八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数19.2.2一次函数第4课时一次函数与实际问题教案 新
19.2.2一次函数——待定系数法求一次函数解析式教案2022-2023学年人教版八年级下册数学

19.2.2 一次函数——待定系数法求一次函数解析式教案引言本教案旨在教授八年级下册数学课程中的一次函数待定系数法求解问题。
一次函数是初等数学中最基本的函数之一,待定系数法则是解决一次函数问题中常用的一种方法。
本教案将帮助学生掌握待定系数法的基本原理,并通过具体例题的讲解,引导学生能够独立解决一次函数问题,并运用所学知识解决实际生活中的问题。
目标•理解一次函数的概念及特征•掌握待定系数法求解一次函数的步骤和方法•能够独立解决一次函数相关问题•运用所学知识解决实际问题教学内容1.一次函数回顾2.待定系数法求一次函数解析式的步骤和方法3.实例分析与解题训练4.应用案例分析教学步骤一、一次函数回顾1.提问:什么是一次函数?2.引导学生回顾一次函数的定义和示例,并讨论函数的特征。
二、待定系数法求一次函数解析式的步骤和方法1.引入待定系数法的概念,解释其基本原理。
2.解释待定系数法的求解步骤:–步骤一:列方程–步骤二:解方程–步骤三:找到解析式3.用具体例子演示待定系数法的求解过程,并解释其中的关键步骤和技巧。
三、实例分析与解题训练1.展示一些具体的一次函数问题,并引导学生运用待定系数法解决这些问题。
2.让学生分组进行练习,相互交流并解答问题。
四、应用案例分析1.提供一些实际生活中的问题,要求学生运用所学知识解决这些问题。
2.引导学生思考如何用一次函数和待定系数法来建立模型和解决问题。
总结与反思通过本节课的学习,学生应该对一次函数的特点和待定系数法有较为全面的理解,并能够灵活运用待定系数法解决一次函数问题。
同时,学生应该能够将所学知识运用到实际生活中,解决与一次函数相关的问题。
希望学生们能够通过课后的复习和实践,进一步巩固所学内容,并提升自己的问题解决能力。
课后作业1.自选一个实际生活中的问题,并用一次函数和待定系数法解决。
2.阅读教材相关章节,复习一次函数的相关知识。
注意:以上内容仅供参考,老师可以根据班级实际情况和教学需要进行适当调整。
人教版八年级数学下:19.2.2 一次函数第4课时 一次函数的应用
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6.(洛阳模拟)一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始4分内 只进水不出水,在随后的8分内既进水又出水,每分的进水量和出水 量是两个常数,容器内的水量y(单位:升)与时间x(单位:分)之间的关 系如图所示.
(1)当4≤x≤12时,求y关于x的函数解析式; (2)直接写出每分进水、出水各多少升.
时,此刻的时间为( )B
A.9:15 B.9:20 C.9:25 D.9:30
第7题图
8.(练习2变式)如图①,在某个盛水容器中,有一个小水杯,小水杯 内有部分水,现在匀速持续地向小水杯内注水,注满小水杯后,继续 注水,小水杯内水的高度y(cm)和注水时间x(s)之间的关系满足图②中 的图象,则至少需要____5s能把小水杯注满水.÷60=130 (小 时),此时甲、乙两车之间的路程为:135×130 -270=180(千米).答:当甲车 到达距 B 地 70 千米处时,甲、乙两车之间的路程为 180 千米
3
解:(1)购买量是函数中自变量 x,a=5,b=14 (2)当 x>2 时,y=4x+2 (3)当 y=8.8 时,x=85.8 =1.76;当 x=4.165 时,y=4×4.165+2=18.66, ∴甲农户的购买量为 1.76 千克,乙农户的付款金额为 18.66 元
11.(2019·长春)已知A,B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同 时出发,甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地 沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路 程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示.
(2)①y甲<y乙,即20x<10x+100,解得x<10,当入园次数小于10次时, 选择甲消费卡比较合算;②y甲=y乙,即20x=10x+100,解得x=10,当入园 次数等于10次时,选择两种消费卡费用一样;③y甲>y乙,即20x>10x+100, 解得x>10,当入园次数大于10次时,选择乙消费卡比较合算
《一次函数》课件下载2
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8.(2020·济南)某市为提倡居民节约用水,自今年1月1日起调整居民用水
价 格 . 图 中 l1 , l2 分 别 表 示 去 年 、 今 年 水 费 y( 元 ) 与 用 水 量 x(m3) 之 间 的 关 系.小雨家去年用水量为150 m3,
若今年用水量与去年相同,水费将比去年多__2_1_0元.
5.(2020·陕西)某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农科所的温室中生长,长到大约20 cm
时,移至该村的3大k棚+内,b=沿插1杆3继.2续,向上生长.研究k=表明-,600.天6内,,这种瓜苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所 则 5k+b=12, 解得 b=15, 示3乙..车(2匀02速0·前金往华A)某地地,区设山甲峰、的乙高两度车每距增A地加的1百路米程,为气y(温千大米约),降甲低车0.行驶的时间为x(时),y与x之间的函数图象如图所示. ∵(3)4当>甲0,、∴乙∴w两随T车m相关的距增于1大00而千h增米的大时,,函∴求当甲数m车=表行0驶时达的,时式w有间为最.小T值=, -0.6h+15 (那2)么现1甲1只市饭需(3碗要)摞蔬当起菜来2T6的0=吨高,度6乙更时市接需,近要( 6蔬=)菜4-40吨0..6设h从+A基1地5运,送解m吨得蔬菜h到=甲市15,.请问怎样调运可使总运费最少? D(2.)求王T浩关月于∴比h的赵该函明数阳山表提达峰前式1的.; 高度大约为 15 百米
B基地运140吨到乙市时,总运费最少为14760元 (2)求乙车出发后,y与x之间的函数关系式. D.王浩月比赵明阳提前1.
D(2.)当王这浩种9月瓜.比苗赵已长明到知阳大提约A前8,01.cmB时两,开地始开之花间结果有, 一条长240千米的公路.甲车从A地出发匀速开
八下数学第十九章一次函数19.2.2一次函数(共四课时全)
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法是,以厘米为单位量出身高值 h ,再减常数105,所得
差是 m的值;
m=h-105
(3)某城市的市内电话的月收费额 y(单位:元)包 括月租费22元和拨打电话 x min 的计时费(按0.1元/min
收取);
y=0.1x+22
(4)把一个长10 cm,宽5 cm的矩形的长减少 x cm, 宽不变,矩形面积 y(单位:cm2)随x的值而变化.
y=-5x+50(0≤x<10)
探究新知
观察以上出现的四个函数解析式,它们是不是正比例函 数,那么它们共同的特征如何表示呢?
(1) c = 7 t - 35 (2) m = h -105 (3) y = 0.1 x + 22 (4) y = -5 x + 50
y = k(常数)x + b(常数)
探究新知
(4)由v=16,得2t=16
t=8. 当t=8s时,小球的速度为16m/s
探究新知 利用一次函数的概念求字母的值
例1 已知函数y=(m-2)x+4-m2 (1)当m为何值时,这个函数是一次函数?
(2)当m为何值时,这个函数是正比例函数?
解:(1)由题意可得m-2≠0,解得m≠2. 即m≠2时,这个函数是一次函数.
-2 -1 O 1 2 3 x
描点
连线
观察与比较:
比较上面两个函数图象的相同点与不同点.填出你的观 察结果并与同伴交流.
这两个函数的图象形状都是 一条直线 ,并且倾斜
程度 相同 .函数y = -6x的图象经过原点,函数ห้องสมุดไป่ตู้ = -6x+5 的图象与y 轴交于点 (0,5) ,即它可以看作由直线y = -6x
初中数学 八年级下册 19-2-2-2一次函数的图像与性质(课件)
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y=-
1
连线.
0.5x+1 - O
我们用同样的方法也可以画出 1 -
函数y=-0.5x+1的图象:
1
点(0,1)
y=2x-1 12 x
点(1,0.5)
x
0
1
y=2x-1
-1
1
y=-0.5x+1
1
0.5
两点确定了一条直线, 那函数上的其它点是不 是都在这条直线上呢?
y=-
y
0.5x+1 1
点(0,1)
对函数图象有什么影响?
知识点 2 一次函数的性质
分别画出下面四个函数的图象.
y=x+1
y=-x+1
y=2x+1
y=-2x+l
观 察 观察图象,填写表格.
y=kx+b
b>0 k>0 b=0
b<0 b>0 k<0 b=0 b<0
图象经过的象限
一、二、三
一、三 一、三、四 一、二、四
二、四 二、三、四
y=2x-1
-O 1 2 x
11 点(1,0.5)
x
0
1
y=2x-1
-1
1
y=-0.5x+1
1
0.5
①y=2x-1
y=-
y 点(0.5,
0)
令x=-0.5,此时y= -2 点的坐标为 (-0.5,-2)
0,;.5x+1
1
y=2x-1
令x=0.5,此时y= 0 , 点的坐标为 (0.5,0) .
-O 1 2 x
y和x的变化
y随x的增大 而增大
y随x的增大 而减小
19.2.2 一次函数(4)
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y
1 O 2
y=
1 x 2
y
2 O 1
y=3x-1
x
x
-1
2、反思:你在作这两个函数图象时,分别 描了几个点?哪几个点?可以有不同取法吗?
函数解析式 即 Y=kx + b 选取 满足条件的两定点 (x1,y1)、(x2,y2) 画出 一次函数的图象 直线l
选取
函数解析式 即 Y=kx + b 解出 满足条件的两定点 (x1,y1)、(x2,y2)
7、已知一次函数的图像经过点A(2,-1) 和点B,其中点B是另一条直线 y 1 x 3 与 2 y轴的交点,求这个一次函数的表达式。
例3 已知2y-3与3x+1成正比例,且当x=2时, y=5 (1) 求y与x之间的函数解析式,并指出它 是什么函数? (2) 若点(a,2)在这个函数的图像上, 求a的值。
23 k b 36
∴解析式为y=2x-10 (2)由表可知某人穿38码的鞋,他的脚长是24cm
当x=25时,y=2x25-10=40,
∴脚长为25厘米应穿40码
如图,在平面直角坐标系内,一次函数 y=kx + b的图象分别与x轴和直线x=4交于 点A、B,直线x=4与x轴交于点C,△ABC 的面积为10,若A的横坐标为-1,求这 个一次函数的解析式。
选取
函数解析式 Y=kx + b 解出 满足条件的两定点 (x1,y1)、(x2,y2)
画出
一次函数的图象 直线l 选取
2、待定系数法的一般步骤:
设 列 解 写
再
见
正处在花季的同学们,随着身体的发 育,身高的不断升高,所穿的鞋码也在不 断地变大。研究表明鞋码y(码)是脚长x (cm)(指脚底的长度)的一次函数。某 班学生对鞋子的鞋码与脚长进行调查,获 得如下数据: 24. 26 脚长x(厘米) 22 23 24 5 鞋码y(码) 34 36 38 39 42 (1)求出y与x之间的函数关系式。(不 要求写出自变量x的取值范围) (2)某人穿38码的鞋,则他的脚长是多 少?若脚长为25厘米应穿多少码呢?
八年级数学下册第19章一次函数19.2一次函数19.2.2一次函数19.2.2.1一次函数的概念课件
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5.(2017湖南邵阳一模)一次函数y=kx+2(k为常数,且k≠0)的图象如图19-
2-2-1-2所示,则k的可能值为
.(写出一个即可)
答案 -2(答案不唯一)
图19-2-2-1-2
解析 观察图象可知,OB<OA,k<0.
当x=0时,y=kx+2=2,∴OA=2,
令OB=1,则点B(1,0),将(1,0)代入y=kx+2,得0=k+2,解得k=-2.
4
4
故当k=-1时,直线与x轴交于点
3 4
,
0
.
(4)当
1 2k
3k 1
0, 即
0,
1 3
<k<
1 2
时,直线经过第二、三、四象限.
(5)当1-3k=-3,2k-1≠-5,
即k= 4 时,已知直线与直线y=-3x-5平行.
3
方法归纳 对于一次函数y=kx+b,(1)判断k值符号的方法:①增减性法, 当y随x增大而增大时,k>0;反之,k<0.②直线升降法,当直线从左到右上升 时,k>0;反之,k<0.③经过象限法,直线过第一、三象限时,k>0;直线过第 二、四象限时,k<0.(2)判断b值符号的方法:与y轴交点法,即直线y=kx+b 若与y轴交于正半轴,则b>0;若与y轴交于负半轴,则b<0;若与y轴交于原 点,则b=0.
例3 下列函数图象中,不可能是关于x的一次函数y=mx-(m-3)的图象的 是( )
解析 一次函数y=mx-(m-3)中,x的系数m决定着直线从左至右呈上升或 下降的趋势,-(m-3)即3-m决定着直线与y轴的交点是在正半轴、负半轴 还是原点,这两个方面不得有矛盾之处,应该结合一次函数的图象进行 分析.
人教版八年级下册19.2.2《一次函数的图象和性质》教案
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最后,我想说,教学相长,同学们的反馈和表现也让我受益匪浅。希望在接下来的课程中,我们共同努力,共同进步,让数学成为我们解决问题的有力工具。
举例:讲解斜率k时,通过比较不同斜率的直线图象,让学生直观感受斜率与直线倾斜程度的关系;强调截距b时,通过图象在y轴上的不同位置,让学生理解截距b的含义。
2.教学难点
-斜率k、截距b的几何意义理解:学生往往难以将斜率k、截距b与直线图象的具体形态联系起来,需要通过实例和图形直观展示其关系;
-一次函数图象的绘制:学生可能对如何根据一次函数关系式准确绘制图象感到困惑,需要引导他们掌握图象绘制的步骤和技巧;
其次,在小组讨论环节,我发现有些同学参与度不高,可能是由于他们对一次函数的知识点还不够熟悉,或者是不知道如何表达自己的观点。针对这个问题,我打算在下一节课中,多给予一些提示和鼓励,让每个同学都能积极参与到讨论中来。
此外,我觉得在讲解斜率k和截距b的几何意义时,可以结合实际情境进行讲解,比如通过比较不同斜率的山坡、不同截距的工资计算等,让同学们更好地理解这些概念。
人教版八年级下册19.2.2《一次函数的图象和性质》教案
一、教学内容
人教版八年级下册19.2ห้องสมุดไป่ตู้2《一次函数的图象和性质》教案:
1.理解一次函数的图象特点,能绘制一次函数的图象;
2.掌握一次函数的性质,包括斜率k、截距b的几何意义;
3.能够运用一次函数的性质解决实际问题;
4.本章内容主要包括:
a.一次函数的图象及其特点;
三、教学难点与重点
人教版数学八年级下册《一次函数的图象与性质》PPT课件
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知2-练
(来自《典中点》)
知2-练
3 【中考·赤峰】将一次函数y=2x-3的图象沿y 轴向上平移8个单位长度,所得直线对应的函 数解析式为( B ) A.y=2x-5 B.y=2x+5 C.y=2x+8 D.y=2x-8
(来自《典中点》)
知识点 3
知3-导
一次函数y=kx+b(k≠0)的性质
做一做 在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=2x+3,
k
例2 画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象.
知1-讲
解:函数y=-6x与y=-6x+5中,自变量x可以是任意
实数.列表表示几组对应值(计算并填写表中空格).
x
-2 -1 0 1 2
y=-6x
0 -6
y=-6x+5
5 -1
画出函数y=-6x与y=-6x+5的
图象(如图).
(来自《教材》)
总结
由此可 知,一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)
具有如下性质:
当k>0时,y随x的增大而増大;
当k<0时,y随x的增大而减小.
(来自《教材》)
知3-练
1 直线y=2x-3与x轴交点坐标为__(__32__,__0_)__, 与y轴交点坐标为___(0_,__-__3_)__,象经过 __第__一__、__三__、__四___象限,y随x的增大而 ____增__大_____.
知3-导
探究 画出函数y=x+l,y=-x+l,y=2x+1,
y=-2x +1的图象.由它们联想:一次函数解析式 y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中,k的正负对函数图 象有什么影响?
(来自《教材》)
归纳
知3-导
观察前面一次函数的图象,可以发现规律:
19.2.2一次函数(4)

解:设一次函数的解析式为y=kx+b
根据题意可知图像过(-2,3)和(0,1)
例3、求下图中直线的函数解析 式. y
3 2 1
O
1
2
x
y
3 2 1
思路探究: 图(2)设直线的解析式是 y=kx+b ,因为此直线经 ________ ( 2, 0) 过点 ______ , _______ ,因 ( 0,3)
1
O
2
x 此将这两个点的坐标代 入
可得关于k,b方程组,从而 确定k,b的值,确定了解析
式。
解
设直线的解析式为y=kx+b.
∵经过点(2,0), (0,3),
∴
3 2k + b = 0 k = ∴ 2 b = 3 b = 3 3 ∴这条直线的解析式为 y = - x + 3
练习1 某景区集体门票的收费标准是:20人以 内(含20人)每人25元,超过20人的部分每人 10元. ①写出应收门票y(元)与游览人数x(不超过 20人)之间的关系式: y=25x ; ②写出应收门票y(元)与游览人数x(超过20 人)之间的关系式: y=10x+300 .
练习2 为缓解用电紧张,某电力公司特制定了 新的用电收费标准,每月用电量x(度)与应付 电费y(元)的关系如图所示.请回答:当每月用 电量不超过50度时,用电价格是 0.5元/度;当 每月用电量超过50度时,用电价格是 1元/度 .
解:⑴P在边AB、BC、CD上所对应的函数关 系不相同。 1 ①P在边AB上,0≤x<3时, y 2 4 x 2 x
1 ②P在边BC上,3≤x<7时, y 4 3 6 2
1 ③P在边CD上,7≤x≤10时, y 4(10 x) 2 x 20 2
人教版初中数学八年级下册19.2.2《一次函数的概念》教案

1.教学重点
-一次函数的定义:y=kx+b(k≠0,k、b是常数),这是本节课的核心内容,教师需通过讲解和示例,使学生深刻理解一次函数的基本形式。
-一次函数图像的特点:一次函数的图像是一条直线,教学中应通过绘制图像和观察,让学生掌握这一特点。
-一次函数的增减性:根据k的值判断函数图像的增减趋势,教师需引导学生通过实例分析,掌握增减性的判断方法。
五、教学反思
在今天的教学中,我尝试通过生活实例导入一次函数的概念,希望以此激发学生的兴趣。从课堂反应来看,大部分同学能够积极参与,但我也注意到有些学生在理解一次函数的定义上还存在困难。这让我意识到,对于基础概念的教学,需要更加细致和耐心。
在理论介绍环节,我尽力用简洁明了的语言解释一次函数的定义和图像特点,同时配合图示,希望让学生能够直观地理解。然而,从学生的提问和作业来看,对于k、b取值范围的理解仍然是他们的一个难点。未来,我考虑引入更多的实际例子,让学生在具体情境中感受这些参数的变化,以便更好地理解。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调一次函数的定义和图像特点这两个重点。对于难点部分,如k、b的取值范围和一次函数图像的绘制,我会通过举例和图示来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与一次函数相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示一次函数图像的绘制方法。
人教版初中数学八年级下册19.2.2《一次函数的概念》教案
一、教学内容
人教版初中数学八年级下册19.2.2《一次函数的概念》教案:
1.理解一次函数的定义:形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数,称为一次函数。
八年级数学一次函数课件-求一次函数的解析式
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数学
(2)∵△ABC的面积为4,
∴4=12BC×OA,即4=12BC×2. ∴BC=4. ∴OC=BC-OB=4-3=1. ∴C(0,-1). 设直线l2的解析式为y=kx+b. ቊ2kb+ =b-=10. ,解得ቐbk==-121,.
∴直线l2的解析式为y=12x-1.
八年级 下册
人教版
第4课时求一次函数的解析式
知识点1 待定系数法求一次函数的解析式 类型一 已知直线的解析式和图象上一点的坐标 【例题1】若函数y=3x+b的图象经过点(2,-6),求函数的 解析式. y=3x-12.
数学
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第4课时求一次函数的解析式
【变式1】若一次函数y=kx-3的图象经过点M(-2,1),求 这个一次函数的解析式. 解:∵一次函数y=kx-3的图象经过点 M(-2,1). ∴-2k-3=1.解得k=-2. ∴这个一次函数的解析式为y=-2x-3.
数学 人教版 八年级 下册
目 录
CONTENTS
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第4课时求一次函数的解析式
第十九章 一次函数
19.2 一次函数 第4课时求一次函数的解析式
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
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第4课时求一次函数的解析式
了解待定系数法的含义;能根据已知条件确定一次函数 的表达式;会用待定系数法确定一次函数的表达式.
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第4课时求一次函数的解析式
类型二 已知直线经过两个点的坐标 【例题2】一次函数y=kx+b的图象经过点(3,2)和点 (1,-2). (1)求这个函数的解析式; (2)判断(-5,3)是否在此函数的图象上.
人教版数学八年级下册19.2.2求一次函数的解析式课件
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∵图象过点_(2_,__5_), _(_1_,__3)
因为一次函数的一般形式
∴
2 k +b = 5 1 k+b = 3
是y你=kx能+b归(k纳≠0)出,:要求
出一次函数的解析式,关
求一次函数解析式
键是要确定 k 和 b 的值.
解得 k=_2__ b=__1_
的基本步骤吗?
因为图象过(2,5)
把k=1,b=2 代入 y = kx+b 中,
k的值
一个条件
确定一次函数的解析式y=kx+b,需求哪个值?需 要几个条件?
K、b的值 两个条件
总结:在确定函数解析式时,要求几个系数 就需要知道几个条件。
整理归纳
No
从数到形
Imag
函数解 选取 析式: y=kx+b (k≠0) 求出
满足条件 画出
的两点: (x1,y1)与 (x2,y2) 选取
两点法——两点确定一条直线
解析式的方法,叫做待定系数法. 新人教版 • 八年 级 《 数 学 ( 下) 》
两点法——两点确定一条直线
例:已知一次函数的图象经过点(3,5) 与点(-4,-9).求这个一次函数的
解析式. 解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 设
∵ 图象过点(3,5)与 点(-4,-9)
得一次函数解析式为__y__=__2_x_+_1_.
与(1,3)两点, 所以这两点的坐标必
适合解析式
解题的基本步骤: 1、已知一次函数y=kx+b,当x=1时,y=5,且它的图象与x轴交点的横坐标是6,求这个一次函数的解析式.
函数解析式:y=kx+b(k≠0)
19.2.2一次函数

∴ S△ AOB=
1 ×6×3=9. 2
感悟新知
知2-练
4-1.[中考·株洲]在平面直角坐标系中,一次函数y=5x+1的
图象与y轴的交点的坐标为( D )
A.(0,-1)
B.(- 1 ,0)
C.(
1
5 ,0)
5
D.(0,1)
感悟新知
知识点 3 一次函数图象的平移
知3-讲
1. 上、下平移 直线y=kx+b 向上平移n(n>0)个单位长度得到直线
y 随x 的增大而减小
与y 轴 交点 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点
的位置
感悟新知
特别提醒
知4-讲
●由k,b 的符号可以确定直线y=kx+b(k,b 是常数,
k ≠ 0) 所经过的象限;反之,由直线y=kx+b(k,b
是常数,k ≠ 0) 所经过的象限也可以确定k,b的
符号.
● k决定一次函数y=kx+b(k,b 是常数,k ≠ 0)的增
x 2
-3
与x
轴的交点为A,与y
轴的交点为
B,画出函数图象并求S△ AOB.
解题秘方:紧扣直线与两坐标轴的交点进行解答.
感悟新知
解:当x=0 时,y=-3,
知2-讲
∴点B 的坐标为(0,-3);
当y=0 时,x=-6,
∴点A 的坐标为(-6,0).
画出函数图象如图19.2-5 所示.
由图象可知,OA= ∣-6∣ =6,OB= ∣-3∣ =3,
第19章 一次函数
19.2 一次函数
19.2.2 一次函数
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
19.2.2一次函数图像和性质(第四课时)
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y
0
x
提问复习,引入新课
1、什么叫正比例函数、一次函数?它们之间 有什么关系? 一般地,形如 y=kx(k是常数,k≠0) 的函数,叫做正比例函数; 一般地,形如 y=kx+b(k,b是常数,k≠0) 的函数,叫做一次函数。 y=kx 当b=0时,y=kx+b就变成了 ,
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 2、正比例函数的图象是什么形状? 正比例函数的图象是 经过原点的一条直线 (
对于直线y=k1x+b1与直线 y=k2x+b2 比较下列一对一次函数的图象有什么共同点, 当k1=k2 , b1≠b2 时,两直线平行 ; 有什么不同点? 当k1 ≠ k2 , b1=b2 时,两直线相交于点(0,b) ; 直线(图象)平行 K相同 b不同
y 3 x 2 y 3x
K不同 b相同 直线(图象)相交
的函数值y随x的增大而增大,且图 象经过一、二、三象限,则k的取 0﹤k﹤1/2 值范围是__________.
11. 直线y=2x-3与x轴交点坐标为 (0,-3) (3/2,0) ______;与y轴的交点坐标为______;图 一、三、四象限,y随x的增大而 象经过________ 增大 ____ 12.若直线平行于直线y=-3x-5,则k= -3 ______ .
推广:
一条直线;
(1)所有一次函数y=kx+b的图象都是______ (3)直线 y=kx+b可以看作由直线y=kx 平移 b 个单位 而得到 _________ 当b>0,向上平移b个单位; 当b<0,向下平移b个单位。
互相平行 ; (2)直线 y=kx+b与直线y=kx__________
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第4课时一次函数与实际问题1.根据问题及条件找出能反映出实际问题的函数;(重点)2.能利用一次函数图象解决简单的实际问题,能够将实际问题转化为一次函数的问题.(重点)一、情境导入联通公司手机话费收费有A套餐(月租费15元,通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设A套餐每月话费为y1(元),B套餐每月话费为y2(元),月通话时间为x(分钟).(1)分别表示出y1与x,y2与x的函数关系式;(2)月通话时间为多长时,A、B两种套餐收费一样?(3)什么情况下A套餐更省钱?二、合作探究探究点:一次函数与实际问题【类型一】利用一次函数解决最值问题广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克,这两种水果的进价、售价如表所示:进价(元/千克)售价(元/千克)甲种58乙种913(1)若该水果店预计进货款为1000元,则这两种水果各购进多少千克?(2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍,应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多?此时利润为多少元?解析:(1)根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克,进而利用该水果店预计进货款为1000元,列出等式求出即可;(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润,再利用一次函数增减性得出最大值即可.解:(1)设购进甲种水果x千克,则购进乙种水果(140-x)千克,根据题意可得5x +9(140-x)=1000,解得x=65,∴140-x =75(千克).答:购进甲种水果65千克,乙种水果75千克;(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元,乙种水果每千克利润为4元.设总利润为W,由题意可得W=3x+4(140-x)=-x+560.∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍,∴140-x≤3x,解得x≥35.∵-1<0,∴W随x的增大而减小,则x越小W越大.∴当x=35时,W最大=-35+560=525(元),140-35=105(千克).答:当购进甲种水果35千克,购进乙种水果105千克时,此时利润最大为525元.方法总结:利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键.【类型二】利用一次函数解决有关路程问题为倡导低碳生活,绿色出行,某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动.自行车队从甲地出发,途经乙地短暂休息完成补给后,继续骑行至目的地丙地,自行车队出发1h后,恰有一辆邮政车从甲地出发,沿自行车队行进路线前往丙地,在丙地完成2h装卸工作后按原路返回甲地,自行车队与邮政车行驶速度均保持不变,并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍,如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地的时间x (h)的函数关系图象,请根据图象提供的信息解答下列各题:(1)自行车队行驶的速度是________km/h ;(2)邮政车出发多久与自行车队首次相遇?(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远?解析:(1)由“速度=路程÷时间”就可以求出结论;(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度,再由追及问题设邮政车出发a h 与自行车队首次相遇建立方程求出其解即可;(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标,由自行车的速度就可以求出D 的坐标,由待定系数法求出BC ,ED 的解析式就可以求出结论.解:(1)由题意得自行车队行驶的速度为72÷3=24(km/h).(2)由题意得邮政车的速度为24×2.5=60(km/h).设邮政车出发a h 与自行车队首次相遇,由题意得24(a +1)=60a ,解得a =23.答:邮政车出发23h 与自行车队首次相遇;(3)由题意得邮政车到达丙地的时间为135÷60=94(h),∴邮政车从丙地出发返回甲地前共用时为94+2+1=214(h),∴B (214,135),C (7.5,0).自行车队到达丙地的时间为135÷24+0.5=458+0.5=498(h),∴D (498,135).设直线BC 的解析式为y 1=k 1+b 1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135=214k 1+b 1,0=7.5k 1+b 1,解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1=-60,b 1=450.∴y 1=-60x +450.设ED 的解析式为y 2=k 2x +b 2,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72=3.5k 2+b 2,135=498k 2+b 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2=24,b 2=-12,∴y 2=24x -12.当y 1=y 2时,-60x +450=24x -12,解得x =5.5.y 1=-60×5.5+450=120.答:邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结:本题考查了行程问题的数量关系的运用,待定系数法求一次函数的解析式的运用,一次函数与一元一次方程的运用,解答时求出函数的解析式是关键.【类型三】 利用一次函数解决图形面积问题如图①,底面积为30cm 2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”,现向容器内匀速注水,注满为止,在注水过程中,水面高度h (cm)与注水时间t (s)之间的关系如图②所示.请根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)圆柱形容器的高为多少?匀速注水的水流速度(单位:cm 3/s)为多少?(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm 2,求“几何体”上方圆柱的高和底面积.解析:(1)根据图象,分三个部分:注满“几何体”下方圆柱需18s ;注满“几何体”上方圆柱需24-18=6(s),注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42-24=18(s).再设匀速注水的水流速度为x cm 3/s ,根据圆柱的体积公式列方程,再解方程;(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm,根据圆柱的体积公式得a·(30-15)=18×5,解得a=6,于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm,设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2,根据圆柱的体积公式得5×(30-S)=5×(24-18),再解方程即可.解:(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm,两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm,水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42-24=18(s),这段高度为14-11=3(cm).设匀速注水的水流速度为x cm3/s,则18·x=30×3,解得x=5,即匀速注水的水流速度为5cm3/s;(2)由图②知“几何体”下方圆柱的高为a cm,则a·(30-15)=18×5,解得a=6,所以“几何体”上方圆柱的高为11-6=5(cm).设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2,根据题意得5×(30-S)=5×(24-18),解得S=24,即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结:本题考查了一次函数的应用:把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系,然后运用方程的思想解决实际问题.【类型四】利用一次函数解决销售问题某社区活动中心准备购买10副某种品牌的羽毛球拍,每副球拍配x(x≥2)个羽毛球,供社区居民免费借用.该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售,且每副球拍的标价均为30元,每个羽毛球的标价为3元,目前两家超市同时在做促销活动:A超市:所有商品均打九折(按标价的90%)销售;B超市:买一副羽毛球拍送2个羽毛球.设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A(元),在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B(元).请解答下列问题:(1)分别写出y A、y B与x之间的关系式;(2)若该活动中心只在一家超市购买,你认为在哪家超市购买更划算?(3)若每副球拍配15个羽毛球,请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案.解析:(1)根据购买费用=单价×数量建立关系就可以表示出y A、y B的解析式;(2)分三种情况进行讨论,当y A=y B时,当y A >y B时,当y A<y B时,分别求出购买划算的方案;(3)分两种情况进行讨论计算求出需要的费用,再进行比较就可以求出结论.解:(1)由题意得y A=(10×30+3×10x)×0.9=27x+270;y B=10×30+3(10x-20)=30x+240;(2)当y A=y B时,27x+270=30x+240,得x=10;当y A>y B时,27x+270>30x+240,得x<10.∵x≥2,∴2≤x<10;当y A <y B时,27x+270<30x+240,得x>10;∴当2≤x<10时,到B超市购买划算,当x =10时,两家超市一样划算,当x>10时,在A超市购买划算;(3)由题意知x=15,15>10,∴只在一家超市购买时,选择A超市划算,y A=27×15+270=675(元).在两家超市购买时,先选择B超市购买10副羽毛球拍,送20个羽毛球,然后在A超市购买剩下的羽毛球:(10×15-20)×3×0.9=351(元),共需要费用10×30+351=651(元).∵651元<675元,∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍,然后在A超市购买130个羽毛球.方法总结:本题考查了一次函数的解析式的运用,分类讨论的数学思想的运用,方案设计的运用,解答时求出函数的解析式是关键.【类型五】利用图表信息解决实际问题某工厂生产甲、乙两种不同的产品,所需原料为同一种原材料,生产每吨产品所需原材料的数量和生产过程中投入的生产成本的关系如表所示:产品甲乙原材料数量(吨)12生产成本(万元)42若该工厂生产甲种产品m 吨,乙种产品n 吨,共用原材料160吨,销售甲、乙两种产品的利润y (万元)与销售量x (吨)之间的函数关系如图所示,全部销售后获得的总利润为200万元.(1)求m 、n 的值;(2)该工厂投入的生产成本是多少万元?解析:(1)求出甲、乙两种产品每吨的利润,然后根据两种原材料的吨数和全部销售后的总利润,列出关于m 、n 的二元一次方程组,求解即可;(2)根据“生产成本=甲的成本+乙的成本”,列式计算即可得解.解:(1)由图可知,销售甲、乙两种产品每吨分别获利6÷2=3(万元)、6÷3=2(万元).根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m +2n =160,3m +2n =200,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =20,n =70; (2)由(1)知,甲、乙两种产品分别生产20吨、70吨,所以投入的生产成本为20×4+70×2=220(万元).答:该工厂投入的生产成本为220万元. 方法总结:本题考查了一次函数的应用,主要利用了列二元一次方程组解决实际问题,根据表格求出两种产品每吨的利润,然后列出方程组是解题的关键.三、板书设计1.利用一次函数解决最值问题 2.利用一次函数解决有关路程问题 3.利用一次函数解决图形面积问题 4.利用一次函数解决销售问题 5.利用图表信息解决实际问题本节课的设计,力求体现新课程改革的理念,结合学生自主探究的时间,为学生营造宽松、和谐的氛围,让学生学得更主动、更轻松,力求在探索知识的过程中,培养学生的探索能力和创新能力,激发学生学习的积极性.在学生选择解决问题的诸多方法的过程中,不过多地干涉学生的思维,而是通过引导学生自己去探究来选择合适的办法解决问题.。