非线性规划模型

2：如果仅有等式约束hi,则可以用lagrange乘子法构造 L(x,? )=f(x)+? ? ihi(x)(? i为参数）,化为无约束优化问题， 然后利用无约束优化最优解必要条件来求解。
3：故求解时主要考虑只有不等式约束模型：
? min z ? f ( x ), x ? R n
? ?
? ?2 ?
? ?
3：例：求解：
min
f ( x1 , x2 ) ?
x
2 1
?
2 x1 x 2 ?
2
x
2 2
?
4 x1 ? 12 x 2
? x1 ? x2 ? 2
s.t .??? ?
x1 2
? x1
2 ?
x2 x2
? ?
?2 3
?? x1 , x 2 ? 0
解：（1）将这个二次规划化为标准形：
x
?
????
x1 x2
i?1
j?1
?2 ?用二次函数逼近
L ?x , ? , ? ?
化为二次规划问题，求解。 （3）实际中是迭代法求解。
四：用MATLAB 优化工具箱解带约束非线性规划： 1：解法程序：
x ? constr ?' fun ' , x 0 ? x ? constr ?' fun ' , x 0 , opt ? x ? constr ?' fun ' , x 0 , opt , v1, v 2 , ' grad '?
Fun.m 文件要同时给出目标函数f和约束条件g。形式为 [f,g]=fun(x);
x0为迭代初值; opt为算法选择; v1为下界;v2为上界; grad.m文件要（用分析法）同时给出目标函数f和约束条
件g的梯度，形式为[df,dg]=fun(x);g和dg的表达形式请 见下例：
2：例：研究：
? ? f ?x, x?? 100 x2 ? x12 2 ? ?1? ? x1 2
?
?6?
（3）参数意义：? =0时，表示不考虑风险； ? =1时，表示不考虑收益，主要考虑风险。……（7）
（4）取?=1进行求解。? 非线性规划问题。 3：武器分配问题（p110) 4:1995年数学模型竞赛A题：飞行管理问题（p110)
二：二次规划及有效集法： 1：二次规划的标准形式：
??min f (x) ? ?
1 xT Hx ? cx, H对称 ? 2
Rn?n ?
?8?
??
s.t.Ax ? b
2：如果（8）式中约束条件Ax=b,则可用lagrange乘子法 求解：……(9)
构造
L?x, ? ?? 1 xT Hx ? cx ? ?T ?Ax ? b?, ? ? Rm
2
对x,
?
求导得?? ?
Hx ? c ? A? ?
风险，一般不能同时满足。将两个函数合并成一个函数， 从而使问题简化。
（2）该投资的决策问题的数学模型为：
?? ? ?目标函数
? ? ??
max f (z) ? 20x1 ? 16x2 ?
约束条件?? ?
g
?z
??
x1
x1 ? ? 0,
x2 x2
2x12 ? x22 ? 5000
?0
?
?x1
?
? x2 2
Ax ? b ? 0
0
解出x, ? ,其中x即为（9）的最优解。
3：对有不等式约束的（8）；可讨论其约束条件
A x? b ?
? ?
a1
? ?
? ?
b1
? ?
? ? ?x ? ? ? ? ?
??am ?? ??bm ??
? a1x ? b1
? ?
?
??am x ? bm
把其中起约束的不等式改为不等式，不起约束的不等式 去掉，化为等式约束的二次规划求解。? 称为有效集 法。
三：用MATLAB 优化工具箱解二次规划。 1：解法： （1）化
?? min f ( x ) ? 1 x T Hx ? cx , H 对称 ? R n ? n
?
2
??
s.t . Ax ? b
的标准形。 （2）输入H,c,A,b; (3)用qp 程序求解。
2：常见的qp程序：
? X=qp(H,c,A,b) ? x=qp(H,c,A,b,v1) ? x=qp(H,c,A,b,v1,v2,x0,ne,dis,1)% 解H非正定的QP ? [x,lag]=qp(H,c,A,b,……，)qp中的参数除H,c,A,b同lp.
非线性规划模型
0：引言： 1：如果目标函数和约束条件有一个或多个变量为非线
性函数，则称这种规划问题为非线性规划问题。其模型为：
?
min z ? f ( x ), x ? R n
? ?
s
.t
Baidu Nhomakorabea
.
h
i
?x
?
?
0, i
?
1,2 ,?
, m .?
?1 ?
? ?
g j ?x ?? 0 , j ? 1, 2 , ? , l
为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料 场，改建两个新的，日储量仍各有20吨，问应建在何处， 节省的吨千米数有多大？
1
2
3
4
5
6
a
1.25
8.75 0.5
5.75
3
7.25
b
1.25
0.75 4.75
5
6.5
7.25
c
3
5
4
7
6
11
工地位置(a,b)及水泥日用量 d
解：（1）：这是双目标规划问题：一个是收益，一个是
s
.t
.
g
j ?x ??
0,
j
?
1, 2 , ?
,l
一：一些非线性规划模型： 1：供应与选址问题：
某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置 （用平面坐标a,b表示，距离单位：千米）及水泥日用 量d（吨）由下表给出。目前有两个临时料场位于 A(5,1),B(2,7),日储量各有20吨，假设从料场到工地之间 均有直线道相连；试制定每天的供应计划，即从A,B两 料场分别向各工地运多少吨水泥，使总的吨千米数最小。
? 可行方向法 ? 罚函数法 ? 梯度投影法（参考《运筹学》清华大学出版社；《最
优化理论》袁亚湘，科学出版社。 ? 逐步二次规划法（MATLAB 中采用）
2：逐步二次规划法思想：（解模型（1）） （1）构造lagrange函数
m
l
L ?x , ? , ? ? ? f ?x ?? ? ? i h i ?x ?? ? ? j g j ?x ?
????,
H
?
?1 ???? 1
? 1? 2 ???,
c
?
??
4,?
12?
? 1 1? ?2?
?
? ??
A ? ?? 1 2?,b ? ?2?
? ?
2
1
? ?
?? 3
? ?
（2）编程计算：
to MATLAB erciguihua.m
结果：x=(0.6667,1.3333) f=-17.5556
三：带约束非线性规划的解法： 1：通常解法有：
带约束x12 ? x22 ? 1.5, x1 ? x2 ? 0的极小值问