《高中数学》必会基础练习题 《导数》

《数学》必会基础题型——《导数》

【知识点】

1.导数公式：'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =-

'()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a

=

2.运算法则：'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''

()uv u v uv =+ ''

'2()u u v uv v v -=

3.复合函数的求导法则：（整体代换）例如：已知2()3sin (2)3

f x x π=+，求'()f x 。 解：''()32sin(2)[sin(2)]33f x x x ππ=⋅+⋅+'6sin(2)cos(2)(2)333

x x x πππ

=+⋅++ 6sin(2)cos(2)212sin(2)cos(2)3333x x x x ππππ=+⋅+⋅=+⋅+26sin(4)3

x π=+

4.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。

5.导数的几何意义：导数就是切线斜率。

6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数：对于给定区间[,]a b 内，若'()0f x >，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若'()0f x <，则()f x 在[,]a b 内是减函数。

【题型一】求函数的导数 (1)ln x y x = (2)2sin(3)4

y x π=- (3)2(1)x y e x =- (4)3235y x x =-- (5)231x x y x -=+ (6)2211()y x x x x =++ 【题型二】导数的物理意义的应用

1.一杯90C 红茶置于25C 的房间里，它的温度会不断下降，设温度T 与时间t 的

关系是函数()T f t =，则'()f t 符号为 。'(3)2f =-的实际意义是 。

2.已知物体的运动方程为223s t t

=+（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为 。

【题型三】导数与切线方程（导数的几何意义的应用）

3.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是 。

4.若(1,)B m 是32y x x =+-上的点，则曲线在点B 处的切线方程是 。

5.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+，则点P 的坐标是 。

6.若2

3ln 4

x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为 。 7.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切, 则a = 。

8.已知曲线11

x y x +=-在(3,2)处的切线与0ax y m ++=垂直，则a = 。 9.已知直线y x m =+与曲线321y x x =-+相切，求切点P 的坐标及参数m 的值。

10.若曲线)(x h y =在点（,()a h a ）处切线方程为012=++y x ，那么（ ）

A ．0)('a h C. 0)('=a h D. )('a h 的符号不定

11.曲线46323+++=x x x y 的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 。

12.求曲线3231y x x =-++过点(1,1)和(2,5)的切线方程。【易错题】

【题型四】导数与单调区间

13.函数13)(23+-=x x x f 的减区间为 。

14.函数)0,0(≥>=-x n e x y x n 的单调递增区间为 。

15.判断函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ） A.3(,)22ππ B.(,)22

ππ- C.(,2)ππ D.(0,)π 16.已知函数32321y x x =+-在区间(,0)m 上为减函数, 则m 的取值范围是 。

【题型五】导数与极值、最值

17.函数3125y x x =-+在x = 时取得极大值 ，在x = 时取得极小值 。

18.函数32()23f x x x =-+在[1,1]-上的最大值是 ，与最小值是 。

19.函数)0(≥-=x x x y 的最大值为 。

20.函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 时取得极值, 则=a 。

21.已知a a x x x f (62)(23+-=为常数)在]2,2[-上有最大值是3, 那么]2,2[-在上的最小值是 。

22.已知函数322+--=x x y 在区间[,2]a 上的最大值为154

, 则a = 。 23.函数⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-∈-=2,2,2sin ππx x x y 的最大值是 ，最小值是 。 24.若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，求a 的取值范围。

【题型六】导数与零点，恒成立问题

零点定理：若函数()f x 在区间[,]a b 上满足()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间[,]a b 上是至少有一个零点。（即()0f x =在区间[,]a b 上是至少有一个解）

25.判断函数2()log (2)f x x x =+-在[1,3]上是否存在零点？

26.已知[1,3]x ∈-，且144234++-≤x x x a 恒成立，则a 的最大值为 。

27.证明ln x x < (0)x >恒成立。 练习：证明x e x > (0)x >恒成立

28.已知函数321()22

f x x x x c =--+，若对于[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。