高中数学 绝对值不等式高考题合集详解
高考数学经典专题：绝对值不等式含参数成立问题(含详解答案)
高考数学经典专题：绝对值不等式中含参数成立问题1．已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,.（1）当3m =时，解不等式()3f x ≥；（2）证明：当0m <时，总存在0x 使00()21f x x <-+成立2．已知函数()32f x x =-.（1）若不等式213f x t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭的解集为11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，求实数t 的值； （2）若不等式()3133y y f x x m -≤+++⋅对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范围.3．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围．4．已知()|3|f x ax =-，不等式()6f x …的解集是{|13}x x -剟． （1）求a 的值；（2）若()()3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围． 5．已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|．（1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围． 6．已知定义在R 上的函数2()|24|f x x a x a =-+-.（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.7．已知,a b 均为实数，且3410a b += .（Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围.8．已知函数()|2||21|f x x x =+--.（1）求()5f x >-的解集（2）若关于x 的不等式2|2|||(|1|||)(0)b a b a a x x m a +--++-≠…能成立，求实数m 的取值范围.9．已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.10．已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 11．函数()1f x x x a =-+-的图象关于直线2x =对称.（1）求a 的值；（2）若()2f x x m ≥+的解集非空，求实数m 的取值范围. 12．已知函数()|1||1|f x x x m =-+++．（1）当5m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若二次函数2y x 2x 3=-++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．13．已知函数()221f x x x =-++.（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求+a b 的最小值.14．已知()2221f x x x a =+-+ （1）当3a =-时，求不等式()2f x x x >+的解集； （2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.15．已知函数(),f x x x a a R =-∈.（Ⅰ）当()()111f f +->，求a 的取值范围；。
绝对值不等式(高考版2)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（二） 例1：解不等式|23||3|4x x ++->；解：3339|23|3||||3||42222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为R 。
例2：3232≤-++x x解：3337|23|2||||2||32222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为φ。
解：（Ⅰ）()25212521213312≥-+≥-+-+-≥-+-=x x x x x x x f ，当仅当21=x 时，等号成立。
（Ⅱ）()()11--+>y y m x f ，由于2112≤--+≤-y y ，故()m x f 2>恒成立，即m 225>，故⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈45,m 。
解：（Ⅰ）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+--<-1312423x x x x x x ，令﹣x+4=4 或 3x=4，得x=0，x=34，所以，不等式 f （x ）≥4的解集是(][)+∞∞-,0,34；（Ⅱ）f （x ）在（﹣∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f （x ）≥f （1）=3，由于不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空的集合，所以，|m ﹣2|＞3，解之，m ＜﹣1或m ＞5，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．解：∵原方程有实根，Δ＝36－4[|a ＋2|＋|2a －1|]≥0，∴|a ＋2|＋|2a －1|≤9.①当a ≥12时，∵a ＋2＋2a －1≤9，∴12≤a ≤83.②当－2≤a ＜12时，∵a ＋2＋1－2a ≤9，∴－2≤a ＜12. 秒杀秘籍:()b x n a x m x f -+-=结论：在绝对值不等式中，系数大的决定不等式的最值。
绝对值之和只有最小值，并在大系数绝对值取到零点时取到最小值；书写过程：323221221≥-+≥-+-+-≥-+-x x x x x x③当a ＜－2时，∵－a －2＋1－2a ≤9，∴－103≤a ＜－2.综上所述，由①②③得a 的取值范围为108,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
高中绝对值不等式-(精华版)-适合高三复习用--可直接打印
高中绝对值不等式 -( 精髓版 )-合适高三复惯用 -- 可直接打印绝对值不等式绝对值不等式 | a b | | a |基本的绝对值不等式：| b |，||a|-|b||| a b | | a || b |≤|a ±b| ≤|a|+|b|＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y| ≤5 得-5 ≤ y≤5即函数的最小值是 -5 ，最大值是 5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也能够从几何意义上理解， |x-3|+|x+2| 表示 x 到3，-2 这两点的距离之和，明显当 -2 ≤x≤3时，距离之和最小， 最小值是 5；而|x-3|-|x+2|表示 x 到 3，-2 这两点的距离之差， 当 x ≤ -2 时，取最小值 -5 ，当 x ≥3 时，取最大值 5［变题 1］解以下不等式： (1)|x +1|>2 － x ；(2)| x 2－2 x －6|<3x［ 思 路 ］ 利 用 ｜ f(x) ｜ <g(x)-g(x)<f(x)<g(x)和 ｜ f(x) ｜ >g(x)f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x) 去掉绝对值后转变为我们熟习的一元一次、 一元二次不等式组来办理。
解：(1) 原不等式等价于 x +1>2－ x 或 x+1<－(2－ x)1解得 x > 2 或无解，所以原不等式的解集是1{ x | x> 2 }(2) 原不等式等价于－ 3 x < x 2－2 x －6<3 x即x 2 2x 6 3xx 2 x 6 0 (x 3)(x 2) 0x 3或 x 2 x22x 6 3x x25x 6 0(x 1)(x 6) 01 x 62< x <6所以原不等式的解集是{ x |2< x<6}1．解不等式（1）｜x-x2-2｜>x2-3x-4；（2）3xx24≤1解：（1）剖析一可按解不等式的方法来解 .原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4①或 x-x 2-2<-(x 2-3x-4)②解①得： 1- 2 <x<1+2解②得： x>-3故原不等式解集为｛ x｜x>-3 ｝剖析二∵｜ x-x 2-2 ｜＝｜ x2-x+2 ｜2127而 x-x+2＝(x- 4 )+4 >0所以｜ x-x2-2 ｜中的绝对值符号可直接去掉 .故原不等式等价于 x2-x+2>x 2-3x-4解得： x>-3∴原不等式解集为｛ x>-3 ｝（2）剖析不等式可转变为 -1 ≤x23x4≤1 求3x4≤1解，但过程较繁，因为不等式x2两边均为正，所以可平方后求解.23x原不等式等价于x24≤12229x ≤(x -4) (x≠± 2)x2≤1 或 x2≥16-1 ≤x≤1 或 x≥4 或 x≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜ f(x) ｜中的f(x) 的值的范围可确立 ( 包含恒正或恒非负，恒负或恒非正 ) ，便可直接去掉绝对值符号，进而简化解题过程 .第 2 变含两个绝对值的不等式［变题 2］解不等式（ 1） | x －1|<| x +a | ；（2）｜ x-2 ｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题因为两边均为非负数，所以能够利用｜ f(x) ｜〈｜ g(x) ｜ f 2(x) 〈g2(x) 两边平方去掉绝对值符号。
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
高考数学(理)专题辅导：69 绝对值不等式 Word版含解析
课时分层训练(六十九) 绝对值不等式1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.[解] (1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1， 得1≤x ≤2，3分 ∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.5分 (2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1. 10分2．若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值． [解] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a ＜－1时，f (x )＝⎩⎨⎧－3x －1＋2a ，x ≤a ，x －1－2a ，a ＜x ≤－1，3x ＋1－2a ，x ＞－1，3分f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5， 解得a ＝－6；5分当a ＞－1时，f (x )＝⎩⎨⎧－3x －1＋2a ，x ≤－1，－x ＋1＋2a ，－1＜x ≤a ，3x ＋1－2a ，x ＞a ，7分f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5， 解得a ＝4.9分 综上所述，实数a 的值为－6或4.10分3．(·衡水中学调研)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－3时，不等式f (x )≥3化为|x －3|＋|x －2|≥3.(*) 若x ≤2时，由(*)式，得5－2x ≥3，∴x ≤1.若2＜x ＜3时，由(*)式知，解集为∅. 若x ≥3时，由(*)式，得2x －5≥3，∴x ≥4. 综上可知，f (x )≥3的解集是{x |x ≥4或x ≤1}. 4分(2)原不等式等价于|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，(**) 当1≤x ≤2时，(**)式化为4－x －(2－x )≥|x ＋a |， 解得－2－a ≤x ≤2－a .8分 由条件，[1,2]是f (x )≤|x －4|的解集的子集， ∴－2－a ≤1且2≤2－a ，则－3≤a ≤0， 故满足条件的实数a 的取值范围是[－3,0].10分 4．(·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1. 所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}.5分(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |.10分5．(·湖南长郡中学模拟)已知正实数a ，b 满足：a 2＋b 2＝2ab . (1)求1a ＋1b 的最小值m ；(2)设函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t (t ≠0)，对于(1)中求得的m 是否存在实数x ，使得f (x )＝m2成立，说明理由.【导学号：57962489】[解] (1)∵2ab ＝a 2＋b 2≥2ab ， ∴ab ≥ab (a ＞0，b ＞0)，则ab ≤1. 又1a ＋1b ≥2ab ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴1a ＋1b的最小值m ＝2. 5分(2)函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1t －(x －t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ＋t ＝|t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ≥2. 对于(1)中的m ＝2，m2＝1＜2. ∴满足条件的实数x 不存在.10分6．(·郑州质检)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式|x －1|＜f (x )；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a ＞0)恒成立，求实数a的取值范围．[解] (1)依题设，得|x －1|＜|3x ＋2|， 所以(x －1)2＜(3x ＋2)2，则x ＞－14或x ＜－32，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－14或x ＜－32. 4分(2)因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝2＋m n ＋n m ≥4，当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立． 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a ，8分则x ＝－23时，g (x )取得最大值23＋a ， 要使不等式恒成立，只需g (x )ma x ＝23＋a ≤4. 解得a ≤103.又a ＞0，因此0＜a ≤103. 10分。
高二数学绝对值不等式试题答案及解析
高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.设函数（1）解不等式；（2）求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解含绝对值的不等式，关键是去掉绝对值符号，其方法有三种：①定义法；②平方法；③分区间讨论法，这里用的是分区间讨论法，遇到多个绝对值时常用此方法；（2）求绝对值函数的值域，通常是通过分区间讨论，去掉绝对值符号，将绝对值函数改写成分段函数，然后就每段求的范围，最后再将每段求得的范围求并集，注意不是求交集，从而得到绝对值函数的值域.试题解析：（1）不等式等价于：①；②；③，综合①②③得不等式的解集为：（2）①当时，；②当时，③当时，综合①②③得函数的值域为，因此求函数的最小值为.【考点】1.含绝对值的不等式的解法；2.绝对值函数的值域的求法；3.分类讨论思想.2.已知定义在R上的函数的最小值为.（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】解题思路：（1）利用求得的最小值；（2）利用证明即可.规律总结：不等式选讲内容，一般难度不大，主要涉及绝对值不等式和不等式的证明，证明或求最值，要灵活选用有关定理或公式.试题解析：（1）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.（2）由（1）知,又因为是正数,所以,即.【考点】1.绝对值不等式；2.重要不等式.3.设函数(1)求不等式的解集；(2)若不等式（，，）恒成立，求实数的范围．【答案】（1）;(2).【解析】(1)欲解不等式，需去掉绝对值，考虑到含有两个绝对值，因此分三段去，然后解.（2）要使不等式恒成立，则,考虑到不等式性质,不等式右侧可化简.试题解析：去绝对值，函数可化为,分三段解不等式，可得解集为：.由, 可得, 由（1）可解得：【考点】（1）含绝对不等会的解法；（2）恒成立问题（一般采用分离常数）.4.已知函数（1）解关于的不等式；（2）若存在，使得的不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）【解析】（1）先去掉绝对值得到，然后遂个求解不等式最终可得解集；（2）利用含参不等式的求解方法先确定因为所以则．试题解析：（1）原不等式等价于①： 1分或②： 2分或③： 3分解不等式组①无解； 4分解不等式组②得： 5分解不等式组③得： 6分所以原不等式的解集为 7分；（2）依题意 9分因为，所以 11分所以， 12分所以实数的取值范围为 13分．【考点】1，分段函数2，含参函数不等式的求解．5.对于实数，若，则的最大值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】因为又因为，可得，故选B.【考点】绝对值不等式.6.不等式的解集为A．[-5.7]B．[-4,6]C．D．【答案】C【解析】本题利用绝对值的几何意义，结合数轴求解。
高中数学。绝对值不等式高考题合集详解
高中数学。
绝对值不等式高考题合集详解1.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是(-∞,4)。
当x≤1时，不等式可化为(1-x)-(5-x)<2，即-4<2，满足题意；当1<x<5时，不等式可化为(x-1)-(5-x)<2，即2x-6<2，解得1<x<4；当x≥5时，不等式可化为(x-1)-(x-5)<2，即4<2，不成立。
故原不等式的解集为(-∞,4)。
2.对于不等式|ax-1|>a的解集M，且2∉M，则a的取值范围为[1/2,+∞)。
由已知2∉M，可得2∈∁R M。
即2a-1≤a，于是有-1≤a/2≤a，解得a≥2.故选B。
3.对任意x，y∈R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.由三角不等式可得|1-x|+|x|≥1，|1-y|+|1+y|≥2，故|1-x|+|x|+|1-y|+|1+y|≥3，当且仅当x=1，y=1时取等号。
4.函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=-6或4.当a≤-1时，f(x)在(-∞,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，则f(x)在x=a处取得最小值f(a)=-a-1；当a>-1时，f(x)在(-∞,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，则f(x)在x=a处取得最小值f(a)=a+1.由f(a)=5得到a=-6或4.当－21，符合题意；当x≥1时，f(x)＝3>1，符合题意。
综上得，不等式f(x)>1的解集为{x|x∈(－2,1)}。
(2)不等式f(x)＋4≥|1－2m|可化为f(x)＋4－|1－2m|≥0.当1－2m≥0时，不等式等价于f(x)＋4－(1－2m)≥0，即f(x)≥2m－3.当1－2m<0时，不等式等价于f(x)＋4＋(1－2m)≥0，即f(x)≥2m－5.由(1)可知，f(x)在区间(－2,1)上单调递增，且f(－2)＝－3，f(1)＝3.因此，当2m－3≥3时，即m≥3时，XXX成立；当2m－5<－3时，即m<－1时，XXX成立；当－3≤2m－3<3时，即0≤m<3时，不等式等价于f(x)≥2m－3，在区间(－2,1)上的解集为{x|x∈(－2,－1]∪(－1,1)}。
高二数学绝对值不等式试题答案及解析
高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知实数满足，证明：.【答案】见解析【解析】有已知条件，可得，，然后得到，展开进行整理即可。
证明：证法一，∴，，∴，. 2分∴，即， 4分∴，∴， 6分即，∴. 8分证法二：要证，只需证 2分只需证只需证 4分即. 6分，∴，，∴成立.∴要证明的不等式成立. 8分【考点】绝对值不等式；不等式证明的基本方法.2.不等式的解集是 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，即或，解得或【考点】解含绝对值不等式3.不等式的解集为A．[-5.7]B．[-4,6]C．D．【答案】C【解析】本题利用绝对值的几何意义，结合数轴求解。
不等式的解集为，选C。
【考点】绝对值不等式解法点评：简单题，绝对值不等式解法，通常以“去绝对值符号”为出发点。
有“平方法”，“分类讨论法”，“几何意义法”，不等式性质法等等。
4.已知关于x的不等式的解集是非空集合，则的取值范围是【答案】【解析】根据题意，关于x的不等式|x+a|+|x-1|+a<2013（a是常数）的解是非空集合，即为存在y=|x+a|+|x-1|的图形在y=2013-a的下方． y=|x+a|+|x-1|的图形是一条有两个折点的折线．y=2013-a是一条平行于x轴的直线．a的取值范围是（-∞，1006）；6所以答案为：（-∞，1006）．【考点】绝对值不等式点评：（1）关于x的不等式|x+a|+|x-1|+a<2013（a是常数）的解是非空集合，等价于存在y=|x+a|+|x-1|的图形在y=2013-a的下方．与恒成立是有本质区别的．（2）y=|x+a|+|x+b|的图形为一条带有两个折点的直线．5.在实数范围内，不等式的解集为__________【答案】【解析】解：由不等式|2x-1|+|2x+1|≤6，可得①-(2x-1)+(-2x-1)≤6, x＜-，或②-(2x-1)+(2x+1)≤6-≤x＜，或③2x-1+2x+1≤6,X解①得-≤x＜-，解②得-≤x＜，解③得≤x≤把①②③的解集取并集可得不等式的解集为【考点】分式不等式点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．6.不等式的解集为。
高考数学一轮复习(浙江版)专题7.2绝对值不等式(讲)含解析
【考纲解读】【知识清单】1. 绝对值不等式的解法1．形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 2．形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集(2)|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【重点难点突破】考点1 绝对值不等式的解法【1-1】【2017天津，文2】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项. 【1-2】不等式的解集为_______________．【答案】.【领悟技法】形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解． 【触类旁通】【变式一】若[]x 表示不超过x 的最大整数，则关于x 的不等式[]2120x x +--≤解集为( ) A. {}|1 1 x x -≤≤ B. {|10 x x -≤<或{}1012x ⎫<≤⋃⎬⎭C. {}1|1 12x x ⎧⎫-≤≤⋃⎨⎬⎩⎭D. 3| 1 2x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】不等式[]2120x x +--≤ []212x x ⇔+-≤,分别画出函数[]y x =和212y x =+-的图象,如图所示,则当112x -≤≤或x=1时满足题意,故选C.【变式二】不等式的解集为____________【答案】.【解析】1＜|x ＋1|＜3⇔1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1⇔0＜x ＜2或－4＜x ＜－2. 考点2 绝对值不等式的证明【2-1】【2016高考浙江理数】已知实数a ，b ，c （ ） A ．若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1，则a 2+b 2+c 2<100 B ．若|a 2+b+c|+|a 2+b –c|≤1，则a 2+b 2+c 2<100 C ．若|a+b+c 2|+|a+b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100 D ．若|a 2+b+c|+|a+b 2–c|≤1，则a 2+b 2+c 2<100 【答案】D【解析】举反例排除法：A.令10,110===-a b c ，排除此选项，B.令10,100,0==-=a b c ，排除此选项，C.令100,100,0==-=a b c ，排除此选项，故选D ． 【2-2】【2018届重庆市第三次抽测】已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若证明：【答案】（1）（2）见解析【领悟技法】两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．【触类旁通】【变式一】已知函数．（1）解不等式；（2）若，，且，求证：．【答案】(1) 或 (2)见解析【变式二】设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M.(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab|与2|a －b|的大小，并说明理由． 【答案】(1)证明：见解析.(2)|1－4ab|>2|a －b|. 【解析】(1)证明：记f(x)＝|x －1|－|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x≤－2，－2x －1，－2<x<1，－3，x≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x<12，则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a|＋16|b|<13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab|2－4|a －b|2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， 所以|1－4ab|2>4|a －b|2， 故|1－4ab|>2|a －b|.考点3 绝对值不等式的综合应用【3-1】．【2018年天津市河北区二模】已知函数，若，则实数的取值范围是_________.【答案】或【解析】由题意得函数为偶函数，且当时函数单调递减，当时函数单调递增．原不等式可化为，∴，两边平方整理得，解得或．∴实数的取值范围是．【3-2】【2018年理新课标I卷】已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【答案】(1).(2)．【领悟技法】含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．【触类旁通】【变式一】已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0≤x 时，x x x f 2)(2+=，那么，不等式3)2(<+x f 的解集是 . 【答案】{}15<<-x x【变式二】若实数的不等式无解,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由绝对值三角不等式可知：,即，结合恒成立的结论可知实数的取值范围是.表示为区间形式即.【易错试题常警惕】易错典例：已知函数()221f x x a x =-+-， a R ∈． （Ⅰ）当3a =时，求关于x 的不等式()6f x ≤的解集； （Ⅱ）当x R ∈时， ()213f x a a ≥--，求实数a 的取值范围．易错分析：一是由于对绝对值的概念理解不好，不能很好地掌握“零点分段讨论法”，将绝对值函数化为分段函数分别接不等式；二是不能正确的利用绝对值不等式的性质，适当放缩不等式． 正确解析：（I ）当3a =时，不等式()6f x ≤为23216x x -+-≤，若12x <时，不等式可化为()()2321446x x x ----=-+≤，解得1122x -≤<， 若1322x ≤≤时，不等式可化为()()232126x x --+-=≤，解得1322x ≤≤， 若32x >时，不等式可化为()()2321446x x x -+-=-≤，解得3522x <≤，温馨提示：1．在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题．若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．2．绝对值不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.。
2017-2021年高考真题 绝对值不等式 解答题全集 (学生版 解析版)
2017-2021年高考真题绝对值不等式解答题全集（学生版+解析版）1．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围．2．（2020•江苏）设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|＜4．3．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．（1）证明：ab+bc+ca＜0；3．（2）用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥√4 4．（2020•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．5．（2020•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若f（x）≥4，求a的取值范围．6．（2020•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝3a n﹣4n．（1）计算a2，a3，猜想{a n}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n}的前n项和S n．7．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．（1）证明：ab+bc+ca＜0；3．（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥√48．（2019•江苏）设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．9．（2019•新课标Ⅲ）设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1．10．（2019•新课标Ⅱ）已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．11．（2019•新课标Ⅰ）已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）1a +1b+1c≤a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．12．（2018•北京）设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…t n），t k∈{0，1}，k＝1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，x n）和β＝（y1，y2，…y n），记M（α，β）=12[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（x n+y n﹣|x n﹣y n|）]．（Ⅰ）当n＝3时，若α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）＝0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．13．（2018•新课标Ⅰ）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．14．（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．15．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．16．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．17．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．2017-2021年高考真题 绝对值不等式 解答题全集 （学生版+解析版）参考答案与试题解析1．（2021•乙卷）已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +3|．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥6的解集；（2）若f （x ）＞﹣a ，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|+|x +3|={−2x −2，x ≤−34，−3＜x ＜12x +2，x ≥1， ∵f （x ）≥6，∴{x ≤−3−2x −2≥6或{−3＜x ＜14≥6或{x ≥12x +2≥6， ∴x ≤﹣4或x ≥2，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．（2）f （x ）＝|x ﹣a |+|x +3|≥|x ﹣a ﹣x ﹣3|＝|a +3|，若f （x ）＞﹣a ，则|a +3|＞﹣a ，两边平方可得a 2+6a +9＞a 2，解得a ＞−32，即a 的取值范围是（−32，+∞）．2．（2020•江苏）设x ∈R ，解不等式2|x +1|+|x |＜4．【解答】解：2|x +1|+|x |={3x +2，x ＞0x +2，−1≤x ≤0−3x −2，x ＜−1．∵2|x +1|+|x |＜4，∴{3x +2＜4x ＞0或{x +2＜4−1≤x ≤0或{−3x −2＜4x ＜−1， ∴0＜x ＜23或﹣1≤x ≤0或﹣2＜x ＜﹣1，∴﹣2＜x ＜23，∴不等式的解集为{x |﹣2＜x ＜23}．3．（2020•新课标Ⅲ）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c ＝0，abc ＝1．（1）证明：ab +bc +ca ＜0；（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 的最大值，证明：max {a ，b ，c }≥√43．【解答】证明：（1）∵a +b +c ＝0，∴（a +b +c ）2＝0，∴a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ＝0，∴2ab +2ac +2bc ＝﹣（a 2+b 2+c 2），∵abc ＝1，∴a ，b ，c 均不为0，∴2ab +2ac +2bc ＝﹣（a 2+b 2+c 2）＜0，∴ab +ac +bc ＜0；（2）不妨设a ≤b ＜0＜c ＜√43，则ab =1c ＞1√43， ∵a +b +c ＝0，∴﹣a ﹣b ＝c ＜√43，而﹣a ﹣b ≥2√ab ＞2√46=412416=413=√43，与假设矛盾， 故max {a ，b ，c }≥√43．4．（2020•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝|3x +1|﹣2|x ﹣1|．（1）画出y ＝f （x ）的图象；（2）求不等式f （x ）＞f （x +1）的解集．【解答】解：函数f （x ）＝|3x +1|﹣2|x ﹣1|={ x +3，(x ≥1)5x −1，(−13≤x ＜1)−x −3，(x ＜−13)， 图象如图所示（2）由于f （x +1）的图象是函数f （x ）的图象向左平移了一个单位所得，（如图所示）直线y ＝5x ﹣1向左平移一个单位后表示为y ＝5（x +1）﹣1＝5x +4，联立{y =−x −3y =5x +4，解得横坐标为x =−76， ∴不等式f （x ）＞f （x +1）的解集为{x |x ＜−76}．5．（2020•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）＝|x ﹣a 2|+|x ﹣2a +1|．（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）≥4的解集；（2）若f （x ）≥4，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝|x ﹣4|+|x ﹣3|={−2x +7，x ≤31，3＜x ＜42x −7，x ≥4， ∴当x ≤3时，不等式f （x ）≥4化为﹣2x +7≥4，即x ≤32，∴x ≤32；当3＜x ＜4时，不等式f （x ）≥4化为1≥4，此时x ∈∅；当x ≥4时，不等式f （x ）≥4化为2x ﹣7≥4，即x ≥112，∴x ≥112．综上，当a ＝2时，不等式f （x ）≥4的解集为{x |x ≤32或x ≥112}；（2）f （x ）＝|x ﹣a 2|+|x ﹣2a +1|≥|x ﹣a 2﹣（x ﹣2a +1）|＝|（a ﹣1）2|＝（a ﹣1）2． 又f （x ）≥4，∴（a ﹣1）2≥4，得a ﹣1≤﹣2或a ﹣1≥2，解得：a ≤﹣1或a ≥3．综上，若f （x ）≥4，则a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．6．（2020•新课标Ⅲ）设数列{a n }满足a 1＝3，a n +1＝3a n ﹣4n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解答】解：（1）法一：数列{a n }满足a 1＝3，a n +1＝3a n ﹣4n ，则a 2＝3a 1﹣4＝5，a 3＝3a 2﹣4×2＝7，…，猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n +1．证明如下：（i ）当n ＝1，2，3时，显然成立，（ii ）假设n ＝k 时，a k ＝2k +1（k ∈N +）成立，当n ＝k +1时，a k +1＝3a k ﹣4k ＝3（k +1）﹣4k ＝2k +3＝2（k +1）+1，故n ＝k +1时成立， 由（i ）（ii ）知，a n ＝2n +1，猜想成立，所以{a n }的通项公式a n ＝2n +1．法二：数列{a n }满足a 1＝3，a n +1＝3a n ﹣4n ，则a 2＝3a 1﹣4＝5，a 3＝3a 2﹣4×2＝7，…，猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n +1．证明：设a n +1+α（n +1）+β＝3（a n +αn +β），可得a n +1＝3a n +2αn +2β﹣α，∴{2α=−42β−α=0，解得{α=−2β=−1， ∴a n +1﹣2（n +1）﹣1＝3（a n ﹣2n ﹣1），（不能说明{a n ﹣2n ﹣1}是等比数列）∵a 1＝3，a 1﹣2×1﹣1＝0，并且a 2﹣2（2+1）﹣1＝0，所以a n ＝2n +1恒成立． 所以a n ＝2n +1．（2）令b n ＝2n a n ＝（2n +1）•2n ，则数列{2n a n }的前n 项和S n ＝3×21+5×22+…+（2n +1）2n ，…①两边同乘2得，2S n ＝3×22+5×23+…+（2n +1）2n +1，…②①﹣②得，﹣S n ＝3×2+2×22+…+2×2n ﹣（2n +1）2n +1＝6+8(1−2n−1)1−2−（2n +1）2n +1，所以S n ＝（2n ﹣1）2n +1+2．7．（2020•新课标Ⅲ）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c ＝0，abc ＝1．（1）证明：ab +bc +ca ＜0；（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c }≥√43．【解答】证明：（1）∵a +b +c ＝0，∴（a +b +c ）2＝0，∴a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ＝0，∴2ab +2ac +2bc ＝﹣（a 2+b 2+c 2），∵abc ＝1，∴a ，b ，c 均不为0，∴2ab +2ac +2bc ＝﹣（a 2+b 2+c 2）＜0，∴ab +ac +bc ＜0；（2）不妨设a ≤b ＜0＜c ＜√43，则ab =1c √43， ∵a +b +c ＝0，∴﹣a ﹣b ＝c ＜√43，而﹣a ﹣b ≥2√ab ＞√46=412416=413=√43，与假设矛盾， 故max {a ，b ，c }≥√43．8．（2019•江苏）设x ∈R ，解不等式|x |+|2x ﹣1|＞2．【解答】解：|x |+|2x ﹣1|={ 3x −1，x ＞12−x +1，0≤x ≤12−3x +1，x ＜0， ∵|x |+|2x ﹣1|＞2，∴{3x −1＞2x ＞12或{−x +1＞20≤x ≤12或{−3x +1＞2x ＜0， ∴x ＞1或x ∈∅或x ＜−13，∴不等式的解集为{x |x ＜−13或x ＞1}．9．（2019•新课标Ⅲ）设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1．（1）求（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值；（2）若（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥13成立，证明：a ≤﹣3或a ≥﹣1．【解答】解：（1）x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1，由柯西不等式可得（12+12+12）[（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2]≥（x ﹣1+y +1+z +1）2＝4，可得（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2≥43，即有（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值为43； （2）证明：由x +y +z ＝1，柯西不等式可得（12+12+12）[（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2]≥（x ﹣2+y ﹣1+z ﹣a ）2＝（a +2）2，可得（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥(a+2)23， 即有（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2的最小值为(a+2)23， 由题意可得(a+2)23≥13， 解得a ≥﹣1或a ≤﹣3．10．（2019•新课标Ⅱ）已知f （x ）＝|x ﹣a |x +|x ﹣2|（x ﹣a ）．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）当x ∈（﹣∞，1）时，f （x ）＜0，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|x +|x ﹣2|（x ﹣1），∵f （x ）＜0，∴当x ＜1时，f （x ）＝﹣2（x ﹣1）2＜0，恒成立，∴x ＜1；当x ≥1时，f （x ）＝（x ﹣1）（x +|x ﹣2|）≥0恒成立，∴x ∈∅；综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；（2）当a ≥1时，f （x ）＝2（a ﹣x ）（x ﹣1）＜0在x ∈（﹣∞，1）上恒成立； 当a ＜1时，x ∈（a ，1），f （x ）＝2（x ﹣a ）＞0，不满足题意，∴a 的取值范围为：[1，+∞）11．（2019•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明：（1）1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2；（2）（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．【解答】证明：（1）分析法：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．要证（1）1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2；因为abc ＝1．就要证：abc a +abc b +abc c ≤a 2+b 2+c 2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．故1a +1b+1c≤a2+b2+c2得证．（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）≥2√ab；（b+c）≥2√bc；（c+a）≥2√ac；当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8√ab•√bc•√ac=24abc ＝24；当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．故得证．12．（2018•北京）设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…t n），t k∈{0，1}，k＝1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，x n）和β＝（y1，y2，…y n），记M（α，β）=12[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（x n+y n﹣|x n﹣y n|）]．（Ⅰ）当n＝3时，若α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M （α，β）＝0，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由． 【解答】解：（I ） M （α，α）＝1+1+0＝2，M （α，β）＝0+1+0＝1． （II ）考虑数对（x k ，y k ）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的x k +y k −|x k −y k |2分别为0、0、0、1，所以B 中的每个元素应有奇数个1，所以B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： （1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）， （0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0）， 对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M （α，β）是偶数，所以四元集合B ＝{（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足 题意，假设B 中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M （α，β）＝1不合题意， 故B 中元素个数的最大值为4．（Ⅲ） B ＝{（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…， （0，0，0，…，1）}，此时B 中有n +1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M （α，β）＝0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B 有多于n +1个元素，由于α＝（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M （α，β）＝0，所以除（0，0，0，…，0）外至少有n +1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i ＝y i ＝l ，此时M （α，β）≥1不满足题意， 故B 中最多有n +1个元素．13．（2018•新课标Ⅰ）已知f （x ）＝|x +1|﹣|ax ﹣1|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（2）若x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣1|={2，x ＞12x ，−1≤x ≤1−2，x ＜−1，由f （x ）＞1，∴{2x ＞1−1≤x ≤1或{2＞1x ＞1， 解得x ＞12，故不等式f （x ）＞1的解集为（12，+∞），（2）当x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立， ∴|x +1|﹣|ax ﹣1|﹣x ＞0， 即x +1﹣|ax ﹣1|﹣x ＞0， 即|ax ﹣1|＜1， ∴﹣1＜ax ﹣1＜1， ∴0＜ax ＜2， ∵x ∈（0，1）， ∴a ＞0， ∴0＜x ＜2a ， ∴a ＜2x ∵2x ＞2，∴0＜a ≤2，故a 的取值范围为（0，2]．14．（2018•新课标Ⅱ）设函数f （x ）＝5﹣|x +a |﹣|x ﹣2|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥0的解集； （2）若f （x ）≤1，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝5﹣|x +1|﹣|x ﹣2|={2x +4，x ≤−12，−1＜x ＜2−2x +6，x ≥2．当x ≤﹣1时，f （x ）＝2x +4≥0，解得﹣2≤x ≤﹣1， 当﹣1＜x ＜2时，f （x ）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x ＜2，当x ≥2时，f （x ）＝﹣2x +6≥0，解得2≤x ≤3， 综上所述不等式f （x ）≥0的解集为[﹣2，3]， （2）∵f （x ）≤1， ∴5﹣|x +a |﹣|x ﹣2|≤1， ∴|x +a |+|x ﹣2|≥4，∴|x +a |+|x ﹣2|＝|x +a |+|2﹣x |≥|x +a +2﹣x |＝|a +2|， ∴|a +2|≥4，解得a ≤﹣6或a ≥2，故a 的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．15．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4，g （x ）＝|x +1|+|x ﹣1|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[﹣1，1]，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝﹣x 2+x +4，是开口向下，对称轴为x =12的二次函数，g （x ）＝|x +1|+|x ﹣1|={2x ，x ＞12，−1≤x ≤1−2x ，x ＜−1，当x ∈（1，+∞）时，令﹣x 2+x +4＝2x ，解得x =√17−12，g （x ）在（1，+∞）上单调递增，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f （x ）≥g （x ）的解集为（1，√17−12]；当x ∈[﹣1，1]时，g （x ）＝2，f （x ）≥f （﹣1）＝2．当x ∈（﹣∞，﹣1）时，g （x ）单调递减，f （x ）单调递增，且g （﹣1）＝f （﹣1）＝2． 综上所述，f （x ）≥g （x ）的解集为[﹣1，√17−12]； （2）依题意得：﹣x 2+ax +4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x 2﹣ax ﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得﹣1≤a ≤1，故a 的取值范围是[﹣1，1]．16．（2017•新课标Ⅱ）已知a ＞0，b ＞0，a 3+b 3＝2．证明： （1）（a +b ）（a 5+b 5）≥4； （2）a +b ≤2．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a +b ）（a 5+b 5）≥（√a ⋅a 5+√b ⋅b 5）2＝（a 3+b 3）2≥4，当且仅当√ab 5=√ba 5，即a ＝b ＝1时取等号， （2）∵a 3+b 3＝2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝2， ∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]＝2， ∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）＝2， ∴(a+b)3−23(a+b)=ab ，由均值不等式可得：(a+b)3−23(a+b)=ab ≤（a+b 2）2，∴（a +b ）3﹣2≤3(a+b)34， ∴14（a +b ）3≤2，∴a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立． 17．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，f （x ）≥1，∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）={−x 2+x −3，x ≤−1−x 2+3x −1，−1＜x ＜2−x 2+x +3，x ≥2，当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x =12＞−1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x =32∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）=−94+92−1=54；当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x =12＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g （x ）max =54，∴m 的取值范围为（﹣∞，54]．。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质2.若存在实数使成立，则实数的取值范围_______【答案】【解析】由又因为存在实数使成立则，则【考点】绝对值不等式；存在性问题.3.若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是（）A．0B．1C．－1D．2【答案】B【解析】由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴等价于|a－2|≥a，解之得a≤1.故实数a的最大值为1，选B.4.解不等式：3≤|5－2x|<9.【答案】(－2，1]∪[4，7)．【解析】得解集为(－2，1]∪[4，7)．5.解不等式：|x＋3|－|2x－1|<＋1.【答案】{x|x<－或x>2}【解析】①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－.③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，∴x>2.综上可知，原不等式的解集为{x|x<－或x>2}．6.设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．【答案】（1）{x|x≥3或x≤－1}（2）a＝2【解析】(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1，故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0，此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为.由题设可得－＝－1，故a＝2.7. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参数方程为(为参数), 则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A. ； B．； C．【解析】A. 先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C. 由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.8.设函数.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若存在，使，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据绝对值不等式公式可得的解集，根据其解集与集合可得的值。
高考数学 5.1绝对值不等式(含解析)
【师说 高中全程复习构想】（新课标）2015届高考数学 5－1 绝对值不等式（含解析）一、选择题1．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为( )A ．2 B. 2C ．4D ．6答案：A2．已知a ＞0，b ＞0且1a ＋3b＝1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．7＋2 6 B ．2 3C ．7＋2 3D ．14答案：A3．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax －1x ＞a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 答案：B4．已知a ＞0，ab ＝1，则a2＋b2a －b的最小值是( ) A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．1答案：A5．设集合A ＝{x||x －a|＜1，x ∈R}，B ＝{x||x －b|＞2，x ∈R}．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b|≤3 B．|a ＋b|≥3C ． |a －b|≤3 D．|a －b|≥3答案：D6．已知命题p ：∀x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥m，命题q ：∃x ∈R ，x2－2mx ＋m2＋m －3＝0，那么，“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A二、填空题7．不等式|x ＋1|＋|2x －4|＞6的解集为__________．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8．不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)＞a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案：(－∞，2)9．已知x ，y ，z 均为正数，1x ＋1y ＋1z ＝1，则x yz ＋y zx ＋z xy的最小值是__________． 答案：1三、解答题10．设函数f(x)＝|2x －1|－|x －4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y ＝f(x)的最小值．解析：(1)令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －5 x≤－123x －3 －12＜x ＜4x ＋5 x≥4，作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象，它与直线y ＝2的交点为(－7,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2. 所以|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. (2)由函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象可知，当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|－|x －4|取得最小值－92. 11．已知函数f(x)＝|2x －a|＋a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使得f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由|2x －a|＋a≤6，得|2x －a|≤6－a ，∴a －6≤2x－a≤6－a ，即a －3≤x≤3，∴a －3＝－2，∴a ＝1.(2)由(1)知f(x)＝|2x －1|＋1.令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，则φ(n)＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4n n≤－12，4 －12＜n ≤12，2＋4n n ＞12.) ∴φ(n)的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞)． 12．已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝－3时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x≤2，1， 2＜x ＜3，2x －5， x≥3. 当x≤2时，由f(x)≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x ＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x －5≥3，解得x≥4； 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x＋a|. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a|， ⇔4－x －(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a 的取值范围为 [－3,0]．。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知，且．（1）试利用基本不等式求的最小值；（2）若实数满足，求证：．【答案】（1）3（2）参考解析【解析】（1）由已知，且．即m可化为.由柯西不等式可得结论.（2）由（1）可得.再由柯西不等式即可得结论.（1）由三个数的均值不等式得：（当且仅当即时取“=”号），故有． 4分（2），由柯西不等式得：（当且仅当即时取“=”号）整理得：，即． 7分【考点】1.柯西不等式.2.绝对值不等式.2.已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)的解集为M.(1).求M;(2).当a,b M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查绝对值不等式、不等式的证明等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、利用综合法、分类讨论思想的解题能力．第一问，利用零点分段法分别去掉绝对值，解不等式；第二问，可先用分析法由所求证的结论入手，分析需要证明什么，再用综合法证明，要证2|a+b|＜|4+ab|，需证明，展开，需证明，由已知入手，找到，，从而证出.试题解析：（1）由，即，当时，则，得，∴；当时，则，得，恒成立，∴；当时，则，得，∴；综上，. 5分（2）当时，则，.即：，，∴，∴，即，也就是，∴，即：，即. 10分【考点】绝对值不等式、不等式的证明.3.解不等式|2x－4|＜4－|x|.【答案】【解析】当x＞2时，原不等式同解于2x－4＜4－x，解得x＜，所以2＜x＜；当0≤x≤2时，原不等式同解于4－2x＜4－x，解得x＞0，所以0＜x≤2；当x＜0时，原不等式同解于4－2x＜4＋x，解得x＞0，所以x∈∅.综上所述，原不等式的解集为.4.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，8]【解析】因为|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的动点x到数轴上的点－3,5的距离之和，而(|x－5|＋|x＋3|)＝8，∴当a≤8时，|x－5|＋|x＋3|<a无解，min故实数a的取值范围为(－∞，8]．5.已知函数.（1）若的解集为，求实数的值.（2）当且时，解关于的不等式.【答案】（1）；（2）当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.【解析】本题考查绝对值不等式的解法及利用解集求实数的值，考查学生的分类讨论思想和转化能力.第一问，利用绝对值不等式的解法求出的范围，让它和已知解集相同，列出等式，解出和的值；第二问，先将代入，得到解析式，再代入到所求不等式中，找到需要解的不等式，注意到当时，2个绝对值一样，所以先进行讨论，当时，按照解绝对值不等式的步骤，先列出不等式组，内部求交集，综合和的情况得到结论.试题解析：（Ⅰ）由得，所以解之得为所求． 4分（Ⅱ）当时，，所以当时，不等式①恒成立，即；当时，不等式或或，解得或或，即；综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为． 10分【考点】1.绝对值不等式的解法.6.若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】令，易知的最小值为，故，所以.【考点】绝对值不等式的解法点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a-1|≤3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．7.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2．（1）求整数的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：．【答案】（1），。
高二数学绝对值不等式试题答案及解析
高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.函数若不等式f（x）≥6的解集为（—∞，-2][4，+∞），则实数a的值为．【答案】3．【解析】∵a＞0，故f（x）=|x+1|+|x-a|=，∴当x≤-1时，解-2x+a-1≥6得：x≤；当-1＜x＜a时，f（x）=1+a；当x≥a时，解2x+1-a≥6得：x≥；又f（x）≥6的解集为（-∞，-2]∪[4，+∞），∴=-2且=4且1+a∈[4，+∞），解得a=3．故应填入：3．【考点】绝对值不等式的解法．2.设函数(1)求不等式的解集；(2)若不等式（，，）恒成立，求实数的范围．【答案】（1）;(2).【解析】(1)欲解不等式，需去掉绝对值，考虑到含有两个绝对值，因此分三段去，然后解.（2）要使不等式恒成立，则,考虑到不等式性质,不等式右侧可化简.试题解析：去绝对值，函数可化为,分三段解不等式，可得解集为：.由, 可得, 由（1）可解得：【考点】（1）含绝对不等会的解法；（2）恒成立问题（一般采用分离常数）.3.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原不等式等价于或，解得或，∴不等式的解集为.【考点】解绝对值不等式.4.已知实数满足，证明：.【答案】见解析【解析】有已知条件，可得，，然后得到，展开进行整理即可。
证明：证法一，∴，，∴，. 2分∴，即， 4分∴，∴， 6分即，∴. 8分证法二：要证，只需证 2分只需证只需证 4分即. 6分，∴，，∴成立.∴要证明的不等式成立. 8分【考点】绝对值不等式；不等式证明的基本方法.5.设a,b为满足ab<0的实数，那么（）A．|a+b|>|a-b|B．|a+b|<|a-b|C．|a-b|<|a|-|b|D．|a-b|<|a|+|b|【答案】B【解析】用赋值法，；令代入检验，A项为，不成立，C项为，不成立，，不成立.故选B.【考点】绝对值不等式点评：对于有些问题，若能根据其具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值（如0，1，-1等），往往能使问题获得简捷有效的解决．6.若关于的不等式的解集包含，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】不等式化为，所以，即有，所以，又因为不等式的解集包含，所以，解得的取值范围为。
高考中含绝对值不等式常见题型归纳及解法探究
高考中含绝对值不等式常见题型归纳及解法探究绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。
|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。
绝对值不等式的公式为：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
一、知识点1．不等式性质比较大小方法：（1）作差比较法（2）作商比较法不等式的基本性质①对称性：a \ue bb \ue a②传递性: a \ue b, b \ue ca \ue c③直和性: a \ue b a + c \ue b + c④可积性: a \ue b, c \ue 0ac \ue bc； a \ue b, c \uc 0ac \uc bc；⑤乘法法则: a \ue b, c \ue d a + c \ue b + d⑥乘法法则：a \ue b \ue 0, c \ue d \ue 0 ac \ue bd⑦乘坐方法则：a \ue b \ue 0, an \ue bn (n∈n)⑧开方法则：a \ue b \ue 0,2．算术平均数与几何平均数定理：（1）如果a、b∈r,那么a2 + b2 ≥2ab（当且仅当a=b时等号）（2）如果a、b∈r＋,那么（当且仅当a=b时等号）推广：如果为实数，则重要结论(1）如果内积xy就是定值p，那么当x＝y时，和x＋y存有最小值2；（2）如果和x＋y是定值s，那么当x＝y时，和xy有最大值s2/4。
3．证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从未知或已证明过的不等式启程，根据不等式的性质推论出欲证的不等式。
综合法的阿提斯鲁夫尔谷经常使用均值不等式。
分析法：不等式两边的联系比较确切，通过找寻不等式设立的充分条件，逐步将欲证的不等式转变，直至找寻至极易证或未知设立的结论。
高一数学绝对值不等式试题答案及解析
高一数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围。
【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，或 6分（2）原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立 12分【考点】本题考查了绝对值不等式的解法点评：在解答含有绝对值不等式问题时，要注意分段讨论来取绝对值符号的及利用绝对值的几何意义来求含有多个绝对值的最值问题．2.不等式｜2－x｜≥1的解集是A．｛x｜1≤x≤3｝B．｛x｜x≤1或x≥3｝C．｛x｜x≤1｝D．｛x｜x≥3｝【答案】B【解析】∵｜2－x｜≥1，∴2-x≥1或2-x≤1，解得x≤1或x≥3, 故不等式｜2－x｜≥1的解集是｛x｜x≤1或x≥3｝，选B【考点】本题考查了绝对值不等式的解法点评：解含绝对值不等式的关键是脱掉绝对值符号，有时利用定义，有时利用公式，属基础题3.不等式的解集是。
【答案】-1<x<1或x<-1【解析】根据题意，当x 0时则有，当x<0时，则可知，综上可知满足不等式的解集为-1<x<1或x<-1，故答案为-1<x<1或x<-1。
【考点】一元二次不等式的解集点评：解决的关键是利用绝对值符号的讨论得到不同情况下的解集，然后取其并集即可，属于基础题。
4.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为不等式对任意实数恒成立，那么则可知，故选A.5.不等式的解集为：（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为，选B6.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为。
【答案】【解析】因为对任意实数恒成立，所以大于等于在定义域上的最大值。
当时，当时，当，综上可得，在定义域上的最大值为4，则解得，或7.不等式1≤|2x-3|≤5的解是__________。
【答案】【解析】略8.若，则正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略9.若不等式对一切恒成立，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略10.若，则下列不等式：中正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（3）（4）【答案】C【解析】略11.若，则下列不等式：中正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（3）（4）【答案】C【解析】略12.设函数，不等式的解集为（－1，2）（1）求的值；（2）解不等式．【答案】（1）a="2 " （2）同解析【解析】1）∵的解集为（－1，2）∴得a="2 "（2）由得①当，即时，②当，即时，无解③当，即时，13.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把x=1代入不等式组验算得x=1是不等式组的解，则排除(B)、(C), 再把x=-3代入不等式组验算得x=-3是不等式组的解，则排除(B)，所以选(D).14.设函数（1）当时，求函数的定义域；（2）若函数的定义域为R，试求的取值范围。
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绝对值不等式
1．(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )
A ．(－∞，4)
B ．(－∞，1)
C ．(1,4)
D ．(1,5)
解析 当x ≤1时，不等式可化为(1－x )－(5－x )<2，即－4<2，满足题意；
当1<x <5时，不等式可化为(x －1)－(5－x )<2，即2x －6<2，解得1<x <4；
当x ≥5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，不成立。
故原不等式的解集为(－∞，4)。
答案 A
2．不等式⎪⎪⎪⎪
⎪⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞
B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 解析 由已知2∉M ，可得2∈∁R M 。
于是有⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2a －12≤a ， 即－a ≤2a －12≤a ，解得a ≥14，故选B 。
答案 B
3．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|
＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)
≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，
当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，
∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3。
答案 C
4．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________。
解析 当a ≤－1时，
f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2a －1，x <a ，x －2a －1，a ≤x ≤－1，3x －2a ＋1，x >－1，
所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝－a －1，
由－a －1＝5得a ＝－6，符合a ≤－1；
当a >－1时，
f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2a －1，x <－1，－x ＋2a ＋1，－1≤x ≤a ，
3x －2a ＋1，x >a 。
所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取最小值f (a )＝a ＋1，
由a ＋1＝5，得a ＝4，符合a >－1。
综上，实数a 的值为－6或4。
答案 －6或4
5．设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集是________。
解析 函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |的值域为：
[|a －b |，＋∞)，因此，∀x ∈R ，f (x )≥|a －b |>2。
所以，不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集为R 。
答案 R
6．若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3|<a ，则实数a 的取值范围是________。
解析 解法一：令y ＝|x －4|＋|x －3|，
则有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋7，x ≤3，1，3<x ≤4，2x －7，x >4，可得y min ＝1，
又因为原不等式有实数解，
所以a 的取值范围是(1，＋∞)。
解法二：|x －4|＋|x －3|的几何意义是x 在数轴上对应点P 到3,4对应的点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |，
通过讨论x >4,3<x ≤4，x ≤3三种情况的点P 位置，
可得|P A |＋|PB |的最小值为1，
又因为原不等式有实数解，
所以a 的取值范围是(1，＋∞)。
解法三：因为|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，所以y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值为1，
又因为原不等式有实数解，所以a 的取值范围是(1，＋∞)。
答案 (1，＋∞)
7．设函数f (x )＝x ＋1a ＋|x －a |(a >0)。
(1)证明：f (x )≥2；
(2)若f (3)<5，求a 的取值范围。
解 (1)证明：由a >0，有f (x )
＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a －(x －a ) ＝1a ＋a ≥2。
所以f (x )≥2。
(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪3＋1a ＋|3－a |。
当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212。
当0<a ≤3时，
f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3。
综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52
，5＋212。
8．(2015·甘肃兰州诊断)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a 。
(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围。
解 (1)由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ，
∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，
∴a －3＝－2，∴a ＝1。
(2)由(1)知f (x )＝|2x －1|＋1，
令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，
则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－4n ，n ≤－12，4，－12<n ≤12，
2＋4n ，n >12。
∴φ(n )的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞)。
9．(2015·江西南昌一模)已知函数f (x )＝x |x －a |(a ∈R )。
(1)若a ＝2，解关于x 的不等式f (x )<x ；
(2)若对任意的x ∈(0,4]都有f (x )<4，求a 的取值范围。
解 (1)当a ＝2时，不等式f (x )<x ，即x |x －2|<x 。
显然x ≠0，当x >0时，原不等式可化为|x －2|<1⇒－1<x －2<1⇒1<x <3。
当x <0时，原不等式可化为|x －2|>1⇒x －2>1或x －2<－1⇒x >3或x <1，∴x <0。
综上得：当a ＝2时，原不等式的解集为{x |1<x <3或x <0}。
(2)对任意的x ∈(0,4]都有f (x )<4，即－4<x (x －a )<4⇒∀x ∈(0,4]，x －4x <a <x ＋4x 恒成立。
设g (x )＝x －4x ，x ∈(0,4]，p (x )＝x ＋4x ，x ∈(0,4]，则对任意的x ∈(0,4]，x －4x <a <x ＋4x 恒成立⇔g (x )max <a <p (x )min ，x ∈(0,4]。
∵g ′(x )＝1＋4x 2，当x ∈(0,4]时，g ′(x )>0，
∴函数g (x )在(0,4]上单调递增，∴g (x )max ＝g (4)＝3。
又∵p ′(x )＝1－4x 2＝(x －2)(x ＋2)x 2
， ∴p (x )在(0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，
∴p (x )min ＝p (2)＝4。
故a ∈(3,4)。
10．(2016·河北省高三年级三市第二次联考)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|。
(1)求不等式f (x )>1的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围。
解 (1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－22x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1
当x ≤－2时，f (x )＝－3<0，不合题意；
当－2<x <1时，由f (x )＝2x ＋1>1，得x >0，即0<x <1； 当x ≥1时，f (x )＝3>1恒成立，即x ≥1。
综上，不等式f (x )>1的解集为(0，＋∞)。
(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，
由(1)可知f (x )max ＝3(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －
1)|＝3，得f (x )max ＝3)，
即|1－2m |≤7，解得－3≤m ≤4。