拉氏变换性质的证明
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拉氏积分变换L
s
s
而时域函数f (0)与s无关，得：lim f (t) lim s F (s)
t 0
s
6)证明：拉氏变换定义：L[
f
' (t )]
0
f
'(t) est
dt
由微分定理：L[ f '(t)] s F (s) f (0)
f
'(t) est
将式F (s) A1s A2 A3 An
(s s1)(s s2 ) s s3
s sn
两边同乘(s s1)(s s2 )，并令s s1或s s2 ,得
F (s)(s s1)(s s2 ) ss1或ss2 A1s A2 ss1或ss2 此式为复数相等，令其实部、虚部分别相等
u
C
dt
定义复域容抗：Z
c
U (s) I (s)
1 sC
i
u L di(t) 拉氏变换U (s) L s I (s)
u
L
dt
定义复域感抗：Z
L
U (s) I (s)
sL
sL
Ui（s）
R
1 sC
Uo（s）
求解uo (t)时，将电路变换到复域，有：
1
U o (s) sC U i (s) sL R
复变函数F (s)。
2、拉氏变换性质
1)线性性质(叠加定理 ) :
f F f 若 (t) 1
(s),
1
2 (t) F2 (s),
则：af
(t) b
1
f
拉氏变换
于是 L[ f (t )] e
skT
所以
对周期函数来说，求广义积分就转化为求
0
1 L[ f (t )] 1 e sT
k 0
T
T
0
1 f (t ) e dt 1 e sT
st
T
0
f (t ) e st dt
f (t ) e st dt
在一个周期区间[0, T]上的定积分，上式就是 周期函数的拉氏变换公式．
15
故
1 1 2 sb 1 1 sb sb 2 L[ f (t )] [ ( e 2 e 1 )] [ ( 1 e )] 2 sb 2 st 2 2 1 e s 1 (e ) s 1 e sb 1 sb 2 2 th( ) sb s (1 e ) s 2
0
f (t ) e st dt
st ( k 1)T kT
f (t ) e dt f (t ) e dt ..........
k 0 ( k 1)T kT
2T
f (t ) e st dt ......
f (t ) e st dt
kt kt st ( s k )t
所以
1 L[e ] sk
kt
(s k )
为了简便起见，求拉氏变换时，可以不再指出 收敛区域。
7
二、常用函数的拉氏变换 我们已经求了常值函数，指数函数的拉氏变
换，下面我们再求其它常用函数的拉氏变换。
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换。
19
2.求下列函数的拉氏变换 (1) 0t 4 1
拉氏变换
)
=
⎧0(t
⎨ ⎩
t
(t
< ≥
0) 0)
L[t] =
1 s2
4.加速度函数
f
(t )
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
0(t < 0) 1 t 2 (t ≥ 0) 2
L[ 1 2
t2] =
1 s3
5
时间域：δ(t)→ 1(t)→t→ t2/2 复数域： 1→1/s→1/s2→1/s3
4.指数函数
f (t) = e−at (t ≥ 0)
t →0+
s→∞
证明方法同上。只是要将s→∞取极限。
15
(6) 衰减定理 若f2(t)=e-at f1(t), 则
F2(s) =F1(s+a)
L[e−at f (T )] = F (s + a)
16
8
(7) 延迟定理 （处理复杂时间函数） 若 f2(t)=f1(t-a), 则 F2(s)=e-as F1(s)
=
f (t) ∞ 0
= lim t→∞
f (t) −
f (0)
右边 = lim [sF (s) − f (0)] = lim sF (s) − f (0)
s→0
s→0
∴ lim f (t ) = lim sF (s)
t→∞
s→0
14
7
(5)初值定理
若 f(t) 在t=0+处有初值f(0+)，则
lim f (t) = f (0+ ) = lim sF (s)
1
= 1 (1 − 1)
(s + a)(s + b) b − a s + a s + b
信号与系统4.3拉氏变换的性质
T
T2
2
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
E(2 )
[
s2
T
( 2
)2
sT
]e 2
T
T
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。
f (t)
E
…
0
TT
2T
t
2
图4.4 例 4―4图
解: 在例4―3中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即
0 24
t
图4.5 例4-5图
e2(t2)e4u(t 2) e2(t4)e8u(t 4)
于是
F (s) L[ f (t)] e4L[e2t ]e2s e8L[e2t ]e4s
e2(s2) e4(s2) s2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4、s域平移特性
若 f (t) F(s)
t)u(t) E sin[ T
(t )]u(t )
2
2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
应用拉氏变换的时移特性,有
F (s) L[ f (t)] L[ fa (t)] L[ fb (t)]
L[E sin(2 t)u(t)] L{E sin[ 2 (t T )]u(t T )}
本题第一个周期的波形）的拉氏变换为
F1(s)
L[
f
(t)]
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
拉普拉斯变换性质
lim f (t ) lim sF (s )
t s 0
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6
2.4 拉氏变换的性质
8 终值定理
证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有
d f (t ) d f (t ) L e st d t sF ( s) f (0 ) d t 0 d t 令 s 0 时，对上式两边取极限
注意：当 f (t ) 是周期函数，如正弦函数 没有终值，故终值定理不适用。
sinω t时，由于它
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8
2.4 拉氏变换的性质
例1： F ( s )
1 , 求f () s 5
t
f (t ) e5t , lim f (t )不存在， 不能应用终值定理。
9
2.4 拉氏变换的性质
例2： F ( s)
1 , 求f () s( s a)
F(s)的极点s=0, s=-a，其中一个极点在原点，另一个
位于S平面的左半平面，可以应用终值定理。 1 1 f () lim sF ( s) lim s 0 s 0 s a a
2s 1 例3：F ( s) , 求f () 2 s( s 1)
F(s)的极点s=0, s=j，s=-j，有一对极点在虚轴，不满足终值定理
使用条件，f(t)的终值不存在。
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10
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积分变换第6讲拉氏变换的性质
s
d
t
0
f (t) e-std t t
L
f (t) t
即
L
f
(t) t
F(s)d s
s
一般地,有L
f (t) t n
d 1s
sd s
s
s
F(s)d s
n次
12
例4 求函数
积分变换
第6讲
1
拉氏变换的性质
本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏变换 的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在 这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉 氏变换存在定理中的条件, 并且把这些函数的增 长指数都统一地取为c. 在证明性质时不再重述这 些条件
2
1. 线性性质
若a,b是常数
f1(t)
f(t)
E
E
OT
T
t
2
O
Tt
f2(t) E
2
O
TT
t
2
24
由前图可知, f(t)=f1(t)+f2(t), 所以
L [ f (t)] L [ f1 (t )] L [ f2 (t)]
EL
si n
2
T
t u(t )
EL
2
sin
T
t
-
T 2
2s2 (s2 k 2 )2
-
s2
1
k
2
2s2 - s2 - k 2 (s2 k 2 )2
s2 - k2 (s2 k 2 )2
拉氏积分变换L
代入初始条件，得：
X ( s) = 1 s +8 s−2 (s + 2 ) X ( s ) + 2Y ( s ) = s − 2 解得： Y ( s ) = 3 − 2 X ( s ) + ( s + 1)Y ( s ) = 3s + 1 s−2 s−2 作反变换，得：x(t ) = e 2t , y (t ) = 3 ⋅ e 2t
其中 k i = F ( s ) ⋅ ( s − pi ) | s = p i ，则：f (t ) = k1 e p1t + k 2 e p 2t + .... + k n e p nt 2，当解出s等于一对共轭复根，即 s = p1,2 = σ ± jw ，则： 1 1 1 F (s) = = = ( s − p1)( s − p 2) s 2 − ( p1 + p 2) s + p1 p 2 s 2 − 2σs + (σ 2 + w2)
拉氏变换公式表
f (t ) = −u (t ) + t + e−t = −1 + t + e−t , (t ≥ 0 )
若F(s)不是有理真分式，则化为 多项式与真分式之和。
例2：已知 F (s ) =
as + b c 解：令F (s ) = 2 + (s + 2s + 3) s + 2
(s2 + 2s + 3)(s + 2) ，求其反变换。
1 f (t )满足divichlet条件。 ） 2）若f (t )是指数阶函数，则必须存在M > 0，使当t > t 0 时， (t ) ≤ M ⋅ ect f
X ( s) = 1 s +8 s−2 (s + 2 ) X ( s ) + 2Y ( s ) = s − 2 解得： Y ( s ) = 3 − 2 X ( s ) + ( s + 1)Y ( s ) = 3s + 1 s−2 s−2 作反变换，得：x(t ) = e 2t , y (t ) = 3 ⋅ e 2t
其中 k i = F ( s ) ⋅ ( s − pi ) | s = p i ，则：f (t ) = k1 e p1t + k 2 e p 2t + .... + k n e p nt 2，当解出s等于一对共轭复根，即 s = p1,2 = σ ± jw ，则： 1 1 1 F (s) = = = ( s − p1)( s − p 2) s 2 − ( p1 + p 2) s + p1 p 2 s 2 − 2σs + (σ 2 + w2)
拉氏变换公式表
f (t ) = −u (t ) + t + e−t = −1 + t + e−t , (t ≥ 0 )
若F(s)不是有理真分式，则化为 多项式与真分式之和。
例2：已知 F (s ) =
as + b c 解：令F (s ) = 2 + (s + 2s + 3) s + 2
(s2 + 2s + 3)(s + 2) ，求其反变换。
1 f (t )满足divichlet条件。 ） 2）若f (t )是指数阶函数，则必须存在M > 0，使当t > t 0 时， (t ) ≤ M ⋅ ect f
积分变换第二章拉氏变换
1.线性性质:
La1 f1(t ) a2 f2(t ) a1F1(s) a2F2(s), L1 b1F1(s) b2F2(s) b1 f1(t ) b2 f2(t )
6
例3 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
解 L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (ejkt e jkt )e std t 2j 0
f(t)
f(tt)
O
t
t
14
例7
解
求函数 u(t
已知 L[u(t
t)
)] 1 ,
0 1
t t t t
的拉氏变换.
根据延迟性质
s
L[u(t t )] 1 est
s
(Re s 0)
u(tt)
1
O
t
t
15
5.位移性：L f (t) F(s)Re s c,则
10 4
dtL 40 4 2
40
f (t)dt } 4 43
sn
F (s)
n次
例6
求
f
t
t
0
cos
t
dt
的拉氏变换.
解
L
t 0
cos
tdt
1 s
L cos
t
1 s
s2
s
1
1 s2 1
13
4.平移性(延迟性)：设L f (t) F(s) ,则
L f (t t ) est L f (t) est F (s) Re s c
(s
La1 f1(t ) a2 f2(t ) a1F1(s) a2F2(s), L1 b1F1(s) b2F2(s) b1 f1(t ) b2 f2(t )
6
例3 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
解 L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (ejkt e jkt )e std t 2j 0
f(t)
f(tt)
O
t
t
14
例7
解
求函数 u(t
已知 L[u(t
t)
)] 1 ,
0 1
t t t t
的拉氏变换.
根据延迟性质
s
L[u(t t )] 1 est
s
(Re s 0)
u(tt)
1
O
t
t
15
5.位移性：L f (t) F(s)Re s c,则
10 4
dtL 40 4 2
40
f (t)dt } 4 43
sn
F (s)
n次
例6
求
f
t
t
0
cos
t
dt
的拉氏变换.
解
L
t 0
cos
tdt
1 s
L cos
t
1 s
s2
s
1
1 s2 1
13
4.平移性(延迟性)：设L f (t) F(s) ,则
L f (t t ) est L f (t) est F (s) Re s c
(s
拉氏变换基本性质
F(s) F1(s) 1 esT 0
例：周期信号的拉氏变换
LT
f1(t) F1(s)
第一周期的拉氏变换
LT
利用时移特性
f1(t nT ) esnT F1(s)
LT
f (t nT ) F1(s) eSnT
n0
n0
1
F1(s) eST
利用无穷递减等比 级数求和 s a1
1- q
例1：求全波整流周期信号的拉氏变换
设f (t) sint
sin 0t u(t)
t 0
sin0t u(t t0)
t 0 t0
sin0(t t0) u(t)
0 t0
t
sin0(t t0)u(t t0)
t 0 t0
3.时移特性的应用p250.4-2 (1)
sin t 0 t T
1. f (t)
2
0 t为其它值时
解: f (t) sin t[u(t) u(t T )] 2
s 0 dt
s
f (0) f (0 ) f (0 ) lim sF(s) s
再假定f(t)在原点有跃变,则f(t)的导数可写成
df df1 [ f (0 ) f (0 )](t) dt dt
t0
其中f 1(t)在t=0连续,于是
lim df (t) est dt lim df1 est dt
采用 0 系统还是采用 0 系统,所求得的初值
总是 f (0 )
b.若F(s)是有理代数式,则F(s)必须是真分式 即F(s)分子的阶次应低于分母的阶次,若不是 真分式,则应用长除法,使F(s)中出现真分式,而 初值f (0) 等于真分式F0(s) 逆变换f 0(t) . c.物理解释:s ( j ) 相当于接入信
拉氏变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换简称拉氏变换。
它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变换成复数域的代数方程。
并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，可使解题过程大为简化。
因此，对于那些以时间t 为自变量的定常线性微分方程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。
在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。
本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。
最后，介绍用拉氏变换解微分方程的方法。
在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。
2.1拉氏变换2.1.1拉氏变换的定义若()f t 为实变量时间t 的函数,且0t <时，函数()0f t =，则函数()f t 的拉氏变换记作[()]f t L 或)(s F ，并定义为：[()]()()e dL stf t F s f t t +∞-==⎰（2.1） 式中s j σω=+为复变量，()F s 称为()f t 的象函数，称()f t 为()F s 的原函数。
原函数是实变量t 的函数，象函数是复变量s 的函数。
所以拉氏变换是将原来的实变量函数()f t 转化为复变量函数()F s 的一种积分运算。
在本书中，将用大写字母表示相对应的小写字母所代表的函数的拉氏变换。
必e 1[1()]1e d L st stt t ss+∞-+∞-=⋅=-=⎰(2.2) 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当于一个实加作用信号，如开关的闭合（或断开），加（减）负载等。
⑵单位脉冲函数单位脉冲函数如图2.2所示。
其定义为()0t t t δ∞=⎧=⎨≠⎩ 同时，()d 1t t δ+∞=⎰，即脉冲面积为1。
而且有如下特性：()()d (0)t f t t f δ+∞-∞⋅=⎰(0)f 为()f t 在0t =时刻的函数值。
拉氏变换
2.二阶非齐次方程求解 二阶非齐次方程求解
机械工程控制基础
y ′′ + p y ′ + qy = f ( x ) → y *
拉氏变换
1 . f ( x ) is k n x n + k n 1 x n 1 + + k 1 x + k 0 isn ' t root y * → y * = x 2 R n ( x ) → 0 is single root y * → y * = xR n ( x ) * * 2 0 is double root y → y = x R n ( x ) a isn ' t root y * → y * = β xe ax 2 . f ( x ) is Ae ax → a is single root y * → y * = β xe ax a is double root y * → y * = β x 2 e ax a isn ' t root y * → y * = Pn ( x ) e ax 3 . f ( x ) is Pn ( x ) e ax → a is single root y * → y * = xP n ( x ) e ax a is double root y * → y * = x 2 Pn ( x ) e ax ω isn ' t single root y * → y * = M cos ω x + N sin ω x 4 . f ( x ) is A sin ω x → ω is single root y * → y * = x ( M cos ω x + N sin ω x ) α ± β j isn ' t root y * → y * = e α x ( M cos β x + N sin β x ) 5 . f ( x ) is Ae ax sin β x → ω is single root y * → y * = xe α x ( M cos ω x + N sin ω x )
机械工程控制基础
y ′′ + p y ′ + qy = f ( x ) → y *
拉氏变换
1 . f ( x ) is k n x n + k n 1 x n 1 + + k 1 x + k 0 isn ' t root y * → y * = x 2 R n ( x ) → 0 is single root y * → y * = xR n ( x ) * * 2 0 is double root y → y = x R n ( x ) a isn ' t root y * → y * = β xe ax 2 . f ( x ) is Ae ax → a is single root y * → y * = β xe ax a is double root y * → y * = β x 2 e ax a isn ' t root y * → y * = Pn ( x ) e ax 3 . f ( x ) is Pn ( x ) e ax → a is single root y * → y * = xP n ( x ) e ax a is double root y * → y * = x 2 Pn ( x ) e ax ω isn ' t single root y * → y * = M cos ω x + N sin ω x 4 . f ( x ) is A sin ω x → ω is single root y * → y * = x ( M cos ω x + N sin ω x ) α ± β j isn ' t root y * → y * = e α x ( M cos β x + N sin β x ) 5 . f ( x ) is Ae ax sin β x → ω is single root y * → y * = xe α x ( M cos ω x + N sin ω x )
第二章附录-拉氏变换
例3 : y(3) 3y 3y y 1, y(0) y(0) y(0) 0 求微分方程.
F (s)
1 s(s 1)3
b3 (s 1)3
b2 (s 1)2
b1 s 1
c4 s
b3
[
s(s
1 1)3
(s
1)3 ]s1
1
b2
d
ds
[
s(s
1 1)3
(s
1)3
]
s1
[d ds
(
1 s
一.拉氏变换
1.定义：设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积
分
F (s) f (t)est dt
0
存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
简称拉氏变换。记为 F (s) L[ f (t)]
f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f (t) L1[F (s)]
2.常用函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t) f(t)
ci是常数
M (s) ci [ D(s) (s pi )]s pi
例1: F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)(s
1 2)(s
3)
(s
1)]s 1
1 6
1
1
c2
[ (s
1)(s
2)(s
3)
(s
2)]s2
15
c3
[ (s
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
0
(8)卷积定理
9.2拉氏变换性质
2L[cos t ] s 2L[cos t ] s,
s . 所以 L[cos t ] 2 2 s
使用同样方法，可得 L[sin t ]
s
2 2
.
例9.6求解微分方程
y'' (t ) 2 y(t ) 0, y(0) 0, y ' (0)
[ f (t ) ] sF ( s) f (0) .
证明
[ f ( t ) ]
0
f ( t ) e
0
st
dt
0
0
e s t d f (t )
f (t ) e
st
s
f (t ) e s t d t ,
ct 由 | f ( t ) | Me , 有 | f ( t ) e s t | Me ( Re s c ) t ,
利用 Laplace 变换计算广义积分
P221 例9.11(2)
解 已知
1 s 1 , 由积分性质有 [ 1 cos t ] 2 2 s s 1 s( s 1)
1 cos t 1 [ ] ds 2 s s( s 1) t
1 s ln 2 2 s 1
即得
st 因此当 Re s c 时，有 lim f ( t ) e 0 , t
即得
[ f (t ) ] sF ( s) f (0) .
二、微分性质
▲
1. 导数的象函数 性质
[ f (t ) ] sF ( s) f (0) ;
一般地，有
[ f ( n ) ( t )] s n F ( s ) s n1 f (0) s n 2 f (0) f ( n1) (0) .
s . 所以 L[cos t ] 2 2 s
使用同样方法，可得 L[sin t ]
s
2 2
.
例9.6求解微分方程
y'' (t ) 2 y(t ) 0, y(0) 0, y ' (0)
[ f (t ) ] sF ( s) f (0) .
证明
[ f ( t ) ]
0
f ( t ) e
0
st
dt
0
0
e s t d f (t )
f (t ) e
st
s
f (t ) e s t d t ,
ct 由 | f ( t ) | Me , 有 | f ( t ) e s t | Me ( Re s c ) t ,
利用 Laplace 变换计算广义积分
P221 例9.11(2)
解 已知
1 s 1 , 由积分性质有 [ 1 cos t ] 2 2 s s 1 s( s 1)
1 cos t 1 [ ] ds 2 s s( s 1) t
1 s ln 2 2 s 1
即得
st 因此当 Re s c 时，有 lim f ( t ) e 0 , t
即得
[ f (t ) ] sF ( s) f (0) .
二、微分性质
▲
1. 导数的象函数 性质
[ f (t ) ] sF ( s) f (0) ;
一般地，有
[ f ( n ) ( t )] s n F ( s ) s n1 f (0) s n 2 f (0) f ( n1) (0) .
7.2 拉氏变换的性质
例7-13 求 L[t sin t ] 解 因为L[sin t ]
p
2 2
,由 式(7 10)可 得
d 2 p L[t si n t ] ( 1) ( 2 ) 2 2 dp p ( p 2 )2
（7-9）
性质7 若L[f(t)] =F(p)，则 （7-10）
L[t f (t )] (1) F ( p)
n n ( n)
性质8
f (t ) m 存 在, 则 若L[f(t)] =F(p) , 且 lt i 0 t
f (t ) L[ ] F ( p)dp p t
（7-11）
证明
L[a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )]
0
[a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )]e dt
0
pt
a1
0
f1 (t )e dt a2
pt
f 2 (t ) e dt
pt
a1 L[ f1 (t )] a2 L[ f 2 (t )]
L[e f (t )]
at 0
(7-3)
dt F ( p a)
e f (t ) e dt
at pt
0
f (t ) e
( p a ) t
位移性质表明：象原函数乘以 e at 等于 其象函数左右平移︱a︱个单位．
例7-6 求 L[ t eat ] , L[e -at sin ωt] 和Ｌ ［e -at cos ω t］.
pa cost ] . 2 2 ( p a)
性质3(滞后性质)若L［f(t)］=F(p) ，则
L［f(t－a)］=e-apF(p),(a > 0) 证明 L[ f (t a)]
积分变换--拉普拉斯变换
1 st 0 e dt s e 1 L [u( t )] 所以， s
st 0
1 s
例2. 求函数 f ( t ) e （k为常数）的Laplace变换。
kt
解： L [e ]
kt
kt e 0
e
st
dt
( s k ) t e dt 0
1, t 0 例1. 求单位阶跃函数 u(t ) 的Laplace变换. 0 , t 0
解： L[u( t )] e st dt
0
由于
0
e
st
dt e Re( s )t dt
0
( e a bi e a )
st
当Re(s) 0时, 上式收敛,于是 0 e dt收敛, 而且
1
F1 ( s ) F2 ( s ) f 1 (t ) f 2 (t )
0
证明： L f 1 ( t ) f 2 ( t )
f 1 (t ) f 2 (t )e st d t
f 2 (t ) e st d t
f 1 ( t ) e d t
拉氏变换的性质
一.拉氏变换的性质 二.拉氏逆变换 三.卷积
一.拉氏变换的性质
1. 线性性质 2. 微分性质 3. 积分性质 4. 位移性质 5. 延迟性质 6. 相似性质
1. 线性性质
设 L f 1 ( t ) F1 ( s ) , L f 2 ( t ) F2 ( s ) , , 是常数, 则 L f 1 ( t ) f 2 ( t ) F1 ( s ) F2 ( s ) L
st 0
1 s
例2. 求函数 f ( t ) e （k为常数）的Laplace变换。
kt
解： L [e ]
kt
kt e 0
e
st
dt
( s k ) t e dt 0
1, t 0 例1. 求单位阶跃函数 u(t ) 的Laplace变换. 0 , t 0
解： L[u( t )] e st dt
0
由于
0
e
st
dt e Re( s )t dt
0
( e a bi e a )
st
当Re(s) 0时, 上式收敛,于是 0 e dt收敛, 而且
1
F1 ( s ) F2 ( s ) f 1 (t ) f 2 (t )
0
证明： L f 1 ( t ) f 2 ( t )
f 1 (t ) f 2 (t )e st d t
f 2 (t ) e st d t
f 1 ( t ) e d t
拉氏变换的性质
一.拉氏变换的性质 二.拉氏逆变换 三.卷积
一.拉氏变换的性质
1. 线性性质 2. 微分性质 3. 积分性质 4. 位移性质 5. 延迟性质 6. 相似性质
1. 线性性质
设 L f 1 ( t ) F1 ( s ) , L f 2 ( t ) F2 ( s ) , , 是常数, 则 L f 1 ( t ) f 2 ( t ) F1 ( s ) F2 ( s ) L
十三章拉氏变换
= F (s + α )
例：求 解：
e −α t sin ωt
的象函数
ω ∵ L [sin ωt ] = 2 s + ω2
依频域平移性质： 依频域平移性质：
L e
−α t
ω sin ωt = (s + α )2 + ω 2
13-3 拉氏反变换的部分分式展开 F(s)
拉氏反变换
f(t)
N ( s ) a0 s m + a1s m −1 + ⋅⋅⋅ + am F ( s) = = D ( s ) b0 s n + b1s n −1 + ⋅⋅⋅ + bn
将F(s) 分解 若干简单项之和 将各简单项查表
n≥m
原函数
这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。 这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。
L t e
2 −α t
2 = ( s + α )3
（7）频域平移性质 ）
如果
L[ f (t)] = F(s)
那么 L e
∞ −α t − st 0−
−α t
f (t ) = F ( s + α )
∞ 0−
证： L e −α t f (t ) =
∫
f (t )e e dt = ∫ f (t )e − ( s +α )t dt
（2）利用上式结果及导数性质 ）
ω L [ f (t ) ] = 2 s + ω2
cos(ωt ) =
1
ω
(sin ωt )′
f (0− ) = 0
s s2 s d L (cos ωt iε (t )) = s 2 − [ cos ωt iε (t ) ]t =0 = 2 −0 = 2 − s + ω2 s + ω2 s + ω2 dt