6-1一元一次方程的概念及解法
3.2 一元一次方程及其解法(第1课时一元一次方程)(课件)六年级数学上册(沪教版2024)
可以发现，平衡的天平两边物体的质量分别
变为了原来的一半，天平也保持平衡.
新知探究
等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立.
如果 = ，那么 = ; 如果 = , 那么 = ≠ 0 .
求方程的解的过程叫作解方程
只含有一个未知数，且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程
一元一次方程的形式为 + = 0 ≠ 0 .
课本例题
例1 判断下列方程是不是一元一次方程，如果不是，请说明理由：
1 4 − 36 = 0;
2 − 2 = 56;
3 4 2 − 9 = 2 − 7;
等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立.
如果 = ，那么 = ; 如果 = , 那么 = ≠ 0 .
求方程的解的过程叫作解方程
只含有一个未知数，且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程
一元一次方程的形式为 + = 0 ≠ 0 .
9 − − 9 = 5 − 9.
合并同类项，得 − = −4.
根据等式性质2，在等式两边同除以 − 1, 得
− ÷ −1 = −4 ÷ −1
解得
= 4.
所以，原方程的解是 = 4.
分层练习-基础
1．下列方程的变形正确的是( A )
A．3x－6＝0，变形为 3x＝6
B．x＋5＝3－3x，变形为 4x＝2
(1)8＋x＝－7；
解：两边减8得x＝－15；
1
(2)－ x＝16；
2
解：两边乘以－2得x＝－32；
人教版同步教参七年级数学-一元一次方程：一元一次方程的相关概念
一元一次方程第1节 一元一次方程的基本概念【知识梳理】1.方程的相关概念（1）方程：含有未知数的等式叫做方程．（2）方程的已知数和未知数．已知数：一般是具体的数值，如50x +=中（x 的系数是1，是已知数．但可以不说）．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上用a b c m n 、、、、等表示．未知数：是指要求的数，未知数通常用x y z 、、等字母表示，如：关于x y 、的方程2ax by c -=中，2a b c -、、是已知数，,x y 是未知数．（3）方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．（4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程．（5）方程解的检验要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．2.一元一次方程的定义(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程．(2)一元一次方程的形式标准形式：0ax b +=（其中0,,a a b ≠是已知数）．最简形式：ax b =（其中0,,a a b ≠是已知数）．注：一元一次方程的判断标准（首先化简为标准形式或最简形式） ①只含有一个未知数（系数不为零）．②未知数的最高次数是1．③方程是整式方程．3.等式的概念和性质(1)等式的概念：用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式．(2)等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式．若a b =，则.a m b m ±=±．等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数或同一个式子（除数不能是O ），所得结果仍是等式．若a b =，则,(0)a b am bm m m m==≠ (3)等式的其他性质①对称性：若a b =，则b a =，②传递性：若,a b b c ==，则a c =． 【诊断自测】1、下列叙述中，正确的是（ ）A ．方程是含有未知数的式子B ．方程是等式C ．只有含有字母x ，y 的等式才叫方程D ．带等号和字母的式子叫方程2、下列说法中，正确的是（ ）A ．代数式是方程B ．方程是代数式C ．等式是方程D ．方程是等式3、下列各式不是方程的是（ ）A ．3x 2+4=5B ．m+2n=0C ．x=﹣3D ．4y ＞3 4、下列各式中：①x=0；②2x＞3；③x 2+x ﹣2=0；④+2=0；⑤3x﹣2；⑥x=x﹣1；⑦x﹣y=0；⑧xy=4，是方程的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【考点突破】类型一：方程的概念例1、下列式子中，是方程的是（ ）A ．x ﹣1≠0B ．3x ﹣2C ．2+3=5D ．3x=6答案：D解析：A、是不等式，故A错误；B、是多项式，故B错误；C、不含未知数的等式，故C错误；D、含有未知数的等式叫方程，故D正确；故选：D．例2、在①2x+1；②1+7=15﹣8+1；③；④x+2y=3中，方程共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：（1）2x+1，含未知数但不是等式，所以不是方程．（2）1+7=15﹣8+1，是等式但不含未知数，所以不是方程．（3），是含有未知数的等式，所以是方程．（4）x+2y=3，是含有未知数的等式，所以是方程．故有所有式子中有2个是方程．故选B．例3、下列判断正确的是（）A．方程是等式，等式就是方程 B．方程是含有未知数的等式C．方程的解就是方程的根 D．方程2x=3x没解答案：B解析：含未知数的等式叫方程，故A错误，B正确；一元方程的解就是方程的根，但是多原方程的解不能叫作方程的根，故C错误；方程2x=3x的解为x=0，故D错误．故选：B．例4、已知下列式子：①6x﹣3=8；②6﹣2=4；③x+y；④；⑤3x﹣4y；⑥；⑦x=3；⑧x+2＞3，其中方程的个数是（）A．4 B．6 C．7 D．8答案：A解析：①6x﹣3=8符合方程的定义，故本小题正确；②6﹣2=4不含有未知数，故本小题错误；③x+y不是等式，故本小题错误；④符合方程的定义，故本小题正确；⑤3x﹣4y不是等式，故本小题错误；⑥符合方程的定义，故本小题正确；⑦x=3符合方程的定义，故本小题正确；⑧x+2＞3不是等式，故本小题错误．所以①④⑥⑦是方程．故选A．例5、下列四个式子中，是方程的是（）A．π+1=1+πB．|1﹣2|=1 C．2x﹣3 D．x=0答案：D解析： A、π是常数，不是未知数，所以π+1=1+π不是方程．B、|1﹣2|=1不含未知数，不是方程．C、2x﹣3不是等式，不是方程．D、x=0是含有未知数的等式，是方程．故选D．类型二：方程的解例6、方程2x+a﹣4=0的解是x=﹣2，则a等于（）A．﹣8 B．0 C．2 D．8答案：D解析：把x=﹣2代入方程2x+a﹣4=0，得到：﹣4+a﹣4=0解得a=8．故选D．例7、已知x=2是关于x的方程3x+a=0的一个解，则a的值是（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5答案：A解析：把x=2代入方程得：6+a=0，解得：a=﹣6．故选：A ．例8、下列方程的根是x=0的是（ ）A ．=0B ．=1C ．﹣5x=0D ．2（x ﹣1）=0答案：C解析：A 、=≠0，故A 错误；B 、0不能作除数，故B 错误；C 、﹣5x=﹣5×0=0，故C 正确；D 、2（x ﹣1）=2（0﹣1）≠0，故D 错误；故选：C ．例9、已知关于x 的方程3x+2a=2的解是a ﹣1，则a 的值是（ ）A ．1B ．C ．D ．﹣1答案：A解析：根据题意得：3（a ﹣1）+2a=2，解得a=1故选：A ．例10、下列方程的解是x=2的方程是（ ）A ．4x+8=0B ．﹣x+=0C ．x=2D ．1﹣3x=5答案：B解析：把x=2代入各方程验证可得出x=2是方程﹣x+=0的解．故选：B ．例11、已知x=1是方程x+2a=﹣1的解，那么a 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2答案：A解析：把x=1代入方程，得：1+2a=﹣1，解得：a=﹣1．故选A ．例12、已知是方程09432=+-my x 的一个解，那么m 等于（ ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣ 答案：B解析：把已知代入方程09432=+-my x 可得：12﹣12m+9=0，解得m=，故选B ．类型三：等式的性质例13、已知方程x ﹣2y+3=8，则整式x ﹣2y 的值为（ ）A ．5B ．10C ．12D ．15答案：A解析：由x ﹣2y+3=8得：x ﹣2y=8﹣3=5，故选A例14、下列说法正确的是（ ）A ．如果ac=bc ，那么a=bB ．如果，那么a=bC ．如果a=b ，那么D ．如果，那么x=﹣2y答案：B解析：A 、根据等式性质2，需加条件c ≠0；B 、根据等式性质2，两边都乘以c ，即可得到a=b ；C 、根据等式性质2，当c ≠0时成立； D 、根据等式性质2，两边都乘以﹣3，应得到x=﹣18y ；故选B ． 例15、下列各式说法错误的是（ ）A ．如果x=y ，那么﹣3ax=﹣3ayB ．如果=，那么x=yC ．如果ac=bc ，那么a=bD ．如果a=b ，那么-a=-b答案：C.解析：A 、如果x=y ，﹣3ax=﹣3ay ，故A 正确；B 、如果，那么x=y ，故B 正确C 、如果ac=bc （c ≠0），那么a=b ，故C 错误；D 、如果a=b ，那么-a=-b ，故D 正确；故选：C ．例16、如果a=b ，那么下列结论中不一定成立的是（ ）A ．=1B ．a ﹣b=0C ．2a=a+bD ．ab a =2答案：A.解析： A 、b=0时，两边除以0无意义，故A 错误；B 、两边都减b ，故B 正确；C 、两边都加a ，故C 正确；D 、两边都乘以a ，故D 正确；故选：A ．例17、已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）A ．3a ﹣5=2bB ．3a+1=2b+6C ．3ac=2bc+5D ．a= 答案：C解析：A 、根据等式的性质1可知：等式的两边同时减去5，得3a ﹣5=2b ；B 、根据等式性质1，等式的两边同时加上1，得3a+1=2b+6；D 、根据等式的性质2：等式的两边同时除以3，得a=； C 、当c=0时，3ac=2bc+5不成立，故C 错．故选：C ． 类型四：一元一次方程的定义例18、若方程22(1)20m x mx x ---+=是关于x 的一元一次方程，则代数式|m ﹣1|的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．﹣2 答案：A解析：由已知方程，得∵方程22(1)20m x mx x ---+=是关于x 的一元一次方程，∴且﹣m ﹣1≠0，解得，m=1，则|m ﹣1|=0．故选：A ．例19、若关于x 的方程03)2(2=+--m x m 是一元一次方程，则m 的值是（ ）A ．±3B ．3C ．﹣3D ．都不对答案：A 解：∵方程03)2(2=+--m x m 是一元一次方程，∴|m|﹣2=1，且m ﹣2≠0，解得m=±3，故选：A ．例20、若方程075)12(52--++-b x x a 是一元一次方程，则方程ax+b=1的解是（）A ．x=6B ．x=﹣6C ．x=﹣8D ．x=8答案：A 解析：∵方程03)2(2=+--m x m 是一元一次方程，∴2a+1=0，b ﹣3=1，解得：a=﹣，b=4，代入方程ax+b=1得：﹣x+4=1，解得：x=6，故选：A ．例21、若6)2(32=--m x m 是一元一次方程，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数答案：A 02)1()1(22=++--x m x m 012=-m解析：根据一元一次方程的特点可得， 解得m=1．故选A ．例22、已知18)3(2=--m xm 是关于x 的一元一次方程，则（ ） A ．m=2 B ．m=﹣3C ．m=±3D ．m=1 答案：B 解析：已知18)3(2=--m xm 是关于的一元一次方程，则|m|﹣2=1，解得：m=±3，又∵系数不为0，∴m ≠3，则m=﹣3．故选B ． 【易错精选】1、在下列方程中①122=+x x ，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 2、下列方程=x ，=2，x 2﹣3x=1，x+y=2是一元一次方程的有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3D ．4 3、已知关于x 的方程04222=-+-b xax 是一元一次方程，则b a x +的值为（ ） A ．2 B ．﹣4 C ．6 D ．8【精华提炼】1、等式（1）用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．（2）在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．（3）等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则.2、方程方程：含有未知数的等式叫方程，如21x +=，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数3、方程的解方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。
第08讲一元一次方程的概念与解法(8大考点)(解析版)
第08讲（4大考点7种解题方法）一、方程和一元一次方程的概念1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 二、方程的解与解方程1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值解方程：求方程的解的过程三、等式的性质1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。
即：c b c a ±=±=，则若b a （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。
即：⎩⎨⎧≠÷=÷⨯=⨯=0c c b c a c b c a b a ，，则若（此处字母可表示数字，也可表示式子） 例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x ÷5=-5÷5 x=-13）其他性质：①对称性：若a=b ，则b=a ；②传递性：若a=b ，b=c ，则a=c 。
四、合并同类项解一元一次方程（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程方法：1）合并同类项；2）系数化为1五、移项解一元一次方程（1）移项例：2x-3=4x-72x-3+3=4x-7+3（利用等式的性质） （左边的﹣3变到右边变成了+3）2x=4x-4考点考向2x-4x=4x-4-4x （利用等式的性质） （右边的4x 变到左边变成了－4x ）-2x=-4 x=24−− x=2①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。
一元一次方程的解法与应用
一元一次方程的解法与应用一、一元一次方程的概念1.1 认识一元一次方程：形如ax + b = 0（a、b为常数，a≠0）的方程称为一元一次方程。
1.2 了解一元一次方程的组成：未知数（变量）、系数（a、b）、常数、等号。
1.3 掌握一元一次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解。
二、一元一次方程的解法2.1 公式法：根据一元一次方程的定义，可得方程的解为x = -b/a。
2.2 移项法：将方程中的常数项移到等号另一边，未知数移到等号另一边，得到x = -b/a。
2.3 因式分解法：将方程转化为两个因式的乘积等于0的形式，根据零因子定律求解。
三、一元一次方程的应用3.1 实际问题：将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。
3.2 线性方程组：由多个一元一次方程构成的方程组，可通过消元法、代入法等求解。
3.3 函数图像：一元一次方程对应的函数为直线，了解直线的斜率、截距等性质。
3.4 几何问题：利用一元一次方程描述几何图形的位置关系，如直线与坐标轴的交点、两点间的距离等。
四、一元一次方程的巩固练习4.1 编写练习题：设计具有实际意义的一元一次方程，让学生运用解法求解。
4.2 判断题：判断给定的一元一次方程是否正确，解释原因。
4.3 改写方程：将给定的一元一次方程改写为不同形式，如移项、合并同类项等。
五、一元一次方程的拓展知识5.1 方程的解与不等式的关系：一元一次方程的解集可表示为对应不等式的解集。
5.2 一元一次方程的推广：含有未知数的乘积、商的一元一次方程，以及分式方程等。
5.3 方程的解与函数的关系：一元一次方程的解为对应函数的零点。
总结：通过本知识点的学习，学生应掌握一元一次方程的概念、解法、应用以及拓展知识，能够运用一元一次方程解决实际问题，并为后续学习更复杂的方程打下基础。
习题及方法：1.习题：解方程 2x - 5 = 3。
答案：x = 4解题思路：将常数项移到等号右边，未知数项移到等号左边，得到2x = 8，再将方程两边同时除以2得到x = 4。
沪教版六年级一元一次方程的解法及应用
沪教版六年级一元一次方程的解法及应用一、基础导航知识要点1： 方程（1）等式：用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。
在方程中，所含的未知数又称为元。
（2）方程中的项：在方程中，被“+”、“-”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“-”号在内）称为一项。
未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母叫做未知数的系数。
项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数。
常数项：不含未知数的项，称为常数项。
（3）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程。
（4）方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
（5）一元一次方程的概念：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程。
例1：1、方程116x -=的解是__________ 2、当m ＝ 时，方程32503m x --=是一元一次方程 3、若（a －3）x ＝5是关于x 的一元一次方程，则a________4、如果方程12()23k x x --=的解是x =1，那么关于y 的方程(3)2(25)k y k y --=-的解是_________________5、下列各式中是一元一次方程的是（ ）A. 4x ＋3y ＝2B.31x= C.2x 2－3x ＋5＝0 D.2x －3＝3x ＋16、若式子493a -的值为－7，那么a 的值是（ ） A. －3 B. 0 C. 152- D. 12 7、若方程35421x y m mx -+-=中含x 项的系数为零，则y 的值为（ ）A. 1B. 2C. 13D. 13-小试牛刀11、方程4x x -=的解是__________2、当m= , n= 时，方程0432211=++-+n m y x x 是一元一次方程 3、若x=5是方程m x x m 3532-=+的解，则m= .4、下列方程中，与方程3x －2=－4的解相同的方程是（ ）A. 3x ＝－2B.2x －3＝0C.2x ＋6＝0D.3x ＋6＝0知识要点2：利用等式的基本性质解一元一次方程（1）等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，所得结果仍是等式。
第六讲六年级一元一次方程的定义
第六讲 一元一次方程的定义【知识网络】模块一：一元一次方程【引例】你能用你学过的知识解决一下几个问题吗？有哪些方法？1．一本笔记本1.2元。
小红有6元钱，那么她最多能买到基本这样的笔记本呢？2．某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可以乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆?3．在课外活动中，张老师发发现同学们的年龄大多是13岁，就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一？”【知识导航】方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2．一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。
例如：1700+50x=1800，2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程。
3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。
⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。
【典型例题】例1．（1） 判断下列哪些是一元一次方程34 x ＝12 3x －2 13 x －15 ＝2x3 －l 12-3=95x 2－3x+1＝0 2x+y ＝l －3y 1x-1 ＝5 3x －2＞1（2）下列方程中，一元一次方程一共有( ) ①92x +；②12x =；③()()113-+=x x ；④1315123x x x -=-()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例2. 根据下列条件列出方程：（1）某数比它大4倍小3；（2）某数的1/3与15的差的3倍等于2；（3）比某数的5倍大2 的数是17；（4）某数的3/4与它的1/2的和为5.（5）x 的2倍与3的差是5。
（6） 长方形的长比宽大5，周长为36，求长方形的宽。
一元一次方程的概念及解法
一元一次方程的概念及解法【知识点】：1、一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程。
（如果方程的两边都是整式，我们就把这样的方程叫整式方程。
）2、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。
3、解方程：求方程解的过程叫做解方程。
4、等式的基本性质：（1）、等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）、等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
5、解一元一次方程的基本步骤：（1）：去分母；（2）：去括号；（3）：移项；（4）：合并同类项；（5）：系数化成1。
【例题解析】1、判断下列各式是不是一元一次方程，是的打“√”，不是的打“ｘ”。
(1) x+3y=4 ( ) (2) x2-2x=6 ( )(3) -6x=0 ( ) (4) 2m +n =0 ( )1+8=5y(5) 2x-y=8 ( ) (6）y ( )2、下列变形中，正确的是()A 、若ac=bc ，那么a=b 。
B 、若cb c a =，那么a=b C 、a ＝b ，那么a=b 。
D 、若a 2=b 2那么a=b3、给出下面四个方程及其变形：①48020x x +=+=变形为；②x x x +=-=-75342变形为；③253215x x ==变形为；④422x x =-=-变形为； 其中变形正确的是（ ）A ．①③④B ．①②④C ．②③④D ．①②③4、解方程：（1）x ＋2x ＋4x=140 （2）3x ＋20=4x-25 解： x+2x+4x=140[来源:学科网] ↓合并 7x=140 ↓系数化为1 x=20练习：解方程：（1）12y-3-5y=14； （2）2x -3x =5； （3）0.6x-13x-3=0．5、解方程：（1）42112+=+x x ； （2）2(x －2)－(4x －1)=3(1－x ) 6、解方程：452168x x +=+ 解 :去分母，得 依据去括号，得 依据 移项，得 依据 合并同类项，得 依据 系数化为1，得6x =- 依据 6、数学小诊所：小马虎的解法对吗？如果不对，应怎么改正？解方程312-x =1-614-x解：去分母 2（2x-1）=1-4x-1 去括号 4x-1=1-4x-1 移项 4x+4x=1-1+1 合并 8x=1 系数化为1 x=8练习：解方程：(1) 2x －13 =x+22 +1 (2)3142125x x -+=- (3) 4-3(2-x)=5x7、已知关于x 的方程132233x m m x x x -+=+=-与 的解互为倒数,求m 的值.归纳：解一元一次方程的步骤：步骤方法注意依据去分母在方程两边都乘以________________不要漏乘不含分母的项，分子是一个整体，去分母后应加括号去括号先去_______，再去______，最后______。
3.一元一次方程
《一元一次方程》知识讲解【要点梳理】知识点一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．知识点二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母的指数不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b (a ≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解b x a=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.【典型例题】类型一、一元一次方程的概念1．下列方程中，哪些是一元一次方程? 哪些不是? (1)225411x x x ++=+； (2)2x+y ＝5； (3)x 2-5x+6＝0； (4)23x x -=； (5)1123y y -+=． 【总结升华】凡是分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程．【变式】下列说法中正确的是( ).A ．2a-a=a 不是等式B ．x 2-2x-3是方程C ．方程是等式D ．等式是方程2. 若方程3(x -1)+8＝2x+3与方程253x k x +-=的解相同，求k 的值．【总结升华】由于两个方程的解相同，所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中，从而求得问题的【变式】若关于x的方程2(x-1)-a＝0的解是x＝3，则a的值是()．A．4 B．-4 C．5 D．-5类型二、一元一次方程的解法3．解方程2351 46y y+--=【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解．4．解方程：113(1)(1)2(1)(1)22x x x x+--=--+【总结升华】直接去括号太繁琐，若将(x+1)及(x-1)看作一个整体，并移项合并同类项，解答十分巧妙，可免去去分母的步骤及简化去括号的过程．【变式】解方程：278(x-4)-463(8-2x)-888(7x-28)＝0类型三、一元一次方程的应用5．(南京)甲车从A地出发以60 km／h的速度沿公路匀速行驶，0.5 h后，乙车也从A地出发，以80 km／h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．【总结升华】此题的等量关系为：甲前0.5 h的行程+甲后来的行程＝乙的行程．6. (南昌)剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换)．有关销售策略与售价等信息如下表所示：某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架?多少片刀片?【总结升华】本题的相等关系为：甲厂家利润×2＝乙厂家利润．【变式】某文具店为促销X型计算器，优惠条件是一次购买不超过10个，每个38元，超过10个，超过部分每个让利2元(即每个36元)，问李老师用812元共买了多少个？【打折】某商品进价2000元，标价4000元，商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？第三章 一元一次方程一、精心选一选（每小题4分，共24分）1、下列方程中，一元一次方程是（ ）A. 2x =1B. 3x –5C. 3+7=10D.21x x +=2、下列方程中，解为2x =的方程是：（ ）A.24=xB. 063=+xC.021=x D. 0147=-x 3、在解方程21x －－332x ＋＝1时，去分母正确的是（ ） A 、3（x －1）－2（2＋3x ）＝1 B 、3（x －1）－2（2x ＋3）＝6C 、3x －1－4x ＋3＝1D 、3x －1－4x ＋3＝64、右图是“东方”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请帮忙算一算，该洗发水的原价是：（ ）A. 22元B. 23元C. 24元D. 26元6、已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ）A. 3瓶B. 4瓶C. 5瓶D. 6瓶二、细心填一填（每小题4分，共24分）7、写出一个一元一次方程，使它的解为―1，方程为 ．8、已知3是关于x 的方程21x a -=的解，则=a 。
6-一元一次方程、二元一次方程(组)分式方程总复习
1.什么叫一元一次方程 2.什么叫分式方程？ 3.增根的概念：
共同记一记
1、一元一次方程的有关概念
1．方程：含有 未知数 的等式。 2．一元一次方程：化简后只含有 一 个未知 数，并且未知数的次数为 一 次的 整式方程。 3．方程的解：能 使方程左右两边的值相等 的未知 数的值。
x 2 ②已知 是关于x、y的方程2x-y+3k=0 y 1
ax +by 7 x 1 ③如果 是方程组 的解， y 2 ax-by=5 那么
a+b=_____；
的解，则 k=
；
4．一家商店将某种商品按成本价提高 50%后，标价为 450 元，又以 8 折出售，则售出 这件商品可获利润 元．
2.方程组的有关概念：
①二元一次方程的概念： 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次 数都是1的方程叫做二元一次方程. A.一般形式：ax by c 0a 0，b 0 B.二元一方程的解：适合一个二元一次方程的每 一对未知数的值叫做二元一次方程的解. C.解个数：一般情况下，二元一次方程有无数个 解.
2.方程组的有关概念： ②二元一次方程组的概念： 含有两个未知数的两个一次方程方程所组成的 一组方程叫做二元一次方程组. 二元一方程组的解： 二元一次方程组中的每个方程的公共解叫做 二元一次方程组的解. 解二元一次方程组的基本思想：
二元一次方程组
转化
一 元 一 次 方 程ຫໍສະໝຸດ 解方程的依据------等式的性质
①去分母 ②去括号 ③移项 ④合并同类项 ⑤系数化为1
方程组的常用解法:
①代入消元法 ②加减消元法
1.分式方程及其解法： ①分母里含有未知数的方程叫做分式方程. ②分式方程的解法思想：把分式方程转化为 整式方程.即 ③增根的概念： 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程 的根，这种根叫做方程的增根.解分式方程有 可能产生增根，所以解分式方程要验根.
一元一次方程的解法(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第02讲 一元一次方程的解法1.会通过去分母解一元一次方程；2.归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程中化归和程序化的思想方法；3.体会建立方程模型解决问题的一般过程；4.体会方程思想，增强应用意识和应用能力．知识点1 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母两边同乘最简公分母 2.去括号（1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项（1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项（1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax = b ”的形式（ a ≠ 0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1（1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 abx =； （2）注意：分子、分母不能颠倒【题型1 解一元一次方程】【典例1】解一元一次方程：5x+3＝3x﹣15．【变式1-1】解方程：5x﹣8＝2x﹣3．【变式1-2】解方程：2x+2＝3x﹣2．【典例2】解下列一元一次方程：（1）3（x+1）﹣2＝2（x﹣3）；（2）．【变式2-1】解方程：（1）4x+5＝3（x﹣1）；（2）﹣＝1．【变式2-2】解方程：（1）3x﹣5（2x﹣4）＝7﹣4（x﹣1）；（2）．【变式2-3】解方程：（1）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3）（2）＝1．【题型2 一元一次方程的整数解问题】【典例3】是否存在整数k，使关于x的方程（k﹣4）x+6＝1﹣5x有整数解？并求出解．【变式3-1】当整数k为何值时，方程9x﹣3＝kx+14有正整数解？并求出正整数解．【变式3-2】若关于x的方程ax﹣3＝0有正整数解，则整数a的值为（）A．1或﹣1或3或﹣3B．1或3C．1D．3【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【典例4】若代数式与的值的和为5，则m的值为（）A．18B．10C．﹣7D．7【变式4-1】若P＝2a﹣2，Q＝2a+3，且3P﹣Q＝1，则a的值是（）A．0.4B．2.5C．﹣0.4D．﹣2.5【变式4-2】若的值与x﹣7互为相反数，则x的值为（）A．1B．C．3D．﹣3【变式4-3】若式子﹣2a+1的值比a﹣2的值大6，则a等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【变式4-4】已知A＝2x+1，B＝5x﹣4，若A比B小1，则x的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【题型4 错解一元一次方程的问题】【典例5】一位同学在解方程5x﹣1＝（）x+3时，把“（）”处的数字看错了，解得，这位同学把“（）”处的数字看成了（）A．3B．﹣C．﹣8D．8【变式5-1】某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数看成了（）A．5B．6C．7D．8【变式5-2】某同学解方程5y﹣1＝口y+4时，把“口”处的系数看错了，解得y ＝﹣5，他把“口”处的系数看成了（）A．5B．﹣5C．6D．﹣6【变式5-3】小明同学在解方程5x﹣1＝mx+3时，把数字m看错了，解得x＝﹣，则该同学把m看成了（）A．3B．C．8D．﹣8【变式5-4】某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数a看成了下列哪个数？（）A．5B．6C．7D．8【题型5 一元一次方程的解与参数无关】【典例6】定义一种新运算：a⊙b＝5a﹣b．（1）计算：（﹣6）⊙8＝；（2）若（2x﹣1）⊙（x+1）＝12，求x的值；（3）化简：（3xy﹣2x﹣3）⊙（﹣5xy+1），若化简后代数式的值与x的取值无关，求y的值．【变式6-1】（1）先化简，再求值：已知代数式A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），求5A﹣4B，并求出当a＝﹣2，b＝3时5A﹣4B的值．（2）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．规定：（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc，如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2根据上述规定解决下列问题：①有理数对（5，﹣3）★（3，2）＝．②若有理数对（﹣3，x）★（2，2x+1）＝15，则x＝．③若有理数对（2，x﹣1）★（k，2x+k）的值与x的取值无关，求k的值．【变式6-2】（1）已知多项式3x2+my﹣8与多项式﹣nx2+2y+7的差与x，y的值无关，求n m+mn的值．（2）解方程＝1﹣．【题型6 一元一次方程的解在新定义中运用】【典例7】定义“※”运算为“a※b＝ab+2a”，若（3※x）+（x※3）＝14，则x等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【变式7-1】新定义一种运算“☆”，规定a☆b＝ab+a﹣b．若2☆x＝x☆2，则x的值为．【变式7-2】规定一种新的运算：a*b＝2﹣a﹣b，求*＝1的解是．【变式7-3】已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算＝ad﹣bc，那么当＝18时，x的值是．1．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7 2．（2022•海南）若代数式x+1的值为6，则x等于（）A．5B．﹣5C．7D．﹣7 3．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x 4．（2023•陇西县校级模拟）定义aⓧb＝2a+b，则方程3ⓧx＝4ⓧ2的解为（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝2D．x＝﹣2 5．（2023•青山区一模）若的值与x﹣7互为相反数，则x的值为（）A．1B．C．3D．﹣3 6．（2023•怀远县二模）方程＝1去分母正确的是（）A．2（3x﹣1）﹣3（2x+1）＝6B．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝1C．9x﹣3﹣4x+2＝6D．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6 7．（2021•广元）解方程：+＝4．8．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．9．（2021•西湖区校级自主招生）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．移项，合并同类项，得x＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．10．（2022秋•陵城区期末）解方程（1）18（x﹣1）﹣2x＝﹣2（2x﹣1）；（2）．1．（2023春•榆树市期末）一元一次方程8x＝2x﹣6的解是（）A．x＝1B．x＝0C．x＝﹣2D．x＝﹣1 2．（2022秋•汾阳市期末）方程3x﹣2（x﹣3）＝5去括号变形正确的是（）A．3x﹣2x﹣3＝5B．3x﹣2x﹣6＝5C．3x﹣2x+3＝5D．3x﹣2x+6＝5 3．（2023•乐东县一模）代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，则x的值是（）A．B．2C．﹣2D．无法计算4．（2022秋•宜城市期末）定义“※”运算为“a※b＝ab+2a”，若（3※x）+（x※3）＝14，则x等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2 5．（2022秋•泸县期末）如果表示ad﹣bc，若＝4，则x的值为（）A．﹣2B．C．3D．6．（2022秋•潮安区期末）设a⊕b＝3a﹣b，且x⊕（2⊕3）＝1，则x等于（）A．3B．8C．D．7．（2022秋•泰山区期末）王林同学在解关于x的方程3m+2x＝4时，不小心将+2x看作了﹣2x，得到方程的解是x＝1，那么原方程正确的解是（）A．x＝2B．x＝﹣1C．x＝D．x＝5 8．（2022秋•碑林区校级期末）小亮在解方程3a+x＝7时，由于粗心，错把+x 看成了﹣x，结果解得x＝2，则a的值为（）A．B．a＝3C．a＝﹣3D．9．（2022秋•六盘水期末）已知代数式6x﹣12与4+2x的值互为相反数，那么x 的值等于．10．（2022秋•嘉祥县期末）解下列方程：（1）2x﹣3（2x﹣3）＝x+4；（2）．。
第09节 一元一次方程的概念与解法+杨晨光
第九节：一元一次方程的概念与解法考点与实例分析讲点1：方程和一元一次方程的概念【例1】下列各式，哪些是等式？哪些是方程？（1）3x －6；（2）3－5=－2；（3）x ＋2y =8；（4）x ＋2≠3；（5）12x x-=；（6）y =10；（7）2320y y +=；（8）35a a -＜；（9）23210x x +-=；（10）132y m m+-=. 解答过程：【题意分析】考查对方程定义的理解，紧抓含有未知数的等式． 【解题后的思考】练1.1有下列各式：①2x ＋3y=0；②1＋2=3；③()0.3230.020.7m m -+=；④3x ＋2；⑤x ＋1=2x －5. 其中是方程的有（ ）.练1.2 某数的3倍与2的差是11，设未知数为x ，则方程为 .【例2】若()126m m x--=是关于x 的一元一次方程，则m 的值为（ ）.A . 2±B .－2C .2D .4解答过程：【题意分析】考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程定义的三要素. 【解题后的思考】练1.3：有下列几个方程：32x y -=,120x x +-=,1122x =,2x －3=0.其中一元一次方程的个数为（ ）. A .1 B .2 C .3 D .4练1.4：如果关于x 的方程52360kx-+=是一元一次方程，则k = .练1.5：若方程()2218m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程，则代数式20161mm --的值为（ ）.A .1或﹣1B .1C .﹣1D .2 （“希望杯”）讲点2：方程的解与解方程【例3】若关于x 的一元一次方程ax ＋3x =2的解是x =1，则a 的值为（ ）.A .1B .﹣1C .5D .﹣5解答过程：【题意分析】已知方程的解，可将未知数的值代入方程中去，求出其他未知数的值. 【解题后的思考】练2.1：如果x =﹣1是关于x 的方程()232x a x +=+的解，则a 的值为（ ）A .1B .﹣1C .5D .﹣5练2.2：检验x =1是不是下列方程的解：（1）221x x -=-；（2）221x x +=+.讲点3：等式的性质（1）如果3x ＋8=26，那么3x =26－ ； （2）如果－5x =25，那么x = ； （3）如果30.754x y -=-，那么x = ； （4）如果74x=，那么x = . 解答过程：【题意分析】考查等式的性质. 【解题后的思考】练3.1：下列说法中正确的是（ ）A .等式ab =ac 两边都除以a ，可得b =cB .等式a =b 两边都除以21c +，可得2211a bc c =++ C .等式b ca a=两边都乘以a ，可得b =c D .等式2x =2a －b 两边都除以2，可得x =a －b练3.2：若na =nb ，则下列等式中，不一定成立的是（ ）A .a =bB .na ＋2=nb ＋2C . 1188na nb -=- D .na ＋8=nb ＋8 练3.3：已知在等式()88x y x -=-中，y ≠1，求整式221x x +-的值.讲点4：解一元一次方程－－－－合并同类项与移项【例5】解下列方程：（1）2x －3=4x －7； （2）721433y y -=+； （3）4x ＋5=3x ＋3－2x ； （4）2x －4=6x －3＋7.解答过程：【题意分析】考查解简单一元一次方程，基本步骤为：（1）移项；（2）合并同类项；（3）系数化为1.【解题后的思考】练4.1：下列移项不正确的是（ ）A .从x －4=8，得x =8－4B .从3x =x ＋5，得3x －2=5C .从2x =x ＋3，得x =3D .从5x －2=4x ＋1，得5x －4x =1＋2练4.2：解下列方程：（1）13x ＋8=11x ； （2）－7x ＋2=2x －4；（3）3x ＋2=﹣3＋x ； （4）1342x x -=--.考点与课堂练习1．在2＋1=1＋2,4－x =1，2131y y -=+，21x -中，方程有（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2．下列方程为一元一次方程的是（ ） A . 22x x -= B .x ＋5y =3 C .125x x += D . 112x x += 3．若x =2是关于x 的方程2x ＋3m －1=0的解，则m 的值为（ ） A .－1 B .0 C .1 D .134．下列变形中错误的是（ ） A .若2x ＋6=0,则2x =－6 B . 若312x x +=-,则x ＋3=2－2x C . 若123x x -=,则3x －2=6x D . 若1122x +-=,则－x ＋1=1共有x 名学生，则可列方程（ ）A .2x ＋35=4x ＋25B . 2x ＋35=4x －25C . 2x －35=4x ＋25D . 35＋2x =25－4x 6．对于有理数a ，b ，c ，d ，规定一种运算：a b ad bc cd=-，如()101202222=⨯--⨯=--那么当242535x-=-时，x 的值为（ ）A . 34-B . 274C . 234-D . 134- 7．若1230m x -+=是关于x 的一元一次方程，则m = .8．已知关于x 的方程4x －3m =0的解是x =m ，则m 的值是 .9．当x = 时，2x －1的值与x ＋1的值相等. 10．根据下列条件列方程：（1）一个数比它的相反数大3；（2）一个数与3的差的2倍比这个数大6； （3）某数比 它的5倍小8；（4）某数13的与2的和比该数的2倍还少4. 11．解方程：（1）5x =2x ＋6； （2）3x －2=4＋x ；（3）7211933x x -=+； （4）110.4845x x -=-.12．已知13422x a b +与114213x a b --是同类项，求x 的值.13．关于x 的方程()22x x k -+=-与212x x +=+的解互为倒数，求k 的值.14．已知方程4x ＋2m =3x ＋1和方程3x ＋2m =6x ＋1的解相同，求m 的值.15．有一列数，按一定规律排成1,－4,16,－64,256,－1024,….若其中某三个相邻的数的和是﹣13312，则这三个数各是多少？课后反馈1．下列方程的解是x =0的是（ ） A .2x ＋3=2x ＋1 B . 235x x = C . 1452x x ++= D . 1104x += 2．方程2x －1=4x －1的解是（ ）A .x =－1B .x =0C .x =1D . x =2 3．下列说法中不正确的是（ ） A .若a =b ，则b =a B. 若a =b ，则1122a b -=- C . 若a ＋3=b －2，则a －b =5 D . 若a =b ，则a －b =04．若关于x 的方程()()2143350k x k x k -+++-=是一元一次方程，则k 的值为（ ）A .0B . 34-C .1D . 535．若三个连续偶数的和是30，则这三个偶数是 .6．写出一个解为x =－1的方程： . 7．若()25340m m xm ---=是关于x 的一元一次方程，求代数式212m m m-+的值. 8．已知关于x 的方程2x ＋m －4=0的解是x =3. （1）求m 的值. （2）先化简式子22113122323m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再求出它的值.9．解方程：（1）8x－6=3x－10；（2）2x－6=﹣10－3x.10．关于x的方程3m－17x=5n和m＋17x=n的解相同，试比较m－1与322n的大小.11．下图是一个循环计算的程序，按图中的方法从左至右为第一次操作.如：当x=50时，第一次操作的结果为25；第二次操作的结果为14，第三次操作的结果为7.……（其中x为整数）.当输出结果小于1时停止.（1）若x=100，求第5次操作的结果；（2）若第一次操作后的结果为10，求x的值；（3）若第二次操作与第三次操作的结果相同，则x= .。
一元一次方程知识点总结和例题讲解
第六章 一元一次方程知识点汇总（一）、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程. 例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x ）=5等都是一元一次方程. （例1）3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. （例2）注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.（二）、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等. 等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b ，那么a ±c=b ±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b(c ≠0)，那么a c =bc（三）、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．（例3） （四）、去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号相应各项的符号相同．2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号相应各项的符号改变． （五）、解方程的一般步骤（例4）1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a ≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=ba ).一．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．第七章 二元一次方程组 一、知识点总结 1、二元一次方程：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠.2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，1226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩】5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。
第4章《一元一次方程》知识讲练(学生版)
2023-2024学年苏科版数学七年级上册章节知识讲练知识点01：一元一次方程的概念1．方程：叫做方程．2．一元一次方程：只含有（元），未知数的次数都是，这样的方程叫做一元一次方程．知识要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数的次数为；②未知数所在的式子是，即分母中不含未知数．3．方程的解：叫做这个方程的解．4．解方程：叫做解方程．知识点02：等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：，结果仍相等．等式的性质2：，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数 保持不变． 3．去括号法则：（1）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点03：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的(2)去括号：依据 ，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边， 移到方程另一边．(4)合并：逆用 ，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 (a ≠0)的形式．(5)系数化为1： 得到方程的解bx a=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若 相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝ ×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×3.利润问题：商品利润＝商品售价－4.工程问题：工作量＝工作效率× ，各部分劳动量之和＝5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金× ×6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）关于x 的方程kx ＝2x +6与2x ﹣1＝5的解相同，则k 的值为（ ） A ．4B ．3C ．5D ．62．（2分）（2022秋•高新区期末）已知等式3a ＝2b +5，则下列等式中不一定成立的是（ ） A ．3a ﹣5＝2bB ．3a +1＝2b +6C ．D ．3ac ＝2bc +53．（2分）（2022秋•玄武区校级期末）小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（）商品单价（元/支）购买数量/支购买金额/元铅笔x中性笔总计/ 13 34 A．+＝13 B．x+3.5（13﹣）＝34C．1.2（13﹣）＝x D．3.5（13﹣）＝34﹣x4．（2分）（2022秋•江都区期末）某学校组织师生去中小学素质教育实践基地研学．已知此次共有n名师生乘坐m辆客车前往目的地，若每辆客车坐40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空出一辆客车．以下四个方程：①40m+15＝45（m﹣1）；②40m﹣15＝45（m﹣1）；③＝﹣1；④+1．其中正确的是（）A．①④B．①③C．②③D．②④5．（2分）（2022秋•连云港期末）明代的数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之少四两，五两分之多半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有x 两银子，则可列方程为（）A．7x﹣4＝5x+8 B．C．7x+4＝5x﹣8 D．6．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）元旦期间，甲、乙两家水果店对刚到货的橙子搞促销，甲水果店连续两次降价，第一次降价10%，第二次降价20%，乙水果店一次性降价30%，小丽想要购买这种橙子，她应选择（）A．甲水果店B．乙水果店C．甲、乙水果店的价格相同D．不确定7．（2分）（2022秋•南通期末）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（）A．依题意3×120＝x﹣120B．依题意20x+3×120＝（20+1）x+120C．该象的重量是5040斤D．每块条形石的重量是260斤8．（2分）（2022秋•泗洪县期末）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑得快的马每天走240里，跑的慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（）A．240（x+12）＝120x B．240（x﹣12）＝120xC．240x＝120（x+12）D．240x＝120（x﹣12）9．（2分）（2022秋•工业园区校级月考）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝2OA，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（）A．5秒B．5秒或者4秒C．5秒或者秒D．秒10．（2分）（2022秋•江都区月考）观察月历，用形如的框架框住月历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果有45，55，60，75，小华说有结果是错误的．通过计算，可知小明的计算结果中错误的是（）A．45 B．55 C．60 D．75二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•亭湖区期末）若（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则a＝．12．（2分）（2022秋•泗阳县期末）如图，在数轴上，A、B两点同时从原点O出发，分别以每秒2个单位和4个单位的速度向右运动，运动的时间为t，若线段AB上（含线段端点）恰好有4个整数点，则时间t 的最小值是．13．（2分）（2022秋•海门市期末）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？根据题意，可求得合伙买羊的是人．14．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）防范新冠病毒感染要养成戴口罩、勤洗手、多通风、常消毒等卫生习惯，其中对物体表面进行消毒可以采用浓度为75%的酒精．现有一瓶浓度为95%的酒精500mL，需将其加入适量的水，使浓度稀释为75%．设加水量为xmL，可列方程为．15．（2分）（2022秋•江都区期末）一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时，现先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合作．完成整个工程一共需要小时．16．（2分）（2022秋•江阴市期末）某种商品降价10%后的价格恰好比原价的一半多40元，该商品的原价是元．17．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）如图，在数轴上，O为原点，点A对应的数为2，点B对应的数为﹣12．在数轴上有两动点C和D，它们同时向右运动，点C从点A出发，速度为每秒4个单位长度，点D从点B出发，速度为每秒6个单位长度，设运动时间为t秒，当点O，C，D中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为．18．（2分）（2022秋•大丰区期末）京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时，按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多3分钟，求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为．19．（2分）（2022秋•句容市校级期末）如图，正方形的边长为6，已知正方形覆盖了三角形面积的，而三角形覆盖了正方形面积的一半，那么三角形的面积是．20．（2分）（2021秋•射阳县校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•仪征市期末）解方程：（1）5（x﹣1）+3＝3x﹣3；（2）+＝1．、22．（6分）（2022秋•仪征市期末）某小组计划做一批“中国结”如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个．该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？小明和小红在认真思考后，根据题意分别列出了以下两个不同的方程：①5x﹣9＝4x+15②＝（1）①中的x表示；②中的y表示．（2）请选择其中一种方法，写出完整的解答过程．23．（8分）（2022秋•丹徒区期末）某商场用2730元购进甲、乙两种商品共60件，这两种商品的进价、标价如表所示：价格\类型甲乙进价（元/件）35 65标价（元/件）50 100（1）这两种商品各购进多少件？（2）若甲种商品按标价的9折出售，乙种商品按标价的8.5折出售，且在运输过程中有2件甲种、1件乙种商品不慎损坏，不能进行销售，请问这批商品全部售出后，该商场共获利多少元？24．（8分）（2022秋•惠山区校级期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒．（1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间；（2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．25．（8分）（2022秋•丹徒区期末）已知关于m的方程的解也是关于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．（1）求m、n的值；（2）如图，数轴上，O为原点，点M对应的数为m，点N对应的数为n．①若点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，求线段PQ的长度；②若点P从点N出发以1个单位/秒的速度沿数轴正方向运动，点Q从点M出发以2个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，经过秒，P、Q两点相距3个单位．26．（8分）（2022秋•玄武区校级期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表：户月用水量（m3）收费标准（元/m3）不超过18m3超过18m3，但不超过25m3的部分 5超过25m3的部分7（1）小明家3月份用水量为20m3，应缴纳水费元；（2）设某户某月的用水量为xm3，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示）（3）小红家6月份和7月份的用水量共50m3，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为m3，m3．27．（8分）（2022秋•太仓市期末）如图1，将一副三角板摆放在直线MN上，在三角板OAB和三角板OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝30°．（1）保持三角板OCD不动，当三角板OAB旋转至图2位置时，∠BOD与∠AON有怎样的数量关系？请说明理由．（2）如图3，若三角板OAB开始绕点O以每秒6度的速度逆时针旋转的同时、三角板OCD也绕点O以每秒3度的速度逆时针旋转，当OB旋转至射线OM上时，两块三角板同时停止转动．设旋转时间为t秒，则在此过程中，是否存在t，使得∠BOD+∠AON＝60°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．（8分）（2022秋•广陵区校级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M、点N表示的数分别为m、n，则M、N 两点之间的距离MN＝|m﹣n|，线段MN的中点表示的数为．如图，数轴上点M表示的数为﹣1，点N 表示的数为3．（1）直接写出：线段MN的长度是，线段MN的中点表示的数为；（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+1|+|x﹣3|有最小值是，|x+1|﹣|x﹣3|有最大值是；（3）点S在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1＝x+4的解，动点P在数轴上运动，若存在某个位置，使得PM+PN＝PS，则称点P是关于点M、N、S的“麓山幸运点”，请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”？若存在，则求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由．。
一元一次方程
一元一次方程内容介绍：方程是初中代数的重要内容，许多实际问题都可以通过列方程、解方程来解决。
因此我们要认认真真地学好方程的有关知识。
本章先介绍等式的概念和等式的两条性质，复习方程的解，解方程等概念；然后学习运用等式的性质和移项法则解一元一次方程，归纳出解一元一次方程的一般步骤；最后是列方程解应用题。
一元一次方程是学习其他方程和方程组的基础。
一、等式和方程本部分知识的重点是等式的性质和运用这两性质对等式进行变形；方程的有关概念及会检验一个数是不是方程的解。
（一）知识要点：1．等式：用等号来表示相等关系的式子叫等式。
如：+ = ，x+y=y+x, V=a3，3x+5=9都叫等式。
而象a+b, m2n 不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
2．等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式。
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）所得的结果仍是等式。
如：x-5=4，两边都加5得x-5+5=4+5，即x=9仍是等式；在这个等式两边都乘以得，×x=9×，即x= ，也仍是等式，这样我们就利用了等式的两个性质解方程。
3．方程的有关概念：（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。
如5x-4=8，其中x是未知数；又如3x-2y=5其中x, y是未知数。
（2）未知数：在研究方程之前未知的数叫未知数。
如5x-4=8中，x是未知数，而5，-4，8是已知数。
（3）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。
只含有一个未知数的方程的解，也叫做根。
例如方程2x+5=7，当x=1时，方程左边=2×1+5=7=右边，所以x=1是方程2x+5=7的解，或说x=1是方程的根。
（4）解方程：求得方程的解的过程。
4．会检验一个数是不是一个方程的解：将这个数分别代入方程的左边和右边，看是否使左边等于右边。
如，检验x=5和x=4是不是方程6x-5=2x+11的解。
一元一次方程的解法及应用拓展
一元一次方程的解法及应用拓展一、一元一次方程的概念1.1 定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且两边都为整式的等式称为一元一次方程。
1.2 形式：ax + b = 0（a, b为常数，a≠0）二、一元一次方程的解法2.1 公式法：将方程ax + b = 0两边同时除以a，得到x = -b/a。
2.2 移项法：将方程中的常数项移到等式的一边，未知数项移到等式的另一边。
2.3 因式分解法：将方程进行因式分解，使其成为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后根据零因子定律求解。
三、一元一次方程的应用3.1 实际问题：将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。
3.2 线性方程组：由多个一元一次方程组成的方程组，可用代入法、消元法等方法求解。
3.3 函数图像：一元一次方程的图像为直线，可通过解析式分析直线与坐标轴的交点、斜率等性质。
四、一元一次方程的拓展4.1 比例方程：含有一元一次方程的等比例关系，可通过交叉相乘、解一元一次方程求解。
4.2 分式方程：含有一元一次方程的分式，可通过去分母、解一元一次方程求解。
4.3 绝对值方程：含有一元一次方程的绝对值，可分为两种情况讨论，求解未知数。
五、一元一次方程的练习题5.1 选择题：判断下列方程是否为一元一次方程，并选择正确的解法。
5.2 填空题：根据题目给出的条件，填空求解一元一次方程。
5.3 解答题：解答实际问题，将问题转化为一元一次方程，求解未知数。
六、一元一次方程的考试重点6.1 掌握一元一次方程的定义、形式及解法。
6.2 能够将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。
6.3 熟练运用一元一次方程解决线性方程组、函数图像等问题。
6.4 理解一元一次方程的拓展知识，如比例方程、分式方程、绝对值方程等。
七、一元一次方程的学习建议7.1 多做练习题：通过大量的练习题，熟练掌握一元一次方程的解法及应用。
7.2 深入理解实际问题：学会将实际问题转化为一元一次方程，提高解决问题的能力。
一元一次方程知识点和常考题型解析
一元一次方程知识点和常考题型一知识点复习巩固知识点一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。
要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程．注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。
2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果，那么；(c为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：（其中m≠0）2、解一元一次方程的一般步骤：常用步骤具体做法依据注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2 防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律注意变号，防止漏乘；移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项等式基本性质1 移项要变号，不移不变号；要变号)合并同类项 把方程化成ax ＝b(a ≠0)的形式合并同类项法则计算要仔细，不要出差错； 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x ＝ 等式基本性质2 计算要仔细，分子分母勿颠倒要点诠释：理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a ≠0时，方程有唯一解；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b ≠0时，方程无解。
知识点三：列一元一次方程解应用题1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。
小学六年级方程知识点
小学六年级方程知识点方程是数学中一种重要的概念，它通常用于描述未知数与已知数之间的关系。
在小学六年级，学生开始接触简单的一元一次方程，了解方程的基本性质和解题方法。
本文将介绍小学六年级方程的基本知识点和解题技巧。
1. 一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。
其一般形式为：ax + b = c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的关键是求出未知数x的值。
常用的解法有逐步化简、移项和消元法等。
2. 方程的化简与移项当方程中含有多个运算符号时，为了方便解题，可以对方程进行化简和移项。
化简是指通过合并同类项和使用运算性质，将方程中的项简化为最简形式。
移项是指将方程中的项移动到等号的另一侧，以便更好地解方程。
3. 正数、负数和零的概念在方程中，正数、负数和零的概念是十分重要的。
正数大于零，负数小于零，而零不属于正数和负数。
在解方程时，需要灵活运用这些数的概念，比较大小和确定未知数的符号。
4. 方程的解集方程的解集是指使方程成立的所有可能的值组成的集合。
解方程时，需要确定未知数的取值范围，并找出满足方程的所有解。
解集可以是无穷集合、空集或有限集合。
5. 代入验证在解方程时，可以使用代入验证的方法来检验所得解是否正确。
将求得的解代入原方程中，如果等号两边相等，则说明解是正确的；如果不相等，则需要重新检查解题过程。
6. 实际问题中的方程应用方程在实际问题中有着广泛的应用。
学生需要学会将问题转化为数学方程，并通过求解方程来解决实际问题。
例如，小明有一些糖果，他将糖果分成相等的几堆，如果知道糖果的总数和每堆的数目，可以通过方程来求解每堆的糖果数目。
7. 解方程的实例在小学六年级，学生通常会遇到一些简单的一元一次方程。
例如，解方程2x + 3 = 9，首先可以进行移项操作，得到2x = 6，然后再消去系数2，最终得到x = 3。
通过这样的实例演绎，学生可以掌握解一元一次方程的基本方法。
(精品)数学讲义六年级寒假班第5讲：方程与一元一次方程-教师版
方程与一元一次方程是初中数学六年级下学期第2章第1节和第2节的内容．在预习阶段，本讲主要讲解方程和一元一次方程的相关概念，方程的解的检验，一元一次方程的解法及一元一次方程的简单应用．重点在于理解一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的解法，为后续重点学习一元一次方程的应用做好准备．1、方程及其相关概念（1）未知数：用字母x、y…等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数；（2）方程：含有未知数的等式叫做方程；（3）元：在方程中，所含的未知数又称为元；（4）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程；（5）项：在方程中，被“+”、“-”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“-”号在内）称为一项；如在方程 2.50x+=和252y-=中，x、2.5、25、2y-都是方方程与一元一次方程内容分析知识结构模块一：方程与方程的解知识精讲2 / 16程中的一项；（6）系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x的系数为1，2y -的系数为12-；（7）次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x 、2y -的次数都是1；（8）常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5，25． 2、 方程的解如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解．【例1】 判断下列各式，哪些是方程？（1）17x +=；（2）514-+=-；（3）1a a =+；（4）395yx +=； （5）32m n -；（6）2t =；（7）26p =；（8）33ππ⨯=．【难度】★【答案】（1）、（3）、（4）、（6）、（7）．【解析】含有未知数的等式叫做方程．故（1）是；（2）不含有未知数，不是；（3）是； （4）是 ；（5）不是等式，不是；（6）是；（7）是；（8）π不是未知数，不是． 【总结】考查方程的概念．【例2】 （1）方程2405y x -=中，项25y-的系数是______，次数是______； （2）方程360mn -=中，项3mn 的次数是______，常数项是______． 【难度】★【答案】（1）25-、1 （2）2、-6．【解析】（1）在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数； （2）在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数． 【总结】考查方程的系数及次数的概念．【例3】 列方程：（1）x 的23与3的和为5；（2）m 的相反数与2的差为2；（3）a 的三次方与b 的平方的和为10；（4）x 、y 的积减去19的差的一半为23． 【难度】★例题解析【答案】（1）2353x +=；（2）22m --=；（3）3210a b +=；（4）()121923xy -=．【解析】根据题意即可列出方程．【总结】考查列方程的运用．【例4】 检验1x =是不是方程97124x x --=--的解．【难度】★【答案】是．【解析】当1x =时，左边=-16，右边=-16，左=右，所以1x =是方程的解．【总结】本题主要考查方程的解的概念．【例5】 在下列问题中，引入未知数，列出方程：（1）某数的3倍与7-的和等于91，求这个数；（2）一个数与它的一半的和为56，求这个数；（3）长方形的长比宽多4厘米，长方形的周长是30厘米，求长方形的长．【难度】★★【答案】（1）3791x -=； （2）1526x x +=； （3）()2430x x +-=⎡⎤⎣⎦．【解析】（1）设这个数为x ，则3791x -=； （2）设这个数为x ，则1526x x +=；（3）设长为x ，则()2430x x +-=⎡⎤⎣⎦．【总结】本题主要考查列方程的运用，注意本题不需要解方程．【例6】 检验4-、1是不是方程2340x x --=的解． 【难度】★★【答案】均不是．【解析】当4x =-时，2234(4)3(4)40x x --=--⨯--≠，所以4x =-不是方程的解； 当1x =时，223413140x x --=-⨯-≠ ，所以1x =不是方程的解． 【总结】考查方程的解的概念及判断．【例7】 根据条件，引入未知数列方程：学校开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安 排住3人，就有100人没有床位，那么在学校住宿的学生有多少人？【难度】★★【答案】100543x x -+=．【解析】设有x 个学生，则根据题意，可列方程：100543x x -+=． 【例8】 根据下列条件列出方程：（1）50千克含糖5%的糖水，现在要把它的浓度提高到含糖15%，需加糖x 千克； （2）商店对某种商品调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是15%，此商品的原价4 / 16为300元，商品的进价为x 元．【难度】★★★【答案】（1）2.5100%15%50x x +⨯=+； （2）3000.815%xx ⨯-=．【解析】（1）原来的糖为505% 2.5g ⨯=，现在的糖为(2.5+x )g ，现在溶液的重量为 （50+x ）g ，所以可列方程：2.5x100%15%50x+⨯=+； （2）因为=利润利润率成本，所以可列方程：3000.8-15%xx⨯=． 【总结】本题主要考查根据题意列方程，注意找到等量关系．【例9】 试写出一个方程使它的解分别是： （1）7x =；（2）2x =或3x =． 思考：满足条件的方程是唯一的吗？【难度】★★★【答案】（1）70x -=等； （2）()()230x x --=等． 【解析】根据方程的解去列方程，可以随意组合，只要等式成立就可以． 【总结】主要考查对方程的解的理解及运用．【例10】 引入未知数，列出方程：如图，足球上的黑色皮都是五边形的，白色皮都是六边形的，白色皮共有20块，则有多少块黑色皮？【难度】★★★【答案】12【解析】设有x 块黑色皮，因为每块白色皮上都有3边是与黑色皮公共的边，所以共有20×3=60条边是与黑色皮 公共的边，又因为每块黑色皮有5条边是与白色皮的公共边，所以5203x =⨯，解得：12x =． 故共有12块黑色皮．【总结】本题综合性较强，主要是观察黑色皮与白色皮的特征，找到等量关系，从而列出方程求出方程的解．1、一元一次方程的概念只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程． 2、解方程求方程的解的过程叫做解方程．3、解一元一次方程的一般步骤模块二：一元一次方程及其解法知识精讲（1）去分母； （2）去括号； （3）移项；（4）化成ax b =（0a ≠）的形式（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解b x a=．【例11】 判断下列方程是否是一元一次方程？如果不是，请说明理由．（1）30x =； （2）29x y -=； （3）538+=； （4）()234m m --=； （5）61x=； （6）3443x x +=+；（7）0x a +=； （8）2221x x x x ++=+． 【难度】★【答案】（1）、（4）、（6）、（8）是一元一次方程，其余不是． 【解析】（1）是；（2）不是，二元一次；（3）不是，无未知数；（4）是 ； （5）不是，不是整式方程；（6）是；（7）不是，是二元一次方程； （8）不是，是一元二次方程．【解析】本题主要考查一元一次方程的概念及运用．【例12】 当m 为______时，()231m m x -+=是一元一次方程． 【难度】★【答案】3【解析】由3021m m +≠-=，，解得3m =． 【总结】考查利用一元一次方程的概念求字母的值．【例13】 方程()2123x x -=变形为13x x -=，其根据是（ ） A ．方程两边同时加上x B ．方程的两边同时乘以43xC ．方程的两边同时乘以23D ．方程的两边同时乘以32【难度】★【答案】D 【解析】考查一元一次方程的解法．【例14】 解方程：（1）4354x x +=-；（2）0.30.66 1.2x x -=-； （3）93277575x x +=-；（4）()()547715x x ---=．【难度】★【答案】（1）7x =； （2） 4.4x =； （3）2x =-； （4）7x =． 【解析】（1）移项，得：5434x x -=+，解得：7x =；例题解析（2）移项，得：0.3 1.260.6x x +=+，合并，得：1.5 6.6x =，解得： 4.4x =；（3）移项，得：92737755x x -=--， 解得：2x =-；（4）去括号，得：52049715x x --+=，化简，得：1284x =，解得：7x =． 【总结】本题主要考查一元一次方程的解法，注意移项是要改变符号．【例15】 下列解方程过程中，变形正确的是（ ）A ．由213x -=得231x =-B ．由9798x -=得9798x =-C ．由0.311 1.240.1x x ++=+得31011241x x ++=+D ．由132x x-=得236x x -=【难度】★★【答案】D 【解析】A 、2x=3+1；B 、9897x =-；C 、右边乘了10，左边没变，所以不正确． 【总结】本题主要考查一元一次方程的化简，注意移项和去括号都要改变符号．【例16】 若方程()2310n a x bx c +++=表示关于x 的一元一次方程，则常数a 、b 、c 、n 必须满足怎样的条件？【难度】★★【答案】13a =-；0b ≠；1n =；c 为任意实数．【解析】因为方程是一元一次方程，所以31001a b n c +=⎧⎪≠⎪⎨=⎪⎪⎩为任意实数，解得：1301a b n c ⎧≠-⎪⎪⎪≠⎨⎪=⎪⎪⎩为任意实数．【总结】考查一元一次方程的概念的运用．【例17】 解方程：（1）()()()2234191x x x ---=-；（2）()30%70%440%x x x ++=-；（3）32122234x x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）()()()21133336424x x x -+-=-+；（5）0.40.31.60.20.5x x +--=-． 【难度】★★【答案】（1）10x =-（2）2x =-；（3）8x =-；（4）92x =；（5） 1.4x =-． 【解析】（1）去括号，得：2412399x x x --+=-，移项，得：1292493x x x --=--+，解得：10x =-，所以原方程的解为10x =-；（2）两边同乘100，得：()3744x x x ++=-，化简，得：1428x =-，解得：2x =-； （3）去括号，得：1324x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，化简，得：364x -=，解得：8x =-；（4）去分母，得：()213623924x x x -+-=-+，去括号，得：216362315x x x -+-=+， 合并，得：1957315x x -=+，化简，得：1672x =，解得：92x =； （5）去分母，得：()()50.420.3 1.6x x +--=-，去括号，得：5220.6 1.6x x +-+=-， 化简，得：3 4.2x =-， 解得： 1.4x =-，所以原方程的解为 1.4x =-． 【总结】本题主要考查一元一次方程的解法，注意按照步骤一步一步去解．【例18】 当x =______时，代数式()1316x +与233x -的值为互为相反数． 【难度】★★【答案】19．【解析】由题意知，()1231363x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，去括号，得：31184x x +=-+，解得：19x =．【总结】考查相反数的概念及一元一次方程的解法．【例19】 已知关于x 的方程()()324x a x a +=-的解为3x =，求a 的值． 【难度】★★★【答案】67a =-．【解析】由题已知当3x =时原等式成立，将3x =代入原式，得()()32343a a ⨯⨯+=⨯-，去括号，得：183124a a +=-，解得：67a =-．【总结】本题先将方程的解代入方程从而得到关于a 的一元一次方程，再求出解即可．【例20】 解方程：235x +=． 【难度】★★★【答案】1x =或4x =-．【解析】①当235x +=时，1x =；②当235x +=-时，4x =-．【总结】本题综合性较强，主要考查含有绝对值的方程的解法，注意要分类讨论．【例21】 解方程：100813355720152017x x x x++++=⨯⨯⨯⨯．【难度】★★★【答案】2017x =．8 / 16【解析】逆用乘法分配律，得：1111100813355720152017x ⎛⎫++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭裂项，得：11111111100823355720152017x ⎛⎫-+-+-++-= ⎪⎝⎭即11100822017x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，去分母，得：2016100820172x⋅=， 解得：2017x =，所以，原方程的解为2017x =．【总结】本题综合性较强，一方面考查了分数裂项的运用，另一方面考查了一元一次方程的 求解，计算时要细心一些．【例22】 若a 、b 、c 是正数，解方程：3x a b x b c x c ac a b------++=． 【难度】★★★【答案】x a b c =++．【解析】由题意，可得：3x a b x b c x a cc c a a b b +++-+-+-=，通分，得：()()()()3ab a b bc b c ac a c ab ac bc xabc abc+++++⎡⎤++⎣⎦-= 去分母，得：()()()()3ab ac bc x abc ab a b bc b c ac a c ++=++++++ 即()()()()ab ac bc x abc ab a b abc bc b c abc ac a c ++=++++++++进一步变形，得：()()()()ab ac bc x ab a b c bc a b c ac a b c ++=++++++++ 解得：x a b c =++， 所以原方程的解为x a b c =++．【总结】本题综合性非常强，主要考查含字母的一元一次方程的解法，解题时要注意方法，认真观察每一项的特征，找出公共的因式，然后逆用乘法分配律从而求出方程的解．1、 列方程解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量 之间的数量关系； （2）设未知数（元）；模块三：一元一次方程的应用知识精讲（3）列方程； （4）解方程； （5）检验并作答．【例23】 列方程求解：（1）某数与6的和的3倍等于21，求这个数；（2）矩形的周长是40，长比宽多10，求矩形的长和宽． 【难度】★【答案】（1）1； （2）长是15，宽是5．【解析】（1）设这个数为x ，则()6321x +⨯=，解得：1x =，故这个数为1；（2）设矩形的长为x ，则宽为x -10，故可列方程为：()21040x x +-=，解得15x =， 所以这个矩形的长是15，宽是20155-=． 【总结】本题主要考查列方程解应用题的运用．【例24】 三个连续整数的和为93，求这三个数． 【难度】★【答案】30、31、32．【解析】设这三个数分别为x 、x +1、x +2，则()()1293x x x ++++=， 解得：x =30 所以这三个数分别为30、31、32．【总结】本题主要考查列方程解应用题的运用．【例25】 甲、乙两桶油质量相等．甲桶用去26千克，乙桶加入14千克，此时乙桶油的质量是甲桶油的3倍，两桶油原来各多少千克？【难度】★★【答案】46千克．【解析】设两桶油原来各有x 千克，则可得：()32614x x -=+ ，解得：46x =， 所以原来各有46千克．【总结】考查方程在实际问题中的运用．【例26】 一根电线，第一次用去13，第二次用去16米，还剩全长的25，这根电线的原长多少米？【难度】★★【答案】60【解析】解设原长x 米，则由题意得，211653x x x =--，解得60x =，所以这根电线原厂60米．【总结】考查方程在实际问题中的运用．例题解析【例27】 某班学生合买一件纪念品，每人出0.6元，则多出4.8元，若每人出0.5元，则差0.3元，求该班的学生人数．【难度】★★【答案】52．【解析】解设有x 名学生，则0.6 4.80.50.3x x -=+，解得51x =， 故该班的学生人数为51人． 【总结】考查方程在实际问题中的运用．【例28】 鸡和兔一共20只，共有70条腿，求鸡和兔各有几只？ 【难度】★★★【答案】鸡5只、兔15只．【解析】设鸡有x 只，则兔有（20-x ）只，列方程，得：()242070x x +-=，解得5x =． 故鸡有5只，兔子有15只．【总结】考查方程在实际问题中的运用．【例29】 希腊数学家丢番图（公元3~4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他的寿命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感动很幸福；可是儿子只活了他父亲年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”请回答： （1）他结婚的年龄；（2）他开始当爸爸的年龄；（3）他儿子死时他的年龄； （4）他去世时的年龄．【难度】★★★【答案】（1）21岁；（2）38岁；（3）80岁； （4）84岁． 【解析】设他的寿命为x 岁，则由题意，得：11115461272x x x x x +++++=，解得：84x =．（1）故结婚的年龄为：11848421612⨯+⨯=岁；（2）故他开始当爸爸的年龄为：121845387+⨯+=岁；（3）他儿子死时他的年龄为：84480-=岁； （4）他去世时的年龄为84岁．【总结】考查列方程解应用题的运用，本题中要注意分析题目中条件，找到等量关系，求出 方程的解，从而得到不同阶段的年龄．【例30】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？（假设每头牛每天吃草量相同）【难度】★★★【答案】5天．【解析】设牛每天吃草x ，草每天生长量为y ，原草量为z ，则201020z y x +=⨯， 101510z y x +=⨯， 可得：5y x =，100z x =，设25头牛吃t 天，则25z t y t x +⨯=⨯⨯，即100525x xt xt += ，解得：5t =， 故可供25头牛吃5天．【总结】本题综合性较强，是著名的“牛吃草”问题，解题时一定要注意分析题目中的条件， 设出恰当的量，从而找到等量关系求出方程的解来．【习题1】 下列式子中，不是方程的是（ ）A ．5x y +=B ．3y =-C ．2x y -D ．21x =-【难度】★【答案】C 【解析】C 不是等式．【总结】考查方程的概念．【习题2】 判断下列方程是不是一元一次方程：（1）511x =；（2）2100x -=； （3）392yx -=；（4）()4320t t -+=．【难度】★【答案】（2）、（3）不是一元一次方程． 【解析】（2）是一元二次方程；（3）是二元一次方程． 【总结】本题主要考查一元一次方程的概念．【习题3】 和方程334x x -=+的解不完全相同的方程是（ ）A ．74511x x -=-B ．1203x +=+C ．()()()()2213134a x a x +-=++ D ．()()()()7415111x x x x --=-- 【难度】★★【答案】D【解析】易得方程334x x -=+的解为72x =-， 方程A 的解为72x =-；方程B 的解为72x =-；方程C 的解为72x =-；方程D 的解为72x =-或1x =．故选D ．【总结】本题主要考查一元一次方程的解法．随堂检测【习题4】 当a ______，n =______时，方程()2232n a x -+-=是一元一次方程． 【难度】★★【答案】2a ≠-，3n =．【解析】由一元一次方程的概念，可得：20a +≠且21n -= ，解得：2a ≠-，3n =． 【总结】本题主要考查对一元一次方程的概念的理解．【习题5】 检验下列各数是不是方程124326x x x+-+-=的解． （1）1x =；（2）2x =．【难度】★★【答案】（1）不是； （2）是．【解析】（1）当1x =时，左边=111221732326+--=+=，右边=5766≠，所以1x =不是原方程的解；（2）当2x =时，左边=2122132+--=，右边=4216+==左边，所以2x =是原方程的解．【总结】本题主要考查方程的解的概念．【习题6】 根据条件，设未知数，列方程．（1）学校举办科技节，航模组16人，小明加入车模组后，航模组的人数比车模组人数的14多5人，求原车模组人数；（2）小智和小方交流暑假活动，小智说：“我参加了夏令营，外出五天，这五天的日期之和为40，你知道我是几号出去的吗？”请你帮小方解决这个问题．【难度】★★【答案】（1）()115164x +⨯+=；（2）()()()()123440x x x x x ++++++++=．【解析】（1）设原车模组有x 人，由题意得()115164x +⨯+=；（2）设小智x 号出去的，由题意得：()()()()123440x x x x x ++++++++=． 【总结】本题主要考查根据题意列出方程，主要是找到题目中的等量关系．【习题7】 解方程：（1）111128612345x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭； （2）()0.370%20020054%x x +-=⨯；（3）0.20.50.030.0250.50.032x x x ++--=． 【难度】★★ 【答案】（1）70x =-； （2）80x =； （3）7523x =． 【解析】（1）去大括号，得：1112831645x ⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，去中括号，得：1182312456x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，去小括号，得：12831120246x --+=，解得：70x =-， 所以70x =-是方程的解；（2）去括号，得：0.31400.7108x x +-=， 合并，得：0.432x =，解得：80x =， 所以80x =是方程的解；（3）小数化整数，得：22511532x x x -+--=， 合并，得：225532x x x --=，去分母，得：81575x x -=-，解得：7523x =，所以7523x =是方程的解． 【总结】本题主要考查解一元一次方程．【习题8】 若x = 2是方程40ax -=的解，求方程243xax x a -=+的解． 【难度】★★【答案】3x =．【解析】因为x = 2是方程40ax -=的解，所以420a -=，解得：2a =， 所以243x ax x a -=+可变行为483x x x -=+，即883x =，解得：3x =．【总结】本题主要考查对方程的解的概念的理解及运用．【习题9】 小智今年的年龄是妈妈的13，两年前母子的年龄相差24岁，那么四年后母子的年龄和为多少？【难度】★★【答案】56岁．【解析】设今年小智的年龄为x 岁，则妈妈的年龄为3x 岁， 根据题意，可得：324x x -=，解得：x =12， 所以4年后母子年龄和为：12+3×12+4×2=56岁．【总结】本题主要考查列方程解应用题，注意母子的年龄差是永远不变的．【习题10】 方程()72234x x -=-和方程()()7463x a x a ++=--+的解相同，求a 的值． 【难度】★★★【答案】a 的值为3．【解析】由方程714234x x -=-，得：520x =-，解得：4x =-；14 / 16将4x =-代入()()7463x a x a ++=--+中， 得：()()744634a a -++=---+， 去括号，得：72846123a a -+=-+-， 化简，得：1030a = 解得：3a =．【总结】本题综合性较强，要理解两个方程的解相同的真正含义，从而求出字母的值．【作业1】 判断下列各式是不是方程，如果不是说明理由．（1）41y x =-；（2）232x x ++；（3）8998⨯=⨯；（4）1 = 0． 【难度】★【答案】（1）是；（2）不是，不是等式；（3）不是，无未知数；（4）不是，无未知数． 【解析】含有未知数的等式叫做方程．【总结】本题主要考查方程的概念．【作业2】 下列方程中是一元一次方程的是（ ）A ．12x x+= B ．2520x x -+=C ．2163x-= D ．40xy -=【难度】★【答案】C【解析】A 分母中含有未知数；B 是一元二次方程；D 是二元一次方程，故选C ． 【总结】本题主要考查一元一次方程的概念．【作业3】 方程5324x x +=-移项可得（ ）A ．5234x x +=-B ．5234x x -=-C ．5234x x +=--D ．5234x x -=--【难度】★【答案】D 【解析】在解方程中，移项时要改变符号．【作业4】 检验2、3-是不是方程2560x x -+=的解． 【难度】★★【答案】2是，3-不是．【解析】当2x =时，225260-⨯+=， 所以2x =是方程的解；当3x =-时，()()235369156300--⨯-+=++=≠，所以3x =-不是方程的解．课后作业【总结】本题主要考查方程的解的概念及判断．【作业5】 解方程：（1）211136x xx +---=+；（2）()35%25%10030024%x x +-=⨯； （3）1.7210.30.7x x-=-． 【难度】★★【答案】（1）1x =-； （2）470x =； （3）1417x =． 【解析】（1）去分母，得：()()221166x x x -+--=+， 去括号，得： 42166x x x ---+=+， 合并，得：99x =-，解得：1x =-，所以原方程的解为1x =-；（2）去分母，得：0.35250.2572x x +-= ，合并，得：0.147x =，解得：470x =， 所以470x =是原方程的解；（3）分母化为整数，得：172010137x x-=-，去分母，得： ()717203021x x -=-，去括号，得：1191403021x x -=-，解得：1417x =，所以1417x =是原方程的解． 【总结】本题主要考查解一元一次方程方程，注意符号的变化．【作业6】 关于x 的方程()22450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x =___． 【难度】★★【答案】54． 【解析】因为原方程为一元一次方程，所以20k +=，即2k =-，则原方程变为：8100x -+= ，解得：54x =．【总结】本题主要考查一元一次方程概念的理解及运用，及一元一次方程的求解．【作业7】 方程32x -=的解是______． 【难度】★★【答案】1x =或5x =．【解析】当32x -=时，解得：1x =； 当32x -=时，解得：5x =． 【总结】本题主要考查含绝对值方程的求解，注意要分类讨论．【作业8】 已知2-是关于x 的方程()21523mx x =+-的解，则()201721117m m -+=______．【难度】★★【答案】1-．【解析】由题意，得：()()125243m ⨯-=⨯-+，即263m -=-， 解得：9m =，所以()()()20172017201722111791191711m m -+=-⨯+=-=-．【总结】本题主要考查方程的解及一元一次方程求解的综合运用．【作业9】 甲、乙两人各有钱若干元，已知甲的钱数是乙的4倍，当甲花去13后，又花去余下的13，如果这时甲给乙7元钱，甲、乙两人的钱数正好相等，问甲原来有多少钱？【难度】★★★ 【答案】72元．【解析】设甲、乙原来各有4x 元钱、x 元钱，由题意得111744447333x x x x x ⎛⎫+=-⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭，解得：x =18所以甲原来有18×4=72元．【总结】本题主要考查利用列方程解决实际问题．【作业10】 已知方程124123x x +--=的解是2a +， 那么方程()()2233x x a +--=⎡⎤⎣⎦3a 的解是______． 【难度】★★★【答案】212x =．【解析】由题意，得：()22421123a a +-++-= ， 即32123a a+-= ，解得：3a =， 所以原方程可化为：()()43639x x +--=， 去括号，得：4126189x x +-+=，解得：212x =．【总结】本题综合性较强，主要考查方程的解及解一元一次方程的综合运用．。
第十七讲 一元一次方程的解法
导学二 ： 一元一次方程的解法
知识点讲解 移项与合并同类项
例 1. 解方程：5（x-3）=2x+6．
我爱展示
1. 2x+1 5x-1 解方程： - =1． 36
例 1. [单选题] 下列各题中正确的是（
A．由
移项得
C．由
去括号得
）。 B．由
D．由
去分母得 移项、合并同类项得
例 2. [单选题] 对于
B.+1
C.-2
1. x的方程(k+2)x2＋4kx－5k＝0是一元一次方程,则k＝_______,方程的解为_______
2. 若关于x的方程(6－m)x2＋3xn－1＝7是一元一次方程，则m＋n＝________
3. 若 和
互为相反数，则y是多少？
4. 若方程2x+a=3(x+2)－2(x+1)的解为4，则a的值是多少？
解析:解：把x＝﹣2代入方程2x＋a﹣4＝0，
得到：﹣4＋a﹣4＝0 解得a＝8． 6.解：将x=4代入方程得：-3m-4=2+3m， 解得：m=-1， 则原式=1+1=2． 故答案为：2
解析: 将x=4代入方程计算求出m的值，代入所求式子计算即可求出值．
导学二 知识点讲解 移项与合并同类项 例题
1.解：去括号得：5x-15=2x+6， 移项合并得：3x=21， 解得：x=7．
8.C
9.B
课后作业
1.
2.7 3.
4.0 5.A
解析:
解：由题意得，3﹣2a≠0， 解得，a≠ ，
则
＞0，
故选：A． 6.解：kx-1=2x， （k-2）x=1，
1 x= ，
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教师姓名 学生姓名
年 级
预初
上课时间 学 科 数学
课题名称
一元一次方程的概念及解法
周次
5
教学目标
1.理解和掌握方程的概念、方程中的项、系数、次数的概念；
2.掌握方程的解的概念和应用。
教学重难点 1.能够正确理解题意，找出等量关系式，列方程； 2.能够解决关于方程的解的解答题。
知识点回顾 1、方程的概念
用字母x 、y 、等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数。
含有未知数的等式叫做方程。
在方程中，所含的未知数又称为元。
例题：下列各式是方程的是（ ）
A.3x-2
B.7y-5=2
C.a+b
D.5-3=2 练习：有以下式子：(1) x ；(2)错误!未找到引用源。
+2 ； (3)
x
1
； (4)错误!未找到引用源。
=9； (5)错误!未找到引用源。
y ； (6)x+3>5 ；错误!未找到引用源。
(7)2(z+1)=2； (8)错误!未找到引用源。
+2y=0， 其中方程的个数是( )．
2、方程中的项、系数、次数等概念
（1）项：在方程中，被“+”、“-”，号隔开的每一部分（包括这部分前面的“十”、“-”号在内）称为一项． （2）未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母叫做未知数的系数． （3）项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数． （4）常数项：不含未知数的项，称为常数项.
例题：方程-3xy+8x-8=0中有_____项；它们分别是_____________________；-3xy 项的系数是______,次数是____________,常数项是___________。
练习：（1）方程
05
6
x 22=+-x 中有_____项；它们分别是_____________________；2x 项的系数是______。
（2）方程1047
2-3
=+x x 中常数项是__________；三次项是___________。
3、列方程
为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程。
例题：一个长方形篮球场的周长为86米，长是宽的2倍少2米，这个篮球场的长与宽分别是多少米？
用两种方法列式：
方程：设这个篮球场的宽为x 米，则长为（2x -2）米
2（2x -2+x ）=86
想一想：你能再列一种方程吗？你还能用列式计算吗？
9、方程 ()()22230a x a x +---=是一元一次方程，则a 等于（ ）．
A ．2-
B ． 2
C ． 2±
D ． 0
10、若关于x 的方程()1350n m x +--=是一元一次方程，则m 、n 的取值是（ ）．
A ． 3,1m n ==-
B ． 3,0m n ≠=
C ． 0,0m n ≠=
D ． 3,1m n ≠=- 11、解方程
（1）2234191()()()x x x ---=- （2）121212
3
1x x x --⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-()()． 解： 解：
课后练习
针对性练习
知识点一：一元一次方程概念
1. 下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）。
A ．
0127
=+y
B.082=+y x C ．03=z D.0232=-+x x 2. 如果4x 2-2xm
= 7是关于x 的一元一次方程，那么m 的值是 。
3. 关于x 的方程(2k -1)x 2
-(2k + 1)x + 3 = 0是一元一次方程, 则k 值为 。
知识点二：方程的解
1. 方程
1
2
x - 3 = 2 + 3x 的解是 。
2. 若x = -3是方程3(x - a) = 7的解,则a = ________. 3.
知识点三：等式的性质
1. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是 （ ）
2. 把方程762+=-y y 变形为672+=-y y ，这种变形叫 ，根据是 。
知识点四：解方程应用
1. 若代数式
213
k
--的值是1,则k = _________. 2. 当x = ________时,代数式12x -与1
13x +-的值相等.
3. 若4a-9与3a-5互为相反数, 则a 2
- 2a + 1的值为_________.
4. 当x= 时，式子
21-x 与3
2
-x 互为相反数。
5. 解方程：3
2
3221+-
=--x x x 解：去分母，得424136+-=+-x x x ……① 即 8213+-=+-x x ……②
移项，得 1823-=+-x x ……③
合并同类项，得 7=-x ……④
∴ 7-=x ……⑤
上述解方程的过程中，是否有错误？答：__________；如果有错误，则错在__________步。
如果上述解方程有错误，请你给出正确的解题过程：
6.若a 、b 、c 、d 为有理数，现在规定一种新运算：d c b a =bc ad -,若x
12
3x -=8，则x =____________________ 7.解方程
（1）x x 3.15.67.05.0-=- (2))1(16)12(32+-=-+x x x
(3)1
1
(45)(32)132
y y +--= (4)
巩固提升：。