正方体空间重构小结

合集下载

正方体几何知识点总结

正方体几何知识点总结一、定义正方体是一种具有6个面、8个顶点和12条棱的空间立体图形，每个面都是正方形，且各个面相对的面平行且相等。

正方体为一种特殊的立方体，具有独特的性质和几何特征。

二、性质1. 正方体的特征正方体的特征包括6个面、8个顶点和12条棱。

每个面都是正方形，且各个面相对的面平行且相等。

2. 对角线正方体的对角线有4条，分别是空间对角线、面对角对角线、棱对角线和顶点对角对角线。

其中，空间对角线连接正方体的两个相对的顶点，面对角对角线连接正方体的两个相对的面的对角点，棱对角线连接正方体两个相邻的棱的对角点，顶点对角对角线连接正方体的两个相对的顶点。

3. 三视图在三维空间中，可以用正方体的三视图来描述其形状和特征。

正方体的三视图包括正视图、侧视图和俯视图，可以帮助我们更直观地了解正方体的形态和结构。

4. 对称性正方体具有多种对称性，包括旋转对称、轴对称和面对称。

在正方体中，可以找到多个旋转中心，每个面对称轴和多个对角面对称轴。

5. 空间角度正方体的每个面的所有内角均为90度，因此正方体内部的空间角度为90度。

6. 体对角线正方体的体对角线可以通过勾股定理求得，即体对角线的长度等于棱长的平方根乘以根号3。

三、表面积和体积计算1. 表面积正方体的表面积等于6倍一个面的面积，即6a^2，其中a为正方体的边长。

2. 体积正方体的体积等于一个面的面积与其高的乘积，即a^3，其中a为正方体的边长。

四、正方体的相关定理1. 正方体的体对角线长度正方体的体对角线长度可以通过勾股定理求得，即体对角线的长度等于棱长的平方根乘以根号3。

2. 正方体的空间对角线长度正方体的空间对角线长度可以通过勾股定理求得，即空间对角线的长度等于棱长的平方根乘以根号2。

3. 正方体的面对角线长度正方体的面对角线长度可以通过勾股定理求得，即面对角线的长度等于棱长的平方根乘以根号2。

五、正方体的相关定理证明1. 正方体的体对角线长度定理证明正方体的体对角线长度可以通过利用直角三角形的勾股定理求得。

空间重构知识点总结

空间重构知识点总结一、空间重构的基本概念1. 空间重构的定义空间重构是指对现有的空间进行重新设计和改造，以满足新的需求和提升空间功能和价值的过程。

空间重构可以涉及建筑内部的空间，也可以涉及建筑外部的环境，它可以通过改变空间布局、调整空间结构、更新装饰材料等手段，来实现空间的新生和复兴。

2. 空间重构的意义空间重构对于提升建筑的使用价值、改善居住和工作环境、推动城市建设和发展等方面都具有重要意义。

通过空间重构，可以使建筑更加适应人们的需求，提升使用效率和舒适度，还可以延长建筑的使用寿命，减少资源浪费。

在城市建设和发展中，空间重构也可以实现旧城改造、城市更新等重要目标。

3. 空间重构的原则空间重构需要遵循一系列的原则，以确保重构的顺利进行和最终实现满意的效果。

首先，空间重构需要充分考虑建筑的结构和功能，不能因为改造过度导致建筑的不稳定和功能混乱。

其次，空间重构需要尊重建筑的历史和文化，不能因为盲目改造而破坏建筑的原有风貌。

另外，空间重构还需要考虑周边环境和城市规划，不能因为改造而影响周边的其他建筑和设施。

二、空间重构的相关知识点1. 空间设计空间设计是空间重构的前期阶段，其目的是为了满足建筑使用者的需求和提升空间的功能和价值。

在空间设计中，需要考虑建筑的结构、功能、风格、装饰等各个方面，确保设计方案的全面性和合理性。

在设计中，还需要与业主和使用者充分沟通，了解他们的需求和期望，以便为设计方案提供更好的参考。

2. 空间布局空间布局是空间设计的重要组成部分，它涉及到建筑内部各个功能区域的设置和组织。

在空间布局中，需要考虑使用者的活动习惯、空间流线、光线照射等因素，使得布局更加合理和人性化。

在空间重新设计过程中，布局的调整通常是必不可少的，以适应新的功能需求和提升使用效率。

3. 空间结构空间结构是指建筑内部的框架和支撑体系，它直接影响到建筑的稳定性和承重性能。

在空间重构中，有时需要对空间结构进行调整和加固，以确保新的设计方案能够得到良好的支撑。

高中正方体重要知识点总结

一、正方体的定义与性质1. 定义：正方体是一种六个面都是正方形的立方体，也可以说是一个立方体的特例。

2. 性质：a. 六个面都是相等的正方形，因此各个面的面积相等。

b. 所有的对角线相等。

c. 对立面平行且相等。

d. 体对角线长度为a√3，其中a为正方体的边长。

e. 与坐标轴平行，有相交于一个点，并且对称。

二、正方体的表面积和体积1. 表面积：正方体的表面积等于六个面的面积之和。

每个面的面积都是a^2，因此正方体的表面积为6a^2，其中a为正方体的边长。

2. 体积：正方体的体积等于边长的立方。

即V = a^3，其中V为正方体的体积，a为正方体的边长。

三、正方体的对角线正方体共有四条对角线，分别是空间对角线、两个面对角线和三个边对角线。

1. 空间对角线：空间对角线是正方体的两个相对的顶点的连线，其长度等于a√3。

2. 面对角线：面对角线是相对的两个面的对角的连线，其长度等于a√2。

3. 边对角线：正方体的每个面上有一条对角线，其长度等于a。

四、正方体的相关公式1. 表面积S = 6a^2，其中S为正方体的表面积，a为正方体的边长。

2. 体积V = a^3，其中V为正方体的体积，a为正方体的边长。

3. 空间对角线长度d = a√3，其中d为正方体的空间对角线长度，a为正方体的边长。

4. 面对角线长度l = a√2，其中l为正方体的面对角线长度，a为正方体的边长。

5. 边对角线长度s = a，其中s为正方体的边对角线长度，a为正方体的边长。

1. 在计算正方体的表面积和体积时，首先要明确各个面的面积和对角线的长度的关系。

2. 在计算正方体的对角线长度时，可以利用勾股定理或三维几何的相关知识进行推导。

3. 在解体积和表面积的问题时，对于知道其中一个量求另一个量的情况要利用已知条件进行推导。

在学习正方体的过程中，需要掌握上述相关定义、性质、公式以及解题技巧，通过大量的练习来加深理解。

此外，还可以通过立体几何模型或者软件进行实际操作，加深对正方体的认识。

空间重构类图形推理不看后悔

分享立方体折叠专题一一. 判断给定的平面图形是否属正方体表面展开图1．最长的一行或列在中间,可为2、3、4个,超过4•个或长行不在中间的不是正方体表面展开图．2．在每一行或列的两旁,每旁只能有1个正方形与其相连,超过1个就不是．3．规律：①每一个顶点至多有3个邻面,不会有4个或更多个．②“一”形排列的三个面中,两端的面一定是对面,字母相同．③“L”形排列的三个面中,没有相同的字母,即没有对面,只有邻面．二. 快速确定正方体的“对面” 口诀是：相间、“Z”端是对面三. 如下图,我们先来统一以下认识：四. 把含有图1所示或可由其作旋转后的图形统称为“I”型图；把所给平面图中含有2、3、4所示或可由其作旋转后的图形统称为“Z ”型图.五.六. 结论：七. 如果给定的平面图形能折叠成一个正方体,那么在这个平面图形中所含的“I”型图或“Z”型图两端的正方形阴影部分必为折成正方体后的对面.八. 应用上面的结论,我们可以迅速地确定出正方体的“对面”.九.十. 例1．如图,一个正方体的每个面上都写有一个汉字,其平面展开图如图所示,那么在该正方体中,和“超”相对的字是．十一.十二. 分析：自—信—沉—着—超,构成了竖着的Z字型,所以“自”与“超”对应,故应填“自”．十三.十四. 三. 间二、拐角邻面知十五. 中间隔着两个小正方形或拐角型的三个面是正方体的邻面．十六. 例2.如图,有一个正方体纸盒,在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆,现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形,则展开图可以是十七.十八. 分析：我们把画有圆的一面记为a面,正方形阴影面记为b面,三角形阴影面记为c 面．十九. 在选项A中,由Z字型结构知b与c对面,与已知正方体bc相邻不符,应排除；在选项B中,b面与c面隔着a面,b面与c面是对面,也应排除；在选项D中,虽然a、b、c三面成拐角型,是正方体的三个邻面,b面作为上面,a面为正面,则c面应在正方体的左面,与原图不符,应排除,故应选C．二十.二十一.二十二. 四. 正方体展开图：二十三. 相对的两个面涂上相同颜色二十四.二十五.五. 找正方体相邻或相对的面1．从展开图找．1正方体中相邻的面,在展开图中有公共边或公共顶点．如,•或在正方形长链中相隔两个正方形．如中A与D．2在正方体中相对的面,在展开图中同行或列中,中间隔一个正方形．如ABCD中,A与C,B与D,或和中间一行或列•均相连的两正方形亦相对．例1 右图中哪两个字所在的正方形,在正方体中是相对的面．解“祝”与“似”,“你”和“程”,“前”和“锦”相对．例2在A、B、C内分别填上适当的数．使得它们折成正方体后,对面上的数互为倒数,则填入正方形A、B、C•的三数依次是：A 12,13,1 B13,12,1C1,12,13D12,1,13分析 A与2,B与3中间都隔一个正方形,C与1分处正方形链两边且与其相连,选A．例3 在A、B、C内分别填上适当的数,使它们折成正方体后,对面上的数互为相反数．分析 A与0,B与2,C和-1都分处正方形链两侧且与其相连,∴A─0,B─-2,C─1．例4 找出折成正方体后相对的面．解 A和C,D和F,B和E是相对的面．2．从立体图找．例5 正方体有三种不同放置方式,问下底面各是几分析先找相邻的面,余下就是相对的面．上图出现最多的是3,和3相连的有2、4、5、6,余下的1就和3相对．再看6,•和6相邻的有2、3、4,和3相对的是1,必和6相邻,故6和5相对,余下是4和2相对,•下底面依次是2、5、1．例6由下图找出三组相对的面．分析和2相连的是1、3、5、6,相对的是4,和3相连的是2、4、5、6,相对的是1,和6相连的是1、2、3、4,相对的是5．五. 由带标志的正方体图去判断是否属于它的展开图例7 如下图,正方体三个侧面分别画有不同图案,它的展开图可以是．分析基本方法是先看上下,后定左右,图A图B都是□和+两个面相对,不合题意,图C “□”和“○”之上,从立体图看“＋”在右,符合要求．图D•“□”和“＋”之上,“○”在右,而立体图“○”应在左,不合要求,故选C．例8 下面各图都是正方体的表面展开图,若将它们折成正方体,•则其中两个正方体各面图案完全一样,它们是．分析首先找出上下两底,1是+和,2是+和,34都是□和×,排除12,再检查侧面,34顺序相同,所以选34．分享立方体折叠专题二专题一的知识主要是介绍了如何寻找各种正方体及其展开图的对面.专题二的内容将是具体的解题方法的介绍.在这里,我不推荐用剪纸折叠的方法去做,因为不适合在考场使用；而橡皮擦也只适用部分题目.首先要说明的是：数字在正式命题中一般不考虑方向性,此专题的数字考虑方向性,主要是因为阴影部分的绘图不是很方便,采用数字便与绘图和理解.首先介绍几个知识点：①不相对则相邻.结论1：一个正方体有六个面,每个面都只有一个对面,因此,不是它的对面,那么就是邻面.找对面的方法已经在立方体折叠专题一详细诠释.比如：和1相对的面是3,那么其它的面全是1的邻面.和6相对的面是4,那么其它的面全是6的邻面.结论2：任意3个面,两两之间无对面,则它们可以折叠为正方体.比如：1、4、5 ,2、3、6 可以折叠为正方体相反的：1、4、6不可以折叠为正方体,因为4和6是对面.②三个固定的图形的面,旋转摆放后,只有三种视图.视图二视图一视图三下面详细演示视图一是如何变化成视图二的：⒈ ABC所在平面均顺时针移动.⒉平面位置移动之后,平面内的字母顺时针旋转90°.⒊视图一到视图三原理相同,不同的是全部逆时针转动.重要结论：如果展开图能够折叠成以上的立方体,则只交换两个面的位置,立方体不成立.例如：③从平面到例题的基础模型.提出基础模型,是因为这个模型是人人都能掌握的.图1为了做题方便,统一将图形变换为图1模式思考,这样可以避免视觉差异.要注意的是：下图是不能折叠成以上正方体的,如果A是我们看到的正面,那么B面我们是看不到的,这是一个视觉差异.④平面图的翻转等效方法.我们需要验证的是：1 、图2能否折叠成图3图2 图3解析：①题目只要我们判断1,5,6面的情况,因此其他平面略去不考虑.②5,6两个面连在一起,因此,我们只需考虑将1面翻转到和5,6面相连.③翻转的过程,就是然1面沿着2,3,5面的上边线翻滚过去,每翻滚1次旋转90°.④本题的1翻滚到5的右边,共记4次,360°,故1的方向不变.⑤将1翻滚到6的右边,化为标准形式.图52 、图2能否折叠成图4图4解析：有了上题的结论,此题就比较简单了.根据图5和知识点②的三种视图旋转方法,正确的正方体应该是下图结束语：解题方法介绍完毕.以上的详细步骤,主要是写的思维的具体过程,熟练以后,是可以省略很多步骤直接得出结论的.从历年国考、省考真题来看,大部分的题目可以用知识点1：对面原则排除解题.但是如果再考查立体思维,不排除题目难度加大的可能,所以需要系统掌握此知识点.无论题目难度多大,立体思维的题目都将成为几秒钟就可以解决的送分题.正方体折叠的展开图等价刚看到的一道题：选出不能折成的一项是：本题应该选择A ,因为命题人考虑了数字的方向.那么如何不通过空间构想快速判断呢原图可以直接将 1 的正方形向左翻叠90°,等效于以下图形将3翻转到5的右边,为什么3的位置不发生变化呢理由是3实质经过了490°=360°的翻转,这个以后详细解释.大家一定要掌握第①步的等效方法,可以大大提高解题速度.相信第②步大家是很容易理解的.。

高中正方体知识点归纳总结

高中正方体知识点归纳总结一、正方体的定义和性质正方体是一种六个面都是正方形的立体图形，每条边都相等，每个内角是90度。

正方体具有以下特性：1. 六个面都是正方形，每个面都有四条边和四个顶点，每个面都是相等的。

2. 每个内角都是90度，因此正方体的六个内角是直角。

3. 每条边相等，正方体是一种等边立方体，具有对称性。

二、正方体的表面积和体积计算1. 表面积的计算正方体的表面积等于六个正方形面积的总和。

每个正方形的面积等于边长的平方，因此正方体的表面积等于6倍的边长的平方。

表面积=6a^2其中，a代表正方体的边长。

2. 体积的计算正方体的体积等于底面积乘以高。

因为正方体的底面积是正方形的面积，等于边长的平方，所以正方体的体积等于边长的立方。

体积=a^3其中，a代表正方体的边长。

三、利用正方体的性质解决实际问题正方体的表面积和体积在实际问题中经常用到，例如建筑工程、材料焊接、装箱等方面。

通过利用正方体的性质和计算公式，可以帮助解决实际问题，提高工作效率。

1. 建筑工程在建筑工程中，使用正方体的表面积和体积来计算建筑材料的用量，例如瓷砖的铺贴、油漆的刷涂等。

通过精确计算，可以减少材料的浪费，达到节约成本的效果。

2. 材料焊接在工业生产中，常常需要对金属材料进行焊接。

通过计算正方体的表面积和体积，可以精确确定焊接面积和焊接材料的使用量，提高焊接质量和效率。

3. 装箱在物流运输中，如何合理地进行装箱是一个重要的问题。

通过计算正方体的表面积和体积，可以确定最佳的装箱尺寸和容量，提高运输效率。

四、正方体的立体图形正方体的立体图形是一个重要的几何学习内容，通过绘制和观察正方体的立体图形，可以加深对正方体的理解，并为解决相关问题提供直观的帮助。

1. 正方体的投影正方体在不同角度下的投影对应不同的几何图形，例如正方体在平面上的正投影、侧投影、俯视图、沿面视图等。

通过观察和描绘正方体的投影，可以帮助理解正方体的空间结构和形状特点。

几何正方体知识点总结

几何正方体知识点总结介绍几何正方体是一种立体图形，其表面由六个正方形组成，每个正方体的边都相等，每个角都是直角。

正方体是一种非常基本的几何体，具有广泛的应用，例如建筑、工程和设计等领域。

本文将总结几何正方体的基本知识点，包括定义、性质、公式和一些相关的例题和解析。

定义几何正方体是一个有六个相等正方形面的立体，这六个面周围都有相等的边，每个角都是直角的立体。

正方体的六个面可以分别用ABCDEF来表示，相对的面有相等的边，因此AB=CD=EF，AD=BC=EF。

正方体的八个顶点可以用ABCDEFGH来表示，相邻顶点之间的距离相等。

性质1. 正方体的每个面都是正方形，因此具有相等的边和直角的性质。

2. 正方体的对角线相等，即AC=BD=EG=FH=√3×边长。

3. 正方体的表面积S=6×边长的平方，体积V=边长的立方。

4. 正方体的对角线平分正方体的体对角线，两者的长度比为1：√3。

5. 正方体的顶点、边、面的数量分别为8、12、6。

公式1. 正方体的表面积公式S=6×a^2其中a为边长。

2. 正方体的体积公式V=a^3其中a为边长。

3. 正方体的对角线长度d=√3×a其中a为边长。

例题与解析1. 若正方体的体积为64cm³，求它的边长和表面积。

解：已知V=64cm³，由V=a³可以得到a=4cm，带入S=6×a²和S=96cm²，可以得到正方体的表面积为96cm²。

2. 若正方体的体对角线长为12cm，求它的表面积。

解：已知d=12cm，由d=√3×a可以得到a=4√3cm，带入S=6×a²可以得到正方体的表面积为96cm²。

结论几何正方体是一种非常基本的几何体，具有丰富的性质和应用。

通过本文的总结，我们了解了正方体的定义、性质、公式和一些例题的解析，希望对大家有所帮助。

长方体和正方体知识点总结

第二单元长方体和正方体总结一、长方体和正方体的特征：形体相同点不同点关系面棱顶点面的形状面的大小棱长长方体6128一般六个面都是长方形（也有两个相对的面是正方形）。

相对的面面积相等平行的四条棱长度相等正方体是特殊的长方体正方体6128六个面都是正方形六个面的面积相等十二条棱长都相等长方体：①有6个面，相对的面完全相同；长方体放桌面上，最多只能看到3个面。

②有12条棱，相对的棱长长度相等，而且相对的棱互相平行；12条棱可以分为3组（分别为长、宽、高），每组的4条棱一样长；长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4③有8个顶点，每个顶点上的三条棱分别称为长方体的长、宽、高。

正方体：①有6个完全相同的面；正方体放桌面上，最多只能看到3个面。

②有12条长度相等的棱，每条棱的长度称为正方体的棱长；正方体的总棱长=棱长×12。

③有8个顶点。

练一练：1.一个长方体长、宽、高分别是10cm、7 cm、4 cm ，这个长方体的棱长和是多少厘米？（提示：根据长方体的总棱长公式计算）2.一个长方体的棱长和是160dm，其中，长是20dm，宽是8dm，它的高是多少？从一个顶点引出的三条棱的长度总和是多少？3.将一根铁丝长720厘米做成正方体，则正方体的棱长是多少厘米？二、长方体和正方体的表面积定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

1.法一：(1)长方体的表面积（有六个面）=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2（因为长方体相对的面完全相同）法二：前、后面：长×高×2左、右面：长×高×2上、下面：长×宽×2则长方体的表面积（有六个面）= 前后 + 左右 + 上下2.正方体的表面积（有六个面）=棱长×棱长×6（因为正方体的六个面完全相同）在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。

正方体的知识点归纳

正方体的知识点归纳正方体是一个具有六个平面、六个面角、八个顶点和十二个边的立体图形，它是一种非常重要的几何图形，广泛应用于数学、工程、建筑等领域。

在本文中，我们将对正方体的基本性质、表面积和体积、内对角线等知识点进行归纳总结。

1. 基本性质正方体是一种具有对称性的几何图形，其六个面相同，每个面都是正方形。

正方体的六个面互相垂直，即任意两个相邻面之间的夹角都是90度。

正方体的八个顶点相互等距，每个顶点都是三个相邻面的交点，其中四个顶点构成一个等腰直角三角形。

2. 表面积和体积正方体的表面积和体积是计算正方体的重要参数。

正方体的表面积等于六个面积之和，也可以表示为6a²，其中a表示正方体的边长。

正方体的体积等于正方体的某个面的面积乘以高度，也可以表示为a³，其中a表示正方体的边长。

3. 内对角线内对角线是两个对面顶点之间的线段，通过正方体的内部。

正方体的内对角线长度等于正方体的边长的根号3倍，可以用勾股定理进行证明。

对于任意一个正方体，其内对角线是其最长的对角线，也是其最长的线段。

4. 表面对角线表面对角线是由正方体的两个相邻顶点之间的线段组成，通过正方体的表面，连接相邻的面。

正方体的表面对角线长度等于正方体的边长的根号2倍，可以用勾股定理进行证明。

对于任意一个正方体，其表面对角线是其最长的面对角线，也是其最长的线段。

5. 对角面对角面是正方体中任意两个对面之间的平面，其特点是可以将正方体分成两个相等的部分。

每个对角面都是一个平行四边形，其面积等于正方体表面积的一半，也等于正方体两个相对面之间的距离的乘积。

6. 对角线长度对角线是连接两个对面相对顶点的线段。

正方体有八条对角线，其长度等于正方体的边长的根号3倍，可以用勾股定理进行证明。

每个对角线都代表了正方体的一个空间对角线，其长度是正方体内对角线和正方体表面对角线的平均值。

7. 截面面积截面是与正方体横向或纵向相交的平面，可以将正方体分成两个部分。

认识正方体的知识点总结

认识正方体的知识点总结正方体是一个非常常见的三维几何体，它有很多有趣的特性和应用。

在这篇文章中，我们将深入了解正方体的知识点，包括定义、性质、公式、应用等方面。

定义正方体是一个有六个相等的正方形面的立体，每个面与它相邻的面都有一个共同的边。

正方体有八个顶点、十二条边和六个面。

它是一个规则的六面体，是立体几何中的一个基本图形。

性质正方体有一些重要的性质，这些性质使得它成为数学和工程领域中的重要几何体。

1. 相等的正方形面。

正方体的每个面都是一个正方形，且相互之间相等。

2. 八个顶点。

正方体有八个顶点，每个顶点连接着三条边。

3. 十二条边。

正方体有十二条边，每两条边连接着一个顶点。

4. 六个面。

正方体有六个面，这些面相互之间并排。

5. 对角线相等。

正方体的对角线相等且长度相同。

6. 体对角线长度。

正方体的体对角线长度等于$\sqrt{3}$倍其边长。

公式在计算正方体相关的问题时，一些公式和定理是非常有用的。

以下是一些常用的公式：1. 正方体的表面积。

正方体的表面积等于六倍它一个面的面积。

即$6 \times a^2$，其中$a$为正方体的边长。

2. 正方体的体积。

正方体的体积等于边长的三次方。

即$a^3$，其中$a$为正方体的边长。

3. 对角线长度。

正方体的对角线长度等于$\sqrt{2}$倍其边长。

4. 体对角线长度。

正方体的体对角线长度等于$\sqrt{3}$倍其边长。

应用正方体在现实生活中有许多应用，它的规则性和稳固性使得它成为建筑、工程和设计领域中重要的几何体。

1. 建筑。

正方体是建筑设计中常见的立体，例如一些建筑设计中的柱子、墙体等几何体都可以是正方体的形状。

2. 容器和包装。

一些盒子、容器和包装盒也常常采用正方体的形状，因为正方体的规则形状使得它易于堆叠和储存。

3. 桌子和椅子。

一些桌子和椅子的设计也采用正方体的结构，它们的稳固性和坚固性使得它们成为家具设计中的重要形状。

4. 几何建模。

正方体的平面展开与折叠

[]第14期方法与技巧]正方体的平面展开与折叠张奎甲山东省无棣县小泊头镇中学邮编：251911正方体的平面展开与折叠问题是初中数学的一个难点。

正方体的展开与折叠有助于培养学生对平面图形与空间几何体的相互转换的认识和空间想像能力，因此与正方体展开与折叠有关的试题成了中考的一个热点。

解决这类问题的方法主要有两种，一是通过动手操作来得到答案；二是通过分析正方体的结构特征，根据其平面展开图的内在规律得出结论。

一、正方体的平面展开规律正方体的平面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四种情形，共11种图形。

（1）“一四一”型：展开图有3行，中间一行有4个正方形，其余两行均有1个正方形，如图1所示。

（2）“二三一”型：展形图有3行，中间一行有3个正方形，第1行有2个正方形，第3行有1个正方形，如图2所示。

（3）“二二二”型：展开图有3行，每一行均有2个正方形，如图3所示.（4）“三三”型：展开图有2行，每一行均有3个正方形，如图4所示.以上是正方体平面展开图的几种形式.为方面记忆，总结口诀如下：中间四个面，上、下各一面；中间三个面，一、二隔河见；中间两个面，楼梯天天见；中间没有面，三、三连一线。

从图形我们可以看出如下规律：（1）每一个顶点至多有3个邻面，不会有4个或更多个.所以不存在“田”、“凹”、“凸”形排列；（2）“一”形排列的三个面中，两端的面一定是对面；（3）“L”形排列的三个面中，没有对面，只有邻面.二、正方体的折叠规律正方体的折叠规律与正方体的平面展开规律类似。

为方便起见，多采用填写字母的方式来确定所给图形能否折成正方体。

例如：图5中的4个图形都能折成正方体。

但图6的2个图形却不能围成正方体。

从图5、图6可以看出，由小正方形折叠成正方体，除正方体展开图规律外，还必须满足：（1）图形中要存在2A,2B,2C的条件；（2）相同字母不能在其他四个面的同列.。

正方体的展开和折叠问题是经常考的问题

正方体的展开和折叠问题正方体的展开和折叠问题是经常考的问题，在考试中常见于选择题，这种题有利于培养学生的空间观念和实践、探索能力。

一般情况解决这类问题有两种方法：一是动手操作来解决，二是通过空间想象进行确定。

然而今天给大家带来更为简单有效的方法，希望在以后遇到这样的问题时，能够快速准确的解答。

首先，应该明确，由平面折叠成立体图形时，给定的是正方体的外表面。

注意，本次讲解的方法都是应用于选择题，为了是排除错误选项，从而通过排除法确定正确答案。

由平面图重构立体图形的方法一：相对面排除存在以下选项的答案：一组相对面出现两个的选项；一组相对面出现0个的选项。

那么展开图中如何判断相对面呢？1、同行或同列隔一个的。

2、“Z”字型两端（“Z”字型两端是指紧挨着中间竖线的两个面）。

例1：左边是给定的纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由左边的图形折成的是解析：由图示可知，两个黑面是对立面，所以A排除，一点红和两点蓝分别是对立面，所以B，D排除。

从而选择C。

二、相邻面可以采用公共边法或者是画边法（注意：构成直角的两个边是同一条边）画边法：1、结合选项，在题干中确定一个面的唯一点或者唯一边。

2、从起点出发，沿着顺时针或者逆时针方向描边。

3、确定相邻面与选项相匹配，对应面不一致的选项排除。

例2：左边是给定的纸盒外表面的展开图，哪一项能由它折叠而成解析：由题意知，采用画图法，C选项由公共边2可知错误，排除；D选项有公共边3可知错误，排除。

选项B可知，方框面和点面为相对面，不能同时出现，所以B错误。

因此选择A。

对于初中的学生老师，掌握这两种方法基本就能判断空间重构类型的题目了。

而对于从正方体展开成为平面图形，要记住以下特点：1.上中下三行，每两行之间只能有一条边重合。

2.222、33两类是特殊的，为阶梯状。

3.有的看似不属于任一类，旋转后就是其中一类了。

记住正方体展开图口诀：正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。

正方体总结知识点

正方体总结知识点
首先，正方体的表面积公式是6s^2，其中s表示正方体的边长。

这个公式可以通过计算
正方体的六个面的面积之和来得到。

因为每个面都是正方形，所以每个面的面积都是s^2，所以正方体的表面积就是6s^2。

其次，正方体的体积公式是s^3，其中s也表示正方体的边长。

这个公式可以通过计算正
方体的一个面的面积乘以高度来得到。

因为正方体的每个面都是正方形，所以每个面的面
积都是s^2，所以正方体的体积就是s^2 * s = s^3。

另外，正方体的对角线长度是√3s，其中s也表示正方体的边长。

这个公式可以通过应用
勾股定理来得到。

因为正方体的对角线就是正方体的对角线，所以可以利用勾股定理来计算。

正方体的对角线的长度就是三条相邻面的对角线长度的和，而每个面的对角线长度都
是s√2，所以正方体的对角线长度就是s√3。

最后，正方体的中心对称轴是连接正方体相对的两个面的线段。

这个中心对称轴可以被用
来分割正方体成两个对称的部分。

这个轴也可以用来计算正方体的旋转惯量。

综上所述，正方体是一个非常有特点的几何体，它有特定的表面积和体积公式，以及对角
线长度和中心对称轴。

对这些知识点进行深入的理解，能够帮助我们更好地理解正方体的
性质和特点。

正方体的11种折叠法及背会小窍门小口诀

有一无盖立方体纸箱，若将其沿棱剪成展开图，问有多少种不同形式的展开图？解因总面数是5，不会出现5个面全部排成一行（列）的情形.（1）当一行（列）面数最多是4时，有两种情形（注意对称性），如图）（2）当一行（列）面数最多是3时，剩下的两个面位于这一行（列）的同一侧有两种不（3）剩下的两个面位于这一行（列）的异侧有三种不同情形，如图（4）当一行（列）的面数最多是2时，仅一种情形，如图所示.总数为2+2+3+1=8种，即有8种不同的展开形式.探究正方体的展开图将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面，共有哪些不同的图形呢？要搞清这个问题，最好是动手实践，比如找一些正方体纸盒，沿着棱按不同方式将其剪开（但不要剪断，六个面要通过边连在一起），展成平面，再观察、对比一下不同形状的图形有哪些。

如果不容易找到足够的正方体纸盒，还可以找一些不太厚、易折叠的正方体纸板，利用逆向思维，先猜测正方体展开图会有哪些不同形状，并将它们画在纸板上，再将周围多余部分剪去，然后沿所画直线直行折叠，看看哪些图形纸板可以折叠成正方体。

这种探究方法虽然有点麻烦，但操作简便易行，快速有效。

事先可多画一些纸板（六个正方形边与边对齐，任意连接成不同的平面图形），经过逐个验证，记录下所有可以折叠成正方体的图形，再将这些图形分类，总结并寻找出其中的规律。

那么，沿棱剪开展开一个正方体，究竟有哪些不同的形状呢？如果不考虑由于旋转或翻折等造成相对位置的不同，只从本质上讲，有以下三类共11种。

一、“141型”（共6种）特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有4个正方形（图1～图6）。

理解：有4个面直线相连，其余2个面分别在“直线”两旁，位置任意。

二、“231型”与“33型”（共4种）特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有3个正方形（如图7～图10）。

理解：在“231型”中，“3”所在的行（列）必须在中间，“2”、“1”所在行（列）分属两边（前后不分），且“2”与“3”同向，“1”可以放在“3”的任意一个正方形格旁边，这种情况共有3种，而“33型”只有1种。

正方体知识点总结

正方体知识点总结正方体是一种具有六个面都是正方形的立体，每个角都是90度的立体。

在数学中，正方体是一种特殊的立体，具有许多独特的性质和特点。

在本文中，我们将对正方体的各种知识点进行总结和解释。

一、正方体的基本概念和性质1. 正方体的定义正方体是一种立方体的特例，具有六个面都是正方形，并且每个面都相互平行且相等。

在三维几何空间中，正方体是一种具有对称性和规则性的立体，是数学中研究的重要对象之一。

2. 正方体的性质正方体具有许多独特的性质，其中最重要的性质是它的六个面都是正方形，每个角都是90度。

此外，正方体具有对称性和等边性，对角线相等等性质也是它的重要特点。

3. 正方体的体积和表面积正方体的体积是指正方体所围成的空间大小，可以通过边长的立方来计算，即V=a^3。

而正方体的表面积则是指正方体所有面的总面积之和，可以通过6a^2来计算，其中a为正方体的边长。

4. 正方体的对角线和中心正方体的对角线是连接正方体对角的直线，可以通过a√3来计算，其中a为正方体的边长。

而正方体的中心是指连接正方体六个面中心的点，具有对称性和平面性。

二、正方体的投影和展开图1. 正方体的平面投影正方体的平面投影是指将三维正方体投影到二维平面上的过程。

在投影过程中，需要考虑正方体的各个面的形状和位置，以及观察者和投影面的位置关系。

正方体的平面投影是几何学中的重要问题之一，也是许多实际问题的基础。

2. 正方体的展开图正方体的展开图是指将三维正方体展开成二维平面图的过程。

在展开图中，需要考虑正方体各个面的相对位置和形状，以便正确地展开成平面图。

正方体的展开图在几何学中有着重要的应用，可以帮助研究正方体的各种性质和特点。

三、正方体的相关定理和公式1. 正方体的勾股定理正方体的勾股定理是指正方体的对角线和各个面的关系。

在正方体中，对角线的长度和各个面的边长之间存在着特定的关系，可以通过勾股定理来描述。

2. 正方体的立体角和平面角正方体的立体角是指正方体相邻面的夹角，可以通过欧拉公式来计算，即V-E+F=2。

小学数学正方体知识点总结

小学数学正方体知识点总结正方体是一种特殊的立体，它有六个面，每个面都是正方形，它有八个顶点和十二条棱。

在小学数学中，正方体是一个重要的立体图形，学生们需要了解正方体的性质、表面积和体积的计算方法等知识点。

正方体的性质：1. 正方体有六个面，每个面都是正方形，所以正方体的六个面都是一样的。

2. 正方体有八个顶点，每个顶点都是三条边的交点，所以正方体的八个顶点都是一样的。

3. 正方体有十二条棱，每条棱都是两个顶点的连线，所以正方体的十二条棱都是一样的。

这些性质是小学生们应该了解的基本知识，它们可以帮助学生们更好地理解正方体的结构和特点。

正方体的表面积的计算方法：表面积是正方体所有表面的总面积，计算方法如下：如果正方体的边长是a，那么它的表面积S=6a²。

这个公式可以帮助学生们快速计算正方体的表面积，他们只需要知道正方体的边长就可以了。

正方体的体积的计算方法：体积是正方体的三维空间大小，计算方法如下：如果正方体的边长是a，那么它的体积V=a³。

这个公式可以帮助学生们快速计算正方体的体积，他们只需要知道正方体的边长就可以了。

小学生应该掌握正方体表面积和体积的计算方法，这样他们就能更好地理解正方体的大小和空间占用情况。

小学生在学习正方体的时候，还可以通过立体图形的拼装、剪纸等活动来加深对正方体的理解，并且可以利用实物来进行观察和实验，从而帮助他们更好地学习和掌握正方体的知识。

总之，正方体是小学数学中一个重要的立体图形，学生们需要了解它的性质、表面积和体积的计算方法等知识点，通过多种形式的教学方法和实践活动，帮助学生更好地理解和掌握正方体的知识。

五年级生活中的长方体与正方体实践活动总结

2016～2017学年度第一学期生活中的长方体与正方体实践活动总结一、活动背景五年级的数学综合实践活动主要是围绕“学数学，用数学”的宗旨，让学生灵活运用所学的数学知识解决身边的实际问题，通过参与活动，让学生实现自我体验、培养动手操作和创新能力，让学生在“玩”中充分激发学习兴趣、感受数学的魅力。

五年级数学正好教完了长方体的表面积和体积这个单元的内容，学生初次接触到立体图形的表面积、体积与容积的知识，在理解、计算、应用等方面还不够熟练，也不能灵活的解决生活中的实践问题。

所以，我们五年级组的全体数学老师在进行了认真讨论，设计出这份实践作业，学生利用周末完成。

二.活动过程首先，我们向学生介绍了生活中与体积和容积相关的知识，让学生根据家用电器的说明书上列举的数据，计算它的体积和容积，认识到“容器的容积比体积小”这个知识。

接下来，让学生选择生活中身边的的几种长方体或者正方体形状的物体，小的如书本、文具盒，中等的如电器，大的如房间，先估计它们的体积或容积的大小，再实际测量计算。

这一环节，既锻炼了学生的动手实践能力，又帮助学生巩固了对体积单位的表象，从而对体积和容积有更全面的认识。

在整个活动中，孩子们不仅充分经历了用数学知识解决实际问题的过程，也进一步培养了小组合作能力，充分体现让每位学生都能够在操作中体验成功，让每位学生在游戏里收获快乐，让不同的学生在数学上得到不同的发展，收获满满，意犹未尽。

三．活动评价及延伸这次活动利用手抄报的形式进行展现，手抄报的最后进行评价，学生评价、评价、老师评价，立体全面地反应了学生在整个活动中的所悟、所得。

在评价过程中，注重学生参与实践的程度，交流的主动性，解决问题方法的新颖性，多种评价方式相结合，鼓励学生自我评价，互相评价，教师评价。

教师评价主要以引导、鼓励为主。

在评价过程中，充分体现数学实践活动的实践性、开放性、创造性、探究性、趣味性，让学生充分感悟到身边处处有数学，人人学习有价值从手抄报的情况可以看出孩子们在活动中收获的不仅仅是知识，还有书本上学不到的东西。

正方体空间重构小结

1正方体空间重构小结分析：A选项中我们看到的3个面显然是如下图所示的3个面。

根据下图可以分析知道，1和3的公共边（如下图黑色粗线所示）不是面3的蓝色三角形直角边，所以A项错误。

B选项中我们看到的3各面显然是如下图所示的2、5、4，翻转一下分析：容易判断，4和5的公共边如下图黑色线条所示，该公共边没有5中的蓝色图形任意顶点，显然B项不对，因为在B中4和5的公共边上有5中蓝色图形的顶点。

C选项：显然是下图中的3、5、6，首先分析各个面的公共边没有错误，然后采用时针法分析，下图中从3到5到6是逆时针方向。

而在C中，从3到5到6是顺时针方向，所以C 错误。

D选项是1、4、6面，先需要翻转下，如下图所示，翻转之后很容易判定，D项目正确，当然判定完A、B、C错误之后，D项就不用看了。

注意滚动的原则某个方向滚动一次只能滚动90°，且滚动之后，该正方形必须与其他正方形有公共边。

也可以两个有公共边的正方形整体滚动，滚动一次也只能滚动90°，且滚动后也必须与其他正方形有公共边。

还有一个原则时，翻转某个正方形不能让别的正方形成为准孤立正方形（即只有一个点与其他正方形连接）。

没显然经过两个上图所示两次滚动，使得平面展开图中正方形C，a，b相邻，也就可以判断出平面展开图中从C到a到b运动的运动方向是顺时针方向，如果要判断从a，到b到c的运动方向，那就可以再滚动一次，很容易判断出，从正方向a 到b到C运动的运动方向属于顺时针方向。

如下图所示：我们为什么定义这样的滚动规则呢？因为按照我们定义的滚动滚则对平面展开图中的正方形进行滚动，得到的新平面展开图与原先平面展开图折成的立方体所有点线面的关系完全相同。

且如果原先平面展开图某个点（线，正方形）对应立方体的点（线，面）P，那么滚动之后的这个点（线、正方形）仍然对应立方体中的点（线，面）P。

正方体与长方体结构分析总结

长方体和正方体特征的认识是本节课的主体内容，如何组织这部分内容的教学是首要思考的问题.广泛收集资料后，我发现教学思路主要有三种：第一种，先从实物入手，通过量一量、比一比等方式认识长方体面的特征；接着借助长方体框架，通过量或推理等方式认识棱的特征；最后认识顶点的特征.第二种，结合准备的长方体、正方体自主探索，然后汇报交流面、棱和顶点的特征，形成共识.第三种，结合用物体切、用长方形纸围、用小棒搭等动手操作，在汇报交流中逐步构建，不断完善对长方体特征的认识.其中，第一种方式是按照面、棱、顶点的顺序逐个展开的，后面两种面、棱、顶点的特征是同步进行的.我思考，空间建构是由点到线，由线到面，由面到体的.面和棱的特征是教学的重点和难点，为何一定是先研究面后研究棱，而不先研究棱后研究面呢？Know cuboids and cubes feature is the main content of this lesson, how to organize this part of the contents of the teaching is the primary consideration. Extensive collection of data, I found that the teaching ideas are mainly three: first, from the real start, by the quantity, ratio of a decent understanding. Characteristics; then by means of a cuboid frame, understanding of edge features by weight or inference; finally know vertex characteristics. Second, combining cuboids and cubes for autonomous exploration, and report on the AC surface, vertex and edge features, form consensus. Third, combined with the object, using rectangle of paper around the cut and with a stick up as hands-on, established in on the exchange, and constantly improve the understanding of the cuboid characteristics. Among them, the first way is according to the order of each face, edge and vertex, features behind the two faces, edges, vertices are synchronized . I think, space construction is composed of the point to line, from line to surface, from the surface to the body . The characteristics of surface and edge is emphasis and difficulty of teaching, why is the study of edge of surface, study the surface without first study on edge after that?长方体的“面”与“顶点”特征的认识对高年级学生来说并不困难，因为这两者在长方体中相对于棱而言属于强刺激，而且学生在第一学段中已经学过.长方体特征的认知难点在于棱的特征的认识，如果让学生根据现成的长方体物体总结棱的特征有相当一部分学生是存在困难的.因而，本节课力图突破面、棱、顶点特征同时展开的传统设计，引导学生先发现棱的特征，然后由棱及面，发现面的特征，体现由“线—面—体”螺旋上升的认识，这样也有助于学生建构对长方体、正方体的整体认知.Understanding of cuboid " face " and " vertex " feature is not difficult for senior students, because both relative to the cuboid edge belongs to the strong stimulation, and the students in the first phase has been studied. The cognitive difficulty of cuboid feature lies in the understanding of edge features, if let the students according to the characteristics of cuboid object ready-made summary edges and a considerable part of the students is difficult. Therefore, the traditional design of this lesson to sudden broken edge, vertex characteristics, at the same time, lead the students to find edge features, and/ / /then by the edge and surface features, found, embodies cognition by " line, surface and body " spiral, it also helps students to construct an overall understanding of the cuboid, cube.在认识长方体棱的特征时，我创设了一个操作活动：选择合适的小棒去搭建长方体框架，让学生在做中观察、做中探索、做中发现.在面的特征的处理上，有了对棱认识的基础，在学生能力允许的范围内，我设计了根据长、宽、高想象长方体的面这样一个表象操作活动，引导学生展开观察、想象、推理，从而寻找到长方体的6个面，继而观察这6个面，理性地思考总结长方体面的特征.这样的设计体现了思维的层次性，由直观走向抽象，由实物操作过渡到表象操作，从直观体验上升到理性分析./In understanding the character of rectangular edge, I created a operating activities : choosing the right stick to build a cuboid frame, let the students in observation, exploration, do do that. In the processing of surface features, based on the understanding of the students' ability of edge, in allowable range inside, I designed according to the long, wide, high imagination cuboid face such a representation of operating activities, guide the students to begin observation, imagination, reasoning, in order to find out the 6 surface cuboid, and then observe the 6 surfaces, the rational thinking of summarizing rectangular decent features. This design reflects the level of thinking, by intuition to abstract, operated by the physical operation transition to appearance, from direct experience up to rational analysis./区别于认识一般长方体，面的特征是通过逐个配面再观察发现的，认识有两个面是正方形的特殊长方体时，让学生通过动态演示，结合直观图直接观察发现，思维的层次性和跨度又更进一步.有了对长方体研究的基础，正方体的研究放手让学生自主探究，从中也领悟到研究立体图形的一般方法./From the understanding of the general cuboid, surface is characterized by surface collocation again observed, understanding has two surface is special cuboid square, lets the student through the dynamic demonstration, direct observation with maps, thinking level and span further . With the study of cuboid, the cube of lets students explore independently, also from realizing that the general method of the three-dimensional graphics.。

北师大版小学数学六年级上册《从不同方向观察5个小正方体搭成的立体图形》知识点讲解总结练习解析

从不同方向观察5个小正方体搭成的立体图形知识精讲1.从不同方向观察5个小正方体搭成的立体图形，在方格纸上画出从它的正面、上面、左面看到的形状从不同的面观察正方体组成的立体图形，关键是想象自己站在立体图形的正面的情况下，从正面看，只看正面的平面图；从上面看，只看上面的平面图；从左面看，只看左面的图。

如果只看其中的一个面，看到的一定是正方形组成的平面图。

2.采取分层，分列等方法，能准确地观察到每一个面看到的图形（1）从正面观察立体图形立体图形从正面看到的平面图形方法与技巧：方法一：分层看。

从正面看，第一层只能看到3个正方形；第二层中间有1个正方体，可以看到1个正方形。

方法二：分列看。

从正面看，共有3列，左边一列，有1个正方体，可以看到1个正方形；中间列有3个正方体，但只能看到2个正方形；右边一列有1个正方体，所以从正面可以看到1个正方形。

（2）从左面观察立体图形从左面看到的平面图形方法与技巧：方法一：分层看。

从左面看，第一层能看到2个正方形；第二层在左上方可以看到1个正方形。

方法二：分列看。

从左面看，共2列。

左边一列，可以看到2个正方形；右边一列可以看到1个正方形。

（3）从上面观察图形立体图形从上面看到的平面图形方法与技巧：方法一：分层看。

第一层中间有1个正方体，可以看到1个正方形；第二层可以看到3个正方形。

方法二：分列看。

从上面看，左边一列，可以看到1个正方形；中间列可以看到2个正方形；右边一列可以看到2个正方形。

3.根据从不同方向观察到的图形，分层还原立体图形从正面、左面、上面观察到的平面图形还原立体图形？从正面看到的平面图形从左面看到的平面图形从上面看到的平面图形方法与技巧：根据从上面观察到的平面图形可以推断出立体图形的第一层有4个正方体，而且是2行2列排列；根据从正面和从左面看到的平面图形，可以推断第二层有1个正方体，且在在左面这一列的后排上。

所以该立体图形如下：典型例题例分别找出立体图形从正面、左面和上面观察到的图形。