锐角三角函数的经典测试题及答案解析

锐角三角函数的经典测试题及答案解析

一、选择题

1．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点B的坐标是（0，4），点D的坐标是（83，4），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从点B出发，沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M，N两点的运动时间为x，△BMN的面积为y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据两个点的运动变化，写出点N在BC上运动时△BMN的面积，再写出当点N在CD上运动时△BMN的面积，即可得出本题的答案；

【详解】

解：当0

连接BD，AC，交于点O′，连接NM，过点C作CP⊥AB垂足为点P，

∴∠CPB=90°，

∵四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(0，4)，点D的坐标是3，4)，

∴BO′3，CO′=4，

∴228

'，

O B O C

+'=

∵AC=8，

∴△ABC 是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∴CP=BC×sin60°=8×32=43，BP=4， BN=4x ，BM=2x ， 242BM x x BP ==，2

BN x BC =， ∴=BM BN BP BC

， 又∵∠NBM=∠CBP ， ∴△NBM ∽△CBP ，

∴∠NMB=∠CPB=90°， ∴114438322

CBP S BP CP =⨯⨯=⨯⨯=； ∴2NBM

CBP S BN S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭

， 即y=22283=232NBM

CBP BN x S S x BC ⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当2

∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB ∥CD ，

∴3

BM=2x ，

∴y=

11=2434322

BM NE x x ⨯⨯=； 故选D.

【点睛】 本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握动点问题的函数图象是解题的关键.

2．如图，AB 是O 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=，则OE 的长为( )

A ．3

B ．4

C ．6

D ．33

【答案】D

【解析】

【分析】 连接OA ．证明OAB ∆是等边三角形即可解决问题．

【详解】

如图，连接OA ．

∵AE EB =，

∴CD AB ⊥，

∴AD BD =，

∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=，

∴60AOB ∠=，

∵OA OB =，

∴AOB ∆是等边三角形，

∵3AE =，

∴tan 6033OE AE =⋅=

故选D ．

【点睛】

本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

3．如图，在ABC ∆中，4AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ）

A ．22

B ．223

C ．23

D ．322

【答案】C

【解析】

【分析】

在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度．

【详解】

∵AD ⊥BC

∴∠ADC=∠ADB=90︒

在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45︒

∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60︒

∴326． ∵BE 平分∠ABC ，

∴∠EBD=30．

在Rt △EBD 中，BD=263

，∠EBD=30 ∴3223 ∴AE=AD −DE=22223=23 故选：C

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．

4．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40︒，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米，CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）

A ．78.6米

B ．78.7米

C ．78.8米

D ．78.9米

【答案】C

【解析】

【分析】 如下图，先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长，再利用Rt △ADG 求AG 的长，进而得到AB 的长度

【详解】

如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点F ，延长DE 交AB 延长线于点G

∵BC 的坡度为1:0.75

∴设CF 为xm ，则BF 为0.75xm

∵BC=140m

∴在Rt △BCF 中，()2220.75140x x +=，解得：x=112

∴CF=112m ，BF=84m

∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ADG 是直角三角形

∵DE=55m ，CE=FG=36m

∴DG=167m ，BG=120m

设AB=ym

∵∠DAB=40°

∴tan40°=1670.84120

DG AG y ==+ 解得：y=78.8

故选：C

【点睛】

本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.

5．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）