随机过程(林元烈)第六讲习题参考答案
《随机过程》第6章习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为1()()0()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩ 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ=证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则[()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() ()X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =⨯=+⨯====≤==根据平稳性(2)根据相关函数定义，有()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) ()Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+===+===+≤≤=+=根据平稳性2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程()X t ，其概率密度函数为22()()}2X Xx a f x σ-=- 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。
解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+-其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、方差为2X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号22002222200000()[()cos()()sin()]1111()()2()cos()()cos(2)()cos(2)2222 2()sin()()()sin(2)C S C S C C S S C S X t a A t t A t t a A t A t aA t t A t t A t t aA t t A t A t t ωωωωωωω=+-=++++--- 通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为2221()[()()]2C S Z t a A t A t =++由于随机变量()C A t 、()S A t 为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则22122()()()C S XXA t A t Z t σσ=+服从自由度为2的卡方分布，即11121/22/211221()22(2/2)z z Z z ef z e ---==Γ 221()()2X Z t Z t a σ=+，2122[()]()[()]XZ t a Z t h Z t σ-==，根据随机变量函数的概率密度关系，()Z t 的一维概率密度分布函数为22122()1()[()] ()X z a Z Z Xdh z f z f h z e z a dz σσ--==≥2222222211[()]{[()()]}[]22C S X X X E Z t E a A t A t a a σσσ=++=++=+当0a =时，221() (0)X zZ Xf z e z σσ-=≥，2[()]X E Z t σ=。
随机过程第六章
T
T
X (t )dt
<x(t)>是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同， 是个随机变量。 对于一个确定的样本
X (t ) lim 1 T 2T
T
T
X (t )dt 常数
时间平均
集合平均
20
定义6.10 设{X(t),-∞<t<∞}是均方连续的平稳过程，若
n
lim E[| X n X |2 ] 0
成立，则称{Xn}均方收敛于X，记作
Xn X
m. s
l.i.m X
n
n
X
称二阶矩随机序列{Xn}依分布收敛于二阶矩随机变量X，若{Xn}相应的分 布函数列{Fn(x)}，在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有
n
lim Fn ( x) F ( x)
t
a
X ( ) d
在均方意义下存在，且随机过程{Y(t), t∈T}在区间[a,b]上均方可微，且有 Y’(t)=X(t)。
18
推论：设X (t )均方可微，且X (t )均方连续，则 X (t ) X (a) X (t )dt.
a t
及
X (b) X (a) X (t )dt.
第六章：平稳随机过程
严平稳过程的定义 宽平稳过程的定义 平稳过程的数字特征 平稳过程自相关函数的性质 时间平均和集合平均的概念 平稳过程遍历性定义 遍历性判定定理 遍历性应用举例
1
严平稳过程的定义
设{X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意常数τ和正整数n， t1,t2, …,tn∈T，t1+τ,t2+τ, …,tn+τ ∈T， (X(t1),X(t2), …,X(tn))与(X(t1+τ),X(t2+τ), …,X(tn+τ))有 相同的联合分布，则称{X(t),t∈T}为严平稳过程或侠义 平稳过程。
随机过程习题答案及知识点
协方差矩阵及n 维正态分布1、设n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的二阶混合中心距：[][];,,2,1,},)()({),(,n j i j X E j X X E X E X X Cov c i i j i j i ⋯=--==都存在，则称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∑nn c c c c c c c c c n2n12n 22211n 1211为n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的协方差矩阵，它是一对称矩阵。
2、n 维正态分布定义：若n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的概率密度可以表示成以下的形式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑--∑==⋯-)()(21ex p )(det )2(1)(),,,(f 12/12/21U X U X X f x x x T n n π其中，Tn T T n X E X E X E U x x x X ))(,),(),((),,,(,),,,(21n 2121⋯=⋯=⋯=μμμ∑是）（n X X ,,,X 21⋯的协方差矩阵，则称n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯为n 维正态随机变量，记为),(~),,,X (21∑⋯=μN X X X n ，),,,(f 21n x x x ⋯为n 维正态概率密度函数。
N 维正态随机变量的性质（1） n 维正态随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的每一个分量都是正态变量；反之，若nX X ,,,X 21⋯都是正态随机变量，且相互独立，则）（n X X ,,,X 21⋯是n 维正态随机变量。
（2） n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯服从n 维正态分布的充要条件是n X X ,,,X 21⋯的任意的线性组合n n X l X l X l +⋯++2211服从一维正态分布；（3） 若）（n X X ,,,X 21⋯服从n 维正态分布，设n Y Y ,,,Y 21⋯是),,3,2,1(X n j j ⋯=的线性函数，则n Y Y ,,,Y 21⋯也服从正态分布。
（完整版）随机过程习题答案
（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。
解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程习题详解
对 x 求导得 X (t ) 的一维概率密度
f ( x; t ) f Y (
均值函数 相关函数
ln x 1 ) t xt
，t
0
0
m X (t ) E[ X (t )] E[e Y t ]
e yt f ( y )dy
R X (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[e Y t1 e Y t 2 ] E[e Y ( t1 t2 ) ] e y ( t1 t2 ) f ( y )dy
0
1
2.3 若从 t
0 开始每隔
所以， R XY (t , t
2.7 设随机过程 X (t )
为 1，求随机过程 X (t ) 的协方差函数。 解 根据题意， EX
EY EZ 0, DX EX 2 DY EY 2 DZ EZ 2 1
m X (t ) E[ X (t )] E[ X Yt Zt 2 ] EX tEY t 2 EZ 0
t 1 时， X (1) 的分布列为
X (1)
P
-1
2
1 2
1 2
一维分布函数
0, 1 F (1, x) , 2 1,
x 1 1 x 2 x2
（2）由于 X (
1 1 )与X (1) 相互独立，所以 ( X ( ), X (1)) 的分布列为 2 2
X (1) X (1 / 2)
C X (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) m X (t1 )][ X (t 2 ) m X (t 2 )]
(完整版)随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程(超容易理解+配套例题)
令 m(t)
(s)ds
0
t
例 设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次， 后5年平均2年需要维修一次，求它在使用期内只维修过一次的概率。 解 考虑非齐次泊松过程，强度函数
1 2.5 (t ) 1 2
10
0t 5 5 t 10
, X n 1 in 1 , X n i )
2、转移概率
定义
i, j S ,
称
P X n 1 j X n i pij n
为n时刻的一步转移概率。若
i, j S , pij n pij
即pij与n无关，则称{Xn,n≥0}为齐次马尔可夫链。记P=(pij)，称P为 {Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
2、Poisson过程 计数过程 {N(t),t 0}称为参数为 ( 0)的Poisson 过程，如果 （1）N(0)=0; (2)过程有独立增量； (3)对任意的 s, t 0, P{N(t s) N(s) n} e t , n 0,1, 2.....
0 1 2 1 P 4 0 0 0 1 2 0 1 4 0 0 0 1 2 1 2 0 1 1 2 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 1 4 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0
2 5 1 3
6
4
假定某大学有一万人，每人每月使用一支牙膏，并且只使用“中华”牙膏和 “黑妹”牙膏两者之一。根据本月的调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使 用中华牙膏。又据调查，使用黑妹牙膏的3000人中 ，有60%的人下月将继续使 用黑妹牙膏，40%的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70%的 人下月将继续使用中华牙膏，30%的人将改用黑妹牙膏。 1）我们可以得到转移概率矩阵
随机过程习题答案
解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为 二步转移概率矩阵为 4.2 独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为，对于， 令，这些值分别对应于第n-1次和第n次抛掷的结果为（正，正）， （正，反），（反，正），（反，反），求马尔可夫链的一步和二步转 移概率矩阵。 解 对应状态为 ，（正，反），（反，正），（反，反） ， （不可能事件） （不可能事件） 同理可得下面概率 ， ， ， ， ， ， 一步转移概率矩阵为 二步转移概率矩阵为 4.4设为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为
对求导得的一维概率密度 ， 均值函数 相关函数 2.3 若从开始每隔秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程
试求：（1）的一维分布函数； （2）的二维分布函数； （3）的均值，方差 。 解 （1）时，的分布列为
0
1
P
一维分布函数 时，的分布列为
-1
2
P
一维分布函数 （2）由于相互独立，所以的分布列为
（2）画出状态转移图
因为是有限链，必有正常返态，状态0无周期、正常返，是遍历态；由 于各状态互通，所以1、2也是遍历态，所以是遍历链。 （3）因为该链为遍历链，极限分布就是平稳分布，根据和得方程组 解此方程组得
所以平稳分布为 ，， 4.17 设河流每天的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空 间是按BOD浓度为极低、低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵 （以一天为单位）为
-1
2
0
1
二维分布函数 （3）
2.4 设有随机过程，其中为常数，是相互独立且服从正态分布的随机变 量，求随机过程的均值和相关函数。 解 因独立，， 所以， 均值
相关函数 2.5 已知随机过程的均值函数和协方差函数为普通函数，令，求随机过 程均值和协方差函数。 解 均值 协方差
随机过程习题及答案
第二章 随机过程分析1.1 学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。
1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。
可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。
2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。
ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1)如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为1111111(,)(, ) (2 - 2)∂=∂F x t f x t x对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率{}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。
如果2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ∂=∂⋅∂存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。
对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把{}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。
如果n n 12n 12n n 12n 12n 12n(x )() (2 - 6)∂=∂∂∂F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。
随机过程课后习题14页word文档
1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。
求X 的特征函数、EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数；（2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。
4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。
5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概率密度函数。
8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。
求X+Y 的分布。
9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为 试求其特征函数。
10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。
11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
随机过程习题及部分解答(共享).docx
随机过程习题及部分解答习题一1.若随机过程X(/)为X(0 = A?,-oo<r<+oo,式中4为(0, 1)上均匀分布的随机变量，求X(/)的一维概率密度Px(x；t)。
2.设随机过程X(/) = 4cos(初+ 其中振幅A及角频率①均为常数,相位&是在[-兀,刃上服从均匀分布的随机变量，求X(/)的一维分布。
习题二1.若随机过程X(/)为X(t)=At -00 < r < +00 ,式中4为(0,1)上均匀分布的随机变量，求E[xa)],7?xa』2)2.给定一随机过程X(/)和常数Q,试以X(/)的相关函数表示随机过程y(0 = X(/ + a) —X(/)的自相关函数。
3.已知随机过程X(/)的均值阪⑴和协方差函数Cx (爪© , 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)的均值和协方差函数。
4.设X(t) = A cos at + B sin at,其中A, B是相互独立且服从同一高斯(正态)分布N(0Q2)的随机变量，a为常数，试求X(/)的值与相关函数。
习题三1.试证3.1节均方收敛的性质。
2.证明:若X(t),twT;Y(t),twT均方可微，a0为任意常数,则aX(t) + bY(t) 也是均方可微，且有[aX (?) + b Y(/)]' = aX'(/) + b Y'(/)3.证明：若X⑴,twT均方可微，/X/)是普通的可微函数，则f(Z)X(Z)均方可微且[f(ox(or-/w(o+/(ox,(o4.证明:设X⑴在[a,b]上均方可微，且X0)在[a,切上均方连续，则有X'⑴ dt = X(b) — X(a)J a5•证明，设X(t\t eT =[a,b];Y{t\t eT = [a,b]为两个随机过程，且在T上均方可积，a和0为常数，则有(*b (*b (*bf [aX(/) + 0Y(/)M = a [ Xit)dt + /3\ Y⑴ dtJ a J a J aeb rc rbaX (t)dt = X (t)dt + XQ) dt,aWcWbJ a J a Jc6.求随机微分方程X'(/) + aX ⑴二丫⑴ze[0,+oo]'X(0) = 0的X(t)数学期望E [X(0]。
随机过程(超容易理解+配套例题).
t
K(t) H (t) 0 K(t s)dF(s)
其中H(t)，F(t)为已知，且当t<0时， H(t)， F(t)均为0，当H(t)在任何区间上有界时称 此方程为适定更新方程，简称更新方程。
设m(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为M(t)
m(t
)
F
t
t
0
m
t
s
dF
s
,
M (t)
f
t
t
0
Nt
X t Yi i1
称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
条件Poisson过程
1、定义：设 是一个正的随机变量，分布函数为G(x)，设N(t) 是一个计数过程，
在 的条件下， {N(t),t≥0}是参数为 的泊松过程，即对任意的 s, t≥0，有
PN t s N s n tn et
一个典型的更新过程的例子就是机器零件的更换。在0时刻，安装上一 个新零件并开始运行，当零件在X1时刻发生损坏，马上用一个新的来 替换（假设替换零件不需要时间），当第二个零件从X1时间开始运行， 到X2时间发生损坏时，我们马上换第三个零件….这些零件的使用寿命 是独立同分布的，那么到t时刻为止已经更换的零件数目就构成一个更 新过程。
解：
设 N (t)表示在时间t时到达的顾客数
P(N(0.5) 1, N(2.5) 5)
P(N(0.5) 1, N(2.5) N(0.5) 4)
P(N(0.5) 1)P(N(2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!4!0.0来自55Poisson过程的推广
随机过程简介
1、实际背景： 在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做 特定时间点上的一次观察,且需要做多次的 连续不断的观察,以观察研究对象随时间推 移的演变过程.
随机过程习题答案
随机过程复习题一、填空题：1．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，)()]()([12123t t t X t X E -=-，则15486}6)5(,4)3(,2)1({-====e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P2. 已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(412141，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P 则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P 3．强度λ的泊松过程的协方差函数},min{),(t s t s C X λ= 4．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， 则)]()([)(πωδπωδπω-++=X S5.对于平稳过程X (t)若)()]()([)()(τττX R t X t X E t X t X =+>=+<以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。
6.已知平稳过程)(t X 的谱密度为23242++=ωωωω)(S ，则)(t X 的均方值=2222- 7. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为),(π20上服从均匀分布的随机变量，则0)(>=<t X ，ωττcos 2)()(2a t X t X >=+<8．设马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的状态空间}1,0{=I ，则一步转移概率矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9.01.01.09.0P ，初始分布为)31,32()0(=p ，则2X 的分布律为 (2)P = (0.547,0.453)，234(1,1,0)________P X X X ====0.099.设...)2,1,0(=n Xn是只有两个状态的齐次马氏链，其n步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n nD C n P 21311)(，则n n C D ==nn 21,31二、计算与证明：1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为31，晴天转雨天的概率为21，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，nX 表示第n 天的状态（0或1）。
随机过程习题答案A宣贯
随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。
（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）（2）当i=j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。
经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，因此：P112/9．解：（1）（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，令矩阵则有：因此有：P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机过程的数学定义中，通常需要满足哪些条件？A. 样本空间、概率测度、随机变量B. 样本空间、概率测度、随机函数C. 样本空间、随机变量、随机函数D. 概率测度、随机变量、随机函数答案：B2. 马尔可夫链的无记忆性指的是什么？A. 过程的未来状态仅依赖于当前状态B. 过程的未来状态仅依赖于过去的状态C. 过程的未来状态依赖于当前和过去的状态D. 过程的未来状态依赖于所有历史状态答案：A3. 在随机过程中，如果一个过程的任何有限维分布都是联合正态的，则称该过程为什么？A. 正态过程B. 高斯过程C. 联合正态过程D. 多元正态过程答案：B4. 以下哪个不是平稳随机过程的性质？A. 一阶矩不随时间变化B. 任意两个不同时间点的协方差仅依赖于时间差C. 过程的均值随时间变化D. 过程的自相关函数仅依赖于时间差答案：C5. 随机过程的谱密度函数与自相关函数之间的关系是什么？A. 互为傅里叶变换B. 互为拉普拉斯变换C. 互为Z变换D. 互为梅林变换答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果随机过程的样本路径是连续的，则称该过程为_________。
答案：连续过程2. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的_________。
答案：随机变量3. 对于一个平稳过程，其自相关函数R(τ)仅依赖于时间差τ，而不依赖于绝对时间t，即R(t1, t2) = R(t1 - t2) = R(τ)，其中τ = t2 - t1。
这种性质称为_________。
答案：时间平移不变性4. 随机过程的遍历性是指过程的_________等于其统计平均。
答案：时间平均5. 随机过程的遍历性分为_________遍历性和_________遍历性。
答案：强，弱三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是泊松过程，并给出其概率质量函数。
答案：泊松过程是一种描述在固定时间或空间间隔内随机事件发生次数的随机过程。
Ch6_ans
所以,Xn 是Markov链。
1
2. 设状态空间S = {0, 1, 2, 3} 1 2 Π= 0 0 1 0 0
1 2
0
1 2
0
0 0
0
0 1 2 1
3. 该Markov链是齐次的， 有状态转移图看出， 当n = 2k时， π11 (n) = [π12 (1) · π21 (1)] · [π12 (1) · π21 (1)]...[π12 (1) · π21 (1)] = [π12 (1) · π21 (1)] 2 = 1 1 × 2 2
1
P (n) = P (0)Π(n) = [
0 0
1 ] 3
1 2 即A最终赢的概率为 3 ， B最终赢的概率是 3 。
6-14 设车间有两个独立工作的机器，且每个机器有两个状态：正常工作和故
障修理。已知正常工作的机器某天出故障的概率为a,机器处于故障修理状态 在某天恢复正常工作的概率为b。设Xn 是第n天该车间正常工作的机器数。 1. 证明Xn 是一个三状态的Markov链，并给出一步状态转移概率Π 。 2. 证明该Markov链的稳态状态概率是参数为p = b/(a + b)的二项式分布。 3. 若车间里有n台机器，则稳态概率是什么? 解：
πii (n) = π10 (n) = 4. 求n = 2k 步状态转移矩阵。 5. 计算Πn ,当n → ∞的极限 6. 分别求A和B最终赢的概率 2 1− 3 1 2 1 4
n
,
k
i = 1, 2 = π23 (n)
解：
1. 由于抛均匀硬币,出现正面和反面的概率都为1/2， 因此有： P {Xn+1 = xn+1 |Xn = xn , Xn−1 = xn−1 , ..., X1 = x1 } =P {Xn+1 − Xn = xn+1 − xn |Xn = xn } =P {Xn+1 = xn+1 |Xn = xn }
随机过程课后习题答案
标准教材：随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著索书号：O211.6/Z35-2备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）工程随机过程/彭秀艳编著索书号：TB114/P50历年试题（页码对应备用教材）2007一、习题0.7（1）二、习题1.4三、例2.5.1—P80四、例2.1.2—P47五、习题2.2六、例3.2.2—P992008一、习题0.5二、习题1.4三、定理2.5.1—P76四、定理2.5.6—P80五、1、例2.5.1—P802、例2.2.2—P53六、例3.2.3—P992009（回忆版）一、习题1.12二、例2.2.3—P53三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3—P76五、习题0.8六、例3.2.22010一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达二、例1.2.1三、例2.1.4四、例2.2.2五、习题2.6六、习题3.3引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式()222E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：()()()()222222222220440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦例1.4.2 解法详解已知随机过程(){},X t t T ∈的均值为零，相关函数为()121212,,,,0a t t t t et t T a --Γ=∈>为常数。
求其积分过程()(){},t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函数()12,Y t t Γ。
解：()0Y m t =不妨设12t t >()()()()()()1212222112121122122100,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττΓ===Γ⎰⎰⎰⎰()()()()()222121122221222112222212221212121212000220022002200222211||111111||211ττττττττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at ed d ed de d e d a ae d e d a a t t e e a a a a t e e e a a⎤⎦同理当21t t >时()()2112112221,1a t t at at Y t t t e e e a a----⎡⎤Γ=++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解 普松过程公式推导：(){}()()()()()()()()()()()1lim !lim 1!!!1lim 1!!lim 1lim !lim lim !第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换：→∞-→∞-→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦N k N N kkN N k kN N kN kq t qtN N k N kk k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t e e N N N q t q t N k N ()()()()()!lim 1!-→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦N k k k k kN k N q t N qt qt N k (){}()()()()!1lim 1!!!N kkN kqt P X t k N q t q t N k k qt ek -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦=例2.1.2 解法详解设(){},X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且()()2212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，令()()()1Y t X t X t =--，试证明(){},Y t t -∞<<+∞为平稳过程。
随机过程习题解析未完成版
1.3 令 Z1 , Z2 为独立的正态随机变量, 均值为 0, 方差为 σ 2 , λ 为实数. 定 义过程 X (t ) = Z1 cos λ t + Z2 sin λ t . 试求 X (t ) 的均值函数和协方差函数. 它是 宽平稳的吗? 解： EX (t ) = cos λ t EZ1 + sin λ t EZ2 = 0 RX (s, t ) = Cov(Z1 cos λ s + Z2 sin λ s, Zz cos λ t + Z2 sin λ t ) = cos λ s cos λ tCov(Z1 , Z1 ) + sin λ s sin λ tCov(Z2 , Z2 ) = σ 2 cos λ (s − t ) 只与 s − t 有关, ∴ 是宽平稳的 1.4 Poisson 过程 X (t ), t 0 满足 (i) X (t ) = 0; (ii) 对 t > s, X (t ) − X (s) 服
1 n
x
t,
x > t,
并记 X (t ) = 解：
k=1
∑ I (t , Uk ), 0
n
t
1, 这是 U1 , · · · , Un 的经验分布函数. 试求过
程 X (t ) 的均值和协方差函数. 1 n ∑ I (t , Uk )] nk =1
EX (t ) = E[
= EI (t , U1 )
从均值为 λ (t − s) 的 Possion 分布; (iii) 过程是有独立增量的. 试求其均值函 数和协方差函数. 它是宽平稳的吗? 解： EX (t ) = E[X (t ) − X (0)] = λ t RX (s, t ) = Cov(X (t ), X (s)) = Cov(X (s) − X (t ) + X (t ) − X (0), X (t ) − X (0)) = Cov(X (t ) − X (0), X (t ) − X (0)) = λt ∴ 非宽平稳 1.5 X(t) 为第 4 题中的 Possion 过程. 记 Y (t ) = X (t + 1) − X (t ), 试求过 程 Y (t ) 的均值函数和协方差函数, 并研究其平稳性. (s t) （独立增量）