余弦定理教学案例分析
《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计
《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计正弦定理和余弦定理的实际运用举例教学设计简介本教学设计旨在教授正弦定理和余弦定理的实际运用方法。
通过实例演示和练题的形式，帮助学生理解和掌握这两个几何定理的应用场景。
教学目标- 理解正弦定理和余弦定理的概念和原理- 掌握正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用方法- 进一步发展解决几何问题的能力教学内容正弦定理- 介绍正弦定理的概念和公式（a/sinA = b/sinB = c/sinC）- 解释正弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用正弦定理求解未知变量余弦定理- 介绍余弦定理的概念和公式（c² = a² + b² - 2abcosC）- 解释余弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用余弦定理求解未知变量实际运用举例- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分步引导学生运用正弦定理和余弦定理解决这些问题- 给予学生充足的练机会，以加深对定理应用的理解和熟练度教学步骤1. 引入：复三角形的基本概念和知识点2. 正弦定理：- 介绍正弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用正弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题3. 余弦定理：- 介绍余弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用余弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题4. 实际运用举例：- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分组或个人完成案例分析和解决过程- 学生通过小组或个人报告展示解决思路和结果5. 总结与讨论：- 综合讨论学生的解决思路和方法的优劣- 引导学生总结出正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的重要性和应用价值教学评估1. 参与度评估：观察学生在课堂中的积极参与程度和问题解答能力2. 练成绩评估：通过练题的完成情况和准确度，进行学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用评估3. 案例分析评估：评估学生在实际问题解决中的思考能力和解决方法的合理性参考资源1. 《高中数学教材》2. 互动教学软件和课件3. 个人和小组练习题。
高中数学《余弦定理》教案
高中数学《余弦定理》教案一、教学目标1. 理解余弦定理的定义和表达式。
2. 学会运用余弦定理解决三角形中的边角问题。
3. 掌握余弦定理在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 余弦定理的定义和表达式。
2. 余弦定理的应用举例。
三、教学重点与难点1. 重点：余弦定理的定义和表达式，余弦定理的应用。
2. 难点：余弦定理在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解余弦定理的定义和表达式。
2. 采用案例分析法，通过举例让学生学会运用余弦定理解决实际问题。
3. 采用练习法，巩固学生对余弦定理的理解和应用。
五、教学过程1. 导入：通过复习正弦定理和余弦函数的知识，引出余弦定理的概念。
2. 新课讲解：讲解余弦定理的定义和表达式，举例说明余弦定理的应用。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用余弦定理解决问题。
4. 练习巩固：布置练习题，让学生巩固余弦定理的知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调余弦定理的重要性和应用。
教案仅供参考，具体实施可根据实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对余弦定理的理解和掌握程度。
2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生运用余弦定理解决实际问题的能力。
3. 课后作业：布置课后作业，巩固学生对余弦定理的知识。
七、教学拓展1. 引导学生思考余弦定理在现实生活中的应用，如测量三角形的角度和边长。
2. 介绍余弦定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
八、教学反思1. 反思本节课的教学效果，检查学生对余弦定理的掌握程度。
2. 分析学生的反馈意见，调整教学方法和策略。
九、教学资源1. 教案、PPT、教材等教学资料。
2. 练习题、测试题等教学资源。
3. 互联网资源，如相关学术文章、教学视频等。
十、教学计划1. 下一节课内容：介绍余弦定理在实际问题中的应用，如几何图形中的角度计算。
2. 教学目标：让学生学会运用余弦定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
正、余弦定理应用-测量距离
时间：2018年6月3日必修5第一章解三角形第2课时正、余弦定理应用-测量距离学习目标：能运用正、余弦定理解决距离测量问题学习过程：一、ΔABC的边、角存在哪些关系？写出ΔABC的边、角存在的关系式二、案例分析1．设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC=51°，∠ACB=75°。
求A、B两点间的距离。
2．A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
3．在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=54°40´，在塔底C 处测得A处的俯角β=50°1´。
已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD。
4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD。
三、总结性思考怎样利用正、余弦定理测量距离？四、课后作业1．一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是27°和39°，计算这个海岛的宽度。
2．飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 250 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°30´，经过150 s后又看到山顶的俯角为81°，求山顶的海拔高度。
3．已知一艘船以30 n mile/h的速度往北偏东10°的A岛行驶，计划到达A岛后停留10 min后继续驶往B岛，B岛在A岛的北偏西60°的方向上，船到达C处时是上午10时整，此时测得B岛在北偏西30°的方向，经过20 min到达D处，测得B岛在北偏西45°的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B岛？五、再思考。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案一、教学目标1. 理解正余弦定理的概念及其在几何中的应用。
2. 学会运用正余弦定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 正余弦定理的定义及公式。
2. 正余弦定理在直角三角形中的应用。
3. 正余弦定理在非直角三角形中的应用。
4. 正余弦定理解决实际问题举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正余弦定理的定义及公式，正余弦定理在几何中的应用。
2. 教学难点：正余弦定理在非直角三角形中的应用，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解正余弦定理的定义及公式。
2. 利用案例分析法讲解正余弦定理在直角三角形和非直角三角形中的应用。
3. 利用小组讨论法解决实际问题。
五、教学过程1. 引入：通过讲解正弦、余弦的概念，引导学生理解正余弦定理的背景。
2. 讲解：详细讲解正余弦定理的定义及公式，结合实际例子，让学生理解并掌握定理的应用。
3. 练习：布置练习题，让学生运用正余弦定理解决直角三角形和非直角三角形的问题。
4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用正余弦定理进行解决，培养学生的解决问题的能力。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法，培养学生的团队协作能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调正余弦定理在几何中的应用及其重要性。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，了解学生对正余弦定理的理解和应用情况。
2. 课后作业：布置有关正余弦定理应用的作业，收集并批改，分析学生的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和问题解决能力。
七、教学反思1. 教师应根据学生的反馈，及时调整教学方法和进度。
2. 对于学生的共性问题，应加强讲解和辅导。
3. 鼓励学生积极参与课堂和课后实践，提高他们的实际应用能力。
八、拓展与延伸1. 引导学生思考正余弦定理在其他领域的应用。
余弦定理教案
《余弦定理》教学案例天印高级中学张梅一、教材分析及设计思路1、教材分析“余弦定理”是全日制普通高级中学教科书（数学必修5）第一章第一节的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。
本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。
布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。
教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。
因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
2、设计思路根据“情境--问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。
根据上述精神，做出了如下设计：（1）创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（2）启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。
然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边（3）为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。
正弦定理和余弦定理教学设计
《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计二、实施教学过程∠=，请你帮忙计算出BAC45,75∠=，如果需要在以45,75BAC圆的区域内规划观光区，请求解出这个外接圆区域的面积。
变∠=，如果需要对三角形BAC45,75区域的面积.3. 三角形常用675°45°由acos A =bcos B =ccos C ，利用正弦定理可得sin A cos A =sin B cos B =sin Ccos C ，即tan A =tan B =tan C ,A =B =C ，△ABC 是等边三角形，A 正确；由正弦定理可得sin A cos A =sin B cos B ⇒sin 2A =sin 2B ，2A 2B 或2A +2B =π， △ABC 是等腰或直角三角形，B 不正确；由正弦定理可得sin B cos C +sin C cos B =sin B ，即sin (B +C )=sin B ,sin A =sin B ， 则A =B,ΔABC 等腰三角形，C 正确；由正弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab >0，角C 为锐角，角,A B 不一定是锐角，D 不正确，故选AC.【设计意图】通过这道题，归纳判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.分析新高考的变化，提出应对的策略。
多选题，重基础，公式的多方向，多角度的变形使用。
【例2】在○1√3cos C (a cos B +b cos A )=c sin C ，○2a sin A+B2=c sin A ,○3(sin B −sin A )2=sin 2C −sin B sin A 这三个条件中任选一个，补充在下面问 题中已知ΔABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，当 时，求sin A ⋅sin B 的最大值.【解析】【分析】根据正弦定理或余弦定理计算得到3C π=，再计算11sin sin 2s 264in A B A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⋅，得到最值.【详解】若选①，则由正弦定理()3cos sin cos sin cos sin sin C A B B A C C +=，20,A ⎛∈ ⎝法二：设∆22b a ∴+-ABC的周长为设计意图：通过此题，让学生体验：三角函数式的化简要遵循“三看”原则重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等。
数学文化在教学中的实践与思考——以正余弦定理为例
数学文化在教学中的实践与思考——以正余弦定理为例摘要：《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》明确指出数学是人类文化的重要组成部分。
数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学学科的思想体系，数学的美学价值及数学家的创新精神。
数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，使其逐步形成正确的数学观。
理解数学文化，让数学文化更好地融入课堂教学，值得深思与实践。
关键词：数学文化；教学实践；正余弦定理；引言在我国经济社会持续蓬勃发展的大背景下，对教育的关注度随之增高，同时也对学生的整体素质有了更高的要求。
所以，让学生多了解数学历史脉络，很有益处。
数学史综合了数学理论、数学方法及数学理论的渊源与演变等诸多方面的内容，其在高中数学课堂教学中的运用，革新了课堂教学模式，有效提高了学生数学学习的积极性，对于推动数学教学改革进程是一个契机。
一、问题的提出数学文化完整性是指思想、精神、方法、意见、语言及其创造和发展。
此外，从广义上讲，还包括数学发展、数学、数学、数学和数学、数学与社会之间的联系、不同文化之间的关系等人类组成部分。
部落文化圈中的中小学教学突出了全面提升我国民族文化特色和促进民族任命时期新人的重要性。
从而，数学课程应着眼于促进学生的基础建设，教授数学课程，支持数学教学，促进社会主义建筑师和接班人的创新精神和实践。
数学教育是实现这一目标的有效手段。
a)数学教育在小学教学中的应用至关重要:它可以促进学生的学习主动性，发挥学生的主观能动性；能够完成直立人的基本任务，充分提升学生的情感、态度和价值观，从而了解学生的科学和科学价值观、人文文学价值观和审美价值观，提高学生的文化水平；可以全面提高学生的数学核心素养，培养学生的探究精神和求真精神，提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；可以培养学生的数学思想方法和数学思维方法，让学生了解数学知识的历史、产生、发展和创造过程，体会数学思想、方法和精神的作用，养成终身学习的好习惯，进而全面提高中华民族的文化素质，培养德智体美劳全面发展的、担当民族复兴大任的时代新人。
三角函数解三角形正弦定理余弦定理的应用举例课件理ppt
三角函数解三角形正弦定 理余弦定理的应用举例课
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目 录
• 引言 • 基础知识复习 • 应用举例 • 案例分析 • 总结与展望
01
引言
课程背景
三角函数是数学中 的基础知识之一
本课件理应掌握正 弦定理、余弦定理 及其应用举例
三角函数在解三角 形、测量学、振动 分析等领域有着广 泛的应用
公式
(1)已知a、b、A和B，其中C=180-A-B；(2)利用正弦定理求出sinC，进而求出C的度数； (3)利用余弦定理求出第三边c的长度。
应用举例
例如，已知一个三角形ABC的两边长分别为3和4，其中角A为30度，角B为60度，求该三 角形的第三边长c和角C的度数。根据公式(2)，可计算出角C的度数为75度；根据公式(3) ，可计算出第三边长c为5。
三角形解法及分类
01
三角形解法
对于一个已知三边长度的三角形，求解其角度的过程叫做三角形解法
。
02
三角形分类
根据角度大小的不同，可以将三角形分为锐角三角形、钝角三角形和
直角三角形。
03
直角三角形解法
对于一个直角三角形，如果已知其中两个边的长度，可以通过勾股定
理求正弦定理和余弦定理解决直角三角形问题
02
基础知识复习
三角函数的定义
三角函数是研究三角形性质的重要工具，包括正弦、余弦和正切等函数 。
三角函数的定义域为实数集，且取值范围为全体实数。
三角函数具有周期性，即对于任意的角度x，都有sin(x+2kπ)=sin(x)、 cos(x+2kπ)=cos(x)和tan(x+kπ)=tan(x)，其中k为整数。
正弦定理与余弦定理
用问题开启学生智慧的大门
C A B b c a 用问题开启学生智慧的大门-----“余弦定理”教学案例松溪一中 徐仁胜数学课该如何上才能真正有效？以情境为基础，以问题为纽带，采用情境化、问题式教学，让学生最大限度地参与到对新课的探究中，去思考、去分析、去感悟，无疑是比较好的方式。
要启动学生的思维，就要以教学素材为依据，精心设置问题链，在跨度（问和答的距离）、起点（从哪里开始思考）、导向（往哪里去）上下功夫，通过一系列的问题的展开、深化，与学生己有的认知结构发生冲突，激发学生积极地思考。
问题设置要充分考虑学生的现有的知识背景，在学生的最近发展区内设置问题，并且要有一定的梯度，必要时要根据课堂的实际情况，给学生搭“脚手架”，防止学生无从下手，出现冷场。
特别是要在重点、难点、知识的交汇点上设置问题，置学生于问题之中，才能让学生充分地参于思考，使课堂效益最大化。
下面是笔者对“余弦定理”第一课时采用“问题引导式教学”的教学实践：教学过程一．创设情境 发现公式教师提出问题：如右图，在ABC ∆中，︒=∠==60,3,2C b a ，第三边c 能否确定，请说明理由？若能，求出它的第三边？（把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的数学思想和观点．）学生1：能．根据初中学过的判定三角形全等的“边角边（SAS ）”定理可知，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，则第三边c 的大小是确定的．教师：那如何根据已知条件求得边c 呢？学生2：过点B 作AC BD ⊥，垂足为D ．（如图）在BDC Rt ∆中，C a CD C a BD cos ,sin ==在ADB Rt ∆中，2222AD BD ABc +== =22)(CD AC BD -+CAB b c a D=22)cos ()sin (C a b C a -+=C ab b a cos 222-+7=∴c教师：非常好！那对于任意的三角形，已知C b a ∠,,，求c 边呢？ （从特殊到一般，学生容易得到分类讨论的思想）．学生3：方法一样，过点B 作AC BD ⊥，垂足为D ．垂足D 的落点位置由C 角决定了，需要分为锐角，直角，钝角三类讨论．老师引导学生自己动手发现不管C 是锐角，直角，钝角，c 边都可由已知的边角表示为C ab b a c cos 2222-+=，引出今天的课题“余弦定理”． 二．求异探新 优化证明思路教师：把斜三角形转化为两个直角三角形，（通过构造直角三角形）化一般为特殊，利用直角三角形中边角关系来证明，其中还渗透了分类讨论的思想，但是证明的过程十分累赘，能否避开讨论，不管角C 是锐角，直角，还是钝角，都可以把它们统一起来？学生4：把角放到直角坐标系中去，利用坐标法解决．教师：好！如何建立适当的直角坐标系？把已知的边角关系转化为坐标之间的运算呢？学生5：把已知的角C 的顶点与原点重合，把一条已知的边与x 轴的非负半轴重合，（如图）．不妨把AC 边与x 轴非负半轴重合．（学生一边回答，教师一边板书）．教师：求AB 两点间的距离，那关键的A ，B 两点的坐标如何表示？学生5：根据任意角三角函数的定义易知)sin ,cos (),0,(C a C a B b A 两点的坐标． 利用两点的距离公式22)sin 0()cos (C a C a b AB -+-= 整理得: C ab b a c cos 2222-+=教师：利用解析法证明余弦定理就不需要对角进行讨论，是个很好的办法．还有没有其他的解法呢？学生6：构造向量AB CB AC ,,．)sin ,cos (),0,(C a C a CB b AC =-=, CB AC AB +==)sin ,cos (C a C a b +-,利用向量的模长坐标公式可求AB 的长．教师：这种做法通过构造向量，利用向量的坐标运算来求解．做法和解析法是类似的，求向量的模长还能运用向量的其他运算法则吗？学生7AB AB AB ⋅==2． 教师：正确！由于向量CB AC ,的模长，夹角已知，只需将向量AB 用向量CB AC ,来表示即可．易知CB AC AB +=，接下来只要把这个向量等式数量化即可．如何实现呢?学生8：通过向量数量积的运算．222222)(CB CB AC AC CB AC AB c +⋅+=+===,CB AC ><+= =C ab b a cos 222-+ (C CB AC ->=<π,)C CB AC ->=<π,是个易错点，通过教师的引导，学生不难发现CB AC AB +=还可以写成CA CB AB -=，CA CB 与不共线，这是平面向量基本定理的一个运用．因此在一些解三角形问题中，我们还可以利用平面向量基本定理寻找向量等式，再把向量等式化成数量等式，从而解决问题．（从学生的“最近发展区”出发，证明方法层层递进，激发学生探求新知的欲望，从而感受成功的喜悦．）三．探幽入微 深化理解改变已知两边及夹角，同理可以得出A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，并引导学生用自然语言概括余弦定理． 教师：通过观察余弦定理有什么结构特征？学生9：C ab b a c cos 2222-+=是边长a,b,c 的轮换式,同时等式右C AB b边的角与等式左边的边相对应.学生10：可以看成是关于三角形三条边的齐二次的等式，每个等式都有四个量，知三求一．学生11：它还可以变形为ab cb a C 2cos 222-+=，bc ac b A 2cos 222-+=，bc ac b B 2cos 222-+=，已知三边就可以求三个角．教师：这就是余弦定理的推论．余弦定理推论把平面几何中“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式．．．．．．．教师：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？学生12：勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广．当角C 为锐角时，边长之间有不等关系：222c b a >+；当角Ｃ为钝角时，边长之间有不等关系：222c b a <+．教师:观察一个等式时,先从整体上把握结构特征(比如轮换式),然后再到局部特点(比如等式左右的边角对应),注意观察,比较,发现.(在对余弦定理认识的过程中,让学生充分理解余弦定理的特征,结构,体会数学中的统一美,对称美，体验学习数学的乐趣，激发学生的学习积极性．)四．公式应用 练习巩固练习1．在ABC ∆中，若7,5,3===c b a ，求最大角．练习2．（1）在ABC ∆中，若︒==+=45,6,13A c b ,解这个三角形． （2）在ABC ∆中，︒===60,1,3B c b ，求a ．在学生练习后相互交流，得出：解练习1时直接利用余弦定理变式求最大角C ；而解练习2求某个角的过程中既可以用正弦定理也可以用余弦定理，引导学生对应用两个定理的差异进行思考和探究．问题涉及到正弦函数和余弦函数在),0(π上的单调性．五、反思感悟 自我小结教师：请同学反思一下，我们探索余弦定理的历程，从特殊到一般，从平几方法，到坐标方法，到向量方法，多少精采包含其中，分类、转化…………值得大家好好的回味。
课例：“余弦定理”的教学
即 ｓ ｉ ｎ Ａ十 ｓ ｉ ｎ 。 Ｂ一 ２ ｓ ｉ ｎ Ａｓ ｉ ｎ Ｂｃ ｏ ｓ Ｃ— ｓ ｉ ｎ Ｃ ． ③
教师 ： 很好 ！没 用 任 何 逻 辑 推 理 ， 靠 直 觉 思 维 即 可得结 果．
３ 引进 工 具 ， 逻 辑 论 证
教师 ： 但 我 们 不 能满 足 于 直 觉 思 维所 获 的结 论 ， 需用 严谨 的逻 辑推 理来证 明它 ， 才能 彰 显数 学 的理 性
≥… ……
—ｒ ， Ｒ＋ ｒ ．
◎
教师： 我 们非 常 熟 悉 的 ， 在 Ｒｔ △ＡＢＣ 中 ， Ｃ是
直角， 三 边长 分别 为 ｎ 、 ｂ 、 ｃ ， 其中ｃ 是斜 边 长 ， 则ａ 、 ６ 、 ｃ 之 间有什 么关 系 ？且把 这 个关 系式 叫—— 学生 ： 有关 系 ｒ 一ａ ＋ｂ 。 ， 叫勾 股定 理． 教师 ： 我 国是 世界 上最 早发 现并 证 明勾股 定 理 的 国家． 现在 要研 究 的是 ， 对 于任 意三 角 形 ， 勾股 定 理 能
事 了．
否进 一 步进行 拓展 呢 ？现在 我 负责 任地 告 诉 大家 ， 任 意 三角形 的 三边长 ｎ 、 ｂ 、 ｃ 之 间还有 关 系式 ｃ 一ａ ＋６ ＋ …接续 后 面的“ 尾 巴” 就是本 节课 最 主要 的任务 ． 教师 ： （ 听到有 学 生 在 小 声 嘀 咕 ： 这不就是“ 狗 尾 续貂” 吗？ ） “ 狗 尾 续貂 ” 可是贬义词哟， 所 以在 这 里 应 理 解 为是一 种 “ 趣说 戏称 ” 和“ 贬义褒 用 ” ．
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中 学 数 学 教 学 参 考
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２ ０ １ ３年 第７期 （上 甸 ）
余弦定理教教学案例
§1.1.2余弦定理的教学设计陕西省宁陕县宁陕中学中学教师徐小刚一、教学目标1、知识与技能探索任意三角形的边长与角度间的具体量化关系，引导学生通过观察、猜想、验证、证明，由特殊到一般归纳出余弦定理，掌握余弦定理的内容及其证明方法，并学会应用余弦定理解决解斜三角形的类基本问题。
2、过程与方法通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
通过余弦定理解决一些现实问题。
3、情感、态度与价值观培养学生合情合理数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普通联系与辩证统一。
增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维能力。
二、教材分析余弦定理是继正弦定理教学之后又一关于三角形的边角关系准确量化的一个重要定理。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的结果，就是“在任意三角形中大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，则这两个三角形全等”。
同时学生在初中阶段能解决直角三角形中一些边角之间的定量关系。
在高中阶段，学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握任意三角形中边角之间的定量关系，从而进一步运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，使学生能更深地体会数学来源于生活，数学服务于生活。
三、学情分析1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。
而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。
所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。
2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。
余弦定理教学教案
余弦定理教学教案一、教学目标：1. 让学生了解余弦定理的定义及应用范围。
2. 使学生掌握余弦定理的证明过程。
3. 培养学生运用余弦定理解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 余弦定理的定义及表达式。
2. 余弦定理的证明。
3. 余弦定理在三角形中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：余弦定理的定义、证明及应用。
2. 难点：余弦定理的证明过程。
四、教学方法：1. 采用讲授法讲解余弦定理的定义、证明及应用。
2. 利用几何画板软件展示三角形中余弦定理的应用，增强直观性。
3. 布置练习题，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾正弦定理和余弦函数的基础知识，引导学生思考余弦定理的定义及应用。
2. 讲解余弦定理：（1）介绍余弦定理的定义及表达式。
（2）讲解余弦定理的证明过程。
3. 应用余弦定理解决实际问题：（1）利用余弦定理计算三角形的边长。
（2）利用余弦定理判断三角形的角度关系。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，引导学生思考余弦定理在其他领域的应用。
6. 课后作业：布置课后作业，巩固课堂所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对余弦定理的定义和证明的理解程度。
2. 评估学生运用余弦定理解决实际问题的能力。
3. 观察学生在课堂练习和课后作业中的表现，了解其对余弦定理的掌握情况。
七、教学反馈：1. 收集学生课堂练习和课后作业的反馈，了解其在应用余弦定理过程中遇到的问题。
2. 根据学生反馈，及时调整教学方法和节奏，针对性地进行辅导。
3. 与学生交流，了解其对余弦定理的学习兴趣和需求，为后续教学提供参考。
八、教学资源：1. 教材：选用权威、适合学生的数学教材，如《高等数学》、《数学分析》等。
2. 辅助教材：选用一些辅导书、学习指导书等，为学生提供更多的学习资源。
3. 网络资源：利用互联网查找相关教学视频、动画、案例等，丰富教学手段。
4. 软件工具：几何画板、数学软件等，用于展示和验证余弦定理。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和推理，探索正弦定理和余弦定理的内在联系。
二、教学内容1. 正弦定理：一个三角形内角的正弦值等于它所对边的长度比该角的对边长度。
2. 余弦定理：一个三角形内角的余弦值等于它所对边的平方和与邻边的平方和的差除以它所对边的邻边长度乘积。
三、教学重点与难点1. 重点：正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 难点：正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳和推理，探索正弦定理和余弦定理的内在联系。
2. 利用多媒体辅助教学，展示三角形中的角度和边长之间的关系，增强学生的直观感受。
3. 设计具有梯度的练习题，让学生在解决实际问题中掌握正弦定理和余弦定理。
五、教学过程1. 导入：通过展示一个三角形模型，引导学生观察三角形中的角度和边长之间的关系。
2. 新课导入：介绍正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
3. 案例分析：运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，让学生体会定理的应用价值。
4. 课堂练习：设计具有梯度的练习题，让学生在解决实际问题中掌握正弦定理和余弦定理。
教案仅供参考，具体教学过程中可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课堂练习：通过实时提问和解答学生的练习题，评估学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用能力。
2. 课后作业：布置相关的习题，要求学生在课后完成，以巩固所学知识。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享彼此解题的心得和方法，以培养学生的合作能力。
七、教学反思1. 教师应反思教学内容是否符合学生的认知水平，并根据学生的反馈进行调整。
2. 教师应反思教学方法是否有效，是否能够激发学生的兴趣和参与度。
3. 教师应关注学生的学习进度和理解程度，及时调整教学计划和策略。
高中数学《余弦定理》教案
高中数学《余弦定理》教案一、教学目标1. 让学生理解余弦定理的定义及其在几何中的应用。
2. 培养学生运用余弦定理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过探究、合作、交流的方式，发现余弦定理的规律。
二、教学内容1. 余弦定理的定义及公式。
2. 余弦定理在直角三角形中的应用。
3. 余弦定理在非直角三角形中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：余弦定理的定义及其应用。
2. 难点：余弦定理在非直角三角形中的应用。
四、教学方法1. 采用探究式教学法，引导学生主动发现余弦定理的规律。
2. 运用案例教学法，以实际问题为例，讲解余弦定理的应用。
3. 利用多媒体辅助教学，直观展示余弦定理的应用场景。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对余弦定理的思考。
2. 新课讲解：（1）介绍余弦定理的定义及公式。
（2）讲解余弦定理在直角三角形中的应用。
（3）引导学生探究余弦定理在非直角三角形中的应用。
3. 案例分析：分析实际问题，运用余弦定理解决问题。
4. 练习与讨论：布置相关习题，让学生巩固所学知识，并进行讨论交流。
六、课后作业1. 复习本节课的内容，掌握余弦定理的定义及应用。
2. 完成课后习题，巩固所学知识。
3. 探索余弦定理在生活中的应用，下周分享给大家。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量。
3. 课后分享：评价学生在探索余弦定理在生活中应用的成果。
八、教学反思在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法，确保教学效果。
针对学生的掌握情况，适当增加拓展内容，提高学生的数学素养。
九、教学进度安排1. 第一课时：介绍余弦定理的定义及公式。
2. 第二课时：讲解余弦定理在直角三角形中的应用。
3. 第三课时：引导学生探究余弦定理在非直角三角形中的应用。
4. 第四课时：案例分析，运用余弦定理解决实际问题。
十、教学资源1. PPT课件。
高中数学余弦定理试讲教案
高中数学余弦定理试讲教案教案名称：高中数学余弦定理试讲教学内容：余弦定理教学目标：1.了解余弦定理的概念及应用；2.能够根据余弦定理求解三角形中的未知变量；3.能够灵活运用余弦定理解决实际问题。
教学重点：掌握余弦定理的公式及应用方法教学难点：灵活应用余弦定理解决具体问题教学准备：1.投影仪及相关课件；2.图形模型、桌面练习题、作业练习题。
教学过程：Step 1：导入（10分钟）引导学生回顾三角形的基本概念及定理，激发学生对余弦定理的兴趣。
Step 2：概念讲解（10分钟）1.介绍余弦定理的定义及公式：在任意三角形ABC中，设三边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，余弦定理的表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
2.通过具体图形示例解释余弦定理的原理。
Step 3：公式推导（15分钟）1.引导学生通过对三角形ABC的角分析，推导余弦定理的公式。
2.请学生配合教师进行一些小练习，巩固推导过程。
Step 4：应用练习（20分钟）1.针对不同类型的三角形，提供练习题，要求学生应用余弦定理求解未知量。
2.组织学生在小组内相互讨论，互相解答问题。
Step 5：拓展应用（10分钟）1.引导学生探讨余弦定理在实际问题中的应用，如航空航天、地质勘探等领域。
2.鼓励学生提出问题，并尝试用余弦定理解决。
Step 6：总结（5分钟）1.回顾本节课学习的内容，总结余弦定理的重要概念及应用方法。
2.布置相关作业，巩固所学知识。
教学反思：1.本课程设计以学生为主体，通过理论讲解、公式推导、练习应用等环节，使学生能够全面理解和掌握余弦定理。
2.在教学过程中，需要根据学生的实际情况及反馈，随时作出调整，确保教学效果达到预期目标。
正余弦定理完美教案
正余弦定理完美教案第一章：正弦定理简介1.1 学习目标了解正弦定理的定义和基本性质学会运用正弦定理解决实际问题1.2 教学内容正弦定理的定义及公式正弦定理与三角形内角和的关系正弦定理在实际问题中的应用1.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理的规律1.4 教学步骤1. 引入正弦定理的概念，引导学生了解正弦定理的定义和公式2. 通过示例，讲解正弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理的理解和应用能力第二章：余弦定理简介2.1 学习目标了解余弦定理的定义和基本性质学会运用余弦定理解决实际问题2.2 教学内容余弦定理的定义及公式余弦定理与三角形内角和的关系余弦定理在实际问题中的应用2.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现余弦定理的规律2.4 教学步骤1. 引入余弦定理的概念，引导学生了解余弦定理的定义和公式2. 通过示例，讲解余弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题，巩固学生对余弦定理的理解和应用能力第三章：正弦定理与余弦定理的综合应用3.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决综合问题理解正弦定理和余弦定理之间的关系3.2 教学内容正弦定理和余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理之间的关系3.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理之间的关系3.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在解决综合问题中的应用2. 引导学生发现正弦定理和余弦定理之间的关系3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理的综合应用能力第四章：正弦定理和余弦定理在几何中的应用4.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决几何问题理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.2 教学内容正弦定理和余弦定理在几何中的应用正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在几何问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理在几何中的应用能力第五章：正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用5.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决实际问题理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.2 教学内容正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用第六章：正弦定理和余弦定理的综合练习6.1 学习目标巩固正弦定理和余弦定理的基本概念提高运用正弦定理和余弦定理解决综合问题的能力6.2 教学内容综合练习题，涵盖正弦定理和余弦定理的应用分析解题思路和方法6.3 教学方法提供综合练习题，引导学生独立解答分析解题思路，讨论解题方法6.4 教学步骤1. 提供综合练习题，要求学生独立解答2. 分析解题思路，引导学生运用正弦定理和余弦定理解决问题3. 讨论解题方法，总结正弦定理和余弦定理的应用技巧第七章：正弦定理和余弦定理在三角形中的应用7.1 学习目标深入学习正弦定理和余弦定理在三角形中的应用掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时的灵活运用7.2 教学内容正弦定理和余弦定理在三角形中的应用案例三角形特殊角度时的定理特殊性质7.3 教学方法采用案例教学，通过具体三角形问题讲解定理的应用引导学生通过几何画图工具直观理解定理的应用7.4 教学步骤1. 通过具体三角形问题，展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生利用几何画图工具，直观理解定理的应用过程3. 安排练习题，巩固学生对定理在三角形中应用的理解第八章：正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用8.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用培养学生解决复杂三角形问题的能力8.2 教学内容复杂三角形问题中正弦定理和余弦定理的运用练习题及解题策略8.3 教学方法采用问题解决法，引导学生思考和探讨提供练习题，让学生通过实际操作解决问题8.4 教学步骤1. 引入复杂三角形问题，引导学生思考如何应用定理2. 提供练习题，让学生独立解决3. 讨论解题策略，引导学生总结解题技巧第九章：正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用9.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用培养学生解决实际工程问题的能力9.2 教学内容正弦定理和余弦定理在工程测量、建筑等方面的应用案例实际工程问题中的解题方法9.3 教学方法采用案例教学，通过实际工程案例讲解定理的应用引导学生通过实际操作，理解定理在工程中的应用9.4 教学步骤1. 通过实际工程案例，展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生参与实际操作，理解定理在工程中的应用过程3. 安排练习题，巩固学生对定理在实际工程中应用的理解第十章：总结与复习10.1 学习目标总结正弦定理和余弦定理的主要内容和应用复习本门课程的知识点，为考试做好准备10.2 教学内容复习正弦定理和余弦定理的基本概念、性质和应用总结解题方法和技巧10.3 教学方法通过复习讲义和练习题，引导学生复习和巩固知识点组织复习课堂，鼓励学生提问和讨论10.4 教学步骤1. 发放复习讲义，让学生提前预习2. 组织复习课堂，引导学生复习重点知识点3. 提供练习题，让学生通过实际操作巩固知识点重点和难点解析第六章：正弦定理和余弦定理的综合练习环节：分析解题思路和方法重点和难点解析：此环节需要重点关注解题思路的培养和方法的多样性。
九年级数学下册《正弦余弦》教案、教学设计
c.通过分组讨论和互助学习，让学生在实践中共同探索和总结正弦余弦的性质和应用。
d.设计梯度性练习题，从基础计算到综合应用，逐步提升学生的解题能力。
2.针对教学难点，设想以下突破策略：
a.结合实际案例，引导学生发现直角三角形的隐藏条件，培养他们抽象思维和模型构建能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：正弦和余弦的定义及其应用，特殊角度的正弦和余弦值的记忆，以及在实际问题中的运用。
2.难点：将实际问题抽象为直角三角形模型，运用正弦余弦定理进行求解；理解并掌握正弦余弦函数随角度变化的规律。
（二）教学设想
1.对于教学重点的把握，设想以下教学策略：
a.采用生动的情境引入，如通过设计一个测量建筑物高度的实践活动，激发学生对正弦余弦的兴趣。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，掌握了基本的几何知识和代数运算。在此基础上，他们对锐角三角函数的概念已有初步了解，但正弦和余弦的深入学习可能仍感陌生。学生在之前的学习中，对直角三角形、相似三角形等知识有较好的掌握，这为学习正弦余弦奠定了基础。然而，在具体应用方面，学生可能缺乏将实际问题转化为数学模型的能力。因此，在教学过程中，应注重激发学生的兴趣，引导他们运用已有知识探索新知，帮助他们建立数学模型，培养解决实际问题的能力。此外，针对不同学生的学习特点，应采取差异化教学策略，关注每个学生的成长，提升他们的自信心和自主学习能力。
3.设计合作学习活动，让学生在小组讨论和交流中，提高问题解决能力和团队协作能力。
4.运用变化的认识。
5.通过课后练习和拓展任务，巩固所学知识，提高学生的独立思考和创新能力。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案一、教学目标1. 理解正余弦定理的概念及公式。
2. 学会运用正余弦定理解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC2. 余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 2bccosA三、教学重点与难点1. 教学重点：正余弦定理的公式及应用。
2. 教学难点：如何运用正余弦定理解决复杂问题。
四、教学方法1. 采用讲解、示例、练习、讨论相结合的方法。
2. 通过图形演示，使学生更直观地理解正余弦定理。
3. 引导学生运用正余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
五、教学过程1. 导入：通过复习三角形的基本概念，引导学生进入正余弦定理的学习。
2. 讲解：详细讲解正弦定理和余弦定理的公式及含义。
3. 示例：给出三角形ABC的边长和角度，运用正余弦定理求解未知量。
4. 练习：让学生独立完成一些简单的正余弦定理应用题。
5. 讨论：分组讨论一些复杂的问题，引导学生相互合作，共同解决问题。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调正余弦定理在实际问题中的应用。
7. 作业：布置一些有关正余弦定理的应用题，让学生巩固所学知识。
六、教学反思在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法，提高教学效果。
针对学生的薄弱环节，加强个别辅导，帮助学生克服困难，提高解决问题的能力。
七、课后拓展1. 研究正余弦定理在实际问题中的广泛应用。
2. 了解正余弦定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
3. 探索正余弦定理的证明方法，加深对定理的理解。
八、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对正余弦定理的掌握程度。
3. 课后拓展：了解学生在课后对正余弦定理的学习和研究情况，鼓励学生进行深入学习。
九、教学资源1. 教材：正余弦定理的相关内容。
余弦定理可以解决的两类三角问题
余弦定理可以解决的两类三角问题摘要：一、余弦定理的基本概念和原理二、余弦定理在解决直角三角形问题中的应用三、余弦定理在解决非直角三角形问题中的应用四、余弦定理在实际问题中的案例分析五、总结余弦定理在解决三角问题中的重要性正文：一、余弦定理的基本概念和原理余弦定理是欧氏平面几何学中的一个基本定理，它描述了三角形中三边长度与一个角的余弦值之间的关系。
余弦定理的公式为：cosA=(b+c-a)/(2bc)，cosB=(a+c-b)/(2ac)，cosC=(a+b-c)/(2ab)。
在这个公式中，A、B、C 分别表示三角形的内角，a、b、c 分别表示三角形的边长。
二、余弦定理在解决直角三角形问题中的应用在直角三角形中，余弦定理可以简化为勾股定理的形式。
例如，在直角三角形ABC 中，如果角C 是直角，那么根据勾股定理，有c=a+b。
如果已知三角形的两条边长a 和b，以及斜边长c，可以通过勾股定理求解三角形的另一个直角边长。
三、余弦定理在解决非直角三角形问题中的应用在非直角三角形中，余弦定理可以应用于求解三角形的边长。
例如，在三角形ABC 中，如果已知角A、B 和边长c，可以利用余弦定理求解边长a和b。
具体地，根据余弦定理，有a=b+c-2bccosA，b=a+c-2accosB，c=a+b-2abcosC。
通过求解这个方程组，可以得到三角形的边长。
四、余弦定理在实际问题中的案例分析假设在一个等边三角形中，边长为a，现需要求解这个等边三角形的高。
根据等边三角形的性质，知道三个角都是60 度。
利用余弦定理，可以求解这个等边三角形的高。
在这个问题中，a、b、c 都等于a，角A、B、C 都等于60 度。
根据余弦定理，有cos60°=(b+c-a)/(2bc)，cos60°=(a+c-b)/(2ac)，cos60°=(a+b-c)/(2ab)。
将已知数据代入公式，可以求解得到等边三角形的高。
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高中数学教学中的“情境.问题.反思.应用”----“余弦定理”教学案例分析作者：王兵发布日期：2007-11-1[摘要]：辩证唯物主义认识论、现代数学观和建构主义教学观与学习观指导下的“情境.问题.反思.应用”教学实验，旨在培养学生的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意识和实践能力。
创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的，因此所设情境要符合学生的“最近发展区”。
“余弦定理”具有一定广泛的应用价值，教学中我们从实际需要出发创设情境。
[关键词]：余弦定理；解三角形；数学情境一、教学设计1、教学背景在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。
这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。
建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。
我们在2003级进行了“创设数学情境与提出数学问题”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想法，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。
2、教材分析“余弦定理”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本?必修）数学第一册（下）的第五章第九节的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。
本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。
布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。
教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。
因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
3、设计思路建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。
在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。
而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。
而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。
所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。
为此我们根据“情境--问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。
根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。
然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。
③为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。
证明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：一是证明的起点；二是如何将向量关系转化成数量关系。
④由学生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题。
二、教学过程1、设置情境自动卸货汽车的车箱采用液压机构。
设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如下图），已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。
2、提出问题师：大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模）能，在三角形ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的长。
师：能用正弦定理求解吗？为什么？不能。
正弦定理主要解决：已知三角形的两边与一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角与一边，求角的对边。
师：这个问题的实质是什么？在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。
（一般化）三角形ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。
3、解决问题师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？先从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。
（特殊化）可以先在直角三角形中试探一下。
直角三角形中c 2 =a 2 +b 2 （勾股定理角C为直角）斜三角形ABC中（如图3），过A作BC 边上的高AD，将斜三角形转化为直角三角形。
（联想构造）师：垂足D一定在边BC上吗？不一定，当角C为钝角时，点D在BC的延长线上。
（分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题）在锐角三角形ABC中，过A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2 ，在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC, CD＝ACcosC 即AD＝bsinC, CD＝bcosC又BD＝BC-CD,即BD＝a-bcosC∴c 2 =(bsinC) 2 +(a-bcosC) 2=b 2 sin 2 C+a 2 -2abcosC+b 2 cos 2 C=a 2 +b 2 -2abcosC同理a 2 =b 2 +c 2 -2bccosAb 2 =a 2 +c 2 -2accosB在钝角三角形ABC中，不妨设角C为钝角，过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，在直角三角形ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2 ，在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π-C）,CD ＝ACcos（π-C），即AD＝bsinC, CD＝-bcos C，又BD＝BC＋CD,即BD＝a-bcosC∴c 2 =(bsinC) 2 +(a-bcosC) 2=b 2 sin 2 C+a 2 -2abcosC+b 2 cos 2 C=a 2 +b 2 -2abcosC同理a 2 =b 2 +c 2 -2bccosAb 2 =a 2 +c 2 -2accosB同理可证a 2 =b 2 +c 2 -2bccosAb 2 =a 2 +c 2 -2accosB师：大家回想一下，在证明过程易出错的地方是什么？4、反思应用师：同学们通过自己的努力，发现并证明了余弦定理。
余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，请大家考虑一下，余弦定理能够解决哪些问题？知三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。
余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
师：请同学们用余弦定理解决本节课开始时的问题。
（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）解：由余弦定理，得BC 2 ＝AB 2 ＋AC 2 -2AB.ACcosA＝1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′＝3.571∴BC≈1.89(m)答：顶杆BC约长1.89m。
师：大家回想一想，三角形中有六个元素，三条边及三个角，知道其中任意三个元素，是否能求出另外的三个元素？不能，已知的三个元素中，至少要有一个边。
师：解三角形时，何时用正弦定理？何时用余弦定理？已知三角形的两边与一边的对角或两角与一角的对边，解三角形时，利用正弦定理；已知三角形的两边和它们的夹角或三条边，解三角形时，利用余弦定理。
巩固练习：课本第131页练习1⑵、2⑵、3⑵、4⑵三、教学反思本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。
创设数学情境是“情境.问题.反思.应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。
从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。
“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。
该情境源于教材第五章5.10解三角形应用举例的例1。
实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。
只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。
“情境.问题.反思.应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。
因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。
关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。