正三角形，13AA AB ∴==.11111333sin 332224A AB S AB AA A AB ∴=⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△． 1111333133C A AB AA BV SBC -∴=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为32．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）直线l 平行于直线by x a=，且与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若AOB ∠为钝角，求直线l 在x 轴上的截距m 的取值范围．【答案】（1）22182x y +=；（2）(2,0)(0,22)-⋃ 【解析】 【分析】（1）由短轴长为23,a b 的值，进而可求出椭圆的标准方程； （2）由直线l 平行于直线b y x a=，可设直线l 的方程为1(0)2y x n n =+≠，与椭圆方程联立，可得到关于x 的一元二次方程，由>0∆，可求得22n -<<，再结合AOB ∠为钝角，可得0OA OB ⋅<，且0n ≠，将该式展开，并结合韦达定理，可求出22n <，进而可求出n 的取值范围，再结合直线l 在x 轴上的截距2m n =-，可求出m 的取值范围．【详解】（1）由题意可得2b =b =c e a ===a = 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=．（2）由于直线l 平行于直线by x a =，即12y x =，设直线l 在y 轴上的截距为n ， 所以l 的方程为1(0)2y x n n =+≠． 联立221,2182y x n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x nx n ++-=， 因为直线l 与椭圆C 交于,A B 两个不同的点， 所以()22(2)4240n n ∆=-->，解得22n -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x n +=-，21224x x n =-．因为AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<，且0n ≠， 所以121212121122OA OB x x y y x x x n x n ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22212125524(2)04242n nx x x x n n n n =+++=-+-+<，即22n <，且0n ≠， 所以直线l 在y 轴上的截距n的取值范围：(⋃． 因为直线l 在x 轴上的截距2m n =-，所以m的取值范围是：(-⋃．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21.已知函数ln ()()xf x a x a =∈+R ，曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为1ey =． （1）求实数a 的值，并求()f x 的单调区间 （2）求证：当0x >时，()1f x x ≤-．【答案】（1）单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,)+∞；（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导，由(e)0f '=，可求出a 的值，进而可得()f x 解析式，求出单调性即可；（2）当0x >时，要证()1f x x ≤-即证2ln 0x x x -+≤，进而构造函数2()ln (0)g x x x x x =-+>，求导并判断单调性可知()(1)0g x g ≤=，从而可证明结论.【详解】（1）ln ()xf x x a =+，2ln ()()x axxf x x a +-'∴=+， 2e (e)(e )af a '∴=+， 又曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为1ey =，则(e)0f '=，即0a =， 21ln ()xf x x -'∴=， 令()0f x '>，得1ln 0x ->，即0e x <<； 令()0f x '<，得1ln 0x -<，即e x >，所以()f x 的单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,)+∞． （2）当0x >时，要证()1f x x ≤-即证2ln 0x x x -+≤， 令2()ln (0)g x x x x x =-+>，则2112(1)(21)()21x x x x g x x x x x+--+'=-+==-， 当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，即当0x >时，()1f x x ≤-．【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程， （Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B两点，且||AB ≥．求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）222:()C x y a a +-=，:4350l x y -+=；（Ⅱ）101011a ≤≤. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C 的标准方程，消去参数即可求直线l 的普通方程； （Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【详解】解：（Ⅰ）因为圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>，所以圆C 的直角坐标方程为222()x y a a +-=，直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去t 得到4350x y -+=（Ⅱ）由圆的方程可得圆心(0,)C a ，半径R a =，则圆心到直线的距离|53|5a d -==，||3AB a ．3a ∴，即22234a da -， 则224a d ，即2a d ，则|53|52a a -， 则35252a a a --， 由35253552a a a a -⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩解得101110a a ⎧⎪⎨⎪⎩，解得101011a ．即实数a 的取值范围是101011a ． 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的转化能力，属于中档题． 23.已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值． 【答案】(1) 4(,)(2,)3-∞-⋃+∞. (2)12. 【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可； （2）由f （x ）≤a|x+3|得a ≥131x x x +++-，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩()5f x >的解集为：()4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）由()3f x a x ≤+得：113x a x x +≥-++由1321x x x -++≥+，得：11132x x x +≤-++ 得12a ≥（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立）， 故a 的最小值为12.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十八)数学(理)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十八）数学（理）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足22iz i=-（i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z的共轭复数，即可得到z在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i iiz ii i i-⋅--===--⋅-22,z i∴=-+则z的共轭复数z对应的点在第二象限. 故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2.设全集U =R ，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =（ ）A. {|1}x x ≥B. {|12}x x ≤<C. {}1D. {}0,1【答案】D 【解析】 【分析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可.【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =. 又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ , 所以{}0,1A B =.故选D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围. 3.已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( ) A. 221167x y +=B. 221716x y +=C. 2251162x y +=D. 2212516x y +=【答案】A 【解析】由题意知，2a=8，∴a=4，又34e =，∴c=3，则b 2=a 2﹣c 2=7． 当椭圆焦点在x 轴上时，椭圆方程为221167x y +=；故答案为221167x y +=．故答案为A ．4.如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O 为圆心，阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ）A.116B.1124C.1324D.516【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率，由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果.【详解】图①小球落在阴影部分的概率为：212213214464P πππ-⋅⋅=⋅=⋅ 图②小球落在阴影部分的概率：213P =∴至少有一个小球停在阴影部分的概率为31131111111632424⎛⎫⎛⎫--⨯-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式的应用.5.在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别在是线段11AB BC ，的中点，以下结论：①直线BD 丄直线MN ；②直线MN 与直线AC 异面；③直线MN 丄平面11BDD B ；④122MN AA =，其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】在平面ABCD 内作出MN 的平行直线EF ，根据中位线得到//EF AC ，由此得到②错误.根据AC ⊥平面11BDD B 得到①③正确，利用中位线及勾股定理证得④正确.由此得出正确的个数为3个.【详解】过M 作MF AB ⊥交AB 于F ，过N 作NE BC ⊥交BC 于E ，连接11,,,EF AC BD B D .由于,M N 分别为11,AB BC 的中点，故1111//////22NE CC BB MF ，故四边形MNEF 为矩形，故//MN EF ，由于//EF AC ，故②判断错误.由于1,AC BD AC BB ⊥⊥，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以MN BD ⊥且直线MN 丄平面11BDD B ，即①③正确.由勾股定理得12AC AA =，故11222EF AC AA ==，故④判断正确.综上所述，正确的个数为3个，故选C.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线垂直的判断，考查直线与直线平行的判断，考查线面垂直的证明，属于基础题.要判断两条异面直线垂直，往往是通过线面垂直来证明，要证明线线平行，可以考虑用中位线来证明，要证明线面垂直则需要证明垂直平面内两条相交直线来证明. 6.设2(sin 56cos56)2a =-，cos50cos128cos 40cos38b =+，cos80c =,则a b c ，，的大小关系是（ ） A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D. a c b >>【答案】B 【解析】256cos56)sin(5645)sin11a =-=-= ，cos(9040)cos(9038)cos 40cos38sin 40sin 38cos 40cos38cos 78sin12b =-++=-+== ，cos80sin10c == ，sin12sin11sin10,b a c >>∴>> ，选B.7.已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =，1233OC OA OB =+，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为（ ）. A.3 B. 23C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB 为基底表示出OM ，由此求得OC OM⋅的值.【详解】圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB 的中点，所以1122OM OA OB=+.所以OC OM⋅12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+21422cos603323=+⨯⨯⨯+=. 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8.定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()2(2)2f x x f x +=-+，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+>.若3()(1)32f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是( ) A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. (],1-∞C. [)1,+∞D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】由()2f x x '+>，构造函数21()()22g x f x x x =+-，易得当1x ≤，()g x 为增函数，且由题设可得()(2)g x g x =-，所以函数()g x 的图象关于直线1x =对称，结合()g x 与()f x 的关系，函数的对称性与单调性性质，即可求解. 【详解】令21()()22g x f x x x =+-， 则()()2g x f x x ''=+-.∵当1x ≤时，恒有()2f x x '+>，即()0g x '>， ∴当1x ≤时，函数()g x 为增函数. 而21(2)(2)2(2)(2)2g x f x x x -=-+---， 21(2)(2)22g x f x x ∴-=--+——①(2)()22f x f x x -=+-——②把②代入①得：2(2)1()22f x xg x x +--= ∴()(2)g x g x =-.∴函数()g x 的图象关于直线1x =对称，∴函数()g x 在(],1-∞上为增函数，在[)1,+∞为减函数. 由3()(1)32f m f m m --≥-， 得2211()2(1)2(1)(1)22f m m m f m m m +-≥-+---， 即()(1)g m g m ≥-，∴|1||11|m m -≤--，解得12m ≥. ∴实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：A【点睛】本题考查构造函数以及函数的导数、函数的对称性、单调性的综合运用，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于难题.9.已知函数()cos 33a x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线()y g x =，则不等式()1g x ≤的解集是（ ） A. ()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. ()3,124k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ()37,84k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. ()52,262k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】把()f x 化为sin ,cos x x 的式子，然后由偶函数定义可求得a ，由图象平移变换得()g x ，再解不等式()1g x ≤即可．【详解】因为()11cos sin 22a x x x x f x ⎛⎫⎫=- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭13cos sin 2222a x a x ⎛⎛⎫=-++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以()()f x f x -=，0=，解得1a =-，所以()2cos f x x =-. 将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线2cos 2()2cos 2126y x x ππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 则()2cos 26g x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.由()1g x ≤，得2cos 216x π⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，得1cos 262x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，则()22222363k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()5124x k k k Z ππππ≤≤+∈-.不等式()1g x ≤的解集是()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦, 故选：A .【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力.10.已知过点(0,2)-与曲线323()62a f x x x x =-+-(0)x >相切的直线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是( )A. {}2B. (2,)+∞C.)+∞D.【答案】C 【解析】 【分析】先设出切点坐标323,62a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭(0)t >，再求出()f x 的导数，由导数的几何意义知，()f t '是切线的斜率，写出切线方程，因切线过点(0,2)-，将点(0,2)-代入切线方程整理后可得324340t at -+=，由题意知关于t 的方程有324340t at -+=两个不等的正实数根，设32()434h t t at =-+(0)t >，结合函数求零点的知识，即可求解. 【详解】∵323()62a f x x x x =-+-， ∴2()336f x x ax '=-+-.设切点323,62a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭(0)t >，则有2()336f t t at '=-+-，所以过点P 的切线方程为()32236336()2a y t t t t at x t ⎛⎫--+-=-+-- ⎪⎝⎭，又点(0,2)-在切线上，所以()322326336()2a t t t t at t ⎛⎫---+-=-+-- ⎪⎝⎭， 整理得324340t at -+=，由题意得方程324340t at -+=有两个不等的正实数根.设32()434h t t at =-+(0)t >，则2()1266(2)h t t at t t a '=-=-，要使32()434h t t at =-+(0)t >的图象与t 轴的正半轴有两个不同的交点， 则需0a >. 所以函数()h t 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以3min()4024a a h t h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭，解得a >.即实数a的取值范围是)+∞.答案：)+∞【点睛】本题考查导数几何意义的运用，考查过某点的曲线的切线方程及已知函数零点个数，求参数范围的问题，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于中档题.11.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.12.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，右焦点为(c,0)F ，弦PQ 过F 且垂直于x 轴，过点P 、点Q 分别作为直线AQ 、AP 的垂直，两垂线交于点B ，若B 到直线PQ 的距离小于2()a c +，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A. 3) B. 3)C. 3,2)D. (3,)+∞【答案】B 【解析】【详解】由题意,B 在x 轴上,22,,,bb Pc Q c aa ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,∴2AQ b a ka c=-，∴22BPa ack b-=-， 直线BQ 的方程为()222b a acy x c a b--=--， 令y =0,可得()42b xc a a c =+-， ∵B 到直线PQ 的距离小于2(a +c )，∴()()422b a c a a c -<+-， ∴2b a <，∴3c a <，∴e <， ∵e >1，∴1e <<故选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在大题卡相应位置上.13.已知随机变量X 服从正态分布()24,N σ，()60.78P X <=，则()2P X ≤=__________．【答案】0.22. 【解析】 【分析】正态曲线关于x ＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可． 【详解】()()2160.22P X P X ≤=-<=【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题． 14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间( , 0]-∞上单调递增，若实数a满足3log (2)(a f f >，则a 的取值范围是___.【答案】( 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及在区间(],0-∞上的单调性确定出()0,∞+上的单调性，再根据函数值之间的关系，将其转化为自变量之间的关系，求解出a 的范围即可.【详解】因为()f x 是R 上的偶函数且在(],0-∞上递增，所以()f x 在()0,∞+上递减， 又因为()(3log 2af f >，所以3log 20a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩，所以31log 2220a a ⎧⎪<⎨⎪>⎩，所以31log 20a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，所以(a ∈.故答案为：(.【点睛】本题考查根据函数的单调性和奇偶性求参数范围，难度一般.已知函数值的大小关系，可通过函数的单调性将其转变为自变量之间的关系.15.设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.=，则222a cb ac +-的取值范围为______.【答案】()()0,2【解析】 【分析】把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2B π≠，由余弦定理可得结论．=，所以()()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，所以()2sin cos cos A B C C B =，即()2sin cos A C C B A +=，又sin 0A >，所以cos C =， 则6C π=，因为cos 0B ≠，所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 而2222cos a c b B ac +-=，故()()2220,2a c b ac+-∈.故答案为：()()0,2．【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.16.如图，在三棱锥P ABC -中PA PB PC 、、两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：()(,,)f M m n p =，其中m n p 、、分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PAC -的体积．若1(),2,2f M x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且18a x y +≥恒成立，则正实数a 的最小值是_____【答案】642-【解析】 【分析】由垂直关系可知PC ⊥平面PAB ，进而求得三棱锥P ABC -体积，通过体积桥可得421x y +=；利用()1142a a x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可构造出符合基本不等式的形式，得到14242a a a x y +≥++由恒成立关系可得关于a 的不等式，解不等式求得最小值. 【详解】,,PA PB PC 两两垂直 PC ∴⊥平面PAB1113211332P ABC C PAB PAB V V S PC --∆∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=，即1212x y ++= 421x y ∴+=()11242442424224242a a y ax y axx y a a a a x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=+++≥++⋅=++ ⎪⎝⎭（当且仅当24y ax x y=，即2y ax =时取等号） 又18ax y+≥恒成立，42428a a ∴++≥，解得：642a ≥- ∴正实数a 的最小值为642-【点睛】本题考查与立体几何有关的新定义运算中的最值问题的求解；关键是能够对“1”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得式子的最值，进而根据恒成立的关系得到不等式，从而求得结果.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分.17.已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点（1）求证：PA 平面MDB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）105- 【解析】 【分析】(1) 连结AC ，交BD 于O ，利用中位线定理证明MO PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可； (2)建立空间直角坐标系，利用坐标求出平面P AB 和平面PBC 的法向量，即可求解. 【详解】（1）连结AC ，交BD 于O ，连接MO ，由于底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点 又M 为PC 的中点，∴MO PA ∥，又MO ⊂面MDB ，PA ⊄面MDBPA ∴平面MDB（2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，由于PAD ∆为正三角形，E 为AD 的中点．由于侧面PAD ⊥面ABCD ，由面面垂直的性质得PE ⊥面ABCD ，由AD PE AD PB ⊥⊥，，得AD PEB ⊥∴60AD EB EAB ︒⊥∴∠= 以E 为坐标原点，EP 为z 轴，EA 为x 轴，EB 为y 轴，建立空间直角坐标系．则(1,0,0),3,0),(3,0),3)A B C P -(3,0)AB =-，(1,0,3)PA =设平面P AB 的法向量为1111(,,)n x y z =，平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z = 由10n AB ⋅=及10n PA ⋅=得11113030x x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取13x =P AB 的一个法向量为)3,1,1同理可求得平面PBC 的一个法向量(0,1,1)，由法向量的方向得知 所求二面角的余弦值为12123011111052n n n n ⋅⨯+⨯+⨯-=-=⨯. 【点睛】本题主要考查了线面平行以及二面角，(2)问中关键是建立空间直角坐标系来求解二面角的余弦值，属于中档题.18.已知数列{}n a 满足112a =，121nn n a a a +=+()*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：222212312n a a a a ++++<.【答案】（1）12n a n=；（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）由121n n n a a a +=+，两边取倒数可得1112n n a a +-=，可知数列1na 为等差数列，从而可求出1n a 的表达式，进而可得到n a 的表达式； （2）利用放缩法，可得2211111441n a n n n ⎛⎫=⋅<- ⎪-⎝⎭（2n ≥，*N n ∈），进而可证明结论. 【详解】（1）由112a =，121nn na a a +=+，可知0n a >，对121n n n a a a +=+的等号两端同时取倒数得1112n n a a +=+， 则1112n n a a +-=，所以数列1n a 为等差数列，且首项为2，公差为2，故12nn a =， 所以12n a n=. （2）依题可知222111111111244141na n nn n n n ⎛⎫⎛⎫==⋅<⋅⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（2n ≥，*N n ∈）， 所以222212311111111442231n a a a a n n ⎛⎫++++<+-+-++- ⎪-⎝⎭1111114424n n⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 故222212312n a a a a ++++<.【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用放缩法证明数列不等式，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.19.设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 点A 的坐标为(),0b ，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若sin 4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值. 【答案】(Ⅰ)22194x y +=；(Ⅱ)12或1128． 【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a =3，b =2．则椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由题意可得5y 1=9y 2．由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，可得1y =．由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，可得221ky k =+．据此得到关于k 的方程，解方程可得k 的值为12或1128．详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）． 由已知有y 1>y 2>0，故12PQ sin AOQ y y ∠=-． 又因为2y AQ sin OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由4AQ sin AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =． 易知直线AB 的方程为x +y –2=0， 由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）= 两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为12或1128．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至2019年10月27日在中国武汉举行，第七届世界军人运动会是我国第一次承办的综合性国际军事体育赛事，也是继北京奥运会之后我国举办的规模最大的国际体育盛会.来自109个国家的9300余名军体健儿在江城武汉同场竞技、增进友谊.运动会共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.经过激烈角逐，奖牌榜的前6名如下： 某大学德语系同学利用分层抽样的方式从德国获奖选手中抽取了9名获奖代表.（1）请问这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数分别是多少人？（2）从这9人中随机抽取3人，记这3人中银牌选手的人数为X ，求X 的分布列和期望；（3）从这9人中随机抽取3人，求已知这3人中有获金牌运动员的前提下，这3人中恰好有1人为获铜牌运动员的概率.【答案】（1）金牌人数为2人、银牌人数为3人、铜牌人数为4人；（2）分布列见解析，()1E X =；（3）47.【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的抽取规则，结台各奖牌的获奖人数，即可计算出这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数；（2）随机变量X 的可能取值分别为0,1,2,3，分别计算出对应概率，列出分布列，求期望即可； （3）依题意，可分为2金1铜和1金1银1铜两种情况讨论，再结合条件概率公式，即可求解. 【详解】(1)由题意可知，德国获奖运动员中， 金牌、银牌、铜牌的人数比为2:3:4，所以这9名获奖运动员中金牌人数为2人、银牌人数为3人、铜牌人数为4人； (2)X 的可能取值为0,1,2,3，则：3639C 205(0)C 8421P X ====，123639C C 4515(1)C 8428P X ====，213639C C 183(2)C 8414P X ====，33391(3)84C P X C ===，X 的分布列为：1531()1231281484E X ∴=⨯+⨯+⨯=. （3）记事件A 为“3人中有获金牌运动员”， 事件B 为“这3人中恰好有1人为获铜牌运动员”，37397()112C P A C =-=，()2111223439C C C 1()C 3C P AB +==，()4(|)()7P AB P B A P A ==.【点睛】本题考查了分层抽样，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望及条件概率，主要考查分析解决问题和解决问题的能力及运算求解能力,属于中档题．21.已知a R ∈，函数()ln xa e f x a x x-=+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，且()()()2111x e F x x mx f x x ⎛⎫-=-+-- ⎪⎝⎭在()0,2m ∈时有极大值点()001x x ≠，求证：()01F x >.【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导，分1a ≤，1a e <<，a e >，a e =进行讨论，可得函数()f x 的单调性；（2）将1a =代入()F x ，对()F x 求导，可得()2(1)ln F x x m x '=--，再对()2(1)ln F x x m x '=--求导，可得函数()F x 有唯一极大值点101,x x x =，且0000002(1)()2(1)ln 0(01)ln 2x mF x x m x m x x -'=--=⇒=<<<.可得222000000000222()1(2ln )ln ln x x x F x x x x x x --=-+=--,设2()2ln h x x x=--，对其求导后可得0()1F x >.【详解】解：（1）222()(1)(1)(1)()()x x x x a e x a e a x e x x a e f x x x x x-⋅---+---'=+==， 又0x，1x e ∴>，1a ∴≤时，0x a e -<，所以可解得：函数()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减；经计算可得，1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减；a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减；a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减.综上：1a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递增，(1,)+∞单调递减；1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减；a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减.（2）若1a =，则221()(1)(1())(1)(1ln )x e F x x mx f x x mx x x -=-+--=-+-， ()2(1)ln F x x m x '∴=--，设()2(1)ln ,(0)H x x m x x =-->，则()2m H x x '=-， 当(0,)2m x ∈时，()0()H x H x '<⇒单调递减，即()F x '单调递减， 当(,)2m x ∈+∞时，()0()H x H x '>⇒单调递增，即()F x '单调递增. 又因为02,01,2m m <<∴<<由(1)0F '=可知：()02m F '<， 而2222()2(1)ln 20m m m m F e em e e ----'=--=⋅>，且201m e e -<=， 21(,)2m m x e -∴∃∈，使得1()0F x '=，且1(0,)x x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增， 1(,1)x x ∈时，()0,()F x F x '<单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增，所以函数()F x 有唯一极大值点101,x x x ∴=， 且0000002(1)()2(1)ln 0(01)ln 2x m F x x m x m x x -'=--=⇒=<<<. 220000000002(1)()(1)(1ln )(1)(1ln )ln x x F x x mx x x x x -∴=-+⋅-=-+⋅- 220000221ln x x x x -=-+. 所以222000000000222()1(2ln )ln ln x x x F x x x x x x --=-+=--, 设2()2ln h x x x =--（01x <<），则22212()0x h x x x x-'=-=>， ()h x ∴在(0,1)单调递增，()(1)0h x h ∴<=，0()0h x ∴<，又因为0ln 0x <，0()10F x ∴-> 0()1F x ∴>.【点睛】本题主要考查导数、函数的单调性等知识，考查方程与函数、分类与整合的数学思想，考查学生的推理论证能力与运算求解能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4—4：坐标系与参数方程22.[选修4-4：坐标系与参数方程]以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为12sin cos ρθθρ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）写出曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上任取一点P ，过点P 作x 轴，y 轴的垂直，垂足分别为A ，B ，求矩形OAPB 的面积的最大值.【答案】(1)12cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩.(2)max 3S =+【解析】分析：（1）先根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出圆的参数方程，（2）根据题意得()()12cos 12sin S θθ=++，再根据同角三角函数关系得213222S t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，sin 4t cos πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，最后根据二次函数性质求最值. 详解：（1）由12sin cos ρθθρ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭得()22sin cos 1ρρθρθ=++，所以22222x y x y +=++，即()()22114x y -+-=， 故曲线C 参数方程1212x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）； （2）由（1）可设点P 的坐标为()12cos ,12sin θθ++，[)0,2θπ∈，则矩形OAPB 的面积为 ()()12cos 12sin S θθ=++ 12sin 2cos 4sin cos θθθθ=+++.令sin 4t cos πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，212sin t cos θθ=+，22131222222S t t t ⎛⎫=++-=+- ⎪⎝⎭，故当t =时，max 3S =+. 点睛：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：cos (sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数）， 圆参数方程：cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数），直线参数方程：00cos (sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数） 选修4—5：不等式选讲23.已知函数()|1|||f x x x a =+-+.（1）若1a =-，求不等式()1f x -的解集；（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ （2）[]2,0-【解析】【分析】 （1））当1a =-时，将函数()f x 写成分段函数，即可求得不等式的解集. （2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题，只需满足()max |21|f x a +即可. 【详解】解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩ 由()1f x -，得12x. 故不等式()1f x -的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题，所以()max |21|f x a +.因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-，所以()max |1|f x a =-，则|1||21|a a -+，所以()()22121a a -+，即220a a +≤，解得20a -，即a 的取值范围为[]2,0-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十六)数学(理)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十六）数学（理工类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}254A x x x =-<-，集合{}0B x x =≤，则()A B =R( )A. ()1,0-B. ()1,4-C. ()1,4D. ()0,4【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合A ，求出B R，再根据交集运算可得结果.【详解】2{|540}{|14}A x x x x x =-+<=<<，{|0}B x =≤，B R{|0}x x =>，()AB =R{|14}{|0}x x x x <<⋂>(1,4)=.故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了补集和交集运算，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，则复数()22i -的共轭复数为( ) A. 54i - B. 54i + C. 34i - D. 34i +【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式化简复数后，再根据共轭复数的概念可得结果. 【详解】()22i -24434i i i =-+=-, 所以复数()22i -的共轭复数为34i +， 故选：D【点睛】本题考查了复数的代数运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题. 3.已知等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足10342S S -=，则7a 的值是( ) A. 3 B. 6C. 7D. 9【答案】B 【解析】 【分析】根据前n 项和的定义可得4567891042a a a a a a a ++++++=，再根据等差数列的性质可得结果. 【详解】因为10342S S -=，所以4567891042a a a a a a a ++++++=， 又{}n a 为等差数列，根据等差数列的性质可得7742a =， 所以76a =; 故选：B【点睛】本题考查了数列的前n 项和的概念，考查了等差数列的性质，属于基础题.4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C. 2019年我国居民每月消费价格逐月递增D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计折线图以及同比和环比的概念，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】根据统计折线图以及同比增长率的概念可知2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比都是上涨的，故A 不正确；2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格涨幅最高，不是消费价格最高，故B 不正确； 2019年我国居民每月消费价格有涨有跌，故C.不正确；2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降，下降了0.4个百分点，故D 正确. 故选：D【点睛】本题考查了对统计折线图的分析和理解能力，考查了同比和环比的概念，属于基础题.5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>离心率为3，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A. 22y x =±B. 2y x =C. 2y x =±D. 24y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据3c e a ===可得b a =.【详解】因为3c e a ===，所以b a =由双曲线的几何性质可得渐近线方程为：y =±， 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了双曲线的渐近线，属于基础题. 6.已知向量a ，b 的夹角为23π，()1,2a =，()20a a b ⋅+=，则b 等于( )A.B. C.3D.3【答案】A 【解析】 【分析】将()20a a b ⋅+=化为220a a b +⋅=，根据模长公式和平面向量的数量积的定义可得结果.【详解】因为()1,2a =，所以||14a =+=因为()20a a b ⋅+=，所以220a a b +⋅=，所以25||cos 03b π+=，解得||b =， 故选：A【点睛】本题考查了平面向量的模长公式，考查了平面向量的数量积的定义，属于基础题.7.劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某高中计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.学校计划下周在高一年级开设“缝纫体验课”，聘请“织补匠人”李阿姨给同学们传授织补技艺。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(二十)数学(文)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（二十）数学试题（文史类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第一卷（选择题，共60分）一、单项选择题1.设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x =≤，则MN =（ ）A. {}0B. {}0,1C. {}1,1-D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合N ，根据交集定义，即可求得答案. 【详解】{}2|{|01}N x x x x x =≤=≤≤,{1,0,1}M∴{0,1}M N ⋂=故选：B ．【点睛】本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2.已知复数32a iz i-=+（a R ∈，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值等于（ ） A.23B. 32C. 23-D. 32-【答案】A 【解析】()()()()3232321313a i i a a i z ---+--==，因为是纯虚数，所以320-=a ，23a =．故选A ．3.已知0,,sin 25πθθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则cos 2tan θθ=（ ） A. 310-B.310C. 65-D.65【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得cos ,tan θθ，由此求得cos2θ，进而求得表达式的值.【详解】0,,sin 2πθθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以cos θ==sin 1tan cos 2θθθ==. 因为231cos 212sin ,tan 52θθθ=-==，所以cos 26tan 5θθ=. 故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换的知识，考查运算求解能力. 4.下列叙述中正确的是( )A. 若,,a b c ∈R ，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B. 若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C. 命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x ≥”D. l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】D 【解析】试题分析：当0a <时，2"40"b ac -≤推不出2"0"ax bx c ++≥，A 错，当0b =时，""a c >推不出22""ab cb >，B 错，命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x <”，C 错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D 正确. 考点：充要关系5.已知3log 0.5a =，0.5log 0.6b =，0.23c =，则（） A. a b c << B. b c a <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值0和1可得到,,a b c 所处的大致范围，从而得到结果. 【详解】00.2330.50.50.5log 0.5log 10log 1log 0.6log 0.5133<==<<==< a b c ∴<<本题正确选项：A【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.6.若同一平面内向量a b c ，，两两所成的角相等，且113a b c ＝，＝，＝，则||a b c ＋＋等于( )A. 2B. 5C. 2或5D.【答案】C 【解析】【详解】因为同一平面内向量a b c ，，两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是120°时，2222||2221191334a b c a b c a b a c b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++---=，即||2a b c =＋＋；当三个向量所成的角都是0°时，||5a b c =＋＋.故||2a b c =＋＋或5.选C. 【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式||||cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A. 11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B. 11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-【答案】B 【解析】 【分析】执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得： 第1次循环：1,2S i ==；第2次循环：11,33S i =-=；第3次循环：111,435S i =-+=；第10次循环：11111,1135719S i =-+-+-=， 此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719P S ==-+-+⋅⋅⋅-，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极大值，则函数()y xf x '=的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近()f x '>0，-2的右侧()f x '<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，()'0xf x >排除BC ，当x<-2且在-2的左侧附近时，()'0xf x <，排除AC ， 故选D9.在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为（ ） A. 89 B. 79C. 49D. 19【答案】A 【解析】 【分析】两个数构成有序数对，对应平面区域，两个数中较大的数大于23，其对立事件是两个数都小于等于23，求出概率即可.【详解】在区间[0,2]中随机取两个数，两个数构成有序数对(),x y ，0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩构成的区域如图中大正方形， 又“这两个数中较大的数大于23”为“这两个数都小于或等于23”的对立事件， 且在区间[0,2]中随机取两个数，这两个数都小于或等于23，203203x y ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩所构成的平面区域的面积为224=339⨯，故两个数中较大的数大于23的概率489149P =-=. 故选：A【点睛】此题考查几何概型，将题目所给条件准确转化成平面直角坐标系内的区域，利用面积求解. 10.已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ） A.35B.25C.45D.155【答案】B 【解析】 【分析】如图所示：分别以1,,BA BC BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，得到()0,2,1AE =-，()1,0,2CF =-，计算夹角得到答案.【详解】如图所示：分别以1,,BA BC BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.故()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,0,1E ，()1,0,2F ，故()0,2,1AE =-，()1,0,2CF =-.2cos ,5AE CF AE CF AE CF⋅==⋅，即AE 与CF 夹角的余弦值为25. 故选：B .【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11.已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =-的垂线段分别为,PA PB ，若三角形PAB 的面积为33，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ） A. (2,0) B. (3,0)C. (0,2)D. (0,3)【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =±之间并且包括x 轴在内的区域，再根据三角形PAB 的面积为33，即可求得点P 轨迹的一个焦点坐标. 【详解】如图所示，则120AOB ∠=︒，60APB ∠=︒.不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =之间并且包括x轴在内的区域．∴2234x y PA PB -==∵ 三角形PAB的面积为16∴)2213sin 6032PABS PA PB x y ∆==-=即P 点轨迹方程为22113x y -=. ∴焦点坐标为()2,0. 故选：A.【点睛】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.函数()23f x x x a =-+-，()22xg x x =-，若()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对]1[0x ∈，恒成立，则实数a 的范围是（） A. (,2]-∞ B. (,]e -∞ C. (,ln 2]-∞D. 1[0,)2【答案】A 【解析】 【分析】利用导数可得()g x 在[]0,1x ∈上的取值范围为()01,g x ⎡⎤⎣⎦，其中()02g x <，令()t g x =换元，把()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对[]0,1x ∈恒成立转化为230t t a -+-≥对()01,t g x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，分离参数a 后利用函数单调性求出函数23t t -+的最小值得答案.【详解】解：()22xg x x =-，()'222xg x ln x =-，()'020g ln =>，()'12220g ln =-<， ()'g x ∴在()0,1上有零点，又()2''2220xg x ln ⎡⎤=⋅-<⎣⎦在[]0,1上成立，()'g x ∴在()0,1上有唯一零点，设为0x ，则当()00,x x ∈时，()'0g x >，当()0,1x x ∈时，()'0g x <，()g x ∴在[]0,1x ∈上有最大值()02g x <，又()()011g g ==，()()01,g x g x ⎡⎤∴∈⎣⎦，令()()01,t g x g x ⎡⎤=∈⎣⎦，要使()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对[]0,1x ∈恒成立，则()0f t ≥对()01,t g x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，即230t t a -+-≥对()01,t g x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立， 分离a ，得23a t t ≤-+， 函数23t t -+的对称轴为32t =，又()02g x <， ()232mint t∴-+=，则2a ≤.则实数a 的范围是(],2-∞. 故选A【点睛】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段时速超过50/km h 的汽车辆数为 ．【答案】77 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，求出时速超过50/km h 的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．【详解】根据频率分布直方图，得时速超过50/km h 的汽车的频率为(0.0390.0280.01)100.77++⨯=； 所以时速超过50/km h 的汽车辆数为1000.7777⨯=． 故答案为：77．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题．14.函数2cos 2y x x =-的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个长度单位后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的值为___________. 【答案】6π 【解析】 【分析】由2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，向右平移(0)2πϕϕ<<个长度单位后，得到函数()2sin 22sin )2266(x g x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据函数()g x 为偶函数求解.【详解】函数2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 向右平移(0)2πϕϕ<<个长度单位后，得到函数()2sin 22sin )2266(x g x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为函数()g x 为偶函数， 所以2,62k k Z ππϕπ--=+∈，即23k ππϕ=--， 因为02πϕ<<，所以6π=ϕ. 故答案为：6π 【点睛】本题主要考查三角函数的图象平移变换和性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15.已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC|＋|BD|的最小值为________.【答案】3 【解析】不妨设()()111,0A x y y >，()()222,0B x y y <，则222114y AC BD x y y +=+=+，又2124y y p =-=-，所以()2222404y AC BD y y +=-<，利用导数易知22244y y y =-在(),2-∞-上递减，在()2,0-上递增，所以当22y =-时，AC BD ＋的最小值为3，故答案为3.16.已知正三棱锥P ABC 一的侧面是直角三角形，P ABC 一的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P ABC 一的体积为36，则球O 的表面积为__________． 【答案】108π 【解析】 【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题转化为正方体的外接球问题．【详解】∵正三棱锥P ﹣ABC ，PA ，PB ，PC 两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ， 设球O 的半径为R ， 23R， ∵正三棱锥P ABC 一的体积为36， ∴V=11123232336332333PACR R RS PB ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ∴R=33∴球O 的表面积为S=4πR 2=108π 故答案为108π．【点睛】本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，三棱锥体积的表示方法，有一定难度，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图，在直角梯形ABCD 中，90,//,4,2ADC CD AB AB AD CD ︒∠====，将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图所示.（1）求证：BC ⊥平面ACD ； （2）求点A 到平面BCD 的距离h . 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】 【分析】（1）根据90,//,4,2ADC CD AB AB AD CD ︒∠====，得到2,AC BC ==再根据勾股定理得到AC BC ⊥，然后根据平面ADC ⊥平面ABC ，利用面面垂直的性质定理证明.（2）由（1）知：BC 为三棱锥B ACD -的高，22BC =分别求得ADC S △，BDC S △，再根据B ADC A BDC V V --=求解.【详解】（1）因为90,//,4,2ADC CD AB AB AD CD ︒∠====， 所以22222,,AC BC AC BC AB AC BC ==∴+=∴⊥， 因为平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC平面,ABC AC BC =⊂平面,ABCBC ∴⊥平面ACD ;（2）由（1）知：BC 为三棱锥B ACD -的高，BC =122ADCSAD DC =⨯⨯=，12BDCS DC BC =⨯⨯= 因为B ADC A BDC V V --=， 即1133ADCBDCSBC S h ⨯⨯=⨯⨯，解得2h =.【点睛】本题主要考查面面垂直，线面垂直的转化和等体积法求点到面的距离，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.18.某商店为了更好地规划某种产品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如表（x 吨）为该商品的进货量，y （天）为销售天数：（1）根据上述提供的数据，求出y 关于x 的回归方程；（2）在该商品进货量x 不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量x 恰好有1个值不超过3吨的概率.参考数据和公式：121,ni ii ni i x y nx yb a y bx x nx==-==--∑∑，88211356,241i i i i i x x y ====∑∑【答案】（1）49116834y x =-；（2）35. 【解析】 【分析】（1）根据提供的数据，分别求得,,,x y b a ，然后写出回归直线方程；（2）根据古典概型的概率求法，先列举出从进货量不超过6吨的前提下任取2个值的基本事件的个数，然后找出恰好有1次不超过3吨的基本事件的个数，再代入公式求解. 【详解】（1）由题意得：49116,4,,6834x y b a ===∴=-， 所以回归直线方程为49116834y x =-；（2）进货量不超过6吨有2，3，4，5，6共5个，任取2个有()2,3,(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)有10个结果， 恰好有1次不超过3吨的有：(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)共6种所以所求的概率为63105p == 【点睛】本题主要考查线性回归分析和古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2423n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11(N ),n n n n b n T a a *+=∈是{}n b 的前n 项和，求使215n T <成立的最大正整数n . 【答案】（1）21n a n =+；（2）5. 【解析】 【分析】（1）当2n ≥时，根据2423n n n S a a =+-，得到2111423n n n S a a ---=+-，两式相减得12n n a a --=，再利用等差数列的定义求解. （2）根据（1）得到1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，用裂项相消法求n T ，然后再代入215nT <求解.【详解】（1）当2n ≥时，由2423n n n S a a =+-，得2111423n n n S a a ---=+-，两式相减得12,n n a a --=， 当1n =时，13a =，且212,a a -= 所以数列{}n a 是等差数列，21n a n ∴=+；（2）1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，11111112355721233(23)n n T n n n ⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪+++⎝⎭， 2,3(23)15n n ∴<+解得6n <，所以最大的正整数为5.【点睛】本题主要考查数列通项公式和前n 项和间的关系以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左右焦点分别是12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点.（1）若以线段1AF 为直径的动圆内切于圆229x y +=，求椭圆的长轴长；（2）当1b =时，问在x 轴上是否存在定点T ，使得TA TB ⋅为定值？如果存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6；（2）存在，(,0)9T -， 781-. 【解析】 【分析】（1）设1AF 的中点为M ，连接2,OM AF ，根据中位线得到211111(2)3222OM AF a AF AF ==-=-求解.（2）直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为1122((,),(,)y k x A x y B x y =+，与椭圆方程2219x y +=联立整理得到2222(91)7290k x x k +++-=，设2012120012(,0),()T x TA TB x x x x x x y y ⋅=-+++=，若为定值，则需220009719(9)x x ++=-成立求解.【详解】（1）设1AF 的中点为M ，连接2,OM AF ，在12AF F ∆中，所以211111(2)3222OM AF a AF AF ==-=-， 所以3a =，故椭圆的长轴长为6；（2）因为椭圆方程为2219x y +=，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为1122((,),(,)y k x A x y B x y =+，则222222(,(91)729099y k x k x x k x y ⎧=+⎪+++-=⎨+=⎪⎩，222121212222729+=,,919191k k x x x x y y k k k ---==+++， 设2012120012(,0),()T x TA TB x x x x x x y y ⋅=-+++，2220002(971)991x k x k +++-=+,当220009719(9)x x ++=-时，即09x =-， TA TB ⋅为定值，定值为781-，当直线AB 的斜率不存在时，11(),()33A B ---，当(,0)9T -时，TA TB ⋅781=-，综上，在x 轴上存在定点(9T -，使得TA TB ⋅为定值781-.【点睛】本题主要考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数2()(12)ln f x ax a x x =+--，a R ∈. （1）当0a <时，求函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值； （2）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点1122(,),(,)A x y B x y 是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ，试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由.【答案】（1）min13ln 2,12411()1ln(2),14211,02a a f x a a aa a ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪--<<⎪⎩；（2）不平行，理由见解析.【解析】 【分析】（1）求导(21)(1)()ax x f x x +-'=，分0a <，112a ->，11122a ≤-≤，1122a -<四种情况讨论求解. （2）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x +=，表示直线AB 的斜率1k =211212ln ln ()(12)x x a x x a x x -++-+-，再表示曲线在点N 处的切线的斜率2001201212()2(12)()(12)k f x ax a a x x a x x x '==+--=++--+，然后假设曲线在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =，论证211212ln ln 2x x x x x x -=--+是否成立即可.【详解】（1）(21)(1)()ax x f x x +-'=，当0a <时，由(=0,f x '）得121,12x x a=-=， 当111,022a a ->-<<时，()f x 在()0,1单调递减， 所以()f x 在1[,1]2上最小值为(1)1f a =-，当1111,1222a a ≤-≤-≤≤-时，()f x 11[,]22a -上单调递减，在1[,1]2a-上单调递增， 所以()f x 在1[,1]2上最小值为11()1ln(2)24f a a a-=-+-， 当11,122a a -<<-时，()f x 在1[,1]2上单调递增， 所以()f x 在1[,1]2上最小值为11()223ln 24f a -+=，综上，函数()f x 在1[,1]2上最小值为min13ln 2,12411()1ln(2),14211,02a a f x a a aa a ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪--<<⎪⎩；（2）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x += 直线AB 的斜率为2212112122112121[()(12)()ln ln ]y y k a x x a x x x x x x x x -==-+--+-=--211212ln ln ()(12)x x a x x a x x -++-+-曲线在点N 处的切线的斜率为2001201212()2(12)()(12)k f x ax a a x x a x x x '==+--=++--+ 假设曲线在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =即211212ln ln 2x x x x x x -=--+所以22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x x --==++，设212(1)1,ln 1x t t t x t-=>=+ 令222(1)(1)()ln ,()01(1)t t g t t g t t t t --'=-=>++ 所以()g t 在()1,+∞是增函数，又(1)0,=g 所以2(1)()ln 01t g t t t-=->+， 即2(1)ln 1t t t ->+， 所以2(1)ln 1t t t-=+不成立，所以曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB .【点睛】本题主要考查导数与函数的最值以及导数与切线问题，还考查了分类讨论，转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.选修4-4参数方程极坐标22.在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），在以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）求椭圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与,x y 轴分别交于两点,A B ，点P 是圆上任意一点，求APB ∆面积的最大值. 【答案】（1）22(5)(3)2x y ++-=，20x y -+=；（2）8. 【解析】 【分析】（1）根据参数方程53x t y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，消去t 即可.由cos()4πρθ+=得cos sin 2ρθρθ-=-，再利用cos ,sin x y ρθρθ==求解.（2）直线与两坐标轴的交点分别是(2,0),(0,2)A B -，根据参数方程，设点P的坐标为(5,3)αα-+，可得点P到直线的距离为d =，利用三角函数的性质求得最值，再由12S d AB =⨯⨯求解. 【详解】（1）由参数方程53x t y t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，消去t 得，22(5)(3)2x y ++-=，所以圆的普通方程为22(5)(3)2x y ++-=.由cos()4πρθ+=cos sin 2,20x y ρθρθ-=-∴-+=，所以直线的直角坐标方程为：20x y -+=.（2）直线与两坐标轴的交点分别是(2,0),(0,2)A B -， 设点P的坐标为(5,3)αα-++，点P 到直线的距离为d =，当cos()14πα+=-，24k παππ+=+时点到直线的距离最大，所以max d AB ==所以PAB ∆的面积的最大值为182S =⨯=. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.选修4-5不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1,f x x x R =-∈.（1）求不等式()()31f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式()()1f x f x x a ≤+--的解集为M ，若31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，求 实数a 的取值范围.【答案】（1）[]0,3（2）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）根据题目进行分类讨论的化简123x x -+-≤，继而算出结果（2）利用不等式求解101x x x a x a x x --+-≤⇔-≤--，再根据条件计算出实数a 的取值范围解析：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--，123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩ 解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤， 所以03x ≤≤，故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3. （2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a ≤+-- 101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，所以122a≤≤，故实数a的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
2021届全国学海大联考新高考模拟考试(十二)数学(文科)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟考试（十二）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1.已知集合{}|(2)0A x x x =-≤，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（ ）A. {}1,3-B. {}0,1,2C. {}1,2D. {}0,1,2,3【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得AB .【详解】由()20x x -≤解得02x ≤≤，所以[]0,2A =，所以{}0,1,2A B =.故选：B【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.若1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =a =（ ）A. 0或2B. 0C. 1或2D. 1【答案】A【解析】 【分析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z ==0a =或2a =.故选：A【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题. 3.下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（ ） A. 2log 2xy =B. 21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. 21log y x=D. 14y x =【答案】C 【解析】【分析】 分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.4.已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A. 1a B. 3aC. 8aD. 10a【答案】A 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式，由此确定数列为0的项. 【详解】由于等差数列{}n a 中5732a a =，所以()()113426a d a d +=+，化简得10a=，所以1a 为0.故选：A【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题. 5.若单位向量1e 、2e 夹角60，122a e e =-，则a =（ ）A. 4B. 2C.3 D. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用平面数量积的定义和运算性质计算出2a 的值，进而可得出a 的值. 【详解】由于位向量1e 、2e 夹角为60，则12121cos602e e e e ⋅=⋅=， ()2222121122124444132a e e e e e e ∴=-=-⋅+=-⨯+=，因此，3a =.故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的模，考查计算能力，属于基础题.6.《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A 选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A 选项错误. 对于B 选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B 选项错误. 对于C 选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C 选项错误.对于D 选项，甲的总得分45334322+++++=分，乙的总得分54545427+++++=分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D 选项正确. 故选：D【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.7.命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A. p q ∧ B. ()()p q ⌝∨⌝ C. ()p q ∧⌝ D. ()p q ⌝∧【答案】A 【解析】 【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题. 故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.8.已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】对x 分0,0x x >≤两种情况求方程()3=0f x -的根的个数即得解.【详解】当0x >时，3|ln |30,ln 3,x x x e -=∴=±∴=或3e -，都满足0x >； 当0x ≤时，222430,2430,20,164230x x x x ---=∴++=>∆=-⨯⨯<，所以方程没有实数根.综合得函数()3y f x =-的零点个数是2. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的零点的个数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知α为锐角，且sin 3tan 3sin 3παπαπα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，则角α=（ ） A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】C 【解析】 【分析】对sin 3tan 3sin 3παπαπα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭先化切为弦，再利用和角差角的正余弦公式化简即得解. 【详解】由题得sin sin 33,cos()sin 33ππαααππαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭为锐角，∴sin cos()33ππαα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭∴11sin cos cos ,sin cos ,tan 12222ααααααα-=-∴=∴=. 因为α为锐角，∴=4πα. 故选：C【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和和角差角的正余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2240x y y +-=截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.3D.【答案】D 【解析】 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求的离心率．【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程设为0bx ay -=，由题得圆22(2)4x y +-=的圆心为(0,2)，半径2r ，可得圆心到渐近线的距离为d =则2=223a b ，所以221,3b a =c e a ====， 故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*n ∈N ），则n S =（ ） A. 121n -+ B. 2n n ⋅C. 31n -D. 123n n -⋅【答案】B 【解析】 【分析】 由题得122,1n n a n a n ++=⨯+再利用累乘法求出1(1)2n n a n -=+⋅，即得n S .【详解】由题得111(1)(1),,,2121n n n nn n n na n a na n a S S a n n n n ++---=∴=∴=-++++（2n ≥） 所以122,1n n a n a n ++=⨯+（2n ≥） 由题得22166,32a a a =∴==，所以122,1n n a n a n ++=⨯+（1n ≥）. 所以324123134512,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n -+=⨯=⨯=⨯=⨯， 所以11112,(1)22n n n n a n a n a --+=⋅∴=+⋅. 所以(2)222n n n nS n n n =⨯+⋅=⋅+. 故选：B【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列前n 项和与n a 的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数. 【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2A C G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--，不存在实数λ使GC ED λ=，故//GC ED 不成立，故②错误. ③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=，设EF 和1BB 成角为θ，则1122cos 222EF BB EF BB θ⋅-===⨯⋅，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.若,x y 满足约束条件222022x y y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为__________．【答案】4 【解析】【详解】作出可行域如图所示：由222x y y -=⎧⎨=⎩，解得()2,2A .目标函数z x y =+，即为y x z =-+，平移斜率为-1的直线，经过点()2,2A 时，224max z =+=. 14.曲线()2sin f x x =在3x π=处的切线与直线10ax y +-=垂直，则a =________.【答案】1 【解析】 【分析】先求出切线的斜率()1,3k f π'==解方程1()1a ⨯-=-即得解.【详解】由题得()2cos ,() 1.3f x x k f π''=∴==所以1()1,1a a ⨯-=-∴=. 故答案为：1【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查两直线垂直的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.在半径为2的圆上有A ，B 两点，且2AB =，在该圆上任取一点P ，则使得PAB ∆为锐角三角形的概率为________. 【答案】16【解析】 【分析】如图，当点P 在劣弧CD 上运动时，PAB ∆为锐角三角形.求出劣弧CD 的长，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】如图，四边形ABCD 是矩形，当点P 在劣弧CD 上运动时，PAB ∆为锐角三角形.由于OD=OC=CD=2，所以3COD π∠=,所以劣弧CD 的长为22=33ππ⨯，由几何概型的概率公式得213=226P ππ=⋅. 故答案为：16【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O，且BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为________. 【答案】(1). 3(2). 43π【解析】 【分析】由于BD 是球的直径，故当,OC BD OA BD ⊥⊥时，三棱锥A BCD -体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥A BCD -体积最大时，等边三角形ABC 的外接圆半径，由此求得等边三角形ABC 的外接圆的面积，也即求得平面ABC 截球所得的截面圆的面积.【详解】依题意可知，BD 是球的直径，所以当,OC BD OA BD ⊥⊥，即OC OA ==时，三棱锥A BCD -体积取得最大值为111332BCD S OA ∆⨯⨯=⨯⨯=此时2BC AC AB ===，即三角形ABC 是等边三角形，设其外接圆半径为r，由正弦定理得22sin3r r π=⇒=形ABC 的外接圆的面积，也即平面ABC截球所得的截面圆的面积为224443r πππ=⨯=.故答案为：(1).3(2). 43π【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查球的截面面积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.17.已知在ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，2sin sin 2B A A =，1cos 3B =. （1）求A 的大小； （2）若2AC =，求AB 长. 【答案】（1）3A π=（261+ 【解析】 【分析】（1）由题得22sin 3B =，再解方程()221cos 3cos A A -=即得解；（2）求出322sin 6C +=，再利用正弦定理得解.详解】（1）由题得22sin 3B =， 所以22sin 3cos A A =，所以()221cos 3cos A A -=， 解得1cos 2A =，(0,)A π∈，∴3A π=.（2）sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+3112232223236=+⋅=由正弦定理sin sin AB AC C B =得6sin 1sin 4AC AB C B =⋅=+. 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正弦公式的应用，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求m 的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？ 擅长 不擅长 合计 男性 30 女性 50 合计100()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）0.025m =（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为1列方程，解方程求得m 的值.（2）根据表格数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【详解】（1）由题意()0.00520.0150.020.03101m ⨯++++⨯=，解得0.025m =. （2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为()0.025+0.0031010030⨯⨯=. 完善列联表如下： 擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 307010022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2100(800300) 4.76250503070⨯-=≈⨯⨯⨯，对照表格可知，4.762 6.635<，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查22⨯列联表独立性检验，属于基础题.19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，且1A B NG ⊥.（1）求证1A B GM ⊥； （2）求点1A 到平面MNG 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）655【解析】 【分析】（1）先证明1A B ⊥平面MNG , 1A B ⊥MG 即得证；（2）设1A B 与GN 交于点E ，先求出455BE =，再求出165A E =即得解. 【详解】（1）由题意平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，因为1MN BB ⊥, 所以MN ⊥平面11ABB A ,因为1A B ⊂平面11ABB A , 所以1MN A B ⊥,因为1GN A B ⊥,,MN GN ⊂平面MNG ,MN GN N =,所以1A B ⊥平面MNG , 因为MG ⊂平面MNG , 所以1A B ⊥MG .（2）设1A B 与GN 交于点E ，在直角△11A BB 中，112cos 5525A BB ∠==, 在直角BNE ∆中，112cos 552BE BE A BB BN ∠===,所以55BE =， 则155555A E ==因为1A B ⊥平面MNG ,所以1A E 就是1A 到平面MNG 的距离，可知1A 到平面MNG的距离为5. 【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-. （1）求C 的方程；（2）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试证明2||||||AP AQ OM ⋅为定值，并求出该定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析；该定值为2【解析】 【分析】（1）由已知得2234b a =，且1c =，即得椭圆的标准方程；（2）设直线AP 的方程为：(2)y k x =+，求出226834p k x k -=+，221234M x k =+，再计算2||||||AP AQ OM ⋅得其值为定值. 【详解】（1）已知点P 在椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上，可设()00,P x y ，即2200221x y a b+=，又2200022200034AP BPy y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==-=-+--， 且22c =，可得椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设直线AP 的方程为：(2)y k x =+，则直线OM 的方程为y kx =. 联立直线AP 与椭圆C 的方程可得：()2222341616120kxk x k +++-=，由2A x =-，可得226834p k x k -=+，联立直线OM 与椭圆C 的方程可得：()2234120kx+-=，即221234Mx k =+，即2222|02|||||2||p A Q P M MA x x x x x AP AQ OM x x -⋅-+⋅+⋅===. 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知函数321()3f x x x mx m =+++. （1）若1x 为()f x 的极值点，且()()12f x f x =（12x x ≠），求122x x +的值. （2）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点. 【答案】（1）1223x x +=-（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题得22112212+++3+3+30x x x x x x m =，2113630x x m ++=，对两式消元因式分解即得122x x +的值；（2）由题得321(1)3x x m x +=-+，再分析321()3h x x x =+和(1)y m x =-+的图象即得当0m >时，()f x 有唯一的零点.【详解】（1）由题得2()2f x x x m '=++， 由题可知()()12f x f x =，所以32321112221133x x mx m x x mx m +++=+++， 所以22112212+++3+3+30x x x x x x m =（i ）因为()10f x '=，所以21120x x m ++=.即2113630x x m ++=（ii ）（ii ）-（i ）得221122121212122330,(2)()3()0x x x x x x x x x x x x --+-=∴+-+-=， 所以12121212(23)()0,,23x x x x x x x x ++-=≠∴+=-.（2）令321()03f x x x mx m =+++=，则321(1)3x x m x +=-+， 令321()3h x x x =+，2()2h x x x '=+， 可知()h x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在[]2,0-上单调递减，又4(2)3h -=，(0)0h =； (1)y m x =-+为过(1,0)-点的直线，又0m >，则0m -<，因此321(1)3x x m x +=-+有且只有一个交点， 即321()3f x x x mx m =+++有唯一的零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.选修 4-4 坐标系与参数方程22.已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C 和2C 的普通方程；（2）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值.【答案】（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=（2）1) 【解析】 【分析】（1）消去曲线12,C C 参数方程中的参数，求得1C 和2C 的普通方程.（2）设出过原点O 的直线的极坐标方程，代入曲线12,C C 的极坐标方程，求得,ON OM 的表达式，结合三角函数值域的求法，求得||||ON OM 的最小值.【详解】（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=.（2）设过原点的直线的极坐标方程为30,,4R πθββπβρ⎛⎫=≤<≠∈ ⎪⎝⎭； 由22(2)4x y -+=得2240x y x +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=在曲线1C 中，4|o |c s OM β=.由80x y +-=得曲线2C 的极坐标方程为cos sin 80ρθρθ+-=，所以 而O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8||sin cos ON ββ=+，因此28||24sin cos ||4cos sin cos cos 214ON OM ββπβββββ+===+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即||||ON OM1)=. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题. 23.已知函数()|1||1|f x ax x =++-.（1）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|33x x -<<（2）()0,a ∈+∞ 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况，求得()f x 的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，由此可知，()9f x <的解集为{}|33x x -<<（2）当0a >时，()()()1,11()1112,111,a x x f x ax x a x x a a x x a ⎧⎪+>⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩()f x 的最小值为1f a ⎛⎫-⎪⎝⎭和()1f 中的最小值，其中1111f a a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，(1)11f a =+>.所以()1f x >恒成立.当0a =时，()111f x x =-+≥，且(1)1f =，()1f x >不恒成立，不符合题意. 当0a <时，()1111,1f a f a a ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 若20a -≤<，则()11f ≤，故()1f x >不恒成立，不符合题意； 若2a <-，则11f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故()1f x >不恒成立，不符合题意. 综上，()0,a ∈+∞.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)数学(文)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）数学(文科)试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已如集合2|1,A x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭{3,2,1,1,2,3}B =---，则AB =（ ）A. {2,1,1,2,3}--B. {2,1}--C. {1,1,2,3}-D. {3,2}--【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式21x≤-，从而可得{}|20A x x =-≤<，进而可求出A B . 详解】解：()2022100x x xx x x ⎧+≤+≤-⇒≤⇒⎨≠⎩ ，解得20x -≤<，则{}2|1|20A x x x x ⎧⎫=≤-=-≤<⎨⎬⎩⎭，所以{}2,1AB =--.故选:B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了分式不等式的求解.本题的易错点是，在解分式不等式时，忽略了分母不为零这一条件. 2.已知i 为虚数单位，复数12,2()iz z a i a R i-==+∈.若12z z >，则a 的取值范围是（ ） A. (2,2)- B. (0,2)C. (2,)+∞D. (,2)-∞【答案】A 【解析】 【分析】对1z 进行整理得112z i =--，进而可求出12,z z ，结合12z z >>，进而可求出a 的取值范围.【详解】解：()122212i i i z i i i--===--，则1z ==，2z =，因为12z z >>22a -<<. 故选:A.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数的模，考查了一元二次不等式.将1z 进行整理是本题的关键. 3.函数()2x af x +=在区间()1,+∞内单调递增的一个充分不必要条件是（ ）A. 2a ≥-B. 2a >-C. 1a ≥-D. 1a >-【答案】D 【解析】 【分析】首先求满足条件的充要条件，再求其真子集，就是满足条件的一个充分不必要条件. 【详解】函数()2x af x +=的单调递增区间是[),a -+∞，若函数()2x af x +=在区间()1,+∞单调递增，1a ∴-≤，即1a ≥-那么满足条件的一个充分不必要条件需是[)1,-+∞的真子集， 只有1a >-满足条件，故选D.【点睛】本题考查复合函数给定区间的单调性，求参数取值范围，以及充分必要条件，复合函数单调性的判断方法，将函数分解为内层函数和外层函数，内层函数与外层函数的单调性一致，函数是单调递增，若相反，函数是单调递减.4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13134S π=，则222579cos cos cos a a a ++=（ ） A. 1 B.32C.52D. 2【答案】B 【解析】 【分析】 由13134S π=可得722a π=，根据余弦的二倍角公式，可得原式579cos2cos2cos2322a a a ++=+， 由5972222a a a +=⨯，根据余弦函数的性质，可知579cos2cos2cos202a a a ++=，从而可求出222579cos cos cos a a a ++的值.【详解】解：()11313713131324a a S a π+===，则722a π=.设()cos f x x = 2225795795791cos21cos21cos2cos2cos2cos23cos cos cos 22222a a a a a a a a a +++++++=++=+ 因为()cos f x x =对称中心为,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，且722a π=，5972222a a a +=⨯所以579cos2cos2cos202a a a ++=，即原式32=.故选:B.【点睛】本题考查了等差中项，考查了等差数列的求和公式，考查了余弦函数的性质，考查了二倍角公式.本题的难点是将所求式子进行变形.5.函数1()(3sin 2||cos2||)2f x x x =-的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性排除C ，当0x > 时，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由122f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可排除A,B ，从而可选出正确答案.【详解】解：由()1()(3sin2||cos2||)2f x x x f x -=---=，可得()f x 图像关于y 轴对称，排除C ，当0x > 时，()1()3sin 2cos2sin 226f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，排除A ，由122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 排除B ，故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了三角恒等变换.选择函数图像时，一般根据函数的奇偶性、单调性、周期性等对选项进行排除，然后可代入特殊值进行排除.6.已知某组合体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图的直观图如图②（粗线部分）所示，其中四边形A B C D ''''为平行四边形，B C x '''轴，O '为边A B ''的中点，则平行四边形A B C D ''''的面积为（ ）A. 8B. 16C. 2D. 82【答案】C 【解析】 分析】由几何体的三视图可得4B C ''=， 2A B ''=，再由斜二测画法求面积即可得解.【详解】解：由正视图与题意知4B C ''=，由侧视图与题意知2A B ''=，所以平行四边形A B C D ''''的面积为2sin 454222B C A B ''''⨯︒=⨯⨯=故选C.【点睛】本题考查了三视图及斜二测画法，属基础题.7.已知函数())lnf x x =，若19log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.21.8c f =，则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出函数()f x 的定义域，结合函数的解析式可得()()f x f x =-，即函数()f x 为偶函数，设())lng x x =，利用复合函数单调性的判断方法分析可得()g x 在[)0,+∞上为减函数，又由()0g 的值，可得在区间[)0,+∞上，()0g x ≤，由此可得()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数())ln f x x =，其定义域为R ，则())lnlnf x x -==)()lnlnx x f x =-=+=，即函数()f x 为偶函数，设())ln g x x ==，有()0ln10g ==，设t =，则ln y t =，当0x ≥时，t 为减函数且0t >，而ln y t =在()0,∞+增函数，则())lng x x ==在[)0,+∞上为减函数，又由()00g =，则在区间[)0,+∞上，()0g x ≤， 又由()()f x g x =，则()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，()199log 4log 4a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()525log 2log 4b f f ==，又由0.2259log 4log 41 1.8<<<，则有b a c <<； 故选：D ．【点睛】本题考查复合函数的单调性的判定，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题．8.如图，抛物线21:2(0)C y px p =>，圆222:12p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，圆2C 与y 轴相切，过1C 的焦点F 的直线从上至下依此交1C ，2C 于,,,A B C D ，且||||AB BD =，O 为坐标原点，则DA 在OF 方向上的投影为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A 【解析】 【分析】由相切可求出2p =，设()()1122,,,A x y D x y ，直线:AD 1x my =+，将直线与抛物线联立后由韦达定理可求出21242x x m +=+，121=x x ，124y y m +=，124y y =-，结合||||AB BD =，可得到中点B 的坐标，代入圆的方程中去，可求出2212m =，从而可求出投影12DA OF x x OF ⋅=-的大小. 【详解】解：由圆2C 与y 轴相切可知，12p = ，解得2p =，所以21:4C y x =，()222:11C x y -+=， 由题意知，()1,0F ,设()()1122,,,A x y D x y ，直线:AD 1x my =+，与抛物线方程联立得214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，即2440y my --=，由韦达定理知，124y y m +=，124y y =-， 则()21212242x x m y y m +=++=+，()21212116y y x x ==.因为||||AB BD =，则()221,2B m m +，代入2C 得，424410m m +-=，解得212m -=， 因为()()1212,,1,0DA x x y y OF =--=，所以DA 在OF 方向上的投影为122DA OF x x OF⋅=-===，故选:A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了向量的投影问题.本题的关键是由中点求出直线的方程.注意运用韦达定理简化运算.9.已知实数,x y 满足约束条件20y x mx y m ⎧≥-⎨-+≥⎩，其中01m <<，若222x y y ++的最大值为40，则m =（ ）A.2B.2C.12D.13【答案】C 【解析】 【分析】画出满足约束条件的可行域，由图分析可知，可行域内A 到()0,1-距离最大，即23,11m m A m m +⎛⎫⎪--⎝⎭为最优解，从而可得关于m 的方程.【详解】解：可行域如图，设()2222211z x y y x y =++=++-， 由图可知，A 到()0,1-最远，则23,11m m A m m +⎛⎫⎪--⎝⎭为最优解， 即22233240111m m m m m m +⎛⎫⎛⎫++⋅= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭且01m <<，解得12m =或2（舍去） .故选:C.【点睛】本题考查了线性规划问题.本题的关键是对目标式子进行分析，找出最优解.目标函数常见的形式有z ax by =+型、y b z x a-=-型、()()22z x a y b =-+-型，借助直线的截距、直线的斜率、两点间的距离等可分析出最优解.10.毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”(如图2)，如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A.116B.164C.2 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】由图可知，设第n 个图中正方形的个数为n a ，则112,n n n a a n N +*+=+∈，结合累加法可求出121,n n a n N +*=-∈，令1218191n n a +=-=，可确定第12个图形中得到8191个正方形；结合边长规律，即第n 个图中最小正方形边长为cos 45n ︒，从而可求出答案.【详解】解：设第n 个图中正方形的个数为n a ，则由图可知112,n n n a a n N +*+=+∈则221332122 (2)n n n a a a a a a -⎧-=⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ ，将n 个式子相加可得23122...2,2,n n a a n n N *-=+++≥∈ ， 所以()11412321,2,12n n na n n N -+*-=+=-≥∈-，当1n =时，2213-=，所以121,n n a n N +*=-∈.令1218191n n a +=-=，解得12n =.由题意知，第一个图中最小正方形边长为cos45︒ ，第二个图中最小正方形边长为2cos 45︒，则第n 个图中最小正方形边长为cos 45n︒，则1261211cos 452264⎛⎛⎫︒=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B.【点睛】本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，考查了指数值的运算，考查了推理.本题的关键是找出正方形个数及边长的规律.求数列的通项公式时，常见的思路有累加法、累乘法、构造新数列法、公式法.本题的易错点是，在进行累加法时，未能正确求出等号右侧等比数列的和.11.“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个x ，都有()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭成立，若现在已知函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+成立.若函数()()21y f f x a =--（0a ≥）都恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 120,42⎧⎫⎪⎪⎡⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭B. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,42⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 是“互倒函数”，得到()f x 解析式，从而画出()f x 的图像，将问题等价于等价于()()21f f x a =+有两个不等的实根，分为23171,416a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，217116a +=，21731162a <+<，2312a +=，2312a +>几种情况讨论，设()t f x =，先研究()21f t a =+的解，再研究()t f x =的解，从而得到a 的范围.【详解】函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则(]11,2x∈， 因为()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+， 所以()2112f x f x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 所以()2211,12211,122x x f x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，函数()()21y f f x a=--都恰有两个不同的零点，等价于()()21ff x a=+有两个不等的实根，作出()f x 的大致图像，如图所示， 可得()max 32f x =，()min 34f x =，317218f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，317416f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设()t f x =，则 ①当23171,416a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ，其中11324t ≤<，2312t ≤<， ()1f x t =无解，()2f x t =有两个解，符合题意；②当217116a +=时，由()21f t a =+得134t =，243t =， 由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意；③当21731162a <+<时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ， 其中1314t <<，2413t <<，由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意； ④当2312a +=时，由()32f t =，得121t t ==， 由图可知()1f x =有两个解，符合题意；⑤当2312a +>时，由()21f t a =+，得t 无解，不符合题意. 综上所述，2312a +=或23171416a ≤+<符合题意，而0a >，所以解得22a =或10,4a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 即实数a 的取值范围为120,42a ⎧⎫⎪⎪⎡⎫∈⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭. 故选：A.【点睛】本题考查符合函数的值域，函数与方程，根据函数的零点求参数的范围，考查了逻辑思维能力和运算能力，分类讨论的思想，属于难题.12.数列{}n a 满足1cos 2n n n a n a π+=⋅+，则数列{}n a 的前40项和为（ ）A. 40213-B. 4122-C.()404213- D.()402213-【答案】D 【解析】【分析】由题意知2134339403922...2a a a a a a +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩，将式子相加，结合等比数列的求和公式，即可求出数列{}n a 的前40项和.【详解】解：当n 取奇数时，cos 1n π=-，则2134339403922...2a a a a a a +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ ，将式子相加得 ()()2040353912340214221...222 (214)3a a a a ⨯--++++=++++==- .故选:D.【点睛】本题考查了数列求和，考查了等比数列的前n 项和公式.本题的难点是对已知递推公式的变形.易错点是求等比数列的和时，没能正确确定项数.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从某班,,,,A B C D E 五人中随机选取两人参加学校的问卷调查，则,A B 两人中至少有一人被选中的概率为________. 【答案】710【解析】 【分析】求出总的组合数和,A B 两人中无一人被选中的组合数，结合对立事件的概率和为1，可求出,A B 两人中至少有一人被选中的概率.【详解】解：五人中随机选两人组合数有2510C =种，,A B 两人中无一人被选中的组合数有233C =种，则,A B 两人中至少有一人被选中的概率为3711010-=. 故答案为:710. 【点睛】本题考查了组合的应用，考查了古典概型概率的求解.本题的关键是结合对立事件概率的关系简化运算.14.甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游戏，方法如下：第一步：先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋子（如图所示），甲从中记下某个棋子的坐标；第二步：甲分别告诉其他三人：告诉乙棋子的横坐标.告诉丙棋子的纵坐标，告诉丁棋子的横坐标与纵坐标相等；第三步：由乙、丙、丁依次回答.对话如下：“乙先说我无法确定.丙接着说我也无法确定.最后丁说我知道”.则甲记下的棋子的坐标为_____.【答案】(5,5) 【解析】 【分析】根据题意，得出乙棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，丙棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上，再根据横纵坐标相等，即可求解，得到答案．【详解】由题意，乙只知道棋子的横坐标，又无法确定，所以棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，接下来丙知道棋子的纵坐标，又无法确定，所以棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上，这些横纵坐标相等的点只有(5,5)，所以丁说棋子的坐标为(5,5).【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理确定乙棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，丙棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，M 在第一象限，线段MF 交双曲线于点N ，如果12MN NF =，则双曲线的离心率等于________.5【解析】 【分析】由MF 与渐近线b y x a = 垂直，可得直线MF 方程为()ay x c b =--，从而可求出2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合12MN NF =可求出222,333c a ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由N 在双曲线上，代入方程即可得到关于,,a b c 的方程，进而可求出离心率.【详解】解：由题意知，MF 与渐近线b y x a =垂直，则MF 斜率为ab-，因为(),0F c ， 则直线MF 方程为()a y x c b =--，与b y x a =联立得()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，解得2a x c ab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由12MN NF =，可得222,333c a ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为N 在双曲线上，则 22222223331a c a ab c c b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+，整理得，225c a =，即c e a==. 故答案为:【点睛】本题考查了两直线垂直的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了向量的运算，考查了双曲线离心率的求解.本题的关键是由已知求出N 的坐标.本题由于计算量略大，应注意计算的准确性.求圆锥曲线的离心率时，关键是列出关于,,a b c 的方程.16.已知H 为ABC 的垂心，且CH xCB yCA =+，AH mAB nAC =+，31x y +=，41m n +=，则B =________.【答案】45︒ 【解析】 【分析】由已知可得CA xCB yCA mAB n AC =+--,从而()()1y n m CA x m CB ---=-,进而可知100y n m x m ---=⎧⎨-=⎩,结合已知条件,可求出,,,x y m n 的值;由00AH BC CH AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得cos cos cos cos mc B nb Cxa B yb A =⎧⎨=⎩,结合余弦定理及,,,x y m n 的值,可推出22229585a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由余弦定理可求B 的大小.【详解】解：()CA xCB yCA mAB nAC xCB yCA m CB CA nAC =+--=+---， 整理得，()()1y n m CA x m CB ---=-，因为,CA CB 不共线，因此100y n m x m ---=⎧⎨-=⎩ ，又因为31x y +=，41m n +=，解得16121613x y m n ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. 因为H 为ABC 的垂心，所以()()0AH BC mAB nAC BC CH AB xCB yCA AB ⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩，整理得，cos cos cos cos mc B nb C xa B yb A =⎧⎨=⎩ ，结合222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩可得222222330220a b c a b c ⎧--+=⎨--=⎩ ， 解得22229585a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则222222298255cos 2298255b b b a c b B ac b+-+-===⨯，即45B =︒.故答案:45︒.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了余弦定理.本题的难点是垂心这一条件的应用.本题关键是求出参数的值.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形ABCD 区域为生活区，AC 为横穿村庄的一条道路，ADE 区域为休闲公园，200BC m =，60ACB AED ∠=∠=︒，ABC 的外接圆直径为20057m .（1）求道路AC 的长；（2）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值. 【答案】（1）500m ；（2）600m . 【解析】【分析】（1）由正弦定理可求出AB =，由余弦定理可知2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，从而可求AC .（2）结合正弦定理可求三角形的周长为l EA ED AD =++)sin sin 200EAD EDA =∠+∠+，结合辅助角公式可化简为()400sin 60200l EAD =∠+︒+，进而可求周长的最大值. 【详解】（1）解：设三角形的外接圆半径为R ，由正弦定理可知，2sin ABR ACB=∠，即sin 60AB ︒==，由余弦定理知，2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，则22001500000AC AC --=，解得，500AC m =.（2）解：由题意知，200AD BC m ==，在AED 中，设周长为l ，其外接圆半径为R '，则2002sin sin 603AD R E '===︒，则2sin 3ED R EAD EAD '=∠=∠ ,2sin 3EA R EDA EDA '=∠=∠，则l EA ED AD =++)()sin sin 200sin sin 120200EAD EDA EAD EAD =∠+∠+=∠+︒-∠+⎤⎦()3sin 200400sin 302002EAD EAD EAD ⎫=∠+∠+=∠+︒+⎪⎝⎭，则当30EAD =∠°时，周长最大，为600m .【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了余弦定理的应用.本题的关键是用一个变量来表示三角形的周长.本题的难点为周长最值的求解.一般地，当已知三角形的两角及一角的对边时，常用正弦定理解三角形，若已知两边及其夹角或三边时，常用余弦定理解三角形.但是若已知两边及一边的对角时，也可用余弦定理解三角形.18.已知鲜切花A 的质量等级按照花枝长度L 进行划分，划分标准如下表所示.某鲜切花加工企业分别从甲､乙两个种植基地购进鲜切花A，现从两个种植基地购进的鲜切花A中分别随机抽取30个样品，测量花枝长度并进行等级评定，所抽取样品数据如图所示.（1）根据茎叶图比较两个种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值及分散程度(不要求计算具体值，给出结论即可)；（2）若从等级为三级的样品中随机选取2个进行新产品试加工，求选取的2个全部来自乙种植基地的概率；（3）根据该加工企业的加工和销售记录，了解到来自乙种植基地的鲜切花A的加工产品的单件利润为4元；来自乙种植基地的鲜切花A的加工产品的单件成本为10元，销售率(某等级产品的销量与产量的比值)及单价如下表所示.三级花加工产品二级花加工产品一级花加工产品销售率252389单价/(元/件) 12 16 20由于鲜切花A加工产品的保鲜特点，未售出的产品均可按原售价的50%处理完毕.用样本估计总体，如果仅从单件产品的利润的角度考虑，该鲜切花加工企业应该从哪个种植基地购进鲜切花A？【答案】（1）乙种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值大于甲种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值，甲种植基地鲜切花A的花枝长度相对于乙种植基地更为集中.（2）310.（3）该鲜切花加工企业应该从乙种植基地购进鲜切花A.【解析】【分析】（1）结合茎叶图即可看出平均值的大小关系以及数据集中程度；（2）从茎叶图中求出三级的样品共5个，来自甲基地有2个，来自乙基地的有3个，则可求出基本事件总个数以及2个都来自乙基地基本事件个数，即可求出概率；（3）分别求出三种花的销售额，减去总的成本，结果除以个数即可得乙种植基地单件平均利润，与4进行比较，即可得出结论.【详解】（1）由茎叶图可以看出，乙种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值大于甲种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值，甲种植基地鲜切花A 的花枝长度相对于乙种植基地来说更为集中.（2）由题意知，三级的样品共5个，其中，来自甲基地有2个，来自乙基地的有3个，则从5个样品中随机取2个共有2510C = 种可能，2个都来自乙基地共233C =种可能，则选取的2个全部来自乙种植基地的概率为310. （3）根据茎叶图可知，乙基地中，三级花共3个，二级花共16个，一级花共11个，则三级花的销售额为231263123120.5555⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)； 二级花的销售额为21640161616160.5333⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；一级花的销售额为811870112011200.5999⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；则乙种植基地单件平均利润为126640187030030 4.88539⎛⎫++-÷≈⎪⎝⎭(元).因为4.884>，所以该鲜切花加工企业应该从乙种植基地购进鲜切花A .【点睛】本题考查了茎叶图，考查了古典概型概率，考查了数据分析.本题的计算稍麻烦，应多加注意.求古典概型概率时，可用列举法写出所有的基本事件，再进行求解；但这样速度较慢，有时合理地结合排列组合的思想会使得做题速度加快，准确度提高. 19.如图1，在长方形ABCD 中，122AB BC ==，E ，F 分别为AD ､BC 的中点，G 为ED 的中点，点H 在线段AF 上，且满足AH AF λ=.将正方形ABFE 沿EF 折起，使得直线EF 与平面ABCD 间的距离为1，得到如图2所示的三棱柱AED BFC -.（1）求证：AF ⊥平面BED ： （2）若三棱锥G HFC -的体积为26，求λ的值.【答案】（1）证明见解析（2）12λ=.【解析】 【分析】（1）过点E 作EM AD ⊥于点M ，由勾股定理可知AE ED ⊥，从而可证ED ⊥ 平面AEFB ，推出ED AF ⊥，结合AF EB ⊥，可推出线面垂直.（2）过点H 作HI EF ⊥于点I ，则()21HI λ=-，由1236G HFC H GFC GFC V V S HI --==⨯=可求出λ 的值.【详解】（1）证明：在AED 中，过点E 作EM AD ⊥于点M ，如图所示， 因为//CD EF ,CD ⊂面ABCD ,则EM 为EF 与平面ABCD 间的距离，由题意知， 则1,2EM AE ED ===，易知1AM MD ==，则2AD =，所以AE ED ⊥，又ED EF ⊥，EFAE E =，所以ED ⊥ 平面AEFB ，又AF ⊂平面AEFB ，所以ED AF ⊥，由题意知，AF EB ⊥，ED EB E ⋂=，则AF ⊥平面BED .（2）解：由AE ED ⊥，AE EF ⊥，EF ED E ⋂=，可知AE ⊥面EFD ，即AE ⊥面GFC ， 过点H 作HI EF ⊥于点I ，则//HI AE ，所以HI ⊥平面GFC . 因为1HI FHAE AFλ==-，所以()()121HI AE λλ=-=-， 则()11122221332G HFC H GFC GFCV V S HI λ--==⨯=⨯⨯⨯⨯-=，解得12λ=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了椎体体积的求解.将三棱锥G HFC -的体积转化为三棱锥H GFC -的体积，是本题第二问的关键.证明线线垂直时，常用的思路有：等腰三角形三线合一、勾股定理、菱形的对角线、线面垂直的性质等.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，点(0,1)M 在椭圆E 上，过点(2,0)N 2的直线恰好与椭圆E 有且仅有一个公共点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点P 为椭圆E 的长轴上的一个动点，过点P 作斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，是否存在常数k ，使2221||,,||2a PA PB +成等差数列？若存在，求出k 的值：若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的常数k，2k =±.【解析】 【分析】（1）由点(0,1)M 在椭圆E 上，可求出21b =，联立直线与椭圆方程，根据直线与椭圆只有一个交点可得()4224216828160a a a a a ∆=-+=-=，从而可求出2a 的值，进而可求椭圆的方程.（2）设直线与椭圆的交点()()1122,,,A x y B x y ，(),0,P m m ⎡∈⎣，写出过点P 斜率为(0)k k ≠的直线方程为()y k x m =-，与椭圆方程联立，可得2122421k m x x k +=+，221222221k m x x k -=+，122212km y y k +=-+，222122221m k k y y k -=+ ，当2221||,,||2a PA PB +成等差数列时，223PA PB +=，即()()222211223x m y x m y -++-+=，整理得()()24222442210m k m k m ++-+=，从而可求出k 的值.【详解】（1）解：因为点(0,1)M 在椭圆E 上，所以211b =，解得21b =，椭圆方程为2221x y a+=，过点(2,0)N)2y x =-，与椭圆方程进行联立，即)222221y x x y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，整理得，()22222420a x a x a +-+=，因为直线和椭圆有一个交点， 此时()4224216828160a aa a a ∆=-+=-= ，解得22a =，所以E 的方程为2212x y +=.（2）设直线与椭圆的交点()()1122,,,A x y B x y ，(),0,P m m ⎡∈⎣，则过点P 斜率为(0)k k ≠的直线方程为()y k x m =-，与椭圆方程进行联立得()2212y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得，()22222214220k x k mx k m +-+-=，由韦达定理知，2122421k m x x k +=+，221222221k m x x k -=+，122212km y y k +=-+，222122221m k k y y k -=+ ， 当2221||,,||2a PA PB +成等差数列时，22213PA PB a +=+=，即()()222211223x m y x m y -++-+=，整理得()()()222121212121222223x x m x x x x m y y y y +-+-+++-=，则222222222222222442222222232121211221k m k m k m km m k k m m k k k k k ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫--⨯++--⨯= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得，()()24222442210m k m k m ++-+=，解得212k =或222122m m +-+（舍去）所以当2k =±时，2221||,,||2a PA PB +成等差数列.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了两点间的距离，考查了等差中项，考查了圆锥曲线中的定值问题.本题的难点在于第二问的计算. 21.己知函数2()22(1)x x f x ae a e =++. （1）当12a =-时，求()f x 的极值； （2）当(0,)a ∈+∞时，函数()f x 的图象与函数4x y e x =+的图象有唯一的交点，求a 的取值集合. 【答案】（1）函数()f x 的极大值是14，无极小值；（2）12⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】 （1）当12a =-时，2()x xf x e e =-+，由导数为零，解得ln2x =-，从而可知()(),f x f x ' 随x 的变化，进而可求极值；（2）设设x t e =，则()()2221f t at a t =++与4ln y t t =+ 只有一个交点，即22ln 2t ta t t+=+只有一个根，设()22ln t tg t t t+=+，结合导数可知，当1t =时，()g t 有最大值为()11g =，画出()g t 草图，可求出a 的取值集合.【详解】（1）解：当12a =-时，2()x x f x e e =-+，则2()02x x f x e e '-+==，解得ln2x =-， 则()(),f x f x ' 随x 的变化如表所示所以函数()f x 的极大值是2(ln 2)ln 2111(ln 2)424f ee ---=-+=-+=，无极小值； （2）解：设x t e =，则()()2221f t at a t =++与4ln y t t =+ 只有一个交点，其中0t >，则()22214ln at a t t t ++=+只有一个根，即22ln 2t ta t t+=+ 只有一个根，设()22ln t tg t t t +=+ ，则()()22222ln 1ln t t t t t g t t t -+-+-'=+，()10g '= 令()222ln 1ln h t t t t t t =-+-+-，则()142ln 1h t t t t '=----，设12ln y t t=+， 则令2212210t y t t t -'=-+==，解得12t =，则,y y ' 随t 的变化如下表则当12t =时，12ln y t t =+取最小值为()22ln221ln20-=⨯->，所以12ln 0t t--<，即()142ln 10h t t t t'=----<.所以()h t 在()0,t ∈+∞ 上单调递减，因此()0g t '=只有一个根，即1t = ，当()0,1t ∈ 时，()0g t '>，()g t 递增；当()1,t ∈+∞ 时，()0g t '<，()g t 递减， 所以，当1t =时，()g t 有最大值为()11g =，则()22ln t tg t t t+=+简图如图所示， 由题意知，2y a = 与()g t 图像只有一个交点，而(0,)a ∈+∞，所以21a =，即12a =， 所以a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了函数的极值，考查了函数的零点与方程的根，考查了数形结合.本题的第二问的关键在于通过换元、参变分离，得到2y a = 与()22ln t tg t t t+=+图像只有一个交点.本题的难点是通过二次求导探究()22ln t tg t t t+=+图像的变化趋势. 22.在极坐标系中，圆1C 的极坐标方程为()24cos sin ρρθθ=+，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy . （1）求圆1C 的直角坐标方程；（2）已知曲线2C 的参数方程为22x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线2C 与圆1C 交于,A B 两点，求圆1C 夹在,A B 两点间的劣弧AB 的长.【答案】（1）22(2)(2)8x y -+-=.（22π. 【解析】 【分析】（1）24(cos sin )4cos 4sin ρρθθρθρθ=+=+，代入222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，即可得到圆1C 的直角坐标方程；（2）通过消参可得曲线2C 的普通方程为22y x =-，则联立12,C C 方程，可求出()0,4A ，()4,4B ，由110C A C B ⋅=，可求出劣弧AB 的圆心角为12AC B π∠=，进而可求弧长.【详解】（1）解：因为24(cos sin )4cos 4sin ρρθθρθρθ=+=+，则2244x y x y +=+， 整理得，22(2)(2)8x y -+-=，所以圆1C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=. （2）解：曲线2C 的普通方程为22y x =-，由题意知，当2x ≤时，12,C C 的交点为A ，即()()()2222822x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩ ，解得，04x y =⎧⎨=⎩，即()0,4A ，当2x >时，12,C C 的交点为B ，即()()()2222822x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩，解得，44x y =⎧⎨=⎩，即()4,4B ，由（1）知，圆心()12,2C ，半径22r =.()()112,2,2,2C A C B =-=，则110C A C B ⋅=， 则12AC B π∠=，所以劣弧AB 的长为2222ππ⨯=.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了参数方程转化为普通方程，考查了弧长的求解，考查了直线与圆的位置关系.本题的关键是求出劣弧的圆心角. 23.已知函数()|21||5|f x x x =-++. （1）求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为32m，求证：,(0,)p q ∀∈+∞，11m p q p q +≥+恒成立.【答案】（1）{|1x x <-或1}x >：（2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)对x 的取值范围进行分情况讨论,再求解不等式即可;(2)根据解析式求出()f x 的最小值,从而得到m ,再利用分析法证明不等式即可.【详解】(1)()|21||5|f x x x =-++=34,516,52134,2x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，若()7f x >,则有5347x x <-⎧⎨-->⎩或15267x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-+>⎩或12347x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩,解得5x <-或51x -≤<-或1x >,因此不等式()7f x >的解集为{|1x x <-或1}x >;(2)由函数()f x 的解析式可知,()f x 在1(,)2-∞上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增, 因此min 1113()()4222f x f m m ===+⇒=, 因此要求证:,(0,)p q ∀∈+∞,114p q p q+≥+恒成立, 即证4p q pq p q+≥+恒成立, 即证()24p q pq +≥恒成立, 即证2220p q pq +-≥恒成立,而对,(0,)p q ∀∈+∞,222p q pq +-=2()0p q -≥恒成立,因此,原不等式得证.【点睛】本题主要考查解绝对值不等式,考查不等式的证明,难度不大.。
2021年高考文科数学模拟试卷(含答案)
2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题（共12小题）・已知集合A = {xll2x- ll≥3}, B={x ∖y=l s (x 2-x-6)1 24•在等差数列｛如｝中,a 3+a 3+a ι3=27,S π表示数列｛Qn ｝的前〃项和，则S 15=（在圆柱内任取一点E 则使IPOlWr 的槪率为（A 1B 丄 A- 3b∙ 2）,则CRqrIB=（）2. 3・A. (- 1, 3)B. 0C. (2, 3)D. (-2, -1)则 sinθcosθ=（D- 2若它们的中位数相同，平均数也相同, 复数 Z= （sinθ - 2cosθ） + （sinθ+2cosθ） Z 是纯虚数,A-色 B - ~A- 2 β∙ 5则图C. 2D. 3A. 134B. 135C ∙ 136D. 1375.已知α>0, b>O,两直线∕ι:则■的最小值为（）a b(r∕ - 1) x+y - 1 =0, /2: x+2hy+∖ = 0 且厶丄/2,A. 2B. 4C. 8D. 9D ∙ -√37・圆柱的底面半径为几 侧面积是底面积的4倍.O是圆柱中轴线的中点，若 c∙ i① 两个变量间的相关系数厂越小,说明两变量间的线性相关程度越低;( )6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（)饷!A ・0B.普C. 438.下列四个命题中，正确的有（② 命题"3Λ∙∈R,使得W+χ+ιv(Γ的否定是：“对XMWR,均有x 2+.r+l>O n: ③ 命题“PM 为真”是命题“p7q 为真”的必要不充分条件；④ 若函数/ (Λ) =x y +3ax 2+hx+a 2 在 X= - 1 有极值 0,则 a = 2, b = 9 或 U= 1, b = 3.的取值范围是()A. (4 (加2+1) , +∞)B. (O T 4 (l+∕n2)]C. ( - ∞, 0) U {4 (l+∕n2) }D. (0, 4 (加2+1))二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相 应位置.13・已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积B. 1个 x+y-3≤0 9.已知X, y 满足区域D: χ-y-l≤O,U>1 B. (O, 2√3] A ・0个 C. 2个 D ∙ 3个则.1：MTL :化的取值范围是()χkχ+yJ A ・[1, +∞)C. [2^√3-3, UD. [1, 2√3]x 2- 2x+y 2+4y+a 2=Q (a>O),过F 的直线/与C 交于仏B 两邑(AA 在第一象限)，且7B =4AF,直线/与圆M 相切，则U=(A. 0B. 12.若函数/ (x) =ax 2+ )2√∏ r √H5 • 5(2-α) X - InX (UeR y )在其定SI 域上有两个零点，则αD. 3,焦点为化圆M ：10∙函数心苗沪图象大致为∖∕z14.已知△ ABC中，ZBAC=60° , AB=2, AC=4, E、F 分别为BC 边上三等分点，则^-AF= __________ .15.若数列｛如的前“项和为S“,对任意正整数H都有3S”+如=2,记bn"”丄2则数列｛ττ—｝的前50项的和为b n b ni-l -------16.如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为''赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为寺，若直角三角形的两条直角边的长分别为心b(a>b),则匕=a三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内.17.已知各项都不相等的等差数列｛如｝中，a4= I(V3,又5, "2,他成等比数列.(/)求数列｛/｝的通项公式；TT(〃)若函数y=Z a l Sin("^"x+Φ) T OVφVπ,的一部分图象如图所示，A ( - 1,⑷)，B (3,・山)为图象上的两点，HZAOB=Q i其中O为坐标原点，0 <θ<π,求COS(θ+φ)的值.18・某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每IOO颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差A-(D C) 10 11 13 12 8发茅数y 23 25 30 26 16 (颗)(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为叫n f求事件iζm9舁均小于25”的概率；(2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于X的线性回归方程，=皆十苏A A λ AΣ Xi y i-nχy(参考公式：回归直线方程为=bΛ+a,其中J -----------------------Σ x i2-n(x)2 1-119.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知ZA=45° , ZC=90o , ZADC=105o , AB=BD,现将四边形ABCD沿BZ)折起，使平^ABD丄平而BDC (如图乙),设点E、F分别为棱AC S AD的中点•(I )求证：DC丄平而ABC；■BCD夹在平而BEF与平而BCD间的体积・2上矿lG>b>O)上一个动点，且点M到两焦点的距离b z.220.已知点M为椭圆青a之和为4,离心率为萼，且点M 与点N 关于原点O 对称.乙(I )求椭圆的方程；(Il )过点M 作椭圆的切线/与圆C ： x 2+y 2=4相交于A, B 两点，沁NAB 的面积最大时，求直线/的方程.21 ・已知函数f (x) =x+xlnx 9 h (x) = (G-I) x+xlnx+2ln (l+x).(I )求函数f (X)在点(1, f (1))处的切线方程；(Il )当GE (0, 2)时，求函数g (X) =f (A) -h (X)在区间［0, 3］上的最 小值・请考生在第22∙23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分.作 答时请写清题号•［选修4«4:坐标系与参数方程］坐标系(与直角坐标系XOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以X 轴 正半轴为极轴)中，圆C 的方程为P =2√5sinθ .(I )求圆C 的圆心到直线/的距离；(Il )设圆C 与直线/交于点A 、B.若点P 的坐标为(3, √5) , ^∖PA ∖+∖PB ∖.［选修4・5:不等式选讲］23. ( I )已知非零常数°、b 满足a +b=^-3-,求不等式∖-2x+∖∖^ab 的解集;(Il )若VΛ-∈［1, 2］, Λ-k-rtl≤ 1恒成立，求常数G 的取值范围・22.在直角坐标系XOy 中，直线/的参数方程为x=3-^t$ L α为参数)，在极一、选择题1. 解：因为 A = {x ∖∖2x- ll≥3) = {xLv^2 或 XW-1},所以CRA= ( - 1, 5) , B={x ∖y=lg (x 2-X- 6) } = {A I X >3 或 XV-4}, 故选：B.2. 解：T 复数 Z= (sinθ - 2cosθ) + (sinθ+2cosθ) i 是纯虚数,Sinθ -2GOS θ =0 ,Sin θ +8cos θ ≠0,故选：C.3・解：根据茎叶图知，乙的中位数是31,・•・甲的中位数也是31,即30[+29 =3], 又甲的平均数是(24+29+33+42) =32,/. n=9；故选：A.4. 解：在等差数列｛如｝中， T 03+08+53 = 27,Sn 表示数列｛伽｝的前H 项和，故选：B.5. 解：∙.∙d>0, b>0,两直线人：3)x+y-l=0, ∕2: Λ+6hy+l=0,且人 丄/2, ∙∙∙ («-6) +2b=09 即 a+2b= 1斗当且仅当 a = 2bc ab=£时，等号成立. 故选：C.6. 解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变2「 兀 2兀 2017兀,,/七重 S=tan-y+tan —^-+ ∙ ∙ ∙+tan 的 值，OC5 i门JT由于taιr≡^-的取值周期为6,且2017 = 336X6+2, 故选：C.7. 解：根据题意，设圆柱的高为九 圆柱的底而半径为几其底而而积S=πr 2,侧而积 S wι = 2πr ∙ h,参考答案解得 tanθ = 2.若侧而积是底而积的3倍，即2πr∙ Λ=4πr2,则有h = 3r,3若IPolW匚则P在以O为球心，半径为,•的球内，其体积W = 4：T ,故选：C.8.解：对于①：相关系数厂的绝对值越趋近于1,相关性越强；越趋近于0,相关性越弱，故①错误；对于②：命题u3x∈R,使得疋+x+lVO”的否定是："对V疋R,均有x7+x+l MO” ,故②错误;对于④：f (X) = 3x2+6ax+b,因为f(X)在X=-I有极值0,故[f(-4)=3a-b÷a2-l=0 解得严2 或严1If Z (-l) = 7-6a+b=0 ' lb=9 ∏b=5当“=1, b = 3 时，f (Λ-)=3X7+6Λ+3=3(X+1) 2$0 恒成立，此时f (%)没有极值点，故不符合条件；故选：A.x+y-3≤09.解：作出不等式χ-y-1<O表示的平而区域如图所示，k x≥l令t=∖则r∈[0, 8], r+l∈[l, 3],X_ (l+t) 2-3 (4+t)+3 -IIX , 3--------- 花 --------- ln+l÷t ^7∙Q 7而当1+/=1 时，1+片严一-3=1,当1 +/=3 时，l+r+√--3=1,6十t 1+t...GT 2严的取值范围⅛[2√3-3, 1].x(ιc+yj故选：C.10. 解：根据题意，函数f(M)= J j 其定义域为{xlx≠O} (9 T) ∙M"F =≡≡≡-≡⅛=")'即函数")g 数，排除人V sin3x q"∙αi >-∣*?Y/ (X)= — =I 当XT+OO 时，/ (χ) TO,函数图象向X(9-z -l)-X 2 3“轴靠近,排除C; 故选：D.He 解：如图，设A (X], yι) , B (x 2, yι),Q3，则直线/的方程为y= -^β∑+i,即3x+4y-6 = 0∙则圆M 的圆心坐标为(1, -2),半径为“5-/・ 故选：B.12. 解：函数定狡域为(O, +oo),由f M =0有两个根，而f (1) =2,所以x=l 不是方程的根，lns-2x ,一 .、， / _ (2χ-1) (x+l-InX)即直线y=a 与函数y=—6 有两个交点，y X -X3x,lsin3x(X 2-X)2,解得Xi = I.lr⅛^1y∏dn=Tη-nα+h ι2).T~^2由图可知，d 的取值范围是(4 (1+∕∏4) , +∞). 故选：A. 二、填空题13. 解：由三视图还原原几何体如图，P：.BC 丄平面PAC t 得BC 丄PC,取PB 中点O,则O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心，・：这个几何体的外接球的体积为彳■兀X (√2)5=⅛^∙兀.4 CJ314. 解：根据题意，作出如下所示的图形:,—-1—- 2— 同理可得，AF=yAB+yAC ， =∣× 22÷∣-×2×7×<os60β+j× 42=-y. 20 故答案为：于.15. 解：数列仙｝的前"项和为S“，对任意正整数川都有3S n +a n =2①, 2 当∏= 1时，自1包・CPq 丄底面 ABC,且 AB=PA = 2,18.①-②得 3 （SH-SH .1） + {a n - 6∕π 1） =O tQ 1所以数列{a n ］是以号为首项，才为公比的等比数列• 所以 b n = IOS l a n =2n-8. 2所以门。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十一)数学(理)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十一）数学（理）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}2B x x =|-2≤≤，则A B ⋂=（ ） A. [2,1]-- B. [1,2)-C. [1,1]-D. [1,2)【答案】A 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可． 【详解】解：由A 中不等式变形得：(3)(1)0x x -+， 解得：1x -或3x ，即(][),13,A =-∞-+∞，[]2,2B =-，[2,1]A B -=-∴，故选：A ．【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2.已知i 是虚数单位，20172i3i 1iz =-+，且z 的共轭复数为z ，则z z ⋅=（ ）C. 5D. 3【答案】C 【解析】 【分析】 先化简20172i3i 1iz =-+2i(1i)3i i 13i 12i (1i)(1i)-=-=+-=-+-，再求其共轭复数求解. 【详解】因为20172i3i 1iz =-+2i(1i)3i i 13i 12i (1i)(1i)-=-=+-=-+-， 所以12z i =+， 所以5z z ⋅=. 故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的概念，还考查运算求解的能力，属于基础题.3.（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.4.已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】找到两个不等式之间的关系，理解充分，必要条件的概念可得结果.【详解】由22a a >，所以202a a a ≥⎧⎨>⎩或202a a a <⎧⎨>-⎩，即2a >或2a <-，所以可知“2a >”是“22a a >”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分，必要条件的概念，可以等价于集合之间的包含关系，属基本题型. 5.若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A. x=26k ππ-（k ∈Z ） B. x=26k ππ+（k ∈Z ）C. x=212k ππ-（k ∈Z ）D. x=212k ππ+（k ∈Z ） 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．6.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若m α⊂，则m β⊥B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C. 若m α⊄，m β⊥，则//m αD. 若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥【答案】C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.7. 一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ） A.964B.12C.164D.18【答案】D 【解析】试题分析：根据几何概型，小蜜蜂安全飞行的轨迹为棱长为2的正方体内部，所以所求的概率：332814648P ===，故选D ．考点：几何概型．8.函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A. B.C. D.【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据11x x e e +-与sin x 的性质，确定函数图象【详解】1()sin 1x x e f x x e +=⋅-，定义域为()(),00,-∞+∞，11()sin()sin 11x x x x e e f x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin 1x x e f x x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101xx e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01x x e f x x e +=⋅>-，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手： 1.从函数定义域，值域判断； 2.从函数的单调性，判断变化趋势； 3.从函数的奇偶性判断函数的对称性； 4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象9.ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+,3C π=则ABC 的面积为（ ）A. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式，即可求解，得到答案. 【详解】由()226c a b =-+，整理得22226c a ab b =-++， 即22226a b c ab +-=-，又因为3C π=，由余弦定理可得222261cos 3222a b c ab ab ab π+--===，解得6ab =，所以三角形的面积为11sin 62222S ab C ==⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了解三角形的余弦定理的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中根据余弦定理求得6ab =是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.10.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A.6 B.26C.15 D.10 【答案】D 【解析】试题分析：以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），1C （0，2，1）∴1BC =（-2，0，1），AC =（-2，2，0），AC 且为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴110cos ,58BC AC 〈〉==⋅．∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为10考点：直线与平面所成的角11.如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点.若△ABF 1为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A.13 B.7C.5D.2【答案】B【分析】设1ABF 的边长为m ，则由双曲线的定义，1ABF 为等边三角形，可求m 的值，在12BF F △中，由余弦定理，可得结论．【详解】解：设1ABF 的边长为m ，则由双曲线的定义，可得2||2BF m a =+ 又22AB m AF a =∴= 又1||AF m = 12||||2AF AF a -=22m a a ∴-= 4m a ∴=在12BF F △中，2||6BF a =，1||4BF a =，12||2F F c =，1260F BF ∠=︒∴由余弦定理可得22214(6)(4)2642c a a a a=+-c ∴=∴ce a==故选：B【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查余弦定理的运用，属于中档题． 12.已知函数321,0()3+1,0x x f x x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，函数ln (1)+,1()2,1x m x g x x x -+>-⎧=⎨+≤-⎩，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. 3(ln2,)2B. (ln2,4)C. (ln 3,2)D. (ln 31,1)-【答案】D 【解析】 【分析】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+，求导2'()33f x x =-+，由'()0f x =可得1x =-，当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时，'()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减，然后在同一坐标系中画出函数()y f x =与曲线()y g x =的图象求解.【详解】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+， 则2'()33f x x =-+，由'()0f x =，可得1x =-.当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时，'()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数()y f x =与曲线()y g x =的图象 如图所示.若函数()y f x =与()y g x =恰好有4个公共点，则(0)<1(2)>1g g ⎧⎨-⎩，即<1ln 3>1m m ⎧⎨-+-⎩，解得ln31<<1m -. 故选：D【点睛】本题主要考查函数与方程问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.第II 卷(共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ . 【答案】3【解析】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=. ∴2222(2)4(2)44423a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案为3点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．14.在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答) 【答案】60 【解析】 【分析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数. 【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，故选派的方法为：225410660C C =⨯=.故答案为60．【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．15.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 【答案】1和3. 【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3. 16.已知()sin cos fx a x b x =+的最大值为ab ，则4422191a b a b+++的最小值为_______________.【答案】17【解析】 【分析】先将()sin cos f x a x b x =+，转化为()f x )x ϕ+，再根据最大值为ab ，建立等式ab ，整理得22111a b+=，然后将4422191a b a b +++转化为222211(9)a b a b +++，再利用基本不等式中的“1”的代换求解.【详解】()sin cos f x a x b x =+)x ϕ=+(tan )ba ϕ=ab ， 整理得22111a b +=，则4422191a b a b +++22222222222211119(9)(9)()1111117b a a b a b a b a b a b =+++=+++=++=≥，当且仅当22229b a a b=且22111a b +=，即2,a b ==时，取等号 所以4422191a b a b+++的最小值为17故答案为：17【点睛】本题主要考查三角函数的性质和基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17.△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2) 3+. 【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为3+.试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得33b c +=. 故ABC 的周长为333+.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评 100 30 130对车辆状况不满意 40 30合计 14060200（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？ （2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的 三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：2()P K k ≥ 0.150 0.1000.050 0.025 0.010 0.005 0.001k2.0723.841 5.0246.6357.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1) 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. (2)分布列见解析；EX =1.8（元）. 【解析】试题分析：（1）由题意求得2K 的值，然后即可确定结论； （2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可． 试题解析（1）由22⨯列联表的数据，有()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++ ()2200300012001406070130-=⨯⨯⨯220018146713⨯=⨯⨯⨯ 54008.4810.828637=≈<. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. （2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为310.X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4. ∵()239010100P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121P X C == 13321010⨯=， ()122P X C ==2131375102100⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，()123P X C == 111255⨯=， ()2114525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：X1234P91003103710015125X 的数学期望为3371210100EX =⨯+⨯ 1134 1.8525+⨯+⨯=（元）.19.如图，在三棱锥A BCD -中，顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，2AB AD ==，2BC BD ==，90CBD ∠=︒，E 为CD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面ABC ； （2）求二面角B AE C --的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）13． 【解析】 【分析】（1）只需证明BC AD ⊥及AD AB ⊥，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式求解；【详解】解：（1）∵顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，即AO ⊥平面BCD ，又AO ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD ， ∵90CBD ∠=︒，∴BC BD ⊥，∵平面ABD ⋂平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥平面ABD ，AD ⊂面ABD ，∴BC AD ⊥， 由2AB AD ==2BD =，得222BD AB AD =+，∴AD AB ⊥，∵AB BC B ⋂=，AB 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面ABC ．（2）连结OE ，分别以OE 、OD 、OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，()0,0,0O ，()0,0,1A ，()0,1,0B -，()2,1,0C -，()0,1,0D ，()1,0,0E ，()2,1,1AC →=--，()0,1,1AB →=--，()1,0,1AE →=-，.设(),,n x y z →=为平面ABE 的一个法向量，则0n AB y z n AE x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，得()1,1,1n →=-，..()2,1,1AC →=--，()1,0,1AE →=-，设平面ACE 的法向量(),,m x y z →=，则020m AE x z m AC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取1z =，则()1,1,1m →=，设二面角B AE C --的平面角为θ，则1cos 333m n m n θ⋅===⋅⨯．. ∴二面角B AE C --的余弦值为13． 【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．20.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点(2,1)，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-． （1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅为定值．【答案】（1）22142x y +=（2）2m =【解析】 【分析】(1)设(),P x y ,根据题意可求得2212b a =,再代入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线:(2)CM y k x =+,并联立与椭圆的方程,求得(,(2))+M m k m ,222244(,)1212k kP k k-++,再表达出OP OM ⋅,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设00(,)P x y 表达出OP OM ⋅,利用00(,)P x y 满足椭圆的方程进行化简,同理可得m 的值. 【详解】解：（1）椭圆Γ过点,∴22211a b +=,① 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--. 又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．（2）方法1：由（1）知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+, 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k --=+,∴2122412k x k -=+,1124(2)12k y k x k =+=+, 所以222244(,)1212k kP k k-++, ∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++mk k k m kOP OM m k m k k kk , 要使OP OM ⋅与k 无关,只需12m=,此时OP OM ⋅恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,则00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x , ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++y m y m OP OM x y m mx x x由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y , 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=m x m x m OP OM mx ,要使OP OM ⋅与0x 无关,只须12m=,此时4OP OM ⋅=.∴2m =【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题. 21.(1)讨论函数()22xx f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，()220;x x e x -++> (2)证明：当[)0,1a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax ag x x-->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当(0,)x ∈+∞时，()(0)f x f >证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数()g x 的最值，再构造新函数00e ()2x h a x =+，用导数法求解.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++' 且仅当0x =时，()0f x '=，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20xxx e x x e x ->-+-++>（Ⅱ）33(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x-+++==+'由（Ⅰ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0()0g x '=， 当00x x <<时，()0,()0,()f x a g x g x <'+<单调递减； 当0x x >时，()0,()0,()f x a g x g x >'+>单调递增. 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+ 于是00e ()2x h a x =+，由2(1)()0,2(2)2x x xe x e e y x x x +=>='+++知单调递增 所以，由0(0,2],x ∈得002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++ 因为2x e y x =+单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =-∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有最小值()h a ，()h a 的值域是21(,].24e【考点】函数的单调性、极值与最值 【名师点睛】求函数单调区间的步骤： （1）确定函数f （x ）的定义域； （2）求导数f ′（x ）；（3）由f ′（x ）＞0（f ′（x ）＜0）解出相应的x 的范围．当f ′（x ）＞0时，f （x ）在相应的区间上是增函数；当f ′（x ）＜0时，f （x ）在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ． （1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ONOM的最大值． 【答案】（1）sin()4πρθ+=2【解析】 【分析】(1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可. (2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=, 将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()1=sin(2)242ON OM πααρπαρ+=-+, 由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM的最大值为2．【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型. 23.已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a+≥． 【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可.【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥-∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+=当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =,∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=．当且仅当21a a=,即1a =时等号成立． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十五)数学(理)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十五）数学试题（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{A x y ==，{}21,x B y y x R ==+∈，则A B =（ ）A. []1,3B. [)1,+∞C. [)1,3-D. [)3,+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】求函数定义域得集合A ，求函数值域得集合B ，然后由交集的概念计算． 【详解】由题意2{|230}{|1A x x x x x =--≥=≤-或3}x ≥，{|1}B y y =>， ∴{|3}x AB x =≥．故选：D ．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握指数函数性质是解题关键．2.复数z 满足()122i z i -=+，则z =（ ）A. 1i -B. 1i +【答案】D 【解析】 【分析】求出复数模22i +后由复数除法可求得z ．【详解】∵22i +==z ===． 故选：D ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题． 3.设1312x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，51log 6y =，14log 3z =，则（ ）A. x y z <<B. y z x <<C. z x y <<D. z y x <<【答案】B 【解析】 【分析】与中间值0，－1比较后可得．【详解】1310()21<<，551log log 616=-<-，144log 3log 3(1,0)=-∈-，∴x z y >>．故选：B ．【点睛】本题考查幂、对数的比较大小，不同类型的数比较大小时可先与中间值0，1，－1等比较后得出它们之间的大小关系．4.运行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 0B. 13 D. 23【答案】C 【解析】 【分析】模拟程序运行，利用数列{tan}3n π的周期性求和、 【详解】模拟程序运行，此框图的功能是求数列的和：202022020tantantan333S πππ=+++， 33T ππ==，因此数列{tan}3n π是周期数列，周期为3，易得23tan tan tan 0333πππ++=， ∴20202020tan tan 333S ππ=== 故选：C ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题关键是确定程序功能，利用数列的周期性计算． 5.已知函数()sin 3f x x x =，下列命题：①()f x 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②()f x 的最大值为2；③()f x 的最小正周期为2π；④()f x 在区间()0,π上递增.其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】把函数化为一个角的一个三角函数，然后结合正弦函数性质判断．【详解】1()sin2(sin cos)2sin()223f x x x x x xπ=-=-=-，()03fπ=，①正确；最大值是2，②正确；周期为2π，③错；函数在5(0,)6π上递增，在5(,)6ππ上递减，④错．正确的命题有2个．故选：C．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题时必须把函数化为一个角的一个三角函数形式，掌握正弦函数性质是解题关键．6.设正项等比数列{}n a的前n项和为n S，且119n n na a+=，则63SS=（）A.2827B. 28C.2627D.98【答案】A【解析】【分析】由已知求出公比q后，结合等比数列前n项和公式可得结论．【详解】因为119n n na a+=，所以11119n n na a+++=，所以212119n nn na aqa a+++==，又数列是正项数列，所以13q=，所以3336333312811()327S S q SqS S+==+=+=.故选：A．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式，考查等比数列前n项和的性质，本题也可直接用基本时法求解．7.已知箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶合格品，2瓶不合格品，现从箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用A表示“第一次取到不合格消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格消毒液”，则()|P B A=（）A.16B.15C.14D.13【答案】B【解析】【分析】求出()P A和()P AB，再由条件概率公式计算．【详解】121621()63C P A C ===，22261()15C P AB C ==，∴1()115(|)1()53P AB P B A P A ===． 故选：B ．【点睛】本题考查条件概率，掌握条件概率计算公式是解题基础．8.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤.问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列.若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的重量和为（ ） A.65斤 B.43斤 C.32斤 D.54斤 【答案】C 【解析】 【分析】把每段重量依次用i a （1,2,,20)i =表示，数列{}n a 是等差数列，根据等差数列性质可求解．【详解】把每段重量依次用i a （1,2,,20)i =表示，数列{}n a 是等差数列，由题意12341718192042a a a a a a a a +++=⎧⎨+++=⎩，两式相加得12013(42)42a a +=⨯+=，∴101112032a a a a +=+=． 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键是从实际问题抽象出等差数列，然后应用等差数列性质解题即可．9.四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一.四色定理的内容是“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”如图，一矩形地图被分割成了五块，小刚打算对该地图的五个区域涂色，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（4种颜色不一定用完），满足四色定理的不同的涂色种数为（ ）A. 96B. 72C. 108D. 144【答案】D 【解析】 【分析】分步涂色，把五块区域编号（如解析中图）后，第一步涂a ，第二步涂b ，第三步,,c d e ，,,c d e 又分类：按,c e 同色与不同色分类即可．【详解】如图，把五块区域编号，第一步涂a 有4种可能，第二步涂b 有3种可能，第三步,,c d e ，,,c d e 又分类：按,c e 同色有32⨯种，不同色有321⨯⨯种， 共有方法数为43(32321)144⨯⨯⨯+⨯⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查分步计数原理和分类计数原理，解题关键是确定事件完成的方法．10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，N 是圆22(6)(3)9x y -+-=上一点，则MN MF +的最小值为（ ）A. 4B. 5C. 8D. 10【答案】B 【解析】 【分析】把MF 转化为M 到准线的距离，MN 通过M 到圆心的距离求解．【详解】如图，圆22(6)(3)9x y -+-=的圆心为(6,3)C ，半径为3r =，直线l 是抛物线的准线，过M 作MH l ⊥于H ，则MF MH =，∴3MF MN MH MN MH MC CN MH MC +=+≥+-=+-， 当且仅当,,C M H 三点共线时，等号成立． 此时MF MN +取得最小值为6(2)35---=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查圆外点到圆上点的距离的最值．解题关键是转化思想，抛物线 上点到焦点的距离转化为到准线的距离，圆外点到圆上的的距离转化为圆外点到圆心距离．11.某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，1M 为正视图一边的中点，且几何体表面上的点M 、A 、B 在正视图上的对应点分别为1M 、1A 、1B ，在此几何体中，平面α过点M 且与直线AB 垂直.则平面α截该几何体所得截面图形的面积为（ ）6633 【答案】A 【解析】 分析】由三视图作出原几何体是一个正三棱柱，如图，利用线面垂直的判定定理确定α的位置形状，从而计算出面积．【详解】如图，原几何体是一个正三棱柱ADE FBG -，M 上AF 中点，取AD 中点N ，连接,,MN NE EM ，连接DF ，由三视图知ADBF 是正方形， DF AB ⊥，又,M N 分别是,AF AD 中点，∴//MN DF ，∴AB MN ⊥，正三棱柱中，BD ⊥平面ADE ，EN ⊂平面ADE ，故EN BD ⊥， 又EN AD ⊥，ADBD D =，则可得EN ⊥平面ADBF ，AD ⊂平面ADBF ，∴EN AB ⊥，又MN EN N ⋂=，∴AB ⊥平面MNE ，MNE ∆即为截面α， 同理由EN ⊥平面ADBF 得EN MN ⊥，由三视图得2MN =，3EN =，162322S =⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的截面，掌握线面垂直的判定定理与性质定理是解题关键．12.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()53f x f x -=+，且()224,012ln ,14x x x f x x x x ⎧-+≤<=⎨-≤≤⎩，若关于x 的不等式()()()210fx a f x a +++<在[]20,20-上有且仅有15个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]1,ln 22--B. [)2ln33,2ln 22--C. (]2ln33,2ln 22--D. [)22ln 2,32ln3--【答案】B 【解析】 【分析】由()()53f x f x -=+得函数图象关于直线4x =对称，又函数为偶函数，得函数是周期函数，且周期为8，区间[20,20]-含有5个周期，因此题中不等式在一个周期内有3个整数解，通过研究函数()f x 在[0,4]的性质，结合图象可得结论．【详解】∵()()53f x f x -=+，∴函数图象关于直线4x =对称，又函数为偶函数，∴函数是周期函数，且周期为8，区间[20,20]-含有5个周期，关于x 的不等式()()()210f x a f x a +++<在[4,4]-上有3个整数解．[0,1)x ∈时，2()24f x x x =-+是增函数， [1,4]x ∈时，()2ln f x x x =-，2()1f x x'=-，12x ≤<时，()0f x '<，()f x 递减，24x <≤时，()0f x '>，()f x 递增，2x =时，()f x 取得极小值(2)22ln 2f =-，(1)1f =，(3)32ln 31f =-<，利用偶函数性质，作出()f x 在[4,4]-上的图象，如图． 由()()()210fx a f x a +++<得[()1][()]0f x f x a ++<，若0a -≤，则原不等式无解，故0a ->，1()f x a -<<-，要使得不等式1()f x a -<<-在[4,4]-上有3个整数解， 则22ln 232ln3a -<-≤-，即2ln332ln 22a -≤<-． 故选：B ．【点睛】本题考查不等式的整数解问题，考查了函数的奇偶性、对称性、周期性，用导数研究函数的单调性、极值等，考查的知识点较多，对学生的分析问题解决问题的能力、转化与化归能力要求较高，属于难题．二、填空题13.若向量()1,2a =，()2,b m =，且(2)a b a -⊥，则m =______________. 【答案】14【解析】【分析】由向量的数量积(2)a b a -⋅为0可得出m ． 【详解】2(3,22)a b m -=--，∵(2)a b a -⊥，∴(2)3440a b a m -⋅=-+-=，14m =． 故答案为：14． 【点睛】本题考查向量的数量积，考查向量垂直的坐标运算．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 14.某种品牌汽车的销量y （万辆）与投入宣传费用x （万元）之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：经计算得回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率为0.7，若投入宣传费用为8万元，则该品牌汽车销量的预测值为________________万辆. 【答案】5.95 【解析】 【分析】题中已知回归直线方程为的系数b ，再由回归直线过中心点(,)x y 求出系数a ，得回归方程，令8x =得预测值．【详解】由已知3456 4.54x +++==， 2.534 4.53.54y +++==，又0.7b =，∴ 3.50.7 4.50.35a =-⨯=，即0.70.35y x =+， ∴8x =时，0.780.35 5.95y =⨯+=． 故答案为：5.95．【点睛】本题考查回归直线方程的应用，解题关键是掌握性质：回归直线一定过中心点(,)x y ．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是菱形，3ABC π∠=， PA AB ==，E 是PD 上的一动点，当点E 满足_____________时，AD EC ⊥；在（1）的条件下，三棱锥E ACD -的外接球的体积为________________.【答案】 (1). PE ED = (2). 323π【解析】 【分析】（1）取AD 中点F ，由平面几何的知识得CF AD ⊥，从而得AD 与平面CEF 垂直，因此有AD EF ⊥，可得//EF AP ，E 是PD 中点．反之可证明AD EC ⊥；ACD 的外心就是E ACD -的外接球的球心，求出半径即可得球体积． 【详解】（1）E 是PD 中点，证明如下：取AD 中点F ，连接,CF EF ，ABCD 是菱形，3ABC π∠=，则ABC 和ACD 是正三角形，∴CF AD ⊥，又∵E 是PD 中点，∴//EF PA ，∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PA AD ⊥，∴EF AD ⊥， 又EFCF F =，∴AD ⊥平面EFC ，而CE ⊂平面EFC ，∴AD CE ⊥；（2）由（1）EF ⊥平面ABCD ，CF ⊂平面ABCD ，EF CF ⊥，而EF AD F =，∴CF ⊥平面PAD ，PAD △是等腰直角三角形，E 是斜边PD 中点，则AE PD ⊥，∴F 是EAD 的外心，设O 是ACD 的外心，则O 在CF 上，∴O 是三棱锥E ACD -外接球球心． 其半径为232323R OC ===，∴3344322333V R πππ==⨯=． 故答案为：PE ED =；323π． 【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥的外接球体积，证明线线垂直，一般先要证线面垂直，而要证线面垂直，又要证线线垂直，即中立体几何中垂直问题中必须掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化．三棱锥的外接球问题关键是找到外接球球心，外接球球心一般在过各面外心与该面垂直的直线上．16.已知双曲线22:12y C x -=的左，右焦点分别为1F 、2F ，点G 位于第一象限的双曲线上，若点H 满足1212(0)||||GF GF OHOG GF GF λλ⎛⎫=++≠ ⎪⎝⎭，且直线GH 与x 轴的交点为P ⎫⎪⎪⎝⎭，则G 点的坐标为_______________. 【答案】)2【解析】 【分析】 由1212||||GF GF OH OG GF GF λ⎛⎫=++⎪⎝⎭得GH 是12FGF ∠的角平分线，根据角平分线性质结合双曲线定义可求得G 到焦点的距离，再利用G 在双曲线上可得G 点坐标．【详解】∵1212||||GF GF OH OG GF GF λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴1212||||GF GF GH OH OG GF GF λ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，∴GH 是12FGF ∠的角平分线，由双曲线方程为2212y x -=得1,a b ==，∴c=1(F，2F，又P ，∴1PF =，2PF =， ∴11222GF PF GF PF ===，又由双曲线定义得1222GF GF a -==，∴22GF =，14GF =， 设000(,)(0)G x y y >，则(2200220124y x x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，解得002x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴2)G ． 故答案为：2)．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系问题，解题关键是由向量的线性运算得GH 是12FGF ∠的角平分线．三、解答题17.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且3(cos )sin a b C c B -=. （1）求角B 的大小；（2）若ABC 的面积为23，26b =，求ABC 的周长. 【答案】（1）3B π=；（2）2643+.【解析】 【分析】（1）应用正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简已知式后可求得B ； （2）由三角形面积公式得ac ，再利用余弦定理可求得a c +，从而得三角形周长．【详解】解：（1）由3(cos )sin a b C c B -=，可得3sin 3sin cos sin sin A B C B C -=， 即3sin()sin sin 3sin cos B C B C B C +=+， 展开化简得3cos sin sin sin B C B C =， 又ABC 中，sin 0C >，所以tan 3B =，又0B π<<，所以3B π=.（2）因为ABC 的面积1sin 232S ac B ==，所以8ac =， 由余弦定理得222222cos ()2()3b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+--=+-， 因为26b =，可得2()48a c +=，所以43a c +=， 所以2643a b c ++=+，即ABC 的周长为2643+.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式，三角形面积公式，解题关键是由正弦定理化边为角，利用三角函数恒等变换求得B ．18.如图1，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB AD ⊥，E 、F 分别是AD 和BC 上的点，且//AB EF ，2AE =，132AB DE CF ===，沿EF 将四边形ABFE 折起，如图2，使AE 与FC 所成的角为60°.（1）求证：//BC 平面AED ；（2）M 为CF 上的点，()01FM FC λλ=<<，若二面角B MD E --的余弦值为7，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）517【解析】 【分析】（1）由平面图形//,//BF AE CF DE ，可证得线面平行，从而得面面平行，然后可得证线面平行； （2）先证得平面CDEF ⊥平面AED ，然后作AO ED ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，以O 为原点，平行于EF 的直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，写出各点坐标，求出平面的法向量，由法向量夹角的余弦的绝对值等于二面角余弦值，可求得λ． 【详解】（1）证明：在图1中，//AD BC ，AB AD ⊥，又//AB EF ，所以ABFE 是矩形， 所以在图2中，//BF AE ，又AE ⊂平面AED ，所以//BF 平面AED ， 因为//ED FC ，又ED ⊂平面AED ，所以//FC 平面AED ， 又因为BFFC F =，所以平面//BFC 平面AED ，而BC ⊂平面BFC ，所以//BC 平面AED .（2）解：因为//ED FC ，所以AED ∠是AE 与FC 所成的角，所以60AED ∠=︒， ∵,EF AE EF DE ⊥⊥，AEDE E =，∴EF ⊥平面AED ，故平面CDEF ⊥平面AED ，作AO ED⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF，sin 60AO AE =︒=1EO =，2DO =，以O 为原点，平行于EF 的直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则(00A ,，(B =，()3,5,0C ，()0,2,0D ，()0,1,0E -，()3,1,0F -.(3,2,BD =-，()0,6,0FC =，()0,6,0FM FC λλ==，(0,61,BM BF FM λ=+=-，设平面BMD 的法向量为(),,m x y z =，则320(61)0m BD x y m BM y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取y =()31m λ=--.平面EMD 的一个法向量为()0,0,1n =， 设二面角B MD E --的平面角为θ，所以()222||7|cos |||||482473233(61)1m n m n θλλλλ⋅====-+-++-⨯，平方整理得21750λλ-=，因为01λ<<，所以517λ=. 【点睛】本题考查证明线面平行，考查用空间向量法求二面角问题．证明线面平行要注意线线平行、线面平行、面面平行之间的关系，它们之间的相互转化．求空间角问题，空间向量法是常用方法．关键是找到过同一点的两两垂直的三条直线．19.已知1A 、2A 分别是离心率2e =的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右项点，P 是椭圆E 的上顶点，且121PA PA ⋅=-. （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 过点()0,4-，且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算可求得1c =，再由离心率可得a ，然后求得b ，得椭圆方程； （2）当直线l 的斜率存在时，设直线:4l y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,M x y -， 由直线方程与椭圆方程联立并消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后写出直线AM 方程并变形后代入1212,x x x x +，可得定点坐标，再验证直线l 斜率不存在时，直线AM 也过这个定点即可．【详解】解：（1）由题意得()1,0A a -，()2,0A a ，()0,P b ，则22212(,)(,)1PA PA a b a b a b c ⋅=--⋅-=-+=-=-，所以1c =，又2222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，所以a =1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线:4l y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,M x y -，由22124x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得()221216300k x kx +-+=.由()22(16)120120k k ∆=--+>， 得2152k >，所以1221612k x x k +=+，1223012x x k=+. ()12121212121244AMk x x y y kx kx k x x x x x x ----+===+++， 直线AM 的方程为()()121112k x x y y x x x x --=-+，即()()()()()()()()1212112121111112121244k x x k x x kx x x k x x x x y y x x kx x x x x x x x x ---++--=+-=-+-=+++()()()12121212121212122424kx x x x kx x x k x x kx x x x x x x x x -++--==+-+++，因为1221612k x x k +=+，1223012x x k =+，所以21212230221124416412kkx x k k x x k +-=-=-++， 直线AM 的方程为可化为()121214k x x y x x x -=-+，则直线AM 恒过定点10,4⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，直线AM 也过点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上知直线AM 恒过定点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题．解题方法是设而不求思想方法．设出动直线l 方程4y kx =-，设交点坐标()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，利用此结论求出直线AM 方程，可确定定点坐标．20.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上9060岁以下140合计300（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：（3）研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为X，求X 的分布列与数学期望.附表及公式：()2P K k≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d-=++++【答案】（1）平均数为6，“长潜伏者”的人数为250人（2）列联表见解析, 有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关（3）分布列见解析,()1750E X = 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可计算出潜伏期的均值，再由频率分布直方图可得“长潜伏者”的频率，从而得人数；（2）由所给数据计算出2K 后可得结论；（3）由题意知所需要的试验费用X 所有可能的取值为1000，1500，2000，分别计算出概率得概率分布列，再由期望公式得期望． 【详解】解：（1）平均数()0.0210.0830.1550.1870.0390.03110.011326x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，这500名患者中“长潜伏者”的频率为()0.180.030.030.0120.5+++⨯=，所以“长潜伏者”的人数为5000.5250⨯=人.（2）由题意补充后的列联表如下，则2K的观测值为2300(90806070)755.357 5.02415015016014014k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，经查表，得()25.0240.025P K ≥≈，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关. （3）由题意知所需要的试验费用X 所有可能的取值为1000，1500，2000，因为22251(1000)10A P X A ===，2323351233(1500)10l C C A A P X A +===， 11212332453(2000)5C A A C P X A ===（或11223335363(2000)605C C A P X A ====） 所以X 的分布列为133()100015002000175010105E X =⨯+⨯+⨯=（元）. 【点睛】本题考查频率分布直方图、独立性检验、随机变量的概率分布列和数学期望，考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题． 21.已知函数()ln f x x ax b =--. （1）求函数()f x 的极值；（2）若不等式()f x ex ≤-恒成立，求ba e-的最小值（其中e 为自然对数的底数）. 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 极大值为ln 1a b ---，无极小值 （2）-1 【解析】 【分析】（1）求出导函数()f x '，确定函数单调性，得极值，需分类讨论．（2）()0f x ex +≤恒成立，设()()h x f x ex =+，求出()h x 的最大值max ()h x ，由max ()0h x ≤得出,a b 满足的不等关系1ln()b a e ≥---，然后得1ln()()b a e a e a e a e +-≥->--，求得1ln()()()x e F x x e x e+-=->-的最小值即得结论．【详解】（1）解()11(0)axf x a x x x-'=-=>， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值. 当0a >时，由()0f x '>，得10x a <<，函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，由()0f x '<，得1x a >， 函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x 极大值为11ln 1ln 1f b a b a a ⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭，无极小值. 综上所述，当0a ≤时，()f x 无极值； 当0a >时，()f x 极大值ln 1a b ---，无极小值.（2）由()f x ex ≤-可得()ln f x x ax b ex =--≤-， 设()ln ()h x x e a x b =+--，所以1()h x e a x'=+-，0x >， 当a e ≤时，()0h x '>，()h x 在()0,∞+上是增函数，所以()0h x ≤不可能恒成立， 当a e >时，由1()0h x e a x '=+-=，得1x a e=-， 当10,x a e ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1,x a e ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以当1x a e =-时，()h x 取最大值，1ln()10h a e b a e ⎛⎫=----≤ ⎪-⎝⎭，所以ln()10a e b -++≥，即1ln()b a e ≥---，所以1ln()()b a e a e a e a e+-≥->--， 令1ln()()()x e F x x e x e +-=->-，221()1ln()ln()()()()x e x e x e x e F x x e x e ------'=-=--， 当()1,x e ∈++∞时，()0F x '>，()F x 单调递增， 当(),1x e e ∈+时，()0F x '<，()F x 单调递减，所以当1x e =+时，()F x 取最小值，即()(1)1F x F e ≥+=-，所以ba e-的最小值为-1. 【点睛】本题考查用导数求函数的极值，用导数研究不等式恒成立问题．考查转化与化归思想．解题关键是把不等式恒成立转化为求函数的最值．本题对学生分析问题解决问题的能力、运算求解能力要求较高，属于难题．22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知定点()2,4M --，直线l 与曲线C 分别交于P 、Q 两点，求||||||||MQ MP MP MQ +的值. 【答案】（1）l 的普通方程为20x y --=,曲线C 的直角坐标方程为22y x =（2）3【解析】【分析】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，用消元法可化参数方程为普通方程； （2）直线l的参数方程为2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩正好是标准参数方程，参数t 表示直线上的点到M 点距离的绝对值，直接把直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程应用韦达定理易求得结论．【详解】解：（1）由2242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去参数t 得直线l 的普通方程为20x y --=. 由2sin 2cos ρθθ=得曲线C 的直角坐标方程为22y x =.（2）将2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22y x =得22002t -+=. 设方程两根为1t ，2t ，则>0∆，12t t +=1240t t =，故()22212121212122||||3||||t t t t t t MQ MP MP MQ t t t t +-++====. 【点睛】本题考查参数方程与变通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的应用，属于中档题．23.已知正实数a 、b 、c 满足9a b c ++=，且222a b c++的最小值为t . （1）求t 的值； （2）设()23f x x t x =--+，若存在实数x ，使得不等式()223f x m m >--成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2t =（2）24m -<<【解析】 【分析】 （1）利用2221222()9a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭可求得222a b c++的最小值t . （2）用分类讨论去掉()f x 中的绝对值符号，求得其最大值max ()f x ，然后解不等式2max ()23f x m m >--可得．【详解】解：（1）因为9a b c ++=， 所以22212221222222()699b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1629⎛≥+= ⎝， 即2222a b c ++≥，所以222a b c ++的最小值2t =. （2）当2t =时，()8(3)22334(32)8(2)x x f x x x x x x x +<-⎧⎪=--+=---≤≤⎨⎪-->⎩，可得()5f x ≤，存在实数x ，使不等式()223f x m m >--有解，则()2max 23f x m m >--， 从而2523m m >--，即2280m m --<，解得24m -<<.所以实数m 的取值范围是24m -<<.【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查含绝对值函数的最值问题，考查不等式能成立问题，解题时要注意不等式有解与恒成立的区别．分离参数后不等式有解与恒成立的区别在于一个是求函数的最小值一个是求最大值．。
2021年高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（4）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,3,4}P =，{3,4,5}Q =，则()U P Q =（ ）A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5}D.{1,2}2.复数z 满足(i)(2i)5z --=，则z =（ ）A.22i --B.22i -+C.22i -D.22i +3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）A.7B.15C.25D.354.曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为（ ）A.1y x =-B.1y x =-+C.22y x =-D.22y x =-+5.函数π()sin cos 6f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的值域为（ ）A.[2,2]-B.[C.[1,1]-D.,22⎡-⎢⎣⎦6.函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ）A.0B.1C.2D.37.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P35 310 110则X 的数学期望E X =()（ ）A.32B.2C.52D.38.已知实数x ，y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设某中学的高中女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据i i (,)x y (i 1,2,3,,)n =，用最小二乘法近似得到回归直线方程为0.85 5.1ˆ87yx =-，则下列结论中正确的是（ ） A.y 与x 具有正线性相关关系 B.回归直线过样本的中心点(,)x yC.若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该中学某高中女生身高为160cm ，则可估计其体重为50.29kg10.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且1MD NB ==，G 为MC 的中点．则下列结论中正确的是（ ）A.MC AN ⊥B.GB AMN 平面C.CMN AMN ⊥平面平面D.DCM ABN 平面平面11.能够把圆22:9O x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数()f x 称为圆O 的“亲和函数”，下列函数中，是圆O 的“亲和函数”的为（ ）A.32()4f x x x =+B.5()ln5xf x x -=+ C.e e ()2x xf x -+=D.()tan5x f x =12.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一个宋时小文物，如图，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面由半椭圆1C ：22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆2C ：22221(0)x y x c b+=<（其中222a b c =+，0a b c >>>）组成．设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是轴截面与x ，y 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，若宝珠的体积是32π3，1F ，2F 在宝珠珠面上，012F F F 是等边三角形，给出以下四个命题，其中是真命题的有（ ）A.椭圆1C 的离心率为217B.椭圆2C 的离心率大于椭圆1C 的离心率C.椭圆2C 的焦点在y 轴上D.椭圆2C 的长、短轴之比大于椭圆1C 的长、短轴之比第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(十二)文科数学
2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷（十二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则AB =（ ）A. {}2345，，，B. {}234，，C. {}1234，，， D.{}01234，，，， 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解.【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B .【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题. 2. 设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A. 1B. -1C. 0D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题. 3. 等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ） A. ±6 B. 6 C. -6 D.132【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【详解】由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅=，所以96a ==±，而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =，故选：B.【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题. 4. 若2()(1)()f x x ax a R =+∈，则“23a =”是“()327f =”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要性的判定，依次判断是否具有充分性和必要性即可. 【详解】函数2()(1)()f x x ax a R =+∈，当23a =时，22()13f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则22(3)313273f ⎛⎫=⨯+⨯⎪⎭= ⎝，所以“23a =”是“()327f =”的充分条件；当()327f =时，代入可得23(13)27a ⨯+=，解得23a =或43a =-，因而“23a =”不是“()327f =”的必要条件， 综上可知“23a =”是“()327f =”充分不必要条件， 故选：B.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念及简单判断，属于基础题. 5. 曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ）A. 1y x =-B. 23y x =-C. 3y x =-+D.25y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程.【详解】曲线24x y =，即214y x =， 当2x =时，代入可得21124t =⨯=，所以切点坐标为()2,1， 求得导函数可得12y x '=， 由导数几何意义可知1212k y ='=⨯=， 由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-， 故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 6. 阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A. 5i >B. 8i >C. 10i >D. 12i >【答案】C【解析】 【分析】根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i 的值，进而得判断框内容. 【详解】根据循环程序框图可知，0,1S i == 则1,3S i ==，4,5S i ==， 9,7S i ==， 16,9S i ==， 25,11S i ==，此时输出S ，因而9i =不符合条件框的内容，但11=i 符合条件框内容，结合选项可知C 为正确选项， 故选：C.【点睛】本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.7. 若双曲线22214x y b -=的离心率e =）A. B. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.【详解】双曲线22214x y b -=的离心率e =，则2a =，c e a ==，解得c =()，所以b ===则双曲线渐近线方程为y =±20y ±=，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d ==，故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.8. 将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ） A. 图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B. 函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D. 最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.【详解】函数()2cos 2f x x x =-，则()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位， 可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由正弦函数的性质可知，()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，所以A 、B 选项中的对称中心错误；对于C ，()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，所以图象关于直线6x π=对称；当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，所以C 正确； 对于D ，最小正周期为22ππ=，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x =，所以D 错误；综上可知，正确的为C ， 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.9. 若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()x e xf x x +=B. 21()x f x x-=C. 2()x e x f x x-=D. 21()x f x x +=【答案】C 【解析】【分析】根据函数解析式，结合特殊值与极限值法，即可判断解析式.【详解】根据函数图像可知，当1x =时，()0f x >，对于B 选项21()x f x x-=，其211(1)01f -==，所以排除B ；当x →+∞时，由图像可知()f x →+∞，对于D 选项21()x f x x+=，当x →+∞时()0f x →，所以排除D ；对于A ，()=1x x e x e f x x x +=+，当x →-∞时，由指数函数性质可知0xey x=→，即x →-∞时()1f x →，所以排除A ； 所以C正确选项，故选：C.【点睛】本题考查了由函数图像判断解析式，注意特殊值与极限值等方法的使用，属于基础题.10. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质，可知TP PB ⊥；结合112A P PB =即可证明11PTA BPB ∆≅∆，进而求得1TA .由线段关系及平面向量数量积定义即可求得1TP B B ⋅.【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==， 点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC . 则TP PB ⊥，112A P PB = 则11PTA BPB ∠=∠，所以11PTA BPB ∆≅∆， 则111TA PB ==，所以11cos TP B B TP B B PTA ⋅=⋅⋅∠22⎛⎫=⨯=- ⎝， 故选：D.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题. 11. 已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. b c a >>D.a cb >>【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg lg130lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >， 综上可知a c b >>， 故选：D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.12. 一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据定义，表示出数列的通项并等于2020.结合n 的正整数性质即可确定解的个数. 【详解】由题意可知首项为2，设第二项为t ，则第三项为2t +，第四项为()22t +，第五项为()222t +⋅⋅⋅第n 项为()322,*,n t n t N -+∈、且3n ≥，则()3222020n t -+=， 因为2202025101=⨯⨯， 当3n -的值可以为0,1,2； 即有3个这种超级斐波那契数列， 故选：A.【点睛】本题考查了数列新定义的应用，注意自变量的取值范围，对题意理解要准确，属于中档题.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二，填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是 ． 【答案】【解析】试题分析：从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）六种取法，其中甲被选中有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）三种，所以甲被选中的概率为考点：本小题主要考查古典概型概率的求解.点评：求古典概型概率时，要保证每一个基本事件都是等可能的.14. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，并且当01x ≤≤时()21xf x =-，则()123f =___ 【答案】1- 【解析】 【分析】根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数()f x 对称轴及周期性，进而由01x ≤≤的解析式求得()123f 的值.【详解】()f x 满足()()11f x f x +=-， 由函数对称性可知()f x 关于1112x xx ++-==对称，且令1x x =+，代入可得()()2f x f x +=-，由奇函数性质可知()()f x f x -=-，所以()()2f x f x +=- 令2x x =+，代入可得()()()42f x f x f x +=-+=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数， 则()()()()123431111f f f f =⨯-=-=-当01x ≤≤时()21xf x =-， 所以()11211f =-=，所以()()12311f f =-=-，故答案为：1-.【点睛】本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题. 15. 已知平面向量a ，b 的夹角为3π,(3,1)a =，且||3a b -=，则||b =____ 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量模的定义先由坐标求得a ，再根据平面向量数量积定义求得a b ⋅；将a b -化简并代入即可求得||b . 【详解】(3,1)a =，则()32a ==，平面向量a ，b 的夹角为3π，则由平面向量数量积定义可得1cos 232a b a b b b π⋅=⋅=⨯⨯=，根据平面向量模的求法可知2223a b a a b b -=-⋅+=，2423b b -+=，解得1b =， 故答案为：1.【点睛】本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题.16. 数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数1,()0,x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，称为狄里克雷函数.则关于()D x 有以下结论:①()D x 的值域为[]01，;②()(),x R D x D x ∀∈-=; ③()(),T R D x T D x ∀∈+=;④(1)(2020)45;D D D D ++++=其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号) 【答案】② 【解析】 【分析】确定④.【详解】对于①，由定义可知，当x 为有理数时()1D x =；当x 为无理数时()0D x =，则值域为{}0,1，所以①错误；对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足()(),x R D x D x ∀∈-=，所以②正确；对于③，因为T R ∈，当x 为无理数时，x T +可以是有理数，也可以是无理数，所以③()(),T R D x T Dx ∀∈+=错误； 对于④，由定义可知(1)(2020)D DD D ++++2(1)(44)(2)(3)(2020)D D D D D D D D D =+++++++++44=，所以④错误；综上可知，正确的为②. 故答案为：②.【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.三，解答题(解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共70分)17. 传染病的流行必须具备的三个基本环节是:传染源，传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表:（1）用样本估计总体，分别估计青年人、中老年人出行戴口罩的概率.（2）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？【答案】（1）青年人出行戴口罩概率56；老年人出行戴口罩概率12.（2）有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关.【解析】【分析】（1）根据列联表，即可求得青年人、中老年人出行戴口罩的概率；（2）跟列联表及公式，代入即可求得观测值2K.结合临界值表即可作出判断.【详解】（1）根据列联表可知，抽取青年人共501060+=人，其中带口罩的有50人，所以青年人戴口罩的概率为505 606=；抽取老年人共202040+=人，戴口罩的有20人，所以老年人戴口罩的概率为201 402=.（2）假设是否会佩戴口罩出行的行为与年龄无关，由列联表及公式可得()2 21005020102012.69810.828 60407030K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因而有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关. 【点睛】本题考查了独立性检验思想的简单应用，属于基础题.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，()2,0AB PD t t ==>.(1)若2t =，证明：平面DMA ⊥平面PBC ； (2)若三棱锥C DBM -的体积为43求三棱锥B PAC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）83.【解析】 【分析】（1）根据四棱锥的特征，可证明BC ⊥平面PDC ，从而BC DM ⊥；而由等腰三角形性质DM PC ⊥可知，所以DM ⊥平面PBC ，进而由面面垂直的判定定理证明平面DMA ⊥平面PBC ；（2）过M 作MN DC ⊥，连接,DB BM .由43C DBM M DBC V V --==可求得t .即可由棱锥的体积公式求得B PAC P ABC V V --=.【详解】（1）证明：由题意PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 则PD BC ⊥四边形ABCD 为正方形，则BC CD ⊥， 且PD CD D ⋂=，则BC ⊥平面PDC ，又DM ⊂平面PDC ， 所以BC DM ⊥，由2AB PD ==且点M 是棱PC 的中点， 所以DM PC ⊥, 而BC PC C ⋂=， 所以DM ⊥平面PBC ， 而DM ⊂平面DMA ，所以由面面垂直的判定定理可得平面DMA ⊥平面PBC ； （2）过M 作MN DC ⊥，连接,DB BM .则1114223223C DBM M DBC V V t --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 解得4t =，所以118224323B PAC P ABC V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了线面垂直与面面垂直的判定定理，三棱锥体积的求法，属于基础题. 19. 如图，平面四边形ABCD 中，23D π∠=，5sin cos 13BAC B ∠=∠=，13AB =.（1）求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）12；（2）30S = 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数式可求得cos sin BAC B ∠=∠，结合正弦和角公式求得()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠，即可求得2BCA π∠=，进而由三角函数（2）设,,AD x DC y ==根据余弦定理及基本不等式，可求得xy 的最大值，结合三角形面积公式可求得ADC S ∆的最大值，即可求得四边形ABCD 面积的最大值. 【详解】（1）5sin cos 13BAC B ∠=∠=，则由同角三角函数关系式可得12cos sin 13BAC B ∠=∠==，则()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠sin co cos sin s B B AC B AC B ∠+∠⋅=⋅∠∠551212113131313=⨯⨯=+， 则2BCA π∠=，所以12sin 131213AC AB B =⋅=⨯=. （2）设,,AD x DC y ==在DAC ∆中由余弦定理可得2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠，代入可得22144x y xy =++，由基本不等式222x y xy +≥可知1442xy xy -≥，即48xy ≤，当且仅当x y == 由三角形面积公式可得1sin 2ADC S xy ADC ∆=∠1482≤⨯=1125302ACB S ∆=⨯⨯=，所以四边形ABCD 面积的最大值为30S =.【点睛】本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题. 20. 设33()(4)log (01).11a f x a x x a a a a =--+>≠--且 （1）证明:当4a =时，()ln 0x f x +≤；（2）当1≥x 时()0f x ≤，求整数a 的最大值.（参考数据：20.69,3 1.10ln ln ≈≈，5 1.61,7 1.95ln ln ≈≈）【答案】（1）证明见解析；（2）5a =. 【解析】 【分析】（1）将4a =代入函数解析式可得()1f x x =-+，构造函数()ln 1g x x x =-+，求得()g x '并令()0g x '=，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由()max 0g x =即可证明()0g x ≤恒成立，即不等式得证.（2）对函数求导，变形后讨论当1a >时的函数单调情况：当()()413ln a a a--≤时，可知满足题意；将不等式化简后构造函数()2543ln ,1g a a a a a =-+->，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为()3g ，分别依次代入检验()()()()3,4,5,6g g g g ⋅⋅⋅的符号，即可确定整数a 的最大值；当()()413ln a a a-->时不满足题意，因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论.【详解】（1）证明：当4a =时代入()f x 可得()1f x x =-+， 令()ln 1g x x x =-+，()0,x ∈+∞， 则()111xg x x x-'=-=， 令()0g x '=解得1x =，当()0,1x ∈时()0g x '>，所以()ln 1g x x x =-+在()0,1x ∈单调递增， 当()1,x ∈+∞时()0g x '<，所以()ln 1g x x x =-+在()1,x ∈+∞单调递减， 所以()()max 1ln1110gx g ==-+=，则()ln 10g x x x =-+≤，即()ln 0x f x +≤成立. （2）函数33()(4)log (01).11a f x a x x a a a a =--+>≠--且 则()()()41343ln (),1ln 11ln a a xa af x x x a a x a a----'=-=≥--，若1a >时，当()()413ln a a a--≤时，()0f x '<，则()f x 在[)1,+∞时单调递减，所以()()10f x f ≤=，即当1≥x 时()0f x ≤成立； 所以此时需满足()()1413ln a a a a >⎧⎪--⎨≤⎪⎩的整数解即可，将不等式化简可得2543ln a a a -+≤， 令()2543ln ,1g a a a a a =-+->则()()()2213325325,1a a a a g a a a a a a+---'=--==> 令()0g a '=解得3a =，当()1,3a ∈时()0g a '<，即()g a 在()1,3a ∈内单调递减， 当()3,a ∈+∞时()0g a '>，即()g a 在()3,a ∈+∞内单调递增， 所以当3a =时()g a 取得最小值，则()2335343ln 323ln 30g =-⨯+-=--<，()2445443ln 43ln 40g =-⨯+-=-<，()2555543ln543ln543 1.610g =-⨯+-=-≈-⨯<，()()2665643ln 6103ln 2ln3103 1.790g =-⨯+-=-+≈-⨯>所以此时满足2543ln a a a -+≤的整数a 的最大值为5a =； 当()()413ln a a a-->时，在()()411,2ln a a x a⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦时()0f x '>，此时()()10f x f >=，与题意矛盾，所以不成立.因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论， 综上所述，当1≥x 时()0f x ≤，整数a 的最大值为5a =.【点睛】本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题.21. 已知12(),100(1)F F -，，分别是椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和右焦点，椭圆C的离心率为,5AB 、是椭圆C 上两点，点M 满足12BM BA =. (1)求C 的方程；(2)若点M 在圆221x y +=上，点O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）22154x y +=；（2）1111,45⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中,,a b c 的关系，即可求得,,a b c 的值，进而得椭圆的标准方程.（2）设出直线AB 的方程为y kx m =+，由题意可知M 为AB 中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出1212,x x x x +，由判别式>0∆可得2254k m +>；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简OA OB ⋅可得2114OA OB AB ⋅=-，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点M 的坐标，代入圆的方程221x y +=，化简可得()2222542516k mk +=+，代入数量积公式并化简，由换元法令21t k =+，代入可得()()()20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯--，再令1s t =及52s ω=-，结合函数单调性即可确定1625950ωω++的取值范围，即确定()()()20851259t t t t ---的取值范围，因而可得OA OB ⋅的取值范围.【详解】（1）12(),100(1)F F -，，分别是椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和右焦点， 则1c =，椭圆C的离心率为5则1c e a a ===解得a = 所以222514b a c =-=-=，所以C 的方程为22154x y +=.（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，点M 满足12BM BA =，则M 为AB 中点，点M 在圆221x y +=上，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆方程22154y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()22254105200k x kmx m +++-=，所以212122210520,,5454km m x x x x k k --+==++则()()()222104545200km k m ∆=-⨯+⨯->，化简可得2254k m +>， 而()()OA OB OM MA OM MB ⋅=+⋅+2OM OM MB MA OM MA MB =+⋅+⋅+⋅22OM MB =-2114AB =-由弦长公式代入可得22111144OA OB AB⋅=-=-22211454kk⎛⎫+ ⎪=-⨯⎪+⎝⎭M为AB中点，则()121222254,,225454M Mk x x bx x km mx yk k+++-====++点M在圆221x y+=上，代入化简可得()2222542516kmk+=+，所以()22222154180454k k mOA OBk++-⋅=-⨯⨯+()()()()222212012120542516k kk k++=-⨯++令21t k=+，则()()()20812051259t tOA OBt t-⋅=-⨯--，1t≥，令1,01s st=<≤，则()()()()()82020820819512595259525t t stt t s st t---==----⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()4525259ss s-=--令[)52,3,5sωω=-∈，则52sω-=，所以()()()()()4521616255259559950ss sωωωωω-==--++++，因为()25950fωωω=++在[)3,5ω∈内单调递增，所以1643,252516950ωω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++，即()()()20843,512592516t t t t -⎛⎤∈ ⎥--⎝⎦所以()()()2081111120,5125945t t OA OB t t -⎡⎫⋅=-⨯∈--⎪⎢--⎣⎭【点睛】本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用，由韦达定理研究参数间的关系，平面向量的线性运算与数量积运算，弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用，计算量大，属于难题.请考生在第22，23两题中选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线l 与曲线:C ()2211x y -+=交于A B 、两点.(1)求AB 的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离.【答案】（1 ;（2. 【解析】 【分析】（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得AB 的长；（2）将P 的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得M 的坐标，再根据两点间距离公式即可求得PM .【详解】（1）直线l 的参数方程为x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，化为直角坐标方程为y x =，即0x y -= 直线l 与曲线:C ()2211x y -+=交于A B 、两点.则圆心坐标为()1,0，半径为1，则由点到直线距离公式可知d=所以2AB==（2）点P的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标可得()2,2-，直线l的方程与曲线C的方程联立()2211y xx y=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，化简可得20x x-=，解得0,1x x==，所以A B、两点坐标为()()001,1，、，所以11,22M⎛⎫⎪⎝⎭，由两点间距离公式可得2PM==.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程转化，极坐标与直角坐标的转化，点到直线距离公式应用，两点间距离公式的应用，直线与圆交点坐标求法，属于基础题.23. 设()()2,0f x x x a a=-->.(1)当1a=时，求不等式()1f x≥-的解集；(2)若()1f x≤，求a的取值范围.【答案】（1）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）将1a=代入函数解析式，并代入不等式，分类讨论解绝对值不等式即可得解.（2）将解析式代入不等式，讨论0x≤、0x a<≤和x a>三种情况，结合不等式解集性质即可求得a的取值范围.【详解】（1）将1a=代入可得()21f x x x=--，代入不等式可得不等式211x x --≥-当0x <时，不等式可化为()211x x --⨯-≥-，解得1≥x ，与0x <矛盾，所以无解；当01x ≤≤时，不等式可化为()211x x -⨯-≥-，解得13x ≥，所以解集为113x ≤≤； 当1x >时，不等式可化为()211x x -⨯-≥-，解得3x ≤，所以解集为13x <≤；综上所述，不等式()1f x ≥-的解集为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由()1f x ≤代入解析式可得21x x a --≤，()0a >，当0x ≤时，去绝对值化简可得()21x a x --⨯-≤，解得21x a ≤+，对于任意0a >恒成立； 当0x a <≤时，去绝对值化简可得()21x a x -⨯-≤，解得213a x +≤，则需满足213a a +≤，解得1a ≥；当x a >时，去绝对值化简可得()21x x a -⨯-≤，解得21a x -≤，则需满足21a a -≥，解得1a ≥，综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值不等式求参数的取值范围问题，属于中档题.。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十四)数学(理)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（ ） A. [0,1] B. (0,1]C. [0,1)D. (,1]-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用并集的定义求解即可．【详解】∵集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，∴{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选A【点睛】本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题．2.命题:p x ∀∈R ，220x x ->的否定为（ ）． A. x ∀∈R ，220x x -≤ B. x ∀∈R ，220x x -< C. x ∃∈R ，220x x -> D. x ∃∈R ，220x x -≤【答案】D 【解析】 命题p 的否定，将“x ∀∈R ”变成“x ∃∈R ”，将“220x x ->” 变成“220x x -≤”． 故选D ．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题.3.若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A. 34±B.43C. 34-D. 43-【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠， 所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3 tan4θ=-，故tan()θ-π=3tan4θ=-．故选C．【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4.已知变量,x y满足20230x yx yx-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则4log(24)z x y=++的最大值为( )A.23B. 1C.32D. 2【答案】C【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，欲求4log(24)z x y=++得最大值，即要求24z x y=++取最大值，再结合图象，即可求解．【详解】由题意，作出约束条件所表示的可行域，如图所示，又设124z x y=++，结合图象，可得经过点A时，此时z取得最大值，又由20230x yx y-=⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)A，此时1z的最大值21248z=⨯++=，所以4log(24)z x y=++的最大值为43log82z==，故选C．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题的应用，以及对数的应用，其中解答中根据约束条件画出可行域，结合图象求出1z的最大值，进而求解z得最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.设0a>，0b>，lg2lg4a与lg2b的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. 22B. 3C. 4D. 9【答案】D 【解析】∵lg 2是lg4a 与lg2b 的等差中项， ∴2lg 2lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2a b a b +=⋅=， ∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 6.《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：118x =，219x =，320x =，421x =，522x =，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A. 2S =，即5个数据的方差为2B. 2S =，即5个数据的标准差为2C. 10S =，即5个数据的方差为10D. 10S =，即5个数据的标准差为10【答案】A 【解析】 【分析】 算法功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值．【详解】由程序框图知：算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值， ∵跳出循环的i 值为5，∴输出S = ()()()2221[1820192020205⨯-+-+- ()()2221202220]+-+-=()14101425⨯++++=.故选A. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题． 7.十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ） A.15B.14C.13D.12【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案． 【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M = 故选C ．【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8.椭圆221169x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若6AB =，则11AF BF +的值为( ) A. 10 B. 8C. 16D. 12【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的定义可得：12122AF AF BF BF a +=+=，即可得出． 【详解】由椭圆的定义可得：121228AF AF BF BF a +=+==，()()1122221616610AF BF a AF a BF AB ∴+=-+-=-=-=，故选A ．【点睛】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是（ ）A. 324cmB.364cm 3C. 3(62522)cm ++D. 3(248582)cm ++【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为16444433⨯⨯⨯=3cm .故选B.10.已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A.2πB. πC.32π D. 2π【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期. 【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x =的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.11.过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（ ）．A.12B.C.12D.2【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点的坐标为()2,0F c ，利用O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，可得OM 为12NF F 的中位线，从而可求1NF ，再设()x,y N ，过点1F 作x 轴的垂线，由勾股定理得出关于,a c 的关系式，最后即可求得离心率．【详解】设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ．因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，所以曲线3C 的方程为24y cx =．因为10MF MN +=， 所以1MF MN NM =-=， 所以M 为1F N 的中点， 因为O 为12F F 的中点， 所以OM 为12NF F 的中位线，所以OM ∥2NF ．因为|OM |=a ，所以22NF a =． 又21NF NF ⊥，122F F c =， 所以()()221222NF c a b =-=．设N (x ,y )，则由抛物线的定义可得2x c a +=， 所以2x a c =-．过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ， 在1RtF PN 中，由勾股定理得22211||+||||F P PN F N =，即22244y a b +=，所以2224(2)44()c a c a c a -+=-， 整理得210e e --=，解得512e =． 故选A ．【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于,,a b c 的关系式，再结合222a b c +=得到,a c 间的关系或关于离心率e 的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）．（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用．12.函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [)1,+∞D. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由题意设()()xf xg x e=，则()()1()x f x f x g x e x -'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-．∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()x f x g x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.()55111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的x 项的系数等于____________ . 【答案】10. 【解析】 【分析】由()()525551111x x x x⎛⎫=⎪⎭-+- ⎝，于是求x 项的系数转化为()521x -展开式中6x 的系数，然后利用二项式定理求出即可. 【详解】()()()5555255111111x x x x xx x --⎛⎫=⋅= ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎪⎝⎭⎭，要求()55111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的x 项的系数，转化为求()521x -展开式中6x 的系数， ()521x-展开式的通项为()()()521025511kkkk k k C xC x --⋅⋅-=⋅-⋅，令1026k -=，得2k =，因此，()55111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的x 项的系数为()225110C ⋅-=，故答案为：10.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，本题将二项式进行了化简，将问题进行了转化，简化了计算，考查化归与转化数学思想，考查计算能力，属于中等题. 14.在直角三角形ABC 中，2C π=，3AC =，对于平面ABC 内的任一点M ，平面ABC 内总有一点D 使得32MD MB MA =+，则CD CA =_________. 【答案】6 【解析】 【分析】由32MD MB MA =+可知D 为线段AB 上的点且BD ＝2AD ，将CD 用CA ，CB 表示后代入相乘即可． 【详解】对平面ABC 内的任一点M ，平面ABC 内总有一点D 使得32MD MB MA =+， 即1233MD MB MA +=,所以D 为线段AB 上的点且BD ＝2AD所以2122220||9633333CD CA CB CA CA CA CA CA ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅==⨯= ⎪⎝⎭, 故答案为6．【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．15.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，4=AD ，2AB =，且8SA SD +=，当该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为_________.【答案】763π 【解析】 【分析】由题意知四棱锥的体积最大时，平面SAD ⊥平面ABCD 且SAD ∆为等边三角形，画出图形，设球心O 到平面ABCD 的距离为x ，可得225(23)1x x +=+，进而得到球的半径，即可求解.【详解】由题意知当S 到平面ABCD 的距离最大时，四棱锥的体积最大，此时满足平面SAD ⊥平面ABCD ，且SAD ∆为等边三角形，边长为4，则S 到AD 的距离23S 到平面ABCD 的距离，设球心O 到平面ABCD 的距离OE=x,则由OD=OS 得225(23)1x x +=+， 解得3x =21953R x =+=27643S R ππ==故答案为763π【点睛】本题考查四棱锥的外接球问题,关键在于确定球心和半径,考查学生的空间想象能力和计算能力,属于基础题.16.已知函数2()cos 2x f x x π=，数列{}n a 中，()*()(1)n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前100项之和100S =____． 【答案】10200 【解析】 因为()2πxf x x cos2=，所以 ()()n a f n f n 1=++=22+1cos++1cos22n n n n ππ（）（） 2224-34-34-24-3cos +4-2cos =-(42)22n n n a n n n ππ=-（）（）（）（）同理可得：22242414(42),(4),(4)n n n a n a n a n --=--=-=-2243424142(42)2(4)8(41)n n n n a a a a n n n ---∴+++=--+=- , ∴ {}n a 的前100项之和()100S 8379910200=++⋯+=.故答案为10200 .点睛：本题中由条件()()n a f n f n 1=++=22+1cos++1cos 22n n n n ππ（）（） ，由余弦函数的值可将n 分成四种情况，即将数列分成四个一组求和即可.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第14-18题为必做题，每个考生都必须作答.第19（1）/19（2）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭， （1）求证：B C =；（2）若3cos 5A =，ABC ∆的外接圆面积为254π，求ABC ∆的周长．【答案】(1)见证明；(2) 4. 【解析】 【分析】（1）由()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++=⎪⎝⎭，利用诱导公式、两角和与差的正弦公式化简可得sin()0B C -=，从而可得结论；（2）利用圆的面积公式可求得三角形外接圆半径52R =，利用同角三角函数的关系与正弦定理可得2sin 4a R A ==，结合（1），利用余弦定理列方程求得b c ==，从而可得结果.【详解】（1）∵sin()2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++=⎪⎝⎭， ∴sin()2sin cos 0B C B C +-=，∴sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C +-=， ∴cos sin sin cos 0B C B C -=， ∴sin()0B C -=. ∴在ABC ∆中，B C =，（2）设ABC ∆的外接圆半径为R ，由已知得2254R ππ=，∴52R =，∵3cos 5A =，0A π<<，∴4sin 5A =，∴2sin 4a R A ==， ∵B C =，∴b c =，由2222cos a b c bc A =+-⋅得2261625b b =-，解得b =，∴4a b c ++=，∴ABC ∆的周长为4.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，从产品中随机抽取了80个进行测量，根据所测量的数据画出频率分布直方图如下：如果：尺寸数据在[)63.0,64.5内的零件为合格品，频率作为概率. (1)从产品中随机抽取4件，合格品的个数为ξ，求ξ的分布列与期望：(2)为了提高产品合格率，现提出A ，B 两种不同的改进方案进行试验，若按A 方案进行试验后，随机抽取15件产品，不合格个数的期望是2：若按B 方案试验后，抽取25件产品，不合格个数的期望是4，你会选择哪个改进方案?【答案】（1）详见解析（2）应选择方案A ，详见解析 【解析】 【分析】(1) 先由频率分布直方图，可以推出产品为合格品的概率，再求出随机变量ξ的分布列及期望；(2) A 方案随机抽取产品与B 方案随机抽取产品都为相互独立事件，服从二项分布，由不合格个数的期望分别求出不合格的概率即可得出较好的方案.【详解】（1）由直方图可知抽出产品为合格品的率为()0.750.650.20.50.8++⨯= 即推出产品为合格品的概率为45， 从产品中随机抽取4件.合格品的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4， 且()4110()5625P ξ===，()13441161()55625P C ξ==⨯=，()222441962()()55625P C ξ==⨯=，()334412563()55625P C ξ==⨯=，()442564()5625P ξ===.所以ξ的分布判为ξ0 1 2 34P16251662596625256625256625ξ的数学期望416455E ξ=⨯=.（2）A 方案随机抽取产品不合格的概率是a ，随机抽取15件产品，不合格个数()15,X B a ：按B 方案随机抽取产品不合格的概率是b ，随机抽取25件产品，不合格个数()25,Y B b依题意()152E X a ==，()254E Y b ==，解得215a =，425b = 因为241525<， 所以应选择方案A .【点睛】本题考查了频率分布直方图，随机变量的分布列与期望及二项分布，重点考查了运算能力，属中档题.19.如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60ABC ︒∠=，BM ⊥平面ABCD ，BMDN ，2BM DN =，点E 是线段MN 上任意一点．(1)证明：平面EAC ⊥平面BMND ； (2)若AEC ∠的最大值是23π，求三棱锥M NAC -的体积． 【答案】(1)见证明；(2) M NAC 35V -=【解析】 【分析】（1）推导出AC ⊥BM ，AC ⊥BD ，得AC ⊥平面BMND ，从而可得到证明;（2）由AE ＝CE 和余弦定理可知，当AE 最短即AE ⊥MN ，CE ⊥MN 时∠AEC 最大，取MN 中点H ，连接H 与AC 、BD 的交点O ，知OH ⊥平面ABCD ，分别以直线OA ，OB ，OH 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设ND a =，利用二面角A MN C --的平面角为23π，可求出a,然后利用V M ﹣NAC ＝V M ﹣EAC +V N ﹣EAC 可得结果. 【详解】(1)因为BM ⊥平面ABCD ，则AC BM ⊥. 又四边形ABCD 是菱形，则AC BD ⊥，又BDBM B =,所以AC ⊥平面BMND ,因为AC 在平面EAC 内， 所以平面EAC ⊥平面BMND .(2)设AC 与BD 的交点为O ，连结EO . 因为AC ⊥平面BMND ，则AC OE ⊥，又O 为AC 的中点，则AE CE =，由余弦定理得222222cos 12AEAE AC AEC AE -∠==-，()AEC 0,π∠∈．当AE 最短时∠AEC 最大，此时AE MN ⊥，CE MN ⊥，23AEC π∠=，因为AC=2,23AE =,OE=3. 取MN 的中点H ，分别以直线OA ，OB ，OH 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设ND a =，则点()A 1,0,0，()N 0,3,a - ()M 3,2a ，()1,3,a AN =--，()3,2a AM =-．设平面AMN 的法向量(),,n x y z =，则00AN n AM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即30320x y az x az ⎧--+=⎪⎨-++=⎪⎩ ，取1z =，则3a 3a ,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 同理求得平面CMN 的法向量33,2a a m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 因为23AEC π∠=是二面角 A MN C --的平面角，则 22229314361cos cos ,9321436a a AEC m n a a -++∠=〈〉==++，解得1510a =或6a 2=．由图可知a<OE=33,故6a 2= (舍去)，1510a =，因为223915MN a BD 1220=+=+=，23AE 3=，2121433S AE sin 232323EACπ∆==⨯⨯=， 则M NAC 11391535V 33M EAC N EAC AEC V V S MN ---∆=+=⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查几何体体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，其右焦点F 与抛物线243y x =的焦点重合，过F 且垂直于抛物线对称轴的直线与椭圆交于M 、N 两点，与抛物线交于C 、D 两点．||43||CD MN = （1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与(1)中椭圆相交于A ,B 两点, 直线OA , l ,OB 的斜率分别为1k ,k ,2k (其中k 0>)，且1k ,k ,2k 成等比数列；设OAB 的面积为S , 以OA 、OB 为直径的圆的面积分别为1S , 2S , 求12S S S+的取值范围.【答案】(1) 2214x y += (2) 5π[)4+∞， 【解析】 【分析】(1)由题意可得22||b MN a=，43CD =，即得22a b =，结合223a b -=可得椭圆方程；（2）设直线的方程为()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+，将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，由1k ，k ，2k 成等比数列，可解得k 值，然后分别求出S,1,2S S ,写出12S S S+的表达式，利用基本不等式可得取值范围. 【详解】（1）由抛物线方程得)3,0F，椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，过F 垂直于抛物线对称轴的直线与椭圆交于M,N 两点，可得22||b MN a=，与抛物线交于C,D 两点可得43CD =，22434322CD a b b MNa ==⇒= ， 223a b -=，∴ 21a b =⎧⎨=⎩， 所以椭圆方程为2214x y += .(2)设直线的方程为()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-= ， 由韦达定理：()()221222122161408144114k m kmx x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⎪=+⎩， ∵1k ，k ，2k 构成等比数列，1222112y x k x k k y =⋅=()()1212kx m kx m x x ++=， 即()2120km x x m ++=由韦达定理代入化简得：214k =，∵ 0k >，12k =． 此时()21620m∆=->，即(2,2m ∈-．又由A O B 、、三点不共线得0m ≠，从而()(2,02m ∈-⋃． 故2122111221m S AB d k x k=⋅=+-+()2212121422x x x x m m m =+-=-∵22221212144x x y y +=+=，122x x m +=-，21222x x m ⋅=-，则()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=⋅+++=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=⋅+-+=⎣⎦为定值．()122225515444222S S S m m m mπππ+=⋅=-+-⋅，当且仅当222m m -=即1m =±时等号成立． 综上：12S S S +的取值范围是5π4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查韦达定理，弦长公式以及基本不等式的应用，属于中档题.21.设函数()ln(1)f x a x =+，()1x g x e =-，其中R α∈， 2.718e =…为自然对数的底数． （1）当0x ≥时，()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围； （2）求证：101095200010001791e << (参考数据：ln1.10.095≈) 【答案】（1）(,1]-∞ （2）见解析 【解析】【试题分析】（1）先构造函数()()()()()1ln 10xH x g x f x e a x x =-=--+≥，再对其求导得到()()01x aH x e x x =-≥+'然后分1a ≤和1a >两种情形分类讨论进行分析求解： （2）借助（1）的结论，当1a =时，()1ln 1xe x >++对0x >恒成立， 再令110x =，得到11010951ln1.1 1.0951000e >+≈>即1010951000e >； 又由(Ⅰ)知，当1a >时，则()H x 在[)00x ，递减，在()0x +∞，递增，则()()000H x H <=，即()001ln 10x e a x --+<，又()00H x '=，即001xae x =+，令11011110a e =>，即0110x =，则110120001 1.1ln1.11791e <≈-， 故有101095200010001791e <<. 解：(Ⅰ)令()()()()()1ln 10xH x g x f x e a x x =-=--+≥，则()()01xaH x e x x =-≥+' ①若1a ≤，则11x ae x ≤≤+，()0H x '≥，()H x 在[)0,+∞递增，()()00H x H ≥=， 即()()f xg x ≤在 [)0,+∞恒成立，满足，所以1a ≤；②若1a >，()1xaH x e x =-+'在[)0,+∞递增，()()01H x H a ''≥=-且10a -< 且x →+∞时，()H x '→+∞，则()00x ，∃∈+∞使()00H x '=， 则()H x 在[)00x ，递减，在()0x +∞，递增， 所以当()00x x ∈，时()()00H x H <=，即当()00x x ∈，时，()()f x g x > ， 不满足题意，舍去；综合①，②知a 的取值范围为(],1-∞. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，当1a =时，()1ln 1xe x >++对0x >恒成立，令110x =，则11010951ln1.1 1.0951000e >+≈> 即10951000>；由(Ⅰ)知，当1a >时，则()H x 在[)00x ，递减，在()0x +∞，递增， 则()()000H x H <=，即()001ln 10x e a x --+<，又()00H x '=，即001x ae x =+， 令11011110a e =>，即0110x =，则110120001 1.1ln1.11791e <≈-，故有1095200010001791<<. 点睛：解答本题的第一问时，先构造函数()()()()()1ln 10xH x g x f x e a x x =-=--+≥，再对其求导得到()()01xaH x e x x =-≥+'然后分1a ≤和1a >两种情形分类讨论进行分析求解；证明本题的第二问时，充分借助（1）的结论及当1a =时，()1ln 1xe x >++对0x >恒成立，令110x =，得到11010951ln1.1 1.0951000e >+≈>即10951000>； 进而由(Ⅰ)知，当1a >时，则()H x 在[)00x ，递减，在()0x +∞，递增，则()()000H x H <=，即()001ln 10x e a x --+<，又()00H x '=，即001xae x =+，令11011110a e =>，即0110x =，则110120001 1.1ln1.11791e <≈-，故有1095200010001791<<.从而使得问题巧妙获证． （二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（其中ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 的极坐标方程是sin()23πρθ+=，射线OM ：6πθ=与曲线C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】(1)2sin ρθ=；(2)1.【解析】【详解】试题分析：(1)先将参数方程转化为普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程(2)利用极坐标计算出线段长解析：（1））圆C 的普通方程为()2211x y +-=，又cos ,sin x y ρθρθ==所以圆的极坐标方程为 （2）把6πθ=代入圆的极坐标方程可得1P ρ=； 把6πθ=代入直线l 极坐标方程可得2Q ρ=，1p Q PQ ρρ∴=-=选修4-5：不等式选讲23.已知函数1()||||f x x m x m=++-，其中0m >. （1）当1m =时，解不等式()4f x ≤；（2）若a R ∈且0a ≠，证明：1()()4f a f a-+≥. 【答案】(1)[]22-,；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)零点分段求解不等式可得()4f x ≤解集是[]2,2-； (2)利用绝对值三角不等式和不等式的性质即可证得()14f a f a ⎛⎫-+≥⎪⎝⎭. 试题解析：（1）当1m =时，由()11f x x x =++-，由()4f x ≤，得114x x ++-≤ 1114x x <-⎧⇔⎨--+≤⎩或11114x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩，或1114x x x >⎧⎨++-≤⎩，21x ⇔-≤<-或1x x -≤≤或12x <≤，[]2,2x ∈-. （2）证明：()11111f a f a m a m a m a a m ⎛⎫-+=-++--+++- ⎪⎝⎭， ()1121411112a m m a a a f a f a a a m a m a ⎫-+++≥+≥⎪⎪⎛⎫⇒-+≥⎬ ⎪⎝⎭⎪--+-≥+≥⎪⎭. 点睛：绝对值不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(八)文科数学试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（八）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z =(i 为虚单位)的共轭复数为（ ）A.i B.i C. i + D. i -【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简z ，再求得其共轭复数z .【详解】依题意,z i z i ===故选：A【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题. 2.已知集合{}|2,nA x x n ==∈N ，{}|28B x x x =<-.则AB =（ ）A. {1,2,4}B. {}1,2,4,6,8C. {2,4,8}D. {}1,2,4,8【答案】D 【解析】 【分析】解一元一次不等式求得集合B ，由此求得A B .【详解】由{|14}B x x =<，可知{}1,2,4,8A B ⋂=. 故选：D【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.3.若变量x y ，满足约束条件2101010x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩，则=2z x y -的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y -=到可行域边界位置，由此求得z 的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y -=到可行域边界()2,1B -时，目标函数z 取得最大值为()2214-⨯-=. 故选：B[Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082707456/EXPL ANA TION/982d80f2f2de400eb995bb75a5dce055.png]【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为（ ） [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082715648/STEM /739a4f8d0bff4af5a7ec8dffa30bcf36.png]A. 20πB. 21πC. 22πD. 23π【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图判断出原图的结构，由此求得原图的体积.【详解】由三视图知，该几何体是由38个半径为2的球和1个底面半径为2、高为4的圆柱组合而成.其体积为23342422083πππ⨯⨯+⨯⨯=. 故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图求体积，属于基础题.5.如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ） [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003111653376/2445331454345216/STEM /65cc0b9e0b754895abe2ba74b410e80c.png]A. 该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C. 该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A 、B 项均正确，该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确. 故选：D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.6.已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A.23B.29C. 13-D. 49-【分析】22sin αα=可得cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可.【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=， 所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.7.已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A.2B.C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理可得227a b ab +-=，结合2=1a b +可得a ，b ，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得2272cos a b ab C =+-=22a b ab +-，由22721a b ab a b ⎧=+-⎨=+⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，所以，11sin 2322ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.8.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，23()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A. (,1)-∞-B. (1,)-+∞C. (,2)-∞-D. (2,)-+∞【分析】由定义在R 上的奇函数的性质，可得(0)0f =，求出1a =，于是可得()f x 在0x ≥时的解析式23()log (1)(0)x f x x x =+≥+，由解析式结合增函数+增函数=增函数，可得函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，再由()f x 为定义在R 上的奇函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，利用函数单调性即可解决．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，解得1a =，所以，当0x ≥时，32()log (1)f x x x =++．当[0,)x ∈+∞时，函数3log (1)y x =+和2yx 在[0,)x ∈+∞上都是增函数，所以()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增，由奇函数的性质可知，()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故()(34)5(34)2f x f x f +>-⇔+>-，即有342x +>-，解得2x >-．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数性质的应用，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，意在考查学生的转化能力，属于中档题．9.已知双曲线2213y C x -=：的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A. 41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (0,2]C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】 设P 在右支，21PF ，利用双曲线的定义化简1211PF PF +，根据2PF 的取值范围，求得1211PF PF +的取值范围.【详解】不妨设点P 在右支上.所以21PF ，所以12221111141233PF PF PF PF +=++=+，故1211PF PF +的取值范围为40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10.已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（ ） A. 6π B.4π C.3π D.12π【答案】C 【解析】 【分析】cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos()13πϕ+=±，结合||2ϕπ<，可得3πϕ=，易得曲线E 的解析式为cos 223y x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合其对称中心为04π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值. 【详解】∵直线3x π=是曲线C 的一条对称轴.2()3k k πϕπ∴⨯+=∈Z ，又||2ϕπ<. 3πϕ∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.22()432k k Z πππθπ∴⨯++=+∈.()26k k Z ππθ=-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3π.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.11.已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A. 1y x =+或1y x =-- B. 1122y x =+或1122y x =-- C. 22y x =+或22y x =--D. 22y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，要使||||MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM 与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠， 则当||||MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切，易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+，则2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，， 则直线AM 的方程为(1)y x .[Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003111653376/2445331454517248/EXPL ANA TION/e914bc848b324cd5ba782914783ac2be.png] 故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.12.已知函数()f x 满足当0x 时，(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）A. (5,)+∞B. (2,4)C. (3,5)D. (3,4)【答案】C 【解析】 【分析】根据周期性和对称性，作出函数()f x 在(,0]-∞上的图象关于原点对称的图象，根据题意得到函数()log a f x x =的图象与所作的图象有3个交点，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的图象关于原点对称的图象，如图所示.若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对.则函数()log a f x x =的图象与所作的图象有3个交点，所以1log 31log 51a aa >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得35a <<.[Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082871296/EXPL ANA TION/d21c78063fde4ea08aedc9f50a97e136.png] 故选：C【点睛】本小题主要考查函数的周期性、图象的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小題5分，共20分.13.已知(1,1),2,a b a b =-=⊥，则b =___________.【答案】(1,1)或(1,1)-- 【解析】 【分析】设出b 的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得b .【详解】设(,)b x y =，有202x x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩ 或11x y =-⎧⎨=-⎩. 故(1,1)或(1,1)--故答案：(1,1)或(1,1)--【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.14.春节即将来临之际，3位同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任意一张都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为___________. 【答案】16【解析】 【分析】先求得基本事件的总数，由此求得每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率. 【详解】设三张贺卡编号为1,2,3，则每个同学从中抽取一张， 基本事件为123,132,213,231,312,321， 故共有6个基本事件，每个同学抽到的都是自己写的贺卡的事件有1种， 故每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为16. 故答案为：16【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.15.半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为___________.【答案】【解析】 【分析】画出图像，设出底面边长和高，求得底面正三角形的外接圆半径2O A ，利用球的半径列方程，求得底面边长和高的关系式，求得正三棱柱的侧面积的表达式，利用基本不等式求得其最大值.【详解】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，.底面边长与高分别为,x h ，则2O A x =， [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082920448/EXPL ANA TION/7a94ecddaa4e4eafb3f3c11f331a94d3.png]在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，.3S xh =，()222222221291212124322xx S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭，当且仅当x =此时正三棱柱的侧面积的最大值为S =故答案为：【点睛】本小题主要考查球的内接几何体侧面积的有关计算，考查最值的求法，属于中档题.16.已知函数()2()(ln 1)1f x ax x ax x =----，若()0f x <恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(12)， 【解析】 【分析】首先利用导数判断出21ln 1x x +>+，由此化简不等式()0f x <，分离常数a 得到2ln 11x x a x x++<<，由此分别利用基本不等式和导数求得21x x+的最小值与ln 1x x +的最大值，由此求得a 的取值范围.【详解】()f x 定义域为()0,∞+， 构造函数()()2ln 0g x x x x =->，())2'111212x g x x x xx+--=-==，由于0x >，令()'0g x =解得x =， 所以0,2x⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 递减， 2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()gx 递增， 所以()g x 在()0,∞+上的极小值也即是最小值为111ln ln 2022222g ⎛⎫=-=+> ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2ln 0g x x x =->，也即当0x >时，22ln 1ln 1x x x x >⇒+>+. 所以由()2()(ln 1)10f x ax x ax x =----<，得2ln 11x ax x +<<+，可得2ln 11x x a x x++<<， 其中221222x x xxx+==. 令ln 1()x h x x +=，'221(ln 1)ln ()x x h x x x -+==-.可得函数()h x 的增区间为(0,1).减区间为(1,)+∞，可得()(1)1h x h =.即ln 11x x+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2)故答案为：(12)， 【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答17.如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，2AB BD ==，12BB =，BD 与AC 相交于点E ，1A D 与1AD 相交于点O . [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082961408/STEM /683e78a8bec542899c7f2675f6f504f4.png] （1）求证：AC ⊥平面11BB D D ； （2）求点A 到平面OBD 的距离.【答案】（1）见解析；（2 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AC BD ⊥，根据直棱柱的性质得到1AC DD ⊥，由此证得AC ⊥平面11BB D D .（2）利用等体积法，由O ABD A OBD V V --=列方程，解方程求得点A 到平面OBD 的距离. 【详解】(1)证明：60AB AD BD BAD ︒==∴∠=，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，∵直棱柱11111ABCD A B C D DD -∴⊥，平面ABCD . ∵AC ⊂平面ABCD .1AC DD ∴⊥11,,AC BD AC DD BD DD D ⊥⊥⋂=.∴AC ⊥平面11BB D D(2)设点A 到平面OBD 的距离为h ，1112323O ABD V -=⨯⨯⨯=22OD OB BD ====，12OBD S ∆==132A OBD V h -=⨯有13=，解得7h =.故点A 到平面OBD 的距离为7. 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查点面距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下： [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702083026944/STEM /cbc746b152cb41dfa4e0b82ca081e919.png]（1）求a b ，的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（2）求甲公司一年内导游旅游总收入的中位数，乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)【答案】（1）0.01a =，5b =，乙公司的影响度高；（2）36.75 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求得a ，根据频数之和为40求得b .分别求得甲、乙公司导游的优秀率，由此判断出乙公司的影响度高.（2）结合频率分布直方图，求得甲公司一年内导游旅游总收入的中位数.利用平均数的计算方法，计算出乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.【详解】(1)由直方图知(0.020.0250.0352)101a +++⨯=,可得0.01a =， 由频数分布表知22010340b ++++=，可得5b =， 甲公司的导游优秀率为(0.020.01)10100%30%+⨯⨯=， 乙公司的导游优秀率为13100%32.5%40⨯=， 由于30%32.5%<，所以乙公司的影响度高.(2)甲一年内导游旅游总收人的中位数为：0.50.10.253034.290.035--+≈；乙一年内导游旅游总收入的平均数为2520103152535455536.754040404040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查频率分布直方图、频数分布表的阅读与分析，考查中位数、平均数的计算，属于基础题.19.已知数列{}n a ，{}n b 满足1111113,1,22,1n n n n n n n n a b a a b b a a b b ++++==-=--=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和n S ，n T .【答案】（1）11222222nn n n n n a b =++=--；（2）2132244n n n S n +=-++；2132244n n n T n +=---【解析】 【分析】（1）11)2(n n n n a b b a +++=+，114a b +=，可得{}n n a b +为公比为2的等比数列，111n n n n a a b b ++=--+可得{}n n a b -为公差为1的等差数列，再算出{}n n a b +，{}n n a b -的通项公式，解方程组即可； （2）利用分组求和法解决. 【详解】（1）依题意有()111121n n n n n n n n a b a b a b a b ++++⎧+=+⎨-=-+⎩又111142a b a b +=-=；.可得数列{}n n a b +为公比为2的等比数列，{}n n a b -为公差为1的等差数列，由()()111112(1)n n n n n a b a b a b a b n -⎧+=+⨯⎪⎨-=-+-⎪⎩，得121n n n n n a b a b n +⎧+=⎨-=+⎩解得12221222nn n n n a n a ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩故数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为11222222nn n n n n a b =++=--；. （2）()21212(1)322124244n n nn n n n S n+-+=++=-++-， ()21212(1)322124244n n n n n n n T n+-+=--=----.【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n 项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.20.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F .直线2l x =：被称作为椭圆C 的一条准线.点P 在椭圆C 上(异于椭圆左、右顶点)，过点P 作直线:m y kx t =+与椭圆C 相切，且与直线l 相交于点Q . （1）求证：PF QF ⊥.（2）若点P 在x 轴的上方，0k ，求PQF △面积的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）联立直线m 的方程和椭圆C 的方程，利用判别式列方程，求得P 点的坐标，求得Q 点的坐标，通过计算得到0FP FQ ⋅=，由此证得PF QF ⊥.（2）求得||,||FP FQ ，由此求得三角形PQF 面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形PQF 面积的最小值.【详解】(1)点F 的坐标为(1,0).联立方程2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 后整理为()222214220k x ktx t +++-= 有()()222216421220k t k t ∆=-+-=,可得2221t k =+，2222221kt kt kx k t t=-=-=-+，222212121k t t y t k k t=-+==++.可得点P 的坐标为21,k t t ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当2x =时，可求得点Q 的坐标为(2,2)k t +，21211,,kk t FP tt t t +⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1,2)FQ k t =+.有220k t k tFP FQ t t++⋅=-+=. 故有PF QF ⊥.(2)若点P 在x 轴上方，必有1t由(1)知2222222(2)1(2)1(2)1||||(2)k t k t k t FP FQ k t +++++=+===+；2222221(21)1441(22)41)2222PQFk k kt t t kt t S FP FQ t t t+++++-+++=⋅⋅===2341312222t kt t k t t+-==+-因为0k ≥时.由(1)知k =3122PQF t S t ∆=-由函数31()1)22t f t t t=-单调递增，可得此时(1)1PQFS f =.故当1t =时，PQF ∆的面积取得最小值为1.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的最值有关的计算，考查运算求解能力，属于中档题.21.已知函数2()()x f x e ax a =-∈R .（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞有两个零点，分别为12x x ，，求证：124x x +>. 【答案】（1）1y x =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（2）利用()()120,0f x f x ==列方程，利用换元法，求得12x x +的表达式为2(1)ln 1t tt +-，将所要证明的不等式2(1)ln 41t t t +>-转化为2(1)ln 01t t t -->+，构造函数2(1)()ln (1)1x g x x x x -=-+，利用导数证得()(1)0g x g =，由此证得124x x +>成立.【详解】(1)由()2xf x e ax '=-，有(0)1,(0)1f f '==.曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+(2)不妨设210x x >>.令21(1)x t t x =>. 由122122x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩.有212221x x x e t x -⎛⎫== ⎪⎝⎭两边取对数，有212ln x x t -= 又由()()()212121212112(1)ln 11x x x x t t tx x x x x x t t +-+++==-=---若证124x x +>，只需证2(1)ln 41t t t +>-.可化为2(1)ln 01t t t -->+.令2222(1)14(1)()ln (1),()01(1)(1)x x g x x x g x x x x x x --=-=-=>+++'， 可得函数()g x 单调递增.所以()(1)0g x g =. 故当1t >时，2(1)ln 01t t t -->+ 故若函数()f x 在区间(0,)+∞有两个零点，必有：124x x +>【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数证明不等式，属于中档题.22.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数.02απ≤<).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，曲线C 与直线l 其中的一个交点为A ，且点A 极径00ρ≠.极角002πθ≤<（1）求曲线C 的极坐标方程与点A 的极坐标；（2）已知直线m 的直角坐标方程为0x -=，直线m 与曲线C 相交于点B (异于原点O )，求AOB ∆的面积.【答案】（1）极坐标方程为2cos ρθ=，点A 的极坐标为1 3π⎛⎫⎪⎝⎭，（2【解析】 【分析】（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可； （2）只需算出A 、B 两点的极坐标，利用1|sin()|2A B A B S ρρθθ=-计算即可. 【详解】（1）曲线C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数，02απ≤<)22222(1)122cos 2cos x y x y x ρρθρθ⇔-+=⇔+=⇔=⇔=，将3πθ=代入，解得01ρ=，即曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 点A 的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭. （2)由（1），得点A 的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭，由直线m 过原点且倾斜角为6π，知点B 的极坐标为6π⎫⎪⎭，11sin 2364ABO S ππ∆⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.23.已知函数()|2||4|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()4f x ≤；（2）若函数()f x 的图象恒在直线|1|y m =-的上方，求实数m 的取值范围 【答案】（1）[1,5]（2）(1,3)- 【解析】 【分析】（1）零点分段法分2x ≤，24x <<，4x ≥三种情况讨论即可； （2）只需找到()f x 的最小值即可.【详解】（1）由26,2()2,2426,4x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩.若2x ≤时，()264f x x =-+≤，解得12x ≤≤； 若24x <<时，()24f x =≤，解得24x <<； 若4x ≥时，()264f x x =-≤，解得45x ≤≤； 故不等式()4f x ≤的解集为[1,5].（2）由()|(2)(4)|2f x x x ≥---=，有|1|2m -<，得13m -<<， 故实数m的取值范围为(1,3)-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.。
2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷(十九)文科数学
2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷（十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集{}4,3,2,1=U ，集合}2,1{=A ，}3,2{=B ，则=)(B A C U （ ） A.4}3{1，， B.4}{3， C.{3} D.{4}2.函数1)2ln()(++-=x x x f 的定义域为（ ）A.)2,1(-B.)2,1[-C.]2,1(-D.]2,1[-3.设i 是虚数单位，若复数)(215R a ii a ∈-+是纯虚数，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．24.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一件是勾股定理，另一件是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为︒36的等腰三角形（另一种是顶角为︒108的等腰三角形）.如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金三角形ABC 中，215-=AC BC . 根据这些信息，可得=︒234sin （ ）A. 4521-B. 853+- C.415+- D.854+- 5.已知31)sin(=+πα，且α为第三象限角，则=αcos （ ） A.322 B.322- C.32 D.32- 6.“不等式02>+-m x x 在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A.41>m B.41<m C.1<m D.1>m 7.已知tan 3α=2παπ<<，则sin cos (αα-= ) A.231+ B ．231- C ．231+- D ．231-- 8.在如图所示的ABC ∆中，点E D ,分别在边CD AB ,上，且AD BD 2=，ED CE 2=，则=（ ）A. AB AC 3231-B.AB AC 3132- B. C.AB AC 9543- D.AB AC 9731- 9.已知函数()sin(2)3f x x π=-，则下列关于函数()f x 的说法，不正确的是( )A ．()f x 的图象关于12x π=-对称；B．()f x在],0[π上有2个零点；C．()f x在区间5(,)36ππ上单调递减；D．函数()f x图象向右平移11 6π个单位，所得图象对应的函数为奇函数.10.函数2sin)(xxxfπ的大致图象为（）11.若曲线)0(34>+-=xaxxxy存在斜率小于1的切线，则a的取值范围为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛∞-23, B.⎪⎭⎫⎝⎛∞-21, C.⎪⎭⎫⎝⎛∞-45, D.⎪⎭⎫⎝⎛∞-41,12.已知函数)(xf是定义域为R的偶函数，且满足)()2(xfxf=-，当10≤≤x时，22)(xxf=，)22(1log)(<<-=axxga，则函数)()()(xgxfxh-=所有零点的和为（）A.3B.4C.5D.6第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分·把答案填在题中的横线上）13.已知单位向量ba,的夹角为︒60，则=-⋅+)3()2(baba________．14. 已知函数xxexf x42)(2-+=，则函数)(xf的图象在1=x处的切线方程是 .15.已知⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=4),4(4,3sin)(xxfxxxfπ，则=)18(f .16.设复数21,zz满足，221==zz，izz+=+321，则=-21zz .三、解答题：（共70分，要求写出答题过程）17.（本小题满分10分）已知5cos 5α=-，2παπ<<． （1）求sin 2α的值；（2）求)sin(4cos απαπ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+的值．18. (本小题满分12分) 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且C a c A a B b sin )(sin sin -+=.（1）求B ；（2）若A C sin 2sin 3=，且的面积为36，求b .19. (本小题满分12分) 已知函数x a b x f ⋅=)(（b a ,为常数且1,0≠>a a ）的图象经过点)32,3(),8,1(B A .（1）试求b a ,的值；（2）求函数xx b a x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=11)(在]1,(-∞∈x 上的最小值.20. (本小题满分12分)已知向量R x x b x a ∈-==),1,(cos ),23,(sin . （1）当a ∥b 时，求x 2tan 的值；（2）求函数b b a x f ⋅+=)()(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的取值范围.21. (本小题满分12分)已知),0(3ln 2)(2R m x mx x e x x f x ∈>--=.(1)若)(x f 在1=x 处的切线与直线03=+ey x 垂直，求x e x x f x 2)()(-=ϕ的极值；(2)若1)(≥x f 对任意正实数x 恒成立，求m 的取值范围.22.(本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=-=23,14t y t x （t 为参数）.(1)求曲线C 的参数方程和直线l 的普通方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围.。
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2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|04}P x R x =∈≤≤，{|||3}Q x R x =∈<，则P Q ⋃=（ ） A. [3,4] B. (3,)-+∞C. (,4]-∞D. (3,4]-【答案】D 【解析】 【分析】化简集合Q,根据集合的并集运算即可.【详解】由题意得，[0,4]P =，(3,3)Q =-， ∴(3,4]P Q ⋃=-，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.2.x ，y 互为共轭复数，且()23i 46i x y xy +-=-则x y +=（ ）A. 2B. 1C. 22D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求解，设复数i x a b =+，则其共轭复数i y a b =-，然后将x ，y 代入()23i 46i x y xy +-=-中化简，可求出,a b 的值，从而可求出复数x ，y 的模.【详解】设i x a b =+，i y a b =-，代入得()()22223i 46i a a b -+=-，所以()224a =，()2236a b +=，解得1=a ，1=b ，所以22x y +=.故选：C【点睛】此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题.3.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A. 20B. 27C. 54D. 64【答案】B 【解析】 分析】设大正方体的边长为x ，从而求得小正方体的边长为3122x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，利用概率模拟列方程即可求解．【详解】设大正方体的边长为x 312x x -， 设落在小正方形内的米粒数大约为N ，则22312200x x N x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，解得：27N ≈ 故选B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题．4.如图所示，在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A.12B.13C. 2D.23【答案】B 【解析】分析：从A 点开始沿着三角形的边转到D ，则把要求的向量表示成两个向量的和，把BD 写成BC 的实数倍，从而得到AD 1344AB AC =+，从而确定出13,44λμ==，最后求得结果. 详解：34AD AB BD AB BC =+=+3()4AB AC AB =+-1344AB AC =+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.5.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解：∵f （x ）为偶函数；∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ．【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）A. 23B. 226 D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，分别计算4个面的面积，即可得到结果. 【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，故1AC =，2PA =，5BC PC ==22AB =23PB =，∴12112ABC PAC S S ∆∆==⨯⨯=， 1222222PAB S ∆=⨯⨯=，123262PBC S ∆=⨯=∴该多面体的侧面最大面积为2 故选：B ．【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三角形面积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.7.已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A. 1353⎛⎝ B. 5,13)C. 13(5,)⎛+∞ ⎝⎭D. 5)(13,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据双曲线的定义，212MF MF a =+，转化为124MF MN a b ++>，即()1min24MFMNa b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点共线时，1MF MN +最小，转化为不等式23242b a b a+>，最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MF MF a -=，若2||4MF MN b +>，即1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>， 如图所示，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或22135,13c c a a >∴<<或5,ca >∴双曲线C的离心率的取值范围为131,(5,)3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值，转化为,a b 的代数关系，最后求ca的范围. 8.为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A. 1i i =+B. 2i i =+C. 3i i =+D. 4i i =+ 【答案】B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为B.34C.32【答案】B 【解析】3cos cos 5a Bb Ac -=∴由正弦定理，得35sinAcosB sinBcosA sinC -=， C A B sinC sin A B π=-+⇒=+（）（），， ∴35sinAcosB sinBcosA sinAcosB cosAsinB -=+（），整理，得4sinAcosB sinBcosA =，同除以cosAcosB ， 得4tanA tanB = ， 由此可得23311144tanA tanB tanBtan A B tanAtanB tan BtanB tanB（），--===+++A B 、 是三角形内角，且tan A 与tanB 同号，A B ∴、 都是锐角，即00tanA tanB ＞，＞，144tanB tanB +≥= 33144tan A B tanB tanB-=≤+（），当且仅当14tanB tanB =，即12tanB = 时，tan A B -（） 的最大值为34． 故选B ．10.已知函数()()22π2sin cos sin 024r f x x x ωωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值1，则w 的取值范围是( )A. 30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】先将()f x 化简为()sin f x x ω=，由()f x 在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，有π0π2ω≤≤，()f x 在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得2ππ325π365ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，从而得出答案. 【详解】2ππ2cos 1cos 1sin 242x x xωωω⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2sin 1sin sin sin f x x x x x ωωωω=+-=.令π2π2x k ω=+可得π2π2k x ωω=+，()f x 在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，π0π2ω∴≤≤解得12ω≥. 令ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+，解得：π2ππ2π22k k x ωωωω-+≤≤+，()f x 在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，2ππ325ππ62ωω⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤.综上，1325ω≤≤.故选：B.【点睛】本题考查利用三角函数的单调性和最值情况求参数范围，考查了分析解决问题的能力，属于中档题.11.过双曲线()222210x y a b a b-=>>右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=，O 为坐标原点，且OAB 内切圆半径为312a -，则该双曲线的离心率为( ) A.233B.3C.433D.31+【答案】A 【解析】 【分析】设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线OF 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形,则tan bAOF a=∠可得离心率. 【详解】因为0a b >>，所以双曲线的渐近线如图所示， 设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线OF 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =，又OF c =，所以OA a =，31NA MN a ==-，所以313322NO OA AN a a a =-=--=-， 所以tan 3MN b AOF a NO =∠==，得2231b e a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质，属于中档题.12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A. 86πB. 46πC. 26πD.6π【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，34466633V R ∴=π=π⨯=π，故选D . 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“()0x 0,∞∃∈+，00lnx x 1=-”的否定是______．【答案】()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【详解】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-；故答案为()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-；【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14. 观察分析下表中的数据：多面体面数（） 顶点数（) 棱数（)三棱锥5 6 9五棱锥6 6 10立方体6 8 12猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________. 【答案】2F V E +-=【解析】试题分析：①三棱锥：5,6,9F V E ===,得5692F V E +-=+-=；②五棱锥：6,6,10F V E ===,得66102F V E +-=+-=；③立方体：6,8,12F V E ===,得68122F V E +-=+-=；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：2F V E +-=，故答案为2F V E +-= 考点：归纳推理.15.设函数()()e 1x f x x =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．【答案】1(,)2-∞- 【解析】【分析】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m 的取值范围.【详解】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值. ()e x f x x '=，当[]2,0x ∈-时，()0f x '≤，此时函数()f x 单调递减；当(]0,2x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增. ()()00e 011f =-=-，即函数()f x 在[]22-,上的最小值为-1. 函数()g x mx =为直线，当0m =时，()0g x =，显然10-<不符合题意；当0m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 的最小值为()1g m =，则1m <-，与0m >矛盾； 当0m <时，()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 的最小值为()22g m =，则12m ->，即12m <-，符合题意. 故实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.16.某小商品生产厂家计划每天生产A 型、B 型、C 型三种小商品共100个，生产一个A 型小商品需5分钟，生产一个B 型小商品需7分钟，生产一个C 型小商品需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个A 型小商品可获利润8元，生产一个B 型小商品可获利润9元，生产一个C 型小商品可获利润6元．该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是__________元.【答案】850【解析】【分析】由题意将原问题转化为线性规划的问题，然后利用线性规划的方法求解最值即可.【详解】依题意，每天生产的玩具A 型商品x 个、B 商品y 个、C 商品的个数等于：100−x −y ， 所以每天的利润T =8x +9y +6(100−x −y )=2x +3y +600.约束条件为：()*57410060010000,0,,x y x y x y x y x y N ⎧++--⎪--⎨⎪∈⎩， 整理得*3200100,x y x y x y N +⎧⎪+⎨⎪∈⎩.目标函数为T =2x +3y +600.如图所示,做出可行域.初始直线l 0:2x +3y =0，平移初始直线经过点A 时，T 有最大值．由3200100x y x y +=⎧⎨+=⎩得5050x y =⎧⎨=⎩. 最优解为A (50,50)，此时T max =850(元).即最大日利润是850元.【点睛】本题主要考查线性规划的实际应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.已知数列{}n a 、{}n b 满足：114a =，1n n ab +=，121n n n b b a +=-. （1）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）设1223341n n n S a a a a a a a a +=+++⋅⋅⋅+，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．【答案】（1）见解析，23n n b n +=+；（2）1a ≤ 【解析】【分析】（1）由已知变形为112n n b b +=-，再构造111111n n b b +-=---，从而证明数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求通项公式；（2）由（1）可知113n n a b n =-=+，再写出n S ，利用裂项相消法求和，4n n aS b <恒成立整理为()()()()213682404334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=<++++恒成立，分1a =，1a >和1a <三种情况讨论*n N ∈时恒成立求a 的取值范围.【详解】（1）∵()()()111122n n n n n n n nb b b a a b b b +===-+--， ∴11112n n b b +-=--，∴12111111n n n n b b b b +-==-+---． ∴数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以-4为首项，-1为公差的等差数列． ∴()14131n n n b =---=---，∴12133n n b n n +=-=++． （2）∵113n n a b n =-=+． ∴()()12231111455634n n n S a a a a a a n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅⨯⨯++()114444n n n =-=++， ∴()()()()21368244334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=++++． 由条件可知()()213680a n a n -+--<恒成立即可满足条件，设()()()21328f n a n a n =-+--， 当1a =时，()380f n n =--<恒成立，当1a >时，由二次函数的性质知不可能成立．当1a <时，对称轴3231102121a a a -⎛⎫-⋅=--< ⎪--⎝⎭，()f n 在[)1,+∞为单调递减函数． ()()()113684150f a a a =-+--=-<，∴154a <，∴1a <时4n n aS b <恒成立． 综上知：1a ≤时，4n n aS b <恒成立． 【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式，裂项相消法求和，以及数列和函数结合的综合性问题，意在考查转化与化归，讨论的思想和计算能力，属于中高档习题.18.如图，ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，24EB FD ==.（1）求证：EF AC ⊥；（2）求几何体EFABCD 的体积.【答案】（1）详见解析；（2）3【解析】【分析】（1）由FD ⊥平面ABCD ,EB ⊥平面ABCD 可得//EB FD ,则E ,F ,D ,B 四点共面,先证得AC ⊥平面EFDB ,再证明EF AC ⊥即可；（2）由菱形的性质及60DAB ∠=︒,可求得BD ,AO ,CO ,由（1）可知四边形EFDB 为直角梯形,再利用 C EFDB A EFDB EFABCD V V V --=+几何体求解即可.【详解】（1）证明:如图,连接BD ,交AC 于O ,FD ⊥平面ABCD ,EB ⊥平面ABCD ,//EB FD ∴,E ∴,F ,D ,B 四点共面,AC ⊂平面ABCD ,AC EB ∴⊥,设DB AC O =,四边形ABCD 为菱形,AC DB ∴⊥,DB EB B ⋂=,AC ∴⊥平面EFDB ,EF ⊂平面EFDB ,AC EF ∴⊥（2）//EB FD ,EB BD ⊥,∴四边形EFDB 为直角梯形,在菱形ABCD 中,60DAB ∠=︒,2AB =,∴2BD =,3AO CO ==,∴梯形EFDB 的面积(24)262S +⨯==, AC ⊥平面EFDB , C EFDB A EFDB EFABCD V V V --∴=+几何体11··4333S AO S CO =+= 【点睛】本题考查线面垂直的性质的应用,考查线线垂直的证明,考查几何体的体积,考查运算能力. 19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率； （2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为()11911,2,31010n n P n P n --⎛⎫+= ⎪⎝=⎭，其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.①求该团队挑战成功的概率；②该团队以i P 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人数X 的可能值及其概率.【答案】（1）0.024a =，0.026b =，0.9；（2）①0.999361；②1，2，3；0.009.【解析】【分析】(1)根据中位数为47，则在频率分布直方图中时间位于47左边的小长方形的面积之和为0.5，可求出a 的值, 时间位于47右边的小长方形的面积之和为0.5，可求出b 的值.(2) ①先分别求出三人解密成功的概率，然后先求出三人都没有解密成功的概率，再求出团队解密成功的概率.②由①可知按i P 从小到大的顺序的概率分别10.9p =，20.91p =，30.929p =，X 的取值为1，2，3,在计算概率.【详解】（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，()0.0150.014550.03450.0447450.5b ∴⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得0.026b =；0.0430.032550.010100.5a ∴⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =；∴甲在1分钟内解密成功的频率是10.01100.9f =-⨯=（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为10.9P =； 第二个出场选手解密成功的概率为2910.910.911010P =⨯+⨯=， 第三个出场选手解密成功的概率为23910.920.9291010P ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭， 令“该团队挑战成功”的事件为A ，“挑战不成功”的事件为A ，()()()()10.910.9110.9290.10.090.0710.000639P A =---=⨯⨯=，∴该团队挑战成功的概率为()()110.00016390.999361P A P A =-=-=（或该团队挑战成功的概率为0.90.10.910.10.090.9290.999361P =+⨯+⨯⨯=）②由①可知按i P 从小到大的顺序的概率分别1p ，2p ，3p ，根据题意知X 的取值为1，2，3；则()10.9P X ==，()()210.90.910.091P X ==-⨯=，()()()310.910.910.10.090.009P X ==--=⨯=.【点睛】本题考查根据评论分布直方图以及中位数计算参数的值，和计算概率，属于中档题.20.如图，设抛物线C 1:24(0)y mx m =->的准线1与x 轴交于椭圆C 2：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点F 2，F 1为C 2的左焦点.椭圆的离心率为12e =，抛物线C 1与椭圆C 2交于x 轴上方一点P ，连接PF 1并延长其交C 1于点Q ，M 为C 1上一动点，且在P ，Q 之间移动.（1）当32a +取最小值时，求C 1和C 2的方程； （2）若△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ 面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程.【答案】（1）24y x =-,22143x y +=； （21256，此时42:6633MP y x =+【解析】【分析】 （1）由题意，c m =和12c e a ==，得到2a m =，3b m =，根据32a +取最小值时1m =，即可求得抛物线和椭圆的方程； （2）用m 表示出椭圆的方程，联立方程组得出P 点的坐标，计算出12PF F ∆的三边关于m 的式子，从而确定实数m 的值，求出PQ 得距离和M 到直线PQ 的距离，利用二次函数的性质，求得MPQ ∆面积取最大值，即可求解．【详解】（1）由题意，抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线方程为:l x m =， 椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2(,0)F c ，所以c m =， 又由12c e a ==，则2a m =，b =，所以2a b +取最小值时1m =， 所以抛物线C 1:24y x =-，又由2a =，23b =，所以椭圆C 2的方程为22143x y +=．（2）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，b=， 设椭圆的标准方程为2222143x y m m+=，0011(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0y =，即2,33m P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，于是153mPF =，21723m PF a PF =-=，12623m F F m ==， 又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =， 此时抛物线方程为212y x =-，1(3,0)F -，(2,P -， 则直线PQ 的方很为3)y x =+，联立23)12y x y x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或12x =-（舍去），于是9,2Q ⎛-- ⎝.所以25||2PQ ==， 设2,((12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ 的距离为d ，则2753022d t ⎛=+- ⎝⎭， 当2t =-时，max 753024d ==，所以MPQ ∆的面积最大值为12522416⨯⨯=， 此时MP：y =+. 【点睛】本题主要考查椭圆和抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知函数()ln xf x a x e=+，其中a 为常数． （1）若直线y x e2=是曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值； （2）当1a =-时，若函数()()ln xg x f x b x=-+在[)1+∞，上有两个零点．求实数b 的取值范围． 【答案】(1) 1a = (2) 11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）设切点()00,x y ， 由题意得000012,2ln a e x ex x a xee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可得结果；（2）函数()()ln x g x f x b x =-+在[)1+∞，上有两个零点等价于，函数ln ln x xy x x e=+- 的图象与直线y b =有两个交点，设ln ()ln (0)x x h x x x x e =+->，利用导数可得函数()h x 在x e =处取得极大值1()h e e =，结合1(1)h e=-，()323313h e e e e =+-<-，从而可得结果.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()a x aef x e x ex +'=+=，曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为y x e 2=.由题意得000012,2ln a e x ex x a xee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得1a =，0x e =.所以a 的值为1.（2）当1a =-时，()ln x f x x e =-，则11()x e f x e x ex-'=-=， 由()0f x '>，得x e >，由()0f x '<，得0x e <<，则()f x 有最小值为()0f e =，即()0f x ，所以ln ()ln x xg x x b e x=--+，(0)x >， 由已知可得函数ln ln x xy x x e=+- 的图象与直线y b =有两个交点， 设ln ()ln (0)x xh x x x x e=+->， 则211ln 1()x h x x x e -'=+-22ln ex e e x x ex+--=， 令2()ln x ex e e x x ϕ=+--，22()2e ex e x x e x x xϕ--'=--=，由220ex e x --<，可知()0x ϕ'<，所以()x ϕ在(0,)+∞上为减函数，由()0e ϕ=，得0x e <<时，()0x ϕ>，当x e >时，()0x ϕ<， 即当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<， 则函数()h x 在(0,)e 上为增函数，在(,)e +∞上为减函数， 所以，函数()h x 在x e =处取得极大值1()h e e=， 又1(1)h e =-，()322331341h eee e e=+-<-<-<-，所以，当函数()g x 在[1,)+∞上有两个零点时，b 的取值范围是11b e e-<， 即11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的零点，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4—4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为2,1x t y t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1:C y =以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρα⎛⎫=-⎪⎝⎭. （Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP ⋅的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为()2,1-，求QM QN -的值. 【答案】（Ⅰ）1]；. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用参数方程表示出目标式BA BP ⋅，结合三角函数知识求解； （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线2C ，结合参数的几何意义可求. 【详解】（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10,(1,0),(0,1)x y A B ++=∴--.1C 的方程可化为221(0)x y y +=≥，设点P 的坐标为(cos ,sin ),0θθθπ≤≤，cos sin 111]4BA BP πθθθ⎛⎫∴⋅=-++=-+∈ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-=.直线l的标准参数方程为212x y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），代入2C得：270m -=设,M N 两点对应的参数分别为12,m m121270m m m m +==-< ,故12,m m 异号12QM QN m m ∴-=+=‖‖【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标之间转化及参数方程的应用，利用参数的几何意义能简化计算过程，达到事半功倍的效果.选修4–5：不等式选讲23.已知函数()223f x x x m =+++, m R ∈． (1)当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）若(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1） 12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）322m ≥--【解析】 【分析】（1）当2m =- 时，f （x ）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，分段解不等式即可． （2）f （x ）＝|2x|+|2x+3|+m ＝33,02343,2m x x m x ⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩．当302x -<<时，得23m x x +≥+ ，当32x ≤-时，得253m x x≥++，利用恒成立求最值，可得m 的取值范围． 【详解】（1）当m ＝﹣2时，f （x ）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当，解得； 当恒成立当解得﹣2，此不等式的解集为（2）当x ∈（﹣∞，0）时f （x ）＝|2x|+|2x+3|+m ＝33,02343,2m x x m x ⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩．当302x -<<时，得23m x x+≥+恒成立，由当且仅当即时等号成立．∴，∴当32x ≤-时，得243x m x x --+≥+．∴253m x x ≥++恒成立，令253y x x=++，，∵22228375559932y x =-≥-=-=⎛⎫⎪⎝⎭'- ，∴在上是增函数．∴当时，取到最大值为356-∴.又3517332266-=--<-- 所以322m ≥--【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查利用恒成立求参数的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。