河北衡水中学高三上学期期中考试数学理试题

2013～2014学年度上学期期中考试 高三年级数学（理科）试卷

本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （ ） （A

（B

）（C ）4 （D ）12

2．若集合{

}{}

2

540;1,A x x x B x x a =-+=-＜＜则“(2,3)a ∈”是“B A ⊆”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

3．已知平面向量,m n u r r 的夹角为,6

π

2,3==，在ABC ∆中，22AB m n =+uu u r u r r ，

26AC m n =-uuu r u r r

，D 为BC 中点，则AD =( )

A.2

B.4

C.6

D.8

4．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆）， 则该几何体的表面积为（ ） （A ）9214+π （B ）8214+π （C ）9224+π （D ）8224+π

5．已知等差数列{}n a 中，37101140,4a a a a a +-=-=，记12n n S a a a =+++L ，S 13=( ) A ．78

B ．68

C ．56

D ．52

6．已知双曲线22

221x y a b

-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双

曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）

A ．

221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -= D ．22

143

x y -=

侧视

正视图

俯视图

7．在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos a B b A =,则2sin cos B C -的最大值是( )

A ．1 B. 3 C. 7 D. 27

8．若函数1()e (0,)ax f x a b b

=-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆22

1x y +=相切，则a b +的最大值是（ ） （A ）4 （B ）22

（C ）2 （D ）2

9. 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得

122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是( )

A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．1,13⎡⎫⎪

⎢⎣⎭ C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．10,3⎛⎤

⎥⎝⎦

10．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ﹣ABC 的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，

则球O 的表面积为（ ）

A ．24π B. 32π C. 48π D. 192π

11．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，

3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ）

（A ）10,5,5+∞U （]（） （B ）10,[5,5+∞U （）） （C ）11,]5,775U （（） （D ）11

,[5,775U （））

12．对于定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，,x D ∃∈使得0|()|f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”

．现给出如下函数： ①()()f x x x Z =∈； ②()()112x

f x x Z ⎛⎫

=+∈ ⎪⎝⎭

；③ ()2log f x x =； ④()1x f x x -=.

其中为“敛1函数”的有

A ．①②

B ．③④

C ． ②③④

D ．①②③

Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13. 过点(1,1)-的直线与圆22

24110x y x y +---=截得的弦长为43，则该直线的方程

为 。

14已知动圆的圆心C 在抛物线x 2=2py （p ＞0）上，该圆经过点A （0，p ），且与x 轴交于两点M 、N ，则sin ∠MCN 的最大值为 ．

15.如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一

个定点，且该定点始终落在圆()()2

2

1225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么b

a

的取值范围 _____________.

16．已知函数()f x 定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列命题： ①当0x >时，()(1);x f x e x =- ②函数()f x 有2个零点

③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞U ④12,x x R ∀∈，都有12|()()|2f x f x -< 其中正确的命题是

三、解答题（共7个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 17．如图所示，扇形AOB,圆心角AOB 的大小等于3

π

，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P.

（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的长；

（2）设COP θ∠=,求POC ∆面积的最大值及此时θ的值。