偏角法计算缓和曲线
缓和曲线知识与计算公式
缓和曲线知识与计算公式一、缓和曲线缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间，由较大圆曲线向较小圆曲线过渡的线形 , 是道路平面线形要素之一。
1 ．缓和曲线的作用1 ）便于驾驶员操纵方向盘2 ）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化3 ）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车4 ）与圆曲线配合得当，增加线形美观2 ．缓和曲线的性质为简便可作两个假定：一是汽车作匀速行驶；二是驾驶员操作方向盘作匀角速转动，即汽车的前轮转向角从直线上的0 °均匀地增加到圆曲线上。
S=A2/ρ（ A ：与汽车有关的参数）ρ=C/s C=A2由上式可以看出，汽车行驶轨迹半径随其行驶距离递减，即轨迹线上任一点的半径与其离开轨迹线起点的距离成反比，此方程即回旋线方程。
3 ．回旋线基本方程即用回旋线作为缓和曲线的数学模型。
令：ρ=R ， lh =s 则 lh=A2/R4 ．缓和曲线最小长度缓和曲线越长，其缓和效果就越好；但太长的缓和曲线也是没有必要的，因此这会给测设和施工带来不便。
缓和曲线的最小长度应按发挥其作用的要求来确定：1 ）根据离心加速度变化率求缓和曲线最小长度为了保证乘客的舒适性，就需控制离心力的变化率。
a1=0,a2=v2/ ρ ,as= Δ a/t ≤ 0.62 ）依驾驶员操纵方向盘所需时间求缓和曲线长度 (t=3s)3 ）根据超高附加纵坡不宜过陡来确定缓和曲线最小长度超高附加纵坡（即超高渐变率）是指在缓和曲线上设置超高缓和段后，因路基外侧由双向横坡逐渐变成单向超高横坡，所产生的附加纵坡。
4 ）从视觉上应有平顺感的要求计算缓和曲线最小长度缓和曲线的起点和终点的切线角β最好在3° ——29° 之间，视觉效果好。
《公路工程技术标准》规定：按行车速度来求缓和曲线最小长度，同时考虑行车时间和附加纵坡的要求。
5 ．直角坐标及要素计算1 ）回旋线切线角（ 1 ）缓和曲线上任意点的切线角缓和曲线上任一点的切线与该缓和曲线起点的切线所成夹角。
偏角法
第9讲教学目标：了解偏角法的概念，理解正拨、反拨的含义，掌握曲线偏角计算公式和方法。
重点难点：5—4 一. 偏角法原理正拨 反拨二. 偏角计算1．圆曲线偏角Rl j i j i 2,,=δ 2．缓和曲线偏角δi ，j =βi -αj ，i ji j i i tg l Rl =,20 21αβ、；、；、 61 61 330j j j j i i i i l Rl y l x l Rl y l x ≈≈≈≈ )(61220,j j i i j i j i ij l l l l Rl x x y y ++=--≈α )2)((61,j i j i j i l l l l Rl +-=δ 若j 点位于i 点与缓和曲线终点之间，则同样方法可得，)2)((610,j i i j j i l l l l Rl +-=δ故其一般表达式为)2(6||0,j i j i j i l l Rl l l +-=δ若1010 6100210j i l j l i Rl ===、、δ，即在缓和曲线上，曲线点号等于以10m 为单位曲线长，则102,0δδj j =式中，R 为圆曲线半径，l 0为缓和曲线长，δ10为缓和曲线基本角。
当i 点位于缓和曲线起点时，则上式可化简为三. 弦线长度计算向，2至i f Z )2(||10,j i j i j i +-=δδ5—5 曲线详细测设的直角坐标法一. 直角坐标法测设曲线原理X 轴上丈量x P ，得P'点；自P'点，沿与X 轴垂直且指向曲线内侧的方向丈量y P ，即得P 点。
直角坐标法中，坐标系X 轴均选主点的切线，故曲线点的y 坐标为相对于切线的支距。
因此，直角坐标法也称为切线支距法。
二. 曲线点坐标计算直角坐标法所选定的坐标系通常为缓和曲线坐标系，则在该坐标系下，缓和曲线段曲线点坐标的计算公式为缓和曲线方程，圆曲线段曲线点的坐标：⎭⎬⎫+-=+=p R y mR x t t t t )cos 1(sin αα式中0βα+-=RK K HYt t ，K t 为t 点的里程，K HY 为HY 里程。
§8—3有缓和曲线的圆曲线的应用公式
8—3 有缓和曲线的圆曲线的应用公式列车在曲线上行驶时有一种离心力，它影列车行驶的稳定及轨道的使用寿命。
为了平衡离心力的作用，铁路上通常采用把外轨抬高一定数值(超高)的办法。
超高值h o（以mm计）按下式计算：式中R为圆曲线半径(m)；V为通过曲线的列车平均速度(km／h)。
在直线上两轨面是等高的。
由直线进入曲线时，不可能立即把外轨抬高h O。
同时，列车自直线进入曲线要改变方向，这也要有一个渐变的过程。
为了达到这些目的，通常在直线与圆曲线之间加设过渡曲线。
这种起着过渡作用的曲线称为缓和曲线，又叫介曲线。
缓和曲线可用螺旋线、三次抛物线等空间曲线来设置。
我国铁路上采用螺旋线作为缓和曲线。
当在直线与圆曲线之间嵌入缓和曲线后，其曲率半径由无穷大(与直线连接处)逐渐变化到圆曲线的半径R(与圆曲线连接处)。
螺旋线具有的特性是：曲线上任意一点的曲率半径R’与该点至起点的曲线长l成反比，即或式中C为常数，称为曲线半径变化率。
当l等于所采用的缓和曲线长度l O 时，缓和曲线的半径R’等于圆曲线半径R，故c＝R·l o(8—8)缓和曲线除用以连接直线和圆曲线外，还用于连接不同曲率半径的圆曲线。
在复曲线测设中，当两相邻圆曲线的曲率半径差超过一定值时，这两个圆曲线必须通过缓和曲线来连接。
此时，其曲线半径变化率c 可以这样表示：(8—9)式中 R1、R 2为两相邻圆曲线的半径，设R 1>R 2；l O 12 为连接两圆曲线的缓和曲线长度。
下面，我们只对在直线与圆曲线间嵌入缓和曲线的情况进行讨论。
图8—11(a) 为单圆曲线的情形。
当圆曲线两端加入缓和曲线后，圆曲线应内移一段距离，方能使缓和曲线与直线衔接。
而内移圆曲线，可采用移动圆心或缩短半径的办法实现。
我国在铁路、公路的曲线测设中，一般采用内移圆心的方法。
如图8—11 (b) 。
若圆曲线的圆心O 1沿着圆心角的平分线内移至O 2 (此时O 1O 2＝p ·sec (α/2)，p 值的大小，按(8—11)式计算)，圆曲线的两端就可以插入缓和曲线，把圆曲线与直线平顺地连接起来。
第四讲3缓和曲线概要
•
1
1 0 N2
（12－25）
由式（12－25）可得出结论（c）： 由缓和曲线的总偏角 0 ，可求得缓和曲线上任一点的偏角 i 。 • • • • • • 可由铁路曲线测设用表第三册第三表查取，亦可计算求得。 【例】 已知R ＝ 500 m，l0 ＝ 60 m，ZH的里 程为DK33+422.67，求缓和曲线上各点的偏角。 按铁路测规要求，缓和曲线应l 0 m一点，则 N ＝6 由式（12－21）可知
xl l5 40R 2l02 l3 y 6 Rl0
•
（12－14）
• • • •
式中x、y为缓和曲线上任一点的直角坐标，坐标原点为直缓点（ZH）或缓直点（HZ）；通过 该点的缓和曲线切线为x轴，如图12－27。 l 为缓和曲线上任意一点P到ZH（或HZ）的曲线长； l。为缓和曲线总长度。 当l＝ l0时，则x ＝ x0，y ＝ y0，代入式（12－14）得：
（12－28）
偏角法有校核，适用于山区，但其缺点是误差积累，故测设时要注意经常检核。支距法， 其方法简单，误差不积累，其缺点是安置仪器次数多，曲线点相互独立，故测设中的错误不易 发现，它仅适用于平坦地区及支距 y 较小的曲线。长弦偏角法测设精度高、速度快、任何地区 均可适用。
•
要增加在缓和曲线任一点上测设缓和曲线的方法.
• •
图 12-31
图12-32
二、切线支距法则设曲线
（一）坐标计算公式 如图 12－33，它是以 ZH（或 HZ）为坐标原点，以切线为 x 轴，垂直切线方向为 y 轴。 1． 缓和曲线部分
l5 xl 40 R 2 l 02 （12－26） l3 y 6 Rl 0
第四讲 线路测设
缓和曲线要素及公式介绍
11.2.1 带缓和曲线的圆曲线的测设为了保障车辆行驶安全，在直线与圆曲线之间加入一段半径由∞逐渐变化到R的曲线，这种曲线称为缓和曲线。
目前常用的缓和曲线多为螺旋线，它有一个特性，曲率半径ρ与曲线长度l成反比。
数学表达为：ρ∝1/l 或ρ·l = k ( k为常数)若缓和曲线长度为l0，与它相连的圆曲线半径为R，则有：ρ·l = R·l0 = k目前我国公路采用k = 0.035V3（V为车速，单位为km/h），铁路采用k = 0.09808V3，则公路缓和曲线的长度为l0 = 0.035V3/R ,铁路缓和曲线的长度为：l0 = 0.09808V3/R 。
11.2.2 带缓和曲线的圆曲线的主点及主元素的计算带缓和曲线的圆曲线的主点有直缓点ZH、缓圆点HY、曲中点QZ、圆缓点YH、缓直点HZ 。
带缓和曲线的圆曲线的主元素及计算公式：切线长 T h = q＋(R＋p)·tan(α/2)曲线长 L h = 2l0＋R·(α－2β0)·π/180°外矢距 E h = (R＋p)·sec(α/2)－R切线加长 q = l0/2－l03/(240R2)圆曲线相对切线内移量 p = l02/(24R)切曲差 D h = 2T h －L h式中：α 为线路转向角；β0为缓和曲线角；其中q、p、β0缓和曲线参数。
11.2.3 缓和曲线参数推导dβ = dl/ρ = l/k·dl两边分别积分，得：β= l2/(2k) = l/(2ρ)当ρ = R时，则β =β0β0 = l0/(2R)若选用点为ZH原点，切线方向为X轴，垂直切线的方向为Y轴，建立坐标系，则：dx = dl·cosβ = cos[l2/(2k)]·dldy = dl·sinβ = si n[l2/(2k)]·dl考虑β很小，sinβ和cosβ即sin(l2/(2k))和cos(l2/(2k))可以用级数展开，等式两边分别积分，并把k = R·l0代入，得以曲线长度l为参数的缓和曲线方程式：X = l－l5/(40R2l02)＋……Y = l3/(6Rl0)＋……通常应用上式时，只取前一、二项，即：X = l－l5/(40R2l02)Y = l3/(6Rl0)另外，由图可知，q = X HY－R·sinβ0p = Y HY－R(1－cosβ0)以β0= l0/(2R)代入，并对sin[l0/(2R)]、cos[l0/(2R)]进行级数展开，取前一、二项整理可得：q = l0/2－l03/(240R2)p = l02/(24R)若仍用上述坐标系，对于圆曲线上任意一点i，则i点的坐标X i、Y i可以表示为：Xi = R·sinψi＋qYi = R·(1－cosψi)＋p11.2.4 带缓和曲线的圆曲线的主点桩号计算及检核ZH桩号 = JD桩号－T hHY桩号 = ZH桩号＋l0QZ桩号 = HY桩号＋L/2YH桩号 = QZ桩号＋L/2 = HY桩号＋L = ZH桩号＋l0＋LHZ桩号 = YH桩号＋l0 = ZH桩号＋L hJD桩号 = ZY桩号－T h＋D h（检核）11.2.5 带缓和曲线的圆曲线的主点的测设过程：(1)在JD点安置经纬仪（对中、整平），用盘左瞄准直圆方向，将水平度盘的读数配到0°00′00″，在此方向量取T h，定出ZH点；(2)从JD沿切线方向量取T h－X HY，然后再从此点沿切线垂直方向量取Y HY , 定出HY点；(3)倒转望远镜，转动照准部到度盘读数为α，量取T h，定出HZ点；(4)从JD沿切线方向量取T h－X HY，然后再从此点沿切线垂直方向量取Y HY , 定出YH点；(5)继续转动照准部到度盘读数为（α＋180°）/2，量取E h，定出QZ点。
偏角法测设平面曲线
偏角法测设铁路平面曲线实习报告实习步骤一、在交点处拨角放样方法 1、放样主点 ① 放样ZH 点在交点处安置全站仪，以任一方向为起始方向，定出一个距离为50.296 m 的点，以该点作为ZH 点 ② 放样QZ 点因为曲中点在曲线中点，偏角为曲线偏角的一半，故偏角为80°，距离为外矢距E=3.276 ③ 放样HZ 点将全站仪相对ZH 点方向反拨160°，距离仍为50.296 m ④ 放样HY 、YH 点首先计算出HY 、YH 点坐标550022220303029.983404020030hy l x l R l =-=-=⨯⨯ 3000.756hy l y Rl ==69.127,7.652yh yh x y ==计算出偏角和距离，放样出这两个主点arctanii jd iy x x δ=-，221()()jd i jd i d x x y y =-+-2、放样加桩点1) 缓和曲线部分坐标计算① 根据桩点里程计算桩点坐标500022300406l x l R l l y Rl ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩曲线资料 R=200 L0=30 α右＝20 ZHDK ＝335.79 T=50.296 L=99.813 E=3.276 q=0.778 x0=29.983 y0=0.75直缓点里程 ZH0+335.79 第一个十米桩里程为0+345.79010l =，5022101010.0004020030x =-=⨯⨯,30100.028620030y ==⨯⨯② 根据坐标计算偏角偏角0000.028arctanarctan 022350.29610.000jd y x x δ︒'''===--由于交点到直缓方向置盘为180度，反拨0223︒''' 度盘读数为18002231795736︒︒︒''''''-=，故将全站仪实现定在该方向③ 计算出距离确定点根据两点之间的距离公式计算出交点到桩点的距离221()()jd i jd i d x x y y =-+-22(50.2969.999)(00.028)40.297=-+-=④ 放样让跑尺员将棱镜立在全站仪视线方向，测出距离，并前后调整，直至距离等于40.297为止，将木桩定在该点。
铁路缓和曲线计算
、缓和曲线的作用及其几何特征行驶于曲线轨道的机车车辆，出现一些与直线运行显著不同的受力特征。
如曲线运行的离心力，外轨超高不连续形成的冲击力等。
为使上述诸力不致突然产生和消失，以保持列车曲线运行的平稳性，需要在直线与圆曲线轨道之间设置一段曲率半径和外轨超高度均逐渐变化的曲线，称为缓和曲线。
当缓和曲线连接设有轨距加宽的圆曲线时，缓和曲线的轨距是呈线性变化的。
概括起来，缓和曲线具有以下几何特征：1. 缓和曲线连接直线和半径为R的圆曲线，其曲率由零至1/R逐渐变化。
2. 缓和曲线的外轨超高，由直线上的零值逐渐增至圆曲线的超高度，与圆曲线超高相连接。
3. 缓和曲线连接半径小于350m的圆曲线时，在整个缓和曲线长度内，轨距加宽呈线性递增，由零至圆曲线加宽值。
因此，缓和曲线是一条曲率和超高均逐渐变化的空间曲线。
二、缓和曲线的几何形位条件图2-9所示为一段缓和曲线。
其始点与终点用ZH与HY表示。
要达到设置缓和曲线的目的，根据如图所取直角坐标系，缓和曲线的线形应满足以下条件：1.为了保持连续点的几何连续性，缓和曲线在平面上的形状应当是：在始点处，横坐标x＝ 0,纵坐标y＝ 0,倾角φ＝ 0;在终点处，横坐标x=x0，纵坐标y=y0，倾角φ＝φ0。
2.列车进入缓和曲线，车体受到离心力J的作用，为保持列车运行的平稳性，应使离心力不突然产生和消失，即在缓和曲线始点处，J＝0,在缓和曲线终点处Ρ=R。
3.缓和曲线上任何一点的曲率盈余外轨超高相吻合。
在纵断面上，外轨超高顺坡的形式有两种形式。
一种形式是，如图2-10（a）所示；另一种形式是曲线形，如图2-10（b）所示。
图 2－9缓和曲线坐标图列车经过直线顺坡的缓和曲线始点和终点时，对外轨都会产生冲击。
在行车速度不高，超高顺破相对平缓时，列车对外轨的冲击不大，可以采用直线形顺坡，即可满足曲率与超高相配合的要求。
当行车速度较高，为了消除列车对外轨的冲击，应采用曲线形超高顺坡。
线路工程测量-缓和曲线
小结
1、困难条件下曲线的测设 1）控制点（JD、ZH、HZ）无法置 镜——在JD、HY、YH、切线上任 一点、曲线上任一点置镜测设 2）曲线遇障碍时的测设——切线方向
2、复杂曲线的测设 1）复曲线——曲线要素的计算 2）回头曲线
3、中桩坐标的计算——坐标转换
34
思考题
1、在HY点置镜前测圆曲线如何确定切线方向？ 2、副交点有二个，能否有三个呢？ 3、什么是复曲线？ 4、已知：交点里程为K2+849.27，圆曲线半径
17
思考题
1、缓和曲线任意点的半径？ 2、缓和曲线常数？ 3、缓和曲线要素计算公式？ 4、加入缓和曲线后圆曲线与曲线有什么变化？ 5、已知：交点里程为K2+849.27，圆曲线半径
R=400m，缓和曲线长70m,转向角为 27°45′08″， 计算：1）缓和曲线常数、要素
2）缓和曲线主点里程 3）按整桩号法计算各中桩坐标 4）按整桩号法计算各中桩偏角和弦长
（2）置镜A点，后视P点反拨角r+βA 定向，得A点切线方向
A点在缓和曲线：
A
l
2 A
2Rl
A点在圆曲线：
A
l 2R
lA l R
21
一、困难条件下的曲线测设
（二）曲线上遇障碍时的测设
1、等量偏角法 1）测至3点后，4点不通视 2）置镜于3点，照准0点，度盘读数设为1800，转动望远镜为00时，视线在0~3方向上， 读数为δ3视线在3点的切线上 3）拨4、5点偏角，视线就在点4、5的方向上 4）测至6点后，视线受阻 5）置镜于5点，照准3点，度盘读数设为1800 + δ3 ，转动望远镜为00时，视线在0~5方向 上，读数为δ5视线在5点的切线上 6）读数为δ6视线在6点的切线，向前测设
缓和曲线逐点坐标计算
为提高计算结果的准确性，提高工作效率和减轻计算的工作量，在实际应用中可以配合电子计算器使用，以下是 CASIO4800P 计算器计算缓和曲线的公式：
Lbl 0:{EG}:A “ X0 ” ：B “ Y0 ” ：C “ C0 ” ：D “ 1/R1 ” ：E “ 1/R2 ” ：F “ DK1 ” ：G “ DK2 ”
第二步，求出 a=180L2/6 π RLS=0 ° 33 ′ 00.14 ″
第三步，求出 S=L-L5/90R2LS2=60-605/ （ 90*8002*78.1252 ） =59.998
第四步：将 a ， S 值代入缓和曲线计算公式，可求出桩号为 NK0+160 点的坐标为：
2 、公式推导及实例计算
方法一：弦线偏角法
1 ）公式推导
由坐标增量的计算方法我们不难理解，求一点坐标可以根据其所在直线的方位角以及直线上另一点的坐标和距待求点的距离。所以我们可以利用 ZH 点，只要知道待求点距 ZH 点的距离（弦长 S ）和此弦与 ZH 点切线方位角的夹角（转角 a ），即可求出该点坐标。
二、公式推导
1 、实例数据
河北省沿海高速公路一缓和曲线（如图）： AB 段为缓和曲线段， A 为 ZH 点， B 为 HY 点， RB=800m ； A 点里程为 NK0+080 ，切线方位角为 θA=100 ° 00 ′ 24.1 ″，坐标为 XA=4355189.493,YA=476976.267 ； B 点里程为 NK0+158.125 ，切线方位角为 θB=102 ° 48 ′ 15.6 ″，坐标为 XB=4355174.669 ， YB=477052.964 ，推求此曲线段内任意点坐标。
Y=476976.267+ （ L-L5/40R2LS2 ） sinθA + （ L3/6RLS ） cosθA 。
缓和曲线坐标计算公式
缓和曲线坐标计算公式你说的坐标应该是在整条公路上的坐标不是支距法算出来的坐标吧支距法现在都不怎么用了给你个偏角法的计算公式吧ZH至i点的偏角A=30xL的平方除以派除以R 除以LsZH至i点的弦长C=L（ZH至i点的长）-L的5次方除以90 除以R的平方除以Ls的平方具体是这样的：建立以ZH或（HZ）为原点，过ZH的切线及半径分别X轴与Y轴的坐标系统后，就可以用曲线上各点在这个坐标系统中的x，y测设曲线。
坐标计算如下：缓和曲线：xi=li- li^5／40R^2li^2yi=li／6Rl0-li^7／336R^3li^3圆曲线：xi=R×sinαi+myi=R(1-cosαi)+pα=180°∕πR（li- l0）+β0li是曲线上与测设点距ZH点的弧长，l0缓和曲线长度，m，p，β0是缓和曲线参数缓和曲线计算偏角公式L2（平方）/（2RLs）L:缓和曲线上任一点到ZH点距离R：圆半径Ls：缓和曲线长当L=Ls时，公式就是L/(2R)卵形曲线坐标计算方法简介：在高速公路立交平面线型中，现越来越多采用卵形曲线这一线型形式，而卵形曲线坐标的计算在现有相关书籍中却又很少提到，这就为施工中的坐标计算及放样增加了较大难度，为解决此难道，我在实践中通过对缓和曲线坐标的计算加以分析并结合理论知识，总结出了卵形曲线坐标的计算方法和技巧。
关键字：卵形曲线坐标计算一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：主点桩号坐标（m）切线方位角（θ）X Y ° ’ ”ZHAK0+090 9987.403 10059.378 92 17 26.2HY1AK0+160 9968.981 10125.341 132 23 51.6YH1AK0+223.715 9910.603 10136.791 205 24 33.6HY2AK0+271.881 9880.438 10100.904 251 24 18.5YH2AK0+384.032 9922.316 10007.909 337 04 54.2HZAK0+444.032 9981.363 10000.000 0 00 001、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1= =59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2= =84.999A3= =67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ“点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ“的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ“桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ“的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ“-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ“点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH“或HZ“的弧长HZ“：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ“-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法
[教程]第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式)第九章道路工程测量 (road engineering survey)内容：理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。
重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。
§ 9.1 交点转点转角及里程桩的测设一、道路工程测量概述分为：路线勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量 (road construction survey) 。
（一）勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey)分为：初测 (preliminary survey) 和定测 (location survey)1、初测内容：控制测量 (control survey) 、测带状地形图 (topographical map of a zone) 和纵断面图 (profile) 、收集沿线地质水文资料、作纸上定线或现场定线，编制比较方案，为初步设计提供依据。
2、定测内容：在选定设计方案的路线上进行路线中线测量 (center line survey) 、测纵断面图 (profile) 、横断面图 (cross-section profile) 及桥涵、路线交叉、沿线设施、环境保护等测量和资料调查，为施工图设计提供资料。
第四讲3、缓和曲线
五、缓和曲线常数的计算
β 0 、 δ 0 、m、p、x0、y0等称为缓和曲线常数，其物理含义及几何关系由图12－29得知： β 0 ——缓和曲线的切线角，即HY（或YH）点的切线角与ZH（或HZ）点切线的交角；亦即圆曲
线一端延长部分所对应的圆心角。 δ 0 ——缓和曲线的总偏角。 ——切垂距，即ZH（或HZ）到圆心O向切线所作垂线垂足的距离。 p ——圆曲线的内移量，为垂线长与圆曲线半径R之差。 x0、y0计算见式（12－5），其它常数的计算公式如下：
（四）圆曲线的详细测设
加设缓和曲线之后圆曲线的测设，其关键是正确确定后视方向及度盘安置值。如图12－31， 经纬仪安置于HY点上，后视ZH，并将度盘读数安置为反偏角b0值（正拨），倒转望远镜反拨 圆曲线上第1′点的偏角，得相应曲线点，直至QZ 。另一半曲线，则在YH点设站，以（360° －b0）来后视HZ，而倒镜后圆曲线为正拨偏角值来测设。 为避免仪器视准误差的影响，也可以 （180°+ b0） 后视ZH，平转照准部，当度盘读数为 0°00′00″时，即为HY点的切线方向。 若利用《铁路曲线测设用表》测设，为避免分弦偏角的累计计算工作，现场常把HY 的方向 作零方向，如图12－32，以（为圆曲线上第1点的偏角）后视ZH点。
图 12-30
若将缓和曲线等分为N段，则各分段点的俯角之间有如下关系： 2 设为第1点的偏角，为第 i点的偏角，则由式（12－20）可知， li δ i＝
∴
δ 1 :δ 2 :L :δ n = l1 : l2 : L : ln
2 2
2
6Rl0
（12－24）
由式（12－24）得出结论（b）： 偏角与测点到缓和曲线起点的曲线长度的平方成正比。 在等分的条件下， l2 = 2l1 , l3 = 3l1 ,L, ln = Nl1 ， 2 2 2 δ 2 = 2 δ 1 , δ 3 = 3 δ 1 , L, δ n = N δ 1 = δ 0 故
缓和曲线连同圆曲线测设
实习报告
班级：
组别：
姓名：
学号：
指导教师：
年月日
前言
1、曲线元素计算
（1）设计元素
R=缓和曲线长l0= 转向角α
JD里程：DK+
（2）转向角测量
日期：年月日 仪器Байду номын сангаас号仪器编号
班级组别观 测 者记 录 者
置镜点
盘 位
目标
水平度盘读数
（° ′ ″）
半测回角值
（° ′ ″）
一测回角值
（° ′ ″）
JD
L
ZD1
ZD2
R
ZD2
ZD1
（3）缓和曲线常数
（4）曲线综合要素
2、曲线主要点里程推算
（1）里程推算
JD DK +
-T
ZH DK +
+l0
HY DK +
+（L-2l0）/2
QZ DK +
+（L-2l0）/2
YH DK +
+l0
HZ
（2）计算检核
ZH DK +
+2T
DK +
-q
HZ DK +
3、分弦偏角计算（圆曲线段不足20米的破弦）
NO
分弦（m）
分弦偏角（°′″）
δ1
δ2
δ3
δ4
δ5
3、偏角法测设曲线资料计算
日期：年月日 仪器型号仪器编号
班级组别观 测 者记 录 者
点 号
里 程
正反拨
偏角（°′″）
平盘读数（°′″）
备注
ZH（0）
圆曲线、缓和曲线计算例题《精选》
圆曲线坐标计算公式β=180°/π×L/R（L= βπ R/180°）弧长公式β为圆心角△X=sinβ×R△Y=(1-cosβ)×RC= 弦长X=X1+cos (α ±β/2)×CY=Y1+sin (α ±β/2)×Cβ代表偏角,（既弧上任一点所对的圆心角）。
β/2是所谓的偏角（弦长与切线的夹角）△X、△Y代表增量值。
X、Y代表准备求的坐标。
X1、Y1代表起算点坐标值。
α代表起算点的方位角。
R 代表曲线半径缓和曲线坐标计算公式β= L2/2RLS ×180°/πC= L - L5/90R2LS2X=X1+cos (α ±β/3)×CY=Y1+sin (α ±β/3)×CL代表起算点到准备算的距离。
LS代表缓和曲线总长。
X1、Y1代表起算点坐标值。
直线坐标计算公式X=X1+cosα×L Y=Y1+sinα×LX1、Y1代表起算点坐标值α代表直线段方位角。
L代表起算点到准备算的距离。
左右边桩计算方法X边=X中+cos（α±90°)×LY边=Y中+sin（α±90°)×L在计算左右边桩时，先求出中桩坐标，在用此公式求左右边桩。
如果在线路方向左侧用中桩方位角减去90°，线路右侧加90°，乘以准备算的左右宽度。
例题:直线坐标计算方法α(方位角)=18°21′47″X1=84817.831 Y1=352.177 起始里程DK184+714.029求DK186+421.02里程坐标解:根据公式X=X1+cosα×LX=84817.831+COS18°21′47″×(86421.02—84714.029)=86437.901Y=Y1+sinα×LY=352.177+sin18°21′47″×(86421.02—84714.029)=889.943求DK186+421.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86437.901+cos(18°21′47″- 90°)×3.75=86439.082Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=889.943+sin(18°21′47″- 90°)×3.75=886.384线路右侧计算: X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86437.901+cos(18°21′47″+ 90°)×7.05=86435.680 Y边=Y中+sin（α±90°)×L Y边=889.943+sin(18°21′47″+90°)×7.05=896.634例题:缓和曲线坐标计算方法α(ZH点起始方位角)=18°21′47″X1=86437.901 Y1=889.941起始里程DK186+421.02曲线半径2500缓和曲线长120m求HY点坐标,也可以求ZH点到HY点任意坐标解:根据公式β=L2/2RLS×180°/πβ=｛1202/(2×2500×120)｝×(180°/π)= 1°22′30.36″C=L-L5/90R2LS2C=120-1205/(90×25002×1202)=119.997X=X1+cos(α±β/3)×CX=86437.901+cos(18°21′47″-1°22′30.36″/3)×119.997=86552.086Y=Y1+sin(α±β/3)×CY=889.941+sin(18°21′47″-1°22′30.36″/3)×119.997=926.832求DK186+541.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=86553.182Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=923.246线路右侧计算: X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=86550.026Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=933.574缓和曲线方位角计算方法α=(起始方位角±β偏角)= 18°21′47″-1°22′30.36″=16°59′16.64″注:缓和曲线在计算坐标时,此公式只能从两头往中间推,只能从ZH点往HY点推,HZ点往YH 点推算,如果YH往HZ点推算坐标,公式里的β为β2/3.例题:圆曲线坐标计算方法α(HY点起始方位角)= 16°59′16.64″X1=86552.086Y1=926.832 曲线半径2500曲线长748.75起始里程DK186+541.02求YH点坐标,也可以求QZ点坐标或任意圆曲线一点坐标.解:根据公式β=180°/π×L/Rβ= 180°/π×748.75/2500=17°09′36.31″△X=sinβ×R△X=sin17°09′36.31″×2500=737.606△Y=(1-cosβ)×R△Y=(1-cos17°09′36.31″)×2500=111.290C=弦长C=745.954X=X1+cos(α±β/2)×CX= 86552.086 +cos(16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″/2) ×745.954=87290.023Y=Y1+sin(α±β/2)×CY=926.832+ sin(16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″/2) ×745.954=1035.905圆曲线方位角计算方法α=(起始方位角±β偏角)= 16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″=359°49′40.33″求DK187+289.77里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算: X边=X中+cos（α±90°)×LX边=87290.023+cos(359°49′40.33″-90°)×3.75=87290.012Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″-90°)×3.75=1032.155线路右侧计算: X边=X中+cos（α±90°)×LX边=87290.023+cos(359°49′40.33″+90°)×7.05=87290.044Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″+90°)×7.05=1042.955。
缓和曲线计算公式推导(上)
第二步，求出 a=180L2/6 π RLS=0 ° 33 ′ 00.14 ″
第三步，求出 S=L-L5/90R2LS2=60-605/ （ 90*8002*78.1252 ） =59.998
第四步：将 a ， S 值代入缓和曲线计算公式，可求出桩号为 NK0+160 点的坐标为：
一、 引言
道路建设中，由于受地形或地质影响，经常需要改变线路方向，为满足行车要求，往往要用曲线把两条直线连接起来。曲线的构成形式无外乎圆曲线和缓和曲线，本文以河北省沿海高速某曲线段为例推导出缓和曲线的逐桩坐标计算公式，以方便图纸的审核，满足施工放样的需求。本公式具有良好的操作性，方便施工、提高精度，可作为道路测设中的范例运用。
2 、公式推导及实例计算
方法一：弦线偏角法
1 ）公式推导
由坐标增量的计算方法我们不难理解，求一点坐标可以根据其所在直线的方位角以及直线上另一点的坐标和距待求点的距离。所以我们可以利用 ZH 点，只要知道待求点距 ZH 点的距离（弦长 S ）和此弦与 ZH 点切线方位角的夹角（转角 a ），即可求出该点坐标。
根据缓和曲线上的弧弦关系 S=L-L5/90R2LS2 ，
可以求出待求点至 ZH 点的弦长。
然后我们利用坐标增量计算公式可以推导出缓和曲线任意点坐标计算公式：
X=XA+S*cos （ θA+a ） =4355189.493+ （ L-L5/90R2LS2 ） *cos （ θA+L2/6RLS ）
二、公式推导
1 、实例数据
河北省沿海高速公路一缓和曲线（如图）： AB 段为缓和曲线段， A 为 ZH 点， B 为 HY 点， RB=800m ； A 点里程为 NK0+080 ，切线方位角为 θA=100 ° 00 ′ 24.1 ″，坐标为 XA=4355189.493,YA=476976.267 ； B 点里程为 NK0+158.125 ，切线方位角为 θB=102 ° 48 ′ 15.6 ″，坐标为 XB=4355174.669 ， YB=477052.964 ，推求此曲线段内任意点坐标。
缓和曲线的坐标公式及推导
第一章缓和曲线的坐标公式如图1-1所示,其坐标系是以缓和曲线起点ZH为原点O，以切线为x轴，以过原点的曲线半径为y轴。
若原点O至P点的缓和曲线长度为，过P点切线与x轴的交角为β（即半径由∞变至的中心角）。
若P有微小变化至P′时，则增长，（x,y）增长（）,则有以下关系，图 1-1得，（2-1）由公式(常数)得知，故有则将上式代入（1-1）式中，得即（2-2）以及的关系代入上式得即以代入上式得（2-3）上式即为缓和曲线上任一点直角坐标（x,y）的计算公式。
缓和曲线上任一点P的切线与x轴的交角，称为缓和曲线螺旋角，或称缓和曲线角。
其计算可由前面公式得（弧度）（2-4）若将代入（2-4）及（2-3）式中，则有以下结果：（2-5）上式即为缓和曲线终点HZ（ZH）的坐标及螺旋角的计算公式。
第二章圆曲线要素及计算公式如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为，选定其图 2-1连接曲线圆曲线的半径为R，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY点、YZ点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY、圆直点YZ 和曲中点QZ为圆曲线三主要点。
我们称R、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T、曲线长L、外矢距E和切曲差（切线长和曲线长之差）D为曲线6要素。
只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。
现将圆曲线的元素列下：：转向角（实地测出）R：曲率半径（设计给出）T：切线长（计算得出）L：曲线长（计算得出）D：切曲差（计算得出）偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R是在设计中根据线路的等级以及现场地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算：第三章偏角法测设介绍偏角法是一种极坐标标定点位的方法，它是用偏角和弦长来测设圆曲线细部。
如图3-1所示，1，2…，，…，n为设计之详测点，邻点间距均为c，弦长c所对应的圆心角为。
当放样至详测点时，可在ZY点置镜，后视JD方向，拨出偏角,再自-1点量距C和拨出的视线方向交会，即得出点。
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第9讲
教学目标：
重点难点：缓和曲线偏角计算公式5—4 曲线详细测设的偏角法
一.
偏角法原理
实质上是角度与距离交会法。
正拨 反拨
二.
偏角计算
1．圆曲线偏角
R
l j i j i 2,,=
δ 2．缓和曲线偏角
δ
i ，j =βi -αj ，i
j
i i j i i tg l Rl =
,2
0 21αβ、；
、；、 61 61 3
030j j j j i i i i l Rl y l x l Rl y l x ≈≈≈
≈ )(61220,j j i i j i j i i
j l l l l Rl x x y y ++=--≈α )2)((61
,j i j i j i l l l l Rl +-=
δ 若j 点位于i 点与缓和曲线终点之间，则同样方法可得，
)2)((61
0,j i i j j i l l l l Rl +-=
δ 故其一般表达式为
)2(6||0
,j i j i j i l l Rl l l +-=δ
若10
10 61002
10j i l j l i Rl ===、、δ，即在缓和曲线上，曲线点号等于以10m 为单位曲线长，则
)2(||10,j i j i j i +
-=δδ
102,0δδj j =式中，R 为圆曲线半径，l 0为缓和曲线长，δ
10
为缓和曲线基本角。
当i 点位于缓和曲线起点时，则上式可化简为
三.
弦线长度计算
表
定向。
数。
例至i +1式中，
5—5 曲线详细测设的直角坐标法
一.
直角坐标法测设曲线原理
P ，得P'点；自P'点，沿与X 轴垂直且指向曲线内侧的方向丈量y P ，即得P 点。
直角坐标法中，坐标系X 轴均选主点的切线，故曲线点的y 坐标为相对于切线的支距。
因此，直角坐标法也称为切线支距法。
二.
曲线点坐标计算
直角坐标法所选定的坐标系通常为缓和曲线坐标系，则在该坐标系下，缓和曲线段曲线点坐标的计算公式为缓和曲线方程，圆曲线段曲线点的坐标：
⎭
⎬⎫
+-=+=p R y m
R x t t t t )cos 1(sin αα
式中0βα+-=
R
K K HY
t t ，K t 为t 点的里程，K HY 为HY 里程。
第三节 5—6 任意点极坐标法测设曲线
一.
任意点极坐标法测设曲线的原理
任意点极坐标法测设曲线的关键问题是：统一坐标系下的坐标计算；测设数据计算。
一、坐标计算
坐标系的建立主要取决于控制点的情况。
如果控制点是为测设曲线而布设的，则坐标系一般采用ZH —XY 坐标系统；如果控制点是既有控制点，则控制点所在的坐标系就是统一坐标系，即既有坐标系统。
1.ZH —X Y 测量坐标系下曲线点坐标计算
ZH~HY 段曲线点的坐标：
当曲线右偏时y A 坐标为正，左偏时y A 坐标为负。
HY ~YH 段曲线点的坐标为：
⎭
⎬⎫
+-±=+=])cos 1([sin p R y m
R x B B B B αα
式中0βα+-=
R
K K HY
B B ，曲线右偏时y B 坐标为正，左偏时y B 坐标为负。
YH~HZ 段曲线点在以HZ 点为原点，以HZ 点切线为X 轴，交点至HZ 方向为正向的测量坐标系（HZ
—X'Y' ）下的坐标为
式中，l C 为C 点到缓和曲线起点的曲线长；按里程增加方向，当曲线右偏时y'C 坐标为正，左偏时y'C 坐标
为负。
根据坐标平移、旋转公式，将YH~HZ 段曲线点的坐标换算到ZH —XY 坐标系下，为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡HZ HZ C C
C C y x y x y x γγγγ
cos sin sin cos
式中，γ为两坐标系X 轴间的夹角，其与线路转向角的关系是：γ=αZ 或γ= -αY ；x HZ 、y HZ 为HZ 点在ZH —XY 下的坐标，且为
⎭
⎬⎫
±=+=γγsin )cos 1(T y T x HZ HZ
3366403037
032
025⎪
⎪⎭⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-±=-
=l R l Rl l y l R l l x A
A A A
A A 3366403037
032025
⎪
⎪⎭⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-±='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='l R l Rl l y l R l l x C
C C C
C C
2.既有坐标系下曲线点坐标计算
既有坐标系下曲线点坐标计算分两步：第一步是按前述方法计算出整条曲线在ZH —XY 坐标系下的坐标；第二步是根据ZH —XY 坐标系与既有坐标系之间的关系，应用坐标平移、旋转公式，将坐标转换到既有坐标系O —XY 下。
3.控制点的坐标计算
若控制点为既有控制点，则其坐标为既有坐标；若控制点是专为测设曲线而建立的，则应测算其坐标。
如果置镜点是主点，则称为长弦偏角法。
二、测设数据计算
测设数据，即置镜点至后视点、曲线点间的坐标方位角和水平距离。
根据坐标反算的基本公式计算测设数据，
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫
-+-=--=22,,)()(i j i j j
i i
j i
j j i y y x x D x x y y tg α。