平行与垂直

一、游戏导入

（ppt 长方形线段正方形射线直线）

师：上课之前，我们先来玩个猜图游戏，你们想玩吗？

生：想

师：游戏规则是这样的，老师在大屏上出示图形，由同学们来描述，一名同学来猜，谁愿意来猜第一个？

{最后补充完整，直线的所有特征，强调延伸性和直的}

二、深入画图感知

师：了解了直线的特征，请同学们闭上眼睛，这时你们的脑海中出现了一条直线，接着又出现了一条直线，那么你们脑海中的这两条直线是什么样子的呢？想完之后，请你们把脑海中的直线用手边的彩笔复制到我们提前准备好的白纸上。

开始吧。看看谁画的又好又快。

三、感受分类，达成共识

师：同学们的想象力实在是太丰富了，在这么短的时间里画出了这么多种情况，老师挑了几幅作品，大家一起来看一看。

师:这么多种情况，你们不觉得乱吗？

生：乱

师：那我们能不能尝试去给这些情况，分分类？

生：能

师：好，请四人小组讨论，我们该如何分类，开始。

师：讨论完毕，迅速坐正。

师：哪个小组愿意派代表来说说你们想法？

两类相交/不想交 1234/5

三类相交/快要相交/不想交 134/2/5

四类相交/快要相交/不想交/相交成直角 13/2/5/4

（纠正交叉，在数学上这种两条直线交叉所形成的位置关系叫做相交）师：这么多种分类方法，请同学们再次四人小组讨论，说一说你们更赞同哪一种呢？

（ppt 展示三种图形分类结果）

师：通过再次的讨论，那么对于第一次的分类结果，你们有什么想法？（2延长后会相交，直角也是相交）

师最后达成共识，把黑板上贴图区分开，再让孩子看一遍相交和不相交的情况

四、认识平行

（ppt 展示平行线）

师：我们先来看看五号图，这两条直线的位置关系是怎样的？

生：不想交

师：想一想，如果把这两条直线延长，他们会相交吗？如果一直延长呢？

师：先别急于出结论，数学的严谨性告诉我们要先验证，再得出结论。请同学们拿起手边编号1的纸，动手验证一下。

师：谁来说说结论

生：不会，永不相交。

师：你们做的非常棒，那你们知道在数学上，这样两天永不相交的直线叫什么吗？

生：平行线

师：好，老师这里有一个长方体，你们能试着在这上面找到平行线吗？师：老师也找了两条，大家来一起看一看。

师：这两条直线相交吗？

生：不想交

师：这两条直线平行吗？

生：不平行

师：为什么？

生：不在同一平面内。

师：那说明，平行线必须要在？

生：同一个平面内。

师：好，那现在谁能试着总结到底什么是平行线？

生:在同一平面内，不想交的两条直线叫做平行线。

师：你们同意吗？

生：同意

师：我们一起来看一看到底什么是平行？（ppt展示定义）

师：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说，这两条直线互相平行。

师：迅速跟你的同桌说一遍，说完坐正。

师：这里出现了一个新的，名词，是什么？

生：互相

师：什么叫做互相，谁能举例说一说？

握手，你和我，我和你，

师：一条直线能叫互相吗？

生：不能

师：那至少有两条直线才能叫做互相。三条呢，五条呢？是不是都叫互相？

师：认识了平行线，我们接下来看看我们该如何用简便的方法来表示平行。通常我们用两条平行的小斜杠来表示平行，来请同学们举起手跟我一起画。 a∥b

师：请同学们再练习本上试着写一写，那么a∥b，同时b∥a

师：谁愿意上黑板，写一写。

师：判断，他写的对吗？你们跟他写的一样吗？

师：非常棒，那同学们能不能找一找我们的生活中有没有互相平行的例子。

师：请同学们看大屏幕，找找这些图片上那些事平行线？

师：老师来举个例子，汽车行驶的轨迹，也就路线，是不是平行线？当汽车在超车或者拐弯的时候，是不是平行线呢？

五、认识垂直

师：请同学们再来看看黑板上我们刚才画的图，前四副图都是什么关系?

生：相交关系

师：那在两条直线相交之后，你们发现了什么？

生：四个角，有锐角，钝角，直角。

师：锐角和钝角我们可以一眼看出，那么4号图上到底是什么角呢？老师把这个角给你画在了纸上，请找到2的图，动手验证一下这两条直线相交之后形成的四个角都是什么角？

师：我们将讲过，判断一个角是否是直角，该怎么办？、

生：三角板，量角器。

师：动手量一量，你们量完的结果是什么？

生：四个角都是直角，90·

师：你们的结果都是直角吗？

生：师

师：两条直线相交之后，形成的四个角都是直角的是相交的一种特殊情况。你们知道这种情况在数学上叫做什么吗？

生：垂直

师：你们认为什么样的直线叫做垂直？

师：（ppt展示定义）如果两条直线相交成直角，我们就说这两天直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫垂足，我们通常用字母O表示。

师：请同学们一起读一遍，再跟你的同桌说一遍，说完迅速坐正。师：重新看4号图。这两条直线相互垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，如果我们把这两条直线分别叫做直线a和直线b，在这里我们就可以说直线a垂直于直线b，也可以说？（直线b垂直于直线a），直线a、b相交的点叫做垂足。

师：通常我们用一条直线垂直于另一条直线这样一个符号来表示垂直，请同学们举起手跟着我一起写。⊥

师：直线a垂直于直线b就写作，a⊥b。请同学们动手在练习本上试着写一写，谁愿意上黑板写一写。

师：你们跟他写的一样吗？

生：一样

师：（ppt出示位置不同的垂线）请同学们观察这三幅图有什么不同点？生：位置不同。

师：这三幅图中的两条直线都是什么关系？

生：互相垂直

师：由此说明，看两条直线是否互相垂直的关键是看他们相交是否为直角，而于两条直线的摆放位置和方向无关。

师：出示魔方。老师这里有个魔方，这是个什么图形？

生：正方体

师：这上面有没有互相垂直的两条线呢？谁能找一找？

师：在我们的日常生活中，又有那些互相垂直的例子呢?谁能来找一找？

六、巩固练习

1师：请同学们观察我们的数学书的表面，有没有我们刚刚学习过的互相平行和互相垂直的线。

生：有

师：好，请指着你找到的想跟你的同桌相互说一说。开始

师：你们找到了几组平行线？几组垂线？

师：由此可见，长方形，对边平行，相邻的两条边互相垂直。

2 ppt五张图

3 出示平行四边形和直角梯形。找一找平行线和垂线。

七、课后小结

师：同学们，这节课我们学习了什么？

生：平行与垂直

师：有关平行与垂直，你们学到了什么？

师：那这节课你们对自己的表现满意吗？满意的同学请坐正举起左右，对自己的表现不够满意的请做正举起右手。

师：好，收。这节课老师对你们的表现很满意，同学们学的很认真。请把掌声送给你们自己。

师：好，下课。

八、教学反思

直线、平面平行与垂直的综合问题考点与题型归纳

直线、平面平行与垂直的综合问题考点与题型归纳考点一立体几何中的探索性问题 [典例](2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点． (1)证明：平面AMD⊥平面BMC. (2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． [解](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM. 因为M为?CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC. 因为DM?平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC. (2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 证明如下：连接AC交BD于O. 因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP. 又MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD. [题组训练] 1.如图，三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC ＝2，∠BAC＝60°. (1)求三棱锥P-ABC的体积；

(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PM MC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝3 2 . 由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高，又P A ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝3 6. (2)在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，证明如下：如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM . 由P A ⊥平面ABC ，知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 因为BN ∩MN ＝N ，所以AC ⊥平面MBN ，又BM ?平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝1 2，从而NC ＝AC －AN ＝3 2，由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝1 3 . 2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG . (1)求证：PC ⊥BC ； (2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC . 因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD .

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???? ? n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 1．下列各组向量中不平行的是( )

专题19立体几何中平行与垂直(解析版)

专题19立体几何中平行与垂直（解析版）在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。立体几何中平行与垂直的易错点易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视 ",//,"a a b b αα??三个条件中的某一个。易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；题组一：基本性质定理 1.（2019全国Ⅲ理8）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（） A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【解析】如图所示，联结，.因为点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，所以平面，平面，因为是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则， BE BD N ABCD ECD △ECD ⊥ABCD M ED BM ?BDE EN ?BDE BM BDE △DE EN BDE △BD BM EN DE a =2BD a =

归纳认识,明确平行与垂直的含义。

活动三三、归纳认识，明确平行与垂直的含义。 1、揭示平行的概念首先探究的是不相交的一类直线：师：同学们说这组直线不相交，说说你们的想法，你们是怎么知道的呢？生1：我发现这两条直线不管怎么延长也不会相交。生２：我们可以用直尺量一量它们之们的距离，如果距离一样，肯定不会相交。师：这位同学不仅会用眼睛看，而且还会想出量的方法，真不简单！师：由此你们可以得出什么结论？生：不管怎么延长，这两条直线是永远不会相交的。师：像这样，不管怎么延长，两条直线永远不会相交的现象，你们知道在数学上叫什么吗？我们就说这两条直线互相平行。这里又用到了互相两个字，知道为什么要加互相吗？生答。师：谁能说说什么样的两条直线互相平行？生：永远不相交的两条直线互相平行。师：这句话里少了一个前提条件，大家看，老师的这个讲桌面上的这条线和黑板上面的那条线相交吗？生：不相交。师：但是我们能说它们互相平行吗？生：不能。师：这是为什么呢？生：没有在同一个面上。师：对，也就是说必须在同一平面内。所以什么样的两条直线互相平行呢？生：在同一个平面内不相交的两条直线互相平行。这时教师归纳总结：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2、揭示垂直的概念。研究相交的一类图形：师：再来看看两条直线相交的情况，你们发现了什么？生1-生4答。当有学生说两条直线相交后形成了四个直角时，教师适时引导：你是怎么知道他们相交后形成了四个直角呢？生：可以用三角板、量角器量一量。学生验证。师：你们认为在这些相交的情况中哪种最特殊？生：相交成直角的两条直线最特殊。师：大家都同意吗？生答。师：在同一平面内，像这样的两条相交成直角的直线，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。（看大屏幕出示垂直的定义。并且做些练习） 3、小结：师生共同总结：同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系：垂直与平行。（引出课题-----垂直与平行）

平行与垂直的概念

《平行与垂直的概念》教学设计教学内容：平行与垂直（人教版四年级上册56页）教学目标： 1、知识与技能：初步认识并理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识平行线与垂线。 2、过程与方法：引导学生的空间观念及空间想象能力，引导学生具有合作探究的学习意识。 3、情感态度与价值观：培养学生的空间观念及空间想象能力,引导学生具有合作探究的学习意识。重点、难点与关键： 1、教学重点：平行与垂直的概念。 2、教学难点：理解“同一平面”的含义。 3、解决问题的关键：加强指导，培养空间能力。教具准备：直尺、三角板，课件等。学具准备：直尺、练习纸、每人三根小棒。教学过程：一、组织活动，引出问题： 1、揭示课题。教师导入谈话：（1）简要说明学生已经学过的一些几何图形。（2）宣布本节课的学习内容。板书：平行与垂直。

2、学习动手操作。教师：什么是平行？现在，请每一位同学自行在练习纸上画两条直线。（1）学生动手画两条直线，教师巡视。（2）以4人为小组，让学生在小组说一说自己所画的两条直线的位置关系。 3、反馈结果。教师：你们所画的两条直线的位置关系一样吗？学生：不一样。教师：说一说怎么不一样？学生可能说不清，但是可以捉住两种说法： ①两条直线相交； ②两条直线不相交。二、研究问题，揭示概念： 1、把学生的作品粘贴于黑板。 2、分类比较。教师：现在，我们把这四幅作品进行分类，你说应该按什么样的标准进行分类呢？学生：看是否相交来分类。教师按照学生的要求调整作品的位置。讨论：下图中的两条直线是否相交？

讨论后，得出正确的位置，并调整。 3、揭示概念：教师引导学生对相交和不相交的情况进行观察和讨论。不相交： ①通过观察、想象，学生体会“永不相交”。 ②呈现平行线的概念。在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。（2）相交： ①通过测量练习纸上相交的两条直线所组成的角的度数，发现垂线所夹角的特征。 ②呈现垂线的概念。如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。三、课堂活动，应用知识： 1、ppt展示一些生活中见到的一些平行与垂直的现象。 2、找一找，是平行线的画“○”，是垂线的画“△”。

平行与垂直的综合应用

平行与垂直的综合应用 [基础要点] 指出每个箭头方向表示的定理： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ 题型一、平行关系的综合应用例1、如图示，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点E 、F 分别是棱上11,CC BB 的点，点M 是线段AC 上的动点，EC=2FB=2 （1）当点M 在何位置时，MB ∥平面AFE （2）若MB ∥平面AFE ，判断MB 与EF 的位置关系，说明理由，并求MB 与EF 所成角的余弦值。变式:如图示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？题型二、垂直关系的综合应用例2、如图示，已知平行六面体1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠ （1）求证：1C C BD ⊥ A B C 1 A 1 B 1 C E F N M B H C A D G F E D

（2）当 1 CD CC 的值为多少时，能使1 AC ⊥平面1C BD ?请给出证明变式：平面α内有一个半圆，直径为AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影（1）求证：NH ⊥SB （2）这个图形中有多少个线面垂直关系？（3）这个图形中有多少个直角三角形？（4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？题型三、空间角的问题例3、如图示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中， 11,1A B B B =+，E 为1BB 上使11B E =的点，平面1 AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求：（1）异面直线AD 与1C G 所成的角的大小（2）二面角11A C G A --的正弦值变式：如图示，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，SB ⊥面ABCD ，SB=AB ,设Q 为SD 的中点，M 为AB 的中点，（1）求证：MQ ∥平面SBC （2）求证：平面SDM ⊥平面SCD （3）求锐二面角S －M －C 的大小题型四、探索性、开放型问题例4、已知正方体中1111ABCD A BC D -，E 为棱1CC 上的动点，（1）求证：1A E ⊥BD (2) 当E 恰为棱1CC 的中点时，求证：平面1A BD ⊥平面 EBD （3）在棱1CC 上是否存在一个点E ，可以使二面角1A BD E --的大小为45 ？如果存在， C1 A1D B C B1 G F A E D1 A C D S Q A

空间几何——平行与垂直证明

c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?

平行与垂直专题练习

《平行与垂直》专题练习（时间：90分钟满分：100分）一、选择题（每小题3分，共30分） 1．仔细观察下列图形，其中线段长度能表示点P到直线AB的距离的是( ) A．PD B．PC C．PO D．PE 2．仔细观察下列方格中的线段AB，CD，其中不平行的是( ) 3．下列说法中正确的个数是( ) ①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；②过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间直线最短；⑤火车从南京到上海所行驶的路程就是南京到上海的距离． A．1 B．2 C．3 D．4 4．在同一平面内，如果直线AB与直线CD平行，直线CD与直线EF相交，那么直线AB 与EF的位置关系是( ) A．平行B．相交C．相交或平行D．不能确定 5．下列说法：①在同一平面内，不相交的线段；②在同一平面内，不相交的射线；③不相交的直线；④在同一平面内，不相交的直线，其中可判定为平行线的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 6．如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点D的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( ) A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角 7．在同一平面内有三条互不重合的直线，如果要使其中有两条且只有两条直线平行，那么它们之间的交点只能有( ) A．0个B．1个C．2个D．3个 8．如图，P为直线a外一点，点A，B，C为直线a上的三点，已知PA＝2 cm，PB＝3 cm，PC＝5 cm．则点P到直线a的距离( ) A．2 cm B．3 cm C．5 cm D．不大于2 cm

9．在如图所示的长方体中，和棱AB平行的棱共有( ) A．1条B．2条C．3条D．4条 10．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中各线段所在的直线互相平行的有( ) A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题（每小题3分，共24分） 11．在同一平面内，两条相交直线公共点的个数是_______；两条平行直线的公共点的个数是______；两条直线重合，公共点有______个． 12．如图，根据图上的标注可以知道，直线EF的垂线有_______条，分别是_______． 13．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，图中线段______的长度表示点C到AB的距离，线段_______的长度表示点A到BC的距离，线段BC的长度表示______的距离． 14．如图，直线AB与CD平行，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H请你用量角器量一量，然后判断∠1与∠2的关系是______，∠2与∠3的关系是_______． 15．如图，BA⊥AC，AD⊥BC，其长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有___条． 16．某人画AB⊥l，CB⊥l，B为垂足如图情况，判断A，B，C三点不在同一条直线上，你认为有道理吗答：_______；请将你的理由写出：_______． 17．已知直线a与b都经过P点，且直线a∥c，b∥c，那么a与b 必______，这是因为______________． 18．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点 M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”，根据上

立体几何平行与垂直经典证明题

N M P C B A 新课标立体几何常考证明题汇总考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点（1）求证：EFGH 是平行四边形（2）若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 考点：三垂线定理 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C

江苏省高考数学二轮复习专题空间平行与垂直

空间平行与垂直 1.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________ cm 3. 解析：连结AC 交BD 于点O ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为1 3 S BB 1D 1D ·AO ＝6. 答案：6 2.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点P 是棱上一点，则满足|P A |＋|PC 1|＝2的点P 的个数为________．解析：点P 在以A ，C 1为焦点的椭圆上，若P 在AB 上，设AP ＝x ，有P A ＋PC 1＝x ＋(1－x )2＋(2)2＝2，解得x ＝1 2 . 故AB 上有一点P (AB 的中点)满足条件．同理在AD ，AA 1，C 1B 1，C 1D 1，C 1C 上各有一点满足条件．又若点P 在BB 1上，则P A ＋PC 1＝1＋BP 2＋1＋B 1P 2>2. 故BB 1上不存在满足条件的点P ，同理DD 1，BC ，A 1D 1，DC ，A 1B 1上不存在满足条件的点P . 答案：6 3．在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为________．解析：将矩形ABCD 以BC 边所在直线为轴旋转一周后得到的几何体为是以2为底面半径，以3为高的圆柱体，故它的侧面积为2π×2×3＝12π. 答案：12π 4．(2012·南京三模)已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β； ③存在两条平行直线a ，b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α. ④存在两条异面直线a ，b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α. 其中是平面α∥平面β的充分条件的为________．(填上所有符合要求的序号)

《认识平行与垂直》教学反思

《认识平行与垂直》教学反思《认识平行与垂直》教学反思1 教学内容：联系生活自编教材教学目标： 1、结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。 2、通过讨论交流，和谐发展独立思考能力与合作精神。 3、在比较、分析、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。 4、培养学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学习数学的兴趣、增强自信心。教学重、难点：通过自主探究活动，初步认识平行线与垂线。教学过程： 1、谈话导入。 1)我们曾经一起学习过有关数的产生，知道了数字和数都是人们在生产劳动、日常生活中逐渐发明和发展的。不但是数字，我们已经学习过的、正在学习的、以及以后将要学习的数学知识

都是从人们的生活、劳动中来的，而且学习这些知识又能更好地为生活、生产服务。所以学好数学是一件非常重要的事情，因为它在生活生产中都会用到，同时又是一件非常有趣的事情，因为生活中有很多蕴含数学知识的事例。不信，请注意： 2)故事：课间，同学们安静有序地休息。(课件1) 朱吕浩在经过吴炫陶的座位边时，不小心把吴炫陶的文具盒弄到了地板上，这时候如果是你，你会怎么做呢?(课件2) (学生发表个人见解，适当进行思想教育) 3)朱吕浩也像同学们说的和期望的一样，马上向吴炫陶表示诚挚的歉意后，迅速将散落的文具盒及地面上的铅笔、圆珠笔等文具收拾好放回桌面，事情好象到此结束了。不过，在收拾文具时，他却发现了一件事，而且引起了他的思考，究竟是什么呢?我们来看看。(课件出示散落在地面上的文具，聚焦在两支铅笔上) 4)他想到很有意思的一个问题，是什么呢?我们在对他积极思考问题的好习惯表示钦佩的同时，不妨来看看这个问题：(课件出示)两支铅笔落在地面上，可能会形成哪些图形呢? 2、探索比较。

平行与垂直

平行与垂直一、游戏导入（ppt 长方形线段正方形射线直线）师：上课之前，我们先来玩个猜图游戏，你们想玩吗？生：想师：游戏规则是这样的，老师在大屏上出示图形，由同学们来描述，一名同学来猜，谁愿意来猜第一个？ {最后补充完整，直线的所有特征，强调延伸性和直的} 二、深入画图感知师：了解了直线的特征，请同学们闭上眼睛，这时你们的脑海中出现了一条直线，接着又出现了一条直线，那么你们脑海中的这两条直线是什么样子的呢？想完之后，请你们把脑海中的直线用手边的彩笔复制到我们提前准备好的白纸上。开始吧。看看谁画的又好又快。三、感受分类，达成共识师：同学们的想象力实在是太丰富了，在这么短的时间里画出了这么多种情况，老师挑了几幅作品，大家一起来看一看。师:这么多种情况，你们不觉得乱吗？生：乱师：那我们能不能尝试去给这些情况，分分类？

生：能师：好，请四人小组讨论，我们该如何分类，开始。师：讨论完毕，迅速坐正。师：哪个小组愿意派代表来说说你们想法？两类相交/不想交 1234/5 三类相交/快要相交/不想交 134/2/5 四类相交/快要相交/不想交/相交成直角 13/2/5/4 （纠正交叉，在数学上这种两条直线交叉所形成的位置关系叫做相交）师：这么多种分类方法，请同学们再次四人小组讨论，说一说你们更赞同哪一种呢？（ppt 展示三种图形分类结果）师：通过再次的讨论，那么对于第一次的分类结果，你们有什么想法？（2延长后会相交，直角也是相交）师最后达成共识，把黑板上贴图区分开，再让孩子看一遍相交和不相交的情况四、认识平行（ppt 展示平行线）师：我们先来看看五号图，这两条直线的位置关系是怎样的？生：不想交师：想一想，如果把这两条直线延长，他们会相交吗？如果一直延长呢？

人教版数学高一-必修2学案 2.4平行与垂直综合问题

2．4平行与垂直综合问题自测自评 1．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则(D) A．n⊥βB．n∥β或n?β C．n⊥αD．n∥α或n?α 解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又m⊥α，所以l∥m.若m?β，结合图形知，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n?α；同理m?β，仍有n∥α或n?α.综上所述，D正确．2．若三个平面α，β，γ，之间有α∥γ，β⊥γ，则α与β(A) A．垂直B．平行 C．相交D．以上三种可能都有 3．对于任意的直线l与平面α相交，在平面α内不可能有直线m，使m与l(A) A．平行B．相交 C．垂直D．互为异面直线 4．给出以下四个命题，其中真命题有①②④(填序号)． ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

基础达标 1．已知平面α外不共线的三点A，B，C，且AB∥α，则正确的结论是(D) A．平面ABC必平行于α B．平面ABC必与α相交 C．平面ABC必不垂直于α D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 2．设直线l?平面α，过平面α外一点A且与l，α都成30°角的直线有且只有(B) A．1条B．2条 C．3条D．4条解析：如图所示与α成30° 角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°时，直线AC，AB都满足条件，故选B. 3.下列命题中，正确的是(C) A．经过不同的三点有且只有一个平面 B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线

立体几何中平行与垂直证明方法归纳

c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β a b a =?? βαβ α ∥b a ∥?b a b a //// ??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?

空间平行与垂直专题

空间平行与垂直专题 1.已知E F , G, H 是空间四点，命题甲： E , F , G H 四点不共面，命题乙：直线 EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的（） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 E, F , G H 四点不共面，则直线 EF 和GH 肯定不相交，但直线 EF 和GH 不相交，E , F , G H 四点答案：B a // 3 , a // Y ，^ U 3 // Y 其中正确命题的序号是（ A .①③ B.①④ C.②③ D .②④ 解析：对于?』因为平行于同一个平面的两个平面相互平行』所叹①正确j 对于②，当直线用位于平面# 內J 且平行于平面為0的交线时，满足条件，但显然此时用与平面弄不垂直』因此②不正确.对于?』在平面厲内取直线丘平行于flb 则宙ml a,曲"心得"丄fib 又n 申因此有厲丄0，③正确；对于④，直线曲可能位于平面口内，显然此时用与平面《■不平行，因此?不正确.综上所述，正确命題的序号是①③, 答案：A 3 .如图，在三棱锥 P — ABC 中，不能证明 API BC 的条件是（） A. API PB AP I PC 可以共面, 例如 EF// GH 故选B. 解析：若 2 .设m n 是不同的直线, 3 , 丫是不同的平面，有以下四个命题: ①若 ②若 a 丄 3, m /a,贝 y m 丄 3 ③若 m± a , mil 3，贝U a ④若 m// n , n? a ,贝U m//

B. API PB BC ^ PB C. 平面 BPQ_平面 APC BCL PC D. API 平面 PBC 解析：A 中，因为AP I PB API PC PBn PC= P ,所以API 平面PBC 又BC ?平面PBC 所以API BC 故A 正确；C 中，因为平面 BPCL 平面APC BC! PC 所以BCL 平面APC AP ?平面APC 所以AP I BC 故C 正确；D 中，由A 知D 正确；B 中条件不能判断出 API BC 故选B. 答案：B 4 ?设m n 是两条不同的直线， a , 3是两个不同的平面，给出下列四个命题: 其中真命题的个数为（ A . 1 B . 2 C. 3 D . 4 解析：对于0由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面a 与f 可能平行或相交，故②错误；对于?,直线斤可能平行于平面0,也可能在平面0内，故③错误；对于⑨ 由两平面平行的判定定理易得平面5平行，故?错误.综上所述，正确命题的个数为I,故选A. 答案；A 5?如图，在下列四个正方体中， A, B 为正方体的两个顶点, 解析：B 选项中，AB// MQ 且AB?平面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面MNQ C 选项中，AB// MQ 且AB ?平面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面 MNQ D 选项中，AB// NQ 且AB?平面MNQ NC ?平面MNQ 则AB//平面 MNQ 故选A. 答案：A 6.如图所示,直线 PA 垂直于O O 所在的平面，△ ABC 内接于O O,且AB 为O O 的直径，点 M 为线段PB 的中 ①若 m// n , ②若 m// a ,m//3 ,贝U a // 3 ； ③若 m// n , m// 3 ,贝 U n // ④若 ml a 中，直线 AB 与平面MNQT 平行的是（ . _________ B A AT-? M N, Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体 A i M

人教版数学《认识垂直和平行》教学设计及反思_教学设计

人教版数学《认识垂直和平行》教学设计及反思_教学设计 ◆您现在正在阅读的人教版数学《认识垂直和平行》教学设计及反思文章内容由收集!人教版数学《认识垂直和平行》教学设计及反思教学内容：人教版九年义务教育六年制小学数学第7册P64-65例一、做一做及相应练习。教学设想本课教材是在学生学习了直线及角的认识的基础上教学的，是认识平行四边形和梯形的基础。垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，在生活中有着广泛的应用。如何唤起学生的生活经验，感知生活中的垂直与平行的现象？如何进一步发展学生的空间想象能力，让学生发现在同一平面内两条直线的位置关系并得出结论？本课主要通过观察、讨论、操作、交流等活动让学生去感知、理解、发现和认识。感知生活中的垂直与平行的现象，初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的位置关系，发现同一平面内两条直线的位置关系的不同情况，初步认识垂线和平行线；并且通过一系列的数学活动使学生的空间想象能力得到进一步的发展，如对面的想象、对两条直线位置关系的想象、对看似不相交而实际相交情况的想象等等。围绕这些目标，我们在设计教案时努力体现了以下几个特点。 1．创设纯数学研究的问题情境，用数学自身的魅力感染学生。本课在设计导入时，并没有从生活中的现象入手，而是直接进入纯数学知识的研究氛围，带领学生先进行空间想象，把两条直线的位置关系画到纸上，然后进行梳理分类。之所以这样设计，原因有两个：一是学生对直线的特点已有了初步认识，有一定的知识基础和空间想象能力，对两条直线的位置关系会有更丰富的想象，而生活中平行、垂直的现象居多，情况较单一，不利于展开研究；二是四年级的学生在各个方面都处在一个转型阶段，它应为高年级较深层次的研究和探索打好基础、做好过渡，逐步培养学生对数学研究产生兴趣，用数学自身的魅力来吸引、感染学生。 2．以分类为主线，通过学生自主探索，体会同一平面内两直线间的位置关系。从新旧教材的区别上来看，原来的教材是由点到面，把这部分知识分成垂直和平行两个内容进行教学，最后再把这部分知识汇总起来，总结出垂直与平行是同一平面内两条直线的位置关系。而新教材把二者合为一课，从研究同一平面内两条直线的位置关系入手，逐步分析出两条直线的位置关系有相交和不相交之分，相交中还有相交成直角与不成直角的情况，是一种由面到点的研究，这样设计，不仅符合学生的认知规律，也更有利于学生展开探索与讨论，研究的意味浓了。所以，在设计教案时我们大胆地让学生以分类为主线，通过小组汇报、班级争论、教师点拨等活动，帮助学生在复杂多样的情况中逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，相交中有成直角和不成直角两种情况。通过两次分类、分层理解，提高学生的空间想象能力，培养学生初步的问题研究意识。 3．在知识探究的过程中完成自主探究意识与空间想象能力的培养。

人教版四年级上册平行与垂直教案

” ” 仅供个人参考 For personal use only in study and research; not for commercial use 平行于垂直教学设计执教教师：王军伟麦南中心小学 2015-10-27 平行与垂直 1、教学目标。（1）帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。（2）引导学生通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象。（3）培养学生的观察能力、空间想象能力和抽象概括能力。重点：正确理解“同一平面、“相交、“互相平行、“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。难点：相交现象的正确理解（特别是看似不相交，而实际上是相

（ ” 交现象的理解。） 2、教学方法： ①引导学生采取“观察、想象、分类、比较、操作”等方式进行探究性学习活动。 ②组织学生开展有意识的小组合作交流学习活动。 ③适时运用多媒体教学手段，充分发挥现代教学手段的优越性。教学过程：一、导入：师：同学们，我们已经学习过了直线的相关知识，那谁能来告诉老师直线都有哪些特征？生：没有端点，可以向两端无限延伸。师：回答的真准确，谁还能再说说？生：没有端点，可以向两端无限延伸。师：你说的也很棒，今天咱们一块儿再来学习一节与直线有关的知识 —平行与垂直。二、学一学学习目标： 1）初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。（2）通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象，培养学生的观察能力、空间想象能力和抽象概括能力。自学提示：自学课本 56、57 页内容，在重要的内容下面画上横线。 1、重点看“互相平行”“互相垂直”的概念。试理解“同一平面”“不相交“互相”的含义。 2、想一想，怎样判断同一平面内两条直线的位置关系是平行，还是垂直？如有疑问可在小组内讨论。师：早就听说咱们班的学生动手能力很强，老师想考验一下你们，敢不敢接受挑战？生：敢。师：好，从你们的回答声中，老师能听出来你们非常的自信。那就请

立体几何中平行与垂直的证明(整理好)

D 1 B 1D A B C E 1A 1C 立体几何中平行与垂直的证明姓名例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， O 是底ABCD 对角线的交点．求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1；（2）A 1C ⊥平面AB 1D 1．【变式一】如图，在长方体1111D C B A ABCD -中,1,11>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动。求证：E D 1⊥D A 1；【变式二A 】如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且,22 1== AD AF G 是EF 的中点，（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ；（2）求空间四边形AGBC 的体积。

B C A D E F M C 1 B 11B A 【变式二B 】. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，8AB =，6AC =，10BC =，D 是BC 边的中点.（Ⅰ）求证： 1AB A C ⊥；（Ⅱ）求证：1A C ∥ 面1AB D ；【变式三】如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．【变式四】如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.

平行与垂直专题练习.doc

《平行与垂直》专题练习一、选择题（每小题（时间： 90 分钟 3 分，共 30 分）满分： 100 分） 1．仔细观察下列图形，其中线段长度能表示点 A ． PD B ． PC C ． PO P 到直线 AB 的距离的是 D ． PE ( ) 2．仔细观察下列方格中的线段 AB ， CD ，其中不平行的是 ( ) 3．下列说法中正确的个数是 ( ) ①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；②过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间直线最短；⑤火车从南京到上海所行驶的路程就是南京到上海的距离． A ． 1 B ．2 C ． 3 D ． 4 4．在同一平面内，如果直线 AB 与直线 CD 平行，直线 CD 与直线 EF 相交，那么直线 AB 与 EF 的位置关系是 ( ) A ．平行 B ．相交 C ．相交或平行 D ．不能确定 5．下列说法：①在同一平面内，不相交的线段；②在同一平面内，不相交的射线；③不相交的直线；④在同一平面内，不相交的直线，其中可判定为平行线的有 () A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 6．如图， AB ⊥ CD ，垂足为 O ， EF 为过点 D 的一条直线，则∠ 1 与∠ 2 的关系一定成立的是() A ．相等 B ．互余 C ．互补 D ．互为对顶角 7．在同一平面内有三条互不重合的直线，如果要使其中有两条且只有两条直线平行，那么它们之间的交点只能有 ( ) A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 8．如图， P 为直线 a 外一点，点 A ，B ，C 为直线 PC ＝ 5 cm ．则点 P 到直线 a 的距离 ( ) A ． 2 cm B ．3 cm C ． 5 cm a 上的三点，已知 PA ＝ 2 cm ，PB ＝3 cm ， D ．不大于 2 cm