公式法解一元二次方程知识点及练习

求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时，代入公式求出方程的根；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了． 1.步骤：

第一步：化方程为一般形式，即

20(0)ax bx c a ++=≠ ；第二步：确定 a 、 b 、 c 的值，并计算根的判别式：

4b ac ?=- 的值；第三步：当根的判别式：24b ac ?=-≥0 时，将 a 、 b 、 c 及 2

4b ac ?=- 的值代入求根公式，得出方程的根；当2

4b ac ?=-＜0 时，方程无实数根．

2.二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：

24b ac ?=- 0?>：程有两个不相等的实根

:2b x a -±=（2

40b ac -≥）；

0?=：程有两个相等的实根； 0?<：程无实根。

1．选择题

(1)下列方程中是一元二次方程的是( )

A ．x x

422-＝0 B ．322x x -＝0 C ．x 2

＋2xy ＋1＝0

D ．5x ＝3x －1 (2)下列方程不是一元二次方程的是( ) A ．21x 2＝1 B ．0.01x 2＋0．2x －0.1＝0C ．2 x 2

－3x ＝0 D ．21x 2－x ＝2

1(x 2＋1)

(3)方程3x 2

－4＝－2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A ．3，－4，－2 B ．3，2，－4 C ．3，－2，－4 D ．2，－2，0

(4)一元二次方程2x 2

－(a ＋1)x ＝x (x －1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a 的值为( )

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

(5)若方程(m 2－1)x 2

＋x ＋m ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( ) A ．m ≠0 B ．m ≠1 C ．m ≠1且m ≠－1 D ．m ≠1或m ≠－1

(6)方程x (x ＋1)＝0的根为( )

A ．0

B ．－1

C ．0，－1

D ．0，1

(7)方程3x 2

－75＝0的解是( )

A ．x ＝5

B ．x ＝－5

C ．x ＝±5

D ．无实数根

(8)方程(x －5)2

＝6的两个根是( ) A ．x 1＝x 2＝5＋6

B ．x 1＝x 2＝－5＋6

C ．x 1＝－5＋6，x 2＝－5－6

D ．x 1＝5＋6，x 2＝5－6

(9)若代数式x 2

－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )

A ．1或5

B ．7或－1

C ．－1或－5

D ．－7或1

(10)关于x 的方程3x 2

－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( ) A ．2

B ．－

1 C ．－2

D ．

1 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：

(1)4x ＋1＝9x 2

； (2)(x ＋1)(x －3)＝2x －3；

(3)(x ＋3)(x －3)＝2(x －3)2

； (4)3y 2－2y ＝2y

－3y ＋5．

3．当m 满足什么条件时，方程(m ＋1)x 2

－4mx ＋4m －2＝0是一元二次方程?当x ＝0时，求m 的值．

4．用直接开平方法解下列方程： (1)x 2

＝

9； (2)x 2

＝1．96；

(3)3x 2

－48＝0；

(4)4x 2－1＝0； (5)(x －1)2

＝144； (6)(6x －7)2

－9＝0．

5．用配方法解下列方程：

(1)x 2＋12x ＝0； (2)x 2＋12x ＋15＝0 (3)x 2

－7x ＋2＝0；

(4)9x 2＋6x －1＝0； (5)5x 2－2＝－x ； (6)3x 2

－4x ＝2．

6．用公式法解下列方程：

(1)x 2

－2x ＋1＝0；

(2)x (x ＋8)＝16； (3)x 2

－

x ＝2；

(4)0．8x 2

＋x ＝0．3；

(5)4x 2

－1＝0； (6)x 2

＝7x ；

(7)3x 2

＋1＝23x ；

(8)12x 2

＋7x ＋1＝0．

7．(1)当x 为何值时，代数式2x 2

＋7x －1与4x ＋1的值相等?

(2)当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与x 2

－19的值互为相反数?

8．已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程ax 2

＋bx

＋c ＝0．

9．已知a ＋b ＋c ＝0．求证：1是关于x 的一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0的根．

10．用配方法证明：

(1)3y 2－6y ＋11的值恒大于零；(2)－10x 2

－7x －4的值恒小于零．

11．证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2

＋2ax ＋1＝0，不论a 为何实数，该方程都是一元二次方程．

公式法解一元二次方程教案-人教版

《公式法解一元二次方程》教案教学目标、知识技能掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．、数学思考通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．、解决问题培养学生准确快速的计算能力．、情感态度通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想．重难点、关键重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．关键：掌握一元二次方程的求根公式，并应用求根公式法解简单的一元二次方程．教学过程一、复习引入【问题】（学生总结，老师点评） .用配方法解下列方程（）－（）－．总结用配方法解一元二次方程的步骤。（）移项；（）化二次项系数为；（）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（）原方程变形为（）的形式；（）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识解答问题．【设计意图】复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．一、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式（≠），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．【问题】已知（≠）且－4ac≥，试推导它的两个根为2b a -+，2b a - 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把、、?也当成一个具体数字，根据

上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：－二次项系数化为，得 b a － c a 配方，得：b a （2b a ）－c a （2b a ）即（2b a ）2244b ac a - ∵－4ac≥且4a> ∴2244b ac a -≥ 直接开平方，得：2b a 即2b a - ∴2b a -，2b a -- 【说明】这里a ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ）是一元二次方程的求根公式【活动方略】鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．【设计意图】创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。【思考】利用公式法解下列方程，从中你能发现什么（）2320;x x -+=（）2222 -=-x x （）24320x x -+= 【活动方略】在教师的引导下，学生回答，教师板书引导学生总结步骤：确定c b a ,,的值、算出ac b 42-的值、代入求根公式求解．在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：（）一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根是由一元二次方程的系数c b a ,,确定的；

一元二次方程知识点集 (整理)

一元二次方程知识点题集（须用心按质完成） 1．方程12 x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________．（1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21x －2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5）12 x 2=0． 3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________． 4．如果21x －2x －8=0，则1x 的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取值范围是定______________． 7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________． 8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形为___________________，原方程的根为________． 9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________________（写一个即可）． 10．代数式12 x 2+8x+5的最小值是_________． 11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（）． A ．a=b=c B ．一根为1 C ．一根为－1 D ．以上都不对 12.一元二次方程x 2－4＝0的解是（） A ．x 1＝2，x 2＝－2 B ．x ＝－2 C ．x ＝2 D ． x 1＝2，x 2＝0 13．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（）． A ．－5或1 B ．1 C ．5 D ．5或－1 14．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2－px+q 可分解为（）． A ．（x+2）（x+3） B ．（x －2）（x －3） C ．（x －2）（x+3） D ．（x+2）（x －3） 15．已知α，β是方程x 2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2－6x+8=0的解，?则这个三角形的周长是（）． A ．8 B ．8或10 C ．10 D ．8和10 17.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 232057 x + -= 18下列方程中,常数项为零的是( ) A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 19.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )

(完整版)一元二次方程知识点总结和例题——复习

知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x= +2) (的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x+是b的平方根，当0 ≥ b时，b a x± = +，b a x± - =，当b<0时，方程没有实数根。（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式 2 2 2) ( 2b a b ab a+ = + ±，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 2 2 2) ( 2b x b bx x± = + ±。配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p ±√q；如果q＜0,方程无实根．（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的求根公式： )0 4 ( 2 4 2 2 ≥ - - ± - =ac b a ac b b x （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 5.一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax中，ac b4 2-叫做一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b4 2- = ? 6.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的两个实数根是 2 1 x x，，那么a b x x- = + 2 1 ， a c x x= 2 1 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程

解一元二次方程(公式法)

应用拓展某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12．（2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13．布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:

公式法解一元二次方程及答案详细解析

公式法解一元二次方程及答案详细解析 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

21.2.2公式法一．选择题（共5小题） 1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（） A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣2 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣ 4x2+3=5x，下列叙述正确的是（） A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3 C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣3 3．（2011春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（） A．c≤0B．c＜0 C．c＞0 D．c≥0 4．（2012秋?建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c=（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2013?下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或2 二．填空题（共3小题） 6．（2013秋?兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a=；b=；c=． 7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得 △，此方程式的根为． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是．

三．解答题（共12小题） 9．（2010秋?泉州校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积． 10．（2009秋?五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值． 11．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值． 12．（2012?西城区模拟）用公式法解一元二次方程：x2﹣4x+2=0． 13．（2013秋?海淀区期中）用公式法解一元二次方程：x2+4x=1． 14．（2011秋?江门期中）用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x=x+1． 15．（2014秋?藁城市校级月考）（1）用公式法解方程：x2﹣6x+1=0；（2）用配方法解一元二次方程：x2+1=3x． 16．（2013秋?大理市校级月考）解一元二次方程：（1）4x2﹣1=12x（用配方法解）；（2）2x2﹣2=3x（用公式法解）． 17．（2013?自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0． 18．（2014?泗县校级模拟）用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． 19．（2011秋?南开区校级月考）（1）用公式法解方程：2x2+x=5 （2）解关于x的一元二次方程：． 20．（2011?西城区二模）已知：关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；

一元二次方程的知识点梳理

一、知识结构：一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法二、考点精析考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是，常数项是。 2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（） =n=2 =2,n=1 =2,m=1 =n=1 考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为。针对练习： 1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是。 2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。 3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。 4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（） A 1- B 1 C c b - D a - 6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。考点三、解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次类型一、直接开方法：()m x m m x ±=?≥=,02

北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点

北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点知识点一：认识一元一次方程（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程；这样的方程叫一元二次方程. （注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次）（二）一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数；a ≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项. 【例题】 1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是 . 2、一元二次方程（x+1）(3x －2)=10的一般形式是 . 3、当m= 时；关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程. 4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 23 2057 x +-= 知识点二：求解一元一次方程（一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【例题】例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0；则a 值为（） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、1 2 （二）解一元二次方程的方法： 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤： ①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1； ③把常数项移到方程的右边； ④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式； ⑥两边开方求其根. 【例题】例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（） A ．（x+4）2=17 B ．（x+4）2=15 C ．（x-4）2=17 D ．（x-4）2=15 例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0；下列变形正确的是（） A ．（x-6）2=-4+36 B ．（x-6）2=4+36 C ．（x-3）2=-4+9 D ．（x-3）2=4+9 例4 x 2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=0 2. 公式法x = （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）【例题】例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解；则a 的取值范围是（） A ．a ＜1 B ．a≤4 C ．a≤1 D ．a≥1 例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0；则该方程根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数 D ．无实数根例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根；求实数a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时；求a 的值及方程的另一根． 3.分解因式法把方程的一边变成0；另一边变成两个一次因式的乘积来求解.（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）【例题】例8 一元二次方程x 2-2x=0的解是（） A ．0 B ．2 C ．0；-2 D ．0；2 例9 方程3（x-5）2=2（x-5）的根是例10 x 2-3x+2=0； x 2+2x=3；（x-1）2+2x （x-1）=0 知识点三：一元二次方程的根与系数的关系 1.根与系数的关系：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x1、x2；则有：1212,b c x x x x a a +=-?= . 2.一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根；求另一根；（2）不解方程；求二次方程的根x1、x2的对称式的值. （3）对比记忆以下公式：

公式法解一元二次方程教案

公式法解一元二次方程一、教学目标（1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．二、教学的重、难点及教学设计（1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。（2）教学的难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。（3）教学设计要点 1.情境设计上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理（1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。（2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。（3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形

一元二次方程知识点归纳与复习

一元二次方程专题知识点1：一元二次方程的概念及一般形式 1、方程（1）3x-1=0;(2) 2310x -=;(3) 2130x x + =;(4) 221(1)(2)x x x -=--; (5) 2(52)(37)15x x x +-=;(6) 232x y x +=.其中一元二次方程的个数为（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）2(5)3x x x --=- （2）(21)(5)6x x x -+= 知识点2：用直接开平方法解一元二次方程 3、用直接看平方法解一元二次方程：（1）2169x = （2）2450x -= （3）24(21)360x --= （4）（21)40x +-= 知识点3：用配方法解一元二次方程

4、用配方法解方程2250x x --=时，原方程变形为（） A 、2(1)6x += B 、2(1)6x -= C 、2(2)9x += D 、2(2)9x -= 5、用配方法解一元二次方程：（1）22410x x -+= （2）2213x x += 知识点4：用公式法解一元二次方程 6、用公式法解一元二次方程：（1）2410x x +-= （2）2441018x x x ++=- 知识点5：根的判别式（24b ac -）的应用 7、若关于x 的一元二次方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（） A 、m>-1 B 、m>-1且m ≠0 C 、m<1 D 、m<1且m ≠0 8、已知a 、b 、c 分别是三角形ABC 的三边，其中a=1,c=4,且关于x 的方程240x x b -+=有两个相等的实数根，试判断三角形ABC 的形状。 4、已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=. （1）求证：原方程恒有两个实数根; （2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围. 知识点6：用分解因式法解一元二次方程 9、用分解因式法解一元二次方程（1）230x x += （2）2(3)4(3)0x x x -+-=

一元二次方程解法-公式法

第6课时 22.2.3 公式法教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入 1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程（1）x2=4 (2)(x-2) 2=7 提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。） 2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。）（学生活动）用配方法解方程 2x2+3=7x （老师点评）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． (1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．二、探索新知用配方法解方程（1）ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0 (3)如果这个一元二次方程是一般形式a x2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=

公式法解一元二次方程(教案)

21.2.2公式法教案设计（张荣权）教学内容：用公式法解一元二次方程教材分析：在解一元二次方程时，仅仅是直接开平方法、配方法解一元二次方程是远远不够的。对于系数不特殊的一元二次方程，这两种方法就不方便了。而用求根公式法解较复杂的一元二次方程教方便了。因此，学习用公式法解一元二次方程很有必要，也是不可缺少的一个重要内容。而公式法是一元二次方程的基本解法，它为进一步学习一元二次方程的解法级简单应用起到铺垫作用。教学目标：知识与技能目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导。 2.会用求根公式解简单数字的一元二次方程。 3.理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况。过程与方法：在教师的指导下，经过观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结能力。情感态度与价值观：培养学生独立思考的习惯和合作交流意识。教学重点、难点及突破重点：1.掌握公式法解一元二次方程的步骤。 2.熟练的利用求根公式解一元二次方程。难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。教学突破本节课我主要采用启发式、探究式教学法。教学中力求体现“试——究——升”模式。有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。由于学生配方能力有限，所以，崩皆可借助于多媒体辅助教学，指导学生通过观察，分析，总结配方规律，从而突破难点。学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性，主动性和创造性。教学设想通过复习配方法解一元二次方程，导入对一般形式的一元二次方程的解法探讨，通过提问引导学生观察思考，产生问题，进行小组合作探讨，发现结论。加深对应用公式法的理解。渗透由特殊到一般和分类讨论及化归的数学思想，运用解一元二次方程的基本思想----开方降次，重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解一元二次方程的基本策略。教学准备教师准备：课件精选例题学生准备：配方法解一元二次方程、二次根式的化简教学过程：

一元二次方程知识点总结与易错题及答案

一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于- a b ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。

一元二次方程知识点归纳

一元二次方程知识点知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例 1.一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．例：方程20 a ax+=是关于x 的一元二次方程，则方程的根为－ 1. 2 .一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为 x= 24 2 b b ac a -±-（b2-4ac≥0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法. 例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后， h=-3,k=6. 知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3 .根的判别式 (1)当Δ＝24 b ac -0时，原方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝24 b ac -0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝24 b ac -0时，原方程没有实数根．例：方程2210 x x +-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230 x x ++= 的判别式等于－8，故该方程没有实数根. * 4.根与系数的关系（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2= ；x1x2= 。注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0. （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解. 与一元二次方程两根相关代数式的常见变形： x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1, 12 1212 11x x x x x x + += 等. 失分点警示在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.a≠0 知识点三：一元二次方程的应用 4（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程； ④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实

人教版21章一元二次方程知识点总结

21章一元二次方程知识点一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2 =x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式（2）在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数；（3）把原方程变为()n m x =+2的形式。（4）若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。（二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；（3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式；（4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程、二次函数知识点总结

一元二次方程重要知识点 1. 一元二次方程的定义及一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y （1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。 2. 一元二次方程的解法（1）配方法：将方程整理成(x+p)2 =q ，方程的根是x=-p ±q 注：x 2系数是1和不是1时配方注意事项；x 2系数是负数时配方注意事项。（2）公式法：242b b ac x a -±-=（240b ac -≥）（3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x 0))((=++?q x p x 3.一元二次方程根的判别（2 4b ac ?=-）（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根（2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根（3）△＜0，方程没有实数根，方程无解 4.韦达定理（根与系数关系）一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a -； 1x .2x ＝c a 5.一元二次方程的应用 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； ③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解； ⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程二次函数重要知识点 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零． 2. 平移规律：

解一元二次方程练习题公式法

解一元二次方程练习题——公式法一．填空题。（每小题5分，共25分） 1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________． 2．方程a x2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有________，?若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________． 3．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________． 4．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________． 5．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为________．二．选择题。（每小题5分，共25分） 6．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（） A．．． D． 7．不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A、k>-1 B、k>1 C、k≠0 D、k>-1且k≠0 9.下列方程中有两个相等的实数根的是（） A、3x2－x－1=0; B、x2－2x－1=0; C、9x2=4（3x－1）; D、x2＋7x＋15=0. 10．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）． A． 4或-2 B． -4或2 C． 4 D．-2 11．（20分）用公式法解方程 (1)x2+15x=-3x; (2)x2+x-6=0; (3)3x2-6x-2=0; (4)4x2-6x=0

23用公式法求解一元二次方程教学设计

第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程（一）横山县第三中学柳金帛一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程. 学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力. 二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。为此，本节课的教学目标是： ①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。 ②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.

③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。 ④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。第一环节；回忆巩固活动内容： ①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算 ②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+- x x 即: 016 25)47(2=--x 1625)47(2=-x 两边开平方取“±” 得： 4547±=-x 4547±= x 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21