河北衡水中学高三上学期期中考试数学理试题

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河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)

7.【答案】D
【解析】解： ∵ 푓(푥) = |12−4푠푖푛푥푐표푠푥| = |12−2푠푖푛2푥| ∴ 푓(푥)的最小正周期为푇 = 휋；又 ∵ 푓(푥−푎) = −푓(푥 + 푎)恒成立， ∴ 푓(푥) = −푓(푥 + 2푎)⇒−푓(푥) = 푓(푥 + 2푎)，而−푓(푥) = 푓(푥−2푎)， ∴ 푓(푥 + 2푎) = 푓(푥−2푎)⇒푓(푥) = 푓(푥 + 4푎)，
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18. 已知等差数列{푎푛}前 n 项和푆푛，等比数列{푏푛}前 n 项和为푇푛，푎1 = 1，푏1 = 1，푎 +
2
푏2 = 4．
(1)若푎3 + 푏3 = 7，求数列{푏푛}的通项公式；
(2)若푇3 = 13，求푆5．
19.
已知圆
D：(푥−2)2
+(푦−1)2
=
1 ，点
显然 PM 最小时，四边形面积最小，此时 PC 最小． ∵ 푃是直线푦 = 2 2푥−4上的动点，
∴
푃퐶最小值
=
|0−1−4| 8+1
=
53，
∴ 푃푀最小值 = ( 53)2−12 = 43，
∴
四边形
PMCN
面积的最小值为：2
×
1 2
×
4 3
×
1
=
43．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：由函数푓(푥) = 퐴푠푖푛(휔푥 + 휑)(퐴 > 0,휔 > 0,0 < 휑 < 휋2)的部分图象，
在定点 P，使得以弦 AB 为直径的圆恒过 P 点？若存在，求出 P 点的坐标和 △ 푃퐴퐵

河北省衡水中学2021届高三上学期期中数学(理)试题 (解析版)

河北省衡水中学2021届高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U =R ，若UM N =∅，则a 的取值范围是（）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a <D ．1a ≤2．若直线y kx =与双曲线22194x y-=相交，则k 的取值范围是( )A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,03⎛⎫-⎪⎝⎭C ．22,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．在ABC 中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=（） A ．52-B ．52C ．54-D ．544．已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( ) A ．1n -B ．21n -C ．2n -D ．n5．已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( )A ．17或1-B ．1-C ．1D ．1或1-6．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( )A ．2013B ．1C ．0D ．20147．已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( ) A ．l m ⊥且m 与圆C 相切 B ．l m 且m 与圆C 相切 C ．l m ⊥且m 与圆C 相离D ．l m 且m 与圆C 相离8．若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．24480y x y +-+=D ．2210y x y --+=9．平行四边形ABCD 中，2AB =，AD 1,?1AB AD =⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB⋅的最大值为( ) A 1 B 1C ．0D ．210．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A．2⎤⎥⎣⎦ B．12⎤⎥⎣⎦ C．2⎣⎦ D ．⎣⎦11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．12B 1C ．12D 112．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（）A ．80,11⎛⎫⎪⎝⎭B ．110,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．80,19⎛⎫⎪⎝⎭D ．190,8⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC 则sin sin b cB C++的值为_______________.14．已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC 的周长是_______________.15．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.16．已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=. (1)求角A 的大小；(2)若3b c a +=，试判断ABC 的形状.18．已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）在圆C 上是否存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由19．各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．已知椭圆()2222 :?10xy C a b a b +=>>的离心率e =(),0A a ，()0,B b -的直线的距离是5. （1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k的值.21．已知定点()0,1F ，定直线:1l y =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切.（1）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，求PAB ∆外接圆面积的最小值. 22．设函数()21ln 2f x x ax bx =--．（1）当12a b ==时，求函数()f x 的最大值；（2）令()()212a F x f x ax bx x=+++，（03x <≤）其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．参考答案1．B 【分析】求出集合M ，N 的等价条件，结合条件UM N =∅，建立不等式关系进行求解即可．【详解】由题得1{|1},C {|}222U a a M x x N x x N x x ⎧⎫=-<<=>-∴=≤-⎨⎬⎩⎭，，因为U M N =∅，所以1,122a a -≤-∴≥. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键． 2．C 【分析】联立直线和双曲线的方程得到2236049x k =>-，即得k 的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得222224936,49)36,x k x k x -=∴-=（当2490-=k ，即23k =±时，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点. 当2490k -≠，即23k ≠±时，2236049x k=>-，解之得2233k -<<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 3．C 【分析】用,AB AC 表示出,AD BD ，利用数量积定义，即可容易求得结果.如图所示，∵1()2BD AC AB =-， ∴1()2AD AC AB =+，∴AD BD ⋅=()2211()()2344AC AB AC AB -⋅+=-=﹣54. 故选：C . 【点睛】本题考查利用数量积定义求数量积，属简单题. 4．D 【分析】数列{a n }的前n 项和S n =n 2﹣n ，a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，可得a n ．设正项等比数列 {b n }的公比为q ＞0，b 2=a 3=4．b n +3b n ﹣1=4b n 2（n ≥2，n ∈N +），化为q 2=4，解得q ，可得b n ．【详解】数列{a n }的前n 项和S n =n 2﹣n ，∴a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣2，n=1时也成立． ∴a n =2n ﹣2．设正项等比数列{b n }的公比为q ＞0，b 2=a 3=4． b n +3b n ﹣1=4b n 2（n ≥2，n ∈N +）， ∴2211n n b qb q +-⋅=4121()n b q -，化为q 2=4，解得q=2．∴b 1×2=4，解得b 1=2． ∴b n =2n ．则log 2b n =n ．故答案为：D(1)本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 若在已知数列中存在：()()n n n S f a S f n ==或的关系，可以利用项和公式11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求数列的通项.5．D 【分析】由三角形ABC 为等腰直角三角形，得到圆心C 到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a 的值．【详解】∵由题意得到△ABC 为等腰直角三角形，∴圆心C （1，﹣a ）到直线ax +y ﹣1=0的距离d=rsin45°=，整理得：1+a 2=2，即a 2=1，解得：a=﹣1或1，故答案为D 【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键． 6．A 【分析】由a 2+b 2=2014c 2，利用余弦定理可得a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosBsinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosCc 即可得出．【详解】∵a 2+b 2=2014c 2，∴a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．∴()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosBsinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c =2013．故答案为：A 【点睛】本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识与基本技能方法，属于难题． 7．C 【分析】求圆心到直线的距离，然后与a 2+b 2＜r 2比较，可以判断直线与圆的位置关系，易得两直线的关系．【详解】以点M 为中点的弦所在的直线的斜率是﹣a b ，直线m 的斜率为ba，∴直线l ⊥m ， ∵点M （a ，b ）是圆x 2+y 2=r 2内一点，∴a 2+b 2＜r 2， ∴圆心到bx ﹣ay=r 22＞r ，故相离．故答案为：C 【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 8．C 【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a 的值，然后求出过点C （﹣a ，a ）的圆P 与y 轴相切，就是圆心到C 的距离等于圆心到y 轴的距离，即可求出圆心P 的轨迹方程．【详解】圆x 2+y 2﹣ax +2y +1=0的圆心（12a -，），因为圆x 2+y 2﹣ax +2y +1=0与圆x 2+y 2=1关于直线y=x ﹣1对称，设圆心（12a -，）和（0,0）的中点为（142a -，），所以（142a -，）满足直线y=x ﹣1方程，解得a=2，过点C （﹣2，2）的圆P 与y 轴相切，圆心P 的坐标为（x ，y ）x = 解得：y 2+4x ﹣4y +8=0，所以圆心P 的轨迹方程是y 2+4x ﹣4y +8=0，故答案为：C 【点睛】（1）本题主要考查圆关于直线的对称问题，考查动点的轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求轨迹方程的四种主要方法： ①待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点M 的运动是由于点P 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点P 的坐标，然后代入点P 满足的方程，即得动点M 的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点(,)M x y 的运动主要是由于某个参数ϕ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()x f y g ϕϕ=⎧⎨=⎩，再消参.9．D 【分析】根据向量的数量积的运算，求出A=120°，再建立坐标系，得到MA •MB =x （x ﹣2）+34=x 2﹣ 2x +34=（x ﹣1）2﹣14，设f （x ）=（x ﹣1）2﹣14，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得以解决．【详解】∵平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，AB •AD =﹣1，点M 在边CD 上，∴|AB |•|AD |•cos ∠A=﹣1， ∴cosA=﹣12，∴A=120°，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的坐标系，∴A （0，0），B （2，0），D （﹣12设M （x ，则﹣12≤x ≤32，∴MA =（﹣x MB =（2﹣x ∴MA •MB =x （x ﹣2）+34=x 2﹣2x +34=（x ﹣1）2﹣14，设f （x ）=（x ﹣1）2﹣14，则f （x ）在[﹣12，1）上单调递减，在[1，32]上单调递增，∴f （x ）min =f （1）=﹣14，f （x ）max =f （﹣12）=2，则MA •MB 的最大值是2，故答案为：D【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题． 10．B 【分析】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为：1F ,根据AF BF ⊥，得到四边形为1AF BF 为矩形，再由ABF α∠=，结合椭圆的定义得到22sin 2cos a c c αα=+，然后由1sin cos c e a αα==+求解. 【详解】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为：1F ,因为AF BF ⊥，所以四边形为1AF BF 为矩形，所以12AB FF c == 因为ABF α∠=，所以2sin ,2cos ,AF c BF c αα==由椭圆的定义得：22sin 2cos a c c αα=+，所以11sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,4122πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，142πα⎡⎛⎫+∈⎢⎪⎝⎭⎣，所以12e ⎤∈⎥⎣⎦，故选：B 【点睛】方法点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等． 11．B【分析】根据题目可知，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合PA m PB =，可得1PN PAm=，设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，即可求出的P 的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率．【详解】由题意知，由对称性不妨设P 点在y 轴的右侧，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则根据则抛物线的定义，可得PN PB =，PA m PB =1PN PAm∴= 设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为1y kx =-，与24x y =联立，得2440x kx -+=，令216160k ∆=-=，解得1k =± 可得(2,1)P ，又此时点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上∴双曲线的实轴21)a PA PB =-=1,1a c ∴==1e ∴=故答案选B ．【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到方程思想以及数形结合思想． 12．A 【分析】先由条件①②，得到函数()f x 是周期为4的周期函数；根据③求出函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，根据④得到()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象，结合图象，即可求出结果. 【详解】因为函数()f x 是偶函数，由()()220f x f x +--=得()()()222f x f x f x +=-=-，即()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数；若[]2,0x ∈-，则[]0,2x ∈；因为当[]0,2x ∈时，()f x x =，所以[]0,2x -∈时，()f x x -=-，因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x x f x -=-=，即()f x x =-，[]2,0x ∈-，则函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，因为()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，所以函数()()()48f x f x =，*n N ∈，故()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象如图：易知过()1,0M -的直线l 斜率存在，设过点()1,0-的直线l 的方程为()1y k x =+，则要使直线l 与()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则0MA k k <<，因为7,24A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以20871114MA k -==+，故8011k <<. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到()()4f x 的图象，再由函数交点个数，利用数形结合的方法，即可求解. 13．2 【分析】根据1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭解出A=3π，利用三角形的面积公式算出c=2．根据余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 的式子算出，最后利用正弦定理加以计算，即可得到答案．【详解】 ∵1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A ∈（0，π） ∴2A +6π=56π，可得A =3π∵b=1，△ABC∴S =12112c sinA ⨯⨯⨯=c =2 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bc cosA=1+4﹣2×123cos π⨯=3∴a根据正弦定理，得b c sinB sinC ++=asinA =3sinπ=2故答案为2【点睛】本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．14．【分析】先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决．【详解】平面上有四点O，A，B，C，满足OA+OB+OC=0，∴O是△ABC的重心，∵OA•OB=OB•OC，∴OB•（OA﹣OC）=OB•CA=0，即：OB⊥CA，同理可得：OC⊥BA，OA⊥BC，即O是垂心，故△ABC是正三角形，∵OA•OB=OB•OC=OC•OA=﹣1，令外接圆半径R，则：R2cos（∠AOB）=R2cos（23π）=﹣1即：R即：asinA=3asinπ，即：a，故周长：3a=，故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识，属于中档题．15【分析】设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, 由余弦定理可得 4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos 3π，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②，在双曲线中，化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，2212134e e +=所以，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值. 【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, ∵∠F 1PF 2=3π，则∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos 3π，① 在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②，在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，2212134e e +=所以，由柯西不等式得（1+13）（221213e e +）≥（121e ）21211e e +≤所以【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题． 16．4【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-，又122n n n S a +=-，两式相减得1222n n n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n nn a a ---=．又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12n na n =+，即(1)2nna n =+⋅．因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->．记122311,,224n n n b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n n n n b n n b n ++--==--．所以3n ≥时，11,n nb b +< 综上，max 33()8n b b ==，所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4．考点：1．数列的通项公式；2．解不等式． 17．(1)(2)直角三角形【分析】(1)直接化简3m n +=得1cos 2A =，60A =︒.（2）联立222122b c a bc --=①，b c +=②，化简得2b c =或2c b =，当b=2c 时，可以推理得到ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形. 【详解】(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有 33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331coscos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =︒. (2)∵1cos 2A =，∴222122b c a bc +-=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c +=，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=+==，ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形. 【点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到2b c =或2c b =. 18．（Ⅰ）()()22215x y -+-=. （Ⅱ）见解析. 【分析】（Ⅰ）由已知得圆心经过点P （4，0）、且与y=2x ﹣8垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线x=2上，求得圆心C （2，1）C 的方程．（Ⅱ）假设存在两点M ，N 关于直线y=kx ﹣1对称，则y=kx ﹣1通过圆心C （2，1），求得k=1，设直线MN 为y=﹣x+b ，代入圆的方程，利用韦达定理及 OM •ON =0，求得b 的值，可得结论．【详解】（Ⅰ）法一：由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=. (细则：法一中圆心3分，半径1分，方程2分) 法二：设圆C 的方程为()()22200x x y y r -+-=，可得()222000022200,1,424x y r y x x y r r ⎧⎪+=⎪⎪⎪=-⎨-⎪⎪⎛⎫⎪-+== ⎪⎪⎝⎭⎩解得002,1,x y r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,所以圆C 的方程为()()22215x y -+-= (细则：方程组中一个方程1分)（Ⅱ）假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =，所以设直线MN 为y x b =-+代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=，设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()221212230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=解得0b =或3b =这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件 (细则：未判断0∆>的扣1分). 【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键19．（1）1p =（2）12n n a +=（3） ()1122n n T n +=-⋅+ 【分析】(1)令()222n n n S pa pa p p R =+-∈中n=1即得p 的值.(2)利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(3)先求出4223nn n n S b n n =⋅=⋅+，再利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n n n S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-②由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=.(3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+， ∴231222322nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，()()2311121222222212212n nn n n n T n n n +++--=+++⋯+-⋅=-⨯=--⋅--()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.20．（1）221164x y +=；（2）4k =±. 【分析】（1）由离心率e =2a b =，再求出直线1:B x a A y b -=，从而得5d ==，解方程组可求出,a b 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，再将直线()10y kx k =+≠与椭圆方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系可得2234214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k=+=+，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，可得20M M x ky k ++=，从而可求出k 的值【详解】解：（1）因为c a =222a c b -=，所以2a b =. 因为原点到直线1:B x a A y b -=的距离5d ==，解得4a =，2b =.故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=.可知0∆>.设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2234214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k=+=+，因为E ，F 都在以B 为圆心的圆上，且()0,2B -，所以21M My k x +⋅=-，所以20M M x ky k ++=.即224201414k kk k k -++=++.又因为0k ≠，所以218k =.所以4k =±【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将EF 的中点(),M M M x y 坐标用含k 的式子表示，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，得20M M x ky k ++=，将点M 的坐标代入可求出k 的值，考查计算能力，属于中档题21．（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设(),M x y =1y +化简即可得结论；（Ⅱ）由题意PAB △的外接圆直径是线段AB ，设AB l ：1y kx =+，与 24x y =联立得2440x kx --=，从而得()241AB k =+，0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.试题解析：（Ⅰ）设点M 到直线l 的距离为d ，依题意MF d =.设(),M x y = 1y +.化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =. （Ⅱ）设AB l ：1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-.所以AB = ()21241x x k ⋅-=+.因为C ：24x y =，即24x y =，所以2x y '=. 所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =. 因为121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB 为直角三角形.所以PAB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是直径. 因为()241AB k =+，所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x =⎧⎪⎨=⎪⎩代入()00,0=f x y .本题（Ⅰ）就是利用方法①求圆心轨迹方程的.22．（1）34-；（2）12a ≥；（3）12m =. 【分析】（1）对函数求导，根据导数大于0或小于0，确定函数的单调区间，进而求出函数的最大值.（2）求出()(]ln ,0,3a F x x x x=+∈，根据()012'=≤k F x ，列不等式，分离参数可得200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，进而求出结果. （3）22ln 20x m x mx --=有唯一正实数解,构造函数()22ln 2g x x m x mx =--，对函数求导，确定函数的单调区间，进而求出函数的最小值为0，进而求出m 值.【详解】（1）依题意，知()f x 的定义城为()0,∞+，当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--，()()()21111222x x f x x x x-+-'=--=，令()0f x '=，解得1x =. 当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值. （2）()(]ln ,0,3a F x x x x=+∈，则有()002012x a k F x x -'==≤，在(]00,3x ≤上恒成立，所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，22000111(1)+222-+=--x x x 取得最大值12，所以12a ≥. （3）因为方程()22mf x x =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=有唯一正实数解，设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222x mx m g x x --'=，令()0g x '=，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以102m x =<（舍去），202m x +=>，当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增；故2x x =时，()20g x '=，()g x 取最小值()2g x因为()0g x =有唯一正实数解，所以()20g x =，则()()220,0,g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 20,0,x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩ 所以222ln +0-=m x mx m ，因为0m >，所以()222ln 10x x +-=*.设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程（*）的解为21x =，即12m +=，解得12m =.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.。

河北衡水中学高三数学上学期期中试题理新人教A版

高三年级数学（理科）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （）（A（B）（C ）4 （D ）122．若集合{}{}2540;1,A x x x B x x a =-+=-＜＜则“(2,3)a ∈”是“B A ⊆”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3．已知平面向量,m n 的夹角为，在ABC ∆中，22AB m n =+，26AC m n =-，D 为BC 中点，则AD =( ) A.2 B.4 C.6 D.84．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）（A ）9214+π （B ）8214+π （C ）9224+π （D ）8224+π5．已知等差数列{}n a 中，37101140,4a a a a a +-=-=，记12n n S a a a =+++，S 13=( )A ．78B ．68C ．56D ．526(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（）A7．在△ABC中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cosa Bb A =,则侧视正视图俯视图2sin cos B C -的最大值是( )A ．1 B. 3 C. 7 D. 278．若函数1()e (0,)ax f x a b b=-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（）（A ）4 （B ）22（C ）2 （D ）29. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是( )A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦10．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ﹣ABC 的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O 的表面积为（）A ．24π B. 32π C. 48π D. 192π11．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（）（A ）10,5,5+∞（]（）（B ）10,[5,5+∞（））（C ）11,]5,775（（）（D ）11,[5,775（））12．对于定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，,x D ∃∈使得0|()|f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”．现给出如下函数： ①()()f x x x Z =∈； ②()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；③ ()2log f x x =； ④()1x f x x -=.其中为“敛1函数”的有A ．①②B ．③④C ． ②③④D ．①②③Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13. 过点(1,1)-的直线与圆2224110x y x y +---=截得的弦长为43，则该直线的方程为。

2018-2019学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)(精编含解析)

则双曲线
C
��2
的方程为 4
‒
��2 12
=
1，
故选：D．根据圆的性质，求出圆心坐标，即�� = 4求出 A 的坐标，代入圆的方程进行求解即可．本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径�� = 4是解决本题的关键．
9. 已知过点��(��,0)作曲线 C：�� = �� ⋅ ��的切线有且仅有两条，则实数 a 的取值范围是( )
故选：D．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5. 已知命题 p：若�� > 2且�� > 2，则�� + �� < ��；命题 q：∃�� > 0，使(�� ‒ 1) ⋅ 2�� = 1，则下列命题中为真命题的是(
可得��
=
��2 �� +
1，即方程��2
‒
��
‒
��
=
0有两个解，
则有 △= ��2 + 4�� > 0可得�� > 0或�� <‒ 4．
即 a 的取值范围是( ‒ ∞, ‒ 4) ∪ (0, + ∞)．
故选：A．设切点为(��,��)，求得�� = �� ⋅ ��的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入 A 的坐标，整理为 m 的二次方程，

河北省衡水中学2021届高三数学上学期期中试题理替(1)

20212021学年度上学期高三年级期中考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）一、设集合{|1},{|1}A x x B x x =>-=≥，那么“x A ∈且x B ∉”成立的充要条件是（）A ．11x -<≤B ．1x ≤C ．1x >-D ．11x -<<二、已知实数1,,9m 成等比数列，那么圆锥曲线221x y m-=的离心率为（） A 6 B ．2 C 6 2 D ．223 3、已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，那么以下说法正确的选项是（）A ．,////m n m n αα⊂⇒B ．,m n m n αα⊂⊥⇒⊥C ．,,////m n n m αβαβ⊂⊂⇒D ．,n n βααβ⊂⊥⇒⊥4、一个锥体的正视图和侧视图如下图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A B C D五、要取得函数()cos(2)3f x x π=+的图象，只需将函数()sin(2)3g x x π=+的图象（） A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度六、若是把直角三角形的三边都增加一样的长度，那么取得的那个新三角形的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7、如下图，医用输液瓶能够视为两个圆柱的组合体，开始输液时，滴管内匀速淌下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x 分钟，瓶内液面与进气管的距离为h 厘米，已知当0x =时，13h =，若是瓶内的药液恰好156分钟滴完，那么函数()h f x =的图象为（）八、已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标点，且有33OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（）A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．九、函数()32423100x x x x f x ex ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，在[]2,2-上的最大值为2，那么a 的取值范围是（） A ．1ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．10,ln 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．(),0-∞ D ．1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10、抛物线的弦与过弦的断点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：假设抛物线的弦过核心，那么过弦的断点的来两条切线的交点在其准线上，设抛物线22(0)y px x =>，弦AB 过核心，ABQ ∆且其阿基米德三角形，那么ABQ ∆的面积的最小值为（）A ．22p B ．2p C ．22p D ．24p 1一、四面体ABCD 的四个极点都在球O 的表面上，AB ⊥平面,ABCD BCD ∆是边长为3的等边三角形，假设2AB =，那么球O 的表面积为（）A ．4πB ．12πC ．16πD ．32π1二、假设概念在R 上的函数()f x 知足()()()(),2f x f x f x f x -=-=，且当[]0,1x ∈时，()f x =，那么函数()2()H x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：每题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

河北省衡水中学2021届高三第一学期中考试数学试卷(理科)

（5分）己知数列｛。

〃｝的前”项和Sn = ir - n,正项等比数列｛》〃｝中，》2 =々3，址3岛1 =牺“2 （”22）住N+,则 log2^=（）（5分）已知直线欢顷・1= 0与圆C ：（x- I ）2+ （对。

）2 = 1相交于H, 3两点，且△，招C为等腰直角三角形，则实数々的值为（）6.（5分）在△纽C 中,川"别是角M 、C 的对边，若罚J 。

*,则号篇的值为（）2020-2021学年河北省衡水中学高三（±）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。

1. （5 分）集合 M=（x|2x 2-x- KO}, N={x\2x+a>0}. U=R,若也^。

成=0,则〃的取值范围是（） A. a>lC. a<l 2.x 2 y 2（5分）若直线y=kx 与双曲线一一二=1相交，则吊勺取值范围是（） 9 4 2 A. （0. |） 2 B ・0） 3. 2 2 C •（一如 3）2 2D. （一8, 一亍）U （］， +8）（5 分）在&4BC 中，且8 = 3, ,4C=2, BD = *BC,贝\\AD^BD 的值为（） --I5 B.- 2 c-"I5D. 一44. A. 77-1B. 2〃 - 1C. 〃・2D. n5. A.-或一17B. - 1C. 1或・1D. 1A. 0B. 1C. 2013D. 20147.（5分）已知点M （a, b ）（由商））是圆C ： U+）2=,2内一点，直线/是以就为中点的弦所在的直线，直线〃?的方程为bx-ay=P,那么（）A. /且，〃与圆C 相切B. l//m 且成与圆C 相切C. lA.ni 且“7与圆C 相离D. l//ni 且m 与圆C 相离8. （5 分）若圆 x 2+yr - ax+2_y+l = 0 与圆 x 2+yr=l 关于直线），=、-1 对称，过点 C （ -a, a ）的圆F 与>轴相切，则圆心F 的轨迹方程为（）A. y 2 - 4x+4>H-8=0B. y 2 - 2x - 2y+2 = 0C. ）2+4* ・ 4）+8=0D. >,2 - 2x - v - 1 = 09. （5分）平行四边形.158 中,AB=2, .W=b AB^AD = -h 点Af 在边CD 上，则 MB 的最大值为（）A. 2B. 2V2-1C. 5D. V3-1y 210. （5分）已知椭圆—+;-=l （^>^>0）上一点H 关于原点的对称点为点3, F 为其右a 2b 2焦点，若耽，设ZABF=a,且灰£,务，则该椭圆离心率e 的取值范围为（）A.［手,y ］B.［孚,1）C.［孚,V3-1］D.序乎］11. （5分）己知点H 是抛物线jr=4y 的对称轴与准线的交点，点8为抛物线的焦点，F 在抛物线上且满足|B4|="i 『8|，当，〃取最大值时，点F 恰好在以.4, B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）12. （5分）己知定义在R 上的函数/（x ）满足如下条件：①函数/（x ）的图象关于y 轴对称；倨TA. -------v f 2 + l B.2C. V2+1D. V5-1②对任意x£R，/（2+x） -/（2-x） =0：③当能［0, 2］时./（x） =x；④函数/ S （x） =r （2" l・x）, 若过点（-1,0）的直线7与函数/.4）（X）的图象在［0,2］上恰有8个交点.则直线/斜率上的取值范围是（）二、填空麟本题共4个小题，每小题5分.共20分。

河北省衡水市衡水中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

2019-2020学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(理科)一、选择题1.已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（） A. -4 B. -1C. 1D. 4【答案】C 【解析】【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a -⨯=-，解得1a =.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.2.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2578220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且77b a =，则212b b 等于（）A.49B.32C.94D.23【答案】C 【解析】由题意可得：()()2225787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=，7730,2a a ≠∴=Q ，则：222127794b b b a ===. 本题选择C 选项.3.对于函数()f x ，若存在区间[,]A m n =使得{|(),}y y f x x A A =∈=则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：①()cos2f x x π=；②2()1f x x =-；③2()|1|f x x =-；④2()log (1)f x x =-.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（） A. ①②③ B. ①②C. ②③D. ①②④【答案】A 【解析】 ①()cos2f x x π= ，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②()21f x x =-，x∈[-1，0]时，f （x ）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；③()21f x x =-，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④()()2log 1f x x =-，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x 是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为①②③．点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数f （x ）和函数y=x 图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．4.设θ为两个非零向量,a b r r的夹角，已知对任意实数t ，b ta +r r 的最小值为1，下列说法正确的是（）A. 若θ确定，则a r唯一确定 B. 若θ确定，则b r唯一确定 C. 若a r确定，则θ唯一确定D. 若b r确定，则θ唯一确定【答案】B 【解析】【分析】对式子b ta +r r 平方转化成关于t 的二次函数，再利用最小值为1，得到()221cos 1b θ-=r ，进而判断θ与b r之间的关系．【详解】222222222cos b ta b ta b t a a t a b t b θ+=+⋅+=+⋅⋅+r r r r r r r r r r .因为min1b ta+=r r ，所以()2222222244cos 1cos 14a b a b b aθθ⋅-⋅=-=r r r r r r .所以22sin 1b θ=r ，所以sin 1b θ=r ，即1sin b θ=r .所以θ确定，b r 唯一确定.故选B.【点睛】本题考查向量模的最值、数量积运算、向量夹角等知识，考查与二次函数进行交会，求解时不能被复杂的表达式搞晕，而是要抓住问题的本质，始终把22||,||a b r r 看成实数．5.已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( ) A.43B.23C.53D.56【答案】A 【解析】【分析】利用当CP 与直线224y x =-垂直时，PC 取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出PC 的最小值，然后利用勾股定理计算出PM 、PN 的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形PMCN 面积的最小值．【详解】如下图所示：由切线的性质可知，CM PM ⊥，CN PN ⊥，且PCM PCN ∆≅∆，2221PM PN PC CMPC ==-=-当PC 取最小值时，PM 、PN 也取得最小值，显然当CP 与直线24y x =-垂直时，PC 取最小值，且该最小值为点()0,1C 到直线224y x=-的距离，即()()min221453221PC--==+-，此时，22min min min541133PM PN PC⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭，∴四边形PMCN面积的最小值为min11442212233PM CM⨯⋅=⨯⨯⨯=，故选A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．6.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A wx Aπϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则3()4fπ=（）A.22- B.12- C. 1- D. 22【答案】C【解析】【分析】根据图像最低点求得A，根据函数图像上两个特殊点求得,ωϕ的值，由此求得函数()f x解析式，进而求得3π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】根据图像可知，函数图像最低点为7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，故2A=，所以()2sin()f x xωϕ=+，将点(7π3,,212⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 解析式得2sin 37π2sin 212ϕωϕ⎧=⎪⎨⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得2π3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3π3ππ2sin 21443f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.7.已知函数1()4sin cos 2f x x x =-，若()()f x a f x a -=-+恒成立，则实数a 的最小正值为（） A. 2π B. πC.2π D.4π 【答案】D 【解析】【分析】先化简f (x ),分析出f (x )本身的最小正周期T ，再根据()()f x a f x a -=-+分析出用a 表示f (x )的最小正周期，最后根据两者相等，求得a 的最小正值．【详解】由1()4sin cos 2f x x x =-，则1()2sin 22f x x =-，所以f (x )的最小正周期T=π 因为()()f x a f x a -=-+，则',()(2)x x a f x f x a =+=-+‘，令则，，这f (x )的最小正周期T=4a ,所以4a =π，所以实数a 的最小正值是4π，故答案选D 【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析函数周期8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，12n n a S +=，则数列1{}na 的前20项和为（） A.1931223-⨯ B.1971443-⨯ C.1831223-⨯ D.1871443-⨯【答案】D 【解析】12n n a S +=，∴12n n a S -= 相减得()132n n a a n +=≥ 由11a =得出2212,3a a a =≠()21,123,2n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ，1n a =21,111,223n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩011812201111111......1......2333a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 191911113131111222313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=+⋅-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦= 1871443-⨯ 故选D点睛：已知数列的n a 与n S 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n 的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.9.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（） A.31+ B.31C.22D.51- 【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212312e -==，故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题. 10.已知函数()sin 3f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π-B. 0C.3π D.23π 【答案】D 【解析】【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数2()sin 33sin()(f x a x x a x θθ==++为辅助角)，由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即23322a a +=+1a =，所以()2sin()3f x x π=-，又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈，所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈，当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为()A. (,)e -∞B. (0,]eC. (,2)-∞D. (0,2]【答案】B 【解析】【分析】利用函数求导函数 f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），只有一个极值点时f ′（x ）＝0只有一个实数解，有e x ﹣kx ≥0，设新函数设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx ，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】解：函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点， f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），若函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点，f ′（x ）＝0只有一个实数解，则：e x ﹣kx ≥0，从而得到：e x ≥kx ，当k ＝0 时，成立．当k ≠0时，设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx如图：当两函数相切时，k ＝e ，此时得到k 的最大值，但k ＜0时不成立．故k 的取值范围为：（0，e ] 综上：k 的取值范围为：[0，e ]故选B ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．12.双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°．若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝（） A. 1143+B. 1353+C. 163-D.19103-【答案】D 【解析】【分析】设22BF m =，根据2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o，以及双曲线的性质可得212(33),2(23)AF a AF a ==，再根据勾股定理求得,a c 的关系式，即可求解.【详解】由题意，设22BF m =，如图所示，因为2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o，由212AF AF a -=，所以132AF m a =-，由212BF BF a -=，所以122BF m a =-，所以11AF BF AB +=3222m a m a m -+-=，所以2(31)m a =，所以232(31)2(33)AF a a ==，12(33)22(23)AF a a a =-=，在直角12F AF ∆中，222124AF AF c +=，即222224(33)4(23)4a a c +=，整理得22(19103)a c -=，所以22219103c e a==-故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．.二、填空题13.已知向量,,1,2a b a b ==v v v v，且210a b +=r r a b ⋅=r r ___________．【答案】12【解析】【分析】把210a b +=r r1,2a b ==r r 代入，化简即可得结果. 【详解】因为1,2a b ==r r，所以222448410a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=vv v vv v v v12a b ∴⋅=v v ，故答案为12.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=r r r r ，二是1212a b x x y y ⋅=+r r，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=r r g r r g （此时a b r r g 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r 在b r上的投影是a b b⋅r r r ；（3）,a b r r 向量垂直则0a b ⋅=r r ;(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b ⋅r r ）.14.已知抛物线E ：212y x ＝的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与E 交于A ，B 两点，过A 作AM l ⊥，垂足为M ，AM 的中点为N ，若AM FN ⊥，则AB ＝___________. 【答案】16 【解析】【分析】由题意画出图形，得到直线AB 的斜率，进一步求得直线AB 的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．【详解】AF AM =Q ，N 为AM 的中点，且FN AM ⊥，30AFN ∴∠=︒，则直线AB 的倾斜角为60︒，斜率为3．由抛物线212y x =，得(3,0)F ，则直线AB 的方程为3(3)y x =-．联立23(3)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x -+=．则10A B x x +=， ||16A B AB x x p ∴=++=．故答案为：16．【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题．15.已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为________ 【答案】(1,)-+∞ 【解析】【分析】先求导数，判断函数21()()2x f x x x e -=-的单调性，可得1x >时大致图象，利用数形结合求解.【详解】()10f x mx m -++Q „()(1)1f x m x ∴--„(1)1y m x =--Q 过定点(1,1)-Q 当1x >时，()10f x mx m -++≤有解∴当1x >时,存在()y f x =在(1)1y m x =--的下方，()21()2x f x x e -'=-Q令()0f x '=，解得2x =，当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，()f x ∴在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增， Q 当2x >时，()0f x >，又(1)1,(2)1,(2)0f f f =-<-=，作函数()y f x =，(1)1y m x =--的大致图象：由图象可知：1m >-时满足条件，故答案为：(1,)-+∞【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值、图象，直线过定点，数形结合，属于难题.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【答案】1 【解析】【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题17.如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60o 角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设BDE α∠=．（1）当60α=o 时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．【答案】（123；（2）333,82⎛ ⎝⎦. 【解析】【分析】（1）根据角度可确定四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形；利用ABC BDE CDF S S S ∆∆∆--即可求得结果；（2）利用正弦定理，用α表示出BE 和CF ，利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式可将BE CF +化简为()312sin 2301α+-+o，利用3090α<<o o 可求得BE CF +的范围；从而将所求面积表示为())33S BE CF α=+，进而得到所求范围. 【详解】（1）当60α=o 时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 6032ABC S km ∆=⨯⨯⨯=o ，)21311sin 602BDE CDF S S km ∆∆==⨯⨯⨯=o ∴)23332km =（2）由题意知：3090α<<o o在BDE ∆中，120BED α∠=-o，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-o在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠= 由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=o()()()()22sin 120sin sin 120sin sin sin 120sin 120sin BE CF αααααααα-+-∴+=+=--o o o o2222231533sin sin sin cos cos 24243131sin cos sin sin cos sin ααααααααααααα⎫++⎪+⎝⎭==⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭()23341112sin 2301313sin 2cos 21sin cos sin αααααα==+=+-+-++o3090α<<ooQ 30230150α∴<-<o o o ()1sin 23012α∴<-≤o ()352122sin 2301α∴≤+<-+o，即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()())133sin 6032ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=+=+o 52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Q )33333BE CF +∈⎝⎦即绿化面积()S α的取值范围为：3382⎛⎝⎦ 【点睛】本题考查解三角形知识的实际应用问题，涉及到正弦定理和三角形面积公式的应用、三角恒等变换中的两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式的应用；求解范围类问题的关键是能够构造出关于某一变量的函数，从而利用函数求值域的方法求得结果.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =，11b =，224a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若313T =，求5S .【答案】（1）12n n b -=；（2）5或75.【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠，由已知条件求出q ，再写出通项公式；（2）由1313T =，求出q 的值，再求出d 的值，求出5S .【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠有()14d q ++=，即3d q +=.（1）∵()2127d q ++=，结合3d q +=得2q =，∴12n n b -=.（2）∵23113T q q =++=，解得4q =-或3，当4q =-时，7d =，此时55457752S ⨯=+⨯=；当3q =时，0d =，此时5155S a ==.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.19.已知圆22:(2)(1)1D x y -+-=，点A 在抛物线2:4C y x =上，O 为坐标原点，直线OA 与圆D 有公共点.（1）求点A 横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA 过圆心D 时，过点A 作抛物线的切线交y 轴于点B ，过点B 引直线l 交抛物线C 于,P Q 两点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线,OA OQ 交于,M N ，求证：M 为PN 中点.【答案】（1）)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）见证明【解析】【分析】（1）设:OA l y kx =，联立抛物线，再利用圆D 与直线相交建立不等式，从而确定点A 横坐标的取值范围；（2）可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用韦达定理即可证明M 为PN 中点.【详解】解：（1）由题意直线OA 斜率存在且不为零，设:OA l y kx =2244A y kx x y xk =⎧⇒=⎨=⎩ ()2,1D 到:0OA l kx y -=22141031k k k -≤⇒≤≤+，所以)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）当直线OA 过圆心()2,1D 时，()214,16,16,82A k x A k=== ()2402y x y y x y x'=>⇒=⇒=，所以1614AB x k y -='=， ()18164AB l y x -=-：即144y x =+，所以()04B ，，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由214:,:2OA OQ l y x l y x y ==得22112,8M N y y y y y ==22441604y mx my y y x=+⎧⇒-+=⎨=⎩，所以1212416,y y y y m m +== ()222211121112124+=2164P N M y y y y y y m y y y y y y y m+=+===，即M 为PN 中点．【点睛】本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.20.已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ；（2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S . 【答案】（1）33,22⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，33S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）Q 等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==，所以集合3{S =03}．（2）Q 12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33,,022S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T=时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-．与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．21.已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+. 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.（Ⅱ）见证明【解析】【分析】（Ⅰ）求得函数的导数1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=，当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<，因此当1x e=时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>，可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点，因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为22，且过定点2M . （1)求椭圆C 的方程；（2)已知直线1:()3l y kx k R =-∈与椭圆C 交于,A B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点P 的坐标和PAB ∆的面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2224155y x += (2)见解析【解析】【分析】（1）本问考查了椭圆的离心率公式，以及椭圆的方程、性质，通过条件构建关于基本量,,a b c 的方程组，求解即可．（2）本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用条件以弦AB 为直径的圆恒过点P ，将几何关系代数化，利用韦达定理建立方程，判断方程是否有解．【详解】解：（1)由已知22222222522511142c e a a b c a b a b⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎩⎪⎩，椭圆C 的方程为2224155y x +=.（2)由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得229(24)12430k x kx +--=.① 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 方程①的两根， 1212221243,9(24)9(24)k x x x x k k ∴+==-++ 设(0,)P p ，则1122(,),(,)PA x y p PB x y p =-=-u u u r u u u r ，22121212121212112()()()()333p PA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++u u u r u u u r 2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+ 假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ，则PA PB ⊥u u u r u u u r ，即0PA PB ⋅=u u u r u u u r ，即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立，22184503624390p p p ⎧-=∴⎨+-=⎩此方程组无解，∴不存在定点满足条件．【点睛】本题的关键是将条件“以弦AB 为直径的圆恒过点P ”，几何关系代数化，和联立方程组得到的韦达定理联系起来，建立关于参数p 的方程．。

河北省衡水市衡水中学2021届高三数学上学期期中试题理(含解析)

河北省衡水市衡水中学2021届高三数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题1.已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（） A. -4 B. -1C. 1D. 4【答案】C 【解析】【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a -⨯=-，解得1a =.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.2.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2578220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且77b a =，则212b b 等于（）A.49B.32C.94D.23【答案】C 【解析】由题意可得：()()2225787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=，7730,2a a ≠∴=，则：222127794b b b a ===. 本题选择C 选项.3.对于函数()f x ，若存在区间[,]A m n =使得{|(),}y y f x x A A =∈=则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：①()cos2f x x π=；②2()1f x x =-；③2()|1|f x x =-；④2()log (1)f x x =-.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（） A. ①②③ B. ①②C. ②③D. ①②④【答案】A 【解析】 ①()cos2f x x π= ，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②()21f x x =-，x∈[-1，0]时，f （x ）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；③()21f x x =-，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④()()2log 1f x x =-，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x 是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为①②③．点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数f （x ）和函数y=x 图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．4.设θ为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，下列说法正确的是（）A. 若θ确定，则a 唯一确定B. 若θ确定，则b 唯一确定C. 若a 确定，则θ唯一确定D. 若b 确定，则θ唯一确定【答案】B 【解析】【分析】对式子b ta +平方转化成关于t 的二次函数，再利用最小值为1，得到()221cos 1b θ-=，进而判断θ与b 之间的关系．【详解】222222222cos b ta b ta b t a a t a b t b θ+=+⋅+=+⋅⋅+.因为min1b ta+=，所以()2222222244cos 1cos 14a b a b baθθ⋅-⋅=-=.所以22sin 1b θ=，所以sin 1b θ=，即1sin b θ=.所以θ确定，b 唯一确定. 故选B.【点睛】本题考查向量模的最值、数量积运算、向量夹角等知识，考查与二次函数进行交会，求解时不能被复杂的表达式搞晕，而是要抓住问题的本质，始终把22||,||a b 看成实数． 5.已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( ) A.43B.23C.53D.56【答案】A 【解析】【分析】利用当CP 与直线224y x =-垂直时，PC 取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出PC 的最小值，然后利用勾股定理计算出PM 、PN 的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形PMCN 面积的最小值．【详解】如下图所示：由切线的性质可知，CM PM ⊥，CN PN ⊥，且PCM PCN ∆≅∆，2221PM PN PC CMPC ==-=-当PC 取最小值时，PM 、PN 也取得最小值，显然当CP 与直线24y x =-垂直时，PC 取最小值，且该最小值为点()0,1C 到直线224y x=-的距离，即()()min221453221PC--==+-，此时，22min min min541133PM PN PC⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭，∴四边形PMCN面积的最小值为min11442212233PM CM⨯⋅=⨯⨯⨯=，故选A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．6.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A wx Aπϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则3()4fπ=（）A.22- B.12- C. 1- D. 22【答案】C【解析】【分析】根据图像最低点求得A，根据函数图像上两个特殊点求得,ωϕ的值，由此求得函数()f x解析式，进而求得3π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】根据图像可知，函数图像最低点为7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，故2A=，所以()2sin()f x xωϕ=+，将点(7π,,212⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x解析式得2sin 7π2sin 212ϕωϕ⎧=⎪⎨⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得2π3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3π3ππ2sin 21443f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.7.已知函数1()4sin cos 2f x x x =-，若()()f x a f x a -=-+恒成立，则实数a 的最小正值为（） A. 2π B. πC.2π D.4π 【答案】D 【解析】【分析】先化简f (x ),分析出f (x )本身的最小正周期T ，再根据()()f x a f x a -=-+分析出用a 表示f (x )的最小正周期，最后根据两者相等，求得a 的最小正值．【详解】由1()4sin cos 2f x x x =-，则1()2sin 22f x x =-，所以f (x )的最小正周期T=π 因为()()f x a f x a -=-+，则',()(2)x x a f x f x a =+=-+‘，令则，，这f (x )的最小正周期T=4a ,所以4a =π，所以实数a 的最小正值是4π，故答案选D 【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析函数周期8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，12n n a S +=，则数列1{}na 的前20项和为（） A.1931223-⨯ B.1971443-⨯ C.1831223-⨯ D.1871443-⨯ 【答案】D【解析】12n n a S +=，∴12n n a S -= 相减得()132n n a a n +=≥ 由11a =得出2212,3a a a =≠()21,123,2n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ，1n a =21,111,223n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩011812201111111......1......2333a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦191911113131111222313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=+⋅-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦ = 1871443-⨯ 故选D点睛：已知数列的n a 与n S 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n 的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.9.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（）1C.2D.【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212e -==，故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.10.已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π-B. 0C.3π D.23π 【答案】D 【解析】【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)，由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-，又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈，所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈，当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为()A. (,)e -∞B. (0,]eC. (,2)-∞D. (0,2]【答案】B 【解析】【分析】利用函数求导函数 f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x﹣kx ），只有一个极值点时f ′（x ）＝0只有一个实数解，有e x﹣kx ≥0，设新函数设u （x ）＝e x，v （x ）＝kx ，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】解：函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点， f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），若函数f （x ）＝e x（x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点，f ′（x ）＝0只有一个实数解，则：e x﹣kx ≥0，从而得到：e x ≥kx ，当k ＝0 时，成立．当k ≠0时，设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx如图：当两函数相切时，k ＝e ，此时得到k 的最大值，但k ＜0时不成立．故k 的取值范围为：（0，e ] 综上：k 的取值范围为：[0，e ] 故选B ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．12.双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°．若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝（）A. 11+B. 13+C. 16-D.19-【答案】D 【解析】【分析】设22BF m =，根据2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=，以及双曲线的性质可得212(32(2AF a AF a ==，再根据勾股定理求得,ac 的关系式，即可求解.【详解】由题意，设22BF m =，如图所示，因为2F AB∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=，由212AF AF a -=，所以12AFa =-，由212BF BF a -=，所以122BF m a =-，所以11AF BF AB +=222a m a m -+-=，所以21)m a =，所以221)2(3AF a a ==，12(322(2AF a a a =-=，在直角12F AF ∆中，222124AF AF c +=，即222224(34(24a a c +=，整理得22(19a c -=，所以22219c e a==-故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．. 二、填空题13.已知向量,,1,2a b a b ==，且210a b +=，则a b ⋅=___________．【答案】12【解析】【分析】把210a b +=平方，将1,2a b ==代入，化简即可得结果. 【详解】因为1,2a b ==，所以222448410a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=，12a b ∴⋅=，故答案为12. 【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）. 14.已知抛物线E ：212y x ＝的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与E 交于A ，B 两点，过A作AM l ⊥，垂足为M ，AM 的中点为N ，若AM FN ⊥，则AB ＝___________. 【答案】16 【解析】【分析】由题意画出图形，得到直线AB 的斜率，进一步求得直线AB 的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．【详解】AF AM =，N 为AM 的中点，且FN AM ⊥，30AFN ∴∠=︒，则直线AB 的倾斜角为60︒，斜率为3．由抛物线212y x =，得(3,0)F ，则直线AB 的方程为3(3)y x =-．联立23(3)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x -+=．则10A B x x +=， ||16A B AB x x p ∴=++=．故答案为：16．【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题．15.已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为________ 【答案】(1,)-+∞ 【解析】【分析】先求导数，判断函数21()()2x f x x x e-=-的单调性，可得1x >时大致图象，利用数形结合求解. 【详解】()10f x mx m -++()(1)1f x m x ∴--(1)1y m x =--过定点(1,1)-当1x >时，()10f x mx m -++≤有解∴当1x >时,存在()y f x =在(1)1y m x =--的下方，()21()2x f x x e -'=-令()0f x '=，解得2x =，当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，()f x ∴在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又(1)1,(2)1,(2)0f f f =-<-=，作函数()y f x =，(1)1y m x =--的大致图象：由图象可知：1m >-时满足条件，故答案为：(1,)-+∞【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值、图象，直线过定点，数形结合，属于难题.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【答案】1 【解析】【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力. 三、解答题17.如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设BDE α∠=．（1）当60α=时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．【答案】（1）232km ；（2）333,82⎛ ⎝⎦. 【解析】【分析】（1）根据角度可确定四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形；利用ABC BDE CDF S S S ∆∆∆--即可求得结果；（2）利用正弦定理，用α表示出BE 和CF ，利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式可将BE CF +化简为()312sin 2301α+-+，利用3090α<<可求得BE CF +的范围；从而将所求面积表示为()()4S BE CF α=+，进而得到所求范围. 【详解】（1）当60α=时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 6032ABC S km ∆=⨯⨯⨯=，)21311sin 6024BDE CDFS S km ∆∆==⨯⨯⨯= ∴)22km =（2）由题意知：3090α<<在BDE ∆中，120BED α∠=-，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠= 由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=()()()()22sin 120sin sin 120sin sinsin 120sin 120sin BE CF αααααααα-+-∴+=+=--2222153sin sin sin cos cos 222ααααααα⎫++⎪+==⎝⎭()331112sin 2301α==+=+-+3090α<< 30230150α∴<-< ()1sin 23012α∴<-≤()352122sin 2301α∴≤+<-+，即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()())1sin 6032ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=+=+52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭ ),482BE CF ⎛+∈ ⎝⎦即绿化面积()S α的取值范围为：82⎛ ⎝⎦【点睛】本题考查解三角形知识的实际应用问题，涉及到正弦定理和三角形面积公式的应用、三角恒等变换中的两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式的应用；求解范围类问题的关键是能够构造出关于某一变量的函数，从而利用函数求值域的方法求得结果.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =，11b =，224a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若313T =，求5S .【答案】（1）12n n b -=；（2）5或75.【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠，由已知条件求出q ，再写出通项公式；（2）由1313T =，求出q 的值，再求出d 的值，求出5S .【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠有()14d q ++=，即3d q +=.（1）∵()2127d q ++=，结合3d q +=得2q =，∴12n n b -=.（2）∵23113T q q =++=，解得4q =-或3，当4q =-时，7d =，此时55457752S ⨯=+⨯=；当3q =时，0d =，此时5155S a ==.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.19.已知圆22:(2)(1)1D x y -+-=，点A 在抛物线2:4C y x =上，O 为坐标原点，直线OA 与圆D 有公共点.（1）求点A 横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA 过圆心D 时，过点A 作抛物线的切线交y 轴于点B ，过点B 引直线l 交抛物线C 于,P Q 两点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线,OA OQ 交于,M N ，求证：M 为PN 中点.【答案】（1）)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）见证明【解析】【分析】（1）设:OA l y kx =，联立抛物线，再利用圆D 与直线相交建立不等式，从而确定点A 横坐标的取值范围；（2）可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用韦达定理即可证明M 为PN 中点.【详解】解：（1）由题意直线OA 斜率存在且不为零，设:OA l y kx =2244A y kx x y x k =⎧⇒=⎨=⎩()2,1D 到:0OA l kx y -=4103k ≤⇒≤≤，所以)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）当直线OA 过圆心()2,1D 时，()214,16,16,82A k x A k=== ()240y x y y y '=>⇒=⇒=，所以1614AB x k y -='=， ()18164AB l y x -=-：即144y x =+，所以()04B ，，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由214:,:2OA OQ l y x l y x y ==得22112,8M N y y y y y ==22441604y mx my y y x =+⎧⇒-+=⎨=⎩，所以1212416,y y y y m m +== ()222211121112124+=2164P N M y y y y y y m y y y y y y y m+=+===，即M 为PN 中点．【点睛】本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.20.已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ；（2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S .【答案】（1）,22⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==，所以集合{S =0．（2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=， ②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33,,0S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T=时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-．与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．21.已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+. 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.（Ⅱ）见证明【解析】【分析】（Ⅰ）求得函数的导数1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=，当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<，因此当1x e=时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>，可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点，因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为2，且过定点M . （1)求椭圆C 的方程；（2)已知直线1:()3l y kx k R =-∈与椭圆C 交于,A B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点P 的坐标和PAB ∆的面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2224155y x += (2)见解析【解析】【分析】（1）本问考查了椭圆的离心率公式，以及椭圆的方程、性质，通过条件构建关于基本量,,a b c 的方程组，求解即可．（2）本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用条件以弦AB 为直径的圆恒过点P ，将几何关系代数化，利用韦达定理建立方程，判断方程是否有解．【详解】解：（1)由已知2222222522511142c e a a b c a b a b ⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎩⎪⎩，椭圆C 的方程为2224155y x +=. （2)由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得229(24)12430k x kx +--=.① 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 方程①的两根，1212221243,9(24)9(24)k x x x x k k ∴+==-++ 设(0,)P p ，则1122(,),(,)PA x y p PB x y p =-=-，22121212*********()()()()333p PA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+ 假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ，则PA PB ⊥，即0PA PB ⋅=，即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立，22184503624390p p p ⎧-=∴⎨+-=⎩此方程组无解，∴不存在定点满足条件．【点睛】本题的关键是将条件“以弦AB 为直径的圆恒过点P ”，几何关系代数化，和联立方程组得到的韦达定理联系起来，建立关于参数p 的方程．。

2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)

2019-2020 学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）已知集合 S={ 1，2} ， T={ x| x2＜4x﹣ 3} ，则 S∩T=（）
A．{ 1} B．{ 2} C．1 D．2
2．（ 5 分）已知复数 z1，z2 满足 | z1| =| z2| =1，| z1﹣z2| = ，则| z1+z2| 等于（） A．2 B． C．1 D．3
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 解答时请写清题号 .[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ] 22．（ 10 分）在直角坐标系中，圆 C 的方程是 x2+y2﹣4x=0，圆心为 C，在以坐标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 C1：ρ＝﹣4 sin θ 与圆 C 相交于 A， B 两点．（ 1）求直线 AB 的极坐标方程；
2019-2020 学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）（2019?云南二模）已知集合 S={ 1，2} ，T={ x| x2＜4x﹣ 3} ，则 S∩T=（） A．{ 1} B．{ 2} C．1 D．2 【分析】求出 T 中不等式的解集确定出 T，找出 S 与 T 的交集即可．【解答】解：由 T 中不等式变形得： x2﹣ 4x+3＜0，即（ x﹣1）（ x﹣3）＜ 0，解得： 1＜x＜3，即 T=（1，3）， ∵ S={ 1，2} ， ∴ S∩ T={ 2} ，故选： B．
∴
﹣ 2z1z2+

河北省衡水中学2021届高三数学上学期期中试题理

河北省衡水中学2021届高三数学(sh ùxu é)上学期期中试题理本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分。

考试(k ǎosh ì)时间120分钟。

第I 卷(选择题共60分)注意事项：答卷I 前，考生(k ǎosh ēng)将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

一、选择题(每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有－项符合题意(t í y ì)。

请将正确答案的序号填涂在答题卡上)1.已知曲线(q ūxi àn)f(x)＝xcosx ＋3x 在点(0，f(0))处的切线与直线ax ＋4y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为A.－4B.－1C.1D.42.已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 5－2a 72＋2a 8＝0，数列{b n }是等比数列且b 7＝a 7，则b 2b 12等于 A.B.C.D.3.对于函数f(x)，若存在区间A ＝[m ，n]使得{y|y ＝f(x)，x ∈A}＝A 则称函数f(x)为“同域函数”，区间A 为函数f(x)的一个“同城区间”。

给出下列四个函数： ①f(x)＝cosx ；②f(x)＝x 2－1；③f(x)＝|x 2－1|；④f(x)＝log 2(x －1)。

存在“同域区间”的“同域函数”的序号是 A.①② B.①②⑧ C.②③ D.①②④4.设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t ，|b +t a |的最小值为1。

则 A.若θ确定，则|b |唯一确定 B.若|b |确定，则θ唯一确定 C.若θ确定，则|a |唯一确定 D.若|a |确定，则θ唯一确定5.已知点P(x ，y)是直线y ＝2x －4上一动点，PM 与PN 是圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的两条切线，M ，N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为 A.B.23C. D. 6.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<2)的部分图像如图所示，则A.－1B.C.D.7.已知函数(h ánsh ù)f(x)＝|－4sinxcosx|，若f(x －a)＝－f(x ＋a)恒成立，则实数(sh ìsh ù)a 的最小正值为 A.2π B.π C.2D.8.设S n 为数列(sh ùli è){a n }的前n 项和，a 1＝1，a n+1＝2S n ，则数列(sh ùli è)与的前20项和为 A.B.C.D.9.椭圆(tu ǒyu án)的左右焦点分别是F 1、F 2，以F 2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线PF 1恰好与圆F 2相切于点P ，则椭圆的离心率为 A.B.C.22D.10.已知函数f(x)＝asinx －cosx 的图像的一条对称轴为直线，且f(x 1)·f(x 2)＝－4，则|x 1＋x 2|的最小值为 A.B.0C.D.11.若函数f(x)＝e x(x －3)－kx 3＋kx 2只有－个极值点，则k 的取值范围为A.(－∞，e)B.(0，e]C.(－∞，2)D.(0，2] 12.双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°。

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2013～2014学年度上学期期中考试高三年级数学（理科）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （）（A（B）（C ）4 （D ）122．若集合{}{}2540;1,A x x x B x x a =-+=-＜＜则“(2,3)a ∈”是“B A ⊆”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3．已知平面向量,m n u r r 的夹角为,6π2,3==，在ABC ∆中，22AB m n =+uu u r u r r ，26AC m n =-uuu r u r r，D 为BC 中点，则AD =( )A.2B.4C.6D.84．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）（A ）9214+π （B ）8214+π （C ）9224+π （D ）8224+π5．已知等差数列{}n a 中，37101140,4a a a a a +-=-=，记12n n S a a a =+++L ，S 13=( ) A ．78B ．68C ．56D ．526．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -= D ．22143x y -=侧视正视图俯视图7．在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos a B b A =,则2sin cos B C -的最大值是( )A ．1 B. 3 C. 7 D. 278．若函数1()e (0,)ax f x a b b=-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（）（A ）4 （B ）22（C ）2 （D ）29. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是( )A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦10．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ﹣ABC 的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O 的表面积为（）A ．24π B. 32π C. 48π D. 192π11．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（）（A ）10,5,5+∞U （]（）（B ）10,[5,5+∞U （））（C ）11,]5,775U （（）（D ）11,[5,775U （））12．对于定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，,x D ∃∈使得0|()|f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”．现给出如下函数： ①()()f x x x Z =∈； ②()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；③ ()2log f x x =； ④()1x f x x -=.其中为“敛1函数”的有A ．①②B ．③④C ． ②③④D ．①②③Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13. 过点(1,1)-的直线与圆2224110x y x y +---=截得的弦长为43，则该直线的方程为。

14已知动圆的圆心C 在抛物线x 2=2py （p ＞0）上，该圆经过点A （0，p ），且与x 轴交于两点M 、N ，则sin ∠MCN 的最大值为．15.如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围 _____________.16．已知函数()f x 定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列命题： ①当0x >时，()(1);x f x e x =- ②函数()f x 有2个零点③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞U ④12,x x R ∀∈，都有12|()()|2f x f x -< 其中正确的命题是三、解答题（共7个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 17．如图所示，扇形AOB,圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P.（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的长；（2）设COP θ∠=,求POC ∆面积的最大值及此时θ的值。

18. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.19．（12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM 与直线PC 所成的角为60°．（1）求证：PC⊥AC；（2）求二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值；（3）求点B 到平面MAC 的距离．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(1)x y a b a b +=＞≥的离心率32e =，且椭圆C 上一点N 到点Q 03（，）的距离最大值为4，过点3,0M （）的直线交椭圆C 于点.A B 、（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u ru u u r（O 为坐标原点），当3AB ＜时，求实数t 的取值范围.21．已知函数f （x ）=alnx+（a≠0）在（0，）内有极值．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若x 1∈（0，），x 2∈（2，+∞）且a ∈[，2]时，求证：f （x 2）﹣f （x 1）≥ln2+．请考生在第22、23两题中任选一题作答。

注意：只能做所选定题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22. 如图，已知⊙O 的半径为1，MN 是⊙O 的直径，过M 点作⊙O 的切线AM ，C 是AM 的中点，AN 交⊙O 于B 点，若四边形BCON 是平行四边形. （Ⅰ）求AM 的长；（Ⅱ）求sin ∠ANC ．23.已知函数||)(a x x f -=。

（1）若m x f ≤)(的解集为}51|{≤≤-x x ，求实数m a ,的值。

（2）当2=a 且0≥t 时，解关于x 的不等式)2()(t x f t x f +≥+。

2013～2014学年度上学期期中考试高三年级数学（理科）答案一、选择题BAAAD CADBC AC11. 由(1)()f x f x +=-得(1)(2)f x f x +=-+，因此()(2)f x f x =+，函数周期为2.因函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，可转化成()y f x =与()log ||a h x x =两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论.当1a >时：得(5)log 51a h =<，即5a >.当01a <<时：得(5)log 51a h -=≥-，即105a <≤.所以a 取值范围是10,5,5+∞U （]（）.12.①()()f x x x Z =∈；由于函数递增，那么不会存在一个正数ξ，满足不等式。

②()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；当x>0,c=2,那么存在x ，满足题意，成立。

③ ()2log f x x =；对于1<x<2,令c=1,,时符号题意。

④()1x f x x-=.=1-1x ，x>1,c=3，则可知满足题意。

故选C.二、填空题13、13410x x y =-+-=或 14、1 15、34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦16. ③④14. 由题意，设C （x 0，y 0），则⊙C 的方程（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=x 02+（y 0﹣p ）2．把y=0和x 02=2py 0代入整理得x 2﹣2x 0x+x 02+p 2=0．设M 、N 的横坐标分别为x 1、x 2，则x 1=x 0﹣p ，x 2=x 0+p ．∴|MN|=|x 1﹣x 2|=2p ． ∵|CM|=|CN|==∴=1﹣∴﹣1≤cos ∠MCN ＜1，∵0＜∠MCN ＜π∴0＜sin ∠MCN ≤1， ∴sin ∠MCN 的最大值为1故答案为：116. 设0x >，则0x -<，故()(1)()xf x e x f x --=-+=-，所以()(1)xf x e x -=--+，故①错；因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，又0,(1)0x f <-=时，0(1)0x f >=时，，故()f x 有3个零点，②错；当0x <时，令()(1)0x f x e x =+>，解得10x -<<，当0x >时，令()(1)0xf x e x -=--+>解得1x >，综上()0f x >的解集为(1,0)(1,)-⋃+∞，③正确；当0x <时，()(2)xf x e x '=+，()f x 在2x =-处取最小值为21e-，当0x>时，()(2)xf x e x -'=-+，()f x 在2x =处取最大值为21e ，由此可知函数()f x 在定义域上的最小值为21e -，最大值为21e ，而222112()2e e e --=<，所以对任意的12,x x R ∈，都有12|()()|2f x f x -<，④正确三、解答题 17、18、（1）∵n a 是n S 和1的等差中项，∴21n n S a =- 当1n =时，11121a S a ==-，∴11a = 当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴12n n a a -= ，即12nn a a -= 3分 ∴数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=，21n n S =- 5分设{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d =∴1(1)221n b n n =+-⨯=- 6分（2）111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+ 7分 ∴11111111(1...)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++ 9分 ∵*n N ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ 10分 ()()111021212121n n n n T T n n n n ---=-=>+-+- ∴数列{}n T 是一个递增数列 ∴113n T T ≥=. 综上所述，1132n T ≤< 12分 19、解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC ，∴PC⊥AC．（2分）（2）取BC 的中点N ，连MN ．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC ．作NH⊥AC，交AC 的延长线于H ，连接MH ．由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN 为二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角． ∵直线AM 与直线PC 所成的角为60°， ∴在Rt△AMN 中，∠AMN=60°．在△ACN 中，．在Rt△AMN 中，．在Rt△NCH 中，．在Rt△MNH 中，∵，∴．故二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值为．（8分）（3）作NE⊥MH 于E ．∵AC⊥平面MNH ，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC ， ∴点N 到平面MAC 的距离为．∵点N 是线段BC 的中点，∴点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC 的距离的两倍为．（12分）方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC ，∴PC⊥AC．（2分）（2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P （0，0，z ），则．．∵，且z ＞0，∴，得z=1，∴．设平面MAC 的一个法向量为=（x ，y ，1），则由得得∴．平面ABC 的一个法向量为．．显然，二面角M ﹣AC ﹣B 为锐二面角，∴二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值为．（8分）（3）点B 到平面MAC 的距离．（12分）20、解析：（Ⅰ）∵2222223,4c a b e a a -=== ∴224,a b = （1分）则椭圆方程为22221,4x y b b+=即22244.x y b +=设(,),N x y 则22222(0)(3)44(3)NQ x y b y y =-+-=-+-222236493(1)412y y b y b =--++=-+++当1y =-时，NQ 24124,b +=解得21,b =∴24a =，椭圆方程是2214x y += （4分）（Ⅱ）设1122(,),(,),(,),A x y B x y P x y AB 方程为(3),y k x =-由22(3),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=. 由24222416(91)(14)0k k k k ∆=--+＞，得215k ＜. 2212122224364,.1414k k x x x x k k-+=⋅=++ （6分） ∴1212(,)(,),OA OB x x y y t x y +=++=u u u r u u u r 则2122124()(14)k x x x t t k =+=+, []12122116()()6.(14)k y y y k x x k t t t k -=+=+-=+ 由点P 在椭圆上，得222222222(24)1444,(14)(14)k k t k t k +=++化简得22236(14)k t k =+① （8分）又由21213,AB kx x =+-＜即221212(1)()43,k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦＜将12x x +，12x x 代入得 2422222244(364)(1)3,(14)14k k k k k ⎡⎤-+-⎢⎥++⎣⎦＜化简，得22(81)(1613)0,k k -+＞则221810,8k k -＞＞, ∴21185k ＜＜② （10分）由①，得22223699,1414k t k k ==-++ 联立②，解得234,t ＜＜∴23t --＜＜或3 2.t ＜＜（12分）21．解：（I ）由f （x ）=alnx+（a≠0），得：， ∵a≠0，令，∴g（0）=1＞0．令或，则0＜a ＜2．(II ）由（I ）得：，设ax 2﹣（2a+1）x+a=0（0＜a ＜2）的两根为α，β，则，得．当x ∈（0，α）和（β，+∞）时，，函数f （x ）单调递增；当x ∈和（2，β）时，，函数f （x ）单调递减，则f （x 1）≤f（a ），f （x 2）≥f（β），则f （x 2）﹣f （x 1）≥f（β）﹣f （α）=alnβ﹣alnα﹣ ==（利用）令，x ＞2则，则函数h （x ）单调递增， h （x ）≥h（2）=2ln2+， ∴， ∵，则，∴f（x 1）﹣f （x 2）≥ln2+．22、（Ⅰ）连接BM ，则90MBN ∠=︒，因为四边形BCON 是平行四边形，所以BC ∥MN ，因为AM 是O e 的切线，所以MN AM ⊥，可得BC AM ⊥，又因为C 是AM 的中点，所以BM BA =，得45NAM ∠=︒，故2AM =. （5分）（Ⅱ）作CE AN ⊥于E 点，则2CE =，由（Ⅰ）可知5CN = 故10sin 10CE ANC NC ∠==. （10分）23.解：（Ⅰ）由|x ﹣a|≤m 得a ﹣m ≤x ≤a+m ，所以解之得为所求． 4分（Ⅱ）当a=2时，f （x ）=|x ﹣2|，所以()(2)|22||2|f x t f x t x t x t +≥+⇒-+--≤ 当t=0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式解得x ＜2﹣2t 或或x ∈ϕ，即；综上，当t=0时，原不等式的解集为R ，当t ＞0时，原不等式的解集为． 10分。