七升八暑假讲义第10讲-韦达定理-教师版

精锐教育学科教师辅导教案

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【例1】 已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程

1

31

x x +=-解相同． ⑴ 求k 的值； ⑵求方程220x kx +-=的另一个解．

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韦达定理

如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a

=．（隐含的条件：0∆≥）

特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则

12x x p +=-，12x x q ⋅=

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知识点一（知识点名称） 【知识梳理】

韦达定理的逆定理

以两个数1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=．

一般地，如果有两个数1x ，2x 满足

12b x x a +=-，12c

x x a =

，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．

【例题精讲】

例1.若方程240x x c -+=的一个根为23+

，则方程的另一个根为 ，c =

例2.已知方程2230x mx -+=的两根的平方和为5，则m=__________． 【巩固练习】

1.已知关于x 的方程2210x mx m -+-=的两个实数根的平方和为23，求m 的值

2.已知12,x x 为方程20x px q ++=的两根，且126x x +=，221220x x +=，求,p q 的值．

知识点二（知识点名称） 【知识梳理】

韦达定理与根的符号关系

在2

4b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：

⑴当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0

b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值； 若0b a -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．

⑵当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0

b

a -<，则

此方程的两根均为负根．

例

2.已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．

⑴是否存在实数k ，使12123

(2)(2)2

x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，

请说明理由． ⑵ 求使

12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．

【巩固练习】

1.已知12,x x （12x x <）是方程2(1)0x m x n --+=的两个实数根，12,y y 是方程2(1)60

y n y m ++-=的两实数根，且112x y -=，222y x -=，求,m n 的值．

2.已知方程20x ax b +-=的根是a 和c ，方程20x cx d ++=的根是b 和d ．其中，a 、b 、c 、d

为不同实数，求a 、b 、c 、d 的值．

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课后巩固

1、已知关于x 的方程22210x x k ++-=的两根平方差等于2，求k 的值．

2、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值 是 ．

3、已知12,x x 是方程24440ax ax a -++=的两实根，是否能适当选取a 的值，使得

1221(2)(2)x x x x --的值等于

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