第八章第七节双曲线
第八章 第7节 椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式-解析版
第7节 椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式知识与方法1.如图1所示，1F 、2F 是椭圆的焦点，设P 为椭圆上任意一点，记12F PF θ∠=，则12PF F 的面积2tan2S b θ=. 2.如图2所示，1F 、2F 是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记12F PF θ∠=，则12PF F 的面积2tan2b S θ=.典型例题【例1】设1F 、2F 是椭圆22184x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，1260F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________. 【解析】由焦点三角形面积公式，12243tan 4tan302PF F S b θ==⨯︒43变式1 设1F 、2F 是椭圆22218x y b+=()022b <<的两个焦点，点P 在椭圆上，1260F PF ∠=︒，且12F PF 43b =________.【解析】由焦点三角形面积公式，122243tan tan3022F PF S b b b θ==︒=⇒=.【答案】2变式2 设1F 、2F 是椭圆22184x y +=的焦点，点P 在椭圆上，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F 的面积为________. 【解析】设12F PF θ∠=，则21221tan 12cos cos 31tan 2F PF θθθ-∠===+，所以21tan 22θ=， 由1cos 03θ=>知02πθ<<，所以024θπ<<，从而2tan 2θ=故1222tan 4222PF F S b θ===【答案】2变式 3 设1F 、2F 是椭圆22214x y a +=()2a >的焦点，点P 在椭圆上，且1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=________.【解析】记12F PF θ∠=，则60θ=︒，12243tan 4tan302PF F S b θ==⨯︒=，又12121213sin 24PF F SPF PF PF θ=⋅⋅⋅123434PF ⋅12163PF PF ⋅=. 【答案】163变式4 设1F 、2F 是椭圆22142x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且123PF PF =，则12PF F 的面积为________. 【解析】解法1：如图，由题意，1211223341PF PF PF PF PF PF ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩，易求得1222F F = 由余弦定理，222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅， 所以2121222sin 1cos F PF F PF ∠-∠， 故1212121122sin 31222PF F S PF PF F PF =⋅⋅∠=⨯⨯=解法2：设()00,P x y ，由焦半径公式， 123PF PF =即为0022232⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，解得：02x = 又2200142x y +=，所以22002114x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而01y =，易求得1222F F =12120122PF F S F F y =⋅2【反思】不是每一道题都能很方便地代公式计算焦点三角形面积，所以掌握焦点三角形面积公式的推导方法也是有必要的.【例2】已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且1260F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，122333tan 30tan2PF F b S θ===︒ 【答案】33变式1 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.【解析】记12F PF θ∠=，则22212222cos sin 1tan 1222cos cos 3cos sin 1tan 222F PF θθθθθθθ--∠====++， 所以21tan 22θ=，由1cos 03θ=>知02πθ<<，所以024θπ<<，从而2tan 2θ=12232tan2PF F b Sθ==.【答案】32变式2 已知1F 、2F 是双曲线22:13y C x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上的一点，12120F PF ∠=︒，则1PF =________.【解析】由焦点三角形面积公式，12233tan 60tan2PF F b Sθ===︒又1212121213sin 24PF F SPF PF F PF PF =⋅⋅∠=⋅12334PF ⋅= 故124PF PF ⋅=， 由双曲线定义，122PF PF -=，解得：115PF =+ 【答案】15+变式3 （2020·新课标Ⅲ卷）双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为5，P 是C 上一点，12F P F P ⊥，若12PF F 的面积为4，则a =（ ） A.1 B.2 C.4 D.8【解析】解法1：2222255552ce c a c a a b a b a a==⇒=⇒+=⇒=，不妨设P 在双曲线C 的右支上，则122PF PF a -=，因为12F P F P ⊥，所以2221212PF PF F F +=，故()221212122PFPF PF PF F F -+⋅=，从而2212424a PF PF c +⋅=，故22212222PF PF c a b ⋅=-=，所以12212142PF F SPF PF b =⋅==，解得：2b =，故1a =. 解法2：1222242tan 45tan2PF F b b S b b θ====⇒=︒， 22222555512c be c a c a a b a a a ==⇒=⇒+=⇒==.【答案】A强化训练1.（★★★）设1F 、2F 是椭圆22154x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且1230F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.【解析】()122tan60tan 45tan 4tan154tan 6045484321tan60tan 45PF F S b θ︒-︒==⨯︒=⨯︒-︒=⨯=-+︒︒【答案】83- 2.（★★★）设1F 、2F 是双曲线22:145x y C -=的左、右焦点，P 为C 上一点，若12PF PF ⊥，则12PF F 的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，12255tan 45tan2PF F b S θ===︒. 【答案】53.（★★★）设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且121cos 3F PF ∠=-，则12PF F 的面积为________.【解析】记12F PF θ∠=，则221221tan 112cos cos tan 23321tan 2F PF θθθθ-∠==-⇒=-⇒=+， 由1cos 03θ=-<知2παπ<<，所以422πθπ<<，从而tan 22θ=，故12122PF F S =24.（★★★）设1F 、2F 是椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 是椭圆在第一象限上的一点，且1260F PF ∠=︒，则点P 的坐标为________.【解析】设()00,P x y ()000,0x y >>，一方面，122323tan 22PF F S b θ===另一方面，12120001122222PF F S F F y y =⋅=⋅=0232y =，解得：06y =,又2200142x y +=，结合00x >可得2002642x y =-P 的坐标为266⎝⎭. 【答案】266⎝⎭5.（★★★）已知双曲线22:163x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且123cos 4F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.【解析】设12F PF θ∠=，则2221tan 312cos tan 4271tan θθθθ-==⇒=+， 因为0θπ<<，所以022θπ<<，故7tan 2θ=12237tan 2PF F b S θ== 【答案】376.（★★★）已知双曲线22142x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上一点P 满足12PF F 的面积为2，则12PF F 的周长为________. 【解析】122222121222tan190242tantan22PF F b SPF PF F F θθθθ===⇒=⇒=︒⇒+==，又124PF PF -=， 所以22212121212122242164PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=-⋅=⇒⋅=，从而()2121212442PF PF PFPF PF PF +=-+⋅=故12PF F 的周长121226L PF PF F F =++= 【答案】42267.（★★★）已知1F 、2F 是双曲线22:12x C y -=的左、右焦点，P 为C 在第一象限上的一点，若12120F PF ∠=︒，则点P 的坐标为________.【解析】设()00,P x y ()000,0x y >>，一方面，12120001123322PF F S F F y =⋅=⋅=，另一方面，12213tan 60tan 2PF F b S θ===︒033y =，从而013y =，代入双曲线方程结合00x >可解得：025x =P 的坐标为2513⎫⎪⎪⎝⎭. 【答案】2513⎫⎪⎪⎝⎭8.（2020·新课标Ⅰ卷·★★★）设1F 、2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 上且2OP =，则12PF F 的面积为（ ）A.7B.3C.52D.2【解析】如图，设(),P x y ，则222243213x y y y x ⎧+=⎪⇒=⎨-=⎪⎩,由题意，124F F =，所以12134322PF F S =⨯⨯=.解法2：如图，由题意，124F F =， 12212121329032tan 45tan2PF F b OP F F F PF Sθ==⇒∠=︒⇒===︒.【答案】B9.（2010·全国Ⅰ卷·★★★）已知1F 、2F 是双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则|12PF PF ⋅=（ ）A.2B.4C.6D.8【解析】一方面，12213tan 30tan2PF F bSθ===︒另一方面，1212121213sin 24PF F S PF PF F PF PF =⋅⋅∠=⋅， 12334PF ⋅=124PF PF ⋅=. 【答案】B10.（★★★）设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且123PF PF =，则12PF F 的面积为________.【解析】如图，由题意，1211223341PF PF PF PF PF PF ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩，易求得1223F F =， 由余弦定理，222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==-⋅，所以2121222sin 1cos 3F PF F PF ∠-∠，故1212121122sin 31222PF F SPF PF F PF =⋅⋅∠=⨯⨯= 解法2：设()00,P x y ，由焦半径公式，123PF PF =即为0033232x ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：023x =又220014x y +=，所以22002143x y =-=，从而06y =， 易求得1223F F =，如图，12120122PF F S F F y =⋅2。
双曲线及其标准方程 课件
(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点 P，Q 在双曲线上，
∴92A956＋A2＋12652B5B＝＝1，1，
解得AB＝＝－19. 116，
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
[规律方法] 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出 a2，b2 的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两 种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为 Ax2 ＋By2＝1(AB<0)来求解．
图 2-3-1
[思路探究]
建立平面直 角坐标系
→
由已知条件得 到边长的关系
→
判断轨迹 的形状
→
写出轨迹方程
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直
角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．由正弦定理，得 sin A＝|B2CR|，
sin B＝|A2CR|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
求双曲线的标准方程
例 2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点
A1，－4
310；
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有相同的焦点，且经过点(6，5且焦点在坐标轴上．
[思路探究] (1)结合 a 的值设出标准方程的两种形式，将点 A 的坐标代 入求解．
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.
双曲线及其标准方程 课件
新知视界
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线 的焦距．
思考感悟
1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|? 提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时 动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端 点)． ②如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． ③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨 迹不存在．
解得ab22＝ ＝19， 6， ∴双曲线的方程为1y62 －x92＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为xa22－by22＝1. 由题意易求得 c＝2 5. 又双曲线过点(3 2，2)，∴3a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 (小于
|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？ 提示：不是，是双曲线的某一支．
在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲 线的左、右焦点，则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示 双曲线的右支．
② |PF1| － |PF2| ＝ － 2a ， 曲 线 只 表 示 双 曲 线 的 左 支．
类型三 双曲线中的焦点三角形 [例 3] 若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个 焦点，P 是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试 求△F1PF2 的面积．
双曲线 [分析] 双曲线方程 的―定―→义 |PF1|－|PF2|＝±2a ―平―方→ |PF1|2＋|PF2|2的值 余―弦―定→理 ∠F1PF2＝90° 面积公式 ――→ S△F1PF2
双曲线及其标准方程课件
(3)当 k<0 时，方程为y42－－x24k＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线；
(4)当 0<k<1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 x 轴上的椭圆； k
(5)当 k>1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆． k
[一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分
类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在
(3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在．
2．通过双曲线方程xa22－by22＝1(焦点在 x 轴上)和ay22－xb22 ＝1(焦点在 y 轴上)(a>0，b>0)可以看出：如果 x2 项的系 数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，但是无 论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足 c2 ＝a2＋b2.
[例3] 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同 范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形 式的系数应满足的条件进行分类讨论．
[精解详析] (1)当 k＝0 时，y＝±2，表示两条与 x 轴平行 的直线；
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径 为 2 的圆；
72 b2 ＝1，
解得a12＝19， b12＝116，
即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
法二：∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P1，P2 在双曲线上，所以
4m＋445n＝1， 196×7m＋16n＝1，
《双曲线方程》课件
双曲线方程在解决与双曲线相关的几何问题中发挥了重要作用，如求双曲线的交点、判断点是否在双曲线上等。
在物理学中的应用
描述光和声的传播路径
在物理学中，双曲线方程可以用来描述光和声波的传播路径，特别是在处理折 射和反射等问题时。
研究行星和卫星的运动轨迹
在天文学中，双曲线方程可以用来描述行星和卫星的逃逸轨道，即它们的运动 轨迹在离开引力场时的轨迹。
几何法
通过几何图形，利用双曲线的性质和定义，求解出未知数。
参数法
引入参数，将双曲线方程化为参数方程，从而求解出未知数。
双曲线方程在实际问题中的应用案例
光学问题
双曲线方程可以用于描述光的反射和折射规律，解决 光学问题。
物理问题
双曲线方程可以用于描述物体的运动轨迹，解决物理 问题。
工程问题
双曲线方程可以用于描述机械运动、振动等现象，解 决工程问题。
与双曲线几何意义的联系与区别
联系
双曲线方程描述了双曲线的几何形状，包括 其分支、焦点和渐近线等。
区别
双曲线方程是代数形式，而双曲线的几何意 义则是直观表现。通过对方程的分析可以得 出双曲线的几何性质，如离心率、实轴和虚 轴等。
05
双曲线方程的扩展知识
双曲线方程的变形与转化
参数方程与直角坐标方程的转换
双曲线方程
• 双曲线方程的概述 • 双曲线方程的推导 • 双曲线方程的应用 • 双曲线方程与其他知识点的联系 • 双曲线方程的扩展知识
01
双曲线方程的概述
双曲线的定义
定义
双曲线是一种特殊的二次曲线，它由 一个固定的点（称为焦点）和一条固 定的直线（称为准线）的距离限制形 成。
描述
双曲线及其标准方程完整版课件
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
2020高考总复习(北师大版)数学(文)【配套课件】第八章第七节 双曲线(40张PPT).ppt
图形
性 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
质 对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
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第七节 双曲线 结束
标准方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
顶点 渐近线
A1(－a,0)，A2(a,0)
y＝±bax
A1(0，－a)，A2(0，a)
答案：A
()
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第七节 双曲线 结束
2．已知双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近
线上，则C的方程为
()
A.2x02 －y52＝1
B.x52－2y02 ＝1
C.8x02－2y02 ＝1
D.2x02－8y02 ＝1
解析：由已知可得双曲线的焦距 2c＝10，a2＋b2＝52＝25，
最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，当 A，P，F1 三点共
线时，取得最小值，则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝ 37， ∴|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－ 2a＝ 37－2 5. 答案：C
若 a＞b＞0，则双曲线的离心率 e∈(1， 2)； 若 a＝b＞0，则双曲线的离心率 e＝ 2； 若 0＜a＜b，则双曲线的离心率 e＞ 2.
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第七节 双曲线 结束
3．注意区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆 a、b、c 关系， 在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.
【把握高考】高三数学最新专题课件 第八章8.5《双曲线》(文数)人教版选修
解析：由双曲线定义知，|PF2|－|PF1|＝4 2， |QF2|－|QF1|＝4 2.
所以|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝8 2， 又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7， 所以|PF2|＋|QF2|＝7＋8 2. 所以△PF2Q 的周长为 14＋8 2. 答案：14＋8 2
第八章 平面解析几何
考点二 双曲线的标准方程及求法 【案例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同的渐近线，且过点(－3,2 3)； (解2)：与(双1)曲设线所1x求62－双y4曲2＝线1方有程公为共x9焦2－点1y6，2 ＝且λ(过λ≠点0()3，2，2)．
第八章 平面解析几何
解：因为 sin B－sin C＝12sin A， 所以|AC|－|AB|＝4<|BC|， 所以点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支． 又 c＝4，a＝2，所以 b2＝c2－a2＝12， 所以点 A 的轨迹方程为x42－1y22 ＝1(x＞2)．
第八章 平面解析几何
另一方面，由|OP|＝ 7a，所以 x20＋y20＝7a2. 又ax220－by202＝1，
所以 y20＝6ac22b2，所以|y0|＝ 6cab，
第八章 平面解析几何
所以 S△PF1F2＝12·2c· 6cab＝ 6ab. 所以1b－2·scions6600°°＝ 6ab，所以 b＝ 2a. 又因为双曲线的渐近线的斜率为 k＝ba＝ 2， 故渐近线方程为 2x±y＝0，故选 D. 答案：D
将点(－3,2 3)代入得 λ＝14. 所以双曲线方程为x92－1y62 ＝14， 即49x2－y42＝1.
双曲线ppt
谢谢
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率； 定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的 准线。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与 圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程 F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
双曲线ppt
演讲人
一般的，双曲线（希腊语“Υπερβολία” ，字面意思是“超过”或“超出”）是定 义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固 定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距 离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一 般位于原点处。
名称定义
播报
编辑
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于 |F1F2|）的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做 双曲线。
即：||PF1|-|PF2||=2a
定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点 的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。 对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近 线。所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支 反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线的情况下，渐近线是两个坐标轴。
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04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
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目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
第八章 §8.6 双曲线-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§8.6双曲线课标要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注意：(1)若将“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F 1F 2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质焦点F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c范围x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段A 1A 2，长：2a ；虚轴：线段B 1B 2，长：2b ，实半轴长：a ，虚半轴长：b渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca ∈(1，＋∞)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a.4．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)2．(选择性必修第一册P121T3改编)已知曲线C 的方程为x 2k ＋1＋y 25－k＝1(k ∈R )，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是()A ．－1<k <5B ．k >5C ．k <－1D ．k ≠－1或5答案C解析若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，＋1<0，－k >0，解得k <－1.3．(选择性必修第一册P127T3改编)双曲线9y 2－16x 2＝144的渐近线方程是________．答案y ＝±43x解析依题意知，双曲线y216－x29＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，所以双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是y＝±4 3 x.4．(选择性必修第一册P127T1改编)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.题型一双曲线的定义例1(1)(多选)(2024·邵阳模拟)已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是()A．一个点B．直线C．椭圆D．双曲线答案ACD解析分以下几种情况讨论：设定圆O的半径为R，①当点A在圆O上，连接OA(图略)，则|OA|＝|OP|，所以点O在线段AP的垂直平分线上，由垂直平分线的性质可知|AQ|＝|PQ|.又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点，此时点Q与点O重合，此时，点Q的轨迹为圆心O，故A正确；②当点A在圆O内，且点A不与圆心O重合，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝|QP|，所以|QA|＋|QO|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝R>|OA|，此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为R的椭圆，故C正确；③当点A在圆O外，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝|QP|，所以||QA|－|QO||＝||QP|－|QO||＝|OP|＝R<|OA|，此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且实轴长为R的双曲线，故D正确．(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．答案23解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝23.圆锥曲线的第二定义平面内到一个定点和相应一条定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹：(1)当0<e <1时，轨迹为椭圆．(2)当e >1时，轨迹为双曲线．①定点为焦点，定直线l 叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．②焦点在x 轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x ＝±a 2c .典例(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为4，P 为椭圆上任一点，若P 到点(2,0)的距离与到直线x ＝a 22的距离之比为12，则椭圆方程为___________________．答案x 216＋y 212＝1解析依题意，右焦点F 2(2,0)，右准线x ＝a 22，由椭圆第二定义知c a ＝12，∵c ＝2，故a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F 2，M 是双曲线右支上一点，定点A (9,2)，则|MA |＋35|MF 2|的最小值为________．答案365解析设M 到直线x ＝a 2c ＝95的距离为d ，由双曲线第二定义知，|MF 2|d ＝e ＝53，∴d ＝35|MF 2|，∴|MA |＋35|MF 2|＝|MA |＋d ，如图，可知(|MA |＋d )min ＝x A －95＝9－95＝365.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系，利用三角形的面积公式求解．对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可．跟踪训练1(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A ．x 2－y28＝1B.x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)D ．x 2－y 28＝1(x ≥1)答案C解析设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以动圆圆心M 的轨迹是以点C 1(－3,0)和C 2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，解得a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 22＝1的左、右焦点，P 是C 的右支上一点，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为()A ．16B ．18C ．8＋42D ．9＋1522答案A解析因为F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 22＝1的左、右焦点，P 是C 的右支上的一点，所以|PF 1|＝|PF 2|＋4，所以|PF 1|2|PF 2|＝(|PF 2|＋4)2|PF 2|＝|PF 2|2＋8|PF 2|＋16|PF 2|＝|PF 2|＋16|PF 2|＋8≥216＋8＝16，当且仅当|PF 2|＝16|PF 2|，即|PF 2|＝4时，等号成立．因为c ＝a 2＋b 2＝6，所以c －a ＝6－2<4，所以|PF 2|＝4成立，|PF 1|2|PF 2|的最小值为16.题型二双曲线的标准方程例2(1)与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为()A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－2x 2＝1C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1答案C解析椭圆C 的焦点坐标为(0，±2)，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，由双曲线的定义可得2a ＝|12＋(3＋2)2－12＋(3－2)2|＝(6＋2)－(6－2)＝22，∴a ＝2，∵c ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝2，因此双曲线的方程为y 22－x 22＝1.(2)(2023·安阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，P 为C 上一点，PF 1的中点为Q ，△PF 2Q 为等边三角形，则双曲线C 的方程为()A ．x 2－y 22＝1B.x 22－y 2＝1C.2x 23－2y 23＝1D ．3x 2－3y 28＝1答案A解析由题可知双曲线的焦距为2c ＝23，即c ＝ 3.因为PF 1的中点为Q ，△PF 2Q 为等边三角形，所以|F 1Q |＝|F 2Q |＝|F 2P |＝|PQ |，所以∠PF 2Q ＝60°，∠F 1F 2Q ＝30°，故PF 2⊥F 1F 2，所以|PF 2|＝|F 1F 2|tan 60°＝2c3，|PF 1|＝2|PF 2|＝4c 3，所以|PF 1|－|PF 2|＝4c 3－2c 3＝2c3＝2a ，所以ca ＝3，所以a ＝1，b ＝ 2.所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a 2<λ<b 2)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2(1)(2024·榆林模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示．若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是()A.x 216－y 29＝1 B.x 24－y 2＝1C.x 28－y 29＝1 D.x 24－y 23＝1答案D解析由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，4，－32b 2＝1，＝2，＝3，故该双曲线的标准方程是x 24－y 23＝1.(2)(2023·内江模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点F 1作直线F 1P 与圆x 2＋y 2＝a 2切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足OE →＝12(OP →＋OF 1→)，|OE →|＝2，则双曲线的方程为________．答案x 22－y 28＝1解析依题意作图，如图所示，由条件OE →＝12(OP →＋OF 1—→)知，E 是PF 1的中点，并且OE ⊥PF 1，∴△OPF 1是等腰三角形，|OP |＝|OF 1|＝c ，又|OF 2|＝c ，∴△F 1PF 2的外接圆是以O 为圆心，|OF 1|＝c 为半径的圆，∴F 1P ⊥PF 2，由|OE |＝2知a ＝2，a 2＝2，在Rt △OEF 1中，|EF 1|＝|OF 1|2－|OE |2＝c 2－2，|PF 1|＝2|EF 1|＝2c 2－2，|PF 2|＝2|OE |＝22，根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝42，即2c 2－2＝42，c 2＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝8，∴双曲线的方程为x 22－y 28＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(1)(2023·连云港模拟)若双曲线经过点(1，3)，其渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线的方程是________．答案4x 2－y 2＝1解析方法一由题意可知，①若双曲线的焦点在x 轴上，则可设x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则1a 2－3b 2＝1且b a ＝2，联立解得a ＝12，b ＝1，则双曲线的方程为4x 2－y 2＝1；②若双曲线的焦点在y 轴上，则可设y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则3a 2－1b 2＝1，且ab ＝2，此时无解．综上，双曲线的方程为4x 2－y 2＝1.方法二由题可设双曲线方程为4x 2－y 2＝λ(λ≠0)，∵双曲线经过点(1，3)，∴λ＝4×12－(3)2＝1，∴双曲线方程为4x 2－y 2＝1.(2)(2023·渭南统考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，若△AF 1F 2的面积为12bc ，则双曲线C 的渐近线方程为________．答案y ＝±3x解析由题意知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±bax ，如图，由双曲线的对称性，不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，则|F 2A |＝|bc |b 2＋a 2＝b ，所以|OA |＝|OF 2|2－|F 2A |2＝c 2－b 2＝a ，所以2AOF S △＝12ab ，因为△AF 1F 2的面积为12bc ，12AF F S △＝22AOF S △，所以12bc ＝2×12ab ，即c ＝2a ，所以a 2＋b 2＝4a 2，即b 2a 2＝3，故ba＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb＝y ＝±ba x (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2离心率例4(1)(2023·郑州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线的夹角为π3，则此双曲线的离心率e 为()A ．2或233B.233C.3D.3或2答案A 解析由题意得双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，而两条渐近线的夹角为π3，故y ＝b a x 的倾斜角为π3或π6，故b a ＝33或3，e ＝233或2.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 1作C 的一条渐近线的垂线，垂足为D ，且|DF 2|＝22|OD |，则C 的离心率为()A.2B ．2 C.5D ．3答案C解析如图所示，双曲线C 的左焦点F 1(－c ,0)，|DF 1|＝b ，由勾股定理得|OD |＝a ，在Rt △DOF 1中，∠ODF 1＝π2，∴cos ∠DOF 1＝|OD ||OF 1|＝ac，在△DOF 2中，|OD |＝a ，|DF 2|＝22a ，|OF 2|＝c ，cos ∠DOF 2＝cos(π－∠DOF 1)＝－cos ∠DOF 1＝－ac，由余弦定理的推论得cos ∠DOF 2＝|OD |2＋|OF 2|2－|DF 2|22|OD |·|OF 2|＝a 2＋c 2－8a 22ac ＝－ac ，化简得c 2＝5a 2，即c ＝5a ，因此双曲线C 的离心率e ＝ca＝ 5.思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)(2023·全国甲卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，C 的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1交于A ，B 两点，则|AB |等于()A.55B.255C.355D.455答案D解析由题知e ＝5，则c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，解得ba＝2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y ＝2x ，即2x －y ＝0，则圆心(2,3)到渐近线的距离d ＝|2×2－3|22＋1＝55，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝21－15＝455(2)(2024·海口模拟)设双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为e ，直线l 过点(0，b )和双曲线E 的一个焦点，若直线l 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则e 2＝________.答案3＋52解析因为直线l 过点(0，b )和双曲线E 的右焦点F (c ,0)，设直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0，由直线l 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，可得|－bc |b 2＋c2＝a ，整理得b 2c 2＝a 2(b 2＋c 2)，又b 2＝c 2－a 2，所以(c 2－a 2)c 2＝a 2(2c 2－a 2)，即c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，所以－＋1＝0，即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52或e 2＝3－52，又e >1，所以e 2>1，所以e 2＝3＋52.课时精练一、单项选择题1．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为()A.x 24－y 22＝1B.x 24－y 28＝1或y 24－x 28＝1C.x 24－y 28＝1D.x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1答案D解析设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)，∵2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，m ＝2；当m <0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，则其渐近线方程为()A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 答案A解析由题意，该双曲线的离心率e ＝1＋b 2a 2＝5，则ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±2x .3．若双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为圆x 2＋y 2＝4与此双曲线的一个公共点，则△PF 1F 2的面积为()A ．4B ．3C ．2D ．1答案D解析由题意得a ＝3，b ＝1，c ＝3＋1＝2，所以线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝4的直径，因此PF 1⊥PF 2，1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16，PF 1|－|PF 2||＝2a ＝23，所以|PF 1||PF 2|＝2，12PF F S △＝12|PF 1||PF 2|＝1.4．(2024·安阳模拟)以双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 为圆心作圆，与C 的一条渐近线相切于点C 的焦距为()A ．4B ．25C ．6D ．8答案C解析由题意设F (c ,0)，不妨设双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，则b a ＝52.又k FQ ×b a ＝25343－c ×ba＝－1，联立解得c ＝3，即2c ＝6.5．(2023·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A (－3,0)，B (3,0)，其内切圆圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程为()A.x 24－y 25＝1(x >2)B.x 29－y 25＝1(x >3)C.x 29＋y 25＝1(0<x <2)D.x 29＋y 24＝1(0<x <3)答案A解析如图，设△ABC 的边AC ，AB ，BC 与内切圆的切点分别为D ，E ，F ，则有|AD |＝|AE |＝5，|BF |＝|BE |＝1，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c ＝3，a ＝2，又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5，所以顶点C 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >2)．6．(2023·广州大学附属中学模拟)设点F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1作直线交双曲线C 的两条渐近线于点A ，B ，连接F 2B ，满足F 1A —→＝AB →，F 1B —→·F 2B —→＝0，则双曲线的离心率为()A.2＋12 B.2C ．2D.3答案C解析设点B 位于第一象限，如图所示，因为F 1A —→＝AB →，则A 为线段F 1B 的中点，又因为O 为F 1F 2的中点，则OA ∥F 2B ，因为F 1B —→·F 2B —→＝0，则F 1B ⊥F 2B ，所以OA ⊥BF 1，所以|OB |＝|OF 1|，则∠AOF 1＝∠AOB ，又因为∠AOF 1＝∠BOF 2，所以∠AOF 1＋∠AOB ＋∠BOF 2＝3∠BOF 2＝π，可得∠BOF 2＝π3，易知直线OB 的方程为y ＝b a x ，则b a ＝tan π3＝3，因此该双曲线的离心率为e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝2.二、多项选择题7．(2023·江门模拟)已知曲线C ：x 2sin α＋y 2cos α＝1(0≤α<π)，则下列说法正确的是()A ．若曲线C 表示两条平行线，则α＝0B ．若曲线C 表示双曲线，则π2<α<πC ．若0<α<π2，则曲线C 表示椭圆D ．若0<α<π4，则曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆答案BD解析若曲线C 表示两条平行线，则有sin α＝0或cos α＝0，且0≤α<π.若sin α＝0，则α＝0，此时曲线C 的方程为y 2＝1，可得y ＝－1或y ＝1，符合题意，若cos α＝0，则α＝π2，此时曲线C 的方程为x 2＝1，可得x ＝－1或x ＝1，符合题意，故A 错；若曲线C 表示双曲线，则sin αcos α<0，由于0≤α<π且sin α≠0，则sin α>0，可得cos α<0，则π2<α<π，故B 对；若曲线Cα>0，α>0，≤α<π，α≠cos α，解得0<α<π2且α≠π4，故C 错；若0<α<π4，则0<sin α<cos α，则1sin α>1cos α>0，曲线C 的方程可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1，此时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，故D 对．8．(2023·重庆模拟)已知双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作x 轴的垂线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 1为直角三角形，则()A ．b ＝2＋22B ．双曲线的离心率为2＋1C ．双曲线的焦距为25D ．△ABF 1的面积为12＋82答案BD 解析如图所示，若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|.设|AF2|＝m，则由双曲线的定义得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.所以在Rt△ABF1中，由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2.解得m＝2＋22，所以|AF1|＝|BF1|＝4＋22，所以△ABF1的面积为12|AF1|·|BF1|＝12×(4＋22)2＝12＋82，故D正确；|AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，所以|F1F2|＝2＋22，故C不正确；由x2－y2b2＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋2，所以b2＝(1＋2)2－1＝2＋22，故A不正确；e＝ca＝1＋2，故B正确．三、填空题9．(2023·唐山模拟)已知直线l：3x－y－23＝0过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为________．答案2解析直线3x－y－23＝0与x轴交点为(2,0)，斜率为3a2＋b2＝22，ba＝3，解得a＝1，b＝3，所以双曲线的实轴长为2a＝2.10．双曲线的一条渐近线方程为x＋2y＝0，且焦距为10，则该双曲线的标准方程为________________．答案x220－y25＝1或y25－x220＝1解析依题意，2c ＝10，∴c ＝5，若双曲线的焦点在x ＝12，＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，双曲线的标准方程为x 220－y 25＝1.若双曲线的焦点在y ＝12，＋b 2＝25，解得b 2＝20，a 2＝5，双曲线的标准方程为y 25－x 220＝1.综上，该双曲线的标准方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1.11．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，且AB ＝BC ＝CD ＝2，设AD 所在直线为x 轴，则双曲线的标准方程为________．答案x 2－y 297＝1解析设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图，因为AB ＝BC ＝CD ＝2，易知a ＝1，又坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 得到92－92b 2＝1，整理得b 2＝97，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 297＝1.12．(2023·上饶模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点B (0，b )，直线F 1B 与双曲线的渐近线在第一象限交于点A ，若|F 2A |＝|F 1F 2|，则双曲线的离心率为________．答案22＋1解析因为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，B (0，b )，所以直线F 1B 的方程为y ＝bcx ＋b ，又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，＝bc x ＋b ，＝b ax ，＝ac c －a ，＝bc c －a，所以又因为|F 2A |＝|F 1F 2|，所以＝4c 2，整理得2c 2－4ac ＋a 2＝0，即2e 2－4e ＋1＝0，解得e ＝22＋1或e ＝1－22(舍去)．四、解答题13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线y 24－x 22＝1有相同的渐近线，且经过点M (2，－2)．(1)求双曲线C 的方程；(2)求双曲线C 的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离．解(1)在双曲线y 24－x 22＝1中，a ′＝2，b ′＝2，则渐近线方程为y ＝±a ′b ′x ＝±2x ，∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1与双曲线y 24－x 22＝1有相同的渐近线，∴ba ＝2，∴方程可化为x 2a 2－y 22a2＝1，又双曲线C 经过点M (2，－2)，代入方程得2a 2－22a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝2，∴双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1，∵a ＝1，b ＝2，c ＝3，∴实轴长2a ＝2，离心率为e ＝ca＝3，设双曲线C 的一个焦点为(－3，0)，一条渐近线方程为y ＝2x ，∴焦点到渐近线的距离d ＝|－3×2|2＋1＝ 2.14．已知点F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴的上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2＝30°.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1—→·PP 2—→的值．解(1)在Rt △MF 1F 2中，因为∠MF 1F 2＝30°，所以tan ∠MF 1F 2＝|MF 2||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝33，又a ＝1，a 2＋b 2＝c 2，联立解得c ＝3，b ＝2，所以双曲线C 的方程是x 2－y 22＝1.(2)设P (x 0，y 0)是双曲线C 上任意一点，故有2x 20－y 20＝2，两条渐近线方程为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0，设l 1：2x －y ＝0的倾斜角为α，故tan α＝2，设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，所以cos θ＝cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－13，于是有cos 〈PP 1—→，PP 2—→〉＝－cos θ＝13.因为P 到双曲线两条渐近线的距离为|PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3，所以PP 1—→·PP 2—→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3·cos 〈PP 1—→，PP 2—→〉＝|2x 20－y 20|3·13＝29.15．(2023·咸阳模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作F 1F 2的垂线，交双曲线于A ，B 两点，D 是双曲线的右顶点，连接AD ，BD 并延长，分别交y 轴于点M ，N .若点P (－3a ,0)在以MN 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_______．答案2解析由c 2a 2－y2b 2＝1得y 2＝b ＝b 4a2，即y ＝±b 2a，不妨设D (a ,0)，所以直线AD 的方程为y －0＝b 2a c －a (x －a )，y ＝b 2a (c －a )(x －a )，令x ＝0得y ＝b 2a －c，则同理可求得所以以MN 为直径的圆的方程为x 2＋y 2，将P (－3a ,0)代入上式得9a 2＝b 4(c －a )2＝(c 2－a 2)2(c －a )2＝(c ＋a )2(c －a )2(c －a )2＝(c ＋a )2，即c 2＋2ac －8a 2＝0，即(c －2a )(c ＋4a )＝0，则c ＝2a ，即离心率为ca＝2.16．(2023·安庆模拟)已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，过x 轴上方的焦点F 1的直线与双曲线上支交于M ，N 两点，以NF 2为直径的圆经过点M ，若|MF 2|，|MN |，|NF 2|成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为________．答案y ＝±63x 解析如图所示，由双曲线的定义知|MF 2|＝2a ＋|MF 1|，|NF 2|＝2a ＋|NF 1|，所以|MF 2|＋|NF 2|＝4a ＋|MF 1|＋|NF 1|＝4a ＋|MN |.因为|MF 2|，|MN |，|NF 2|成等差数列，所以|MF 2|＋|NF 2|＝2|MN |，即4a ＋|MN |＝2|MN |，|MN |＝4a .令|MF 1|＝x ，在△MNF 2中，MF 2⊥MN ，所以|MF 2|2＋|MN |2＝|NF 2|2，即(2a ＋x )2＋(4a )2＝(6a －x )2，解得x ＝a ，即|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a ，又在Rt △F 1MF 2中，a 2＋(3a )2＝(2c )2，2c 2＝5a 2，又c 2＝a 2＋b 2，所以2b 2＝3a 2，即a b ＝63，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±63x .。
第八章第七节
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
3.等轴双曲线
实轴
和 虚轴 等长的双曲线叫做等轴双曲线， 其渐近线方 ，离心率为 e＝ 2 .
程为
y＝±x
x2 y2 故双曲线方程为 － ＝1. 25 75
高 考 体 验 · 明 考 情
【答案】 C
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
2．双曲线方程为 x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( 2 A．( ，0) 2 C．( 6 ，0) 2 5 B．( ，0) 2 D．( 3，0)
x2 y2 y2 x2 B. － ＝1 或 － ＝1 75 25 75 25 x2 y2 C. － ＝1 25 75 y2 x2 D. － ＝1 75 25
课 时 知 能 训 练
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
【解析】 设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 1 1 m＋9n＝1， 解得 m＝ ，n＝－ ， 则 49m＋72n＝1， 28 25 75
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
a＞0，c＞0； (1)当 2a＜|F1F2| (2)当 (3)当
2a＝|F1F2| 2a＞|F1F2|
时，P 点的轨迹是双曲线； 时，P 点的轨迹是两条射线； 时，P 点不存在．
第八章 第七节 双曲线
[精析考题] x2 y2 [例2] (2011· 湖南高考)设双曲线a2－ 9 ＝1(a>0)的渐近线方程 为3x± 2y＝0，则a的值为 A．4 C．2 B．3 D．1 ( )
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x 2 y2 [自主解答] 双曲线 2 － ＝1的渐近线方程为3x± ay＝0， a 9 与已知方程比较系数得a＝2.
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x2 解析：双曲线方程 mx ＋y ＝1 化为标准形式：y － ＝1， 1 －m
2 2 2
1 则有 a ＝1，b ＝－m ，∴2a＝2,2b＝2
2 2
1 －m ，∴2×2＝2
1 1 －m，∴m＝－ . 4
1 答案：－4
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4．(2012· 豫南九校联考)设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2， 若曲线r上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲 线r的离心率等于 1 3 A.2或2 1 C.2或2 2 B.3或2 2 3 D.3或2 ( )
x2 y2 1．(2012· 山东烟台模拟)已知双曲线 2 － 2 ＝1的一个焦点与抛物 a b 线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于 5，则该双曲线 的方程为 4y2 A．5x2－ ＝1 5 y2 x 2 C. － ＝1 5 4 x 2 y2 B. － ＝1 5 4 5y2 D．5x2－ ＝1 4 ( )
质 实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长| A1 A2|＝ 2a ；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1 B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲 线的虚半轴长． 返回
2b2 . 性质 通径 过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为 a
a、b、c 的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第8章 第7节 双曲线
第七节 双曲线[考纲传真] (教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第144页)[基础知识填充]1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.①当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹是双曲线；②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹是两条射线；③当2a >|F 1F 2|时，M 点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a >0，b >0)x 2a 2y 2b 2－＝1(a >0，b >0)y 2a 2x 2b 2图形范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点性质顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±xb a y ＝±xa b 离心率e ＝，e ∈(1，＋∞)ca 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)[知识拓展]1．三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2y 2b 2－＝λ(λ≠0)．x 2a 2y 2b 22．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝.2[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程－＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )x 2m y 2n (3)双曲线－＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即x 2m 2y 2n 2x 2m 2y 2n 2±＝0.( )x m yn (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )2[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知双曲线－＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )x 2a 2y 23A ．2 B ． C ． D ．16252D [依题意，e ＝＝＝2，所以＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.]ca a 2＋3aa 2＋33．若双曲线E ：－＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，x 29y 216且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11 B ．9C ．5D ．3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]4．已知双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与x 2a 2y 2b 25直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．－y 2＝1B ．x 2－＝1x 24y 24C ．－＝1D ．－＝13x 2203y 253x 253y 220A [由题意可得Error!解得a ＝2，则b ＝1，所以双曲线的方程为－y 2＝1，故选A ．]x 245．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝x ，则x 2a 2y 2935a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为－＝1(a >0)，x 2a 2y 29∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x .3a 又双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，∴a ＝5.]35(对应学生用书第145页)双曲线的定义及应用 (1)已知双曲线x 2－＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一y 224点．若|PF 1|＝|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )43A ．48 B ．24C ．12D ．6(2)(2017·湖北武汉调研)若双曲线－＝1的左焦点为F ，点P 是双曲x 24y 212线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|PA |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12(1)B (2)B [(1)由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝2，13解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S＝|PF 1|·|PF 2|＝24.△PF 1F 212(2)由题意知，双曲线－＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线x 24y 212的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|PA |＝4＋|PB |＋|PA |≥4＋|AB |＝4＋＝4＋5＝9，(4－1)2＋(0－4)2当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．所以|PF |＋|PA |的最小值为9.][规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时需注意定义的转化应用.2.在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF 1|－|PF 2||＝2a 平方，建立与|PF 1|·|PF 2|间的联系.[跟踪训练] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )【导学号：79140294】A．B ．1413C ．D ．2423A [由e ＝＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a .ca 又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，∴cos ∠AF 2F 1＝＝.](4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a 14双曲线的标准方程 (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的一x 2a 2y 2b 2条渐近线方程为y ＝x ，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C 的方程为( )52x 212y 23A ．－＝1 B ．－＝1x 28y 210x 24y 25C ．－＝1D ．－＝1x 25y 24x 24y 23(2)(2018·湖北调考)已知点A (－1,0)，B (1,0)为双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM 为等x 2a 2y 2b 2腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－＝1B ．x 2－＝1y 24y 23C ．x 2－＝1D ．x 2－y 2＝1y 22(1)B (2)D [(1)由y ＝x 可得＝.①52ba 52由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，x 212y 23可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5.所以C 的方程为－＝1.x 24y 25故选B ．(2)由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB |＝|BM |＝2，∠ABM ＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则|BN |＝1，|MN |＝，所以M (2，)，代入双曲线方程得4－＝1，解333b 2得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D ．][规律方法] 求双曲线标准方程的主要方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，得双曲线方程.(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.[跟踪训练] (1)已知双曲线C ：－＝1的离心率e ＝，且其右焦点为F 2(5,0)，x 2a 2y 2b 254则双曲线C 的方程为( )A ．－＝1B ．－＝1x 24y 23x 29y 216C ．－＝1D ．－＝1x 216y 29x 23y 24(2)设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上513的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________．(1)C (2)－＝1 [由焦点F 2(5,0)知c ＝5.x 216y 29又e ＝＝，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9.c a 54所以双曲线C 的标准方程为－＝1.x 216y 29(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为－＝1，即－＝1.]x 242y 232x 216y 29双曲线的几何性质◎角度1 双曲线的离心率问题 (2018·长沙模拟(二))已知双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2a 2y 2b 2(x －2)2＋y 2＝相切，则该双曲线的离心率为( )283A ．B ．6232C ．D ．33A [由双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线y ＝x ，即bx －ay ＝0与x 2a 2y 2b 2ba 圆相切得＝＝，即c ＝b ，则c 2＝3b 2＝3(c 2－a 2)，化|22b |b 2＋a 222bc 2233简得c ＝a ，则该双曲线的离心率为e ＝＝＝，故选A ．]23ca 3262◎角度2 双曲线的渐近线问题 (2018·合肥二检)已知双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为，则x 2a 2y 2b 23该双曲线的渐近线方程为________．y ＝±x [因为e ＝＝，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，故b ＝a ，则此双2ca 32曲线的渐近线方程为y ＝±x ＝±x .]ba 2◎角度3 双曲线性质的综合应用 (2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－＝1的右焦点，P 是C 上一y 23点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A ．B ．1312C ．D ．2332D [因为F 是双曲线C ：x 2－＝1的右焦点，所以F (2,0)．y 23因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－＝1，解得y P ＝±3，y 2P 3所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝×|PF |×1＝×3×1＝.121232故选D ．][规律方法] 与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线－y 2＝1的离心率的取值范x 2a 2围是( )A ．(，＋∞)B ．(，2)22C ．(1，)D ．(1,2)2(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲x 2m 2＋n y 23m 2－n 线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，)3C ．(0,3)D ．(0，)3(3)(2017·武汉调研)双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为，焦y 2a 2x 2b 254点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________.【导学号：79140295】(1)C (2)A (3)8 [(1)由题意得双曲线的离心率e ＝.a 2＋1a∴e 2＝＝1＋.a 2＋1a 21a 2∵a ＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，1a 21a 2∴1＜e ＜.2故选C ．(2)若双曲线的焦点在x 轴上，则Error!又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴Error!∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为－＝1，即Error!y 2n －3m 2x 2－m 2－n 即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A ．(3)因为e ＝＝，所以c ＝a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，即c a 5454ab ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以＝b ＝3，所以a ＝＝bca 2＋b 2c 2－b 2，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.]2516a 2－9。
双曲线ppt课件
题型二 双曲线的标准方程
【例2】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.
（1）若双曲线经过P（ 6 ,2）,求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是2 13 ，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.
思维启迪 用定义法或待定系数法求方程.
解
方法一
由双曲线的渐近线方程y=±
2 3
解得ba
23或ba
3 9. 2
故所求双曲线方程为 x2 y2 1或 y2 4x2 1.
94
9 81
探究提高 待定系数法是求曲线方程最常用的方
法之一.
（1）与双曲线
x2 a2
y2 b2
1有共同渐近线的双曲
线方程可表示为
x2 a2
y2 b2
t(t 0).
（2）若双曲线的渐近线方程是y=±
2
，2）,∴
(3 2)2 a2
4 b2
1.
又∵a2+b2=（2 5）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为 x2 y2 1. 12 8
题型三 双曲线的性质 【例3】中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一
双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2 13 ， 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率 之比为3∶7. （1）求这两曲线方程； （2）若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2 的值.
5.若m＞0,点
P
m,
5 2
在双曲线
x2 y2 1 上，则 45 13
点P到该双曲线左焦点的距离为 2 .
解析
P
m,
5 2
在双曲线 x2 y2 1上,且m＞0, 45
代入双曲线方程解得m=3,双曲线左焦点F1(-3,0),
双曲线PPT课件
Y |x|a,|y|≤b B2 关于X,Y轴, 原点对称 (±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2 A1 A2
F1
o
F2
X
B1
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
B2
F1
A1
A2
F2
X
B1
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： 双曲线性质： 1、 范围： x≥a或x≤-a Y B2
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 5、渐近线方程： 6、离心率： e=c/a
B1
F2
例题1:求双曲线 焦点坐标,离心率.渐近线方程。
的实半轴长,虚半轴长,
解：把方程化为标准方程：来自可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c= 焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率: 渐近线方程: 即
练习题:填表
6
18 |x|≥3 (±3,0)
4
4 |y|≥2 (0,±2)
10
14
|x|≥
|y|≥5 (0,±5)
y=±3x
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.
关于x轴，y轴，原点对称。 2、对称性：
3、顶点 A1（-a，0），A2（a，0）
X A1
A2
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2 5、渐近线方程： 6、离心率： e=
B1
焦点在y轴上的双曲线图像
Y F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线及其标准方程概要课件
• 双曲线的定义与性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的焦点与离心率 • 双曲线的渐近线与切线 • 双曲线的实际应用
01
双曲线的定义与性质
双曲线的定义
总结词
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线，也可以由两定点和固定距离的点的轨 迹形成。
详细描述
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线，其形状取决于平面的位置和双曲面的 形状。双曲线有两个分支，分别位于两个不同的平面上。双曲线也可以由两个定 点和固定距离的点的轨迹形成，其中固定距离称为焦距。
双曲线的焦点与离心率的关系
01
02
03
关系
推导
应用
04
双曲线的渐近线与切线
双曲线的渐近线
定义
双曲线的渐近线是与双曲线无限接近 但永不相交的直线。
几何意义
渐近线反映了双曲线的弯曲程度和方 向。
计算方法
对于标准方程$frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，渐近线方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 0$。
双曲线的切线
定义
计算方法
几何意义
渐近线与切线的几何意义
相互关系 应用
05
双曲线的实际应用
双曲线在天文学中的应用
星体轨道计算
01
哈勃定律
02
宇宙膨胀理论
03
双曲线在物理学中的应用
声学波动 波动光学 量子力学
双曲线在其他领域的应用
经济预测
在经济领域，双曲线模型被用于预测经济趋势和周期性波动。
02
双曲线的标准方程
双曲线标准方程的推导
定义双曲线的焦点和准线
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第八章 第八节双曲线课下练兵场"难度及题号容易题中等题 稍难题「 知识点（题号） （题号） （题号）双曲线的定义及其标准方程1、2 & 10双曲线的几何性质 34、5、7、9直线与双曲线的位置关系611、121已知定点 A 、B ,且|AB| = 4,动点P 满足|PA|—|PB|= 3,则|PA|的最小值是（1A.Q C.7D . 5解析：因为 |AB|= 4, |PA|— |PB|= 3, 故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到 A 的距离2 + 2=纟 答案：C12.已知点F i （ — 2, 0）, F 2（ 2, 0）,动点P 满足|PF 2|—|PF i |= 2，当点P 的纵坐标是2时, 点P 到坐标原点的距离是C. 3解析：由已知可知 c = 2, a = 1, b = 1, •••双曲线方程为x 2—y 2= 1（x < — 1）.代入2可求P 的横坐标为x =—于.3.已知双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m > 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 5，则m =（）B.2• P 到原点的距离为答案：AC . 1v e v 5D . e > 5解析：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率解析：双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m >0），一个顶点（0,弓, 3 32 + m 2=5? m =4.答案：D=o ,^HPF i + PF 21= 答案：B5. F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，且△ F 1PF 2是等腰直角三角形，则双 曲线C 的离心率为 （ ）A . 1+ 2B . 2+ 2C . 3— 2D . 3 + '. 2解析：由△ PF 1F 2为等腰直角三角形， 又|PF 1|M IPF 2I , 故必有 |F 1F 2|= IPF 2I ,即 2c = b ，从而得 c 2— 2ac — a 2= 0,a 即 e 2— 2e — 1 = 0,解之得 e = 1 ±. 2, •/ e > 1, ••• e = 1 + 2. 答案：A2 26.斜率为2的直线I 过双曲线活=1（a > 0, b > 0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分另肪目交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）B . 1 v e v 3一条渐近线 3y — mx = 0,4.设F i 、F 2分别是双曲线2x 2-y 1的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且 PF^ -PF^PF( ) A. 10B . 2 10C. 52y = 1的左、右焦点. 9解析：设F 1、F 2分别是双曲线x 2 =0,则 |P F 1 + PF 21= 2| PO |= | F 1F 2|= 2.10.点P 在双曲线上，且PF^ -PF^PF:必大于2，即b >2因此该双曲线的离心率c a 2± b 2e= a = =>典 答案：D、填空题7. (2019平顶山模拟 )A 、F 分别是双曲线9x 2— 3y 2= 1的左顶点和右焦点，P 是双曲线右支上任一点，右/ PFA =入•/ PAF ，则入= .解析：特殊值法，取点 P 为(3, 1)，得/ PFA = 2/PAF ，故匕2.3答案：28.已知圆C ： x 2± y 2— 6x — 4y ± 8 = 0•以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 _________________ • 解析：令x = 0,得y 2— 4y + 8= 0，方程无解.即该圆与 y 轴无交点. 令 y = 0,得 x = 2 或 x = 4, 符合条件的双曲线 a = 2, c = 4,•••b 2= c 2— a 2= 16 — 4= 12 且焦点在 x 轴上,2 2•双曲线方程为X —^2= 1.2 2x -—匕=14 12当a =严即a =呼时取最小值 于.3a 3 3三、解答题10 •已知双曲线的中心在原点， 焦点F 1,F 2在坐标轴上，离心率为.2，且过点(4，— 10) •点M(3, m)在双曲线上. (1)求双曲线方程；—I⑵求证：MF 1 -MF 2 = 0；(3)求厶F 1MF 2面积.答案: 9.双曲线解析:2 2j — y 2= 1(a > 0, b >0)的离心率是 2,2C= 2? C2= 4? a2+ b 2= 4a 2? 3a 2 = b 2, a ab 2+ 1则 3a 的最小值是2 3 3，则 b 2±J = 4 = a + 丄" 则 3a 3a ± 3a答案:解：⑴可设双曲线方程为x 2— y 2=^•••过点(4，—屮0), ••• 16— 10=入即 匸 6. 双曲线方程为x 2— y 2= 6. (2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中 a = b = 6,• c = 2 3,• F i (— 2 3, 0), F 2(2 3, 0),2 m kMF i kMF 2=9— 12•••点(3, m)在双曲线上， • 9 — m 2= 6, m 2= 3, 故 kMF 1 kMF 2=— 1, • MF 1 丄 MF 2.•M F1=0.法二：••• MF 1 = (— 3— 2 3, — m), MF 2 = (2 3— 3,— m),MF 1 -MF 2 = (3 + 2 3)X (3 — 2.3)+ m 2•=—3+ m 2,(3)△ F 1MF 2 的底 IF 1F 2I = 4 3，由(2)知 m = + 3. •△ F 1MF 2 的高 h = |m|= .：3, • S A F 1MF 2= 6.222 c11. (2019西安模拟)已知双曲线X 2 — ¥= 1(a >0, b >0)的离心率e =直线丨过A(a,0),B(0, — b)两点，原点O 到直线I 的距离是~2". (1)求双曲线的方程；T T⑵过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM ON =— 23,求直线m 的方程.l 方程X+% = 1，即bx — ay — ab = 0,由原点O 到l 的距离为a —b ab _3c = 2 , 又e = a =于 • b = 1, a = 『3.2 故所求双曲线方程为3 - y 2= 1.⑵显然直线 m 不与x 轴垂直，设 m 方程为y = kx - 1,则点M 、N 坐标(x i , y i ), (X 2,• kMFm3+ 2 3,kMF m2= 3 —23， • 9— m 2= 6, 即 m ? — 3 = 0, 解: (1)依题意, •/ M 点在双曲线上, • MF 1 -MF 2 = 0.y= kx- 1y2)是方程组』x22的解，——y = 1p y消去y,得(1 —3k2)x2+ 6kx— 6 = 0.①依题意，1 —3k2^ 0,由根与系数关系，知X1+ x2= 3k—1, X1X2= 3k^lT TOM ON =(X1, y“(X2, y2)= x1X2+屮丫2=X1X2 + (kX1 —1)(kX2 —1)2=(1 + k )X1X2—k(X p+ X2) + 12 2=6(1 丁k) —qk . 1= 2 — 2 J 十13k —1 3k —1=士 + 1.3k2— 1占T又••• OM ON =—23,3k2—1+1=—23, k=±2,当k=总时，方程①有两个不相等的实数根，1 1 方程为y= Qx—1 或y=—2X —1.12.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1) 求双曲线C的方程；⑵若直线I: y= kx+ 2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线I o与y轴交于M(0, b),求b的取值范围.2 2解：(1)设双曲线方程为X2—y2= 1(a> 0, b> 0).a b由已知得：a = 3, c= 2，再由a2+ b2= c2, b2= 1,2 .双曲线方程为：—y2= 1.(2) 设A(X A , y A), B(X B , y B),2将y= kx+ .2代入X —y2= 1,得(1 —3k2)x2—6 2kx—9 = 0.2△= 36(1 — k ) > 0,k v 1.-y + y =(kx A + 2)+ (kx B + 2) =k(x A + X B )+ 2 2 =二3：2,1设直线l o 的方程为：y =—只+ b ,•••」v k v 1, •••— 2v 1— 3k 2v 0,3• b v — 2 2.• b 的取值范围为（一a,— 2 2）.由题意知X A + X B =v 0,X A X B =2> 0 1- 3kl 与双曲线左支有两个交点.(3) 由 (2)得:••• AB 的中点P 的坐标为（将P 点坐标代入直线 k v 1 时, l o 的方程，得。