例谈均值不等式的运用条件和技巧

例谈均值不等式的运用条件和技巧

运用均值不等式“121212,,

,,n

n n n a a a a a a R a a a n

+++

+∈≥若则

当且仅当

n a a a === 21(2)n n N ≥∈且时等号成立”求最值是中学数学求最值的基本方法之一，

许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值.且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧.

一、重视运用过程中的三个条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。

（1） 注意“正数”

例1、求函数1

y x x

=+

的值域 .

误解：

12x x +

≥=（当且仅当1x =时取等号），所以值域为[)2,+∞. 这里错误在于使用均值定理ab b a 2≥+时忽略了条件：+

∈R b a ,

正确解法：1()0,2(1)a x x x x >+

≥==当时仅当时取等号；

11

()0,0()()2(1)2

b x x x x x x x

<->-+-≥==-∴+≤-当时而仅当时取等号所以函数的值域是{}

22y y y ≤-≥或. （2） 注意“相等”

例2、设+

∈R x ，求函数2

1

3x x y +

=的最小值. 误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有

3min 3322232312312,=∴=⋅⋅≥+

+=∈+y x

x x x x x y R x . 这里的错误是没有考虑等号成立的条件.显然要2

1

2x x x =

=，这样的x 不存在，故导致错误.此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数.

正确解法：时取等号）23322123(182312323312323x

x x x x x x x y ==⋅⋅≥++=

. 所以2

183,3183min 3

==y x . 例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2

2

2

2

.

误解：2222222219

,()(1)2222

a x

b y ax by ax by a b x y ++≤≤∴+≤+++=

所以by ax +的最大值为

2

9

. 这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ==,；由条件知这是不可能的，所以不可能

取到上述的最大值.

正确解法：

222222222

2,()()

()a x b y axby a b x y ax by +≥∴++≥+仅当ax by

=时取等，所以22

2236ax by ax by a b x y =⎧⎪+≤=+=⎨⎪+=⎩

时取等号.

如取23)(,3,2

6

max =+===

=by ax y x b a （3）注意“定值”

例4、已知的最大值求y x R y x y x 2

,,,12+

∈=+.

误解：12),(27

)2()3(

3

32

=+=+=++≤y x y x y x y x x y x 又时取等当， 27

1

,312≤

==∴y x y x 时. 以上过程只能说明当271312==

=y x y x 时.但没有任何理由说明,27

12

≤y x 这种似是

而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果.

正确解法：

27

2

)322(41)34(41441,,332=

+⨯=++≤⋅⋅⋅=

∴∈+y x y x x y x x y x R y x ， 所以仅当24212,,,21

3627x y x y x y x y =⎧==∴⎨

+=⎩即时取等号最大值为.

二、常用的处理方法和技巧

（1） 拆项：为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆为多项之积，

从而达到凑积或和为定值的目的。为了使等号成立，常遵循“平均分拆”的原则. 例5、求函数)0(3

22

>+=x x

x y 的最小值. 解： x

x x y 23

2322

++

=时取等号）

x x x x x 2

32(36232323232332==⋅⋅≥，

所以仅当min x y =

=.

（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆

x

3

为相同两项，同时使得含变量的因子x 的次数和为零）

（2） 裂项：常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大

或相等时用此方法。 例6、设1->x ，求函数1

)

2)(5(+++=

x x x y 的最小值

.

[(1)4][(1)1]

14

15

1

4

59(11

x x y x x x x x ++++=

+=++++≥=+=+解：取等号）

所以仅当9,1min ==y x 时.

（先尽可能的让分子变量项和分母相同，然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定

值。即使得含变量的因子1+x 的次数和为零，同时取到等号） （3） 添项：求和的最小值时，为了使积为定值，需添加某个项. 例7、求函数2

2

216

3x x y ++

=的最小值.

2222

163(2)66216

3(2)2y x x x x =++

-≥=++=+解：当且仅当取等号

所以当638,233

4

min -=-±

=y x （求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子2

2x +的次数和为零，同时取到等号）. 例8、若y x y

x y x +=+>>则且

,19

1,0,0.的最小值. 解：

1999()()191016(y x y x

x y x y x y x y x y

+=++=+++≥+==时取等号）