导数证明不等式题型全

导数题型一：证明不等式

不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些不等式。

一．构造形似函数型

例1．求证下列不等式

（1）)

1(2)1ln(22

2x x x x x x +-<+<-),0(∞+∈x （相减） （2）πx

x 2sin >)2,0(π

∈x （相除两边同除以x 得π2

sin >x x ）

（3）x x x x -<-tan sin )2,

0(π∈x （4）已知：)0(∞+∈x ，求证x

x x x 11ln 11<+<+；（换元：设x x t 1+=） （5）已知函数()ln(1)f x x x =+-，1x >-，证明：11ln(1)1x x x -

≤+≤+ 巩固练习：

1.证明1>x 时，不等式x

x 132-

> 2.0≠x ，证明：x e x +>1

3.0>x 时，求证：)1ln(2

2

x x x +<-

4.证明: ).11(,3

2)1ln(3

2<<-+-≤+x x x x x 5.证明: 331an x x x t +>，)2

,0(π∈x . 二、需要多次求导

例2.当)1,0(∈x 时,证明:22)1(ln )1(x x x <++

例3.求证:x ＞0时,211x 2

x e x ->+ 例4.设函数f (x )＝ln x ＋

2a x 2－(a ＋1)x (a >0，a 为常数)．若a ＝1，证明：当x >1

时，f (x )< 12x 2－21

x x +三、作辅助函数型

例5.已知：a 、b 为实数，且b ＞a ＞e ,其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a . 例6.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,

(i)求函数f(x)的最大值；

(ii)设0

b a +)<(b-a)ln2. 巩固练习

6、证明(1))0(ln b a a a

b a b

b a

b <<-<<-

(2)0,0>>b a ,证明b a b a b a b a ≤++)2

( （3）若2021π

<<

212tan tan x x x x > 四、同增与不同增

例7.证明：对任意21ln 0,

1e e x x x x x ---><+. 例8.已知函数1()1,()ln x x f x g x x x e

-=-=-证明：21(ln )()1x x f x e ->-. 五、极值点偏移（理科）

例9.已知函数．如果且证明． 例10.已知函数()(1)e x f x x x -=-∈R ，，其中e 是自然对数的底数.若12x x ≠，且12()()f x f x =，求证：12 4.x x +>

六、放缩法

例11.已知：2≥∈n N n 且，求证：

11211ln 13121-+++<<+++n n n 。 例12.当2≥n 且*N n ∈时，证明：n n

ln ln 13ln 12ln 1>+++ . 例13.求证：（）． 巩固练习

7.证明:对任意的正整数n ,不等式34249+++…21ln(1)n n n ++

>+都成立. 8.已知n N *∈且3n ≥，求证: n+11111ln

<++++3345n . 9.求证：ln 2ln 3ln 4234

⨯⨯×…×ln n n <1n (n≥2，n ∈N *)． 10.证明：对任意的*∈N n ，有)

1(2ln 1)1ln(22ln 11ln 2

+<+--+++n n n n n n . 七、综合题型

例13.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.

()()x f x xe x R -=∈12,x x ≠12()(),f x f x =122x x +>1

21715131)1ln(+++++>+n n n *N ∈

（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .

例14.a 为实数，函数()22,x

f x e x a x R =-+∈ （1）求()f x 的单调区间

（2）求证：当12ln ->a 且0x >时，有221x e x ax >-+

例15.已知函数21()(2)ln 2

x f x a x x a =-+（0a >且1a ≠）. （1）当a e ≥时，求证:()f x 在(0,)+∞上单调递增；

（2）当21[,][,1)a e e e ∈且[1,)t ∈+∞时,求证:2

(21)2()3f t f t e --≥-+.