考研数学一笔记

高等数学常用公式⒈等比数列11n -=n qa a qq a s n n --=1)1(1⒉等差数列d n a a )1(1n -+= 2)(1na a s n n +=⒊ )12)(1(613212222++=++++n n n n ⒋ 233332)1(321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n 极限一、 对于和式nu u u++∑=2n111进行适当放缩有两种典型的方法①当n 为无穷大时，则 n ∙u min ≤u 1+u 2+⋯+u n ≤n ∙u max②当n 为有限项，且u i ≥0时，则 u max ≤u 1+u 2+⋯+u n ≤n ∙u max 二、常用极限：)m 3,2,1i (}max {lim .1n21n a ==++∞→，i mm n n a a an ab i n a b a f x f dx x f ni n i bni i --+=∆=∑⎰∑=∞→=→)(lim )(lim )(.21a1ξλ n ab n a b i a f x f dx x f ni n i bn i i ---+=∆=∑⎰∑=∞→=→)))(1((lim )(lim )(31a1ξλ1lim .3=∞→n n a为常数），（，b a ,1lim .4=+∞→n n b an1lim .50x =+→x x，则若a a n n =∞→lim ..6an a a a nn =+++∞→ 21lim .①aa a a n a n n n n ==>∞→ 21lim )3,2,1(0.② ，则若三、常见等价无穷小代换总结四、7种未定型（注意正真的0和1与极限为0和1 的区别）设limf (x )=A ，limg (x )=B五、求渐近线的步骤⒈先求垂直渐近线：∞=→)(lim 0x f x x ⒉求水平渐近线：A x f x =∞→)(lim⒊求斜渐近线：（∞=∞→)(lim x f x 时才需求斜渐近线，因为水平渐近线和斜渐近线不同时存在）])([lim b )(lim k kx x f xx f b kx y x x -==+=∞→∞→，，六、 极值点的来源：①不可导点：②驻点lim f (x )g(x)=七、 需要考虑左右极限的情况⒈式子中含有x e ⒉式子中含有x arctan ⒊式子中含偶次方根⒋式子中含有取整符号[x ⒌含有||0x x - ⒍分段函数导数中值定理涉及)(x f 的中值定理，即连续函数在闭区域[a,b]上的性质 ⒈设)(x f 在[a,b]上连续，则 定理一（有界性）：0)k(k |)(|>≤x f定理二（最值定理）：M x f m ≤≤)(，其中m ，M 分别是)(x f 在[a ，b]上的最小值与最大值。

定理三（介值定理）：当M u m ≤≤时，其中m ，M 分别是)(x f 在[a ，b]上的最小值与最大值，],[b a ∈∃ξ使得u f =)(ξ定理四（零点定理）：当0)()(<⋅b f a f 时，),(b a ∈∃ξ使得0)(=ξf ⒉涉及导数）x f('的中值定理 定理五（费马引理）：设)(x f 在x 0的某领域U(x 0)内有定义，且在x 0处可导如果对任意的x ∈U(x 0)有)()(0x f x f ≤（或)()(0x f x f ≥），那么0)(0'=x f 。

补充一（导数零点定理）设)(x f 在[a,b]内可导，且0)()(''<⋅-+b f a f ，则),(b a ∈∃ξ,使得0)('=ξf定理六（罗尔定理）：如果函数)(x f ⑴在闭区间 ],[b a 上连续, ⑵在开区间),(b a 内可导,⑶且在区间端点的函数值相等，即)()(b f a f =,那末在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf 。

该定理的逆否命题：若0)x ('=f 在(a,b)内没有实根，即0)x ('≠f ，则f (x )=0在[a,b]上至多只有一个实根。

推广：若0)x ((n)=f 在(a,b)上没有实根，即0)x ((n)≠f ，则f (x )=0在[a,b]上至多只有n 个实根。

定理七（拉格朗日中值定理）：如果函数)(x f ⑴在闭区间],[b a 上连续, ⑵在开区间),(b a 内可导那么在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使等式))(()()('a b f a f b f -=-ξ 成立。

定理八（柯西中值定理）：如果函数)(x f 及)(g x 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且)('x g 在),(b a 内每一点处均不为零，那末在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式 )()()()()()(''ξξg f a g b g a f b f =--成立。

定理九（Taylor 公式）：如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到n+1阶的导数，则对任意),(b a x ∈，有10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 这里的ξ是介于x 0与x 之间的某个值。

注：Taylor 公式常用于处理含二阶及二阶以上导函数代数式的问题，证明的一般思路如下：①将)(x f 在x 0处展开成比高阶导数低一阶的Taylor 展开式②关键在于如何确定x 与0x ，一般把题目中已知某点的函数及各阶导数值设为0x 区间端点为x ，闭区间的中点有时也会用到 ③对②得到的式子进行适当运算。

⒊涉及积分⎰bdx x f a)(的中值定理定理十（积分中值定理）设)(x f 在[a,b]上连续则在[a,b]上至少存在一点ξ使得))(()(aa b f dx x f b-=⎰ξ推广一：设)(x f 在[a,b]上连续则),(b a ∈∃ξ使得 ))(()(aa b f dx x f b-=⎰ξ推广二（第二积分中值定理）：设)(x f 与)(g x 在[a,b]上连续，且)(g x 在[a,b]不变号，则],[b a ∈∃ξ，使得dx x g f dx x g x f bab ⎰⎰=)()()()(aξ经典不等式总结⒈三角不等式：设b a ,为实数则 ⑴ 22||2b a ab +≤ ⑵ ||||||b a b a +≤± ⑶ ||||||||b a b a -≤-推广：⑴离散情况：设n a a ,,,a 21 为实数，则|||||a ||a |2121n n a a a a +++≤++±⑵连续情况：设)(x f 在],[b a 可积，则)(|)(|)(b a dx x f dx x f baba<≤⎰⎰⒉均值不等式⑴+∈R ,b a ，)(221a 1222时取等号当且仅当b a b a b a ab b=+≤+≤≤++∈R a a n ,,,a 21 ，)(1112122221212121时取等号当且仅当n nnn n na a a na a a n a a a a a a a a a n===+++≤+++≤≤+++推广：设k m m m b ,,,021i ≥是正整数，则()kkm m m m k m kkk b b m m m b m b m b m ++++≥++++++ 21111212211⒊杨氏不等式：设111,0,0,0,0=+>>>>qp q p y x ，则q y p x xy q p +≤ ⒋柯西不等式：()()()22222bd ac d c b a +≥++⒌施瓦茨不等式：若)(),(x g x f 在],[b a 可积，且平方可积，则⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222⒍其他不等式⑴若d y c b x a <<<<<<0,0，则dax y b c << ⑵)0(sin ),20(tan sin ><<<<<x x x x x x x π⑶)0(,1)11ln(11+∞<<<+<+x xx x 积分1. 有理函数积分设有真分式R (x )=P(x)Q(x)，Q(x)已被因式分解，若分母中有一个一因子(x −a)n ，则分解式对应项为：A 1x −a +A 2(x −a )2+⋯+A n(x −a )n若分母中有一个因子(x 2+px +q )n ，(p 2−4q <0)，则分解式对应项为：A 1x +B 1x 2+px +q +A 2x +B 2(x 2+px +q)2+⋯+A n x +B n(x 2+px +q)nex:ax 2+bx+c x 3(x−1)2=A 1x+A 2x 2+A 3x 3+B 1x−1+B 2(x−1)2求积分的方法万能代换：令tan x2=t ，则sin x =2sin x 2cos x 2=2tan x2sec 2x 2=2t1+t 2cos x =cos 2x 2−sin 2x 2=1−tan 2x2sec 2x 2=1−t 1+t 区间再现：在计算很多定积分和某些定积分证明时，有时需要互换积分限。

常见互换积分限为：①t =−x ，x ∈[−a,a] ②t =π−x ，x ∈[0,π] ③t =π2−x ，x ∈[0,π2]2. 比较广义积分的敛散性比较判别法的极限形式⑴设函数f (x )及g(x)都是在区间[a,+∞)非负连续函数，若l x g x f =∞→)()(limn ，则 当0<ℓ<+∞时，∫f (x )dx ∞a 和∫g (x )dx ∞a 同时收敛或同时发散； 当ℓ=0时，∫g (x )dx ∞a 若收敛，则∫f (x )dx ∞a 也收敛； 当ℓ=∞时，若∫g (x )dx ∞a 发散，则∫f (x )dx ∞a 也发散。

⑵设函数f (x )及g(x)都是在区(a,b]非负连续函数，，+∞=+→)(x lim x f a +∞=+→)(x g ax linl x g x f ax lin ==+→)()(，则 0<ℓ<+∞时∫f (x )dx ba 和∫g (x )dx ba 同时收敛或同时发散。