数学期望在经济生活中的应用

数学期望在经济生活中的应用

【摘要】数学期望是随机变量的重要数字特征之一。本文通过探讨数学期望在决策、利润、委托代理关系、彩票等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中的应用。

【关键词】随机变量数学期望经济应用

数学期望(mathematical expectation)简称期望．又称均值，是概率论中一项重要的数字特征．在经济管理工作中有着重要的应用。本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。

一．决策方案问题

决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案A(i=1，2，⋯，m)在每个影响因素S(j=1．2，⋯，n)发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率，则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。

1．风险方案

假设某公司预计市场的需求将会增长。目前公司的员工都满负荷地工作着．为满足市场需求，公司考虑是否让员工超时工作或以添置设备的办法提高产量。假设公司预测市场需求量增加的概率为P，同时还有1-p的可能市

是合算的。然而现实是不知道哪种情况会出现，因此要比较几种方案获利的

期望大小。用期望值判断，有：E(A

1)=30(1-p)+34p，E(A

2

)=29(1-p)+42p，

E(A

3)=25(1-p)+44p。事实上．若p=0.8，则E(A

1

)-33.2（万），

E(A

2)=39.4(万)，E(A

3

)=40.2(万)，于是公司可以决定更新设备，扩大生产。

若p=O.5，则E(A

1)=32(万),E(A

2

)=35.5(万)，E(A

3

)=34.5(万)，此时公司

可决定采取员工超时工作的应急措施。由此可见，只要市场需求增长可能性在50％以上．公司就应采取一定的措施，以期利润的增长。

2．投资方案

假设某人用10万元进行为期一年的投资．有两种投资方案：一是购买股票：二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济绝势，若经济形势

好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。如果存入银行．假设利率为8％，可得利息8000元．又设经济形势好．中．差的概率分别为30％，50％、20％。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大?

比较两种投资方案获利的期望大小：

购买股票的获利期望是E(A

1

)=40.3+10.5+(-2)0.2=1.3(万元)，存

入银行的获利期望是E(A

2)=O.8(万元)．由于E(A

1

)>E(A

2

)，所以购买股票

的期望收益比存入银行的期望收益大．应采用购买股票的方案。在这里．投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素．做出选择的根据必须是数学期望高的方案。

3．面试方案

设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知．假定每个公司有三种不同的职位：极好的，工资4万；好的，工资3万；一般的，工资2.5万。估计能得到这些职位的概率为0.2，0.3，0.4，有0.1的可能得不到任何职位。由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢?

极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作．当然不用做决定了。对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。

先考虑现在进行的是最后一次面试．工资的期望值为：E

1

=40.2+3

0.3+2.50.4+00.1=27万。那么在进行第一次面试时，我们可以认为．如果接受一般的值位．期望工资为2.5万，但若放弃(可到下家公司碰运气)，期望工资为2.7万，因此可选择只接受极好的和好的职位。这一策略下工资总的期望值为40.2+30.3+2.70.5=3.05万。

如果此人接到了三份这样的面试通知．又应如何决策呢?

最后一次面试．工资的期望值仍为27万。第二次面试的期望值可由下列数据求知：极好的职位，工资4万；好的，工资3万；一般的，工资2.5

万；没工作(接受第三次面试)，2.7万。期望值为：E

1

=40.2+30.3+2.5 0.4+2.70.1=3.05万。

这样．对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位．否则进行第二次面试：第二次面试可接受极好的和好的职位．否则进行第三次面试；第三次面试则接受任何可能提供的职位。这一策略下工资总的期望值为40.2+3.05×0.8=3.24万。

故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最大的原则不仅提高就业机会．同时可提高工资的期望值。

二．生产和销售利润问题

在经济活动中．不论是厂家的生产还是商家的销售．总是追求利润的最大化．供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。但供应量和需求量又不是预先知道的。理性的厂家或商家往往根据过去的数据,用数学期望结合微积分的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。

假定某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定其产量。估计出售一件产品,公司可获利m元，而积压一件产品．可导致损失n元。另外，该公司预测产品的销售量x为一个随机变量，其分布为P(x)．那么．产品的产量该如何制定，才能获得最大利润。

假设该公司每年生产该产品x件，尽管x是确定的．但由于需求量(销售量)是一个随机变量，所以收益Y是一个随机变量，它是x的函数：

于是期望收益为问题转化为．当x为何

值时，期望收益可以达到最大值。运用微积分的知识，不难求得。

这个问题的解决，就是求目标函数期望的最大最小值。

三、委托一代理问题

在经济生活中，委托一代理是非常普遍的，例如老板和员工，老板希望在给员工支付工资的同时确保员工能恪尽职守地工作，而员工则希望在拿到薪酬的同时尽量少工作。那么．应采取怎样的策略来确保两方面的平衡呢？我们可以用双方利润的数学期望来分析这一问题。

首先，如果不考虑外界因素的影响，老板的利润会随着员工

的努力程度而增加．另一方面．如果员工的努力程度不变．老板的利润也会受到外界因素的影响，简单综合为运气好和运气差。

假设这两方面的影响可概括如下：

工是否努力工作，在其他情况下无法确定，因此，员工可能会偷懒。另一方面，员工工作只是为了工资收入，努力工作会增加他的劳动成本。简单起见，记其努力工作的劳动成本为10万元．而不努力工作的劳动成本为0万元。因此，对于老板来说最有利的结果当然是员工努力工作。这是因为老板的期

=200.5+400.5=30万；当员工不努力工望利润为：当员工努力工作时E

1

=100.5+200.5=15万。那么,如何能保证员工能够努力工作呢?我作时E

2

们可以考虑不同的报酬形式：固定工资12万元；对员工的努力作出奖励。假设老板可制定报酬计划如下：若利润不超过20万，工资为0。若利润达到40万，工资为24万：分享利润。假设老板可制定报酬计划如下：当利润少于18万时,工资为0，当利润高于18万时，超过部分作为工资奖励给员工。

在这三种报酬形势下．我们分别考虑老板和员工双方的利益；