奥数重难点归纳总结(四升五)

本期重难点归纳总结——杨秀情+刘丽娜内容提要数论循环小数数的整除质数与合数几何三角形中的比例关系四边形中的比例关系应用题多人相遇与追及多次相遇与追及牛吃草问题组合构造与论证之组合原理综合运用复杂竖式与数字谜中的最值问题复杂抽屉原理计数综合数学思想从反面情况与特殊情况考虑对应与转化思想数论循环小数 数的整除质数与合数一、循环小数1、小数的基本分类 小数 有限小数无限小数 无限不循环小数(一定不能写成分数形式)纯循环小数循环小数 混循环小数 2、循环小数化分数 (1) 纯循环小数化分数 ①分母中只出现9②分母中9的个数与其循环节的位数对应,分子是一个循环节的数字组成的例:765.0 =99956735.0 =9953(2)混循环小数化分数①分母中出现9和0, 分母中9的个数与其循环节的位数对应,0的个数与小数点后不循环的位数对应②分子是不循环节部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差例:4312.0 = 9900121234-=495061153.0 =90335-=9032=45163、分数化小数的归类(1)如果分数的分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数(2)如果分数的分母不含有质因数2和5，只由2和5以外的质因数组成，那么这个分数一定能化成纯循环小数(3)如果分数的分母既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数二、数的整除1、一个数被常见数整除的特征 2系列被2整除只需看个位能否被2整除 被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推3系列被3整除只需看各位数字之和能否被3整除被9整除只需看各位数字之和能否被9整除5系列被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75被125整除的特征依次类推看末三位7、11、13系列通用特点(1)一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除(2)从右边开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差（大减小）如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数特殊特点被11整除：从右边开始，第奇数位的和与第偶数位的和之差（大减小）是11的倍数2、合数的整除特征判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积的形式，并且这些数两两互质，再分别判断3、试除法在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小（一般为最小）三、质数与合数1、质数: 除了1和它本身，不再有其它的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)2、合数：除了1和它本身，还有其它的约数，这个数叫做合数要特别记住：0和1既不是质数，也不是合数3 、常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个4、两个唯一：2是唯一的偶质数，其余质数都是奇数5是唯一个位为5的质数，即唯一的5的倍数5、除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或96、最小的四位质数是10097、判断一个数是否是质数的方法判断P是否为质数:①找一个大于且接近P的平方数2K②再列出所有不大于K的质数③用这些质数去除P，如没有能够除尽的那么P就为质数例如:判断149是否为质数?149很接近169=13×13比13小的质数:2,3,5,7,11149不能被2,3,5,7,11是质数8、分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数这个质数是这个数的质因数互质数：公约数只有1的两个自然数互质数分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来分解质因数例如：30235=⨯⨯2=⨯⨯=⨯(分解质因数的标准式) 12223239、约数个数定理约数个数:指数加1再相乘几何共边定理三角形中的比例关系 共角定理四边形中的比例关系 蝴蝶定理 梯形蝴蝶定理一、三角形中的比例关系三角形面积=底×高÷2 底相等 看高高相等 看底（特殊：共同顶点） 等底等高 相等1、共边定理（三角形等积变形）内容跟课件的一样，请课件制作人员按照课件的内容来做2、 共角定理（鸟头模型）（1）ADE ABC S AD AES AB AC∆∆⋅=⋅（2）CDE ABC S CD CES BC AC∆∆⋅=⋅（3）沙漏模型：ADE ABC S AD AES AB AC∆∆⋅=⋅二、四边形中的比例关系BCA BCD O ba S 3S 2S 1S 41、蝴蝶模型① 1243S S OA S S OC ==或1423S S OD S S OB==S 1×S 3= S 2×S 4② 1234ABDBCDS S S OA OC S S S ∆∆=++= 1423ADCABCS S S OD OB S S S ∆∆=++=2、梯形蝴蝶模型① ::2213S S a b = ② 24S S =③ ::::::221234S S S S a ab b ab = ④ 梯形面积S 的对应份数是（a+b ）2S 4S 3S 2S 1O DCBA多人相遇与追及应用题多次相遇与追及牛吃草问题一、多人相遇与追及1、行程问题的核心公式路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度2、直线型相遇、追及相遇时间=路程和÷速度和追及时间=路程差÷速度差3、环型相遇、追及相遇：每相遇一次共走1圈追及：每追上一次多走1圈4、解题方法比例：建立设份数的思想方程：找到同一个量的两种表示形式做行程问题一定要画图二、多次相遇与追及相遇时间=路程和÷速度和追及时间=路程差÷速度差相遇：共走路程和本质追及：多走路程差画图分析当次数较多时，可从周期性，规律性出发三、牛吃草问题同一块草地上的牛吃草问题多块草地上的牛吃草问题牛吃草变形题1、牛吃草问题的基本量通常“设1头牛1天吃1份草(1)两个重要角色草：原有草新生草(2) 要想求出答案必须先已知两个量原有的草量每天生长量2、牛吃草问题基本步骤每天长的草量原来有的草量让一些牛去吃每天长的草3、牛吃草变形题：谁相当于草谁相当于牛谁是原有量谁是新生量组合构造与论证之组合原理综合运用复杂竖式与数字谜中的最值问题复杂抽屉原理计数综合一、构造与论证之组合原理综合运用抽屉原理最值原理统筹原理容斥原理抽屉原理把苹果放抽屉里必然有什么结果抽屉苹果1、把4个苹果放到3个抽屉里，必有1个抽屉里至少有2个苹果（出现4个苹果和3个抽屉，然后放进去）2、把10个苹果放到3个抽屉里，必有一个抽屉里至少有4个苹果（出现10个苹果和3个抽屉，然后放进去）最不利原则平均分原则最值原理极限思想任我意法特殊情况统筹原理时间最短花钱最少路程最小容斥原理容包容斥排斥如（手画）这是什么法宝？？韦恩图总结：奇层加，偶层减二、复杂竖式与数字谜中的最值问题1 个位数字分析法2高位数字分析法3 数字估算分析法（结合数位）数字谜的分析方法 4进位借位分析法5 分解质因数法6 奇偶分析法1极限思想最值问题考虑方法 2 假设法3乘积：如果两个数和一定，差小积大三、计数综合枚举法（树形图）解计数问题常用方法加乘原理（标数法）排列组合（有序排列，无序组合）1、枚举法（树形图）2、加乘原理——标数法加乘原理解题步骤1 分类2每一类内部用乘法原理3 各类相加标数法：（手写）确定大方向每点从哪来不能走标03、排列组合1 有序排列，无序组合2 排列数记为：A n m，n为总数,m为参加排列的数目组合数记为：C n m n为总数,m为要选的数目3排列组合的本质乘法原理4排列组合中一些重要的方法排除法优先法捆绑法插空法隔板法数学思想从反面情况与特殊情况考虑对应与转化思想一、从反面情况与特殊情况考虑两大化难为易的法宝：反面情况考虑当正面很难求时用（排除法）特殊情况考虑一般情况难求时用（极限法）二、对应与转化思想①计数问题:两者一一对应,则个数相等对应:一一对应的思想②覆盖问题:寻找关键格,分类对应②大小与求差值问题比大小:有剩余即为多求差值:一一对应的部分抵消后即为差值转化:化繁为简的思想。