北京四中考试试卷

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2024年北京四中高三(上)期中数学试题及答案

2024北京四中高三（上）期中数学（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知全集R U =，集合{}240A x x =−<，{}1B x x =≥，则()UA B ⋂=（）A. ()1,2B. ()2,2−C. (),2∞−D. ()2,1−2. 不等式111x x >−的解集为（） A. (0,)+∞ B. (1,)+∞ C. (0,1)D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3. 已知边长为2的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，则AE BC ⋅=（） A. 2B. 2−C. 1D. 1−4. 已知函数()23f x x x=−−，则当0x <时，()f x 有（）A. 最大值3+B. 最小值3+C. 最大值3−D. 最小值3−5. 设,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称.若2cos23α=，则cos β=（）A.19B. 19−C.9 D. 9−7. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q 与时间t （单位：年）的关系为0e t aQ Q−=，其中0Q 是臭氧的初始含量，a 为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再．经过n 年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n 约为（）（参考数据：ln 20.7≈，ln10 2.3≈） A. 280B. 300C. 360D. 6408. 已知函数()1,2,x x x af x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（）A. (,0]−∞B. [0,1]C. [0,)+∞D. (,1]−∞9. 已知0a >，记sin y x =在[],2a a 的最小值为a s ，在[]2,3a a 的最小值为a t ，则下列情况不可能的是（）A. 0a s >，0a t >B. 0a s <，0a t <C. 0a s >，0a t <D. 0a s <，0a t >10. 已知在数列{}n a 中，1a a =，命题:p 对任意的正整数n ，都有12nn n a a a +=−．若对于区间M 中的任一实数a ，命题p 为真命题，则区间M 可以是（） A. ()3,4 B. ()2,3 C. 3216,115⎛⎫⎪⎝⎭ D. 832,311⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知复数5i2iz =−，则z =______. 12. 已知函数()33log ,0,,0.x x f x x x >⎧=⎨<⎩若()()273f f a =，则a =______. 13. 已知幂函数y x α=的图像经过()0,0A ，()1,1B ，()1,1C −，()4,2D 中的三个点，写出满足条件的一个α的值为______. 14. 在ABC 中，1tan 4A =，3tan 5B =.（1）C ∠=_____；（2）若ABC，则最短边的长为______.15. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M −.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.给出下列命题：①“函数()f x A ∈”的充要条件是“t R ∀∈，关于x 的方程()f x t =都有实数解”； ②“函数()f x B ∈”的充要条件是“()f x 既有最大值，也有最小值”； ③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈，则()g x B ∈；④若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉.其中，正确命题的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.16. 已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.记()f x 的最小正周期为T ，()2f T =−. （1）求ϕ的值；（2）若()f x 与x 轴相邻交点间的距离为π2，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. 在ABC 中，2cos 2c A b a =−.（1）求C ∠的大小；（2）若c =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC 的面积为条件②：1b a −=；条件③：1sin sin 2B A −=. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18. 已知函数()()2121ln 22f x x x x x =+−−. （1）求()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()f x x a '<−+有解，求实数a 的取值范围.19. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，C 的长轴长为4，焦距为过定点(),0T t （2t ≠±）作与x 轴不重合的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .（1）求C 的方程；（2）是否存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由. 20. 已知函数()e xf x x ax =−，R a ∈.（1）当e a =时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若函数()f x 是单调递增函数，求a 的取值范围；（3）当0a ≥时，是否存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.21. 已知集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅，其中*N n ∈，1A ，2A ，…，m A 是A 的互不相同的子集.记i A 的元素个数为i M （1,2,,i m =⋅⋅⋅），ij A A 的元素个数为ij N （1i j m ≤<≤）.（1）若4n =，3m =，{}11,2A =，{}21,3A =，13231N N ==，写出所有满足条件的集合3A （结论不要求证明）；（2）若5n =，且对任意的1i j m ≤<≤，都有0ij N >，求m 的最大值；（3）若给定整数7n ≥，3i M ≤（1,2,,i m =⋅⋅⋅）且对任意1i j m ≤<≤，都有1ij N =，求m 的最大值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 【答案】D【分析】先求出集合A ，然后求出UB ，进而求得()U A B ⋂.【详解】由240x −<，得22x −<<，所以{}|22A x x =−<<, 因为{}|1B x x =≥，所以{}|1UB x x =<,所以(){}|21UA B x x ⋂=−<<.故选：D. 2. 【答案】C【分析】根据题意，由条件可得10(1)x x −>−，即可得到结果.【详解】111x x >−，则11101(1)x x x x −−=>−−，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1．故选：C3. 【答案】A【分析】找基底分别表示,AE BC ，然后计算即可. 【详解】由题可知，111222AE AC AB AD ==+,BC AD =, 所以2111122222AE BC AB AD AD AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭故选：A 4. 【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由题意当0x <时，()()233f x x x ⎡⎤⎛⎫=+−+−≥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，等号成立当且仅当x = 故选：B. 5. 【答案】D【详解】若0,2a b ==−，则22a b <，故不充分；若2,0a b =−=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D.考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键. 6. 【答案】A【分析】根据对称得2k βππα=+−，再结合二倍角的余弦公式和诱导公式即可. 【详解】由题意2,Z k k αβππ+=+∈，即2k βππα=+−，而2221cos 2cos 121239αα⎛⎫=−=⨯−=− ⎪⎝⎭，()1cos cos 2cos 9k βππαα=+−=−=．故选：A ． 7. 【答案】C【分析】根据题意建立等式，然后化简求解即可. 【详解】由题可知，28028000000.5,0ee.2an aQ Q Q Q −−+== ，即280280ln 2,ln 5na a+==，两式相比得280ln 5ln10ln 2280ln 2ln 2n +−== 解得360n ≈ 故选：C 8. 【答案】B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数a 的取值进行分类讨论即可. 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示：由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论：当a<0时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ；同理当1a >,值域也不是R ；当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ；综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤. 故选：B 9. 【答案】D【分析】先取特殊值，判断可能得选项，然后综合选项得到答案即可. 【详解】由题可知，0a >，区间[],2a a 与[]2,3a a 的区间长度相同；取π6a =，则[][]ππππ,2,,2,3,6332a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s >，0a t >，故A 可能；取7π6a =，则[][]7π7π7π7π,2,,2,3,6332a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s <，0a t <，故B 可能；取5π12a =，则[][]5π5π5π5π,2,,2,3,12664a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s >，0a t <，故C 可能；由三角函数性质可知，假设0a s <，0a t >成立，必然有πa >，所以区间[],2a a 与[]2,3a a 的区间长度大于π，根据sin y x =的函数图象可知，当区间长度大于π，sin y x =在区间[],2a a 与[]2,3a a 上的取值必然有正有负，此时0a s <，0a t <，故与假设矛盾，故D 不可能. 故选：D 10. 【答案】D【分析】根据递推关系分析式子要有意义，数列中的项不能取那些值即可求解. 【详解】p 为真命题，则2n a ≠，由2n a ≠从后往前推，14n a −≠，283n a −≠, 3165n a −≠,43211n a −≠,,n k a −,而8(2,3)3∈，排除，16(3,4)5∈,排除，由蛛网图可知3n k a −→,而63321,115∈⎛⎫⎪⎝⎭，n a 之前的项会趋向于3，所以C 项排除. 因为()24832,,311n n a a −−⎛⎫= ⎪⎝⎭，已经越过不能取的值，故正确.故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【分析】根据复数的除法和模的公式即可. 【详解】()()()5i 2i 5i 10i 512i 2i 2i 2i 5z +−====−+−−+，则z ==.. 12. 【答案】3【分析】首先求出()273f =，再对a 分类讨论即可. 【详解】()327log 273f ==，则()33f a =，()1f a =，当0a >时，由3log 1a =，得3a =；当0a <时，由31a =，得1a =.（舍去）故答案为：3 13. 【答案】{}1N 21,Z 2k k αα⎧⎫∈=−∈⋃⎨⎬⎩⎭（取该集合中的任意一个元素均算正确）【分析】分类讨论过点D 和不过点D 的幂函数即可. 【详解】幂函数都经过点()1,1B ；若该幂函数经过点D ，可得1242αα=⇒=，该幂函数方程为y =()0,0A ， ()1,1B ，()4,2D ；若该幂函数不过点D ，则12α≠，此时过点()0,0A ，()1,1B ，()1,1C −，显然{}N 21,Z k k ααα∈∈=−∈. 故答案为：{}1N 21,Z 2k k αα⎧⎫∈=−∈⋃⎨⎬⎩⎭（取该集合中的任意一个元素均算正确）14. 【答案】 ①.3π4②【分析】（1）利用三角形三内角和为π计算即可；（2）先确定最长边和最短边，然后利用正弦定理计算即可. 【详解】（1）由题可知()tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B+=−+=−=−−所以3π4C ∠=；（2）由题可知，最长边为边c =a ；易知sin ,sin 172A C ==由正弦定理可知，sin sin ca A C==故答案为：3π4； 15. 【答案】①③④【分析】①中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；②中举反例保证函数的值域为集合[],M M −的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；③根据反证法可判断；④中根据函数的值域，可以发现()()f x g x +∈R ，从而发现命题正确；【详解】对①，“()f x A ∈”即函数()f x 值域为R ，“t ∀∈R ，关于x 的方程()f x t =都有实数解”表示的是函数可以在R 中任意取值，命题①是真命题；对②，若函数()f x B ∈，即存在一个正数M ，使得函数()f x 的值域包含于区间[],M M −． ()M f x M ∴−≤≤．例如：函数()f x 满足2()5f x −<<，则有5()5f x −≤≤，此时，()f x 无最大值，无最小值．命题②是假命题；对③，若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈，则()f x 值域为R ，即()(,)f x ∈−∞+∞，()()f x g x M ≤，若()g x B ∉，则对任意的正实数()1u u >，总存在1X ，当1x X >时，()g x u >，而()f x A ∈，故存在2X ，当2x X >时，()f x u >，故当{}12max ,x X X >时，有()()2f xg x u u >>，这与()()f x g x M ≤矛盾，故()g x B ∈,故命题③是真命题．对④，若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()f x 值域为R ，即()(,)f x ∈−∞+∞，并且存在一个正数M ，使得()M g x M −≤≤，()()f x g x ∴+∈R ，则()()f x g x B +∉．命题④是真命题．故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.三、解答题共6小题，共85分.16. 【答案】（1）π3ϕ=−（2）()f x 的最小值为()f x的最大值为1【分析】（1）首先利用和差公式进行化简，再结合正弦型函数的周期性以及()2f T =−即可求得ϕ的值；（2）首先根据题意得出()f x 的最小正周期，进而可得()πsin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的图像与性质即可求得最值. 【小问1详解】由两角和与差的正弦公式可得()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+, 由于0ω>，则()f x 的最小正周期为2πT ω=，()()2sin sin 2πsin 2f T πωϕϕϕω⎛⎫=+=+==−⎪⎝⎭, 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=−；【小问2详解】因为()f x 与x 轴相邻的两交点间的距离为π2，所以()πsin 3f x x ω⎛⎫=− ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2π2πω==，即()πsin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像与性质可得：当ππ233x −=−即x =0时，()f x 取最小值2−, 当ππ232x −=即5π12x =时，()f x 取最大值1. 17. 【答案】（1）π3（2）选①时三角形不存在；选②时AC 边上的中线的长为1；选③时AC 边上的中线的长为1. 【分析】（1）由正弦定理及sin sin cos cos sin B A C A C =+得到1cos 2C =，结合()0,πC ∈，得到π3C =；（2）选①，由三角形面积和余弦定理得到2211a b +=，由222a b ab +≥推出矛盾；选②，先求得2ab =，则可得1,2a b ==，再利用余弦定理求解即可得中线长. 选③，根据三角恒等变换得到π6A =，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC ，求出中线. 【小问1详解】由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =−，得2sin cos 2sin sin C A B A =−.（i ）因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+.（ii ）由（i ）（ii ）得2sin cos sin 0A C A −=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =.因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】选①，ABC 的面积为1sin 2ab C =，即4ab =8ab =，因为c =，由余弦定理得222cos 2a b c C ab+−=，即2231162a b +−=，解得2211a b +=，由基本不等式得222a b ab +≥，但1128<⨯，故此时三角形不存在，不能选①，选条件②：1b a −=，两边平方得2221a b ab +−=，（iii ）由余弦定理得223122a b ab +−=，即223a b ab +−=，（iiii ）联立（iii ）（iiii ）得2ab =，所以1,2a b ==，设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+−⋅2242b ab a =+−1=. 所以AC 边上的中线的长为1. 选条件③：1sin sin 2B A −=. 由（1）知，π33ππ2B A A ∠=−−∠=−∠.所以2π1sin sin sin sin cos sin sin 322B A A A A A A ⎛⎫−=−−=+−⎪⎝⎭1cos sin 22A A =−π=sin 3A ⎛⎫− ⎪⎝⎭.所以π1sin 32A ⎛⎫−=⎪⎝⎭. 因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭. 所以π3π6A −=，即π6A =. 所以ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =，所以2sin sin 3AB AC C ===. 所以AC 边上的中线的长为112AC =. 18. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(0,1)，()f x 的单调递减区间(1,)+∞ （2）22ln 2a >−【分析】（1）求出函数的定义域，1()2ln f x x x x '=+−，设1()2ln h x x x x=+−，2'2(1)()0−=−≤x h x x恒成立，由(1)0h =，利用导数与函数单调性的关系即可求解. （2）令1()2ln g x x a x=+−，利用导数求出()g x 的最小值，使()min 0g x <，解不等式即可求解. 【小问1详解】定义域为{|0}x x >，1()2ln f x x x x'=+−，设1()2ln h x x x x=+− 2'2(1)()0−=−≤x h x x恒成立所以()h x 在()0,+∞上是减函数，且(1)0h = 则当(0,1)x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，则当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)，()f x 的单调递减区间(1,)+∞ 【小问2详解】由（1）知1()2ln f x x x x'=+−，所以1()2ln '+−=+−f x x a x a x ，令1()2ln g x x a x=+−， 222121()x g x x x x−'=−=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上的最小值为112ln 222ln 222g a a ⎛⎫=+−=−−⎪⎝⎭，所以若关于x 的不等式()0g x <有解，则22ln 20a −−<，即22ln 2a >−19. 【答案】（1）2214x y +=（2）存在，1t =或4t =【分析】（1）由题可知，24,2a c ==，然后利用,,a b c 的关系求解即可.（2）先设直线PQ 的方程为x my t =+，()()1122,,,P x y Q x y ，然后直线方程与椭圆方程联立，计算得到212122224,44mt t y y y y m m −−+==++，然后求出1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，再计算OM ON 的值，化简最后求出t 即可. 【小问1详解】由题可知，24,2a c ==得2,1a c b ====所以椭圆C 的方程为2214x y +=【小问2详解】由题可知，直线PQ 不能水平，A (−2,0)设直线PQ 的方程为x my t =+，()()1122,,,P x y Q x y联立()22222142404x y m y mty t x my t ⎧+=⎪⇒+++−=⎨⎪=+⎩所以Δ=(2mt )2−4(m 2+4)(t 2−4)=16(m 2−t 2+4)>0212122224,44mt t y y y y m m −−+==++ 直线AP 方程为y =y 1x 1+2(x +2)所以1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭所以()()121212122242222y y y y OM ON x x my t my t =⨯=++++++ ()()()()()221222222121222444442222244t y y m t mt m y y m t y y t m m t t m m −+==−−+++++++++++()()()()22242222224t t t m t m t t m −−==+−−+++ 若13OM ON ⋅=，得4t =或1t =当4t =时，Δ=16(m 2−12)>0，得m >m <− 当1t =时，Δ=16(m 2+3)>0恒成立，所以存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13，1t =或4t =. 20. 【答案】（1）e e y x =− （2）21e a ≤−（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）按照求具体函数在某点处的切线方程的方法求解即可；（2）先求导，然后利用导函数大于等于零恒成立，参变分离，求参数的范围即可；（3）先判断函数()e xf x x ax =−的单调性的情况，然后再判断不存在即可.【小问1详解】由题得()e e xf x x x =−所以()()10,e e e xxf f x x ==+−'所以()1e f '=所以在点(1,f (1))处的切线方程为e e y x =−. 【小问2详解】由题得()()1e xf x x a =+−'要使函数()f x 是单调递增函数，则()()1e 0xf x x a '=+−≥恒成立，即()1e xa x ≤+恒成立，令()()1e xg x x =+得()min a g x ⎡⎤≤⎣⎦，()()2e xg x x ='+令()()2e 0xg x x =+='，得2x =−显然，当2x <−时，()0g x '<，所以函数()()1e xg x x =+单调递减；当2x >−时，()0g x '>，所以函数()()1e xg x x =+单调递增；故()()2min12e g x g ⎡⎤=−=−⎣⎦所以21e a ≤−【小问3详解】不存在，理由如下，由题得()()1e xf x x a =+−'因为0a ≥，显然当1x ≤−时，()()1e 0xf x x a '=+−≤，f ′(a )=(1+a )e a −a >0由（2）可知，()()f x g x a '=−在()2,∞−+单调递增，所以()()1e xf x x a =+−'在R 上由唯一的零点[)01,x a ∈−当0x x <时，f ′(x )<0，所以()f x 单调递减；当0x x >时，f ′(x )>0，所以()f x 单调递增；所以当0a ≥时，不存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==. 21. 【答案】（1）3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A = （2）max 16=m （3）max m n =【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可；（2）将集合{1,2,3,4,5}A =的子集进行两两配对得到16组，写出选择A 的16个含有元素1的子集即可得到max m ；（3）分1~m A A 中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及1~m A A 均为三元集合讨论即可. 【小问1详解】因为13231N N ==，则13A A ⋂和23A A 的元素个数均为1，又因为{}{}124,1,2,1,3n A A ===，则{}1,2,3,4A =，若{}131A A ⋂=，{}231A A ⋂=，则3{1}A =或3{1,4}A =；若{}132A A ⋂=，{}233A A ⋂=，则3{2,3}A =或3{2,3,4}A =；综上3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A =. 【小问2详解】集合{1,2,3,4,5}A =共有32个不同的子集，将其两两配对成16组,(1,2,,16)i i B C i =，使得,i i i i B C B C A ⋂=∅⋃=，则,i i B C 不能同时被选中为子集(1,2,,)j A j m =，故16m ≤.选择A 的16个含有元素1的子集:12316{1},{1,2},{1,3},A A A A A ===⋯⋯=，符合题意. 综上，max 16=m . 【小问3详解】结论:max m n =，令123{1},{1,2},{1,3},,{1,}n A A A A n ====，集合1~n A A 符合题意.证明如下：①若1~m A A 中有一元集合，不妨设1{1}A =，则其它子集中都有元素1，且元素2~n 都至多属于1个子集，所以除1A 外的子集至多有1n −个，故m n ≤.②若1~m A A 中没有一元集合，但有二元集合，不妨设1{1,2}A =.其它子集分两类:{}1,j j B b =或{}1,,(1,2,,)j j b b j s '=，和{}2,j j C c =或{}2,,(1,2,,)j j c c j t '=，其中,,j j s t b b '≥互不相同，,j j c c '互不相同且均不为1，2.若0t =，则2s n ≤−，有11m s t n n =++≤−<若1t ≥，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都恰包含1C 中的1个元素（不是2)，且互不相同，因为1C 中除2外至多还有2个元素，所以2s ≤. 所以1122m s t n =++≤++<.③若1~m A A 均为三元集合，不妨设1{1,2,3}A =.将其它子集分为三类：{}{}{}1,,(1,2,,),2,,(1,2,,),3,,(1,2,,)j j j j j j j j j B b b j s C c c j t D d d j r '''======，其中s t r ≥≥. 若0t r ==，则32n s −≤(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合1~s B B )，所以3112n m s n −=+≤+<. 若1t ≥，不妨设1{2,4,5}C =，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都或者有4、或者有5，又12,,,s B B B 中除1外无其它公共元素，所以2s ≤.所以112227m s t r n =+++≤+++=≤. 综上，max m n =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对1~m A A 中集合元素个数进行分类讨论；当1~mA A均为三元集合时，不妨设1{1,2,3}A=，再将其它子集分为三类讨论.。

2024届北京四中初三2月开学考数学试题及答案

2024北京四中初三（下）开学考数学班级_____姓名_____学号_____1. 根据国家统计局统计结果，从北京冬奥会申办成功至2021年10月，全国参与冰雪运动的人数达到3.46亿，“带动三亿人参与冰雪运动”的承诺已经实现，这是北京冬奥会最大的遗产成果．将346000000用科学记数法表示应为（） A. 346×106B. 3.46×108C. 3.46×109D. 0.346×1092. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 三棱柱B. 长方体C. 圆锥D. 圆柱3. 实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. 0a b +>B. 0ab >C. a b >D. 0a b −>4. 下列图形中，内角和是外角和的二倍的多边形是（）A. B.C.D.5. 不透明的袋子中有3个小球，其中有1个红球，1个黄球，1个绿球，除颜色外3个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是（） A. 23B.13C.16D.196. 如果a b −=，那么代数222a b ab a a b ⎛⎫+−⋅ ⎪−⎝⎭的值为（）B. C.D. 7. 下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图，比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（）A. 甲同学成绩的平均分高，方差大B. 甲同学成绩的平均分高，方差小C. 乙同学成绩的平均分高，方差大D. 乙同学成绩的平均分高，方差小8. 如图，正方形ABCD 的边长是4，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上的一点，且 BE DF =，四边形AEND 和四边形AEGF 均为矩形，设BE 的长为x ，矩形AEND 的面积为1S ，矩形AEGF 的面积为2S ，则1S 与x ，2S 与x 满足的函数关系分别是（）A. 一次函数关系，二次函数关系B. 反比例函数关系，二次函数关系C. 一次函数关系，反比例函数关系D. 反比例函数关系，一次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9. 若代数15x +有意义，则实数x 的取值范围是_______．10. m <<m 是整数，请写出一个符合要求的m 的值_____． 11. 分解因式：2312m n n −= _______．12. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 2y x =−与双曲线 ky x=交于(),2A m 则 k 的值是_______． 13. 如图，点A ，B ，C 是O 上的三点．若=90AOC ∠︒，30BAC ∠=︒，则AOB ∠的度数为______．14. 在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数34，求甲乙两班各有多少人？设乙班有x 人，依题意，可列方程为_______．15. 如图所示的网格是正方形网格，,,,,A B C D E 是网格线交点，则 ACD 的面积与 BCE 的面积的大小关系为：ACD S_______BCES（填“>”“<”或“=”）．16. 某工厂用甲、乙两台设备加工,,A B C 三件产品，每件产品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工，每件产品在每台设备上所需要的加工时间如下图所示，则加工总时长最短为______分钟．三、解答题（共68分，第 17-20题每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）17. 计算：（12）﹣1﹣2cos30°+||﹣（3.14﹣π）0．18. 解不等式组：()3121122x x x x ⎧−<+⎪⎨−≤+⎪⎩．19. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +2）x +m +1＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个实数根互为相反数，求m 的值．20. 下面是小郭设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线 l 和直线外一点 P ．求作：过点P 作直线 l 的平行线．作法：如图， ①在直线l 上任取点O ； ②作直线PO ；③以点O 为圆心OP 长为半径画圆，交直线PO 于点A ，交直线 l 于点 B ； ④连接AB ，以点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交O 于点C （点A 与点C 不重合）；⑤作直线CP ；则直线CP 即为所求．根据小郭设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明并在括号内填写推理依据．证明：连接 BP BC ，．AB BC =，AB BC ∴=，APB ∠∠∴=_______（_______）． OB OP =，OBP OPB ∴∠=∠（_______）． CPB OBP ∠∠∴=，CP l ∴∥．21. 在菱形 ABCD 中，对角线 ,AC BD 相交于点 ,O E 为 AB 的中点，连接 OE 并延长到点F ，使EF OE =，连接 ,AF BF ．（1）求证：四边形AOBF 是矩形；（2）若310,tan 4AD AFO =∠=，求 AC 的长． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ()0y kx b k =+≠的图象由函数 2y x =的图象平移得到，且经过点 ()2,1．（1）求这个一次函数的解析式；（2）已知一次函数 ()0y mx m m =+≠．①无论 m 取何值，直线 ()0y mx m m =+≠都经过点________；②当2x <时，对于 x y mx m =+的值都大于一次函数y kx b =+的值，结合函数图象，直接写出 m 的取值范围．23. 为了增强同学们的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，某中学开展了形式多样的培训活动，为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了消防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格，学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a .抽取七年级20名学生的成绩如下： 66 87 57 96 79 67 89 97 77 100 80 69 89 95 58 98 69 78 80 89b .抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如下：（数据分成5组：5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）c .抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图：d .七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数如下表：（1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中a 的值；（2）该校八年级有学生200人，估计八年级测试成绩达到优秀的学生有多少人？（3）在七年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为m ；在八年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为n ．比较m ，n 的大小，并说明理由． 24. 如图，AB 为O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，D 为 O 上一点，连接,,CD ADC AOF OF AD ∠∠=⊥于点E ，交 CD 于点 F ．（1）求证：CD 是 O 的切线；（2）若2,2AC OA EF ==，求BD 的长．25. 如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O 和点A 处，测得OA 距离为6m ，若以点O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m 的B 处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线1C ：()232y a x =−+的一部分，小静恰在点()0,C c 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线2C ：21188ny x x c =−+++的一部分．（1）抛物线1C 的最高点坐标为______；（2）求a ，c 的值；（3）小林在x 轴上方1m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n 的整数值可为______． 26. 已知抛物线 ()230y axbx a =++≠．（1）若抛物线经过点 ()2,3．①求抛物线的顶点坐标（用含 a 的式子表示）； ②若点 (),2x 在抛物线上，求 a 的取值范围；（2）已知点 ()()1122,,,M x y N x y 为抛物线上的两点，若存在实数t ，对任意的122t x x t ≤<≤+，都有124y y −≤，直接写出 a 的取值范围．27. 已知等腰 ABC 中 ,AB AC D =为线段BC 上的一点且 AD CD =，点E 在线段CD 上（不与端点重合），以AE 为斜边向右侧作直角AEF △，连接CF 并延长交线段AB 的延长线于点 G ．（1）如图1，当=45ABC ∠︒时，若45,1,3EAF CE BE ∠=︒==，求线段AF 的长；（2）如图2，当()045ABC αα∠=<<时，若EAF ABC ∠=∠． ①依题意补全图形；②求证：点F 为线段CG 的中点． 28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为O 内一点，弦 AC BD ，相交于点 P ，如果 AC BD ⊥，则称,AC BD 互为点 P 的“正交弦”，即 AC 是 BD 的“正交弦”，BD 也是 AC 的“正交弦”，依次连接点 ,,,A B C D ，称四边形ABCD 为点 P 的“正交四边形”．（1）若O 的半径为5，弦 8AC =，则弦 AC 的“正交弦” BD 的最大值为_____，此时相应的“正交四边形”的面积为_______．（2）设O 的半径为4，①已知点()2,2,,P AC BD 为点 P 的“正交弦”，记 d AC BD =−，求 d 的取值范围；②直线 4y =+与O 交于 M N ，两点，当点 P 在 MN 上运动时（不与端点重合），直接写出点 P 的“正交四边形”面积的最大值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）1. 【答案】B【分析】346000000用科学记数法表示成10n a ⨯的形式，其中 3.46a =，8n =，代入可得结果．【详解】解：346000000的绝对值大于10表示成10n a ⨯的形式 ∵ 3.46a =，918n∴346000000表示成83.4610⨯ 故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定a n 、的值． 2. 【答案】A【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：A ．【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是熟记一些简单的几何体的三视图． 3. 【答案】C【分析】根据a ，b 在数轴上的位置，得302a b <−<<<，然后对四个选项逐一分析即可．【详解】A 、∵302a b <−<<<，∴a b >，0a b +<，故此选项错误； B 、∵302a b <−<<<，∴0ab <，故此选项错误； C 、∵302a b <−<<<，∴a b >，故此选项正确； D 、∵302a b <−<<<，∴0a b −<，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了数轴、绝对值、实数加减、乘法的综合应用，熟练掌握离原点越远绝对值越大；异号相加减，取绝对值较大的符号，再相加减；两数相乘，同号为正，异号为负是解此题的关键． 4. 【答案】D【分析】本题考查了多边形内角与外角，熟记公式并列方程求出多边形的边数是解题的关键．根据多边形的内角和公式()2180n −⋅︒以及多边形的外角和等于360︒列方程求出边数，从而得解．【详解】解：设多边形边数为n ，由题意得，()21802360n −⋅︒=⨯︒，解得6n =，所以，这个多边形是六边形．故选：D ．5. 【答案】D【分析】利用列表法或树状图法列出所有结果，找出满足条件的结果，即可得出结果．【详解】解：列表如下，∴P （两次都是红球）=19，故选：D ．【点睛】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． 6. 【答案】B【分析】本题考查分式的化简求值，利用分式化简法则将222a b ab a a b ⎛⎫+−⋅ ⎪−⎝⎭化简，再把a b −=代入即可，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．【详解】解：222a b ab a a b ⎛⎫+−⋅ ⎪−⎝⎭， 22222a b aaa ab ab ⎛⎫+=−⋅⎪−⎝⎭， ()22a b a aa b−=⋅−， 2a b−=，a b −=∴原式=，故选：B ． 7. 【答案】C【分析】本题考查了算术平均数、方差，分别计算甲、乙的平均分以及方差，然后比较即可，解题的关键在于正确的计算．【详解】解：10085908095905x ++++==乙；8590808580845x ++++==甲； ()()()()22222110090859080909590505S ⎡⎤=−+−+−+−=⎣⎦乙， ()()()2222128584908428084145S ⎡⎤=⨯−+−+⨯−=⎣⎦甲， ∴乙同学成绩的平均分高，方差大，故选：C ．8. 【答案】A【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、正方形的性质，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．先求出4AE x =−，4AF x =+，再根据矩形的面积公式即可得．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长是4，4AB AD ∴==，BE DF x ==，4AE AB BE x ∴=−=−，4AF AD DF x =+=+，∵矩形AEND 的面积为1S ，矩形AEGF 的面积为2S ，()144416x x S ∴=−=−+，()()224416x x S x =+−=−+，则1S 与x ，2S 与x 满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选：A ．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】5x ≠−【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．根据分式有意义的条件得出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：∵代数式15x +有意义， 50x ∴+≠，解得5x ≠−．故答案为：5x ≠−．10. 【答案】3或4【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，则这个数的算术平方根也越大）解决此题．【详解】解：79161725<<<<， ∴<<<< ∴345<<<．m ∴是3或4．故答案为：3或4．【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质解决此题．11. 【答案】()()322n m m +−【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式因式分解，熟练进行平方差公式因式分解是解题的关键．【详解】解：()()()2231234322m n n n m n m m −=−=+−，故答案为：()()322n m m +−．12. 【答案】2−【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，依据已知条件求出m 的值是解决本题的关键．根据正比例函数和反比例函数图象上的点的坐标特征代入即可求出k 的值．【详解】解：∵直线 2y x =−与双曲线 k y x=交于(),2A m ， 22m ∴=−， 1m ∴=−，即()1,2A −，21k ∴=−， 2k ∴=−，故答案为：2−．13. 【答案】30︒BOC ∠的度数，根据AOC ∠的度数求AOB AOC BOC ∠=∠−∠即可．【详解】解：∵30BAC ∠=︒，∴223060BOC BAC ∠=∠=⨯︒=︒，∵=90AOC ∠︒，∴906030AOB AOC BOC ︒︒︒∠=∠−∠=−=，故答案为：30︒．【点睛】本题考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得BOC ∠的度数是解题的关键．14. 【答案】256318024x x⋅=+ 【分析】本题考查分式方程的实际应用．根据乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数34，列出分式方程即可．【详解】解：设乙班有x 人，则甲班有()2x +人，由题意，得：256318024x x⋅=+；故答案为：256318024x x⋅=+． 15. 【答案】=【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．分别求出ACD 的面积与 BCE 的面积，即可求解．【详解】解：111453315249222ACD S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=，111373324179222BCE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=， .ACD BCE S S ∴=故答案为：=．16. 【答案】16【分析】本题考查用列举法选最优方案问题，学会分类讨论是正确解决本题的关键．把所有可能的结果列举出来计算作比较即可．【详解】解：按,,A B C 的顺序加工，需要465217+++=（分钟）；按,,A C B 的顺序加工，需要()()4676232519++−++−+=（分钟）；按,,B A C 的顺序加工，需要356216+++=（分钟）；按,,B C A 的顺序加工，需要()()3575242620++−++−+=（分钟）；按,,C A B 的顺序加工，需要()72426522++−++=（分钟）；按,,C B A 的顺序加工，需要()72325621++−++=（分钟）；161719202122<<<<<，∴加工总时长最短为16分钟，故答案为：16.三、解答题（共68分，第 17-20题每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）17. 1【分析】分别根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂计算出各数，再根据混合运算的法则进行计算；【详解】解：（12）﹣1﹣2cos30°+||﹣（3.14﹣π）0＝2﹣2×21＝21【点睛】此题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂，掌握相关运算法则是解题的关键．18. 【答案】54x −≤<【分析】分别求出两不等式的解集，根据：“大小小大中间找”确定不等式组解集．【详解】解：3(1)21122x x x x −<+⎧⎪⎨−≤+⎪⎩①② 由①得3321x x −<+，即4x <由②得124x x −≤+，即5x ≥−∴不等式组的解集为：54x −≤<【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．19. 【答案】（1）见解析（2）2m =−【分析】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝m +2，则由方程的两个实数根互为相反数得到m +2＝0，然后解得m 的值即可．【小问1详解】证明：∵Δ＝[﹣（m +2）]2﹣4（m +1）＝m 2+4m +4﹣4m －4＝m 2≥0，∴无论m 取何值，此方程总有两个实数根；【小问2详解】解：根据题意得x 1+x 2＝m +2，∵方程的两个实数根互为相反数，∴m +2＝0，解得m ＝﹣2，即m 的值为﹣2．【点睛】此题考查了根与系数的关系及根的判别式，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根，则x 1+x 2＝﹣b a，x 1x 2＝c a ，根据方程的两个实数根互为相反数列式是解题的关键． 20. 【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，（1）根据题意，补全图形即可；（2）利用圆周角定理和等腰三角形的性质，证明CPB OPB ∠=∠，即可解答；熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．【小问1详解】解：补全图形如下；【小问2详解】证明：连接 BP BC ，．AB BC =，AB BC ∴=，APB CPB ∴∠=∠（同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）． OB OP =，OBP OPB ∴∠=∠（等边对等角）． CPB OBP ∠∠∴=，CP l ∴∥．21.【答案】（1）见解析（2）12【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，（1）首先证明四边形AOBF 是平行四边形，再由菱形ABCD 的性质得90AOB ∠=︒即可推出四边形是矩形；（2）首先根据矩形对角线相等和菱形的四边相等可以求得10AD AB ==，然后在直角三角形AOF 中，解直角三角形可以求出AO 的长，从而得到AC 的长；灵活运用上述性质解决问题是本题的关键．【小问1详解】证明：E 为 AB 的中点，EF OE =，∴四边形AOBF 是平行四边形，四边形ABCD 是菱形，90AOB ∠=︒，∴平行四边形AOBF 是矩形；【小问2详解】解：四边形ABCD 是菱形，10AB AD ∴==，四边形AOBF 是矩形，10FO AB ∴==，90FAO ∠=︒设3AO x =，3tan 4AFO ∠=， 4AF x ∴=，根据勾股定理可得222FO AF AO =+，即22100916x x =+，解得2x =±，236AO ∴=⨯=，212AC AO ∴==．22. 【答案】（1）23y x =−（2）①()1,0−；②123m ≤≤ 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，利用数形结合是解题的关键．（1）先根据直线平移时k 的值不变得出2k =，再将点()21，代入，求出b 的值，即可得到一次函数的解析式；（2）①将y mx m =+变形成()1y m x =+，令10x +=即可得出定点；②先把2x =代入y kx b =+，再把点()21，代入y mx m =+求得13m ，然后结合图象即可求出答案．【小问1详解】解：一次函数 ()0y kx b k =+≠的图象由函数 2y x =的图象平移得到，2k ∴=，将点 ()2,1代入2y x b =+，得14b =+，解得3b =−，∴一次函数的解析式为23y x =−；【小问2详解】解：①由y mx m =+得()1y m x =+，令10x +=，1x ∴=−，∴无论 m 取何值，直线 ()0y mx m m =+≠都经过点()1,0−，故答案为：()1,0−；②当2x <时，对于 x 的每一个值，函数 y mx m =+的值都大于一次函数y kx b =+的值，把2x =代入23y x =−，即2231y =⨯−=，把点()21，代入y mx m =+，得12m m =+，解得13m =， ∵当2x <时，对于x 的每一个值，都有函数y mx m =+的值都大于一次函数23y x =−的值， 123m ∴≤≤． 23. 【答案】（1）图见解析，80（2）60人（3）m n <，理由见解析【分析】（1）先找出七年级6070x ≤<的人数，补全条形统计图，再根据中位数的定义求出a 的值；（2）先求出抽取的八年级20名学生成绩的优秀率，再乘以八年级总人数即可；（3）由扇形统计图可知八年级80分及以上的学生有10人，设八年级第十名的成绩为x ，第十一名的成绩为80b −，根据中位数是81可得80812x b +−=⨯，则82x b =+，再根据八年级20名学生成绩的平均数是82，可得第十名的成绩高于他们的平均分，第十一名的成绩低于他们的平均分，由此得出n 的值，即可比较．【小问1详解】解：七年级6070x ≤<的人数为4人，补全频数分布直方图如下将七年级20名学生的成绩按从高到低排序，第10名和第11名都是80分，因此中位数是80，表中a 的值为80．【小问2详解】解：抽取的八年级20名学生成绩的优秀率为 18072100%30%360−⨯=，此次八年级测试成绩达到优秀的学生为20030%60⨯=（人）．【小问3详解】解：由抽取的七年级20名学生成绩的数据可知，9m =．由抽取的八年级20名学生成绩的扇形统计图可知，80分及以上的学生有10人．把八年级20名学生的成绩由高到低排列，设第十名的成绩为x ，第十一名的成绩为80b −（b 是正数）．∵抽取的八年级20名学生成绩的中位数是81，∴80812x b +−=⨯．∴82x b =+．∵抽取的八年级20名学生成绩的平均数是82，∴第十名的成绩高于他们的平均分，第十一名的成绩低于他们的平均分．∴10n =．∴m n <．【点睛】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，中位数、平均数，利用样本估计总体等知识点，准确从统计图中获取信息是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析（2）8【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，（1）连接OD ，根据,ADC AOF OF AD ∠∠=⊥，可得90DFE OAE ACD ∠=∠=︒−∠，再根据等腰三角形的性质，即可解答；（2）通过角度转换证明FO DB ∥，则可得CFO CDB △∽△，AEO ADB ∽，再利用相似三角形的性质，列方程，即可解答；正确的作出辅助线，通过角度的转换证明三角形相似，列出方程是解题的关键．【小问1详解】证明：如图，连接OD ，,ADC AOF OF AD ∠∠=⊥，90DFE OAE ACD ∴∠=∠=︒−∠，OD OA =，90OAE ODA ACD ∴∠=∠=︒−∠，90CDO ACD ODA ∴∠=∠+∠=︒，CD ∴是 O 的切线；【小问2详解】解：设半径为r ，2AC OA =，2AC AB r ∴==，4CB r =,90OD DC ADB ⊥∠=︒，ADC ODB OBD FOC ∴∠=∠=∠=∠，FO DB ∴∥，CFO CDB ∴△∽△，AEO ADB ∽，3344FO CO r DB CB r ∴===，12EO AO DB BO ==，设DB x =，则12EO x =，34FO x =，根据FO EF EO =+，可得方程31242x x =+，解得8x =，DB ∴的长为8．25. 【答案】（1）()3,2（2）19a =−，1c = （3）4或5【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．（1）依据题意，由抛物线1C ：()232y a x =−+可得最高点坐标，进而可以得解；（2）依据题意，可得()6,1B ，将()6,1B 代入抛物线1C ：()232y a x =−+，从而得解析式，再令0x =，可得c 的值；（3）依据题意，根据点B 的取值范围代入解析式可求解．【小问1详解】解：由题意，∵抛物线1C ：()232y a x =−+，∴抛物线 1C 的最高点坐标为的()3,2．故答案为：()3,2．【小问2详解】解：由题可得点()6,1B ，将()6,1B 代入抛物线1C ：()232y a x =−+，得19a =−， ∴抛物线1C ：()21329y x =−−+． ∴当0x =时，1y c ==；【小问3详解】解：∵小林在x 轴上方1m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包， ∴此时，点B 的坐标范围是()()5,17,1～，当经过()5,1时，112551188n =−⨯+⨯++，解得：175n =．当经过()7,1时，114971188n =−⨯+⨯++，解得：417n =， 174157n ∴≤≤， ∵n 为整数，∴符合条件的n 的整数值为4和5．故答案为：4或5．26. 【答案】（1）①()1,3a −+；②1a ≥或a<0；（2）11a −≤≤【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，（1）①把点 ()2,3代入()230y ax bx a =++≠，可得,a b 之间的关系，利用顶点公式可得顶点坐标； ②分两种情况讨论，即0a >或a<0两种情况，与顶点的纵坐标对比，列不等式即可；（2）由函数的对称性可得当12,x x 在对称轴同一侧时，且212x x −=时，12y y −取最大值，根据抛物线平移过程中性质不变，可设抛物线的对称轴为0x =，则0b =，根据题意可得1244y y a −=≤，即可解答，学会结合函数图象和性质，进行作答是解题的关键．【小问1详解】解：①把点 ()2,3代入()230y axbx a =++≠，可得3423a b =++，可得2a b =−，抛物线的顶点横坐标为12b b a b−=−=−，当1x =时，3233y a b a a a =++=−+=−+，∴抛物线的顶点坐标为()1,3a −+，②当0a >时，可得32a −+≤，解得1a ≥，1a ∴≥；当a<0时，可得32a −+≥，解得1a ≤，<0a ∴，综上所述，1a ≥或a<0；【小问2详解】解：由122t x x t ≤<≤+可得212≤−x x ，由函数的对称性可得当12,x x 在对称轴同一侧时，且212x x −=时，12y y −取最大值，由于抛物线平移过程中性质不变，可设抛物线的对称轴为0x =，则0b =，则可得()()()22121212121224y y ax ax a x x x x a x x −=−=+−=+≤，当10x =或20x =时，12x x +取最小值为2，当最小值存在时，则存在实数t 符合条件，1244y y a ∴−=≤，解得11a −≤≤．27. 【答案】（1）2（2）①见解析；②见解析【分析】（1）根据=45ABC ∠︒，AD CD =和，证明AD DC ⊥，利用勾股定理求得AE 的长，再根据45EAF ∠=︒，可得AF 的长；（2）①根据题意补全图形即可；②延长AF 至点M ，使得AF FM =，连接,EM CM ，证明()SAS AFE MFE △≌△，再利用角度的转换和圆周角定理，得到FMC FAG ∠=∠，最后证明()ASA AFG MFC △≌△，即可解答．【小问1详解】解：45ABC ∠=︒，AB AC =45ACD ∴∠=︒，AD CD =，45CAD ACD ∴∠=∠=︒，AD BC ∴⊥，1,3CE BE ==，222BC BE CE CD +∴===， 1DE CD CE ∴=−=，根据勾股定理可得AE ==，以AE 为斜边向右侧作直角AEF △，45EAF ∠=︒，sin 2AF EF EAF AE ∴==∠⋅=；【小问2详解】 ①如图，按照题意补全图形即可；②证明：如图，延长AF 至点M ，使得AF FM =，连接,EM CM ，90AFE AEF ∠=∠=︒，FE FE =，()SAS AFE MFE ∴△≌△，,FAE FME AEF MEF ∴∠=∠∠=∠，设FAE FME ABC α∠=∠=∠=，AB AC =，ABC ACB α∴∠=∠=，CD AD =，DAC ACD α∴∠=∠=，设CAE β∠=，CAF αβ∴∠=−，2CAG B ACB α∠=∠+∠=，FAG CAG CAF αβ∴∠=∠−∠=+，在Rt AEF 中，9090AEF FAE α∠=︒−∠=︒−，90MEF AEF α∴∠=∠=︒−，AED ACB CAE αβ∠=∠+∠=+，()()1802180290CEM AEF AED ααβαβ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−−+=−，CEM CAF ∴∠=∠，即CEM CAM ∠=∠，,,,A E C M ∴四点共圆，CME CAE β∴∠=∠=，FMC FME CME αβ∴∠=∠+∠=+，FMC FAG ∴∠=∠，,AFG MFC AF MF ∠=∠=，()ASA AFG MFC ∴△≌△，GF CF ∴=，即F 是CG 的中点．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线，仔细耐心地对角度进行转换是解题的关键．28. 【答案】（1） 10，40（2）①08d ≤≤−②【分析】（1）利用“正交弦”的定义，直径是圆中最长的弦，“正交四边形”的定义和三角形的面积公式解答即可；（2）①点的坐标的特征，垂径定理，直径是圆中最长的弦的性质分析解答即可；②利用直线4y =+的解析式求得点M ，N 坐标，再利用正交四边形”的定义和三角形的面积公式解答即可．【小问1详解】解： O 的半径为5，O ∴的直径为10，∴当弦AC 的“正交弦” BD 为直径时，取得最大值，∴弦AC 的“正交弦” BD 的最大值为10．AC BD ，∴此时相应的“正交四边形”的面积为111084022AC BD ⨯⋅=⨯⨯=．故答案为：10，40；【小问2详解】解：①设O 与坐标轴交于点A ，C ，如图，O 的半径为4，4OA OC ∴==，(4,0)A ∴，(0,4)B ，(2,2)P ，P ∴为AC 的中点．OAC 为等腰直角三角形，OP AC ∴⊥，AC ∴为经过点P 的O 的最短的弦，BD 为O 的直径，是经过点P 的O 的最长的弦，8BD ∴=，AC =，d ∴的最大值为8−．当AC x ∥轴，BD y ∥轴时，设AC 交y 轴于点E ，BD 交x 轴于点F ，如图，(2,2)P ，2OE OF ∴==，OE AC ⊥，OF BD ⊥，AC BD ∴=，d ∴的最小值为0，d ∴的取值范围为08d ≤≤−；②令0x =，则4y =，令0y =，则x =，∴直线4y =+与坐标轴交于点(0,4)N 和E ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，如图，过点O 作OF MN ⊥于点F ，则12NF MF MN ==．(0,4)N 和(E ，0)，OE ∴=4ON =．tan 3OE ONE ON ∴∠==， 30ONE ∴∠=︒，在Rt OFN 中，cos NF FNO ON∠=，cos 4NF ON FNO ∴=⋅∠==．2MN NF ∴==．点P 在MN 上运动时（不与端点重合），∴当点P 与点F 重合时，MN 的“正交弦”取得最大值为圆的直径等于8，∴点P 的“正交四边形”面积的最大值为182⨯= 【点睛】本题主要考查了新定义，圆的有关性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，本题是新定义类型题目，正确理解新定义并熟练运用是解题的关键．。

北京四中英语试题及答案

北京四中英语试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. The book is worth _______.A. to readB. being readC. readingD. to be read答案：C2. He didn't go to the party because he was too busy _______ his work.A. to doB. doingC. doD. done答案：B3. The teacher asked us _______ in the library.A. not to speakB. not speakC. to not speakD. speak not答案：A4. _______ the weather is fine, we can go out for a picnic.A. IfB. UnlessC. BecauseD. Though答案：A5. _______ the problem, we need more information.A. To solveB. SolvingC. SolvedD. Solve答案：A6. I don't know the word, _______ in the dictionary.A. let's look it upB. let's look up itC. let's look itD. let's look up答案：A7. She _______ the book to the library yesterday.A. returnedB. borrowedC. lentD. kept答案：A8. _______ the meeting on time, he had to leave home early.A. To attendB. AttendingC. AttendedD. Attend答案：A9. The children _______ in the park when it began to rain.A. playedB. were playingC. playD. play答案：B10. _______ the truth, I don't like the movie at all.A. TellingB. ToldC. To tellD. Having told答案：C二、完形填空（每题1分，共15分）阅读下面的短文，掌握其大意，然后从每题所给的选项中选出一个最佳答案。

北京四中新高一分班考试数学试卷及答案

解方程： 3x 2 2x 5 1．
4
18．（本小题满分 7 分）
先阅读再解答：
若二次函数 f (x) 1 x2 5x 3 ，
2
2
则 f (2) 1 (2)2 5 (2) 3 9 1 ， f (3) 1 32 5 3 3 18 ，
2
22
2
2
已知：二次函数
f
(x)
数学试卷(1)
（试卷满分 120 分，考试时间 90 分钟）
姓名
班级
成绩____________
一、选择题（每小题 4 分，共 24 分）
1．已知 x、y 满足 x2 y 2 5 2x y ，则代数式 xy 的值为（
）
4
x y
2
A．
3
3B．21C．3D．无法确定
2．若 2x 32 ，我们记 x log2 32 5 ，那么以下说法错误的是（）
8
参考答案：
CDCC BC
x3
5
11
7
7. x=0 或 4；
8.
；
9. 2 3 ；
10. ；
11. ；
12.
x
3
16
18
3 67
； 2 2 1；
5
13. 90；
5 11 4
5
14. 8； , ； m .
62 3
3
三、解答
1 15. （1） 5 x 2 ；（2） x 或 x>1.
3 16. 15(x y)(2x 3y)(3x 2 y) .
17. （舍掉 x=2），x=22.
18. a=-1，-2.
19. MSR NTR . 1
20. a , N (2 3 1,1) 3

2024北京四中初三3月月考数学试卷和答案

2024北京四中初三3月月考数学学生须知：1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（共16分，每题2分）1. 下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（）A. B. C. D.2. 北京故宫博物院成立于1925年10月10日，它是在明清皇宫及其收藏基础上建立起来的集古代建筑群、宫廷收藏、历代文化艺术为一体的大型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆．馆内约有180万余件藏品，将1800000用科学记数法表示为（）A. 51.810⨯B. 61.810⨯C. 51810⨯D. 418010⨯3. 如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若150AOD ∠=︒，则BOC ∠的大小为（）A. 60︒B. 50︒C. 45︒D. 30︒4. 一个正多边形的内角和是1440°，那么这个正多边形的每个外角是（）A. 30°B. 36°C. 40°D. 45°5. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如下图所示，下列结论中正确的是（）A. a b <B. 0a b +>C. 0ab >D. 0b a ->6. 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE BC ∥，若8AE =，:2:3DE BC =，则AC 等于（）A. 9B. 10C. 12D. 167. 如图，O 的直径AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接CO 并延长交O 于点F ，连接FD ，70F ∠=︒，则A ∠的度数为（）A. 25︒B. 30︒C. 35︒D. 40︒8. 炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道，某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如下表：1日2日3日4日5日6日供应量（个）901009010090100销售量（个）809085809085记()V t 为6月t 日冰激凌的供应量，()W t 为6月t 日冰激凌的销售量，其中1t =，2，…，30．用销售指数()(1)(1)(,)100%()(1)(1)W t W t W t n P t n V t V t V t n +++⋅⋅⋅++-=⨯+++⋅⋅⋅++-（1n ≥，n N ∈）来评价从6月t 日开始连续n 天的冰激凌的销售情况．当1n =时，(),1P t 表示6月t 日的日销售指数．给出下列四个结论：①在6月1日至6日的日销售指数中，()4,1P 最小，()5,1P 最大；②在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；③()()1,34,3P P =；④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量分别与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相等，则对任意1t =，2，3，4，5，6，7，都有()(),61,12P t P =其中所有正确结论的序号是（）．A. ①②B. ②③C. ①④D. ①③④二、填空题（共16分，每题2分）9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．10. 分解因式：32312m mn -=______．11. 方程512x x-=-的解为______．12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点()3,5A -和点()15,B m ，则m 的值为______．13. 如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 是切点．若60P ∠=︒，OA =PA =______．．14. 若22330a b +-=，则代数式()()2421a a b a b ---+的值为______．15. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节那天，超市的粽子打9折出售，小阳同学买粽子花了54元钱，比平时多买了3个，则平时每个粽子卖______元．16. 有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字3和4固定在图中所示的位置时，x 代表的数字是_______，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有_______种．三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21-22题每题6分，第23题5分，第24-27题每题6分，第28题7分）17.计算：236sin 602-+︒--18. 解不等式组：453532x x x x -≤+⎧⎪⎨->⎪⎩19. 小区里有个圆形花坛，春季改造，小区物业想扩大该花坛的面积，他们在图纸上设计了以下施工方案：①在O 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交O 于点D ；②连接BD ，以O 为圆心BD长为半径画圆；③大O 即为所求．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成如下证明：证明：连接CA ，CB ．在ABC 中，CA CB = ，O 是AB 的中点，CO AB ∴⊥（____________）（填推理的依据）．OB OD = ，90DOB ∠=︒，BD ∴=______OB ，O S ∴= 大______O S 小．20. 已知关于x 的一元二次方程()222120x m x m -++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最小整数时，求方程的根．21. 如图，在AOC 中，OA OC =，OD 是AC 边上的中线．延长AO 至点B ，作COB ∠的角平分线OH ，过点C 作CF OH ⊥于点F ．（1）求证：四边形CDOF 是矩形；（2）连接DF ，若4sin 5A =，9AC =，求DF 的长．22. 平面直角坐标系xOy 中，点(1,)A m 在反比例函数6y x =的图象上．一次函数y kx b =+的图象过点A 和x 轴上的一点(),0B n ，与反比例函数的另一交点为点C ．（1）当0n <且3AB BC =时，求m 的值和点B 的坐标；（2）在x 轴上移动点B ，若23BC AB BC ≤≤，直接写出n 的取值范围．23. 海淀外国语有两个校区，其中初三年级京北校区有200名学生，海淀校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从京北、海淀两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．京北校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）；b ．京北校区成绩在7080x ≤<这一组的是_______：74 74 75 77 77 77 77 78 79 79c ．京北、海淀两校区成绩的平均数、中位数如下：平均数中位数京北校区79.5m 海淀校区7781.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m 的值：（2）两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A ，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A 的学生更多，直接写出结果并说明理由；（3）估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为____．24. 如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 与O 相切，AD BC ∥，连结OD AC ，．（1）求证：B DCA ∠=∠；（2）若tan B =OD = 求O 的半径长．25. 如图1，长度为6千米的国道AB 两侧有M ，N 两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C 和D ，其中A 、C 之间的距离为2千米，C 、D 之间的距离为1千米，N 、D 之间的乡镇公路长度为2.3千米，M 、C 之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB 上修建一个物流基地T ．设A 、T 之间的距离为x 千米，物流基地T 沿公路到M 、N 两个城镇的距离之和为y 千米．以下是对函数y 随自变量x 的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x 与y 的几组值，如下表：x （千米）0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0y （千米）10.58.5a 6.5b 10.512.5表中a 的值为＿＿＿，b 的值为＿＿＿；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决以下问题：①若要使物流基地T 沿公路到M 、N 两个城镇的距离之和最小，请直接写出x 的取值范围；②如图3，有四个城镇M 、N 、P 、Q 分别位于国道A C D E B ----两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S ，使得S 沿公路到M 、N 、P 、Q 的距离之和最小，则物流基地T 应该修建在何处？26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线21:1C y x =-，将1C 向右平移，得到抛物线2C ，抛物线2C 与1C 交点的横坐标为2．（1）求抛物线2C 的表达式；（2）过点(),0P p 作x 轴的垂线，交1C 于点M ，交2C 于点N ，q 为M 与N 的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点(),p q 组成的图形记为图形T ．①若直线y n =与图形T 恰好有2个公共点，直接写出n 的取值范围；②若()1,a y ，()22,a y +，()35,a y +三点均在图形T 上，且满足312y y y >>，直接写出a 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，30B ∠=︒，点D 为BC 边上任意一点，将线段BA 绕点B 顺时针旋转60︒得到线段BF ，连接AF ，作FE BD ∥且FE BD =（点E 在点F 的右侧），连接AD 、ED 、EC ．（1）依题意补全图形，若2AF =，请直接写出DE 的长度；（2）若对于BC 边上任意一点D ，始终有CE AD =，请写出BC 与AF 的数量关系，并证明．28. 对于平面内的点P 和图形M ，给出如下定义：以点P 为圆心，r 为半径作圆．若P 与图形M 有交点，且半径r 存在最大值与最小值，则将半径r 的最大值与最小值的差称为点P 视角下图形M 的“宽度M d ”．（1）如图1，点()4,3A ，()0,3B ．①在点O 视角下，线段AB 的“宽度AB d ”为______；②若B 半径为2，在点A 视角下，B 的“宽度B d ”为______；（2）如图2，O 半径为2．点P 为直线1y x =-+上一点．求点P 视角下O “宽度O d ”的取值范围；（3）已知点(,0)C m ，1CK =，直线3y x =+与x 轴，y 轴分别交于点D ，E ．若随着点C 位置的变化，使得在所有点K 的视角下，线段DE 的“宽度”均满足06DE d <<，请直接写出m 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）1. 【答案】A【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．【详解】】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．故选：A ．【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，需要对圆柱有充分的理解；难度不大．2. 【答案】B【分析】用移动小数点的方法确定a 值，根据整数位数减一原则确定n 值，最后写成10n a ⨯的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a ，运用整数位数减去1确定n 值是解题的关键．【详解】61800000 1.810=⨯，故选B ．3. 【答案】A【分析】根据150AOD ∠=︒得到180********BOD AOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，结合OC OD ⊥，得90BOD BOC ∠+∠=︒，代入计算即可，本题考查了垂直的应用，邻补角，余角，熟练掌握邻补角，余角是解题的关键．【详解】∵150AOD ∠=︒，∴180********BOD AOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵OC OD ⊥，∴90BOD BOC ∠+∠=︒，∴60BOC ∠=︒．故选A ．4. 【答案】B【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：()21801440n -⋅︒=︒，即可求得10n =，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】设此多边形为n 边形，根据题意得：()21801440n -⋅︒=︒，解得：10n =，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10=36°．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：()2180n -⋅︒，外角和等于360°．5. 【答案】D【分析】本题考查实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，实数的加法、减法、乘法运算的理解，掌握“数轴上右边的数大于左边的数”是解本题的关键．根据数轴上右边的数总比左边的大，结合绝对值的几何意义和实数的运算法则逐一分析判定即可．【详解】解：观察数轴可得：0a b <<，a b >，A ． a b b >=，错误，该选项不符合题意；B ． 0a b +<，错误，该选项不符合题意；C ． 0ab <，错误，该选项不符合题意；D ． ()0b a b a -=+->，正确，该选项符合题意；故选：D ．6. 【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．利用平行线的性质可证明ADE ABC △△∽，根据对应边成比例求解即可．【详解】解：∵DE BC ∥，∴,ADE B AED C ∠=∠∠=∠，∴ADE ABC △△∽，∴DE AE BC AC=，∵8AE =，:2:3DE BC =，∴283AC=，∴12AC =，故选：C ．7. 【答案】C【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，圆周角定理，先由直径所对的圆周角是直角得到90D Ð=°，进而得到20DCF ∠=︒，进一步求出70COE ∠=︒，则由圆周角定理可得1352A COE ==︒∠．【详解】解：∵CF 是O 的直径，∴90D Ð=°，∵70F ∠=︒，∴20DCF ∠=︒，∵直径AB ⊥弦CD ，∴90CEO ∠=︒，∴70COE ∠=︒，∴1352A COE ==︒∠，故选：C ．8. 【答案】C【分析】根据题意，()(),1100%()W t P t V t =⨯，()905,1100%=190P =⨯最大，()804,1100%=0.810P =⨯，最小，故①正确；6月2日销售指数小于6月5日，但是两天的销售量却相等，故②错误；(1)(2)(3)255(1,3)100%=100%(1)(2)(3)280W W W P V V V ++=⨯⨯++；(4)(5)(6)255(4,3)100%=100%(4)(5)(6)290W W W P V V V ++=⨯⨯++，()()1,34,3P P ≠，故③错误；根据题意，(1)(2)(6)(1,6)100%(1)(2)(6)W W W P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，[][]2(1)(2)(6)(1)(2)(12)(1,12)100%=100%=(1,6)(1)(2)(12)2(1)(2)(6)W W W W W W P P V V V V V V ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⨯⨯++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+(2)(3)(7)(2,6)100%(2)(4)(7)W W W P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，∵(1)(7),(1)(7)W W V V ==，∴(2)(3)(1)(2,6)100%=(1,6)(2)(4)(1)W W W P P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，对任意1t =，2，3，4，5，6，7，都有()(),61,12P t P =正确，解答即可．本题考查了函数模型的选择和应用，正确理解题意是解题的关键．【详解】根据题意，()(),1100%()W t P t V t =⨯，()905,1100%=190P =⨯最大，()804,1100%=0.8100P =⨯，最小，故①正确；6月2日销售指数小于6月5日，但是两天的销售量却相等，故②错误；(1)(2)(3)255(1,3)100%=100%(1)(2)(3)280W W W P V V V ++=⨯⨯++；(4)(5)(6)255(4,3)100%=100%(4)(5)(6)290W W W P V V V ++=⨯⨯++，()()1,34,3P P ≠，故③错误；根据题意，(1)(2)(6)(1,6)100%(1)(2)(6)W W W P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，[][]2(1)(2)(6)(1)(2)(12)(1,12)100%=100%=(1,6)(1)(2)(12)2(1)(2)(6)W W W W W W P P V V V V V V ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⨯⨯++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+(2)(3)(7)(2,6)100%(2)(4)(7)W W W P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，∵(1)(7),(1)(7)W W V V ==，∴(2)(3)(1)(2,6)100%=(1,6)(2)(4)(1)W W W P P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，对任意1t =，2，3，4，5，6，7，都有()(),61,12P t P =正确，故选：C ．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】5x ≥-【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得：50x +≥，∴5x ≥-，∴实数x 的取值范围是5x ≥-．故答案为：5x ≥-．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．10. 【答案】()()322m m n m n +-【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再套用公式是解题的关键．提取公因式，得()()()322231234322m mn m m nm m n m n -=-=+-，解答即可．【详解】()()()322231234322m mn m m nm m n m n -=-=+-，故答案为：()()322m m n m n +-．11. 【答案】13【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．解分式方程的一般步骤是：去分母转化为整式方程，解整式方程，检验得分式方程的解，据此求解即可．【详解】解：512x x-=-，去分母，得52x x =-+，解得：13x =，经检验，13x =是原方程的解，故答案为：13．12.【答案】1-【分析】根据反比例函数图象上的点的两个坐标的积等于定值k ，得3515m -⨯=，解答即可，本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质，并列出等式是解题的关键．【详解】反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点()3,5A -和点()15,B m ，故3515m -⨯=，解得1m =-，故答案为：1-．13. 【答案】3【分析】连接OP ，根据PA ，PB 是O 的切线，A ，B 是切点，得到90OAP OBP ∠=∠=︒，结合,OA OB OP OP ==证明OAP OBP △≌△，继而得到1302APO BPO APB ∠=∠=∠=︒，利用三角函数计算即可．本题考查了切线长定理，三角函数，熟练掌握定理，三角函数是解题的关键．【详解】连接OP ，∵PA ，PB 是O 的切线，A ，B 是切点，60APB ∠=︒，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∵,OA OB OP OP ==，∴OAP OBP △≌△，∴1302APO BPO APB ∠=∠=∠=︒，∵tan tan 30OA APO PA ∠=︒===,∴3PA =，故答案为：3．14. 【答案】2-【分析】根据22330a b +-=得2233a b +=，化简()()22224214441a a b a b a ab a ab b ---+=--+-+()22223131a b a b =--+=-++，代入计算即可，本题考查了整体代入法求代数式的值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．【详解】∵22330a b +-=，∴2233a b +=，∴()()2421a a b a b ---+2224441a ab a ab b =--+-+()22223131a b a b =--+=-++31=-+2=-，故答案为：2-．15.【答案】2【分析】设平时每个粽子卖x 元，端午节这天每个粽子卖0.9x 元，根据题意，得545430.9x x -=，解方程即可，本题考查了分式方程的应用，正确确定等量关系是解题的关键．【详解】设平时每个粽子卖x 元，端午节这天每个粽子卖0.9x 元，根据题意，得545430.9x x-=，解得2x =，经检验，2x =是原方程的根，故答案为：2．16. 【答案】 ①. 2 ②. 6【详解】根据题意知，x <4且x ≠3，则x =2或x =1，∵x 前面的数要比x 小，∴x =2，∵每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，∴9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意一个，余下的两个数字按从小到大只有一种方法，∴共有2×3=6种结果，故答案为2，6.点睛：本题主要考查数字的变化规律，数字问题时排列计数原理中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解决问题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏.三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21-22题每题6分，第23题5分，第24-27题每题6分，第28题7分）17.【答案】7-【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的加减，掌握相关的运算法则是解题的关键．先算乘方、特殊角的三角函数值，同时化简绝对值和二次根式，再算加减．【详解】解：236sin 602-+︒-962=-++92=-++-7=--18. 【答案】813x ＜≤【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集．本题考查了解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．【详解】∵453532x x x x -≤+⎧⎪⎨->⎪⎩①②∴解不等式①，得83x ≤，解不等式,②，得1x >， ∴不等式组的解集为813x <≤．19. 【答案】（1）见解析（2；2【分析】（1）根据垂线的尺规作图，规范作图即可．（2）等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，计算解答即可，本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键．【小问1详解】根据题意，完善作图如下：故大O 即为所求．【小问2详解】证明：连接CA ，CB ．在ABC 中，CA CB = ，O 是AB 的中点，CO AB ∴⊥（等腰三角形三线合一）．OB OD = ，90DOB ∠=︒，BD ∴=，)22222O O S BD OB S πππ∴==== 小大．；2．20. 【答案】（1）94m -＞（2）121,2x x =-=-【分析】（1）根据方程的根的判别式()()2224214120b ac m m ∆=-=-+-⨯⨯-⎡⎤⎣⎦＞，解答即可．（2）根据根的判别式，结合根的整数性质，解答即可本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【小问1详解】∵方程()222120x m x m -++-=，()21,21,2a b m c m ==-+=-，且方程有两个不相等的实数根，∴()()2224214120b ac m m ∆=-=-+-⨯⨯-⎡⎤⎣⎦＞，∴490m +＞，解得94m -＞．【小问2详解】∵94m -＞且取最小整数，∴2m =-，∴2320x x ++=，解得121,2x x =-=-．21. 【答案】（1）见解析（2）152【分析】（1）根据OA OC =，OD 是AC 边上的中线，得1,,2OD AC AD CD AC AOD COD ⊥==∠=∠，结合COB ∠的角平分线OH ，得到BOF COF ∠=∠，由此得到()1902DOC COF AOC BOC ∠+∠=∠+∠=︒，结合CF OH ⊥即可判定四边形CDOF 是矩形．（2）根据OA OC =，OD 是AC 边上的中线，得19,22OD AC AD CD AC ⊥===，结合4sin 5O D A O A ==，设4,5O D k O A k ==，根据勾股定理得3A D k ==，继而得到932k =，得到32k =，求得152OA OC ==，根据四边形CDOF 是矩形，得152DF OC OA ===．本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握三角函数的应用和矩形的判定是解题的关键．【小问1详解】∵OA OC =，OD 是AC 边上的中线，∴1,,2OD AC AD CD AC AOD COD ⊥==∠=∠，∵COB ∠的角平分线OH ，∴BOF COF ∠=∠，∴()1902DOC COF AOC BOC ∠+∠=∠+∠=︒，∵CF OH⊥∴四边形CDOF 是矩形．【小问2详解】∵OA OC =，OD 是AC 边上的中线，9AC =，∴19,22OD AC AD CD AC ⊥===，∵4sin 5O D A O A ==，设4,5O D k O A k ==，根据勾股定理得3A D k ==，∴932k =，∴32k =，∴1552OA OC k ===，∵四边形CDOF 是矩形，∴152DF OC OA ===．22. 【答案】（1）6m =，（2）21n -≤≤-【分析】（1）过点作AE x ⊥轴于E ，过点C 作CD AE ⊥，交AE 延长线于D ，把(1,)A m 代入6y x =，求得6m =，再证明ABE ACD ∽△△， 34AE BE AB AD CD AC ===，则6134n AD CD -==，求得8AD =，()413CD n =-，2DE AD AE =-=，即可得41,233C n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后把41,233C n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入6y x =，得412633n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得：2n =-，即可得出点B 坐标；（2）由（1）知：AEBEABAD CD AC ==，所以mABDE BC =，再根据23BC AB BC ≤≤，求得23DE ≤≤，设6,C p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1CD p =-，6DE p =-，所以有623p ≤-≤，解得32p -≤≤-，再根据AE BE AD CD =，得61616np p-=--，解得1p n =-，则312n -≤-≤-，求解即可．【小问1详解】解：过点作AE x ⊥轴于E ，过点C 作CD AE ⊥，交AE 延长线于D ，如图，把(1,)A m 代入6y x =，得6m =，∴()1,6A ，∴6AE =，1OE =，∵AE x ⊥，CD AE ⊥，∴CD x ∥，∴ABE ACD ∽△△，∴AEBE ABAD CD AC ==，∵3AB BC =，∴34AE BE AB AD CD AC ===，∴6134n AD CD -==，∴8AD =，()413CD n =-，∴2DE AD AE =-=，∴41,233C n ⎛⎫--⎪⎝⎭，把41,233C n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入6y x =，得412633n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得：2n =-，∴()2,0B -．【小问2详解】解：由（1）知：AE BE AB AD CD AC ==，∴m AB DE BC=，∵23BC AB BC ≤≤，∴263DE DE ≤≤，∴23DE ≤≤，设6,C p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1CD p =-，6DE p =-，∴623p≤-≤，∴32p -≤≤-，∵AE BE AD CD=，∴61616np p-=--，∴1p n =-，∴312n -≤-≤-，∴21n -≤≤-；【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数图象，相似三角形的判定与性质，坐标与图形等知识．熟练掌握性质是银题的关键．23. 【答案】（1）78.5（2）海淀校区赋予等级A 的学生更多，理由见解析（3）78【分析】本题考查抽样调查的相关知识，熟练掌握平均数、中位数的定义以及利用样本估计总体的思想是解决问题的关键．（1）根据中位数的定义，将京北校区同学的成绩按从小到大顺序排序，找到第10、第11位的成绩，取平均值即可；（2）根据两个校区成绩的中位数和平均数，求出成绩超过平均数的人数，进行比较即可；（3）利用抽样调查学生的平均数估计总体学生的平均数即可求出答案．【小问1详解】解：京北校区成绩的中位数787978.52m +==．【小问2详解】解：海淀校区赋予等级A 的学生更多，理由如下：京北校区成绩的平均数是79.5，第12位的成绩是79，8090x ≤<之间有7人，90100x ≤≤之间有1人，可知成绩超过平均数的学生有8人，即赋予等级A 的学生有8人；海淀校区成绩的平均数是77，中位数是81.5，可知成绩超过平均数的学生至少有10人，即赋予等级A 的学生至少有10人；所以海淀校区赋予等级A 的学生更多．【小问3详解】解：估计京北校区200名学生成绩的平均数为79.5，海淀校区300名学生成绩的平均数为77，因此估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为79.52007730078200300⨯+⨯=+，故答案为：78．24. 【答案】（1）见解析；（2）3r =【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得2390∠+∠=︒，根据直径所对的圆周角为直角可得190B ∠+∠=︒，根据OA OC =可得12∠=∠，从而得出3B ∠=∠；（2）根据角度的关系得出ABC 和DCA △相似，根据B ∠的正切值，设AC =，可以得到BC AB ，与k 的关系，根据Rt OCD △的勾股定理求出k 的值.【小问1详解】解：证明：连结OC ．∵CD 与O 相切，OC 为半径，∴2390∠+∠=︒∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴190B ∠+∠=︒，又∵OA OC =，∴12∠=∠，∴3B ∠=∠．【小问2详解】解：∵AB 是O 的直径，AD BC ∥，∴90DAC ACB ∠=∠=︒，∵190239012B ∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠，，，∴3B ∠=∠，∴ABC DCA ∽ ∴AC BC DC AB=∴B ∠，设AC =，2BC k =，则23=∴DC =在ODC 中，OD =，OC k =∴222k +=解得2k =，∴36AB k ==∴O 的半径长为3，【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、切线的性质和判定、切线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．25. 【答案】（1）6.5m ；8.5m（2）见解析（3）①结合图象，在C 处与D 处之间，包括两地即23x ≤≤；②D 处【分析】（1）把6m AB =六等分即11m 6AE EC CD DF FG GB AB =======，当 2.0x =时，点T 位于C 处，，此时 2.31 3.2 6.5m y NC CD DM =++=++=，当 4.0x =时，点T 位于F 处，此时8.5m y FD DM FC NC =+++=，计算即可．（2）根据列表，描点，画图三步骤画出图像即可．（3）①结合图象，在C 处与D 处之间，包括两地即23x ≤≤时，物流基地T 沿公路到M 、N 两个城镇的距离之和最小．②当S 建在CD 上时，S 到M ，N 的两个城镇的距离之和最小；当S 建在DE 上时，S 到P ，Q 的两个城镇的距离之和最小；综上所述，S 建在D 处，使得S 沿公路到M 、N 、P 、Q 的距离之和最小．【小问1详解】把6m AB =六等分即11m 6AE EC CD DF FG GB AB =======，当 2.0x =时，点T 位于C 处，此时 2.31 3.2 6.5m y ND CD CM =++=++=，故 6.5m a =；当 4.0x =时，点T 位于F 处，此时1 2.32 3.28.5m y FD DN FC CM =+++=+++=，故8.5m b =；故答案为：6.5m ；8.5m【小问2详解】根据题意，画图如下：【小问3详解】①结合图象，在C 处与D 处之间，包括两地即23x ≤≤时，物流基地T 沿公路到M 、N 两个城镇的距离之和最小．②当S 建在CD 上时，S 到M ，N 的两个城镇的距离之和最小；当S 建在DE 上时，S 到P ，Q 的两个城镇的距离之和最小；综上所述，S 建在D 处，使得S 沿公路到M 、N 、P 、Q 的距离之和最小．26. 【答案】（1）()241y x =--（2）①1n =-或3n >；②12a <<或23a <<【分析】(1)设抛物线1C 向右平移h 个单位，则2()1y x h =--，将点()2,3代入求出h 即可求函数的解析式；(2)①由题意画出函数的T 的图象，再用数形结合求解即可；②分三大类：5a ≤-时，4a ≥时，54a -<<时，先确定、、A B C 所在的图象，计算出123,,y y y 的值，再分小类比较大小即可．【小问1详解】解：设抛物线1C 向右平移h 个单位，∴抛物线2C 的解析式为2()1y x h =--，∵抛物线2C 与1C 交点的横坐标为2，∴交点坐标为()2,3，∴()2321h =--，解得4h =，∴抛物线2C 的解析式为()241y x =--；【小问2详解】∵抛物线2C 与 1C 交点为()2,3，∴图形T 如图所示：∵21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,)1-，∵直线y m =与图形T 恰好有2个公共点，∴1n =-或3n >时，图形T 与y m =有两个交点；②∵设 1(,)A a y ，2(2,)B a y +， 3)5, (C a y +，∵抛物线1C 的对称轴为0x =，∴50a +≤，即5a ≤-时，、、A B C 三点在抛物线1C 对称轴的左侧，此时123y y y >>，不符合题意；∵抛物线2C 的对称轴为 4x =，∴4a ≥时，、、A B C 三点在抛物线2C 对称轴的右侧，此时321y y y >>，不符合题意；∴54a -<<之间时存在312y y y >>的情况；∵()2²141x x -=--，∴2x =，此时抛物线1C 抛物线 2C 交于点()2,3，当52a +=时，3a =-，∴53a -<≤-时，A B C 、、三点在抛物线 1C 上，∵()12221,21y a y a =-=+-，()2351y a =+-，∴1y 的值最大，不符合题意；当22a +=时， 0a =，∴当30a -<≤时，A B 、两点在抛物线1C 上，C 点在抛物线2C 上，∴211y a =-，()2221y a =+-， ()2311y a =+-，当23y y =时，()()222111a a +-=+-，解得 32a =-，当332a -<<-时， 132y y y >>，不符合题意；当12y y =时，()22121a a -=+-，解得 1a =-，当13y y =时，()22111a a -=+-，解得12a =-，当112a -<<-，时，213y y y >>，不符合题意；当102a -<<时， 231y y y >>，不符合题意；当02a <<时，A 点在抛物线1C 上，B C 、点在抛物线2C 上，∴211y a =-，()2221y a =--， ()2311y a =+-，当23y y =时，()()222111a a --=+-，解得 12a =，当12y y =时，()22121a a -=--，解得 1a =，当102a <<时， 231y y y >>，不符合题意；当112a <<时，321y y y >>，不符合题意；当12a <<时，312y y y >>，符合题意；当2a <时，、、A B C 三点在抛物线2C 上，∴()2141y a =--，()2221y a =--，()2311y a =+-，当21y y =时，()()222141a a --=--，解得3a =，当23a <<时，312y y y >>，符合题意；当34a <<时，321y y y >>，不符合题意；综上所述：12a <<或23a <<时，312y y y >>．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键．27. 【答案】（1）2 （2）BC =，证明见解析【分析】（1）先证明ABF △是等边三角形，得2BF AF ==，再证明四边形BDEF 是平行四边形，得2DE BF ==．（2）过点E 作EM BC ⊥于M ，设AF 交BC 于N ，分两种情况：当点D 在线段BN 上时，当点D 在线段CN 上时，分别求解即可．【小问1详解】解：如图，∵线段BA 绕点B 顺时针旋转60︒得到线段BF ，∴BF BA =，60ABF ∠=︒，∴ABF △是等边三角形，∴2BF AF ==，∵FE BD ∥且FE BD =，∴四边形BDEF 是平行四边形，∴2DE BF ==．【小问2详解】解：BC =，证明：过点E 作EM BC ⊥于M ，设AF 交BC 于N ，当点D 在线段BN 上时，如图，∵60ABF ∠=︒，30ABC ∠=︒，∴ABC FBC ∠=∠，∵ABF △是等边三角形，∴AF BC ⊥，22AF FN AN ==，∴90FNB FNC ∠=∠=︒，∵FB AF =，∴2FB FN =，在Rt FNB △中，由勾股定理，得BN ===，∵AF BC ⊥，EM BC ⊥，∴EM FN ∥，∵FE BD ∥，∴四边形FEMN 是平行四边形，∵90FNC ∠=︒，∴四边形FEMN 是矩形，∴EF MN =，EM FN =，∴AN EM =，∵FE BD =，∴BD MN =，在ANM 与FMC 中，AD ECAND FMC AN EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ANM FMC ≌，∴CM DN =，∴BD DN MN CM +=+即BN CN =，∴2BC BN =，∴BC ==；当点D 在线段CN 上时，如图，同理可得，BC =，∴对于BC 边上任意一点D ，始终有CE AD =，则BC =．【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．本题综合性较强，属中考常考试题．熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．28. 【答案】（1）①2；②3（24O d ≤≤（3）2m <--或1m >-+【分析】（1）①②点P 视角下图形M 的“宽度M d ”的定义解决问题即可．（2）当点P 在O 外时，点P 视角下O “宽度O d ” 4=，可得O d 的最大值为4，当OP ⊥直线1y x =-+时，O d 的最小值2OP ==，由此即可解决问题．（3）如图3中，观察图象可知当C 与直线的交点在线段DE （不包括点D ，)E 上或与直线DE 没有交点，满足条件．求出几种特殊位置点C 的坐标，即可得出结论．【小问1详解】解：①如图1中，(4,3)A ，(0,3)B ，3OB ∴=，4AB =，90∠=︒ABO ，5OA ∴===，∴点O 视角下，则线段AB 的“宽度AB d ”为532-=．②设直线AB 交B 于E ，H ．则在点A 视角下，B 的“宽度B d ” 5.5 2.53AH AE =-=-=，【小问2详解】解：如图2中，当点P 在O 外时，点P 视角下O “宽度O d ” 4=，O d ∴ 的最大值为4，当OP ⊥直线1y x =-+时，O d 的最小值2OP ==∴4O d ≤≤ ．【小问3详解】解：如图3中，观察图象可知当C 与直线的交点在线段DE （不包括点D ，)E 上或与直线DE 没有交点，满足条件．3y =+ 与x 轴，y 轴分别交于点D ，E ，(0,3)E ∴，(D -，0)，当C 在直线的左侧与直线相切时，(2C --，0)，当C 经过点D 时，(1C -+，0)，观察图象可知满足条件的m 的值为：2m <--1m >-+．【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会性质特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试语文试卷(word版,含答案)

北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试语文（试卷满分为150分，考试时间为150分钟）一、基础知识（12分）1．下列词语中加点字的注音全部正确的一项是（2 分）A．酩．酊míng 牛虻．méng 嘀．咕dí刚劲．jìnB．挟．持xié枸．杞gǒu 倾轧．yà瓜蔓．wànC．混淆．xiáo叶．韵xié遂．心suí模．样móD．酗．酒xù扒．窃bā亚．洲yǎ弄．堂lòng2．下列词语中加点字注音有错误．．．的一项是（2 分）A．搽．粉chá拂．袖fú誊．印téng 浩浩汤．汤shāngB．澎湃．pài 凫．水fú髀．骨bì 金蝉脱壳．qiàoC．簸．箕bò滂．沱páng 挨．打āi 风雨如晦．huìD．恫吓．hè笤．帚tiáo雪霰．xiàn 战乱频仍．réng3．下列词语中没有．．错别字的一项是（2 分）A．振耳欲聋小恩小惠涵洞幅射B．姗姗来迟歌舞声平摩挲霄夜C．契而不舍工于心计肆业恳托D．前仆后继无坚不摧部署帐篷4．下列词语中错别字最多．．的一项是（2 分）A．破釜沉舟合盘托出珠联璧合穷兵渎武B．按步就班当仁不让呕心沥血不径而走C．首曲一指群贤必至谈笑风声反弋一击D．铤而走险鞭辟入理竭泽而鱼如雷贯耳5．下列句子中，加点的成语使用正确的一项是（2 分）A．除夕将至，小明终于买到回家的车票了，虽然是站票，但聊胜于无．．．．。

B．这些珍贵的测绘资料在普通人眼里不名一文．．．．，不过是论斤卖的废纸。

C．运动会上，我们班取得了总分第一的好成绩，同学们纷纷弹冠相庆．．．．。

D．小李犯的错误不足为训．．．．，不用过多批评，提醒他下次注意细节即可。

北京四中2023-2024学年度第一学期初一年级期中测验语文试卷及答案

2023-2024学年度第一学期初一年级期中测验语文试卷班级________姓名________学号________成绩________考生须知1.本试卷共9页，共26道小题，满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。

3.答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

一、基础·运用（共14分）北京四中初一年级同学开展了以“文人与印章”为主题的综合实践学习，你所在的小组撰写了报告。

请你阅读以下报告，调整、补充、完善相关内容。

一、引言印章体现着我国悠久深厚的传统文化，文人与印章之间的故事让人津津乐道。

二、闻一多与印章抗战时期，闻一多先生在昆明，以刻印章为副业。

当时过境的外国人不少，有些外国人很羡慕中国人有私人印章。

他们觉得在小小的一块石头刻上自己的姓名，或阴或阳，或篆或隶，或粗犷．．或细腻，非常有趣。

他们常登门造访．．，请求闻一多先生为他们刻印章。

闻一多先生知识渊搏．．，会给对方起一个吉祥高雅的中国名字，对方喜出望外，自然不会吝啬微薄．．的钱财。

刻印章_____技术含量不高，_____也不轻松，视印石的大小软硬而用指力、腕力或臂力，小心翼．．．翼．地捏着一把小刀，伏在书桌上的不毛之地．．．．长久工作，势必两眼昏花，肩耸背驼，手指磨损，疲倦不．．．堪．。

对于精益求精．．．．的闻一多先生来说，刻印章已____文人雅事，____谋生苦事了。

1.对上面文段中加点词语的字形、字音判断说法正确的一项是（）（2分）A.“粗犷”的意思是“粗率豪放”，读作cūkuàng。

B.因为表达的是“到某个地方拜访”的意思，所以“造访”一词中有错字。

C.因为表达的是“深而且广”的意思，所以“渊搏”一词中有错字。

D.“微薄”的意思是“数量少”，读作wēi báo。

2.填入上面文段画线处的关联词语，最恰当的一组是（）（2分）A.因为所以不是就是B.虽然但是不是而是C.因为所以不是而是D.虽然但是不是就是3.上面文段中加点的词语使用不恰当的一项是（）（2分）A.小心翼翼B.不毛之地C.疲倦不堪D.精益求精三、印章与题刻某名家收藏有一块长方形寿山石印章，刻诗一联“鹭拳沙岸雪，□□□□□”，对仗工，意境雅。

北京四中2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验语文试卷及答案

北京四中2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验语文试卷一、基础·运用（共13分）秋意正浓，老师让同学们以“秋”为主题进行跨学科学习。

你所在的小组积累了以下三则材料，现请你一起修改文字稿。

材料一“金气秋分，风清露冷秋期半。

凉蟾光满，桂子飘香远。

”秋分时节，蝉鸣渐止，银杏新黄，光阴对折，天地平分一场秋色。

何为秋“分”？一曰：昼夜平分。

太阳在这一天到达黄经180度，直射地球赤道，昼夜各12小时。

二曰：秋季平分【甲】按农历来讲，立秋为秋季开始，霜降为秋季结束，秋分在中间。

我国古人将秋分分为三候．：一候雷始收声，二候蛰虫坯户，三候水始涸。

古人认为雷是因为阳气盛而发声，秋分后阴气开始旺盛，所以不再打雷，这标志着暑气的终结，也是秋寒的开始。

由于天气变冷，蛰居的小虫开始藏入洞中，并用细土将洞口封起来以fáng()寒气侵入。

由于天气干zào( ),水汽蒸发快，所以湖泊与河流中的水量变少，一些沼泽和水洼便处于干涸．之中。

秋分时节还是收获稻谷、玉米、大豆等农作物的重要时期。

自2018年起，我国将每年农历秋分设立为“中国农民丰收节【乙】秋分时很多传统民俗，也都饱含期盼风调雨顺、庄稼丰收的意思，如祭月、竖蛋、送《秋牛图》等。

注：①凉蟾(chán)：指秋月。

1.小组成员请你根据拼音写汉字，确定加点字的注音，你认为以下全都正确的一项是（）（2分）A.hóu妨躁héB.hòu妨躁kūC.hóu防燥kūD.hòu防燥hé2.在【甲】【乙】两处补上标点，最恰当的一项是（2分）A.【甲】。

【乙】。

”B.【甲】。

【乙】”。

C.【甲】，【乙】。

”D.【甲】，【乙】”。

材料二我国古代有“立秋贴秋膘”的习俗。

古人认为立秋后天气逐渐转凉，通过增加食物（特别是肉类食物）的摄入，增加身体脂肪储备，可以弥补夏季的消耗和抵御即将到来的寒冷冬天。

北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试物理试卷(含答案)

北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试物理（试卷满分为100分，考试时间为90分钟）一、不定项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，漏选得2分，错选或不选不得分。

请将答案填涂在答题卡上。

）1. 下列物理量中全是矢量的是A.位移、路程B. 加速度、平均速度C. 质量、时间D. 重力、静摩擦力2. 关于描述运动的物理量，下列说法正确的是A. 在研究哈雷彗星围绕太阳公转轨迹的时候，可以把哈雷彗星看成质点B. 上午8时上课、8时40分下课，这里的“8时”、“8时40分”是指时间间隔C. 运动员百米赛跑，冲线的速度为9.73m/s 。

这个速度是平均速度D. 查表可知：汽车急刹车的加速度为-5m/s 2，汽车起步的加速度为2m/s 2。

因此汽车起步的加速度更大3. 关于加速度与速度，下列说法正确的是A.物体加速度方向一定与它速度的方向相同B.物体的速度方向发生变化时，则其加速度方向一定发生变化C.物体的加速度在增大，则其速度一定在增大D.物体的加速度在减小，则其速度的变化率一定在减小4. 下列图像中可以表示物体做匀变速直线运动的图像是5. 人在沙漠中行走时容易下陷，下陷时A. 人对沙漠地面的压力大小等于沙漠地面对人的支持力大小B. 人对沙漠地面的压力大小小于沙漠对人的支持力大小C. 沙漠对人的支持力大小等于人的重力大小xOA.aOC.axOD.vOB.D. 沙漠对人的支持力大小小于人的重力大小6. 将一个大小为31N的力分解为两个力，其中一个分力的大小为13N，则另一个分力的大小可能为A．45N B．35N C．25N D．15N7. 一根轻弹簧的劲度系数为400N/m，原长12cm。

一端固定，当它另一端受到一个大小为16N的作用力时，此时弹簧的长度可能为A．16cm B．12cm C．8cm D．4cm8. 翻斗车自卸货物的过程可以简化成如图所示模型，翻斗车始终静止在水平地面上，原来处于水平的车厢，在液压机的作用下，与水平方向的夹角θ开始缓慢增大（包括货物下滑过程中θ也在增加）。

2023-2024学年北京四中高三(上)期中数学试题和答案

2023北京四中高三（上）期中数学（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 已知集合{|51}A x x =-<≤<，2{|9}B x x =≤，则A B = （A ）[3,1)-（B ）[3,1]-（C ）(5,3]-（D ）[3,3]-2. 若复数()()3i 1i z =-+，则z = （A）（B）（C（D）3. 化简5sin(π)2cos(π)αα+=- （A ）tan α（B ）tan α-（C ）1（D ）1-4. 下列函数中，值域为(1)+∞，的是（A ）1sin y x=（B）1y =+（C ）lg(||1)y x =+（D ）21x y =+5. 函数sin 2y x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位后经过点(3π，则ϕ的最小值为（A ）12π（B ）6π（C ）3π（D ）65π6. 若1a >，则141a a +-的最小值为（A ）4 （B ）6（C ）8（D ）无最小值7. 已知函数35()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（A ）(2,3)（B ）(3,4)（C ）(4,5) （D ）(5,6)8．已知函数()sin()f x x ϕ=+．则“(0)1f =”是“()f x 为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 已知a ，0b >，且1≠a ，1≠b ，若log 1a b >，则（A ）(1)(1)0a b -->（B ）(1)()0a a b -->（C ）(1)()0b a b -->（D ）(1)()0b b a -->10. 已知()f x =21|1|,02,0x x x x x -+<⎧⎨-≥⎩，若实数[]2,0m ∈-，则1|()(|2f x f --在区间[,1]m m +上的最大值的取值范围是（A ）15[,]44（B ）13[,]42（C ）13[,22（D ）1[,2]2二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知α为第二象限角，且sin α=πtan()4α+=_______．12. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1316,2a S a ==，则公差d =_______，n S 的最大值为_________． 13．设(),()f x g x 分别是定义域为R的奇函数和偶函数，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-->，且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x >的解集为 .14. 如图，为了测量湖两侧的A ，B 两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在B 点，距离A 点30km 处的C 点，以及距离C 点10km 处的D 点进行观测. 甲同学在B 点测得30DBC ∠= ，乙同学在C 点测得45ACB ∠= ，丙同学在D 点测得45BDC ∠= ，则A ，B 两点间的距离为_______km.15. 设函数()f x 定义域为D ，对于区间I D ⊆，若存在1212,,x x I x x ∈≠，使得12()()f x f x k +=，则称区间I 为函数()f x 的k T 区间. 给出下列四个结论：①当2a <时，(,)-∞+∞是3x y a =+的4T 区间；②若[,]m n 是2y x x =-的4T 区间，则n m -的最小值为3；③当3ω≥时，[π,2π]是cos y x ω=的2T 区间；④当5π10πA ≤≤时，[π,+)∞不是2sin +1A xy x =的2T 区间；其中所有正确结论的序号为 . 三、解答题：（本大题共6小题，共85分）16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：135b b b +++…21n b -+．17.（本小题满分13分）已知函数2π()cos 22sin (6f x x x =--．（Ⅰ）求π()2f 的值；（Ⅱ）求()f x 的对称轴；（Ⅲ）若方程()1f x =-在区间[0,]m 上恰有一个解，求m 的取值范围．18.（本小题满分14分）在△ABC 中，sin cos 02B b A a -=.（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）若b =ABC 存在且唯一确定，并求a 及△ABC 的面积.条件①：c =条件②：sin sin 2sin A C B +=；条件③：21ac =.19．（本小题满分15分）已知函数()2e [(21)1]xf x x a x =-++.（Ⅰ）若12a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）当0a >时，若对任意实数x ，2()(23)e a f x a >-恒成立，求a 的取值范围.20.（本小题满分15分）已知函数22ln ()(1)xf x a x x=+-.（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的极值；（Ⅱ）当1a =时，求()f x 在[1,)+∞上的最小值；（Ⅲ）若()f x 在(1,e)上存在零点，求a 的取值范围.21.（本小题满分15分）已知集合12{,,,}(3)n S a a a n =≥ ，集合{(,)|,,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠，且满足,(,1,2,,,)i j a a S i j n i j ∀∈=≠ ，(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立. 对于T 定义1,(,)(,)0,(,)T a b Td a b b a T ∈⎧=⎨∈⎩，以及1,()(,)nT i T i j j j i l a d a a =≠=∑，其中1,2,,i n = .例如22123242()(,)(,)(,)(,)T T T T T n l a d a a d a a d a a d a a =++++ .（Ⅰ）若1232244,(,),(,),(,)n a a a a a a T =∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值；（Ⅱ）从1(),,()T T n l a l a 中任意删去两个数，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值（用n 表示）；（Ⅲ）对于满足()1(1,2,,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中是否都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立？请说明理由.改：（Ⅱ）若6n =，从1(),,()T T n l a l a 中删去一个最大值和一个最小值，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值；16,()()15T T n n l a l a =++= ，最大值5A ≤，最小值2B ≤，否则3615⨯>于是15528M ≥--=，构造16(),,()T T l a l a 为5，2，2，2，2，2构造121314151624253234434654566263{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}T a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =，即\,1,1,1,1,10,\,0,1,1,00,1,\,0,1,00,0,1,\,0,10,0,0,1,\,10,1,1,0,0,\⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，恰好取得等号.参考答案一、选择题CBDDB CBADC 二、填空题11. 1212. 2,12- 13. (3,0)(3,+)-∞14. 15. ①③④12题：前3分后2分15题：2分，3分，5分三、解答题16．（共13分）解：（Ⅰ）因为 21614,516,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩ ……2分所以 11,3.a d =⎧⎨=⎩ ……4分从而 32n a n =-. ……6分（Ⅱ）因为2314514,16,b b q b b q ⎧==⎨==⎩ ……8分所以 121,4.b q =⎧⎨=⎩ ……10分所以22211211()4n n n n b b q q ----=⋅== ， ……11分所以135211441143n n n b b b b ---+++==- . ……13分17. 解：（1）5()22f π=- ……3分（2）()13f x x π=+- ……8分1()212x k k Z ππ=+∈ ……10分（3）5[,)36m ππ∈ ……13分18. 解：（Ⅰ）由正弦定理得，由题设得，，因为，所以所以.,. ……4分（Ⅱ）选条件①：c =由正弦定理sin sin b c B C =得sin C =，sin sin b A a B =sin cos02Ba B a -=2sincos cos 0222B B Ba a -=022B π<<cos 0.2B a ≠1sin22B =26B π=3B π=因为，所以cos C =sin sin()A B C =+=，进而a =1sin 2S bc A ==+……14分选条件②：由正弦定理得2a c b +==由余弦定理得2222cos ,18b a c ac B ac =+-=，所以1sin 2S ac B ==由18a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得a c ==……14分19. 解：（1）1y x =-+ ……4分（2）2()[(12)2](2)(1)x x f x e x a x a e x a x '=+--=-+ ……6分①12a >-，(,1),(2,)a -∞-+∞增，(1,2)a -减 ……8分②12a <-，(,2),(1,)a -∞-+∞增，(2,1)a -减 ……10分③12a =-，(,)-∞+∞增 ……11分（3）首先(2)f a 为()f x 在(1,)-+∞上的极小值，也是最小值。

北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试化学试卷(含答案)

北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试化学（试卷满分为100分，考试时间为90分钟）一、选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．下列物质中，属于电解质的是A．乙醇 B．Fe C．HNO3 D．KOH溶液2．下列关于分散系的说法中，不正确的是A．分散系的稳定性比较：溶液>胶体>浊液B．分散质粒子的大小比较：溶液>胶体>浊液C．利用丁达尔效应可以区分溶液与胶体D．Fe(OH)3胶体的分散质能透过滤纸3．用下图表示的一些物质或概念之间的从属或包含关系中不正确的是X Y Z例氧化物化合物纯净物A置换反应氧化还原反应离子反应B氨水溶液分散系C强电解质电解质化合物D含氧酸酸化合物4．下列反应转化关系（未配平）肯定不正确的是A．Cu2O+H2SO4→CuSO4+Cu+H2O B．FeO+HNO3→Fe(NO3)3+H2OC．NH4NO3→N2O +H2O D．S+KOH→K2SO3+K2S+H2O5．下列各组物质在溶液中的反应，可用同一离子方程式表示的是A．Cu(OH)2与盐酸 Cu(OH)2与醋酸B．BaCl2溶液与Na2SO4溶液 Ba(OH)2溶液与(NH4)2SO4溶液C．NaHCO3溶液与NaHSO4溶液 Na2CO3溶液与NaHSO4溶液D．石灰石与硝酸溶液石灰石与盐酸溶液6．下列各组离子一定能大量共存的是A．在无色溶液中：NH4+、Fe2+、SO42－、CO32－B．在含大量Ca2+的溶液中：Fe3+、Na+、Cl－、OH－C．在强碱性溶液中：Na+、K+、Cl－、SO42－D．在pH =1的溶液中：K+、Na+、Cl－、CH3COO－7．实验过程中，下列溶液的导电能力变化不大的是A．Ba(OH)2溶液中滴入H2SO4溶液至过量B．醋酸溶液中滴入氨水至过量C．澄清石灰水中通入CO2至过量D．HCl溶液中加入适量的NaOH固体8．下列反应都有水参加，其中属于氧化还原反应，而水既不做氧化剂，又不做还原剂的是A．2F2+2H2O=4HF+O2↑ B．2Na + 2H2O= 2NaOH + H2↑¸ßÎÂC．Cl2+H2O=HClO+HCl D．C + H2O + H29．已知：2Na2S+Na2SO3+3H2SO4=3S↓+3Na2SO4+3H2O，下列说法不正确的是A．Na2SO3是氧化剂B．被氧化与被还原的硫元素的质量比为5:1C．H2SO4既不是氧化剂又不是还原剂D．该反应的离子方程式为： 2S2－＋SO32－＋6H+ = 3S↓＋3H2O10．下列物质的应用中，利用了氧化还原反应规律的是A．“84”消毒液作消毒剂B．碳酸氢钠作食品膨松剂C．家庭中用纯碱溶液清洗油污 D．用食盐腌制食品有防腐作用11．下列实验方法正确的是A．除去Na2CO3固体中混有的NaHCO3：充分加热固体混合物B．用澄清石灰水鉴别Na2CO3溶液和NaHCO3溶液C．用NaOH溶液除去Cl2中的HClD．用HCl溶液除去NaHCO3溶液中的Na2CO312．下列物质长期露置于空气中会变质，但不是发生氧化还原反应的是A．Na B．NaOH C．Na2O2 D．氯水13．己知在碱性溶液中可发生如下反应：8MnO 4－+ R 2O 32－+10OH － == 8MnO 42－ + 2RO 4n － + 5H 2O 。

北京市西城区北京四中2025届物理高三上期末考试试题含解析

北京市西城区北京四中2025届物理高三上期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、如图所示，木块a的上表面是水平的，将木块b置于a上，让a、b一起沿固定的光滑斜面向上做匀减速运动，在上滑的过程中（）A．a对b的弹力做负功B．a对b的摩擦力为零C．a对b的摩擦力水平向左D．a和b的总机械能减少2、轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星被称为极地轨道卫星。

它运行时能到达南北极区的上空，需要在全球范围内进行观测和应用的气象卫星、导航卫星等都采用这种轨道。

如图所示，若某颗极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟，则（）A．该卫星发射速度一定小于7.9km/sB．该卫星轨道半径与同步卫星轨道半径之比为1∶4C．该卫星加速度与同步卫星加速度之比为2∶1D．该卫星的机械能一定小于同步卫星的机械能3、某理想气体的初始压强p0=3atm，温度T0=150K，若保持体积不变，使它的压强变为5atm，则此时气体的温度为（）A．100K B．200K C．250K D．300K4、如图所示，一根质量为M、长为L的铜管放置在水平桌面上，现让一块质量为m、可视为质点的钕铁硼强磁铁从铜管上端由静止下落，强磁铁在下落过程中不与铜管接触，在此过程中（）A．桌面对铜管的支持力一直为MgB．铜管和强磁铁组成的系统机械能守恒C．铜管中没有感应电流D．强磁铁下落到桌面的时间2L tg5、某行星外围有一圈厚度为d的光带，简化为如图甲所示模型，R为该行星除光带以外的半径．现不知光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，当光带上的点绕行星中心的运动速度v，与它到行星中心的距离r，满足下列哪个选项表示的图像关系时，才能确定该光带是卫星群A．B．C．D．6、“天津之眼”是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，是天津市的地标之一．摩天轮悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动．下列叙述正确的是（）A．摩天轮转动过程中，乘客的机械能保持不变B．在最高点，乘客重力大于座椅对他的支持力C．摩天轮转动一周的过程中，乘客重力的冲量为零D．摩天轮转动过程中，乘客重力的瞬时功率保持不变二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024北京四中高一上学期10月月考物理试题

2024北京四中高一10月月考物理《直线运动》单元测试（试卷满分为100分，考试时间为40分钟）一、不定项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，至少有一个答案正确。

全部选对得5分，漏选得3分，错选或不答得0分。

）1．以下说法正确的是（）A ．足球运动中，研究如何才能踢出“香蕉球”时，足球可以看成质点B ．第2秒末到第3秒初的时间间隔是1秒C ．出租车的收费标准是2.30元/公里，其中“公里”指的是路程D ．百米赛跑运动员以9.5m/s 的速度冲过终点线，这里的速度是指平均速度2．关于速度、速度变化、加速度，下列说法正确的是（）A ．速度变化越大，则加速度越大B ．速度变化越快，则加速度越大C ．加速度方向保持不变，则速度方向也保持不变D ．加速度不断减小，则速度也不断减小3．质点做匀加速直线运动，加速度为20.5m s ，那么在任意．．1秒内（）A ．此质点的末速度一定等于初速度的0.5倍B ．此质点的末速度比初速度大0.5m/sC ．此质点的初速度一定比前1秒的末速度增加0.5m/sD ．此质点的速度变化量大小为0.5m/s4．在某次百米田径比赛中用轨道摄像机拍摄运动员摄像机和运动员的水平位移x 随时间t 变化的图像如图所示，下列说法中正确的是（）A ．在水平方向上，摄像机做直线运动，运动员做曲线运动摄像机B ．10~t 时间内摄像机在前，12~t t 时间内运动员在前C ．20~t 时间内摄像机与运动员的平均速度相同D ．10~t 时间内任一时刻摄像机的速度都大于运动员的速度5．有一质点从坐标原点由静止开始沿x 轴运动，其v t −图如图，则（）A ．0.5s t =时速度改变了方向B ． 1.0s t =时速度改变了方向C ． 1.0s t =时加速度改变了方向D ． 1.0s t =时质点离坐标原点最远6．伽利略相信，自然界的规律是简洁明了的。

北京四中学2024-2025学年数学九上开学统考试题【含答案】

北京四中学2024-2025学年数学九上开学统考试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是()A ．10B ．16C ．18D ．202、（4分）如图，在△ABC 中，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若∠BAD =45°，则∠B 的度数为（）A ．75°B ．65°C ．55°D ．45°3、（4分）对于代数式2ax bx c ++（0,,,a a b c ≠为常数），下列说法正确的是（）①若240b ac -=，则20ax bx c ++=有两个相等的实数根②存在三个实数m n s ≠≠，使得222am bm c an bn c as bs c++=++=++③若220ax bx c +++=与方程()()230+-=x x 的解相同，则422a b c -+=-A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4、（4分）若方程1322x a x x -+=--有增根，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．05、（4分）如图，直线y x m =-+与3y x =+的交点的横坐标为-2，则关于x 的不等式30x m x -+>+>的取值范围（）A ．x>-2B ．x<-2C ．-3<x<-2D ．-3<x<-16、（4分）一组数据1，2，a 的平均数为2，另一组数据-l ，a ，1，2，b 的唯一众数为-l ，则数据-1，a ，b ，1，2的中位数为（）A ．-1B ．1C ．2D ．37、（4分）已知，则下列不等式一定成立的是()A ．B ．C ．D ．8、（4分）下列各点中，在第四象限的点是（）A ．（2，3）B ．（﹣2，﹣3）C ．（2，﹣3）D ．（﹣2，3）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）小强调查“每人每天的用水量”这一问题时，收集到80个数据，最大数据是70升，最小数据是42升，若取组距为4，则应分为_________组绘制频数分布表．10、（4分）某通讯公司的4G 上网套餐每月上网费用y （单位：元）与上网流量x （单位：兆）的函数关系的图像如图所示．若该公司用户月上网流量超过500兆以后，每兆流量的费用为0.29元，则图中a 的值为__________．11、（4分）我市在旧城改造中，计划在市内一块如下图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要______元.12、（4分）定义新运算：对于任意实数a ，b 都有：a ⊕b=a （a ﹣b ）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x ＜13的解集为________.13、（4分）已知点A （﹣12，a ），B （3，b ）在函数y ＝﹣3x +4的象上，则a 与b 的大小关系是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）已知一次函数5y kx b =++与一次函数3y kx b =-++的图象的交点坐标为(3,0)A ，求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积.15、（8分）据大数据统计显示，某省2016年公民出境旅游人数约100万人次，2017年与2018年两年公民出境旅游总人数约264万人次，若这两年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率；（2）如果2019年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2019年该省公民出境旅游人数约多少万人次？16、（8分）如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N ．(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3：1，ND ＝1．①求MC 的长．②求MN 的长．17、（10分）已知：线段a ，c ．求作：△ABC ，使BC ＝a ，AB ＝c ，∠C ＝90°18、（10分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝12cm ，BC ＝15cm ，∠B ＝90°，DC＝5cm ．点P 从点A 向点D 以lcm /s 的速度运动，到D 点停止，点Q 从点C 向B 点以2cm /s 的速度运动，到B 点停止，点P，Q 同时出发，设运动时间为t （s ）．（1）用含t 的代数式表示：AP ＝；BQ ＝．（2）当t 为何值时，四边形PDCQ 是平行四边形？（3）当t 为何值时，△QCD 是直角三角形？B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）一张矩形纸片ABCD ，已知6AB =，4BC =．小明按所给图步骤折叠纸片，则线段DG 长为______.20、（4分）小明五次测试成绩为：91、89、88、90、92，则五次测试成绩平均数为_____，方差为________．21、（4分）若0234a b c ==≠，则a b 的值为__________，a b c a b c +--+的值为________.22、（4分）已知一次函数y ax b =+，反比例函数k y x =（a ，b ，k 是常数，且0ak ≠），若其中-部分x ，y 的对应值如表，则不等式8k x ax b -<+<的解集是_________.x 4-2-1-124y ax b =+6-4-3-1-02k y x =2-4-8-84223、（4分）若因式分解：3x x -=__________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）先化简，再求值：22121124a a a a ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中a=325、（10分）已知：如图，平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ．求证：OE ＝OF ．26、（12分）某校开展爱“我容城，创卫同行”的活动，倡议学生利用双休日在浜江公园参加评选活动，为了了解同学们劳动时间，学校随机调查了部分同学劳动的时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整；（2）抽查的学生劳动时间的众数为______，中位数为_______；（3）已知全校学生人数为1200人，请估算该校学生参加义务劳动2小时的有多少人？参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明BC的长为4，当点P在CD上运动时，三角形ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且动路程由4到9，说明CD的长为5，然后求出矩形的面积．【详解】解：∵当4≤x≤9时，y的值不变即△ABP的面积不变，P在CD上运动当x=4时，P点在C 点上所以BC=4当x=9时，P点在D点上∴BC+CD=9∴CD=9-4=5∴△ABC的面积S=12AB×BC=12×4×5=10故选A．本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中三角形ABP的面积和函数图象，求出BC 和CD的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积．2、A【解析】由基本作图得到MN垂直平分AC，则DA=DC，所以∠DAC=∠C=30°，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．【详解】解：由作法得MN垂直平分AC，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=30°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+30°=75°，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B=180°-75°-30°=75°．故选：A．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．3、B 【解析】根据根的判别式判断①；根据一元二次方程2ax bx c k ++=(k 为常数)最多有两个解判断②；将方程()()230+-=x x 的解代入220ax bx c +++=即可判断③．【详解】解：①240b ac ∆=-=∴方程20ax bc c ++=有两个相等的实数根．∴①正确：②一元二次方程2ax bx c k ++=(k 为常数)最多有两个解，∴②错误；③方程()()230+-=x x 的解为122,3x x =-=，将x ＝－2代人220ax bx c +++=得()()22220a b c -+⋅-++=，422a b c ∴-+=-，∴③正确．故选：B ．本题考查的知识点是一元二次方程根的情况，属于比较基础的题目，易于掌握．4、A 【解析】先去分母，根据方程有增根，可求得x=2,再求出a.【详解】1322x ax x -+=--可化为x-1-a=3（x-2）,因为方程有增根，所以，x=2,所以，2-1-a=0,解得a=1.故选A 本题考核知识点：分式方程的增根.解题关键点：理解增根的意义.5、C 【解析】解：∵直线y x m =-+与3y x =+的交点的横坐标为﹣2，∴关于x 的不等式3x m x -+>+的解集为x ＜﹣2，∵y=x+3=0时，x=﹣3，∴x+3＞0的解集是x ＞﹣3，∴3x m x -+>+＞0的解集是﹣3＜x ＜﹣2，故选C ．本题考查一次函数与一元一次不等式．6、B 【解析】试题解析：∵一组数据1，2，a 的平均数为2，∴1+2+a =3×2解得a =3∴数据-1，a ，1，2，b 的唯一众数为-1，∴b =-1，∴数据-1，3，1，2，b 的中位数为1．故选B.点睛：中位数就是讲数据按照大小顺序排列起来，形成一个数列，数列中间位置的那个数.7、C 【解析】根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得到答案.【详解】解：A 、因为，不知道是正负数或者是0，不能得到，则A 选项的不等式不成立；B 、因为，则，所以B 选项的不等式不成立；C、因为，则，所以C选项的不等式成立；D、因为，则，所以D选项的不等式不成立．故选C．本题考查了不等式的性质，解题的关键是知道不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变．8、C【解析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数解答．【详解】解：纵观各选项，第四象限的点是（2，﹣3）．故选：C．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】解：应分（70-42）÷4=7，∵第一组的下限应低于最小变量值，最后一组的上限应高于最大变量值，∴应分1组．故答案为：1．10、59【解析】由题意得，300.29 600500a-=-,解得a=59.故答案为59.11、150a 【解析】作BA 边的高CD ，设与BA 的延长线交于点D ，则∠DAC ＝30°，由AC ＝30m ，即可求出CD ＝15m ，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC 的面积为150m 2，最后根据每平方米的售价即可推出结果．【详解】解：如图，作BA 边的高CD ，设与BA 的延长线交于点D ，∵∠BAC ＝150°，∴∠DAC ＝30°，∵CD ⊥BD ，AC ＝30m ，∴CD ＝15m ，∵AB ＝20m ，∴S △ABC ＝12AB ×CD ＝12×20×15＝150m 2，∵每平方米售价a 元，∴购买这种草皮的价格为150a 元．故答案为：150a 元．本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于做出AB 边上的高，根据相关的性质推出高CD 的长度，正确的计算出△ABC 的面积．12、x ＞﹣1【解析】解：3⊕x ＜13，3（3-x ）+1＜13，解得：x ＞-1．故答案为：x ＞﹣1本题考查一元一次不等式的应用，正确理解题意进行计算是本题的解题关键．13、a ＞b【解析】根据k<0,y 随x 增大而减小解答【详解】解：∵k ＝﹣3＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵﹣12＜3，∴a ＞b ．故答案为：a ＞b ．此题主要考查了一次函数的图像上点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解更简便三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、113y x =-+和113y x =-；两条直线与y 轴围成的三角形面积为1．【解析】（1）将点A 坐标代入两个函数解析式中求出k 和b 的值即可；（2）分别求出两个一次函数与y 轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可．【详解】解：将点(3,0)A 分别代入两个一次函数解析式，得035,03 3.k b k b =++⎧⎨=-++⎩解得1,34.k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以两个一次函数的解析式分别为113y x =-+和113y x =-．（2）把0x =代入113y x =-+，得1y =；把0x =代入113y x =-，得1y =-．所以两个一次函数与y 轴的交点坐标分别为(0,1)和(0,1)-．所以两条直线与y 轴围成的三角形面积为：()111332⨯+-⨯=．本题考查了两条直线相交或平行问题以及待定系数法求一次函数的解析式，难度不大．15、(1)这两年公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%；(2)约172.8万人次.【解析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题；（2）根据（1）中的增长率即可解答本题．【详解】(1)设这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率为x ，100(1+x)+100(1+x)2=264，解得,x 1=0.2,x 2=−3.2(不合题意,舍去)，答：这两年公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%；(2)如果2019年仍保持相同的年平均增长率，则2019年该省公民出境旅游人数为：100(1+x)3=100×(1+20%)3=172.8(万人次)，答：预测2019年该省公民出境旅游总人数约172.8万人次.本题考查一元二次方程的应用，（1）解决此类问题要先找等量关系，2017年出境旅游人数+2018年出境旅游人数=264，可根据2016年的人数，运用增长率公式表示出2017年、2018年的人数，从而列出方程，由此可解；（2）可根据（1）中计算出来的增长率，运用公式直接求解（增长率计算公式：B =A （1+a ）n 这里A 为基数，B 为增长之后的数量，a 为增长率，n 为期数）.16、(1)证明见解析；(2)①MC ＝3；②【解析】（1）根据折叠可得∠AMN=∠CMN ，再根据平行可得∠ANM=∠CMN ，可证CM=CN （2）①根据等高的两个三角形的面积比等于边的比，可求MC 的长．②作NF ⊥MC ，可得矩形NFCD ，根据勾股定理可求CD ，则可得NF ，MF ，再根据勾股定理可求MN 的长．【详解】解：(1)∵折叠∴CM ＝AM ，CN ＝AN ，∠AMN ＝∠CMN∵ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠ANM ＝∠CMN∴∠ANM ＝∠AMN ∴CM ＝CN (2)①∵AD ∥BC ∴△CMN 和△CDN 是等高的两个三角形∴S △CMN ：S △CDN ＝3：1＝CM ：DN 且DN ＝1∴MC ＝3②∵CM ＝CN ∴CN ＝3且DN ＝1∴根据勾股定理CD ＝如图作NF ⊥MC ∵NF ⊥MC ，∠D ＝∠DCB ＝90°∴NFCD 是矩形∴NF ＝CD ＝，FC ＝DN ＝1∴MF ＝2在Rt △MNF 中，MN ＝此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用.17、详见解析【解析】过直线m 上点C 作直线n ⊥m ，再在m 上截取CB ＝a ，然后以B 点为圆心，c 为半径画弧交直线n 于A ，则△ABC 满足条件．【详解】解：如图，△ABC 为所作．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18、（1）tcm，（15﹣2t）cm；（2）t＝3秒；（3）当t为32秒或256秒时，△QCD是直角三角形．【解析】(1)根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系,即可求出AP,BQ的长（2)当AP=CQ时,四边形APQB是平行四边形,建立关于t的一元一次方程方程,解方程求出符合题意的t值即可;（3）当∠CDQ＝90°或∠CQD＝90°△QCD是直角三角形，分情况讨论t的一元一次方程方程,解方程求出符合题意的t值即可;【详解】（1）由运动知，AP＝t，CQ＝2t，∴BQ＝BC﹣CQ＝15﹣2t，故答案为tcm，（15﹣2t）cm；（2）由运动知，AP＝t，CQ＝2t，∴DP＝AD﹣AP＝12﹣t，∵四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝CQ，∴12﹣t＝2t，∴t＝3秒；（3）∵△QCD是直角三角形，∴∠CDQ＝90°或∠CQD＝90°，①当∠CQD ＝90°时，BQ ＝AD ＝12，∴15﹣2t ＝12，∴t ＝32秒，②当∠CDQ ＝90°时，如图，过点D 作DE ⊥BC 于E ，∴四边形ABED 是矩形，∴BE ＝AD ＝12，∴CE ＝BC ﹣BE ＝3，∵∠CED ＝∠CDQ ＝90°，∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CQD ，∴CD CE CQ CD =，∴5325t =，∴t ＝256秒，即：当t 为32秒或256秒时，△QCD 是直角三角形．此题考查平行四边形的判定和直角三角形的判定，解题关键是掌握性质并且灵活运用求解一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】首先证明△DEA′是等腰直角三角形，求出DE ，再说明DG ＝GE 即可解决问题．【详解】解：由翻折可知：DA′＝A′E ＝4，∵∠DA′E ＝90°，∴DE ＝，∵A′C′＝2＝DC′，C′G ∥A′E ，∴DG ＝GE ＝故答案为：．本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20、901【解析】解：平均数=9189889092905++++=，方差=22222(9190)(8990)(8890)(9090)(9290)25-+-+-+-+-=故答案为：90；1．21、23，13【解析】令=234a b c k ==，用含k 的式子分别表示出,,a b c ,代入求值即可.【详解】解：令=234a b c k ==，则2,3,4a k b k c k ===，所以2233a k b k ==，234123433a b c k k k k a b c k k k k +-+-===-+-+.故答案为：(1).23，(2).13本题考查了分式的比值问题，将,,a b c 用含同一字母的式子表示是解题的关键.22、62x -<<-或04x <<【解析】根据表可求出反比例函数与一次函数的交点，然后根据交点及表格中对应的函数值即可求出等式8kx ax b -<+<的解集.【详解】根据表格可知，当x=-2和x=4时，两个函数值相等，∴y ax b =+与ky x =的交点为（-2，-4），（4,2），根据图表可知，要使8k x ax b -<+<，则62x -<<-或04x <<.故答案为：62x -<<-或04x <<.本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解答本题的关键.23、()()11x x x +-【解析】应用提取公因式法，公因式x ，再运用平方差公式，即可得解.【详解】解：()()()32111x x x x x x x -=-=+-此题主要考查运用提公因式进行因式分解，平方差公式的运用，熟练掌握即可解题.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、14【解析】根据分式的运算法则及运算顺序，把所给的分式化为最简分式，再代入求值即可.【详解】原式=221(2)(2)22(1)1a a a a a a a +-+--⨯=+++当3a =时，原式=321314-=+本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则及运算顺序，把所给的分式化为最简分式是解决问题的关键.25、见解析【解析】欲证明OE=OF ，只要证明△AOE ≌△COF （AAS ）即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AOE 和△COF 中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴OE=OF ．本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．26、（1）见解析（2）1.5、1.5（3）216【解析】（1）根据学生劳动“1小时”的人数除以占的百分比，求出总人数；（2）根据统计图中的数据确定出学生劳动时间的众数与中位数即可；（3）总人数乘以样本中参加义务劳动2小时的百分比即可得．【详解】(1)根据题意得：30÷30%=100(人)，∴学生劳动时间为“1.5小时”的人数为100−(12+30+18)=40(人)，补全统计图，如图所示：(2)根据题意得：抽查的学生劳动时间的众数为1.5小时、中位数为1.5小时，故答案为：1.5、1.5；(3)1200×18%=216，答：估算该校学生参加义务劳动2小时的有216人此题考查扇形统计图，条形统计图，中位数，众数，解题关键在于看懂图中数据。

2024-2025学年北京四中高三上学期开学考数学试题

数学试卷（试卷满分为100分，考试时间为90分钟）一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1. 已知集合{|11}A x x =-≤≤，{,}B a a =-. 若A B A =，则实数a 的取值范围是（A ）{|11}a a -≤≤（B ）{|11}a a -<<（C ）{|11a a -<<，且0}a ≠ （D ）{|11a a -≤≤，且0}a ≠2.若复数i 1iaz +=+是纯虚数，则实数a = （A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2- 3.已知lg e a =，2e b =，1ln 10c =（e 2.71828=），那么（A ）b c a <<（B ）c b a <<（C ）b a c<<（D ）c a b<<4.函数1()x f x x+=的图象的对称中心为（A ）(0,0)（B ）(0,1)（C ）(1,0)（D ）(1,1)5.已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则1()3f 的值为（A ）2（B ）14（C ）14-（D ）2-6.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，249a a =，42910S S =，则24a a +的值为（A ）30（B ）10（C ）9（D ）67.在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（A ）ln y x x=（B ）cos y x=（C ）2xy =（D ）ln y x x=-8.已知a ，b ∈R ，则“1ab >”是“222a b +>”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件9.在ABC ∆中，若cos cos a c B b c A -=-，则ABC ∆的形状是（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等腰三角形或直角三角形10.已知1x =是函数2()(1)()f x x x a =--的极小值点，那么实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞（B ）(1,)+∞（C ）(,1]-∞（D ）[1,)+∞11.已知函数()sin cos f x t x x ωω=+（0t >，0ω>）的最小正周期为π，最大值，则函数()f x 的图象（A ）关于直线π4x =-对称（B ）关于点π(,0)4-对称（C ）关于直线π8x =对称（D ）关于点π(,0)8对称12.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数a ，b ，c ，使得n n S a b c =⋅+，则以下结论不．正确的是（A ）0a c += （B ）数列{}n a 的公比为b （C ）0ac <（D ）数列{}n a 可能为常数列13.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户. 如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：0()e kt R t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为参考数据：lg 20.3010≈ （A ）9（B ）10（C ）11（D ）1214.已知函数21()e 2x f x a x =-（a ∈R ），有如下3个结论：①当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递减；②当10ea <<时，()f x 有两个极值点； ③当1e a ≥时，()f x 有最大值.其中，正确结论的个数是（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）15.已知0a >，则关于x 的不等式22450x ax a --<的解集是_____.16.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，且终边经过点(4,3)-，则3πcos()2α-=_____.17.若2(i)2i x +=（x ∈R ），则x =_____.18.写出一个同时具有下列性质的函数()f x =_____.①函数(1)f x +是偶函数；②当(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.19.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，2114,0,2()121,.2x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）5(())8f f =_____；（2）不等式3(1)4f x -≤的解集为_____.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =. 给出如下4个结论：①{}n a 可能为等差数列； ②{}n a 可能为等比数列；③ i a （2i ≥）均能写成{}n a 的两项之差； ④ 对任意*n ∈N ，总存在*m ∈N ，使得n m a S =. 其中正确命题的序号是_____.三、解答题（本大题共2小题，共28分） 21.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S （*n ∈N ），11a =，59a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列{}n b 的前n 项和n T .条件①：2n a n b =；条件②：2n n n b a =+；条件③：11n n n b a a +=⋅.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.（本小题满分15分）已知函数21()e 2x f x x ax ax =--（0a >）.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 的极大值为11e-，求a 的值；（Ⅲ）当1ea >时，若1[1,)x ∀∈+∞，2(,0]x ∃∈-∞，使得12()()0f x f x +=，求a 的取值范围.。

2024年北京四中初三(上)期中数学试题及答案

数学试卷班级__________ 姓名__________学号__________ 成绩__________一、选择题 (共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．下面四个标志中是中心对称图形的是（）.A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（）. A ．0x =B ．2x =C ．0x =或2x =D ．0x =或2x =-3．若1(3,)A y -，2(2,)B y -，3(3,)C y 为二次函数21y x =+（）图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）. A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数(5)(7)y x x =-+的图象的对称轴是（）. A ．直线1x =- B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为O 直径，点C 、D 在O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（）.A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（）. A ．21.058(1) 1.167x -= B ．1.058(12) 1.167x +=C ．21.058(1) 1.167x +=D ．21.167(1)1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，则表盘的半径长为（）.A ．3B． C ． D．A8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（）. A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A. B.C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为．10．如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为BC 延长线上一点，50A ∠=︒，则DCE ∠的度数为．11．抛物线256y x x =-+与y 轴的交点的坐标是．12．如图，PA 、PB 分别切O 于A 、B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作O 的切线分别交PA 、PB 于M 、N 两点，若△PMN 的周长为10，则切线长PA 等于．第10题图第12题图13．已知22310a a -+=，则代数式2(3)(3)a a a -++的值为．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度．．．．是 cm ．图1 图2 第15题图15．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-，对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在(0,1)A 和(0,2)B 之间（不与A 、B 重合）．下列结论：①0abc >； ②93a c b +>； ③40a b +=； ④当0y >时，15x -<<； ⑤a 的取值范围为2155a -<<-．其中正确结论有．（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，∠A =90°，D 是AC 上一点，BD =10， AB =CD ，则BC 的最大值为．三、解答题（共68分，第17题8分，第18、21、25题每题4分，第19、23、24题每题5分，第20、26题6分，第22、27、28题每题7分）17．解下列方程：（1）23610x x -+=；（2）2(3)3x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -．将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到△11A BC ，（1）请在图中画出△11A BC ；（2）线段BC 旋转过程中所扫过的面积是（结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE ．（1）求证：△AEB ≌△ADC ；（2）连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数． 20．已知关于x 的一元二次方程22(8)40x k x k +--=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围． 21．已知：如图O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B ．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：A ，A 交O ，则直线PB 是证明：如图1，连接OB ， A 直径，90PBO =︒．（ OB ． OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．请仔细阅读，并完成相应的任务．（1）“作法一”中的“依据”是指；（2）请写出“作法二”的证明过程．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过(0,2)A -，(2,0)B 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；（3）若一次函数y mx n =+的图象也经过A ，B 两点，结合图象，直接写出不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥．（1）求证：AC 是△BDE的外接圆的切线；（2）若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米，竖直距离为6米．若发射石块在空中飞行的最大高度为10米．（1）求抛物线的解析式；（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙．25．如图1，线段AB 及一定点C ，P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7AB =cm ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、Q 两点间的距离为1y cm ，P 、Q 两点间的距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y 、2y 的图象．解决问题：（1）在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；（2）结合函数图象，解决问题：当△APQ 中有一个角为30︒时，AP 的长度约为 cm ．图1图226．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224(0)y ax a x a =-≠．（1）当1a =时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知1(M x ，1)y 和2(N x ，2)y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =45°，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC =BE ，连接AE ，过C 作CF ⊥AE 于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ．（1）求证：∠AEB =∠ACF ；（2）用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28. 对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”．已知B （-1,0），C （2,0），（1）写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标________；（2）已知点1C （2,m ）（102m ），存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2l ：y =x+b 上，求b 的取值范围；（3）已知点H 是直线x =1上的一点，且点H 的纵坐标小于0，C （3,0），E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线x =6上的点F （6,h ），以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．备用图数学参考答案一、选择题1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C二、填空题9． 231y x =+ 10. 50° 11．(0,6) 12．5 13．8 14．18 15．③④⑤16. 5+ 补充说明：T15只有一个正确答案得1分，有错误答案不得分。

北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试英语试卷(word版,含答案)

北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试英语（试卷共为150分，考试时间为120分钟）第I卷（共三部分，满分100分）第一部分听力理解（共三节，30分）第一节（共 5 小题；每小题 1.5 分，共 7.5 分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话你将听一遍。

1. Where does the conversation take place?A. In a hotel.B. In an office.C. In a restaurant.2. Why are they going to celebrate?A. They passed an exam.B. They received a prize.C. They won a game.3. What are the speakers mainly talking about?A. A course.B. A paper.C. A teacher.4. Who answered the phone?A. Sue.B. Mary.C. Alice.5. When will the man get the printers?A. On Friday.B. On Wednesday.C. On Thursday.第二节（共 10 小题；每题 1.5 分，共15分）听下面4段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从每题所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有5秒钟的时间阅读每小题。

听完后，每小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白你将听两遍。

听第6段材料，回答第6至7题。

6. What is the woman doing?A. Asking for some information.B. Mailing something in the post office.C. Bargaining over the postage.7. What does the woman decide to do at last?A. Give up mailing the books.B. Send the books by sea.C. Send the books by airmail.听第7段材料，回答第8至9题。

2024年北京四中初三(上)期中物理试题及答案

2024北京四中初三（上）期中物理考生须知1．本试卷共10页，共35道小题，满分100分。

考试时间90分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。

3．答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

一、单项选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意。

共30分，每小题2分）1. 在国际单位制中，电压的单位是（）A. 安培B. 伏特C. 焦耳D. 欧姆2. 图示的四种用品中，通常情况下属于导体的是（）A. 金属勺B. 瓷碗C. 塑料壳D. 木铲3. 湿地被称为“地球之肾”，能调节空气的湿度和温度，其中能调节温度主要是因为水的（）A. 比热容大B. 密度大C. 流动性大D. 热值大4. 用毛皮摩擦过的橡胶棒靠近一个轻质绝缘小球，发现两者互相吸引，由此可判断（）A. 小球可能不带电B. 小球一定带负电C. 小球一定不带电D. 小球一定带正电5. 如图是酒店的房卡，当客人将房卡插入取电槽中，房间内才会有电。

房卡相当于电路中的（）A. 开关B. 导线C. 电源D. 用电器6. 某兴趣小组要为居家老人设计一个“应急呼叫器”电路，要求：开关断开时，电灯和电铃均不工作；开关闭合时，灯亮铃响，即使电灯因断路不亮，电铃仍可工作。

如图所示的电路中，符合设计要求的是（）A. B.C. D.7. 如图所示是四冲程汽油机的工作循环示意图，下列说法中错误．．的是（）A. 汽油机在吸气冲程中吸入的是汽油和空气的混合物B. 吸气、压缩、做功和排气四个冲程，图中的排序是甲乙丁丙C. 使汽车获得动力的冲程是丁图所示冲程D. 乙图是压缩冲程，发生的能量转化是把内能转化成机械能8. 下列说法中正确的是（）A. 自由电荷定向移动的方向为电流的方向B. 原子是由带负电的原子核和核外带正电的电子构成的C. 绝缘体不容易导电是因为绝缘体的内部缺少正、负电荷D. 电压促使电荷定向移动形成电流，有电流一定有电压9. 如图所示的电路中，当开关S1、S2都闭合时（）A. 电压表将被烧坏B. 电流表将被烧坏C. 灯L1亮、灯L2不亮D. 两只灯泡都将被烧坏10. 在图甲所示电路中，闭合开关后，两个电压表指针偏转均为图乙所示，电阻R1和R2两端的电压分别为（）A. 4.8V，1.2VB. 6V，1.2VC. 1.2V，6VD. 1.2V，4.8V11. 物理课堂上李老师将塑料丝绳剪成细丝制成“章鱼”，用毛皮分别摩擦“章鱼”和PVC管后，将“章鱼”抛向空中，在其下方用PVC管靠近“章鱼”，“章鱼”在空中飞翔不会落下，如图所示。

2024北京四中高三10月月考物理(教师版)

2024北京四中高三10月月考物理（试卷满分为100分，考试时间为90分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 下表中记录了三种交通工具在某段时间中的运动情况，根据表中数据可知（）A. 飞机的速度变化量最大B. 自行车的速度变化最快C. 火车的速度变化最快D. 飞机的加速度最大2. 下列描述中正确的是（）A. 物体受到的合力越大，则速度变化一定越大B. 物体的速度变化量较小，则加速度一定较小C. 物体的速度变化越快，则加速度一定越大D. 物体的加速度减小，则速度一定减小3. 一物体运动过程的v-t图如图所示，则（）A. 物体在0s和8s时刻处于同一位置B. 0~5s内物体的位移为33mC. 物体在2~5s内处于静止状态D. 物体在该段时间内加速度方向改变，速度方向未改变4. 如图所示，物体a、b和c叠放在水平面上，水平力为F b＝3N，F c＝6N，分别作用于物体b、c上，a、b 和c仍保持静止，以F1、F2、F3分别表示a与b、b与c、c与桌面间的静摩擦力的大小，则（）A. F1＝3N，F2＝3N，F3＝3NB. F1＝3N，F2＝0N，F3＝6NC. F1＝0，F2＝3N，F3＝3ND. F1＝0，F2＝6N，F3＝3N5. 如图所示，带有孔的小球A套在粗糙水平直杆上，与正下方的小球B通过轻绳连接，处于静止状态，给小球B施加水平力F使其缓慢上升，直到小球A刚要滑动。

在此过程中（）A. 水平力F的大小先增大后减小B. 杆对小球A的支持力增大C. 轻绳对小球B的拉力增大D. 杆对小球A的摩擦力先变小后变大6. 双人花样滑冰比赛是一项极具观赏性的项目。

比赛中，女运动员有时会被男运动员拉着离开冰面在空中做水平面内的匀速圆周运动，如图所示。

男运动员的手臂与水平冰面的夹角约为30°，男运动员肩部距离地面大约1.7m，女运动员与其身上的装备总质量约为50kg，重力加速度g取10m/s2。