备考2020中考数学一轮专题复习学案18 三角形

备考2020中考数学一轮专题复习学案18三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形．2.三角形中的主要线段：(1)三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点所得到的线段，叫做三角形这边上的中线．(2)三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，连接这个顶点和垂足的线段，叫做三角形这边上的高线（简称三角形的高）．(3)三角形的角平分线：连接三角形的一个顶点和这个角的平分线与对边交点的线段，叫做三角形的角平分线．(4)三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.3.三角形的边之间关系：(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.推论：三角形的两边之差小于第三边.(2)三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围.③证明线段不等关系.【温馨提示】三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围.4.三角形的角之间关系：(1)三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.推论：①直角三角形的两个锐角互余.②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(2)三角形的外角和等于360°；5.三角形的边与角之间的关系：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.6.三角形的分类：按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩三边都不相等的三角形底边和腰不相等的三角形等腰三角形等边三角形三角形按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形【例1】（2019·石家庄新华区质量检测）将一幅三角尺按图示的方式摆放(两条直角边在同一条直线上，且两锐角顶点重合)，连接另外两条锐角顶点，并测得∠1＝47°，则∠2的度数为()A. 60°B. 58°C. 45°D. 43°【答案】B．【解答】如下图，∵∠3＝180°－60°－45°＝75°，∴∠2＝180°－∠1－∠3＝58°.故选B．【例2】（2019·扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n＋2、n＋8、3n，则满足条件的n的值有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个【答案】D．【解答】由三角形两边之和大于第三边可得：⎩⎪⎨⎪⎧（n＋2）＋（n＋8）>3n（n＋2）＋3n>n＋8（n＋8）＋3n>n＋2，解得2<n<10，∵n 是正整数，∴n＝3，4，5，6，7，8，9，故选D.【例3】（2019·青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为()典型例题A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°【答案】C ．【解答】如下图，∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝35°，∴∠1＝∠2＝17.5°.∵AE ⊥BD ，∴BF 为AE 边上的中线，∴AD ＝DE ，∠5＝90°－∠1＝72.5°.∴∠3＝∠4.∴∠CDE ＝2∠3.∵∠C ＝50°，∴∠BAC ＝95°.∴∠3＝∠BAC －∠5＝22.5°.∴∠CDE ＝2∠3＝45°.故选C ．1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．2.三角形全等的判定：三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）. 直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．知识点2： 全等三角形知识点梳理典型例题【例4】（2019·衡水故城县期末）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，若∠AED ＋∠BCE＝52°，则∠ACD的度数为（）A. 25°B. 26°C. 27°D. 28°【答案】B．【解答】∵△ABC≌△DEC，∴∠ABC＝∠DEC，∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵∠AED＋∠DEC＋∠CEB＝180°，∠CEB＋∠ABC＋∠BCE＝180°，∴∠AED＝∠BCE.∵∠AED＋∠BCE＝52°，∴∠AED＝∠BCE＝12×52°＝26°.∴∠ACD＝∠BCE＝26°．1.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.21教育名师原创作品推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°.（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2b<a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2180A∠-︒2.等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.知识点3：等腰三角形知识点梳理这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.3.等边三角形：(1)定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.(2)性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.(3)判定:三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.【例5】（2019·内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x 2－8x ＋15＝0的一根，则此三角形的周长是（ ）A. 16B. 12C. 14D. 12或16【答案】A ．【解析】方程x 2－8x ＋15＝0的两个根为3，5.但长度为3，3，6的三条线段不能构成三角形，故该三角形的三边为5，5，6，即周长为16.故答案为A ．1.直角三角形定义:有一个角是直角的三角形叫作直角三角形2. 直角三角形的性质:（1）直角三角形两锐角互余.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3. 直角三角形的判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4.勾股定理及逆定理：（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2; （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【例6】（2019·重庆市12/26）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD ＝3，则点D到BC′的距离为（）A．332B．3217C7D13【答案】B．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M3 3BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝12×60°＝30°，在Rt△C'DM中，典型例题∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝3DM＝3，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝22BM C'M+＝222(3)+＝7，∵S△BDC'＝12BC'•DH＝12BD•CM，∴7DH＝3×3，∴DH＝321，故选：B．1．(2019·荆门)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是()A. 95°B. 100°C. 105°D. 110°2.(2019·石家庄藁城区模拟)李老师布置了一道作图作业：“将一条12cm的线段分成三段，然后用这三条线段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5cm，5cm，2cm；小王：3cm，4cm，5cm；小赵：3cm，3cm，6cm；小张：4cm，4cm，4cm.其中，分法不正确的是()A．小李B．小王C．小赵D．小张3. (2019·杭州)在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则()巩固训练A. 必有一个内角等于30°B. 必有一个内角等于45°C. 必有一个内角等于60°D. 必有一个内角等于90°4. (2019·眉山)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，∠B ＝30°，∠ADC ＝70°，则∠C 的度数是( )A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°5. (2019·张家界)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB 的距离等于( )A. 4B. 3C. 2D. 16. (2018·邯郸二模)三个全等三角形按如图所示的形式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是( )A. 90°B. 120°C. 135°D. 180°7. （2019·河北中考说明）如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，AC ＝60 cm ，AB ＝100 cm ，a ，b ，c ，…，是在△ABC 内部的矩形，它们的一个顶点在AB 上，一组对边分别在AC 上或与AC 平行，另一组对边分别在BC 上或与BC 平行．若各矩形在AC 上的边长相等，矩形a 的一边长是72 cm ，则这样的矩形a ，b ，c ，…的个数是（ ）A. 6B. 7C. 8D. 98. （2018·包头）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ADE 的顶点D ，E 分别在BC ，AC 上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.若∠C＋∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为（）A．17.5°B．12.5°C．12°D．10°9. （2018·陕西）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为()A. 423 B. 2 2 C.823 D. 3 210.（2019·呼和浩特）下面三个命题①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题序号为________．11. （2019·怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为________．12. （2019·株洲）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝________．13. （2019·成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为________．14. （2019·甘肃）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．15. （2019·盐城）如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为________．16.（2019·通辽15/26）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为．17.（2019·北京市12/28）如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．18. (2019·杭州)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B；(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．19.（2019·兰州）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E.求证：AC∥DF.20.（2019·无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O，求证：（1）△DBC≌△ECB；（2）OB＝OC.21. （2019·温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C 作CF∥AB交ED的延长线于点F.（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．22.（2019·石家庄十八县联考二）如图，直线a∥b，点M，N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D，E，设∠NPE＝α.(1)证明：△MPD∽△NPE；(2)当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置；(3)当△NPE是等腰三角形时，求α的值．1．【答案】C.【解析】如下图，可得∠3＝∠2＝45°，∠4＝60°，∴∠1＝45°＋60°＝105°.2．【答案】C.【解析】∵3＋3＝6，不满足三角形两边之和大于第三边∴长为3 cm，3 cm，6 cm的三条线段不能作一个三角形，故选C.3．【答案】D.【解析】设这三个内角分别为∠A，∠B，∠C，则∠A＝∠B－∠C，移项得∠A＋∠C＝∠B，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴2∠B＝180°，即∠B＝90°.4．【答案】C.【解析】∵∠B＝30°，∠ADC＝70°，∴∠BAD＝∠ADC－∠B＝70°－30°＝40°.∵AD平分∠巩固训练参考答案BAC ，∴∠DAC ＝∠BAD ＝40°.∴∠C ＝180°－∠ADC －∠DAC ＝180°－70°－40°＝70°.5．【答案】C.【解析】如下图，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵DC ＝13AD ，∴DC ＝14AC .∵AC ＝8，∴DC ＝14×8＝2.∵∠C ＝90°，∴BC ⊥CD .又∵BD 平分∠ABC ，∴DE ＝DC ＝2，故选C .6．【答案】D.【解析】如下图，由图形可得∠1＋∠4＋∠5＋∠8＋∠6＋∠2＋∠3＋∠9＋∠7＝540°，∵三个三角形全等，∴∠4＋∠6＋∠9＝180°.又∵∠5＋∠7＋∠8＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝540°－180°－180°＝180°.7．【答案】D.【解析】如下图．易证△BDE ≌△EFG ≌△GKH ≌△HL M ，可得BD ＝EF ＝GK ＝HL ＝BC －DC ＝1002－602－72＝8 cm ，根据此规律，共有80÷8－1＝9个这样的矩形．8．【答案】D.【解析】∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵∠C ＋∠BAC ＝145°，∴∠B ＝180°－(∠C ＋∠BAC )＝180°－145°＝35°.∴∠C ＝35°.∵∠DAE ＝90°，∴∠ADC ＝55°.∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝45°.∴∠EDC ＝∠ADC －∠ADE ＝55°－45°＝10°.9．【答案】C.【解析】∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ACD 中，∵∠C ＝45°，AC ＝8，∴AD＝AC ·sin45°＝8×22＝4 2.∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝90°－60°＝30°.∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠DBE ＝30°.∴∠BAD ＝∠ABE ，∴AE ＝BE ，在Rt △BDE 中，∵∠DBE ＝30°.∴DE ＝12BE ＝12AE .∵AE ＋DE ＝AD ，∴AE ＋12AE ＝4 2.∴AE ＝823. 10．【答案】①②.【解析】命题①顶角相等的等腰三角形则三角都相等，若有底边相等则两三角形全等；命题②如解图所示，若AB ＝EF ，BC ＝FG ，AH 、EI 分别为BC 、FG 边上的中线，则有△ABH ≌△EFI ，即有∠B ＝∠F ，即有△ABC ≌△EFG ；命题③错误．11．【答案】36°.【解析】这个等腰三角形的顶角为180°－2×72°＝36°.12．【答案】4.【解析】在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线，∴AB ＝2MC ，∵E 、F 分别为MB 、BC 的中点，∴EF 是△CM B 的中位线．又∵EF ＝1，∴MC ＝2EF ＝2.∴AB ＝2MC ＝4.13．【答案】9.【解析】∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE .∴CE ＝BD ＝9.14．【答案】85或14. 【解析】当∠A 为顶角时，则底角∠B ＝∠C ＝12(180°－∠A )＝50°，此时的特征值k ＝80°50°＝85；当∠A 为底角时，则顶角(∠B 或∠C )＝180°－2∠A ＝20°，此时的特征值k ＝20°80°＝14.故答案为85或14. 15．【答案】2.【解析】如下图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设AD ＝x ，∵∠C ＝45°，∴CD ＝AD ＝x ，AC ＝2x .∴AB ＝2AC ＝2x .在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝（2x ）2－x 2＝3x ，∴BC ＝BD ＋CD ＝3x ＋x ＝(3＋1)x ＝6＋2＝2(3＋1)，解得x ＝2，∴AC ＝2.【解析】解：①如图1：当AB ＝AC ＝5，AD ＝4，则BD ＝CD ＝3，∴底边长为6；②如图2：当AB ＝AC ＝5，CD ＝4时，则AD ＝3，∴BD ＝2，∴BC ＝2224+＝25，∴此时底边长为25；③如图3：当AB ＝AC ＝5，CD ＝4时，则AD 22AC CD -3，∴BD ＝8，∴BC ＝5∴此时底边长为517．【答案】45．【解析】解：延长AP 交格点于D ，连接BD ，则PD 2＝BD 2＝1+22＝5，PB 2＝12+32＝10，∴PD 2+DB 2＝PB 2，∴∠PDB ＝90°，∴∠DPB ＝∠P AB +∠PBA ＝45°，故答案为：45．18．【解答】(1)证明：∵点P 在AB 的垂直平分线上，∴P A ＝PB .∴∠P AB ＝∠B .∴∠APC ＝∠P AB ＋∠B ＝2∠B ；(2)解：根据题意得BQ ＝BA ，∴∠BAQ ＝∠BQA ，设∠B ＝x ，∴∠AQC ＝∠B ＋∠BAQ ＝3x ，∴∠BAQ ＝∠BQA ＝2x ，在△ABQ 中，x ＋2x ＋2x ＝180°，解得x ＝36°，即∠B ＝36°.19．【解答】证明：∵BF ＝EC ，∴BF ＋FC ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF .在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ∠B ＝∠E ，BC ＝EF∴△ABC ≌△DEF (SAS)．∴∠ACB ＝∠DFE .∴AC ∥DF .20．【解答】 (1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵BD ＝CE ，BC ＝BC ,∴△DBC ≌△ECB (SAS)；(2)解：∵△DBC ≌△ECB ，∴∠EBC ＝∠DCB .∴OB ＝OC .21．【解答】(1)证明：∵CF ∥AB ，∴∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F .∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD .在△BDE 与△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠FCD ∠BED ＝∠CFD ，BD ＝CD∴△BDE ≌△CDF (AAS )；(2)解：∵△BDE ≌△CDF ，∴BE ＝CF ＝2.∴AB ＝AE ＋BE ＝1＋2＝3.∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴△ABC 为等腰三角形．∴AC ＝AB ＝3.22．【解答】(1)证明：∵a ∥b ，∴∠1＝∠PNE .又∵∠MPD ＝∠NPE ＝α，∴△MPD ∽△NPE ；(2)解：当△MPD 与△NPE 全等时，点P 是MN 的中点；(3)解：①当PN ＝PE 时，∠PNE ＝∠PEN ＝70°.∴α＝180°－∠PNE －∠PEN ＝180°－70°－70°＝40°. ∴α＝40°；②当EP ＝EN 时，α＝∠PNE ＝∠1＝70°；③当NP ＝NE 时，α＝∠PEN ＝180°－∠PNE 2＝180－∠12＝180°－70°2＝55°. 综上所述：α的值为40°或70°或55°.。