第十章(2) 非正弦周期电流电路
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k 1
L
其中：ak ( k=1, 2 ,, ) 均为正整数，=2/T 。 则：
I
1 T
T
0
I 0 2 I k cos( ak t k ) dt k 1
L
2
考虑根号内函数：
1 T
T
0
I 0 2 I k cos(ak t k ) dt k 1
10.2 cos(5t 11.8 ) 2.06 cos(4t 14.9 )( A)
o o
i'0 的周期： i''0 的周期：
T1 2 5 0.4
T2 2 4 0.5
i0 的周期 T 是 T1 和 T2 的最小公倍数：
T 5T1 4T2 2
10(1).2 非正弦周期电源作用下线 性电路的稳态响应
直流电源作用时，电感相当于短路，电容相当于开路。
不同频率正弦量的相量求和是无意义的，叠加只能对 瞬时表达式进行。
例：电路如图，已知 us 10cos5t (V ) , is 2 cos4t ( A) ，求 i0
+
。
1Ω
1F
us 1H -
is
i0
解：us 单独作用时电路相量 模型如图。
1 5
ms
1Ω
j 2 L
j
1
I mS
2C
I m0
解得:
o 2 0 I mo
j4 2.06 14.9o ( A) 1 (1 j 4) j 4
2.06cos(4t 14.9o )( A) i0
根据叠加定理，有：
i0 i0 i0
L
2
展开后有如下项：
1 T
1 T
T
0
I 0 dt I 0
2
2
T
0
2I0
2 I k cos( akt k )dt 0
1 T
T
0
2 2 I k cos( akt k ) 2 I q cos( aqt q )dt 0
1 T
T
0
( 2 I k ) cos ( akt k )dt I
其中：a0 为 f(t)的恒定分量（平均值〕；
A 1t 1 ) 为 f(t)的基波分量， 1 cos(
1 2 T
基波频率与f(t) 的频率相同；
Ak是为 f(t)的 k 次谐波的振幅，k 是k 次谐波的 初相位， k 次谐波的频率是基波频率的 k 倍。
非正弦周期电源作用下电路的稳态响应求解
一般步骤： 根据傅立叶级数将非正弦周期电源分解成直流 分量及各次谐波分量，相当于在电路输入端施加 多个等效电压源串联。 分别计算个各次谐波分量单独作用时电路的响 应分量。
由于电路是线性的，根据叠加原理，上述响应 分量的代数和就是非正弦周期电源作用下电路的 稳态响应。
注意问题： 在直流电源激励时，电感器 L 短接，电容器 C 开路。 在 k 次谐波激励时，感抗为 X Lk k1L ，容抗为 X Ck 1 k1C , 感纳为 BLk 1 k1L, 容纳为 BCk k1C.
k 1
L
u(t ) U 0 2 U k cos(ak t u k )
k 1
其中：ak ( k=1, 2 ,, ) 均为正整数。i和 u 的周 期为 T = 2 / 。
周期函数的傅立叶级数展开式 （动画14.1）
设周期函数 f (t )的周期 T ，且满足狄氏条件（在 一周期内绝对可积、在一周期内只有有限个极大 值和极小值、在一周期内只有有限个不连续点）， 则 f (t ) 可展开成级数：
f (t ) a0 Ak cos(k1t k )
k 1
10(1).3 非正弦周期电流电路中电流 和电压的有效值
非正弦周期电流和电压的有效值
周期为 T 的非正弦周期电流 i(t) 的有效值为：
I
1 T
T
0
i 2 (t )dt
若 i(t) 表为恒定分量和 L个不同频率正弦分量的和：
i (t ) I 0 2 I k cos(ak t k )
j1L j5
I m
+
U mS
1Ω
j
1 j j 0.2 1C 10 0o (V ) U
ms
1 1C
-
j 1 L
I m0
解得:
I m
10 0 9.79 11.8o 1 j5 ( j0.2) ( j5 j0.2)
o
I I mo m
10(1).1 多个不同频率正弦电源作用下 线性 电路的稳态响应
根据叠加定理，当电路中包含有多个不 同频率正弦电源（其中可含直流电源） 时，可分别求出各单一频率正弦电源及 支流电源单独作用时电路的稳态响应， 然后叠加。
应注意以下问题：
求各单一频率稳态响应时，可分别采用相量法。
不同频率电源作用时，电感和电容的阻抗是不同的。
j5 25 o Im 10.2 11.8 ( A) j5 j 0.2 24
o ຫໍສະໝຸດ Baidui0 10.2 cos(5t 11.8 )( A)
is 单独作用时电路相量模型如图。
2 4 j2 L j 4 j2C j 4( S ) o I 2 0 ( A)
2 2
2 k
于是有：
I
同样可推得：
I I I I
2 0 2 1 2 2
2 0 2 1 2 2
2 L
U U U U U
2 L
10(1).4 非正弦周期电流电路的平均功率
设非正弦周期电流电路中某一单口 网络的端电流和端电压表达式为：
L
u -
+
i
N
i (t ) I 0 2 I k cos(ak t i k )
第十章(2) 非正弦周期电流电路
线性电路中若有多个不同频率的正弦电 源，或者线性电路中含有非正弦周期电 源，则电路进入稳态后的电流和电压响 应将是非正弦周期函数，称这种电路为 非正弦周期电流电路。
10(1).1 多个不同频率正弦电源作用下线 性电路的稳态响应 10(1).2 非正弦周期电源作用下线性电路 的稳态响应 10(1).3 非正弦周期电流电路中电流和电 压的有效值 10(1).4 非正弦周期电流电路的平均功率 10(1).5 例题
L
其中：ak ( k=1, 2 ,, ) 均为正整数，=2/T 。 则：
I
1 T
T
0
I 0 2 I k cos( ak t k ) dt k 1
L
2
考虑根号内函数：
1 T
T
0
I 0 2 I k cos(ak t k ) dt k 1
10.2 cos(5t 11.8 ) 2.06 cos(4t 14.9 )( A)
o o
i'0 的周期： i''0 的周期：
T1 2 5 0.4
T2 2 4 0.5
i0 的周期 T 是 T1 和 T2 的最小公倍数：
T 5T1 4T2 2
10(1).2 非正弦周期电源作用下线 性电路的稳态响应
直流电源作用时，电感相当于短路，电容相当于开路。
不同频率正弦量的相量求和是无意义的，叠加只能对 瞬时表达式进行。
例：电路如图，已知 us 10cos5t (V ) , is 2 cos4t ( A) ，求 i0
+
。
1Ω
1F
us 1H -
is
i0
解：us 单独作用时电路相量 模型如图。
1 5
ms
1Ω
j 2 L
j
1
I mS
2C
I m0
解得:
o 2 0 I mo
j4 2.06 14.9o ( A) 1 (1 j 4) j 4
2.06cos(4t 14.9o )( A) i0
根据叠加定理，有：
i0 i0 i0
L
2
展开后有如下项：
1 T
1 T
T
0
I 0 dt I 0
2
2
T
0
2I0
2 I k cos( akt k )dt 0
1 T
T
0
2 2 I k cos( akt k ) 2 I q cos( aqt q )dt 0
1 T
T
0
( 2 I k ) cos ( akt k )dt I
其中：a0 为 f(t)的恒定分量（平均值〕；
A 1t 1 ) 为 f(t)的基波分量， 1 cos(
1 2 T
基波频率与f(t) 的频率相同；
Ak是为 f(t)的 k 次谐波的振幅，k 是k 次谐波的 初相位， k 次谐波的频率是基波频率的 k 倍。
非正弦周期电源作用下电路的稳态响应求解
一般步骤： 根据傅立叶级数将非正弦周期电源分解成直流 分量及各次谐波分量，相当于在电路输入端施加 多个等效电压源串联。 分别计算个各次谐波分量单独作用时电路的响 应分量。
由于电路是线性的，根据叠加原理，上述响应 分量的代数和就是非正弦周期电源作用下电路的 稳态响应。
注意问题： 在直流电源激励时，电感器 L 短接，电容器 C 开路。 在 k 次谐波激励时，感抗为 X Lk k1L ，容抗为 X Ck 1 k1C , 感纳为 BLk 1 k1L, 容纳为 BCk k1C.
k 1
L
u(t ) U 0 2 U k cos(ak t u k )
k 1
其中：ak ( k=1, 2 ,, ) 均为正整数。i和 u 的周 期为 T = 2 / 。
周期函数的傅立叶级数展开式 （动画14.1）
设周期函数 f (t )的周期 T ，且满足狄氏条件（在 一周期内绝对可积、在一周期内只有有限个极大 值和极小值、在一周期内只有有限个不连续点）， 则 f (t ) 可展开成级数：
f (t ) a0 Ak cos(k1t k )
k 1
10(1).3 非正弦周期电流电路中电流 和电压的有效值
非正弦周期电流和电压的有效值
周期为 T 的非正弦周期电流 i(t) 的有效值为：
I
1 T
T
0
i 2 (t )dt
若 i(t) 表为恒定分量和 L个不同频率正弦分量的和：
i (t ) I 0 2 I k cos(ak t k )
j1L j5
I m
+
U mS
1Ω
j
1 j j 0.2 1C 10 0o (V ) U
ms
1 1C
-
j 1 L
I m0
解得:
I m
10 0 9.79 11.8o 1 j5 ( j0.2) ( j5 j0.2)
o
I I mo m
10(1).1 多个不同频率正弦电源作用下 线性 电路的稳态响应
根据叠加定理，当电路中包含有多个不 同频率正弦电源（其中可含直流电源） 时，可分别求出各单一频率正弦电源及 支流电源单独作用时电路的稳态响应， 然后叠加。
应注意以下问题：
求各单一频率稳态响应时，可分别采用相量法。
不同频率电源作用时，电感和电容的阻抗是不同的。
j5 25 o Im 10.2 11.8 ( A) j5 j 0.2 24
o ຫໍສະໝຸດ Baidui0 10.2 cos(5t 11.8 )( A)
is 单独作用时电路相量模型如图。
2 4 j2 L j 4 j2C j 4( S ) o I 2 0 ( A)
2 2
2 k
于是有：
I
同样可推得：
I I I I
2 0 2 1 2 2
2 0 2 1 2 2
2 L
U U U U U
2 L
10(1).4 非正弦周期电流电路的平均功率
设非正弦周期电流电路中某一单口 网络的端电流和端电压表达式为：
L
u -
+
i
N
i (t ) I 0 2 I k cos(ak t i k )
第十章(2) 非正弦周期电流电路
线性电路中若有多个不同频率的正弦电 源，或者线性电路中含有非正弦周期电 源，则电路进入稳态后的电流和电压响 应将是非正弦周期函数，称这种电路为 非正弦周期电流电路。
10(1).1 多个不同频率正弦电源作用下线 性电路的稳态响应 10(1).2 非正弦周期电源作用下线性电路 的稳态响应 10(1).3 非正弦周期电流电路中电流和电 压的有效值 10(1).4 非正弦周期电流电路的平均功率 10(1).5 例题