高中数学 绝对值不等式高考题合集详解
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绝对值不等式
1．(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )
A ．(－∞，4)
B ．(－∞，1)
C ．(1,4)
D ．(1,5)
解析 当x ≤1时，不等式可化为(1－x )－(5－x )<2，即－4<2，满足题意；
当1 当x ≥5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，不成立。 故原不等式的解集为(－∞，4)。 答案 A 2．不等式⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫14，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎦ ⎥⎤0，12 解析 由已知2∉M ，可得2∈∁R M 。 于是有⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪2a －12≤a ， 即－a ≤2a －12≤a ，解得a ≥14，故选B 。 答案 B 3．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析 ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| ＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |) ≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3， 当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3。 答案 C 4．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________。 解析 当a ≤－1时， f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2a －1，x －1， 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝－a －1， 由－a －1＝5得a ＝－6，符合a ≤－1； 当a >－1时， f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a | ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2a －1，x <－1，－x ＋2a ＋1，－1≤x ≤a ， 3x －2a ＋1，x >a 。 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取最小值f (a )＝a ＋1， 由a ＋1＝5，得a ＝4，符合a >－1。 综上，实数a 的值为－6或4。 答案 －6或4 5．设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集是________。 解析 函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |的值域为： [|a －b |，＋∞)，因此，∀x ∈R ，f (x )≥|a －b |>2。 所以，不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集为R 。 答案 R 6．若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3| 解析 解法一：令y ＝|x －4|＋|x －3|， 则有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋7，x ≤3，1，3 又因为原不等式有实数解， 所以a 的取值范围是(1，＋∞)。 解法二：|x －4|＋|x －3|的几何意义是x 在数轴上对应点P 到3,4对应的点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |， 通过讨论x >4,3 可得|P A |＋|PB |的最小值为1， 又因为原不等式有实数解， 所以a 的取值范围是(1，＋∞)。 解法三：因为|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，所以y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值为1， 又因为原不等式有实数解，所以a 的取值范围是(1，＋∞)。 答案 (1，＋∞) 7．设函数f (x )＝x ＋1a ＋|x －a |(a >0)。 (1)证明：f (x )≥2； (2)若f (3)<5，求a 的取值范围。 解 (1)证明：由a >0，有f (x ) ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪x ＋1a －(x －a ) ＝1a ＋a ≥2。所以f (x )≥2。 (2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪