大学物理第2章动量和角动量(2)

大小：mv
2.冲量 （力的作用对时间的积累，矢量）
t1
dI Fdt
t2 方向：速度变化的方向 I Fdt m(v2 v1 )
3、动量定理：（将力的作用过程与效果〔动量变化〕 联系在一起）
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。 这个结论称为动量定理。 3
dP F dt
Fdt dp
p2 p1

t2
t1
F dt
dp p2 p1
I F dt ＝
t1
t2
F为恒力时，可以得出I＝F t F作用时间很短时，可用力的平均值来代替。
I Fdt P
I F t P
解 对M与m组成的系统Hale Waihona Puke Baidu由于
水平方向受外力为零，故水平方 向动量守恒。设M与m相对地面 的速度分别是v和v，m相对于M 的速度为v`,则 b m

V
vx=v`x - vx
(2)
o a
图

21
由相对运动公式有
mvx - Mvx=0
(1)
M
x
将(2)式代入(1)式得： (M+m)vx= mv`x 设m的下边缘滑到水平面需用的时间为t ， 将上式两边对时间积分，有: V o
F1 fji f ij
fjn mn fni
图
Fi
式中j =1,2,…..。对所有 质点求和， 就得: t ( fij + Fi)dt = mivi- mvio i i i t i j ( i j )

fin
mi
根据牛顿第三定律，内力之和
fij= 0，
i j ( i j )
于是
(１)
dm: F dt dmv dmv0
平均冲力 : F 40(v v0 )
（1）单位矢量法
9
dm qm 40, dt
h
v0
A
v
建立直角坐标系(如图)， 于是dm受到的平均冲力:
Y
F=40(v- v0)=40(3i+4j )
大小:|F|=200N,方向与X轴正 方向成53.1o 。 根据牛顿第三定律，煤粉对 传送带A的平均作用力与此力 大小相等而方向相反。 (2)三角形法
m
0
M
Mv t ( M m) g
17
(2)物体m的加速度a= -mg/m=-g。设车长至少为S，则 由v2-v02=2aS得 S= (v2-v02)/2a= M(M+2m)v02/(2g(M+m)2) 这个结果对吗？ 这个结果显然是错误的。因为用牛顿定律求出的加速度a是相对 惯性系–地面的，而速度v、v0也是相对地面的，故由公式 v2-v02=2aS求出的S当然也应是物体相对地面的运动距离，而不是 相对非惯性系(车顶)的运动距离。
h
v0
A
v
X
v

画出的 矢量
v v v0三角形如右图所示，
v0
v
由图可求得煤粉对传送带A的平均作用力的大小:
F 40(v v0 ) 40 5 200 N
方向与图中v的方向相反, =53.1o。
10
例题4一质量均匀分布的柔软的细绳铅直地悬挂着，绳的下端 刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落向桌面。试 证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已 落到桌面上的绳重量的三倍。 证 设绳的线密度为。任意时刻t (下落h 时)，绳的速度 为 v 2 gh ；此时落在桌面上绳的质量为m=h, m受三个 个力的作用：重力mg、桌面的支持力N、 落下绳的冲力F。由右下图可知： N=mg+F F 取时间t~t+dt内落下的绳dm=.vdt为 dm 研究对象，由动量定理得 所以 F= .2gh =2mg 最后得: N=mg+F=3.mg (即压力是重量的三倍)。
o o v2 v(cos 60 i cos 30 j )
m F (v2 v1 ) t
v2
v1
代入式(1)就得
y
30o
v2
o 3mv x m o 2v cos 30 j j 30o t t v1 3mv 大小: F ,方向: j (y轴正方向)。 例图 t
16
例题5 如图所示，一辆质量为M的平顶小车静止在光滑 的水平轨道上，今有一质量为m 的小物体以水平速度v0滑 向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为，求:(1)从物体 滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？(2)要物体不滑下车 顶，车长至少应为多少？ 解 (M+m):水平方向不受外力，故动 量守恒： mv0=(M+m)v 式中v是相对静止时的速度。 (1)对物体m应用动量定理，有 - mg.t=mv-mv0 解得

t
t0
( Fi )dt mi vi mi vi 0
i i i
这就是质点系的动量定理,它表明系统所受的合外力的冲 量等于系统总动量的增量。
13
三¸ 动量守恒定律
如果质点系所受的合外力为零,即 Fi=0,则可得 i mivi =常矢量 (2)
i
这就是说,当质点系所受的合外力为零时,这一质点系的总动 量矢量就保持不变。这一结论叫做动量守恒定律.
Mv0=mvcos
(3)
L
N v
解式(1)、(3)就得炮弹的初速
M v 2 gL sin m cos
v0
Mg

20
例题7 光滑水平地面上放有一质量为M的三棱柱体(倾角为)， 其上又放一质量为m的小三棱柱体。它们的横截面都是直角三角 形，M的水平直角边的边长为a ，m的水平直角边的边长为b 。两 者的接触面亦为光滑。设它们由静止开始滑动，求当m的下边缘 滑到水平面时，M在水平面上移动的距离。
正确解法是先求出小物体m 相对地面 运动的距离 S1= (v2-v02)/2a， a= -g 再求出小车M相对地面前进的距离
m
m
S2
M
v v0 2a0 s2 , v0 0
2 2
S2=v2/2a0，a0=mg/M 车的最小L=S1-S2=M v02/[2g(M+m)]
S1
18
例题6 有一门质量为M(含炮弹)的大炮,在一固定的斜面上 无摩擦地由静止开始下滑。当滑下L距离时，从炮内沿水平 方向射出一发质量为m的炮弹。欲使炮车在发射炮弹后的瞬 间停止滑动，炮弹的初速应是多少？（设斜面倾角为）
几点说明: (1)系统动量定理和动量守恒定律 告诉我们，一个系统总 动量(矢量和)的改变完全由合外力来确定，与内力无关。内 力能引起动量在系统内的物体间传递，而不能改变系统的动 量的矢量和。
14
(2)系统动量守恒的条件是合外力为零,即 系统不受外力 Fi=0 系统受外力，但矢量和为零 i 内力» 外力(如爆炸 、短时间内的碰撞） (3) 动量守恒表示式 是矢量关系式。在实际问题中,常应 用其沿坐标轴的分量式:
4
注意：动量为状态量，冲量为过程量。 动量定理可写成分量式，即：
I x Fx dt mv2 x mv1x
t1
t2
I y mv2 y mv1 y I z mv2 z mv1z
Fx Fy , Fz
为X,Y,Z方向合外力的分量
5
学习要求：要学会计算变力的冲量，掌握在一个平面内应 用动量定理求解力学问题的方法。 例 1 一物体质量m=2kg, 受合外力F=(3+2t)i (SI)的作用，初 速度 v0=5j(m/s)；求第1秒末物体的速度。 解 由动量定理：
N
F.dt=dm.v = .v2dt
.v2=
m
mg
m
F
11
二¸ 质点系动量定理
质点系(系统)—作为研究对象 (它是质点的集合）。 内力—系统内各质点间的相互作用力。 外力—系统以外的物体对系统内质点的作用力。 处理质点系问题的思路是：把质点动量定理应用于质点系 中的每一个质点,然后将这些方程相加，就得到用于整个系统 的动量定理。 设系统有n个物体,如图所示。 Fj mj fnj fji f ij
8
例3 如图所示，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高 h=0.8m处，煤粉自料斗口自由落在传送带A上。设料斗口连 续卸煤的流量为qm=40kg/s, 传送带A以v =3m/s的水平速度匀 速向右运动。求卸煤的过程中，煤粉对传送带A的平均作用 力的大小和方向。（不计相对传送带静止的煤粉质量，取 g=10m/s2） 解 煤粉下落h时的速度 v0 2 gh 4m / s 。 取在时 间dt内落下的煤粉dm=qmdt为研究对象,应用动量理,有
m 30o 30o
v2
v1
6
m:
I Ft mv2 mv1
m F (v2 v1 ) t
m 30o 30o
平均冲击力
v2
这里|v1 | = |v2 | =v 。 （1）三角形法
v1
v2
30o
求解(v2-v 1 )的方法有两个： 画出v=v2-v1的 矢量三角形，再解 此三角形; 由图可求得 |v| = |v2-v1 |=2vcos300= 3 v

F
i ix
iy
t
t0
( Fi )dt mi vi mi vi 0
i
0
0
F
i
m v m v
i
i
i
i ix
常量
i iy
常量
常量
F
i
iz
0
m v
i
i
i iz
由此可见,如果质点系沿某坐标方向所受的合外力为零,则 沿此坐标方向的总动量守恒。 15 (4) 动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系。
动 量 和 角 动 量
第 ２ 章
1
本章对应新书p76——88 即下面：
2.2
力对物体的时间积累效应—— 动量守恒定律
2
1.动量
§2-2 动量定理 动量守恒定律 d (mv ) 一¸ 质点动量定理 F dt
(mv )（描述质点运动状态，矢量) P mv 单位：kgm/s ＝
方向：速度的方向
2.2.3
动量定理与动量守恒定律的应用
1.可运用动量定理求解的问题特征 不考虑中间过程或中间过程很繁杂，而物体系状态量易 求，或由物体系的状态量就可以求解的问题。 2.动量定理应用的常用近似方法 A.平均冲力：由于碰撞问题中作用力的时间一般很短暂，因 而，在没有特别注明情况下，一般将碰撞过程中随时间变化 的冲力视为平均力，即平均冲力。 B.忽略较小外力。一般情况下，冲力的大小比物体的重力、摩 擦力等外力大一到二个数量级，因而，它们常可被忽略。
b
m

M a

22
( M m) Vx dt m v dt x
0 0
t
t
x
显然，
于是平均冲力的大小为
v
o
30o
v1
3mv m |F| = |(v2-v 1 )|= t t F(即v )的方向与轨道成300(竖直向上),如图所示。 7
（2）单位矢量法 建立直角坐标系(如图)，把 每个矢量用单位矢量表示出来:
m 30o 30o
o o v1 v(cos 60 i cos 30 j )
解 设炮车下滑L时的速度为v0, 由机械能守恒定律，有
1 Mv 2 MgLsin = 0 2
(1)
L v
以炮车、炮弹为系统, 在L处 发射炮弹的过程中，由于内力 很大，外力可忽略，水平方向 动量守恒: Mv0cos =mv (2)
图
v0

19
解式(1)、(2)就得炮弹初速v。 你认为上面的解法有问题吗？ 事实上，式(2)是完全错误的。 炮车在发射炮弹的过程 中，受两个力的作用：重力Mg和斜面对炮车的支持力N(它 的方向垂直于斜面)；虽然内力很大,重力Mg可以忽略，但 斜面对炮车的支持力N与内力是同数量级的，不可忽略，所 以水平方向的动量根本不守恒。但N在斜面方向没有分量， 所以我们只能沿斜面方向应用 动量守恒定律:
dt 0 (3 2t )i mv mv0 4i mv mv0
1
完成积分得：v =2i +5j(m/s)。
例2 质量为m的质点，经时间t、以 不变的速率v 越过一水平光滑轨道60º 的弯 角，求轨道作用于质点的平均冲力的大小。
解 平均冲力可视为恒力， 由动量定理有
Fi
用f12,f21,…,fij…等表示系统内物体 间相互作用的内力;用F1,F2,…Fn分
别表示系统外的物体对系统内物 体作用的外力。 对第i个质点应用动量定理：
fjn
mn fni
图
fin
mi
Fn
12
mi:

t
t j ( i j )
( fij+Fi)dt = mivi-mivio
mj fnj Fn