定积分在物理中的应用
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ba 每个小区间的长度 x ; n （2）求和：设各分点处的函数值为 y0 , y1 , y2 ,, yn
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上的平均值近似为
y0 y1 y2 yn1 ; n （3）取极限： 每个小区间的长度趋于零.
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2017/5/13
第六节 定积分在物理中的应用 函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上的平均值为
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
y0 y1 y2 yn1 y lim , n n
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
y0 y1 y2 yn1 b a y lim n ba n x n n 1 1 lim yi 1x lim f ( xi 1 )x , b a x 0 i 1 b a x 0 i 1
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2 g 3
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R x
2
2
3
2g 3 R . 0 3
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来自百度文库
R
第六节 定积分在物理中的应用
III.
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
平均值和均方差
一、预备知识
实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均 值来描述这个班的成绩的概况。
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
解 在端面建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0, R]
取任一小区间[ x , x dx ]
o
x
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
后退
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小矩形片上各处的压强近 似相等p gx, 小矩形片的面积为 2 R2 x 2 dx.
x dx
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
q
kq 取任一小区间[r , r dr ], 功元素 dw 2 dr , r
r [a , b],
o
r a r dr b
1
r
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
1 kq 1 1 所求功为 w 2 dr kq kq . a r r a a b
如果物体在运动的过程中所受的力F F ( x )
后退
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是变化的，就不能直接使用此公式，而采用 “微元法”思想. 2017/5/13
3
第六节 定积分在物理中的应用 如图：以 x 为积分变量，积分区间为 [a , b].
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
在区间 [a , b] 内任取一小区间[ x , x dx ], 功的微元数 dW F ( x )dx 所以
1 结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 2
在实际问题中，我们通常称另一种平均值为 函数的均方根，即 1 b 2 f ( x )dx . a b a 2017/5/13 19
Im 4
sin 2 t I m . t 2 2 0
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本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
q k 那么电场对它的作用力的大小为 F k 2 （ r ra 是常数） ，当这个单位正电荷在电场中从
处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力F 对它所作的功．
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第六节 定积分在物理中的应用 解 取 r 为积分变量，
x
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第六节 定积分在物理中的应用
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
小矩形片的压力元素为 dP 2gx R 2 x 2 dx
端面上所受的压力
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
P 2gx R 2 x 2 dx
0
R
g
R
0
R2 x 2 d ( R2 x 2 )
1
I m R sin2 tdt
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2
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第六节 定积分在物理中的应用
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
p
1
2
0
2
2
Im
2
I m R 2 2 R sin tdt sin td ( t ) 0 2
2
2
I m R 2 (1 cos 2 t )d ( t ) 0 4
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
讨论思想：分割、求和、取极限.
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第六节 定积分在物理中的应用
n 等分 （1）分割：把区间[a , b]分成
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
o a
x
x dx
F ( x)
b
x
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
W dW F ( x )dx
a a
b
b
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本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
第六节 定积分在物理中的应用 例1 设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要 使弹簧伸长0.1米，需作多少功？ 解 如图：建立直角坐标系。 因为弹力的大小与弹簧的 伸长（或压缩）成正比， 即 F Ex 已知 F 1N , x 0.01 o 代入上式得 E 100
这一薄层水的重力为
9.8 32 dx
x dx
5
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
功元素为 dw 88.2 x dx,
x
w 88.2 x dx
0
5
x 88.2 3462 (千焦)． 2 0
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1 T 2 它在[0, T ]上的平均功率为 0 i ( t ) Rdt , T 1 T 2 2 按定义有 I R i ( t ) Rdt , T 0 1 T 2 1 T 2 2 I 0 i ( t )dt 即 I i ( t ) dt . T T 0
第六节 定积分在物理中的应用
II.
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
液体的静压力
一、预备知识
h 处的 由物理学知道，距液体表面深度为 g 是 是液体密度， 液体压强为 p gh ，这里 A 的平板水平地 重力加速度。如果有一面积为 放置在液体深为h 处，那么，平板一侧所受的 液体压力为 P p A ．
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
y1 y2 yn y n
算术平均值公式 只适用于有限个数值
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第六节 定积分在物理中的应用
二、平均值和均方差
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
1.平均值
问题：求气温在一昼夜间的平均温度. 入手点：连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的平均值.
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第六节 定积分在物理中的应用 二、均方根
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
通常交流电器上标明的功率就是平均 功率．交流电器上标明的电流值都是一种 特定的平均值，习惯上称为有效值． 周期性非恒定电流i （如正弦交流电） 的有效值规定如下：当i ( t ) 在它的一个周 期T 内在负载电阻R 上消耗的平均功率， R 上消耗的功 等于取固定值I 的恒定电流在 率时，称这个值I 为i ( t ) 的有效值.
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第六节 定积分在物理中的应用 有效值计算公式的推导
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
2 I R 固定值为 的恒定电流在 上消耗的功率为I R ,
2 R i ( t ) 电流 在 上消耗的功率为i ( t ) R ,
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
解
设电阻为 R ， 则电路中的电压为
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
u iR I m R sin t ,
2 I R sin t, p ui 功率 m 2
一个周期区间 [0, 平均功率 p
2
2
],
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2
0
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第六节 定积分在物理中的应用
正弦交流电i ( t ) I m sin t 的有效值
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
I
1
2
0
2
2
I m sin tdt
2 2
2
Im 2
2
0
2
sin2 td ( t )
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
解 建立坐标系如图
取x为积分变量， x [0,5]
取任一小区间[ x , x dx ],
o
x
x dx
5
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x
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第六节 定积分在物理中的应用
o
x
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
定积分在物理中的应用
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1
第五章 定积分
本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导
I. 变力沿直线所作的功 II.液体的静压力
III.平均值和均方根
后退 主 页 目录
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第六节 定积分在物理中的应用
I.
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
2 Im R sin 2 t I m 2 R Im R t 2 4 2 0 4 2
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
2
2
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I mU m . (U m I m R) 2 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．
从而变力为 F 100 x
所求的功
比例系数
F Ex
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W 100 xdx 0.5J
0
0.1
x x
5
第六节 定积分在物理中的应用
例 2 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？
点击图片任意处播放\暂停
第六节 定积分在物理中的应用
小结
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
1. 利用“微元法”思想求变力作 功、水压力等物理问题．
（注意熟悉相关的物理知识）
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
2. 利用“微元法”思想求平均值、 均方差． 1 b y f ( x )dx; 函数的平均值 ba a
1 b 2 f ( x )dx . 函数的均方根（有效值） a ba （理解平均功率、电流的有效值等概念）
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第六节 定积分在物理中的应用
练习题
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
1.
把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上
坐标原点处，它产生一个电场． 这个电场对周围 的电荷有作用力． 由物理学知道，如果一个单位 正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方，
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
二、液体的静压力
如果平板垂直放置在液体中，由于液体 在不同的深度压强 p 不同，平板一侧所受的 液体的压力就不能直接使用此公式，可采用 “微元法”来计算.
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第六节 定积分在物理中的应用
例 3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水， R ，水的比重为 ，计算桶的一端面 设桶的底半径为 上所受的压力．
变力沿直线所作的功
一、预备知识
1. 由物理学知道，如果物体在作直线运动的 F 作用在这物体上，且 过程中有一个不变的力 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，物 体位移为s 时，力F 对物体所作的功为F F ( x ) W F s. 2. 微元法
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
二、变力沿直线所作的功
1 b y f ( x )dx ba a
几何平均值公式
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区间长度
(b a ) y (b a ) f ( )
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第六节 定积分在物理中的应用
例 4 计算纯电阻电路中正弦交流电i I m sin t 在 一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）.
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上的平均值近似为
y0 y1 y2 yn1 ; n （3）取极限： 每个小区间的长度趋于零.
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第六节 定积分在物理中的应用 函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上的平均值为
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
y0 y1 y2 yn1 y lim , n n
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
y0 y1 y2 yn1 b a y lim n ba n x n n 1 1 lim yi 1x lim f ( xi 1 )x , b a x 0 i 1 b a x 0 i 1
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R x
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2g 3 R . 0 3
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R
第六节 定积分在物理中的应用
III.
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
平均值和均方差
一、预备知识
实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均 值来描述这个班的成绩的概况。
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
解 在端面建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0, R]
取任一小区间[ x , x dx ]
o
x
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
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小矩形片上各处的压强近 似相等p gx, 小矩形片的面积为 2 R2 x 2 dx.
x dx
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
q
kq 取任一小区间[r , r dr ], 功元素 dw 2 dr , r
r [a , b],
o
r a r dr b
1
r
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
1 kq 1 1 所求功为 w 2 dr kq kq . a r r a a b
如果物体在运动的过程中所受的力F F ( x )
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是变化的，就不能直接使用此公式，而采用 “微元法”思想. 2017/5/13
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第六节 定积分在物理中的应用 如图：以 x 为积分变量，积分区间为 [a , b].
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
在区间 [a , b] 内任取一小区间[ x , x dx ], 功的微元数 dW F ( x )dx 所以
1 结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 2
在实际问题中，我们通常称另一种平均值为 函数的均方根，即 1 b 2 f ( x )dx . a b a 2017/5/13 19
Im 4
sin 2 t I m . t 2 2 0
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本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
q k 那么电场对它的作用力的大小为 F k 2 （ r ra 是常数） ，当这个单位正电荷在电场中从
处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力F 对它所作的功．
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第六节 定积分在物理中的应用 解 取 r 为积分变量，
x
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本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
小矩形片的压力元素为 dP 2gx R 2 x 2 dx
端面上所受的压力
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
P 2gx R 2 x 2 dx
0
R
g
R
0
R2 x 2 d ( R2 x 2 )
1
I m R sin2 tdt
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第六节 定积分在物理中的应用
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
p
1
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0
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Im
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I m R 2 2 R sin tdt sin td ( t ) 0 2
2
2
I m R 2 (1 cos 2 t )d ( t ) 0 4
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
讨论思想：分割、求和、取极限.
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第六节 定积分在物理中的应用
n 等分 （1）分割：把区间[a , b]分成
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
o a
x
x dx
F ( x)
b
x
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本节 复习 指导
W dW F ( x )dx
a a
b
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本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
第六节 定积分在物理中的应用 例1 设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要 使弹簧伸长0.1米，需作多少功？ 解 如图：建立直角坐标系。 因为弹力的大小与弹簧的 伸长（或压缩）成正比， 即 F Ex 已知 F 1N , x 0.01 o 代入上式得 E 100
这一薄层水的重力为
9.8 32 dx
x dx
5
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
功元素为 dw 88.2 x dx,
x
w 88.2 x dx
0
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x 88.2 3462 (千焦)． 2 0
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1 T 2 它在[0, T ]上的平均功率为 0 i ( t ) Rdt , T 1 T 2 2 按定义有 I R i ( t ) Rdt , T 0 1 T 2 1 T 2 2 I 0 i ( t )dt 即 I i ( t ) dt . T T 0
第六节 定积分在物理中的应用
II.
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
液体的静压力
一、预备知识
h 处的 由物理学知道，距液体表面深度为 g 是 是液体密度， 液体压强为 p gh ，这里 A 的平板水平地 重力加速度。如果有一面积为 放置在液体深为h 处，那么，平板一侧所受的 液体压力为 P p A ．
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y1 y2 yn y n
算术平均值公式 只适用于有限个数值
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二、平均值和均方差
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1.平均值
问题：求气温在一昼夜间的平均温度. 入手点：连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的平均值.
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第六节 定积分在物理中的应用 二、均方根
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
通常交流电器上标明的功率就是平均 功率．交流电器上标明的电流值都是一种 特定的平均值，习惯上称为有效值． 周期性非恒定电流i （如正弦交流电） 的有效值规定如下：当i ( t ) 在它的一个周 期T 内在负载电阻R 上消耗的平均功率， R 上消耗的功 等于取固定值I 的恒定电流在 率时，称这个值I 为i ( t ) 的有效值.
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第六节 定积分在物理中的应用 有效值计算公式的推导
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
2 I R 固定值为 的恒定电流在 上消耗的功率为I R ,
2 R i ( t ) 电流 在 上消耗的功率为i ( t ) R ,
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
解
设电阻为 R ， 则电路中的电压为
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
u iR I m R sin t ,
2 I R sin t, p ui 功率 m 2
一个周期区间 [0, 平均功率 p
2
2
],
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正弦交流电i ( t ) I m sin t 的有效值
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I
1
2
0
2
2
I m sin tdt
2 2
2
Im 2
2
0
2
sin2 td ( t )
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本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
解 建立坐标系如图
取x为积分变量， x [0,5]
取任一小区间[ x , x dx ],
o
x
x dx
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第五章 定积分
本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导
I. 变力沿直线所作的功 II.液体的静压力
III.平均值和均方根
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I.
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
2 Im R sin 2 t I m 2 R Im R t 2 4 2 0 4 2
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
2
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I mU m . (U m I m R) 2 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．
从而变力为 F 100 x
所求的功
比例系数
F Ex
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W 100 xdx 0.5J
0
0.1
x x
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例 2 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？
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小结
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
1. 利用“微元法”思想求变力作 功、水压力等物理问题．
（注意熟悉相关的物理知识）
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2. 利用“微元法”思想求平均值、 均方差． 1 b y f ( x )dx; 函数的平均值 ba a
1 b 2 f ( x )dx . 函数的均方根（有效值） a ba （理解平均功率、电流的有效值等概念）
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练习题
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
1.
把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上
坐标原点处，它产生一个电场． 这个电场对周围 的电荷有作用力． 由物理学知道，如果一个单位 正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方，
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
二、液体的静压力
如果平板垂直放置在液体中，由于液体 在不同的深度压强 p 不同，平板一侧所受的 液体的压力就不能直接使用此公式，可采用 “微元法”来计算.
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例 3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水， R ，水的比重为 ，计算桶的一端面 设桶的底半径为 上所受的压力．
变力沿直线所作的功
一、预备知识
1. 由物理学知道，如果物体在作直线运动的 F 作用在这物体上，且 过程中有一个不变的力 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，物 体位移为s 时，力F 对物体所作的功为F F ( x ) W F s. 2. 微元法
本节 重点 与难 点
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二、变力沿直线所作的功
1 b y f ( x )dx ba a
几何平均值公式
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区间长度
(b a ) y (b a ) f ( )
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例 4 计算纯电阻电路中正弦交流电i I m sin t 在 一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）.