讲11坡印廷定理

坡印廷（J.H.Poynting）定理是时变电磁场中的能量守恒定律。 坡印廷（J.H.Poynting）定理是时变电磁场中的能量守恒定律。 表明电磁场是能量的传递者和携带者。 表明电磁场是能量的传递者和携带者。
∫
S
r r r 单位时间内流出封闭面S ( E × H ) ⋅ dS 单位时间内流出封闭面S的能
1
H E Ez
ρ
ZL
进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。 进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
P=I R
2
R=
1 πa2σ
是单位长度内导体的电阻。 是单位长度内导体的电阻。
电磁能量是由电磁场传输的， 电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流 的作用。当导体的电导率为有限值时， 的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全 部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。 部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。
we = 1 2 εE 2 1 wm = µH 2 2
坡印廷矢量 电场能量密度
W/m2 =F∙ （F/m）(V2/m2) =F∙V2/m3=J/m3 F/m）
＝（H A （H/m）(A2/m2)＝（H·A2/m2) =J/m3 磁场能量密度， 磁场能量密度， H/m） 传导电流引起的热损耗功率密度， 传导电流引起的热损耗功率密度，
a≤ρ ≤b
ρ ≥b
同轴线的内部和外部没有电磁功率流动。 同轴线的内部和外部没有电磁功率流动。
a≤ ρ ≤b
r r r r eρ S = E×H =
U r I UI r × eϕ = ez ρ ln(b / a) 2πρ 2πρ 2 ln(b / a )
电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。 电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。 通过垂直于能量流动方向的任意平面的功率为 r r 2π b UI ρ d ρdϕ = UI P = ∫ S ⋅ dS ' = 0 ∫a ∫ b 2 ′
电磁波的能流密度称为坡印廷矢量
r r r S = E×H
电磁波的传播过程中伴随着能量的传播， 电磁波的传播过程中伴随着能量的传播，单位时间内通过 垂直于传播方向的单位面积的能量称为能流密度。 称为能流密度 垂直于传播方向的单位面积的能量称为能流密度。
r r r r r r ∇ ⋅ ( E × H ) = H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H ) 附录 (A1.6) r r r r r ∂B r r r ∂D r r r ∂D ∂B −E⋅J −E⋅ ) = −H ⋅ = H ⋅ (− ) − E ⋅ ( J + ∂t ∂t r ∂t r ∂t r r r ∂B r ∂D r r − ∇ ⋅ (E × H ) = H ⋅ +E⋅ +E⋅J ∂t ∂t 一般媒质的坡印廷定理 r r r r r r ∂B r ∂D r r − ∫ ( E × H ) ⋅ dS = ∫ ( H ⋅ + E ⋅ + E ⋅ J )dV S V ∂t ∂t 简单媒质的坡印廷定理 r d r r r r − ∫ ( E × H ) ⋅ dS = ∫ (we + wm )dV + ∫ E ⋅ JdV S V dt V
E S H
I
U
H
E S
ZL
为有限值时， （2）当电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场 ） r r r r J r I r I ρ = ε∇⋅ E = 0?? E内 = ez 2 E = = ez 2 ρ ≤a ρ =a πa σ σ πa σ r r U E = eρ a≤ ρ ≤b r U r ρ ln(b / a) E外 = eρ ρ =a r r a ln(b / a) = Et外 边界条件， 边界条件， Et内
4.3
电磁能量守恒定律
简单媒质中， 简单媒质中，电磁场的总能量密度为
1 2 1 w = we + wm = εE + µH 2 2 2
坡印廷定理
r r pσ = J ⋅ E = σE 2
r d r r − ∫ ( E × H ) ⋅ dS = ∫ (we + wm )dV + ∫ σE 2 dV S V dt V
S
若同轴线的内导体为理想 导体， 导体，则功率通过内外导 体间的电磁场传递到负载， 体间的电磁场传递到负载， 而不是经过导体内部传递。 而不是经过导体内部传递。
2πρ ln( ) a
H
I
U
E
S
H
E
S
ZL
0 r UI S = r ez 2πρ 2 ln(b / a)
ρ ≤ a, ρ ≥ b
（2x π E0 cos( z ) sin(ωt − k x x) + ez E0 sin( z ) cos(ωt − k x x) ωµ 0 d d ωµ 0 d
r
r S
r d r r r r 1 2 1 2 − ∫ ( E × H ) ⋅ dS = ∫ ( εE + µH )dV + ∫ E ⋅ JdV S V dt V 2 2 r r ∂ − ∫ S ⋅ dS = ∫ ( we + wm ) dV + ∫ pσ dV S V ∂t V
r r r S = E× H
ρ =a ρ =a
在内导体表面外侧的电场为 r U r r I E外 = eρ + ez 2 ρ=a a ln(b a) πa σ 磁场为
H I
U
Eρ
Ez
S S
r H外
r I = eφ ρ=a 2πa
H E Ez
ρ
ZL
内导体表面外侧的坡印廷矢量为 r r r I2 UI r r = (E外 × H外) = −eρ 2 3 + ez S外 ρ=a ρ=a 2π a σ 2πa2 ln(b a) 内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量。 内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量。
面的功率。 量，即流出S面的功率。
r E
r r r S = E× H
代表流出S面的功率流密度，其方向就是 代表流出S面的功率流密度， r r r 功率流的方向， 成右手螺旋关系. 功率流的方向， , H , S 成右手螺旋关系. E 电场与磁场不一定垂直!P177结论错误！ H 电场与磁场不一定垂直!P177结论错误！ !P177结论错误
同轴线中的电场、 同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 非理想导体情况） （非理想导体情况）
进入每单位长度内导体的功率为
P=∫
S
r r r S ⋅ dS ' = ∫ S外
S
ρ =a
r ⋅ (−eρ )dS '
H I
U
Eρ
Ez
S S
I2 I2 =∫ 2πadz = 2 同轴线中的电场、 同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 2 3 0 2π a σ πa σ 非理想导体情况） （非理想导体情况） r d r r r r 1 2 1 2 − ∫ ( E × H ) ⋅ dS = ∫ ( ε E + µ H )dV + ∫ E ⋅ JdV S V dt V 2 2 dW =0 dt r r 1 I 2 1 2 1 I2 ∫V E ⋅ JdV = ∫V σ J dV = ∫V σ (πa2 ) dV = σ πa2 = P
d
E0 cos( z ) cos(ωt − k x x) d d π r r r ∂B + ez k x E0 sin( z ) sin(ωt − k x x ) d ∇ × E＝－ ∂t x r r π π ∂B r π = ex E0 cos( z ) cos(ωt − k x x) − ez k x E0 sin( z ) sin(ωt − k x x) ∂t d d d r r π r kx π π B = ex E0 cos( z ) sin(ωt − k x x) + ez E0 sin( z ) cos(ωt − k x x) ωd ω d d r r π r kx π π H = ex E0 cos( z ) sin(ωt − k x x) + ez E0 sin( z ) cos(ωt − k x x) ωµ 0 d d ωµ 0 d = −ex
∫
S
a≤ ρ ≤b
b
r r E = eρ
ε0
r r r b r ρl = ∫ eρ ⋅ eρ dρ = ρ l ln(b / a ) U = ∫ E ⋅ dl a 2πε 0 ρ a 2πε 0 2πε 0U ρl = ln(b / a )
ρl r U = eρ ρ ln( b / a) 2πε 0 ρ
例题1：在两导体板 之间的空气传播的电磁波， 例题 ：在两导体板(z=0和z=d)之间的空气传播的电磁波，已知电场 和 之间的空气传播的电磁波 r r 式中k 为常数。试求（ ） 强度为 E = e y E0 sin( π z ) cos(ωt − k x x) ，式中 x为常数。试求（1）磁场 ；（2）两导体表面的面电流密度；（ ；（3）坡印廷矢量；（ ；（4） 强度 ；（ ）两导体表面的面电流密度；（ ）坡印廷矢量；（ ） 平均坡印廷矢量。 平均坡印廷矢量。 解：） r （1） r ∂E y r ∂E y z + ez ∇ × E = − ex ∂z ∂x π r π d
r r pσ = E ⋅ J = σE 2
（S/m）(V2/m2)= （S∙V2/m3)= W/m3 （S＝A·V-1 ） S/m） V
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其间填充 均匀的理想介质。 均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过的电流为 I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率； 在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率； 为有限值时， （2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体表面进入每 单位长度内导体的功率。 单位长度内导体的功率。