第二章变形体虚位移原理

E σx = (ε x +νε y ) 2 1 −ν E σy = (ε y +νε x ) 1 −ν 2 E τ xy = Gγ xy = γ xy 2(1 +ν )
（2-10）
对平面应变 平面应变问题为 平面应变
1 +ν [(1 − ν )σ x − νσ y ] E 1 +ν εy = ((1 − ν )σ y − νσ x ) E τ xy 2 (1 + ν ) γ xy = = τ xy G E
2-1 弹性力学的基本方程及其矩阵表示
为研究线弹性体的解答，首先需要建立微元体的 平衡条件、几何条件、应力-应变关系、边界应满足的 条件等，这些统称为弹性力学的基本方程。 需要强调指出的是，在弹性力学中假设所研究的变 形物体是连续、均匀和各向同性的（除专门说明外）。 从数学上说，也即体内的位移、应力、应变等都是光滑、 连续的函数
y
l
1
b
h
x
z
l 远大于
b和 h
2-4b荷载沿长度不变，取单位厚度分析
两类问题的共同特点是：物理量（位移、应变、应力）只是坐标的 x ，y 函数。 物理量（位移、应变、应力） 函数。 物理量
线弹性材料应力-应变关系称线弹性本构方程，由材料力学中的 中广义胡克定律可得： 对平面应力 平面应力问题为 平面应力
的运动微分方程。由式（2-2）可见，式（2-1）是惯性力为零时的特例。 2、对于三维问题，运动方程为 ∂ τ xy ∂σ x + + ∂x ∂y ∂ τ yx ∂σ y + + ∂x ∂y ∂ τ zy ∂ τ zx + + ∂x ∂y
∂ τ xz ∂ 2u + F bx = ρ ∂z ∂t2 ∂ τ yz ∂ 2v + F by = ρ ∂z ∂t 2 ∂σ z + F bz ∂z
ε x = (σ x −νσ y ),
1 E 1 ε z = (σ x + σ y ), E τ xy 2(1+ν ) γ xy = = τ xy G E
ε y = (σ y −νσx )
1 E
（2-9）
式中：E ，ν 分别为弹性模量和泊松比。从式（2-9）解出应力则可得
dx
图 2-2 微段变形示意图
由此可得 ε x = u, x ，同理，不难理解 ε y = v, y 。即
εx =
∂u ∂x
ε
y
=
∂v ∂y
（2-4a）
在定义： 正交微段角度的改变量 = 切应变 则由图2-2在小变形下（小角度正切近似等于角度）可得
γ xy =
u , x dy v , x dx + ≈ u , y + v, x (1 + v , y ) dy (1 + u , x ) dx
O点： δu + δu, x (
利用所引入的矩阵符号，由矩阵运算可以证明弹性力学基本 方程可写作如下矩阵方程： 平衡方程 几何方程 本构方程 应力边界条件 位移边界条件
Aσ + Fb = 0
AT d − ε = 0
（2-13）
（2-14） （2-15）
Dε − σ = 0
Lσ − FS = 0
（2-16）
d−d = 0
（2-17）
,
}
A′B ′ = (1 + u , x ) 2 + v , x ≈ (1 + u , x ) dx
[
2 1/ 2
= 1 + 2u , x + ( u , x ) + v , x
2
[
]
dx
2 1/ 2
]
A ( x + u , y + v) A( x , y ) dx B ( x + dx , y )
基于这一思想，在略去高阶小量后即可得到图2-1b所示的微元体受力图，因而此 图受力从数学上讲是精确的。 微元体受力如图2-1b所示，有 平衡微分方程
∑F
x
=0 和
∑F
y
= 0 方程，即可得到二维问题的
∂ σ x ∂τ xy + + Fbx = 0 ∂x ∂y ∂ τ yx ∂σ y + + Fby = 0 ∂x ∂y
σy
τ xy )T
v)T
ε y γ xy )T v)T ；已知位移矩阵 d = (u
Fby )T FSy )T
体积力矩阵 Fb = (Fbx 表面力矩阵 FS = (FSx
D1 D12 0 弹性矩阵 D = D21 D2 0 0 0 D 3
，矩阵元素取决于问题类型和材料特性。
2、位移边界条件
当边界 S u 上位移为给定值 u ，v 时，由位移协调，位移边界条件可表示为
Su 表面上
u =u
v =v
（2-8a）
三维问题的位移边界条件
u =u
v =v
w= w
（2-8b）
2-1-4 线弹性体的物理方程（本构关系）
对于各同性二维弹性体有图2-4所示的两种情况。图2-4a 表示荷载作用平行于板中面且沿厚度均匀分布，板厚 远小于平 面内方向的尺寸，也即 δ << 2a ，δ << 2b ，这类问题 称为平面应力问题 平面应力问题。这时 平面应力问题
1、应力边界条件
从边界部分取微元体如图2-3所示，微元体边界上的应力、表面力均已用 ds 合力表示。与建立平衡方程一样，注意： 、dx 、dy 间的关系为
l = dy / ds = y , s
m 式中 l ， 为边界外法线的方向余弦。
m = dx / ds = x , s
FSy ds
t
n
应力边界条件
2-2 变形体虚位移原理
2-2-1 弹性力学平面问题外力总虚功
内部微元体上外力总虚功 （1）微元体受力分析和上节平衡分析一样略去高阶小量，微元体受力如图2-5所示。 （2）微元体受力点的虚位移和几何分析相仿，在设A点（称为基点）坐标 ( x, y ) ， δ 其虚位移为 d = (δu δv)T，又连续函数在A点的泰勒级数展开可知，对应图2-5合力作用 点的虚功位移分别为：
2-1-1 平衡（运动）微分方程
某二维弹性体中取出的一个面积为 dA = dxdy 的内部微元体，如下图所示
σ x + σ x , y dy
B
σ x + σ x , x dx + σ x , y dy
D
(σ y + d yσ y )dx
Fby dA
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(τ xy + d yτ xy )dx
(τ yx + dxτ yx )dy
再由
（2-1）
∑ M = 0 ，可以得到切应力互等定理结论，即 τ xy = τ yx
。
在此基础可以得到以下结论：
∂ 2u 1、如果微元体不平衡，根据大朗贝尔原理，加上惯性力（例如x 方向为 ρ 2 dA ） ∂t
再列（瞬时）动平衡方程，则可得
∂ σ x ∂ τ xy ∂ 2u + + Fbx = ρ ∂x ∂y ∂t 2 （2-2） ∂ τ yx ∂σ y ∂ 2v + + Fby = ρ ∂x ∂y ∂t 2 u 式中 ρ为材料密度， 和 v 分别为坐标 x 、y 方向的位移分量。这就是二维问题
,
C
( x , y + dy )
( x + u + u , y dy , y + v + (1 + v , y ) dy )
,
′B′ = { [x + u + (1+ u,x )dx− (x + u)]2 A + [ y + v + v,x dx− ( y + v)]
略去高阶小量后可得
2
C
B
( x + u + (1 + u , x ) dx , y + v + v, x dx )
σ z = τ yz = τ zx = 0
z
y
板厚δ
2b
δ远小于 2 a 和 2b
x
2a
O
2-4a 荷载作用于板的中面
图2-4b是一水坝示意，其特点是长度远远大于平面内两个方向 的尺寸且沿长度荷载作用相同，这时可以取单位长度坝体进行分析， 这类问题称为平面应变问题 。此时 平面应变问题
ε z = γ yz = γ zx = 0
第2章 变形体虚位移原理
在结构力学中已经学过变形体的虚功原理，并利用 它推导了位移计算公式、线弹性体的互等定理等。 当变形体虚功原理的前提条件改变为：力系给定、 虚位移完全任意时，其结论也发生改变：虚功方程恒成 立是给定力系平衡的充分必要条件。由于前提、结论都 变了，因此这一变化后的原理称为变形体虚位移原理。 由变形体虚位移原理作一定的变换，可导出以能量形式 表示的平衡条件，这就是弹性体最小势能原理。用它们 可推得位移法方程、求得受力和变形的近似解（里兹 法）。
S σ 表面上
α Fsx = σ xl + τ xy m （2-6） σ x dy Fsy = σ y m + τ yxl dy
τ yx dy
dx
α
dy = l = cos α ds
FSx ds dx = m = sin α ds
三维问题的应力边界条件
τ xy dx Fsx = σ xl + τ xy m + τ xz n σ y dx Fsy = τ yxl + σ y m + τ yz n （2-7） 图2-3 边界微元体受力示意图 Fsz = τ zx l + τ zy m + σ z n m n 式中 l ， ， 为边界外法线的方向余弦。
γ = γ xy = γ yx =
∂u ∂v + ∂y ∂x
（2-4b）
上述所定义的应变为工程应变，方程（2-4）称为几何方程。对于三维问题，对应 工程应变的几何方程为
εx = γ xy
∂u ∂v εy = εz = ∂y ∂x ∂u ∂v ∂v = + γ yz = + ∂y ∂x ∂z
∂w ∂z ∂w ∂y
γ yz
∂w ∂u = + ∂x ∂z
（2-5）
2-1-3 边界条件（边界处平衡和协调条件）
物体的边界可能有的如下情况： 仅给定应力的表面 S σ 仅给定位移的表面 S u 某些方向给定应力、另一些方向给定位移的混合边界条 S min 对于以位移进行求解的问题，可以将 S min也视作 S u 。 物理量给定的条件称为边界条件。
l 0 m 方向余弦矩阵 L = 0 m l
∂ ∂ 0 ∂y ∂x 微分算子矩阵 A = ∂ ∂ 0 ∂y ∂x
？
1、自己推导三维问题物理量和符号用矩阵表示方法。 2、自己推导弹性矩阵中的D值。
2-1-6 弹性力学基本方程的矩阵表示
dA = dxdy
dy
σ x dy
τ yx dy
dy
Fbx dA
dx
(σ x + dxσ x )dy
A
dx
C
σx
σ x + σ x , x dx
∂ () ∂ () 偏导数标记法 = (), y = (), x （）表示 ∂y ∂x 某物理量 ∂ () dy = (), y dy 微分标记法 d y () = ∂y
(σ y + d yσ y )dx
dx dy dx dy + δu, y , δv + δv, x + δv, y )T 2 2 2 2 dx dx T 1点： δ u + δ u , x ( , δv + δv , x ) 2 2 dy dy ( , 2点： δ u + δ u , x dx + δ u , y 2 σ x dy dy T 4 ) δ v + δ v , x dx + δ v , y
εx =
（2-11）
可证明在（2-10）中对 E ，ν 作如下变换
E ν E⇐ , ν⇐ 2 1−ν 1−ν
就可得到（2-11）。
（2-12）
2-1-5 物理量的矩阵表示
为了以后推导方便、书写简洁，对二维问题一些物理量和符号 用矩阵表示如下： 应力矩阵 σ = (σ x 应变矩阵 ε = (ε x 位移矩阵 d = (u
2 ∂ w = ρ ∂t 2
（2-3）
2-1-2 小变形的几何方程（位移—应变关系）
图2-2为二维弹性体中沿坐标方向所取两正交微段及位移示意。和材料力学一样可 引入如下线应变定义： 某坐标方向线应变 = 微段变形后长度 - 微段原长 微段原长 如2-2中微段AB在小应变条件下变形后的 , , A B 的长度为：
τ xy dx
d x () =
σ y dx
∂ () dx = (), x dx ∂x
σ （a） x 位置变化示意
（b）微元体边界合力示意
图2-1 平面微元体受力示意
在图2-1a AB边上的 σ x 合力 Tx 有如下近似（曲线面积近似等于梯形面积）计算
1 ∂σ 1 ∂σ x 2 Tx ≈ (σ x + σ x + x dy)dy = σ x dy + dy 2 ∂y 2 ∂y