第八章第七节双曲线

第八章 第八节双曲线

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"难度及题号

容易题

中等题 稍难题「 知识点

（题号） （题号） （题号）

双曲线的定义及其标准方程

1、2 & 10

双曲线的几何性质 3

4、5、7、9

直线与双曲线的位置关系

6

11、12

1已知定点 A 、B ,且|AB| = 4,动点P 满足|PA|—|PB|= 3,则|PA|的最小值是（

1

A.Q C.7

D . 5

解析：因为 |AB|= 4, |PA|— |PB|= 3, 故满足条件的点在双曲线右支上，

则|PA|的最小值为右顶点到 A 的距离2 + 2=纟 答案：C

1

2.已知点F i （ — 2, 0）, F 2（ 2, 0）,动点P 满足|PF 2|—|PF i |= 2，当点P 的纵坐标是2时, 点P 到坐标原点的距离是

C. 3

解析：由已知可知 c = 2, a = 1, b = 1, •••双曲线方程为x 2—

y 2= 1（x < — 1）.

代入2可求P 的横坐标为x =—于.

3.已知双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m > 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 5，则m =（

）

B.2

• P 到原点的距离为

答案：A

C . 1v e v 5

D . e > 5

解析：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率

解析：双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m >0），一个顶点（0,弓, 3 32 + m 2=

5? m =

4.

答案：D

=o ,^HPF i + PF 21= 答案：B

5. F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，且△ F 1PF 2是等腰直角三角形，则双 曲线C 的

离心率为 （ ）

A . 1+ 2

B . 2+ 2

C . 3— 2

D . 3 + '. 2

解析：由△ PF 1F 2为等腰直角三角形， 又|PF 1|M IPF 2I , 故必有 |F 1F 2|= IPF 2I ,

即 2c = b ，从而得 c 2— 2ac — a 2= 0,

a 即 e 2— 2e — 1 = 0,解之得 e = 1 ±. 2, •/ e > 1, ••• e = 1 + 2. 答案：A

2 2

6.斜率为2的直线I 过双曲线活=1（a > 0, b > 0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分

另肪目交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是

（ ）

B . 1 v e v 3

一条渐近线 3y — mx = 0,

4.设F i 、F 2分别是双曲线

2

x 2

-y 1的左、右焦点.若点

P 在双曲线上，且 PF^ -PF^

PF

( ) A. 10

B . 2 10

C. 5

2

y = 1的左、右焦点. 9

解析：设F 1、F 2分别是双曲线x 2 =0,则 |

P F 1 + PF 2

1= 2| PO |= | F 1F 2

|= 2.10.

点P 在双曲线上，且PF^ -PF^

PF

:必大

于2，即b >2因此该双曲线的离心率

c a 2± b 2

e

= a = =

>典 答案：D

、填空题

7. (2019平顶山模拟 )A 、F 分别是双曲线9x 2— 3y 2= 1的左顶点和右焦点，P 是双曲线右

支上任一点，右/ PFA =入•/ PAF ，则入= .

解析：

特殊值法，取点 P 为(3, 1)，得/ PFA = 2/PAF ，故匕2.

3

答案：

2

8.已知圆

C ： x 2± y 2— 6x — 4y ± 8 = 0•以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点

和

顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 _________________ • 解析：令x = 0,得y 2— 4y + 8= 0，方程无解.即该圆与 y 轴无交点. 令 y = 0,得 x = 2 或 x = 4, 符合条件的双曲线 a = 2, c = 4,

•••b 2= c 2— a 2= 16 — 4= 12 且焦点在 x 轴上,

2 2

•双曲线方程为X —^2= 1.

2 2

x -—匕=1

4 12

当a =严即a =呼时取最小值 于.

3a 3 3

三、解答题

10 •已知双曲线的中心在原点， 焦点F 1,F 2在坐标轴上，离心率为.2，且过点(4，— 10) •点

M(3, m)在双曲线上. (1)求双曲线方程；

—I

⑵求证：MF 1 -MF 2 = 0；

(3)求厶F 1MF 2面积.

答案: 9.双曲线

解析:

2 2

j — y 2= 1(a > 0, b >0)的离心率是 2,

2

C

= 2? C

2= 4? a

2

+ b 2= 4a 2? 3a 2 = b 2, a a

b 2

+ 1

则 3a 的最小值是

2 3 3，

则 b 2±J = 4 = a + 丄" 则 3a 3a ± 3a

答案: