一次函数基础知识梳理

基础知识梳理

1、正比例函数

一般地，形如kx y = (k 是常数，)0(≠k )的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例

系数。

2、正比例函数图象和性质

一般地，正比例函数kx y =（k 为常数，)0(≠k ）的图象是一条经过原点和（1，k ）

的一条直线，我们称它为直线kx y =。当k>0时，直线kx y =经过第一、三象限，从左向

右上升，即随着x 的增大，y 也增大；当k<0时，直线kx y =经过第二、四象限，从左向右

下降，即随着x 的增大y 反而减小.

3、正比例函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =)0(≠k 中的常数k ，其基本

步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式kx y =)0(≠k ；（2）把已知条件（自变量与

函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系数

k ； （4）将求得的待定系数的值代回解析式.

4、一次函数

一般地，形如b kx y += (k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，

b kx y +=即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

考点一：一次函数的概念

例1、一根弹簧长15㎝，它所挂的物体质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 就伸长2

1㎝.写出挂上物体后的弹簧长度y （㎝）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式 例2、下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

（1）y=-

21x ； （2）y=-x

2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. 练习

（1）当m 为何值时，函数y=-（m-2）x

32-m +（m-4）是一次函数？

（2）当m 为何值时，函数y=-（m-2）x

32-m +（m-4）是正比例函数？

5、一次函数的图象

（1）一次函数b kx y += )0(≠k (的图象是经过（0，b ）和（k b -，0）两点的一条直线，因此一次函数b kx y +=的图象也称为直线b kx y +=.

（2）一次函数b kx y +=的图象的画法. 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），（k

b -

，0）.即横坐标或纵坐标为0的点. 考点二：一次函数的图像

例3. 已知一次函数y=(4m+1)x-(m+1).

（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 。

（2）m 为何值时，直线与y 轴的交点在x 轴上？ 。

（3）m 为何值时，直线位于第二、三、四象限？ 。

练习

（1）对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___________。

（2）一次函数y=kx+b 满足kb>0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过_______象限。

（3）一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__________。

例4. 下列图形中，表示一次函数y=mx+n 与正比例函数y=mnx （m ，n 为常数，且mn ≠0）的图象的是（ ） A 、

B 、

C 、

D 、

练习：（1）已知直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k 经过第_______象限。

（2）无论m 为何值，直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。

（3）y=23

x 与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限． （4）无论实数m 取什么值，直线y=x+m 与y=-x+5的交点都不能在（ ）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

6、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数b kx y +=的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

7、直线y=kx ＋b 的图象和性质与k 、b 的关系如下表所示： b>0

b<0 b=0 k>0

经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限

图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大

k<0

经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小

8、直线b kx y +=1与kx y =2图象的位置关系：

(1)当b>0时，将kx y =2图象向x 轴上方平移b 个单位，就得到b kx y +=1的图象．

(2)当b<0时，将kx y =2图象向x 轴下方平移－b 个单位，就得到了b kx y +=1的图象．

9、直线1l ：111b x k y +=与2l ：222b x k y +=的位置关系可由其解析式中的系数k 和常数b 来确定：当21k k ≠时，l 1与l 2相交

考点三：一次函数图像的变换

例5.将直线y=2x 向右平移2个单位所得的直线的解析式是（ ）

A 、y=2x+2

B 、y=2x-2

C 、y=2（x-2）

D 、y=2（x+2）

例6.一次函数y=2x+3的图象沿y 轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（ ）

A 、y=2x-3

B 、y=2x+2

C 、y=2x+1

D 、y=2x

例7.函数x k y 11=的图象过点P （2，3），且与函数x k y 22=的图象关于y 轴对称，那么他们的解析式1y = ； 2y =

练习：

（1）若正比例函数y=kx 与y=2x 的图象关于x 轴对称，则k 的值=

（2）如图，是一个正比例函数的图象，把该图象向左

平移一个单位长度，得到的函数图象的解析式为

（3）直线x y 3

1=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。（4）已知直线y=2x+1．

①求已知直线与y 轴交点A 的坐标；

②若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k 与b 的值．

10、直线b kx y += (k ≠0)与坐标轴的交点．

(1)直线y=kx 与x 轴、y 轴的交点都是(0，0)；

(2)直线b kx y +=与x 轴交点坐标为(k

b -，0),与 y 轴交点坐标为(0，b)． 11、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

考点四 用待定系数法求函数解析式

例8.若点A （2，-3）、B （4，3）、C （5，a ）在同一条直线上，则a 的值是（ ）

A 、6或-6

B 、6

C 、-6

D 、6和3

例9.如图，已知点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（3，1）．