非线性方程组的迭代解法
非线性方程组的迭代解法【开题报告】
毕业论文开题报告信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、选题的背景和意义=的系数矩阵具有两非线性问题是近代数学研究的主流之一，随着计算问题的日益复杂化Ax b个明显的特点：大型化和稀疏化。
大型化指系数矩阵阶数可达上万甚至更高，稀疏性指A的零元素占绝大多数对这样的A作直接三角分解，稀疏性会遭到破坏，零元素被大量填入变为非零元素，因此迫切需要新的数值方法，适用于大型稀疏线性方程，以节省储存空间和计算时间，即提高计算效=是数值计算的重要任务，但是率，迭代法在这样的背景下得到关注和发展，求解线性方程组Ax b大多数科学和实际问题本质上是非线性的，能做线性化的毕竟有限，对这些非线性问题是各种解决方案，常常归纳为求解一个非线性方程组，而与线性方程相比非线性方程组的求解要困难和复杂的多，计算量也大的多，现有的理论研究还比较薄弱。
而对于非线性方程，一般都用迭代法求解。
二、国内外研究现状、发展动态近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。
这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。
三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）非线性的迭代法是解非线性方程组的基本途径，是数值计算中非线性方程组求根的重要工具，也是研究非线性方程组整体性质和具体分布的重要工具。
就因为这样，很多专家学者对非线性方程组的迭代法进行研究。
在前人研究的基础上，本文首先介绍非线性方程组迭代法的产生背景以及国内外状况，然后从数值计算的定义及理论定理出发来研究非线性方程组的迭代法的一些相关的结论，包括非线性方程组的基于不动点原理的迭代法、newton迭代法及其收敛性、非线性方程组的迭代法及其收敛性、最小二乘法、迭代法的收敛加速性等，进一步讨论非线性方程组迭代解法的收敛性质以及其他一些相关定理，以便我们更好、更清楚的看到非线性方程组和迭代法之间的联系，以及收敛和加速。
7、解非线性方程的迭代法
§3 迭代收敛的加速方法
一、埃特金加速收敛方法
对于收敛的迭代过程，由迭代公式校正一次得 x1 = ϕ ( x0 ),
二分法优、缺点； 用途。
§2
一、不动点迭代
迭代法
将非线性方程f ( x) = 0化为等价形式 x = ϕ ( x).
(2.1)
f ( x*) = 0 ⇔ x* = ϕ ( x*) ; 称x * 为函数ϕ ( x)的一个不动点.
给定初始近似值x0 , 可以得到x1 = ϕ ( x0 ). 如此反复，构造迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ), k = 0,1,2,⋯. 称ϕ ( x)为迭代函数. (2.2)
(ϕ ( x) − x) 2 . ψ ( x) = x − ϕ (ϕ ( x)) − 2ϕ ( x) + x
(3.4)
(3.5)
定理5 定理5 若x * 为ψ ( x)的不动点, 则x * 为ϕ ( x)的不动点. 反之， x * 为ϕ ( x)的不动点，设ϕ ′′( x)存在, ϕ ′( x*) ≠ 1，则x * 为ψ ( x) 的不动点，且斯蒂芬森迭代法(3.3)是2阶收敛的.
k +1
.
(1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
例2 求x3 − x − 1 = 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到 小数点后2位.
k ak 0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203 bk 1.5 1.375 1.3438 1.3281 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 f(xk)符号 − + − + + − −
牛顿迭代法解非线性方程（组）
牛顿迭代法解非线性方程（组）在辨识工作中，常常需要对辨识准则或者判据进行求极值，这往往涉及到求非线性方程（组）的解问题。
牛顿迭代法是一种常用方法。
下面把自己对牛顿迭代法的学习和理解做个总结。
1.一元非线性方程的牛顿迭代公式和原理以一元非线性方程 f(x)=0 为例，对函数 f(x)进行Taylor级数展开（只展开至线性项）得f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)所以方程可写成f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0其中x0是给定的已知值，则不难推导出方程的解（当然，只是近似解，毕竟Taylor展开过程中只取了线性项）x = x0 - f(x0) / f'(x0)其中x不是真实解，但是相比之前的x0更靠近真实解了，因此可以多重复几次上述过程，从而使得到的解非常接近准确值。
所以，对于一元非线性方程，牛顿拉夫逊迭代公式为：x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f'(x(k))根据Taylor级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解f(x)=0的过程。
第一次迭代x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)，其中f(x0) / f'(x0)的几何意义很明显，就是x0到x1的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。
第二次迭代x2 = x1 - f(x1) / f'(x1)，其中f(x1) / f'(x1)的几何意义很明显，就是x1到x2的线段长度。
同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x的取值在不断逼近真实解x*。
可能有人问，迭代求得的结果会不会不收敛，也就是x会不会偏离x*。
由于x0是在x*附近区域取值的，因此x0到x1这段曲线应该认为是平滑的没有转折的，因此切线与x轴的交点只会越来越接近真实解x*。
但是如果x0的取值离x*比较远的话，那么x0到x1这段曲线上可能有“转折”，这样就可能引起迭代的不收敛。
【文献综述】非线性方程组的迭代解法
文献综述信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、国内外状况 近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。
这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。
非线性问题是数值分析中一种研究并解决数值计算问题的近似解的数学方法之一。
数值是各高校信息与计算科学专业的一门核心基础课程。
它既有数学专业课理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性。
80年代以前，数值分析课程只在计算数学专业和计算机专业开设，限于计算机的发展，课程的重心在数学方法理论分析方面，是一门理论性较强的课程。
近年来，随着计算机技术的迅速发展，以及计算机的普及和应用，数值分析课程也在国内外各大高校得到了迅速的推广。
特别是Mathworks公司对Matlab软件的研发，给数值分析课程注入了新的活力。
利用Matlab 所含的数值分析计算工具箱，可以进行数值计算方法的程序设计，同时利用图形图像处理功能，可以对数值分析的近似解及误差进行可视化分析，特别是对非线性问题的求解，利用软件计算求解的方法简单多了。
二、进展情况经过多年的不断研究探索，非线性问题的理论性质得到了更多的认证，我们通过对理论的学习，将它融入其他知识体系中比如：动力学，农业学等等。
非线性问题在经过人们不断的探索努力下发现了很多定理定义，比如不动点迭代法，牛顿法，拟牛顿法，以及各种迭代法。
并且对于各种迭代法的收敛性质和收敛速度进行了深入的研究，从而了解了迭代法的构造、几何解释、并对它的收敛性（全部收敛和局部收敛）、收敛阶、误差估计等。
由于迭代法的计算步骤比较多，计算量大且复杂，很多学者对迭代法的加速方法进行了研究。
而对非线性方程组的迭代解法也初步有了研究的进展。
非线性方程组的迭代解法11公开课获奖课件
f
'
' ( x0 2!
)
(x
x0
)2
取其线性部分做为f(x)近似，有：
f (x0 ) f '(x0 )(x x0 ) 0
若 f '(x0 ) 0, 则有
x x0
f (x0 ) f '(x0 )
记为 x1
y
同'(x1)
x*
x
x0
第22页
130/10/
110/10/
第二章 非线性方程(组)求根措施
问题：f : Rn Rn的非线性函数,求x Rn使f (x) 0。 若 n=1, 称为非线性方程求根问题； n>1，称为非线性方程组求解问题。
理论问题：
（1）解存在性。即有解还是无解，有多少解。 （2）解性态。即孤立解区域，解重数，光滑性。
有关解存在性及其性态，不是数值分析所讨论问题。我
这样一直下去，我们可以得到迭代序列
xn1 xn
f (xn ) f '(xn )
(n 0,1,2)
(2)
—— 牛顿迭代算法(切线法)
Newton迭代迭代函数
f (x) 0 x (x) x f (x)
f '(x)
其他构造措施
(1) 待定函数法: (x) x f (x)h(x)
x
(2) 数值积分法:
措施3
措施4
1.5000
1.5000
0.8165
1.3484
2.9969
1.3674
0-2.9412i 1.3650 6次
不收敛
1.3653
1.3652
1.3652
*收敛与否，以及收敛快
15次
4.2非线性方程组的迭代解法
连续,则F在x处可微,并称F在x处连续可微,且
f i ( x) F ( x) x j nn
（2）若F（x）在 x int D 可微，则F在x处连续；
（3）中值定理
f1( x 1h)T T f 2 ( x 2 h) F ( x h) F ( x ) h T f n( x n h)
f f f
1
( x) 0 ( x) 0 ( x) 0
2
2
n
n
令
F ( x) 0
向量形式
x1 x2 x x n
4.2 非线性方程组的迭代解法
一、 一般概念 1.非线性方程组的一般形式
f f f
一、 一般概念 1.非线性方程组的一般形式
f f f
1
( x1 , x 2 ,, x n ) 0 ( x1 , x 2 ,, x n ) 0 ( x1 , x 2 ,, x n ) 0
f1 ( x) f 2 ( x) F ( x) f ( x) n
x a 0
lim F ( x) l 0
3.向量值函数的极限、连续、可导、可微 （1）极限 F ( x) l lim F ( x) l (l R m ) xlim a 0
x a
0
lim f i ( x) lim f i ( x1 , x2 ,, xn ) li
这里
c ( f x1 ( p0 ), f x2 ( p0 ), , f xn ( p0 ))
f f f T f ( x) ( , ,, ) x1 x2 xn
42 非线性方程组的迭代解法讲解
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x
非线性方程组的迭代解法
非线性方程组的迭代解法
非线性方程组是指由非线性函数组成的方程组，它们通常无法使用数学公式解出解析解。
一种常用的求解非线性方程组的方法是迭代法。
迭代法是一种近似求解方法，它通过不断进行迭代来逼近解。
常用的迭代法有牛顿迭代法、共轭梯度法、线性共轭法等。
牛顿迭代法是一种常用的迭代法，它使用了泰勒展开式来逼近非线性函数，并使用这个近似函数的零点来迭代求解非线性方程组。
共轭梯度法是一种高效的迭代法，它使用了共轭梯度来求解非线性方程组。
线性共轭法是一种高效的迭代法，它通过使用共轭梯度来求解非线性方程组，并使用线性共轭条件来加速收敛。
这些迭代法都是基于迭代的方法，需要给定初始解和终止条件，并且在迭代过程中可能会出现收敛问题，所以需要设计合适的迭代步骤来保证收敛性。
第三组：非线性方程迭代解法
一：非线性方程的基本迭代方法简单迭代法非线性方程的一般形式f(x)=0 其中f(x)是一元非线性函数。
若存在常数s 使f(s)=0，则称s 是方程的根。
把方程转化为其等价的方程)(x x ϕ=，因而有)(s s ϕ=。
选定s 的初始近似值0x ，用迭代公式)(1k k x x ϕ=+，得到}{k x 收敛于s ，就求出了方程的解。
收敛性：)(s s ϕ=,)(x ϕ'在包含s 的某个开区间内连续。
如果|)(x ϕ'|<1则存在δ>0，0x ∈[s-δ,s+δ]时，由该迭代函数产生的迭代法收敛。
收敛速度：（}{k x 收敛于s ，k e 为s 与k x 的差值绝对值，则c e e r k k k =+∞→1lim，c 是常数，则该迭代是r 阶收敛）Newton 法为了使迭代的收敛速度更快，应尽可能使)(x ϕ在s 处有更多阶的导数等于零。
令)(x ϕ=)()(x f x h x +,)(x h 为待定函数，已知)(s ϕ'=0，推出)(x h =)(1x f '-。
这就得出了牛顿法的迭代形式 )()(1k k k k x f x f x x '-=+，（k=0、1、···） 牛顿法是二阶收敛的迭代方法，但是牛顿法的是局部收敛的，因此要求初值要靠近根。
求解中，对于每一个k 都要计算)(k x f '，而导数的计算比较麻烦，否则会产生很大误差。
割线法 在牛顿法基础上，用11)()(----k k k k x x x f x f 来代替)(k x f '，其中1-x 、0x 预先给定。
得到了割线法的迭代形式 )()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x ，（k=0、1、···） 割线法的收敛速度至少为1.618这样就避免了牛顿法求导数的繁琐程序单点割线法单点割线法就是在割线法的基础上，用))(,(00x f x 代替))(,(11--k k x f x ，得到的迭代形式 )()()(001k k k k k x f x f x f x x x x ---=+，（k=1、2、···） 单点割线法是一阶收敛的方法，它比割线法初值要少取一个点更加容易选取初值二：非线性方程的迭代解法的拓展修正的Chebyshev 法思想：将函数)(x f 在k x 处进行泰勒展开既 +-''+-'+≈!2)()())(()()(2k k k k k x x x f x x x f x f x f ，如果)(x f ≠0，先取线性部分来代替原来函数，既)(x f =)(k x f +))((k k x x x f -'=0，得到k x x -=)()(k k x f x f '-； 再用二次多项式部分代替原函数，既!2)()())(()()(2k k k k k x x x f x x x f x f x f -''+-'+==0，合并这两次的结果得到)()()))((2)()(1(2k k k k k k x f x f x f x f x f x x ''''⋅+-=，令1+=k x x ，得到就得到了新的迭代公式，这就是Chebyshev 方法的思想，该方法的迭代公式具有三阶收敛速度。
第六章非线性方程组的迭代解法
第六章非线性方程组的迭代解法6.3 一元方程的常用迭代法6.3.1 Newton迭代法6.3.2 割线法与抛物线法第六章非线性方程组的迭代解法设x*是方程f(x)=0的实根，是一个近似根，用Taylor展开式有,)(2)())(()()(02*"*'*k k k k x x f x x x f x f x f −+−+==ξ*xx k ≈k x 这里假设存在并连续。
若，可得)(''x f 0)('≠k x f ,)()(2)()()(2*'"'*k k k k k x x x f f x f x f x x −−−=ξ（6.3.1）其中。
若（6.3.1）的右端最后一项忽略不记，作为x*新的一个近似值，就有之间与在k x x *ξ)()('1k k k k x f x f x x −=+，k=0,1,…，（6.3.2）这就是Newton 迭代法。
6.3.1 Newton 迭代法第六章非线性方程组的迭代解法对（6.3.2）可作如下的几何解释：为函数f(x)在点处的切线与横坐标轴的交点,见图6-3.因此Newton 迭代法也称为切线法.k x 1+k x Y1+k x *xy=f(x))(k x f kxX将(6.3.2)写成一般的不动点迭代(6.2.3)的形式,有,)()()('x f x f x x −=ϕ2'"')]([)()()(x f x f x f x =ϕ所以有Newton 迭代法是超线性收敛的。
更准确地,从(6.3.1)和(6.3.2)可得下面的定理.)0)((,0)(*'*'≠=x f x ϕ第六章非线性方程组的迭代解法定理6.5, 且f(x)在包含x*的一个区间上有二阶连续导数,则Newton 迭代法（6.3.2）至少二阶收敛，并且0)(,0)(*'*≠=x f x f 设.)(2)()(*'*"2**1lim x f x f x x x x k k k =−−+∞→以上讨论的是Newton 法的局部收敛性。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法1. 引言1.1 介绍迭代法迭代法是一种重要的数值计算方法，广泛应用于非线性方程的求解、函数极值点的求解等问题中。
迭代法的基本思想是通过逐步逼近的方式，找到函数的根或者极值点。
这种方法在面对复杂的数学问题时具有很大的优势，可以通过简单的计算步骤逐渐接近最终解。
与解析解相比，迭代法更适用于无法通过代数运算求解的问题，或者求解过程较为繁琐的问题。
迭代法的实现通常需要选择一个初始值，并通过反复迭代计算来逼近真实解。
在每一步迭代中，都会根据当前的估计值计算新的估计值，直到满足一定的精度要求为止。
迭代法虽然不能保证每次都能得到精确解，但在实际应用中往往能够取得较好的结果。
迭代法是一种简单而有效的数值计算方法，尤其适用于非线性方程求解等复杂问题。
通过逐步逼近的方式，迭代法可以帮助我们解决那些传统方法难以处理的问题，为现代科学技术的发展提供重要支持。
1.2 非线性方程的求解意义非线性方程在数学和工程领域中广泛存在，其求解具有重要的理论和实际意义。
非线性方程的求解能够帮助解释和预测许多自然现象，包括流体动力学、电路分析、材料力学等领域中的问题。
非线性方程的求解也是许多科学研究和工程设计中必不可少的一环，例如在经济学、生物学、物理学等多个学科中都有非线性方程存在。
传统的解析方法难以解决非线性方程，因此迭代法成为求解非线性方程的重要工具。
迭代法是一种通过不断逼近解的方法，逐步逼近方程的解。
通过迭代法，可以在复杂的非线性方程中找到数值解，从而解决实际问题。
非线性方程的求解意义在于帮助我们更好地理解和掌握复杂系统的性质和行为。
通过求解非线性方程，我们可以揭示系统中隐藏的规律和关系，为科学研究和工程设计提供重要的参考和支持。
发展高效的迭代法求解非线性方程具有重要意义，可以推动科学技术的进步，促进社会的发展和进步。
2. 正文2.1 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种非常经典的求解非线性方程的方法，其基本思想是通过不断逼近函数的零点来求解方程。
第二章 非线性方程(组)的迭代解法.
输入，，计算fa f (a), fb f (b);
注： 其中 , 为 精度控制参数!
若f f a 0, 则a x, f a f ; ab 为所求根，结束！ (4) 若 b a , 则x
否则，转(2)；
2
例1
计算f ( x) x3 4x2 10 0在[1 ， 2]内的实根。 可得 x* 1.36523, 共计算21次！ 取 109， 106，
则 0, 使得 x0 [ x * , x * ]但x0 x*,
由迭代
xn1 (xn )
证明：由泰勒公式和收敛阶定义可证！ 注: 1、给出了由迭代函数判断收敛速度的方法；
2、给出了提高收敛速度的方法!
School of Math. & Phys.
15
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2018/10/11
J. G. Liu
例3 1 a 3 a2 1、证明xk 1 ( xk )和xk 1 xk 3 分别是求 2 xk 4 4 xk
a的平方收敛的迭代格式。
解： 迭代函数为
同理对xk 1 2 ( xk )证明！
School of Math. & Phys. 16
不妨设(x*) 0, 由(x)的连续性，则 δ 0, 当x x * δ 时，(x) 0。
当n充分大以后，[ an ,bn ] ( x * δ,x* δ ),于是当m为偶数时， x [an ,bn ], f ( x) 0,不变号了！(??)
(2) 二分法线性收敛; (3) 二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点! 故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值!
第3讲 非线性方程的迭代法
x0
X
local minimum or maximum
near-zero slope
如何判断收敛?(停机准则)
直观上希望计算残量很小: f ( xn ) 0 需要一个适当的误差估计作为停机准则。因为
f ( x n ) f ( xn ) f ( x * ) f ' ( n )( xn x * ),
void func(x, y, y_derivative) /*Computes y and y_derivative */ float x, *y, *y_derivative; { *y = pow(x, 3) - 5.0*pow(x, 2) + 6.*x; *y_derivative = 3.0*pow(x, 2) - 10.0*x + 6.; return; }
i
0 1 2 3 4 2
xi
-0.1111 -9.4373 e-03 -6.6322 e-05 -3.2649 e-09 -7.9116 e-18
1.8888888888888888888888888888889 1.8794515669515669515669515669516 1.8793852448366711459785449045646 1.8793852415718167760198216902061
(2) 按公式 得新的近似值 xk+1
xk 1 xk f ( xk ) f ( xk )
迭代
(3) 对于给定的允许精度，如果 | xk 1 xk | 则终止迭代，取 x* xk 1 ;否则k=k+1，再转 步骤(2)计算
/* Computer Soft/c3-2.c Newton's Scheme */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #define TRUE 1 /* x : current x value (approximation for the root) xb: previous value of x y : y value for x y_derivative : derivative of y n : iteration counter */ void main() { int i, k, n; float epsilon, x, xb, y, y_derivative, error; void func(); printf( "\nComputer Soft/C3-2 Newton's Scheme \n" ); printf( "\nTolerance ? " ); scanf( "%f", &epsilon ); while( TRUE) { printf( "Initial guess ? " ); scanf( "%f", &x ); error=1.0e10; xb = x; n = 0; printf( "\n It.No. x(n-1) y(n-1) x(n)" ); while( error>epsilon ) { n = n + 1; func( x, &y, &y_derivative ); x = x - y/y_derivative; /* finds new x. */ printf( "\n %3d %12.5e %12.5e %12.5e ", n, xb, y, x ); error=fabs(x-xb); xb = x; }
第5章非线性方程组的迭代解法
法二、方程变形为x x 1.
3
2.迭代法的收敛性
定 理 设迭代函数 ( x )在[ a , b]上连续, 且满足
( 1 ) 当 x [ a , b ]时 , a ( x ) b ;
( 2 ) 存在一正数 L , 满足 0 L 1 , 且 x [ a , b ], 有
x k 1 x * ( x k ) ( x *) ( )( x k x *)
xk 1 xk ( x k ) ( x k 1 ) ( )( x k x k 1 )
由于 | ( x )| L
x k 1 x * ( )( x k x *)
a
0
多个零点
a
b
x
0
b
x
证明（思路）
[
(0 f ) a1
[
[
[ ]
]
]
a12 (0 f ) c a2 (0 f ) c 3
ba 2
an bn
c1 b 2 ( f 0) 3
b ( f 0)
b1 a1
ba b2 a2 2 2 b3 a3 bn an
简单迭代收敛情况的几何解释
简单迭代收敛情况的几何解释
y
y ( x)
y=x
y ( x)
p0
y
y=x
y ( x)
p0 p1 x1 x0 x* x
x0 x*
p1
x
x1
例5.2.1
求f ( x) x x 1在x0 1.5附近的根x .
3 *
பைடு நூலகம்
法一、方程变形为x x 1.
解非线性方程组的牛顿迭代法
设 xk , xk 1是 f (x) 0的近似根，利用 f (xk ), f (xk1) 构造一次插值多项式 p1(x)，并用 p1(x) 0的根作为新的 近似根 xk 1 . 由于
p1(x)
f (xk )
f
( xk ) xk
f xk 1
xk 1
10
在（4.7）中取C 1 ，则称为简化牛顿法，这
f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2） 牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x *较远，则牛顿法可能发散.
它是二阶收敛的.
例9 方程x4 4x2 4 0 的根x* 2 是二重根， 用上述三种方法求根.
解 先求出三种方法的迭代公式：
（1） 牛顿法
xk 1
xk
xk2 2 . 4 xk
18
（2） 用（4.13）式
xk 1
xk
xk2 2 . 2 xk
（3） 用（4.14）式
3 x3 1.425497619 1.414213562 1.414213562
19
计算三步，方法（2）及（3）均达到10位有效数字， 而用牛顿法只有线性收敛，要达到同样精度需迭代30次.
20
7.5 弦截法与抛物线法
用牛顿法求方程（1.1）的根，每步除计算 f (xk ) 外 还要算 f (xk )，当函数 f (x)比较复杂时，计算 f (x) 往 往较困难，为此可以利用已求函数值 f (xk ), f (xk1), 来回避导数值 f (xk ) 的计算.
非线性方程与非线性方程组的迭代解法课件
迭代解法是否能够收敛到方程的解是关键问题，收敛性的判定需要满足一定的条 件。
收敛速度
迭代解法的收敛速度是指迭代过程逼近解的速度，收敛速度越快，求解效率越高 。
迭代解法的误差估计与收敛性判定
误差估计
在迭代过程中，我们需要对每次迭代的误差进行估计，以便 了解近似解的精度。
收敛性判定
为了确保迭代过程能够收敛到方程的解，我们需要根据一定 的收敛性判定准则来判断迭代过程是否可以终止。
三角函数求解
对于涉及三角函数的非线性方程，如 (sin x = a)，可以通过迭代法求解，例如初始值 (x_0 = a)，迭代 公式 (x_{n+1} = x_n + frac{a - sin x_n}{1 - cos x_n})。
非线性方程组求解实例
牛顿迭代法
对于非线性方程组 (f_1(x) = 0, f_2(x) = 0) 等，可以使用牛顿迭代法求解，通过迭代公式 (x_{n+1} = x_n - J^{1} cdot f(x_n)) 逐步逼近方程组的解。
适用于求解具有简单形式和已知导数的非线性方程。
弦截法
总结词
详细描述
公式
应用场景
一简单且易于实现的迭代方 法
弦截法基于线性方程组的求解 方法，通过不断修正近似解来 逼近非线性方程的解。在每次 迭代中，使用当前近似值和方 程的函数值来计算下一个近似 值。
$x_{n+1} = x_n - f(x_n) cdot frac{f(x_0) - f(x_n)}{f(x_0) 2f(x_n) + f(x_1)}$
适用于求解形式简单且导数不 易求得的非线性方程。
抛物线法
总结词
非线性方程组迭代解法
非线性方程组迭代解法不动点法( unmovepoints.m)%非线性方程组的不动点法function [x,n]=unmovepoints(fun,x0,eps)if nargin<3eps=1e-3;endx1=feval(fun,x0);n=1;while(norm(x1-x0))>=eps x0=x1;x1=feval(fun,x0);n=n+1;if n>100000disp(' 无法收敛!');breakendendx=x1;Newton 迭代法( newtons.m)% 非线性方程组的Newton 迭代法function [x,n]=newtons(fun1,fun2,x0,eps)if nargin<4eps=1e-3;endx1=x0-feval(fun1,x0)/feval(fun2,x0);n=1;while norm(x1-x0)>=epsx0=x1;x1=x0-feval(fun1,x0)/feval(fun2,x0); n=n+1;if n>100000disp(' 无法收敛!');breakendendx=x1;注：方程组的迭代与方程迭代不同之处在于收敛的判断不能用 abs 而应用norm (范数，默认值为向量各元素的平方和的开方；norm(xl-xO)即为向量x1与x0对应元素差的平方和的开方。
在对应的函数程序中应注意向量的运算与数量运算的区别。
)用以上方法求解下列非线性方程组：f 1 X =x 1 - 0.7 sinx ! -0.2cosx 2 =0 f 2 X = x 2 - 0.7 cos% 0.2sinx 2 =0函数：%非线性方程组函数(适用于不动点法) function f=non li nerequsl(x) f(1)=0.7*si n(x(1))+0.2*cos(x (2)); f(2)=0.7*cos(x(1))-0.2*si n(x (2));%非线性方程组函数(适用于Newt on 迭代法) function f=non li nerequs2(x) f(1)=x(1)-0.7*si n(x(1))-0.2*cos(x(2)); f(2)=x (2)-0.7*cos(x(1))+0.2*si n(x (2));%非线性方程组函数导数(适用于Newt on 迭代法) function f=non li nerequs3(x) f=[1-0.7*cos(x(1)),0.2*si n(x(2));0.7*si n(x(1)),1+0.2*cos(x(2))];命令：fsolve(@ non li nerequs2,[0.5,0.5])[x,n]=unmo vepo in ts( @non li nerequs1,[0,0],1e-6)[x,n]=n ewt ons(@non li nerequs2, @non li nerequs3,[0,0],1e-6)计算结果：(eps=0.000001)迭代方法X迭代次数n解析解[0.52652262191818 0.50791971903685] - fsolve[0.52652266171295 0.50791973020932] - 不动点法[0.526521300913880.50792028463452] 30 Newton 迭代法[0.526522793690200.50791961189450]16导数为f 2 f 2对多方程则类似。
第三章 非线性方程的迭代法
第三章 非线性方程许多科学理论与工程实际问题最终都转化为非线性方程或非线性方程组的求解。
除了少数简单的方程可以求出解析表达外，一般的方程不能得到解析表达，所以需要用近似的方法来求近似解。
解非线性方程常用到的方法是迭代法，本章将主要对迭代法进行讨论，一些特殊方法不在这里讨论。
§1 二分法设非线性方程为()0=x f （1.1）若()x f 在区间[]b a ,上连续，且()()0<b f a f ，由连续函数介值定理知道()0=x f 在()b a ,至少存在一个实根。
如果()x f 单调则只有唯一的实根。
二分法的原理就是将含根的区间每次缩小一倍，直到找到满足误差要求的近似解。
为简便起见，我们设()0)(,0><b f a f ，给定δ为很小的正数。
那么二分法的计算步骤如下： 1） 将区间[]b a ,分半，取中点2b a +，求⎟⎠⎞⎜⎝⎛+2b a f ，如δ<⎟⎠⎞⎜⎝⎛+2b a f ，则2b a +就是方程的解。
计算停止。
否则，将根据⎟⎠⎞⎜⎝⎛+2b a f 的符号确定新的区间：当02<⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b a f 时，取21b a a +=，b b =1； 当02>⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b a f 时，取a a =1，21b a b +=； 2） 用新区间[]11,b a 代替[]b a ,，重复上面的运算。
直到得到方程的解。
记第n 个有根区间为()n n b a ,，则 ()()()n n b a b a b a ,,,2211L ⊃⊃ ()()a b a b a b n n n n −==−=−−−212111L()()0n n f a f b ⋅<，()021→−=−a b a b nn n )(∞→n 当n 充分大时，就取2nn n b a x +=为方程精确根∗x 的近似值。
此时误差为 12+∗−≤−n n ab x x 二分法的优点是直观简单，可靠，对函数性质要求低。
非线性方程组迭代法
第5章非线性方程(组)迭代法内容5.1 根的搜索5.2 迭代法的构造及收敛性5.3 方程求根的牛顿迭代法5.4 *非线性方程组的迭代法数学物理中许多问题常归结为求解非线性方程或非线性方程组.例如在最优化问题min ()x I F x ∈中，设函数()F x 在区间I 上严格凸并可微，且()()F x f x '=，则求其极小点等价于求解方程()0f x =的根；若()f x 是一个非线性函数，则方程()0f x =是一个非线性方程。
若()0f x =是一个方程组，且其中至少存在一个方程是非线性的，则称方程组是非线性方程组。
本章介绍一些常用的求解非线性方程和非线性方程组近似根的迭代方法。
§5.1 根的搜索⏹ 根的存在性：设函数[](),f x C a b ∈，且()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间(),a b 内一定有实根*x ，称[],a b 为方程()0f x =的有根区间。
⏹ 二分法（是搜索方程()0f x =的根的一种计算简单的方法）。
● 基本思想：将有根区间[],a b 用其中点02a b x +=分为两半。
如果0()()0f x f a ⋅>，记 101,a x b b ==，方程的根11*(,)x a b ∈； 如果0()()0f x f a ⋅<，记 110,a a b x ==，方程的根11*(,)x a b ∈。
因此，新的有根区间为[]11,a b ，其长度为112b a b a --=．对有根区间[]11,a b 施行同样的手续，并反复二分下去，得到一系列有根区间[][][][]1122,,,,k k a b a b a b a b ⊃⊃⊃⊃⊃L L其中[],k k a b 的长度为：02k k k b a b a --=→（当k →∞时）。
上述结果表明，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必将收缩于()0f x =的根x *．只要二分足够多次(即k 充分大)，就能保证有2k k k k b a x x b a ε*--≤-≤<。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则 方 程 组 可 表 示 为 F () x
（ 4 . 2 . 2 ）
n n n 其 中 ， F : D RR 是 定 义 在 区 域上 D R 的 向 量
值 函 数 。
* * * 若 存 在使 xD ,F () x ， 则 称 x 是 方 程 组 ( 4 . 2 . 1 ) 或
T i i h θ
h
n n 成 立 ， 与 存 在 矩 阵 A ( x ), R 使 ( 4 . 2 . 4 ) 式 成 立 是 等 价 的 ， T T T T 并 且 A ( x ) l ( x ) , l ( x ) ,, l ( x ) , 即 1 2 n f ( x ) ( i 1 , 2 , , n ) 在 x 处 可 微 是 F ( x ) 在 x 处 可 微 的 充 分 必 i
F ( x h ) F ( x ) A ( x ) h l i m 0 ( 4 . 2 . 4 ) h θ h
成 立 ， 则 称 Fx 在 处 可 微 ， 矩 阵 A ( x ) 称 为 Fx 在 处 的 导 数
记 为 F ( x ) A ( x ) ； 若 D 是 开 区 域 且 FD 在 内 每 一 点 都 可 微 ， 则 称 FD 在 内 可 微 。
充 分 条 件 。
定理1证明 证 明 ： 记 l ( x ) l ( x ) , l ( x ) , , l ( x ) , 取 h e ( 实 数 12 n j
j
T
0 , e 是 n 维 基 本 单 位 向 量 ) ,( 由 于 4 . 2 . 3 ) 成 立 ， 故 有 j
定理1
说明：
f f f f (x ) , , , x x x 1 2 n
T
o 1 f在 x处 的 导 数 f (x ) 又 称 为 f在 x处 的 梯 度 ， 可 记
为 g r a d f(x ) 或 f(x ) ；
o 2 梯 度 f(x ) 存 在 只 是 函 数 f在 x 处 可 微 的 必 要 条 件 而 非
( 4 . 2 . 1 )
n 其 中 ， f ( i 1 , 2 , ,) n 是 定 义 在 区 域 D R 上 的 n 元 实 i
值 函 数 ， 且 f 中 至 少 有 一 个 是 非 性 性 函 数 。 i
令 x x , x , , x F () x fx () , fx () , , fx () ， , 1 2 n 1 2 n
成 立 ， 则 称 f 在 x 处 可 微 ， 向 量 l ( x ) 称 为 f 在 x 处 的 导 数 ，
记 为 ： f ( x ) l ( x ) ； 若 D 是 开 区 域 且 f 在 D 内 每 一 点 都 可 微 ， 则 称 f 在 D 内 可 微 。
n 定 理 1 若 f : DR R 在 x i n t ( D ) 处 可 微 , 则 f 在 x 处 f 关 于 各 自 变 量 的 偏 导 数( j 1 , 2 , , n ) 存 在 ， 且 有 x j
f (x ) f1(x ) 1 x x 1 2 fi(x ) (x F ) x j n n ) fn(x ) fn(x x 1 2 x
பைடு நூலகம்
f1(x ) x n fn(x ) x n
n n 定理 2值 定 理 2 设 FD : R R 为 向 量 函 数 , 则 F 在 x i n t ( D )
处 可 微 的 充 分 必 要 条 件 是 F 的 所 有 分 量 f ( i 1 , 2 , , n ) 在 i x 处 可 微 ； 若 F 在 x 处 可 微 , 则 有
( 4 . 2 . 2 ) 的 解 。
二、多元微分学补充
n 定 义 1 设 f ： D R R ， x i n t () D ( 即 x 是 D 的 内 点 ) ， n 若 存 在 向 量 l () x R , 使 极 限
T f ( x h ) -( f x ) l ( x ) h l i m 0 ( 4 . 2 . 3 ) h θ h
§4.2 非线性方程组的迭代解法
§4.2.1 预备知识 一、一般非线性方程组及其向量表示法
含 有 n 个 方 程 的 n 元 非 线 性 方 程 组 的 一 般 形 式 为
(x ,x , ,x ) 0 f 1 1 2 n f (x,x, ,x) 0 2 1 2 n (x ,x , ,x ) 0 n 1 2 n f
f ( xe ) f ( x ) f ( x ) 从 而 l i m lx ( ) , j 1 , 2 ,, n x
0
j 0 j
f ( xe ) f ( x ) lx ( ) j j l i m 0 , j1 , 2 ,, n
f f f 存 在 ， 且 有 fxl ( ) ( x ) , ,, ■ xx x 1 2 n
T
向量值函数的可微性
n n A () x R , 使 极 限
n n 定 义 2 设 F ： D R R ， x i n t ( D ) ， 若 存 在 矩 阵
称 为 F 在 x 处 的 J a c o b i 矩 阵 。
证 明 ： 由 于 F ( x ) f ( x ) , f ) ( x , , f ( x ) , 所 以 ， 存 在 定理 12 n
T
n 向 量 lx () R , 使 极 限 i
2证 fx ( h ) -( f x ) -( lx ) h 明 l i m 0 i 1 , 2 ,, n