第八章-核反应堆动力学

[
]
又,
1 k∞ (1 − β ) − 1 ⋅ ∑ a v (1 − β )k ∞ − 1 + B 2 L2 = 1 + B 2 L2 2 2 1 + B L l∞ 1 = [k (1 − β ) − 1] ⋅ l
所以，
6 dn(t ) k (1 − β ) − 1 = n(t ) + ∑ λi C i (t )......(8 − 17 ) dt l i =1
i i
β i p i Psi
......(8 − 22)
i
其中， p 为逃脱共振吸收几率， Ps 为快中子不泄漏几率。
β
eff
=
∑
i
β
eff
,i
大型热堆，大百分之几 热堆：β eff > β， 小型实验堆，大 20－30% ， 快堆：β < β eff
又有， β 耗而减小。
(
ωt n(t ) = Ae ， A, Ci , ω 为待定常数。 ωt Ci (t ) = Ci e
代入（8－21）式，得
Ci =
βi A......(*) Λ (ω + λi )
代入（8－20）式，并利用（*）式，消去 A ，得
ρ = β + Λω − ∑
i
β i λi ，由于 β = ∑ β i ，则： ω +λ i i
l∞ 1 ，中子在堆内消失的平均时间。 = 2 2 1 + B L v ∑ a + DB 2
(
)
Neutron reproduction time: Λ = 平均时间。
1 l ， 一个中子由于裂变被另一个中子代替的 = k ν ∑f v
1
Neutron generation time:
τ=
1 ，一个中子引起裂变，即产生下一代中子的时间。 ∑f v
上述，均适用于点堆模型动态方程。
☺ 讨论： 点堆模型 ①假定“时—空”分离，且空间不随时间变化，称为零功率点堆模型，即 ρ (t ) 。 ②范围：大的扰动和迅速变化得瞬态问题（如 2 次函数）不行（即偏离临界过远不行） 。 ③非线形， ρ (t ) 与 n(t ) 有关（如温度效应燃耗等） ，如应用于零功率实验分析，
j =1
7
等，则 Ci 0Cijω j =
βi
Λ
n0 A j − λiCi 0Cij ,故：
Ci 0Cij =
β i n0 A j ......(8 − 30 ) Λ (λi + ω j )
上式确定了 Cij ，即 Cij 与 A j 的关系。 代入（7） ，得：
Ci (t ) =
β i n0
Λ
∑ω
一．式（8－20） 、 （8 －2 1 ）为线性，则其解为
7 ω jt ( ) = n t n ......(8 − 28) 0 ∑ Aj e j =1 7 ω jt C (t ) = C ......(8 − 29 ) i i 0 ∑ Cij e j =1
6
二．确定常数 （一） 初始条件
[
(
)] (
)
其中， k =
k∞ l∞ 1 ，l = ， l∞ = 。 2 2 2 2 ∑a v 1+ B L 1+ B L
另：代入先 先驱核方程，
dCi (t ) = β i k∞ ∑ a n(t )v − λiCi (t ) ，所以： dt
dC i (t ) k = β i n(t ) − λi C i (t )......(8 − 19 ) ， i = 1,2,L,6 。 dt l
233
U = 0.0026，β
)
(
235
U = 0.0065，β
)
(
239
Pu = 0.0020 ，所以平均 β 随燃
)
5
§8.3
阶跃扰动时的点堆模型动态方程的解
t = 0时刻以前，ρ＝0 ，如：提功率、降功率、停堆，这时（8－20）式、 t = 0时刻，引入反应性ρ＝const
（8－21）式为一阶线形常系数微分方程组。 改后的形式为
Ci 0 =
β i n0
Λ
∑ω
j =1
7
Aj
j
+ λi
......(8 − 33) ， i = 1,2,L,6
（8－32）＝（8－33） ，则得到：
k∑
j =1
7
Aj
ω j + λi
=
1
λi
......(8 − 34) ， i = 1,2,L,6
7

i
以通式为：
6 1 ∂φ r , t = (1 − β )k∞ ∑ a φ r , t + ∑ λiCi r , t v ∂t i =1 2 a
( )
( ) ( ) + D∇ φ (r , t ) − ∑ φ (r , t )......(8 − 11)
3
§8.2.2 缓发中子先驱核浓度的变化
1．产生： β i k∞ ∑ a φ r , t 2．消失： λi Ci r , t
j =1
7
Aj e
j
ω jt
+ λi
......(8 − 31)
（二）
其余 A j 需确定，可由已知条件：
1． t = 0，
dCi (t ) = 0 ，则由（8 －2 1 ）式，得： dt
Ci 0 =
β i n0 ......(8 − 32 ) Λ 0 λi
其中， Λ =
l =l。 k0
另，由（8－31）式得：
n(0) = n 0 Ci (0 ) = Ci 0 dC (t ) i =0 dt t = 0
（8－28） 、 （8－29）式代入（8－21）式，得：
Ci 0 ∑ Cijω i eω i t =
j =1
7
βi
Λ
n0 ∑ A j e
j =1
7
ω jt
− λi Ci 0 ∑ Cij eω i t ，左右两边 eω i t 的系数应该分别相
4
定义 Λ =
l 中子数 ，则有： （ Λ 的意义为 ） k 中子的衰变产生率
6 dn(t ) ρ (t ) − β ( ) n t + ∑ λi C i (t )......(8 − 20 ) = Λ dt i =1 dC i (t ) = β i n(t ) − λ C (t )......(8 − 21) i i Λ dt
l ：热中子平均寿期（有限介质） 。
定 义 平均每代时间（mean generation time） ：由中子产生到其后被吸收并引起裂变的平均每 代寿期。 即：
Λ≡
则（8-3）式可以变化为：
l ......(8 − 6) k
dn (t ) ρ = n (t )......(8 − 7 ) dt Λ
（8-7）式即为不考虑缓发中子的点 点堆模型动态方程。 ☺ 讨论： ① 由物理意义也可以推导（8-3）式，即
( ) ( ) ( ) ()
()
()
()
6 dn(t ) = (1 − β )k ∞ ∑ a n(t )v + ∑ λi C i (t ) − Dn(t )vB 2 − ∑ a n(t )v dt i =1
化简,
dn(t ) 6 = ∑ λiCi (t ) + (1 − β )k∞ − L2 B 2 − 1 n(t )v ∑ a dt i =1
10 −4 T= = 0.1(sec ) 1.001 − 1
相当于：在 1 秒内，即经历 10 个周期，增长 e （功率、裂变率） ≈ 22000，如原来为
10
1mw，则可达 22000mw（在 1 秒内） 。 以下说明缓发中子大大延长了反应堆的周期，从而易于控制。 若考虑缓发中子：
l = (1 − β )l P + ∑ β i (li + l P ) = l P + ∑ β i li ≈ 0.1 sec
i =1 i =1
6
6
在上述例题中，T＝100sec，那么：1sec，仅增长至 e
0.01
= 1.01 ，即增长了 1％。
§8.2 考虑缓发中子的点堆动态方程（单群模型）
§8.2.1 通式
1 ∂φ r , t ⋅ = S r , t + D∇ 2φ r , t − ∑ a φ r , t v ∂t
源项（考虑外中子源） ： ①瞬发中子的产生： (1 − β )k∞ ∑ a φ r , t ；
n ：平均单位时间消失 l 平均单位时间产生 l
② （8-7）式的解为：
n(t ) = n0 e
③
ρ ⋅t Λ
= n0 e
(k −1l )t
......(8 − 8)
反应堆周期（reactor period OR reactor time constant） ：反应堆内中子通量密度按指
( )
( )
( )
( )
( )
()
2
ϕ r + B 2ϕ r = 0 ，又有：
()
()
dn(t ) k − 1 = n(t )......(8 − 3) dt l
其中， l =
l∞ k∞ 1 ，而 l ∞ = ，k = 。 2 2 v ∑a 1+ B L 1 + B 2 L2
l ∞ ：无限介质（中子的消失仅考虑吸收）的热 热中子平均寿期。
第九章 燃料循环与堆内管理
第八章
核反应堆动力学
绪 论
以前涉及的是慢变化，从本章起讨论瞬态特性。 瞬态特性
正常：启动、停堆、功率调节 偏离正常：控制棒弹出，定量描述突然引入反应性后通量变化
。
§8.1 不考虑缓发中子的核反应堆动力学
假如无缓发中子、均匀裸堆的反应性响应(采用单群模型)。t＝0 时刻前 k＝1，并引入一 反应性变化(step change in reactivity） 。 Neutron life time: l =
ρ = Λω + ∑
i
β iω ......(8 − 26) ω + λi
由于 Λ =
l 1 ,k = ,则 k 1− ρ
lω 1 6 β iω ρ= + ......(8 − 27 ) ∑ 1 + lω 1 + lω i =1 ω + λi
(8-27)式称为反 反应性方程，是关于 ω 的七次代数方程，可确定七个 ω 值。
2
数规律变化 e 倍所需的时间。即： en0 = n0 e
ρ t Λ
⇒t =
Λ
ρ
=
l 。 k −1
例：已知：t=0，反应堆临界，这时 k ∞ 从 1.000 上升到 1.001。 求：反应堆的响应特性。 解： l P ≈ 10
−4
sec = t d ， (Q t s 〈〈 t d )
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第七章 第八章
温度效应与反应性控制 核反应堆动力学 ................................... 1
§8.1 不考虑缓发中子的核反应堆动力学.............................1 §8.2 考虑缓发中子的点堆动态方程（单群模型）.....................3 §8.3 阶跃扰动时的点堆模型动态方程的解 ..........................6 §8.4 反应堆周期 ................................................8
ρ (n(t ), t ) ，称为零功率点堆模型，即 ρ (t ) 。
§8.2.4
β 的修正
缓发中子能量低于瞬发中子 ⇒ 快中子不泄漏几率 P s ，P s瞬 引起热烈变几率大 ⇒ 价值比较大。
< Ps缓 ⇒ 热堆：缓发中子
β eff ,i =
(1 − β ) pPs + ∑ β i p i Psi
反应性的阶跃引入：反应性从一个常数值变为另一个常数值的瞬态变化。 此时，中子通量密度随时间的变化关系为：
1 ∂φ r, t ⋅ = D∇ 2φ r , t − ∑ a φ r, t + k ∞ ∑ a φ r, t ......(8 − 1) v ∂t
分离变量： φ r , t = n(t )ϕ r ，又，在第四章中已证明： ∇
( )
( )
故
∂Ci r , t = β i k∞ ∑ a φ r , t − λi Ci r , t ......(8 − 12 ) ， i = 1,2,L,6 ∂t
( )
( )
( )
§8.2.3 点堆模型动态方程 φ r , t = N r , t v = n(t ) ⋅ ϕ r ⋅ v 2 2 ，且有 ∇ ϕ r + B ϕ r = 0 ，代入（8－11）式，得： Ci r , t = Ci (t ) ⋅ ϕ r
( ) ( )
( )
( )
( )
②缓发中子的产生：在 r 处，t 时刻，不能采用 β i k∞ ∑ a φ r , t ，因为有时间延迟。而应
3 i
( ) C (r , t )L第i组（atoms / m ） 为 λ C (r , t ) ，因为衰变一次放出一个中子。即有 ，所 λ
i i