2021数学类考研陈纪修《数学分析》考研真题库

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第1部分名校考研真题

第9章数项级数

一、判断题

1．若对任意的自然数p都有，则收敛．（）[东南大学研]

【答案】错查看答案

【解析】根据级数收敛的Cauchy收敛准则，举出反例：例如，对任意的自然数p，有

，但是发散．正确的说法应该是，关于p一致有

．

2．若，且对任意的n，有，则收敛．（）[重庆大学研]

【答案】错查看答案

【解析】举反例：例如，虽然对任意的n，有，但是发散．n 必须足够大，才可以成立．

二、解答题

1．设收敛，证明：[华东师范大学研]

证明：记级数的前n项和S n．则

对上式两边取极限，从而

即

2．证明下列级数收敛．

[东北师范大学研]

证明：（1）方法一

所以

所以收敛。

方法二

由于

所以

而收敛，从而收敛．

（2）

由比值判别法知收敛，再由比较判别法知收敛，即

收敛。

3．证明：[浙江大学研]

证明：因为且单调减，

所以

反复利用分部积分法，

又

所以

将②代入①得

4．讨论级数的敛散性．[复旦大学研]

解：（1）若p、q>1，则

绝对收敛。

（因为，例如p>q，则为优级数）；

（2）若0＜p=q≤1，应用莱布尼兹定理知级数收敛，且是条件收敛；

（3）当p、q>0，原级数与级数同时敛散，若p>1，0＜q ≤1或q>1，0＜p≤1时级数

一敛一散，故原级数发散．

若0＜p＜q＜1，则，且与同阶（当）；故级数发散，从而原级数发散．

同理可证，若0＜q＜p＜1，原级数发散．

5．若一般项级数与都收敛且下列不等式成立

证明：级数也收敛．又若与都发散，试问一定发散吗？[汕头大学研、北京工业大学研]

证明：由于级数与都收敛，所以由Cauchy收敛准则知对任意的ε＞0，存在N∈N，使得当n＞N及对任意的正整数p，都有

又，所以，从而由Cauchy收敛准则知级数也收敛．

若与都发散，不一定发散．反例：．6．设，证明：收敛．[浙江大学2006研]

证明：因为

令，则

易知，所以

因为，而收敛，所以收敛．

7．设，举例说明存在（从而级数收敛），但

，从而级数收敛的D’Alember判别法失效．[天津工业大学2006研]

解：级数．由于

故，所以用D’Alember判别法无法判别其敛散性．又

，所以由根式判别法知收敛．

8．判断级数的敛散性．[青岛科技大学研]

解：令，则

故由Raabe判别法知收敛．

9．设f（x）在[1，+∞）上单调，证明：若广义积分收敛，则级数

也收敛．[北京化工大学研]

证明：不妨设f（x）在[1，+∞）上单调递减．先证明f（x）在[1，+∞）上非负，若存在，使得

．

由于当时，，又发散，故由比较判别法知发散，矛盾，所以f（x）在[1，+∞）上非负．

因为f（x）在[1，+∞）上非负且单调递减，对任意的正数A，f（x）在[1，A]上可积，从而有

依次相加可得

由于收敛，于是对任意正整数m，有

即非负级数部分和有界，故收敛．

10．设是严格递减的正数列，且，证明：级数收敛．[南京农业大学研、上海理工大学研]

证明：因为是严格递减的正数列，所以

即是严格递减的数列．又由极限的性质知

故由Leibniz判别法知收敛．

11．讨论级数的收敛性．[厦门大学研]

解：利用带Peano余项的Taylor公式（当x→0时），有

于是．所以当x＞1－p时收敛，当x≤1－p时发散．12．，证明：存在，并求之．[上海大学研]

证明：令，则

从而

因为，所以

故有

14．判断级数的绝对收敛性和相对收敛性．[武汉大学2005研]

解：（1）绝对收敛性（主要使用放缩法）

（2）相对收敛性：（A-D判别法）

①；

②。

15．表格填空

绝对收敛条件收敛发散

参数a,b,c的取值范围

[中山大学2014研]

解：

绝对收敛条件收敛发散

参数a,b,c取值范围0＜a＜1,b＜－1,

c任意

－1＜a＜0,b＜0,c

任意

－1＜a＜0,b＜0,c任意

浙江大学819数学分析考研真题

浙江大学攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目：数学分析（A）（819）

考生注意：

1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；

2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

一、（40分，每小题10分）

（1）；

（2）；

（3）设，表示不超过的最大整数，计算二重积分；

（4）设.求.

二、（10分）论证是否存在定义在上的连续函数使得.

三、（15分）讨论函数项级数的收敛性与一致收敛性.

四、（15分）设均为上的连续函数，且为单调递增的，

，同时对于任意，有.

证明：对于任意的，都有.

五、（5分）；