公式法解一元二次方程知识点及练习
九年级数学上册用公式法解一元二次方程同步练习及答案
用公式法解一元二次方程——典型题专项训练知识点 1 一元二次方程的求根公式1．用公式法解－x2＋3x＝1时，需先求出a，b，c的值，则a，b，c依次为( ) A．－1，3，－1 B．1，－3，－1C．－1，－3，－1 D．－1，3，12．用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( )A．x＝122－3×4)2×3B．x＝122－4×3×4)2C．x＝122＋4×3×4)2D．x＝（－12）2－4×3×4)2×3知识点 2 用公式法解一元二次方程3．方程x2＋3x－14＝0的解是( )A．x＝65)2 B．x＝65)2C．x＝23)2 D．x＝23)24．方程2x2－4x＋1＝0的根是( )A．x1＝1＋2，x2＝1－2B．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2C．x1＝1＋2)2，x2＝1－2)2D．x1＝2＋2，x2＝2－25．用公式法解方程：(1)x2－2x＝1；(2)4x2－3＝12x.知识点 3 一元二次方程根的判别式6．方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．两根异号7．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( ) A．0 B．－1C．2 D．－38．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是________．9．若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．10．已知关于x的方程x2＋2 kx－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k≥0 B．k＞0C．k≥－1 D．k＞－111．关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断12．已知三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是( )A．14 B．12C．12或14 D．以上都不对13．2017·通辽若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k 的取值范围在数轴上表示正确的是( )图2－3－114．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步．经过计算，你的结论是：长比宽多( )A．12步 B．24步C．36步 D．48步15．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为( )A．x＝－2B．x1＝－2，x2＝3C．x1＝3)2，x2＝3)2D．x1＝5)2，x2＝5)216．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m的值．17．已知关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)为m选取一个合适的整数值，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．18．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC 三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．1．A .2．D ．3．B4．C [5．解：(1)x2－2x－1＝0，x＝（－2）2－4×1×（－1）)2×1＝1±2，∴x1＝1＋2，x2＝1－2.(2)4x2－12x－3＝0，x＝（－12）2－4×4×（－3）)2×4＝3)8＝3)2，∴x1＝32＋3，x2＝32－3.6．B7．D .8．49．k≤1且k≠010．A11．A．12．B13．A 14．A15．D16．解：∵关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m－1)2－4×1×4＝0，∴2m－1＝±4，∴m＝52或m＝－32.17．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即[－2(m＋1)]2－4m2＞0，解得m＞－12.(2)∵m＞－12，∴可取m＝0，此时方程为x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.(答案不唯一)18．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2＋2b×(－1)＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，即a＝b，∴△ABC是等腰三角形．(2)△ABC是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，即a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．(3)当△ABC是等边三角形时，(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1.。
公式法解一元二次方程练习题及答案
公式法解一元二次方程练习题一．选择题（共11小题）1．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（）A ．B ．C ．D ．2．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜03．当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k ＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根4．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣2m＝0（其中m）的根的情况是（）A．没有实数根B．有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m B．m C．mD．m6．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（）A．0B．1C．2D．1或27．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k且k≠1B．k且k≠1C．k D．k8．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．49．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k B．kC．k且k≠0D．k且k≠010．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2﹣4ac≥0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＞0D．b2﹣4ac＜011．下列各项中，以x为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0二．填空题（共2小题）12．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m的取值范围是．13．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为．三．解答题（共5小题）14．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a ＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．15．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？16．已知关于x的方程kx2﹣（k+2）x+2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；（2）k为何整数时，方程的根为正整数．17．（1）解方程（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；（2）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a ﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．18．已知关于x 的方程．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？公式法解一元二次方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：x2+x﹣1＝0由题意可得，a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵，∴，即，故选：B．2．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜0【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，故选：A．3．当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k ＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根【解答】解：x2+4x﹣k＝0，Δ＝42+4k＝4（4+k），∵﹣1＜k＜0，∴4+k＞0，∴Δ＞0，∴该方程有两个不等的实数根．故选：B．4．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣2m＝0（其中m）的根的情况是（）A．没有实数根B．有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根【解答】解：由题意，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣2m）＝4m2﹣4m+1+8m＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．∵m，∴（2m+1）2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．5．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m B．mC．m D．m 【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝32﹣4×2m＝9﹣8m＝0，解得：m．故选：C．6．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（）A．0B．1C．2D．1或2【解答】解：∵直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，∴a≤0，∵ax2+x+2＝0，当a＝0，方程ax2+x+2＝0为一元一次方程，即x+2＝0，解得x＝﹣2；方程有一个实数根，当a＜0时，方程ax2+x+2＝0为一元二次方程，∵Δ＝1﹣8a＞0，∴方程有2个实数根．故选：D．7．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k且k≠1B．k且k≠1C．k D．k【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k；当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；综上，k的取值范围是k，故选：D．8．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故选：A．9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k B．kC．k且k≠0D．k且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，∴k≠0，∵方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，解得k，∴k的取值范围是k且k≠0，故选：D．10．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2﹣4ac≥0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＞0D．b2﹣4ac＜0【解答】解：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，则b2﹣4ac≥0；故选：A．11．下列各项中，以x为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0【解答】解：利用公式法可知：A．x，故不符合题意．B．x，故不符合题意．C．x，故不符合题意．D．x，故符合题意．故选：D．二．填空题（共2小题）12．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m 的取值范围是m且m≠2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x ﹣1＝0总有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且m﹣2≠0，∴9﹣4（m﹣2）×（﹣1）＞0且m﹣2≠0，∴m 且m≠2．故答案为：m且m≠2．13．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为．【解答】解：根据题意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5，整理，得：x2﹣x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，则x，∴x1，x2，∵点A在数轴的负半轴，∴2x﹣1＜0，即x，∴x，故答案为：．三．解答题（共5小题）14．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a ＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k ＝0，∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣12k＝k2+6k+9﹣12k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，则无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b＝c时，k＝3，方程为x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，此时三边长为1，3，3，周长为1+3+3＝7；当a＝b＝1或a＝c＝1时，把x＝1代入方程得：1﹣（k+3）+3k＝0，解得：k＝1，此时方程为：x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝1，当x'＝1时，此时三边长为1，1，3，不能组成三角形，当x＝3时，此时三边长为1，3，3，周长为3+3+1＝7，综上所述，△ABC的周长为7．15．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？【解答】解：（1）[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，（m﹣1）x﹣（m+1）＝0或x﹣1＝0，所以x 1，x2＝1；（2）x 1，由于m为整数，所以当m﹣1＝1或2时，x为正整数，此时m＝2或m＝3，所以m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．16．已知关于x的方程kx2﹣（k+2）x+2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；（2）k为何整数时，方程的根为正整数．【解答】解：（1）当k＝0时，方程有根x＝1；当k≠0时，Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，综上，无论k为何值时，这个方程总有两个实数根；（2）当k＝0时，方程有根x＝1，符合题意；当k≠0时，∵kx2﹣（k+2）x+2＝0，∴（kx﹣2）（x﹣1）＝0，∴x 1，x2＝1，∵方程的两个实数根都是正整数，∴k＝1或2．综上，k的整数值为0、1、2．17．（1）解方程（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；（2）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a ﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；移项得，（x ﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，∴（x﹣3）（3x﹣3）＝0，∴x1＝3，x2＝1；（2）①△ABC为等腰三角形；理由如下：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，∴△ABC为等腰三角形；②△ABC为直角三角形；理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，∴△ABC为直角三角形；③∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．18．已知关于x 的方程．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？【解答】解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）＝4（k）2≥0，此时方程有两个实数根．综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．（2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k）＝0，解得k＝1，∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0，解方程得x1＝1，x2＝2，∴方程的另一根是2；（3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0．∴4（k）2＝0，解得：k．此时原方程化为x2﹣4x+4＝0∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形，当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k）＝0，求得k，∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0．解得x＝2或4，∴c＝2，∴周长为4+4+2＝10．故这个等腰三角形的周长是10．。
10道公式法解一元二次方程练习题及答案
10道公式法解一元二次方程练习题及答案公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二?b?2?4ac2次方程ax?bx?c?0的求根公式：x?。
公式法2a2的步骤：就是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的根是_____ 当b-4ac 2．方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则有____ ____ ，?若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有个4．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则此长方形的周长为________．1?x2x2?x?15．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数．426．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．7．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．8．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．9．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=． A．0B．1C．-1D．±110．用公式法解方程4y2=12y+3，得到A．B．y= C．D．11．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a+2bx-c=0的两根相等，则△ABC为A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形12. 用公式法解下列方程：112x2-3x-5=02t2+3=7t x2+x-=03222x??2?0 x?6x?12?0 x=4x+222－3x＋22x－24＝0 x=x－ x+5=02=44x-2=0x+x-35=013. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4?×2?×6=48求3※5的值；求x※x+2※x-2※4=0中x的值；若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用公式法解一元二次方程练习题姓名______________一．填空题。
用公式法一元二次方程的解法(3个知识点9种题型2个易错点3种中考考法)(原卷版)-初中数学9年级上册
专题06用公式法一元二次方程的解法（3个知识点9种题型2个易错点3种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：求根公式知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）【方法二】实例探索法题型1：不解方程判断方程根的情况题型2：用公式法解一元二次方程题型3：解系数中有字母的一元二次方程题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围题型5：利用一元二次方程根的情况讨论分式有无意义的问题题型6：新定义与一元二次方程综合题型7：一元二次方程与一次函数的综合题型8：用公式法解关于一元二次方程的实际应用题型9：利用根的判别式判断三角形的形状【方法三】差异对比法易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件易错点2：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题【方法四】仿真实战法考法1：用公式法解一元二次方程考法2：根据根的判别式判断方程根的情况考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围【方法五】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：142b x a-+=，2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）用公式法解一元二次方程一般步骤1把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）；2确定a 、b 、c 的值；3求出24b ac -的值（或代数式）；4若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）1.根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆-．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆->时，方程有两个不相等的实数根；当2=40b ac ∆-=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆-<时，方程没有实数根．2.根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．【方法二】实例探索法题型1：不解方程判断方程根的情况1.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x --=；（2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +-=．2.当m 取何值时，关于x 的方程221(2)104x m x m +-+-=，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？题型2：用公式法解一元二次方程3.用公式法解下列方程：（1）2270x x -+=；（2）211042x x -=．4.用公式法解下列方程：（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．5.用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．6.用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．7.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-=．题型3：解系数中有字母的一元二次方程8.用配方法解下列关于x 的方程：220ax x ++=（0a ≠）．9.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a --=．题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围10．（2023•罗山县三模）若关于x 的方程x 2+2x ＝c 无实数根，则c 的值可以是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．113.已知关于x 的方程()21230m x mx m +++-=总有实数根，求m 的取值范围．15．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a 、b 、c 、d 有[a ，b ]*[c ，d ]＝ac ﹣bd ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知关于x 的方程[x ，2x ﹣1]*[mx +1，m ]＝0有两个实数根，求m 的取值范围．题型7：一元二次方程与一次函数的综合18．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2210x x kb +++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（）．．．．2023春·山东济南·八年级统考期末）关于的一元二次方程axax b+的图象经过第一、二、四象限，设2a b=+，则t的取值范围是（．1142t<<B．1122t-≤<20.某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为了减少库存量，且在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？题型9：利用根的判别式判断三角形的形状21．（2022•天津模拟）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．求此时m 的值．【方法三】差异对比法易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件23．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程2(4)(21)0m x m x m ---+=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取满足要求的最小正整数时，求方程的解．易错点2：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题24．（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）解关于x 的方程：()()2245260k x k x ---+=．25．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知关于x 的方程()()212110k x k x k +--+-=(1)当k 取什么值时，方程只有一个根？(2)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【方法四】仿真实战法考法：用公式法解一元二次方程26．（2021•无锡）（解方程：2x（x﹣2）＝1；27．（2020•无锡）解方程：x2+x﹣1＝0；考法2：根据根的判别式判断方程根的情况28．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根29．（2023•滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能判定30．（2023•广元）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定31．（2023•内江）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x 的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定32．（2023•广安）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断33．（2023•泸州）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．实数根的个数与实数a的取值有关考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围34．（2023•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣9B．C．D．935．（2023•兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．436．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0 37．（2023•眉山）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．B．m＞3C．m≤3D．m＜338．（2023•辽宁）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．39．（2023•宁夏）方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．40．（2023•泰安）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【方法五】成功评定法一、单选题二、填空题三、解答题18．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程：2++=．240x x k k=时，解方程；(1)当1x-，求k．(2)若2++=的一个解是=1x x k24019．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）解方程：23270x x--=(1)当点E与点C重合时，求ME的长；(2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长．(1)点B的坐标为，直线AB的表达式为．(2)点C在y轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点(3)当点C在y轴上移动时，点P也随之运动，探究点关系式表达出来；为等腰三角形时，直接写出点(4)点C在y轴上移动过程中，当OBP(1)求点C 的坐标；(2)连接AD ，在直线CD 上是否存在点E ，使得2EAC DAC S S = ．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，已知()7.5,0G -，()1,0H ，过B 作BF x ∥轴且 3.5BF =；若点G 沿GH 方向以每秒2个单位长度运动，同时，F 点沿FB 方向以每秒1个单位长度运动经过t 秒的运动，G 到达G '处，F 到达F '处，连接F H '、F G ''．问：F G ''能否平分FF H '∠？若能，请直接写出t 的值；若不能，请说明理由．。
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习(含答案)
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习（含答案）一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥24．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中,a=______,b=______,c=______,则方程的根是______．6．若x1,x2分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2=______．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是______．9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根______．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是______．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x=______．13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是______．14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2=______．三、解答题（共4小题,满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．16．不解方程,判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．《公式法》参考答案与试题解析一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x=0,∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0,∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0,∴没有实数根,故选：C．3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2【解答】解；（x+1）2﹣m=0,（x+1）2=m,∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,∴m≥0,故选：B．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0 【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣1）2﹣4k＞0,解得k＜且k≠0．故选C．二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中,a= ,b= 1 ,c= ﹣3 ,则方程的根是x1=﹣1+,x2=﹣1﹣．【解答】解：移项得, x+x﹣3=0∴a=,b=1,c=﹣3∴b2﹣4ac=7∴x1=﹣1+,x2=﹣1﹣．6．若x1,x2分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2= 3 ．【解答】解：根据题意得x1+x2=3．故答案为3．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是1＜c ＜5 ．【解答】解：∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,∴x1+x2=5,x1x2=6∵（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=25﹣24=1∴x1﹣x2=1,又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2,∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是k＞﹣2且k≠﹣1 ．【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）•（﹣1）＞0,解得k＞﹣2且k≠﹣1．故答案为k＞﹣2且k≠﹣1．9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根x2+x﹣1=0 ．【解答】解：比如a=1,b=1,c=﹣1,∴△=b2﹣4ac=1+4=5＞0,∴方程为x2+x﹣1=0．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是方程有两个相等的实数根．【解答】解：∵△=12﹣4×=0,∴方程有两个相等的实数根故答案为方程有两个相等的实数根．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是a≥﹣1 ．【解答】解：当a=0时,方程是一元一次方程,有实数根,当a≠0时,方程是一元二次方程,若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0,解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x= 1±．【解答】解：根据题意得：7x（x+5）﹣6x2﹣37x﹣9=0,这里的：x2﹣2x﹣9=0,这里a=1,b=﹣2,c=﹣9,∵△=4+36=40,故答案为：1±13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是k＞4 ．【解答】解：依题意可得x2﹣4x+k=0无解,也就是这个一元二次方程无实数根,那么根据根的判别式△=b2﹣4ac=16﹣4k,没有实数根,那么16﹣4k＜0,解此不等式可得k＞4．故答案为：k＞4．14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2= 3或﹣3 ．【解答】解：∵x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,∴（x﹣3）（x﹣2）=0, 解得：x=3或2,①当x1=3,x2=2时,x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2,x2=3时,x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．三、解答题（共4小题,满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．【解答】解：（1）这里a=4,b=﹣4,c=1, ∵△=32﹣16=16,（2）这里a=1,b=﹣,c=﹣3,∵△=2+12=14,∴x=．16．不解方程,判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．【解答】解：①△=32﹣4×2×（﹣4）=41＞0,所以方程两个不相等的实数根；②方程化为一般式为3x2﹣2x+2=0,△=（﹣2）2﹣4×3×2=0,所以方程有两个相等的实数根；③方程化为一般式为x2﹣x+1=0,△=（﹣）2﹣4××1＜0,所以方程无实数根．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．【解答】证明：当m=0时,原方程为x﹣2=0,解得x=2；当m≠0时,△=（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）=（m+1）2≥0,所以方程有两个实数根,所以无论m为何值原方程有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2,∵无论k取什么实数值,（2k﹣3）2≥0, ∴△≥0,∴无论k取什么实数值,方程总有实数根；（2）解：∵x=,∴x1=2k﹣1,x2=2,∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k﹣1,c=2,当a、b为腰,则a=b=4,即2k﹣1=4,解得k=,此时三角形的周长=4+4+2=10；当b、c为腰时,b=c=2,此时b+c=a,故此种情况不存在．综上所述,△ABC的周长为10．。
解一元二次方程练习题公式法
解一元二次方程练习题公式法1、一元二次方程的根的判别式是b2-4ac。
根据判别式的值可以判断方程的根的情况：当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程没有实数根。
2、对于(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0，可以化简得到m4-2m2n2+n4-2m2+2n2-8=0.根据题目条件可知m2-n2是方程的一个根，因此代入方程得到m4-2m2(m2-n2)+m2-n2-8=0，即m4-2m4+2n2m2-n2-8=0，化简可得(m2-n2+2)(m2-n2-4)=0.因此m2-n2的值可以是4或-2.4、关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一个根为-1，代入方程得到(m-1)-m+2m-3=0，即2m-4=0，解得m=2.5、根据判别式b2-4ac，可以得到5x2-7x+5的判别式为b2-4ac=49-100<0，因此方程没有实数根。
6、根据判别式b2-4ac，可以得到(2m+1)2-4(m-2)21.7、使用公式法解方程x2+2x+3=0，根据公式x=(-b±√(b2-4ac))/2a得到x=-1±i√2.8、使用公式法解方程5x2-4x-12=0，根据公式x=(-b±√(b2-4ac))/2a得到x=2或x=-1.2.9、根据方程(x-2)(3x-5)=0可得到x=2或x=5/3，因此方程有两个实数根。
10、使用公式法解方程x2-2x-1=0，根据公式x=(-b±√(b2-4ac))/2a得到x=1±√2.11、使用公式法解方程2x2+3x+1=0，根据公式x=(-b±√(b2-4ac))/2a得到x=-0.5或x=-1.12、使用公式法解方程3x2+2x-1=0，根据公式x=(-b±√(b2-4ac))/2a得到x=1/3或x=-1.13、使用公式法解方程5x2-3x+2=0，根据公式x=(-b±√(b2-4ac))/2a得到x=1/5或x=2.14、使用公式法解方程7x2-4x-3=0，根据公式x=(-b±√(b2-4ac))/2a得到x=3/7或x=-1.15、使用公式法解方程-4x2-x+12=0，根据公式x=(-b±√(b2-4ac))/2a得到x=3/4或x=-4.16、使用公式法解方程4x2+4x+9=0，根据公式x=(-b±√(b2-4ac))/2a得到方程没有实数根。
(完整版)解一元二次方程(公式法)__习题精选.doc
解一元二次方程（公式法）习题精选基础测试一、选择题（每题 5 分，共 15 分）1．用公式法解方程 4x 2－12x=3，得到（）A ．x=C ．x=3 6 3 62B ．x=23 2 332 32D ．x=22．方程 2 x 2+4 3 x+6 2 =0 的根是（）A ．x =2，x =3B ．x =6，x =21212C ．x 1=2 2 ，x 2= 2D ．x 1=x 2=－63．（m 2－n 2）（m 2－n 2－2）－ 8=0，则 m 2－n 2的值是（）A ．4B ．－2C ．4 或－2D ．－4或 2二、填空题（每题 5 分，共 15 分）1．一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是 ________．2．当 x=______时，代数式 x 2－8x+12 的值是－ 4．3．若关于 x 的一元二次方程（m －1）x 2+x+m 2+2m－ 3=0 有一根为 0，则 m 的值是 _____．三、用公式法解下列方程（每题6 分，共 18 分）1．3x 2+5x －2=02．3x 2－2x －1=03．8（2－ x ）=x 2四、当 m 为何值时，方程 x2－（2m+2）x+m2+5=0 （20 分）（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根能力测试题1．用公式法解关于 x 的方程： x2－2ax－b2+a2=0．（12 分）2 2．某数学兴趣小组对关于 x 的方程（ m+1）x m 2 + （m－2）x－1=0 提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程， m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？（20 分）拓展测试题1．如果关于 x 的一元二次方程 a（1+x2）+2bx－c（1－x2）=0 有两个相等的实数根，那么以 a，b，c为三边的△ ABC 是什么三角形？请说明理由．（10 分）2．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时， ?那么这户居民这个月只交 10元电费，如果超过 A 千瓦时，那么这个月除了交 10?A元用电费外超过部分还要按每千瓦时100 元收费．（1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超过规定 A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（ ?用 A 表示）（2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3802544510根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？（ 10 分）参考答案基础测试一、 1．D 2．D 3．Cbb2 4ac二、 1．x= 2a ，b2－4ac≥0 2．4 3．－31三、 1．x1=－2，x2= 3 2．x1=1，x2=－1/3 3． x14 4 2, x2 4 4 2四、 m＞2，m=2，m＜2能力测试题2a4a24b24a21．x= 2 =a±│ b│2、解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2m2=1m=±1当 m=1 时， m+1=1+1=2≠0当 m=－1 时， m+1=－1+1=0（不合题意，舍去）∴当 m=1 时，方程为 2x2－1－x=0a=2，b=－1，c=－1b2－4ac=（－ 1）2－4×2×（－ 1）=1+8=9(1)9 1 3x= 2 2 41x1=，x2=－2因此，该方程是一元二次方程时，m=1，1两根 x1=1，x2=－2．（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0因为当 m=0 时，（m+1）+（m－2）=2m－1= －1≠0所以 m=0 满足题意．②当 m2+1=0，m 不存在．③当 m+1=0，即 m=－1 时， m－2=－3≠0所以 m=－1 也满足题意．当 m=0 时，一元一次方程是 x－2x－1=0，解得： x=－1当 m=－1 时，一元一次方程是－ 3x－1=01解得 x=－3因此，当 m=0 或－ 1 时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=－1；当 m=－?1 时，其一1元一次方程的根为x=－3．拓展测试题1．直角三角形，理由略．A19 2．（1）超过部分电费 =（90－A ）·100 =－100 A 2+ 10 AA（2）依题意，得：（80－A）·100 =15，A1=30（舍去），A 2=50。
公式法解一元二次方程专项小练习(附详细答案)
公式法解一元二次方程(后附详细答案)一、 一元二次方程一般形式ax 2+bx+c=0,根的判别式∆为b 2-4ac1. 当b 2-4ac >0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，aac b b x a ac b b 24,24x 2221---=-+-= 2. 当b 2-4ac =0时，方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根， ab x 2x 21-== 3. 当b 2-4ac <0时，方程ax 2+bx+c=0没有实数根二 、填空1、一元二次方程x 2+3x+1=0的根的判别式的值为： 。
2、已知关于x 的一元二次方程5x 2+mx+1=0的根的判别式的值为16，则m 的值为： 。
3、一元二次方程x(x+4)+3=0的根的情况是 。
4、如果关于x 的一元二次方程kx 2-3x+2=0有两个实数根，那么k 的取值范围是： 。
三、用公式法解下列方程：1、x 2-3x+1=02、-3x 2-5x+1=03、（x-3）(x+1)-3=0四、已知关于x 的一元二次方程x 2+(k+1)x+2k-2=0，（1）求证：此方程总有两个实数根。
（2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k 的取值范围。
公式法解一元二次方程(附详细答案)二、 一元二次方程一般形式ax 2+bx+c=0,根的判别式∆为b 2-4ac4. 当b 2-4ac >0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，aac b b x a ac b b 24,24x 2221---=-+-= 5. 当b 2-4ac =0时，方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根，ab x 2x 21-== 6. 当b 2-4ac <0时，方程ax 2+bx+c=0没有实数根二 、填空1、一元二次方程x 2+3x+1=0的根的判别式的值为： 5 。
2、已知关于x 的一元二次方程5x 2+mx+1=0的根的判别式的值为16，则m 的值为： ±6 。
《公式法》练习(有答案)
初中精品试卷2.2 一元二次方程的解法公式法一、填空题1.配方法解一元二次方程的基本思路是：（1）先将方程配方（2）如果方程左右两边均为非负数则两边同时开平方， 化为两个 __________（3）再解这两个 __________22.用配方法解一元二次方程 ax +bx+c=0(a ≠ 0)时：移项得 ________配方得 __________即（ x+__________）2=__________当_________时，原方程化为两个一元一次方程 __________和 __________∴ x 1=_________,x 2=____________3.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把 a,b,c 的值代入公式， x 1，2=____________ 求得方程的解 .方程 2－8=7x 化为一般形式是 _____，a=______,b=________,c=________, 4. 3x方程的根 x 1=________,x 2=________.二、选择题1.用公式法解方程 3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（）12 12 12 23 4A.x 、 =21 2 12 122 3 4B.x 、 =2C.x 1、 2= 12122 3 42D.x1、(12)(12) 2 4 34 2=232.方程 x2+3x=14 的解是（）A.x= 365 B.x=36522 323D.x=323C.x=22下列各数中，是方程2)x+=0的解的有（）－(1+553.x①1+ 5 ②1－5③1④－5A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个4.方程 x2+(3 2 )x+ 6 =0的解是（）A.x =1,x =6B.x=－ 1,x =－61212C.x1= 2 ,x2= 3D.x1=－2 ,x2=－3三、用公式法解下列各方程1.5x2+2x－1=02.6y2+13y+6=03.x2+6x+9=7四、你能找到适当的x 的值使得多项式A=4x 2+2x－1 与 B=3x2－2 相等吗？参考答案一、 1.一元一次方程一元一次方程2.x2+ bx c0 x2+bx ca a a ax2b b)2c b2b b24acb2b b24ac x(a4a22a4a 24ac 0 x4a 2 a2a2ab b24ac b b24ac b b24acx4a22a2a2a3.一般形式二次项系数、一次项系数、常数项b2－ 4ac≥0b b2 4ac2a4.3x2－7x－ 8=0 3－7－87145 714566二、 1.D 2.B 3.B 4.D三、 1.解： a=5,b=2,c=－1∴Δ=b2－4ac=4+4×5×1=24＞0∴x1·222416=105∴x116, x216=552.解： a=6,b=13,c=6∴Δ=b2－4ac=169－4×6×6=25＞0∴x1·213 2513 5=1212∴x1=－3,x2=－2 233.解：整理，得： x2+6x+2=0∴a=1,b=6,c=2∴Δ=b2－4ac=36－4×1×2=28＞0∴x1·2= 6 28=－ 3±72∴x1=－3+ 7 ,x2=－3－7四、解：若 A=13，即 4x2+2x－1=3x2－ 2整理，得 x2+2x+1=0∴(x+1)2=0,∴ x1 =x2=－ 1∴当 x=－ 1 时， A=13.。
一元二次方程公式法求解例题
一元二次方程公式法求解例题一元二次方程是咱们中学数学里的重要知识点，这其中公式法求解那可是相当关键。
那咱就直接上例题，好好瞅瞅这公式法的神奇之处！先来说说一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），而公式法求解的公式就是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) 。
咱们来看个具体的例子：比如方程 2x² + 5x - 3 = 0 ，这里 a = 2，b = 5，c = -3 。
先算一下判别式Δ = b² - 4ac ，也就是 5² - 4×2×(-3) = 25 +24 = 49 。
因为Δ > 0 ，所以方程有两个不同的实数根。
接下来代入公式：x = [-5 ± √49] / (2×2) ，也就是 x = [-5 ± 7] / 4 。
所以 x₁ = (-5 + 7) / 4 = 1/2 ，x₂ = (-5 - 7) / 4 = -3 。
我记得我当年上中学的时候，有一次数学考试，就考到了一元二次方程的公式法求解。
当时有道题是 3x² - 6x + 2 = 0 ，我按照步骤，先算a = 3，b = -6，c = 2 ，判别式Δ = (-6)² - 4×3×2 = 36 - 24 = 12 。
然后代入公式，算出x = [6 ± √12] / 6 ，化简一下，x = [6 ± 2√3] / 6 ，最后得出 x₁ = (3 + √3) / 3 ，x₂ = (3 - √3) / 3 。
那次考试因为这道题，我的分数还不错呢！再来看个稍微复杂点的例子，比如 5x² + 8x + 1 = 0 ，这里 a = 5，b= 8，c = 1 ，判别式Δ = 8² - 4×5×1 = 64 - 20 = 44 。
公式法解一元二次方程知识点及练习
公式法解一元二次方程知识点及练习一、知识点：1、任何一个ax 2+bx+c=0(a≠0)通过配方法都可以化成（x+a 2b ）2=2244a ac b -； X=aac b b 242-±-；这个公式叫一元二次方程的求根公式。
利用求根公式可以由一元二次方程的系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的根。
2.公式法解一元二次方程的基本步骤：1）把方程化为一般式ax 2+bx+c=0(a≠0)，并写出a 、b 、c 的值；2）求出b 2-4ac 的值（特别注意b 2-4a c ＜0时，无解)3）代入求根公式X=aac b b 242-±-（a ≠0, b 2-4ac ≧0） 4)写出方程的解x 1、x 2练习一、填空题1、将方程()()1532142+=-+x x x 化为一元二次方程的一般形式为 ，二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ，二次项系数是 ，用公式法直接求得该方程的根为x 1= ，x 2= ，2、一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________．3、方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，则有________，•若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________．4、若方程3x 2+bx+1=0无解，则b 应满足的条件是________．5、用公式法解方程x 2=-8x-15，其中b 2-4ac=_______，x 1=_____，x 2=________．6、已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．7、关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是二、选择题1、下列方程中是一元二次方程的是( )A ．x x 422-＝0B ．322x x -＝0 C ．x 2＋2xy ＋1＝0 D ．5x ＝3x －12、下列方程不是一元二次方程的是( ) A ．21x 2＝1；B ．0.01x 2＋0．2x －0.1＝0； C ．2 x 2－3x ＝0；D ．21x 2－x ＝21(x 2＋1) 3、方程3x 2－4＝－2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A ．3，－4，－2 B ．3，2，－4 C ．3，－2，－4 D ．2，－2，04、一元二次方程2x 2－(a ＋1)x ＝x (x －1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．25、若方程(m 2－1)x 2＋x ＋m ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )A ．m ≠0B ．m ≠1C ．m ≠1且m ≠－1D ．m ≠1或m ≠－16、方程3x 2－75＝0的解是( )A ．x ＝5B ．x ＝－5C ．x ＝±5D ．无实数根 7、方程(x －5)2＝6的两个根是( )A ．x 1＝x 2＝5＋6B ．x 1＝x 2＝－5＋6C ．x 1＝－5＋6，x 2＝－5－6D ．x 1＝5＋6，x 2＝5－6 8、若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )A ．1或5B ．7或－1C ．－1或－5D ．－7或19、关于x 的方程3x 2－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( )A ．2B ．－21C ．－2D ．21 10、方程x (x ＋1)＝0的根为( )A ．0B ．－1C ．0，－1D ．0，1三、用公式法解方程(1)x 2+15x=-3x; (2)x 2+x-6=0; (3)3x 2-6x-2=0; (4)4x 2-6x=0（5)x 2－2x ＋1＝0；（6)x (x ＋8)＝16； （7)x 2－35x ＝2；四、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程210240x x -+=的一个根，求这个三角形的周长。
九年级数学上册第1章第4课时用公式法解一元二次方程同步练习
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————第1章 一元二次方程1 .2 第4课时 用公式法解一元二次方程知识点 1 一元二次方程的求根公式1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的各项系数________确定的，其求根公式是__________，方程存在解的条件是______________．2．用公式法解一元二次方程3x 2＝2x －3时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是( )A ．a ＝3，b ＝2，c ＝3B ．a ＝－3，b ＝2，c ＝3C ．a ＝3，b ＝2，c ＝－3D ．a ＝3，b ＝－2，c ＝33．用求根公式解一元二次方程2y 2－4y －1＝0，其中b 2－4ac 的值是( )A ．8B ．12C ．20D ．24知识点 2 用公式法解一元二次方程4．用公式法解一元二次方程－x 2＋3x ＝1.解：把这个方程化为一般形式为x 2－3x ＋1＝0.∵a ＝________，b ＝________，c ＝________，∴b 2－4ac ＝________，∴x ＝________，∴x 1＝________，x 2＝________．5．用公式法解方程3x 2－5x ＋1＝0，正确的是( )A ．x ＝－5±136B ．x ＝－5±133C ．x ＝5±136D ．x ＝5±1336．[2016·沈阳] 一元二次方程x 2－4x ＝12的根是( )A ．x 1＝2，x 2＝－6B ．x 1＝－2，x 2＝6C ．x 1＝－2，x 2＝－6D ．x 1＝2，x 2＝67．若代数式x 2－6x ＋5的值是12，则x 的值为( )A ．7或－1B ．1或－5C ．－1或－5D ．不能确定8．已知代数式7x(x ＋5)＋10的值与9x －9的值互为相反数，则x ＝________．9．用公式法解下列方程：(1)x 2＋4x －1＝0； (2)x 2－13x ＋40＝0；(3)2x 2－3x ＋4＝0; (4)23t 2＝2t －1；(5)3y 2＋1＝2 3y; (6)5x 2－5x －6＝0.10．解方程x 2＝－3x ＋2时，有一名同学的解答过程如下：解：∵a＝1，b ＝3，c ＝2，b 2－4ac ＝32－4×1×2＝1>0，∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝－3± 12×1＝－3±12， 即x 1＝－2，x 2＝－1.请你分析以上解答有无错误，若有错误，请写出正确的解题过程．11．如果x 2－4x ＋5＝(x ＋1)0，那么x 的值为( )A ．2或－1B ．0或1C ．2D ．－112．一元二次方程x 2－2x －6＝0，其中较大的一个根为x 1，下列最接近x 1的范围是( )A ．3＜x 1＜4B ．3＜x 1＜3.5C ．3.5＜x 1＜3.7D ．3.7＜x 1＜413．三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x 2－13x ＋36＝0的根，则三角形的周长为________．14．解方程：(x －1)2－2(x －1)－3＝0.15．已知一元二次方程x 2－2x －54＝0的某个根也是一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋94＝0的根，求k 的值．16．已知一个矩形的相邻两边长分别为2m－1和m＋3，若此矩形的面积为30，求这个矩形的周长．17．若x2＋mx＋15＝(x＋5)(x＋n)，试解关于x的方程nx2＋mx＋1＝0.18．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出此方程的根；(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？详解详析1．a ，b ，c x ＝－b±b 2－4ac 2ab 2－4ac≥0 2．D 3.D4．1 －3 1 5 3±52 3＋52 3－52 5．C6．B [解析] 方程整理得x 2－4x －12＝0，用公式法解得x 1＝－2，x 2＝6.7． A [解析] x 2－6x ＋5＝12，x 2－6x ＋5－12＝0，x 2－6x －7＝0，∴x ＝6±82， 解得x 1＝－1，x 2＝7. 故选A .8.－22±35379．解：(1)∵a＝1，b ＝4，c ＝－1，b 2－4ac ＝42－4×1×(－1)＝20>0，∴x ＝－4±202，∴x ＝－2±5， 即x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.(2)∵a＝1，b ＝－13，c ＝40，b 2－4ac ＝(－13)2－4×1×40＝9，∴x ＝13±92＝13±32， ∴x 1＝8，x 2＝5.(3)∵a＝2，b ＝－3，c ＝4，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0，∴原方程无实数根．(4)整理，得2t 2－6t ＋3＝0.∵a ＝2，b ＝－6，c ＝3，b 2－4ac ＝(－6)2－4×2×3＝12＞0，∴t ＝－（－6）±122×2＝3±32， 即t 1＝3＋32，t 2＝3－32. (5)移项，得3y 2－2 3y ＋1＝0.∵a ＝3，b ＝－2 3，c ＝1，b 2－4ac ＝(－2 3)2－4×3×1＝0，∴y ＝－（－2 3）±02×3＝33，即y 1＝y 2＝33. (6)∵a＝5，b ＝－5，c ＝－6，b 2－4ac ＝()－52－4×5×(－6)＝125>0，∴x ＝－（－5）±1252×5＝5±5 510， 即x 1＝3 55，x 2＝－2 55. 10．解：解答有错误，正确的解题过程如下：方程整理，得x 2＋3x －2＝0.这里a ＝1，b ＝3，c ＝－2.∵b 2－4ac ＝9＋8＝17，∴x ＝－3±172， 即x 1＝－3＋172，x 2＝－3－172. 11．C 12.C 13.1314．解：把x －1作为整体看成一个未知数．∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0， ∴x －1＝2±162， ∴x 1＝4，x 2＝0.15．解：对于方程x 2－2x －54＝0， ∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－54， ∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－54)＝9>0， ∴x ＝2±92×1， ∴x 1＝52，x 2＝－12. 把x 1＝52代入x 2－(k ＋2)x ＋94＝0， 解得k ＝75； 把x 2＝－12代入x 2－(k ＋2)x ＋94＝0， 解得k ＝－7.即k 的值为75或－7. 16．解：由题意，得(2m －1)(m ＋3)＝30，则2m 2＋5m －33＝0，解得x 1＝－112(舍去)，x 2＝3. 所以这个矩形的相邻两边长分别为5和6，故这个矩形的周长为22.17．解：由(x ＋5)(x ＋n)＝x 2＋(n ＋5)x ＋5n ，得x 2＋mx ＋15＝x 2＋(n ＋5)x ＋5n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝n ＋5，5n ＝15， 解得m ＝8，n ＝3，代入方程nx 2＋mx ＋1＝0，得3x 2＋8x ＋1＝0.∵a ＝3，b ＝8，c ＝1，b 2－4ac ＝64－12＝52>0，∴x ＝－8±526＝－4±133， 即x 1＝－4＋133，x 2＝－4－133. 18．解：(1)根据题意，得m ≠1.b 2－4ac ＝(－2m)2－4(m －1)(m ＋1)＝4，则x ＝2m±22（m －1）， ∴x 1＝2m ＋22（m －1）＝m ＋1m －1，x 2＝1.(2)由(1)知，x 1＝m ＋1m －1＝1＋2m －1. ∵方程的两个根都为正整数，∴2m －1是正整数． 又∵m 为整数，∴m －1＝1或m －1＝2，∴m ＝2或m ＝3.即当m 为2或3时，此方程的两个根都为正整数．。
一元二次方程的解法(公式法)练习题
一元二次方程的解法(公式法)练习题本文将会提供针对一元二次方程解法的公式法练题。
在练中我们将回顾一下方程的基本概念并且深入理解方程的求解过程。
第一部分：选择题1. 求解方程 $x^2 + 5x - 14 = 0$ 的根，正确的式子是：A. $x = \frac{-5 \pm \sqrt{219}}{2}$B. $x = \frac{-5 \pm \sqrt{209}}{2}$C. $x = \pm \frac{5 \pm \sqrt{219}}{2}$2. 求解方程 $3x^2 - 7x + 2 = 0$ 的根，正确的式子是：A. $x = \frac{-1}{3}$ 或 $x = \frac{2}{7}$B. $x = \frac{1}{3}$ 或 $x = \frac{2}{7}$C. $x = \frac{-1}{3}$ 或 $x = \frac{-2}{7}$3. 求解方程 $4x^2 - 9x + 2 = 0$ 的根，正确的式子是：A. $x = \frac{1}{4}$ 或 $x = \frac{2}{3}$B. $x = \frac{-1}{4}$ 或 $x = \frac{-2}{3}$C. $x = \frac{1}{4}$ 或 $x = \frac{-2}{3}$4. 求解方程 $6x^2 - 13x + 5 = 0$ 的根，正确的式子是：A. $x = \frac{1}{3}$ 或 $x = \frac{5}{2}$B. $x = \frac{-1}{3}$ 或 $x = \frac{5}{2}$C. $x = \frac{1}{2}$ 或 $x = \frac{5}{3}$第二部分：计算题1. 求解方程 $x^2 - 4x - 45 = 0$ 的根。
2. 求解方程 $x^2 - 2x + 5 = 0$ 的根。
3. 求解方程 $3x^2 - 4x - 2 = 0$ 的根。
4. 求解方程 $2x^2 + 7x - 10 = 0$ 的根。
一元二次方程---解法练习(4个常见方法)及例题
解一元二次方程的方法解一元二次方程：开平方法；公式法；配方法；因式分解法；1、开平方法)0(2≥=aax2、公式法①将方程化为一般式②写出a、b、c③求出acb42-，若＜0，则无实数解④若＞0，则代入公式求解3、配方法①移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项（移项要变号．．．．．）②同除：方程两边同除二次项系数（每项都要除．．．．．）③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方．．．．．．．④开平方：注意别忘根号和正负⑤解方程：解两个一元一次方程4、因式分解法①移项：使方程右边为0②因式分解：将方程左边因式分解；（方法：1提，2套，3十字，4分组）③由A∙B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程axax-==21()(2≥=+aabx解两个一元一次方程abx±=+练习一、利用开平方法解下列方程 51)12(212=-y 4（x-3）2=25 24)23(2=+x二、利用配方法解下列方程25220x x -+= 012632=--x x7x=4x 2+2 01072=+-x x三、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0四、利用因式分解法解下列方程(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+x 23 ()()0165852=+---x x039922=--x x选用适当的方法解下列方程(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 22(21)9(3)x x +=- 2230x x --= 21302x x ++= 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x2)2)(113(=--x xx （x ＋1）－5x ＝0. 3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1)1、)4(5)4(2+=+x x2、x x 4)1(2=+3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x5、（x+5）2=166、2（2x －1）－x （1－2x ）=07、x 2 =648、5x 2 - 52=0 9、8（3 -x ）2 –72=010、3x(x+2)=5(x+2)11、（1－3y ）2+2（3y －1）=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=014、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=017、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x 2－4x －3 =020、 -x 2-x+12 =0 21、x 2－6x+9 =022、22(32)(23)x x -=- 23、x 2-2x-4=0 24、x 2-3=4x25、3x 2＋8 x －3＝0（配方法） 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋1427、(x+1)(x+8)=-12 28、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝030、（2x-1）2 +3（2x-1）+2=0 31、2x 2－9x ＋8＝032、3（x-5）2=x(5-x)33、(x ＋2) 2＝8x 34、(x －2) 2＝(2x ＋3)235、2720x x += 36、24410t t -+= 37、()()24330x x x -+-=38、2631350x x -+= 39、()2231210x --= 40、2223650x x -+=41、()()2116x x ---= 42、()()323212x x -+= 44、22510x x +-=45、 46、21302x x ++=、。
人教版数学九上解一元二次方程——公式法课件
项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情
况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
方法点拨
（1）当 △ b 4ac＞0时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
2
（2）当 △ b 4ac 0时，一元二次方程有两个相
2
等的实数根.
（3）当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实
数根.
探究新知
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值.
46
2a
25
10
46
46
1
1, x2
10
10
5
探究新知
（4）x2+17=8x
解：原方程可化为x 2 8 x 17 0
a 1, b 8, c 17
△ b 2 4ac (8) 2 4 1 17 4＜0
方程无实数根.
探究新知
探究新知
（2）2x2-2 2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
解： a 2, b 2 2, c 1
△ b 2 4ac ( 2 2 ) 2 4 2 1 0
则方程有两个相等的实数根：
x1 x2
b
2 2
2
解一元二次方程(公式法4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
解一元二次方程（公式法4种题型）【知识梳理】一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca −≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b aca −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x 2x =20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．【考点剖析】题型1用公式法解一元二次方程例1.用公式法解下列方程： （1）2270x x −+=；（2）211042x x −=．【答案】（1）27,021==x x ；（2）2,021==x x ．【解析】（1）0,7,2==−=c b a ，则4942=−ac b ，则477−±−=x ，∴27,021==x x ；（2）0,21,41=−==c b a ，则4142=ac b ，则212121±=x ，∴2,021==x x ．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x 的运用．例2.用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==．【解析】（1）132a b c ===−，，，则1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴12x x ==．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x 的运用．例3.用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x −=−；（2）2(53)(1)(1)5x x x −+=++．【答案】（1）122222x x −+−==；（2）123322x x ==−，． 【解析】（1）方程可化为：05422=−+x x ，245a b c ===−，，，则5642=−ac b ，则41424±−=x ，∴122222x x −−==；（2）方程可化为：2490x −=，则123322x x ==−，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用直接开平方法求解． 例4.用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +−=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +−−+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12122x x ==−，． 【解析】（1）方程可化为2224130x x +−=，13,24,2−===c b a ，则68042=−ac b ，则4170224±−=x ，∴12x x =（2）两边同时乘以10，方程可化为02322=−−x x ，2,3,2−=−==c b a ，则2542=−ac b ， 则453±=x ，∴12122x x ==−，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用因式分解法求解． 例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x =；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x =；（2）22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型2解系数中有字母的一元二次方程例6.用配方法解下列关于x 的方程：220ax x ++=（0a ≠）．【解析】220ax x ++=（0a ≠），则22−=+x ax ，整理得：a x a x 212−=+，配方可得：22248141221a a a a a x −=+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 当81≤a 时，a a x 21811−−=，a a x 21812−−−=，当81>a 时，方程无实数根．【总结】注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方，另此题系数中含有字母，要注意分类讨论． 例7.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c −−=；（2）2100.1ax a −−=． 【解析】（1）∵c b 42+=∆，∴当042≥+c b 时，2421c b b x ++=，2422c b b x +−=；当042<+c b 时，原方程无实数根；原方程可化为：22100x a −=，∵2222400a b a ∆=+≥，∴原方程的解为：12x +=，22x a=．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．题型3根的判别式例8.选择：（1） 下列关于的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）（B ） （C ）（D ）（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4）一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根； B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ； （2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例9.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=；（2）22430x x ++=；x 012=+x 0122=++x x 0322=++x x0322=−+x x（3）223x +=； （4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根； （2）2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；（3）2a =，b =−，3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根； （4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．例10.关于x 的方程2(1)0x m x m +−−=（其中m 是实数）一定有实数根吗？为什么？ 【答案】一定有．【解析】∵1a =，1b m =−，c m =−，∴()()()22241410b ac m m m ∆=−=−−⨯−=+≥恒成立，可知方程一定有实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，只需要对最终的∆的值与0的大小关系，进而确定方程根的情况． 例11.已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx −++=根的判别式的值为4，求m 的值． 【答案】0．【解析】∵1a m =−，2b m =，1c =，∴()()()2224241414b ac m m m m ∆=−=−⨯−=−+=，整理即得20m m −=，解得：11m =，20m =，同时方程是一元二次方程，知10a m =−≠，故1m ≠， 由此得0m =．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0． 例12.已知方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况．【答案】方程无实数根．【解析】方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，代入即得：231238a b −=⎧⎨+=⎩，可解得：22a b =⎧⎨=⎩，此时方程即为2220x x ++=，其中1a =，2b =，2c =，2480b ac ∆=−=−<，可知方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其∆值，判定方程解的情况．例13.当m 取何值时，关于x 的方程221(2)104x m x m +−+−=，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >． 【解析】对此方程，1a =，2b m =−，2114c m =−，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=−=−−−=−+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=−+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根； （2）当480m ∆=−+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根； （3）当480m ∆=−+<，即2m >时，方程无实数根．∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．例14.当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k −+−=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．【答案】14k ≥时，方程有实数根；方程的根为2x k =± 【解析】对此方程，1a =，4b k =−，()221c k =−，则()()22244421164b ac k k k ∆=−=−−−=−，因为方程有实数根，则有1640k ∆=−≥，即14k ≥时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为()4222k b x k a −−−===【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大题型5根的判别式的应用例15.证明：方程()()212x x k −−=有两个不相等的实数根． 【解析】证明：对原方程进行整理，即为：22320x x k −+−= 其中1a =，3b =−，22c k =−，则()()22224342410b ac k k ∆=−=−−−=+>恒成立， 由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的∆值即可以确定下来．例16.当k 为何值时，方程()()222210kx k x x k k −−=−−≠，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根． 【答案】（1）54k <且1k ≠；（2）54k =；（3）54k >． 【解析】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式，即得：()()()212210k x k x k −−−++=，此时，1a k =−，()22b k =−−，1c k =+，由方程为一元二次方程，可知10a k =−≠，故1k ≠；()()()224424111620b ac k k k k ∆=−=−−−+=−+，由此可知，（1）当16200k ∆=−+>，即54k <且1k ≠时，方程有两不等实根； （2）当16200k ∆=−+=，即54k =时，方程有两相等实根；（3）当16200k ∆=−+<，即54k >时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其∆值，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．例17.已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++−=有实数根，求m 的取值范围． 【答案】32m ≥−且1m ≠−．【解析】由原方程是一元二次方程，可知10m +≠，即1m ≠−；对此方程， 其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−；即m 的取值范围为32m ≥−且1m ≠−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．例18.如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m −++=的根的情况如何?【答案】方程无实根．【解析】由(1)1m x m +>+的解集是1x <，可知10m +<，即1m <−，对一元二次方程21(1)04mx m x m −++=而言，其中a m =，()1b m =−+，14c m =，则()221414214b ac m m m m ∆=−=+−⋅=+，1m <−时，0∆<恒成立， 由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其∆值确定相关方程根的情况．例19.已知关于x 的方程()21230m x mx m +++−=总有实数根，求m 的取值范围． 【答案】32m ≥−． 【解析】（1）当10m +=，即1m =−时，方程为一元一次方程240x −−=，方程有实根； （2）当10m +≠，即1m ≠−时，方程为一元二次方程， 其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−且1m ≠−；综上所述，m 的取值范围为32m ≥−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算．【过关检测】一、单选题【答案】B【分析】根据关于x 的一元二次方程20x x k −−=有实数根得到140k ∆=+≥，解不等式即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程20x x k −−=有实数根，∴()()2141140k k ∆=−−⨯⨯−=+≥，解得14k ≥−，故选：B【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程0∆≥时有实数根是解题的关键． 2．（2023春·广东潮州·九年级潮州市金山实验学校校考期末）如果关于x 的一元二次方程2(5)410a x x −−−=有两个不相等的实数根，则a 满足条件是（ ）A ．5a ≠B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．1a ≥【答案】B【分析】由二次项系数非零及根的判别式0∆>，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(5)410a x x −−−=有两个不相等的实数根，∴()()()25044510a a −≠⎧⎪⎨−−⨯−⨯−>⎪⎩，解得：1a >且5a ≠， 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3．（2023·浙江温州·统考三模）若关于x 的一元二次方程2160x bx ++=，有两个相等的实数根，则正数b 的值是（ ） A ．8B ．8−C ．4D ．4−【答案】A【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2160x bx ++=，有两个相等的实数根，∴22441160b ac b ∆=−=−⨯⨯=，∴264b =，∴8b =±， ∵b 是正数， ∴8b =， 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−＞，则原方程有两个不相等的实数根；若240b ac ∆=−=，则原方程有两个相等的实数根；若240b ac ∆=−＜，则原方程没有实数根．【答案】C【分析】分别代入数值解方程，逐一判断即可解题．【详解】解：当12a =时，方程为28120x x −−=，解得4x =±A 选项不符合题意；当16a =时，方程为28160x x −−=，解得4x =±B 选项不符合题意；当20a =时，方程为28200x x −−=，解得10x =或2x =−是整数，故C 选项符合题意；当24a =时，方程为28240x x −−=，解得4x =±D 选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．5．（2023·安徽安庆·校考三模）如果关于x 的一元二次方程260x x a −+=无实数根，那么a 的值可以为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】A【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得：Δ0<, 从而列不等式可得答案．【详解】解：∵一元二次方程260x x a −+=无实数根，∴()2246410b ac a ∆−−−⨯⨯==<，解得：>9a ，只有选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6．（2023·河南商丘·统考三模）方程229x x −=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有一个实数根 D ．有两个不相等的实数根 【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵229x x −=，即2290x x −−=，1,2,9a b c ==−=−，∴24436400b ac ∆=−=+=>，∴方程229x x −=有两个不相等的实数根，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．7．（2022秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x bx +−=的较大的一根小于1，则实数b 的取值范围是（ ） A ．一切实数 B ．2b >C ．1b >D ．0b >【答案】D【分析】用公式法求出方程的解，根据题意得出关于b 的不等式，解不等式可得答案．【详解】解：解方程210x bx +−=得：x =，∵一元二次方程210x bx +−=的较大的一根小于1，∴1<，2b +，两边平方得：2244b b b +<+4+，∴0b >， 故选：D ．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，能够根据题意得出关于b 的不等式是解题的关键． 8．（2022·浙江·九年级自主招生）满足方程22419151x xy y −+=的整数对(),x y 有（ ） A ．0对 B ．2对 C ．4对 D ．6对【答案】C【分析】利用一元二次方程有解判断出y 的范围，根据y 是整数求出y 的值，进而求出x 的值，利用x 也是整数判断即可得出结论． 【详解】解：原方程可化为()224191510x yx y −+−=，∵方程22419151x xy y −+=有实数根，∴()222164191516041510y y y ∆=−−=−+⨯≥，∴21511101515y ≤=，∵y 是整数，∴=3y −，2−，1−，0，1，2，3，当0y =时，原方程可化为2151x =，∴x =x 为整数，所以舍去），当1y =时，原方程可化为241320x x −−=，∴2x =±（由于x 为整数，所以舍去），当1y =−时，原方程可化为241320x x +−=，∴2x =−±x 为整数，所以舍去），当2y =时，原方程可化为28750x x −−=，∴4x =x 为整数，所以舍去），当=2y −时，原方程可化为28750x x +−=，∴4x =−x 为整数，所以舍去），当3y =时，原方程可化为212200x x −+=，∴2x =或10x =，当=3y −时，原方程可化为212200x x ++=，∴2x =−或10x =−，∴原方程的整数解为：23x y =⎧⎨=⎩或103x y =⎧⎨=⎩或23x y =−⎧⎨=−⎩或103x y =−⎧⎨=−⎩，即：方程22419151x xy y −+=的整数对(),x y 为()2,3、()10,3、()2,3−−，()10,3−−共四对，故选：C ．【点睛】此题是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式求解．二、填空题9．（2023·上海杨浦·统考三模）如果关于x 的方程220x x m −+=有两个相等的实数根，那么m 的值是________． 【答案】1【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x m −+=有两个相等的实数根，∴()2240m ∆=−−=，解得1m = 故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在()240x −+=的括号中添加一个关于x 的一次项，使方程有两个相等的实数根，这个一次项可以是______． 【答案】4x ±【分析】设方程为240x kx −+=，根据方程有两个相等的实数根可知0∆=，据此列式求解即可．【详解】设方程为240x kx −+=，由题意得2160k −=，∴4k =±， ∴一次项为4x ±． 故答案为4x ±．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．11．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）关于x 的一元二次方程()21210m x x −−−=有两个实数根，则实数m 的取值范围是________． 【答案】0m ≥且1m ≠【分析】根据一元二次方程根的判别式0∆≥以及一元二次方程的定义得出10m −≠，即可求解． 【详解】解：依题意()244410b ac m ∆=−=+−≥，且10m −≠，解得：0m ≥且1m ≠， 故答案为：0m ≥且1m ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的定义是解题的关键．12．（2023·山东东营·校考二模）如果关于x 的一元二次方程234x x m ++=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________． 【答案】254m <【分析】先把这个一元二次方程变成一般式，再根据一元二次方程根的判别式计算即可．【详解】234x x m ++=，∴2340x x m ++−=．关于x 的一元二次方程234x x m ++=有两个不相等的实数根，∴()2243440b ac m ∆=−=−−>∴4250m −+> ∴254m <．故答案为：254m <．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式性质，准确计算是解本题的关键．13．（2023·四川巴中·校考二模）已知关于x 的一元二次方程()222210x m x m +++−=．两实数根分别为12x x 、，且满足221258x x +=，则实数m 的值为_____________．【答案】2【分析】先由一元二次方程根的判别式得到关于m 的不等式，解不等式即可得到m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得：()1222x x m +=−+，2121x x m =−，代入()2221212122x x x x x x +=+−得到关于m 的一元二次方程，解方程并根据（1）中的m 的取值范围即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()222210x m x m +++−=有实数根， ∴()()22242241b ac m m ⎡⎤∆=−=+−−⎣⎦16200m =+≥，解得：54m ≥−，即m 的取值范围是54m ≥−；∵由根与系数的关系可得：()21212221x x m x x m +=−+=−，，∴()2221212122x x x x x x +=+−()()222221m m ⎡⎤=−+−−⎣⎦221618m m =++，∵221258x x +=，∴22161858m m ++=，即28200m m +−=，∴()()2100m m −+=，解得110m =−或22m =，∵54m ≥−，∴2m =， 故答案为：2．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系，准确计算是解题的关键．三、解答题【答案】1x =，2x =【分析】用公式法解此方程即可．250x −+=a ==5b −，c =()224=540b ac −−−>x此方程的解为：1x =，2x =【点睛】此题考查的是用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解方程的步骤． 15．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：27180x x −−=（公式法） 【答案】129,2x x ==−【分析】利用公式法解答，即可求解．【详解】解：27180x x −−=，∵1,7,18a b c ==−=−， ∴()()2741181210∆=−−⨯⨯−=>，∴7711212x ±==⨯，∴129,2x x ==−．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，是解题的关键．16．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程2(4)(21)0m x m x m ---+=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取满足要求的最小正整数时，求方程的解． 【答案】(1)112m >−且4m ≠(2)1x ，2x【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式()()22421440b ac m m m ∆=−=−−−−>⎡⎤⎣⎦，且40m −≠，求出m（2）得到m 的最小整数，利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）一元二次方程2(4)(21)0m x m x m ---+=有两个不相等的实数根，∴()()22421440b ac m m m ∆=−=−−−−=>⎡⎤⎣⎦，且40m −≠，即224414160m m m m +−−+>，且40m −≠，解得：112m >−且4m ≠；（2）m 满足条件的最小正整数是1m =，此时方程为2310x x −−+=，x ==解得：1x ，2x =【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与判别式24b ac ∆=−的关系是解答本题的关键．17．（2023·北京西城·校考模拟预测）关于x 的一元二次方程()2320x m x m −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)1−【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为()21m ∆=+，即可证明结论；（2）根据题意得到1212x x m ==+，是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m 的最小值． 【详解】（1）证明：由()2320x m x m −+++=得，()()()222342211m m m m m ∆=−+−+=++=+⎡⎤⎣⎦，∵()210m +≥，∴方程总有两个实数根； （2）∵()2320x m x m −+++=，∴()()120x x m −−+=⎡⎤⎣⎦，∴1212x x m ==+，，∵方程的两个实数根都是正整数， ∴21m +≥． ∴1m ≥−．∴m 的最小值为1−．【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键． 18．（2018秋·广东清远·九年级统考期末）不解方程，判断方程22410x x −−=的根的情况． 【答案】有两个不相等的实数根【分析】先求一元二次方程的判别式，由∆与0的大小关系来判断方程根的情况． 【详解】解：∵2a =，4b =−，1c =− ∴()()2244421240b ac ∆=−=−−⨯⨯−=>∴原方程有两个不相等的实数根．【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：（1）0∆>，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ0=方程有两个相等的实数根；（3）Δ0<方程没有实数根．19．（2023春·河南三门峡·九年级统考阶段练习）已知关于x 的方程2210x x a +−+=没有实数根，试判断关于y 的方程21y ay a ++=实数根的情况，并说明理由． 【答案】一定有两个不相等的实数根．理由见解析．【分析】根据关于x 的方程2210x x a +−+=没有实数根，求出a 的求值范围；再表示关于y 的方程21y ay a ++=，()()222412a a a ∆=−−=−，即可判断该方程根的情况．【详解】解：∵方程2210x x a +−+=没有实数根，()144140a a ∴∆=−−+=<，<0a ∴，对于关于y 的方程21y ay a ++=，()()222412a a a ∆=−−=−，0a <，()220a ∴−>，即20∆>，∴方程21y ay a ++=一定有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键．20．（2022秋·四川遂宁·九年级校考期中）对于任意一个三位数k ，如果k 满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k ＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．(1)已知一个“喜鹊数”k ＝100a +10b +c （1≤a 、b 、c ≤9，其中a ，b ，c 为正整数），请直接写出a ，b ，c 所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；(2)利用（1）中“喜鹊数”k 中的a ，b ，c 构造两个一元二次方程ax 2+bx +c ＝0①与cx 2+bx +a ＝0②，若x ＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121(2)mn＝1(3)121，242，363，484【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【详解】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鹊数；∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，∴十位上的数字的平方最小为4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鹊数”是121．故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（1n）2+b（1n）+c＝0，∴将m、1n看成是方程ax2+bx+c的两个根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，∴m＝1n，即mn＝1；故答案为：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m ＝﹣1，n ＝﹣1，∴a ﹣b+c ＝0，∴b ＝a+c ，∵b2＝4ac ，∴（a+c ）2＝4ac ，解得：a ＝c ，∴满足条件的所有k 的值为121，242，363，484．故答案为：121，242，363，484．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．【答案】(1)m=0或m=1(2)m=0或m=1【分析】（1）把x=2代入方程22(23)320x m x m m −++++=得到关于m 的一元二次方程，然后解关于m 的方程即可；（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到12x m =+，21x m =+，则AC=m+2，AB=m+1．因为△ABC 是直角三角形，所以当BC 或AC 为斜边时根据勾股定理分别解关于m 的一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵x=2是方程的一个根，∴242(23)320m m m −++++=，∴m=0或m=1；（2）解：∵△=22[(23)]4(32)1m m m −+−++=， ∴x=2312m +±∴12x m =+，21x m =+，∴AB 、AC （AB ＜AC ）的长是这个方程的两个实数根，∴AC=m+2>0，AB=m+1>0．∴m>-1．∵△ABC 是直角三角形，∴当BC 为斜边时，有222(2)(1)m m +++=，解这个方程，得13m =−(不符合题意，舍去)，20m =；当AC 为斜边时，有222(1)(2)m m ++=+，解这个方程，得1m =．综上所述，当m=0或m=1时，△ABC 是直角三角形．【点睛】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，熟练运用勾股定理进行分类讨论．【答案】(1)241不是“快乐数”；最大的“快乐数”为999(2)333【分析】（1）根据“快乐数”的定义解答即可；（2）根据“快乐数”可得出2a cb +=，根据一元二次方程根的情况可得2b ac =，再结合710a b c ≤++≤及1a ≤、b 、9c ≤，a 、b 、c 为自然数可得出a 、b 、c 的值，最后结合“快乐数”的定义即可得出答案．【详解】（1）解：∵2142+≠，∴241不是“快乐数”，∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最大为9，又∵9992+=，∴最大的“快乐数”为999．（2）∵10010k a b c =++为“快乐数”， ∴2a cb +=，∵关于x 的一元二次方程220ax bx c ++=有两个相等的实数根，∴()2240b ac −=，即2b ac =， ∴2271019a c b b ac a b c a b c +⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪≤++≤⎪≤≤⎪⎩、、，解得：3a =，3b =，3c =，∴1001010031033333k a b c =++=⨯+⨯+=，综上所述，满足条件的所有k 的值为333．∴满足条件的所有k 的值为333．“快乐数”的定义． ）已知在ABC 中，问题探究：（2）如图，将正方形CDEF问题拓展：（3）将正方形CDEF 绕点C 旋转一周，当=45ADC ∠︒时，若3AC =，1CD =，请直接写出线段AH 的长.【答案】（1）BF AD =，BF AD ⊥，理由见解析；（2）见解析；（3）2或【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明()SAS BCF ACD ≌△△，得出BF AD =，FBC DAC ∠=∠，再利用角的代换得到90AHF ∠=︒，即可得到结论；（2）先证明()SAS BCF ACD ≌△△，得出CBK CAH ∠=∠，进而证明()SAS BCK ACH ≌△△，得到CK CH =，BCK ACH ∠=∠，进一步即可证明KCH 是等腰直角三角形，于是可得HK =，然后利用线段间的代换即可证得结论；（3）分两种情况：①当A ，()H F ，D 三点共线时，=45ADC ∠︒；②当B ，()D H ，F 三点共线时，=45ADC ∠︒；设AH x =，在Rt ABH △中根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程即可求出结果.【详解】解：（1）BF AD =，BF AD ⊥；理由如下：∵四边形CDEF 是正方形，∴CF CD =，90FCD ∠=︒，在BCF △和ACD 中，,90,,BC AC BCF ACD CF CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()SAS BCF ACD ≌△△， ∴BF AD =，FBC DAC ∠=∠，∵90BFC FBC ∠+∠=︒，BFC AFH ∠=∠，∴90AFH DAC ∠+∠=︒，∴90AHF ∠=︒，∴BF AD ⊥；（2）证明：如图，在线段BF 上截取BK AH =，连接CK ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CF CD =，90FCD ACB ∠=︒=∠，∴ACD BCF ∠=∠，∴()SAS BCF ACD ≌△△，∴CBK CAH ∠=∠，在BCK 和ACH 中，,,,BC AC CBK CAH BK AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS BCK ACH ≌△△， ∴CK CH =，BCK ACH ∠=∠，∴90KCH BCA ∠=∠=︒，∴KCH 是等腰直角三角形，∴HK ，∴BH AH BH BK KH −=−=；（3）分两种情况：①如图，当A ，()H F ，D 三点共线时，=45ADC ∠︒；同理可证明：BH AD =，BH AD ⊥，且1CD CF ==，FD =∵3BC =，∴AB =设AH x =，则BH AD x ==在Rt BAH 中，∵222BH AH AB +=，∴((222x x +=，解得x =或x =（舍去）；②如图，当B ，()D H ，F 三点共线时，=45ADC ∠︒，设AH x =，∵BF AH =，∴BH AH HF x =−=在Rt ABH △中，∵222BH AH AB +=，∴((222x x +=，解得x =或x =（舍去）；综上所述，线段AH 的长为2或.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题的关键.。
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公式法解一元二次方程知识点及练习
求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时，代入公式求出方程的根；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了． 1.步骤：
第一步：化方程为一般形式，即
20(0)ax bx c a ++=≠ ； 第二步：确定 a 、 b 、 c 的值，并计算根的判别式：
2
4b ac ∆=- 的值； 第三步：当根的判别式：24b ac ∆=-≥0 时，将 a 、 b 、 c 及 2
4b ac ∆=- 的值代入求根公式，得出方程的根 ；当2
4b ac ∆=-＜0 时，方程无实数根．
2.二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：
24b ac ∆=- 0∆>：程有两个不相等的实根
:2b x a -±=（2
40b ac -≥）；
0∆=：程有两个相等的实根； 0∆<：程无实根。
1．选择题
(1)下列方程中是一元二次方程的是( )
A ．x x
422-＝0 B ．322x x -＝0 C ．x 2
＋2xy ＋1＝0
D ．5x ＝3x －1 (2)下列方程不是一元二次方程的是( ) A ．21x 2＝1 B ．0.01x 2＋0．2x －0.1＝0C ．2 x 2
－3x ＝0 D ．21x 2－x ＝2
1(x 2＋1)
(3)方程3x 2
－4＝－2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A ．3，－4，－2 B ．3，2，－4 C ．3，－2，－4 D ．2，－2，0
(4)一元二次方程2x 2
－(a ＋1)x ＝x (x －1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a 的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
(5)若方程(m 2－1)x 2
＋x ＋m ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( ) A ．m ≠0 B ．m ≠1 C ．m ≠1且m ≠－1 D ．m ≠1或m ≠－1
(6)方程x (x ＋1)＝0的根为( )
A ．0
B ．－1
C ．0，－1
D ．0，1
(7)方程3x 2
－75＝0的解是( )
A ．x ＝5
B ．x ＝－5
C ．x ＝±5
D ．无实数根
(8)方程(x －5)2
＝6的两个根是( ) A ．x 1＝x 2＝5＋6
B ．x 1＝x 2＝－5＋6
C ．x 1＝－5＋6，x 2＝－5－6
D ．x 1＝5＋6，x 2＝5－6
(9)若代数式x 2
－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )
A ．1或5
B ．7或－1
C ．－1或－5
D ．－7或1
(10)关于x 的方程3x 2
－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( ) A ．2
B ．－
2
1 C ．－2
D ．
2
1 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：
(1)4x ＋1＝9x 2
； (2)(x ＋1)(x －3)＝2x －3；
(3)(x ＋3)(x －3)＝2(x －3)2
； (4)3y 2－2y ＝2y
2
－3y ＋5．
3．当m 满足什么条件时，方程(m ＋1)x 2
－4mx ＋4m －2＝0是一元二次方程?当x ＝0时，求m 的值．
4．用直接开平方法解下列方程： (1)x 2
＝
4
9； (2)x 2
＝1．96；
(3)3x 2
－48＝0；
(4)4x 2－1＝0； (5)(x －1)2
＝144； (6)(6x －7)2
－9＝0．
5．用配方法解下列方程：
(1)x 2＋12x ＝0； (2)x 2＋12x ＋15＝0 (3)x 2
－7x ＋2＝0；
(4)9x 2＋6x －1＝0； (5)5x 2－2＝－x ； (6)3x 2
－4x ＝2．
6．用公式法解下列方程：
(1)x 2
－2x ＋1＝0；
(2)x (x ＋8)＝16； (3)x 2
－
3
5
x ＝2；
(4)0．8x 2
＋x ＝0．3；
(5)4x 2
－1＝0； (6)x 2
＝7x ；
(7)3x 2
＋1＝23x ；
(8)12x 2
＋7x ＋1＝0．
7．(1)当x 为何值时，代数式2x 2
＋7x －1与4x ＋1的值相等?
(2)当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与x 2
－19的值互为相反数?
8．已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程ax 2
＋bx
＋c ＝0．
9．已知a ＋b ＋c ＝0．求证：1是关于x 的一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的根．
10．用配方法证明：
(1)3y 2－6y ＋11的值恒大于零；(2)－10x 2
－7x －4的值恒小于零．
11．证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2
＋2ax ＋1＝0，不论a 为何实数，该方程都是一元二次方程．。