2.4隐函数微分法

高等数学AⅠ

吉林大学数学学院 金今姬

第二章多元函数的微分学及其应用

一、偏导数

二、全微分

三、复合函数的微分法

四、隐函数微分法

五、方向导数与梯度

六、多元微分学的几何应用

七、多元函数的Taylor公式与极值问题

§4隐函数微分法

4.1 由方程式确定的隐函数的微分法4.2 由方程组确定的隐函数的微分法4.3 Jacobi行列式的性质

本节讨论 :

1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .

例如, 方程0

122=−+y x 除了(-1,0),(1,0)外, 能确定隐函数;

在(-1,0),(1,0)的任何邻域内,y 都有两个值2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .所以不能确定隐函数;

2

1x y −±=

4.1 由方程式确定的隐函数的微分法

定理4.1 设函数),(00y x P ),(y x F ;0),(00=y x F 则(1)方程00),(x y x F 在点=单值连续函数 y = f (x ) ,,

)(00x f y =(2)函数y = f (x )在点x 0的某邻域内具有连续的偏导数，

y

x F F x y −=d d (隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：

① 具有连续的偏导数;

的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足

),(00≠y x F y ②满足并且()[],0,≡x f x F

))(,(≡x f x F 两边对 x 求导

0d d ≡∂∂+∂∂x

y y F x F y

x F F x y −=d d 0

≠y F ,0),()(所确定的隐函数为方程设==y x F x f y 在),(00y x 的某邻域内则

在定理条件中0),(00≠y x F y 是重要的，

由此条件及F y 的连续性，使在点P 0的某邻域U(P 0)内有0),(00≠y x F y 这样，对该邻域内固定的x ，按满足F (x,y )=0为对应法则,必对应唯一的y 值，从而保证了隐函数的存在性.

从而在该邻域内对固定的x ，F (x,y )关于y 是严格单调的.

若F ( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,=22d d x

y 2y

x

x y y x x F F F F F −−=3222y

x

y y y x y x y x x F F F F F F F F +−−=y

x F F −)(y x F F y −∂∂+)(2y

x y x y y y y x F F F F F F F −−−二阶导数 :)(y x F F x −∂∂x y

x x y d d 则还有

隐函数存在定理可推广到三元以及三元以上 方程的情形:定理4.2 设函数),,(000z y x P ),,(z y x F ;0),,(000=z y x F 则(1)方程P z y x F 在点0),,(=单值连续函数z= f (x,y ) ,,

),(000z y x f =(2)函数y = f (x )在点P 的某邻域内具有连续的偏导数，,z x F F x z −=∂∂① 具有连续的偏导数;

的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足

),,(000≠z y x F z ②满足并且.z

y F F y z −=∂∂

)),(,,(≡y x f y x F 两边对 x 求偏导

x F z

x F F x z −=∂∂z y F F y z −=∂∂同样可得,0),,(),(所确定的隐函数是方程设==z y x F y x f z 则

z F +x

z ∂∂0≡0

),,(000≠z F z y x 的某邻域内在

例4.1 验证方程12

2=+y x 在点(0,1)的某邻域内

可确定一个单值可导隐函数,)(x f y =解: 令,1),(2

2

−+=y x y x F ,0)1,0(=F ,2x F x =连续 ,由隐函数存在定理知,2)1,0(=y F 0

≠①,)(x f y =一个隐函数 则

y F y 2=②在(0,1) 的某邻域内方程能确定

且并求()().,'

''x f x f ()y x F F x f −='

y x −=()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=y x dx d x f ''2'y xy y −=2y

y x x y ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛−−=322y x y +−=31y −=

)

(,12

2x y y y x ==+两边对 x 求导

两边再对 x 求导

导数的另一求法— 利用隐函数求导

22'

=+yy x 0

222'

'2

'=++yy y y

x y −

='

y y y 2

''

'1+−=y

y x y 2

'

'1⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛−+−=3

2

2y x y +−=31y −=

例4.2 设,042

2

2

=−++z z y x 解1: 令,4),,(2

22z z y x z y x F −++=当

求.

22

x

z

∂∂042),,(≠−=z z y x F z 时，z x F F x z −=∂∂422−−=z x ,2z

x −=22

x z ∂∂⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛−∂∂=z x x 2()()222z x z

x z −∂∂+−=()()

.223

2

2z x z −+−=