泛函分析试题一
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泛函分析试题一
一、叙述问答题(第1小题18分，第小题20分，共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题.
设)||||,(11⋅E 和)||||,(22⋅E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(⋅E 为一个赋范线性空间.
2 叙述共鸣定理并回答下列问题.
设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈∀, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例.
二、证明题 (第1小题10分，第2小题15分,第3小题17分,共42分)
1． 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射，A 在X 中稠密，证明)(A f 在1X 中稠密.
2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记
),(),(sup 111
x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞
=n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点.
3. 设H 是内积空间, H N M ⊂,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L .
三、应用题 （20分）
设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b
a )(),())((⎰=定义的
算子T是]
C上的紧算子.
a
[b
,