第二章 弹塑性断裂力学

x
j
ui, z
x j
ijui, x
ij, j
ui, x
(2.5)
又因为 ij, j 0
所以又可以写为：W x
x j
ijui, x
(2.6)
将式(2.6)带回(2.4)，可知 I 0。
J积分理论
现在考虑ABCDA回路，它由积分回路及加上BC段和DA段组成。即：
I
(Wdy
Ti
ui x
2
xx
yy
2
2 xy
将裂尖附近应力、应变表达式带入上式
W K12 1 1 2 sin 2 cos2
2r 2
2
2
J积分理论
由于J积分与积分路无关，我们可以选以裂纹尖端点为圆心，r为半 径的圆弧作为积分回路，反时针向从裂纹下表面下一点沿弧线积分 至裂纹上表面上一点(P39页图2.2)。
唯一的了；函数W ij 就没有确定的意义了。
(2)要求结构在裂纹附近为小变形。
(3)是无体力条件下的平衡方程。
J积分理论
二、线弹性条件下J积分与K和G的关系
线弹性情况下，应变能密度可写成：
W
d mn
0
ij ij
1 2
mn
mn
考虑平面应变情况，得：
W 1 2E
1
2 xx
2 yy
J积分的第一项:
Wdy
/2
Wr
/ 2
cos d
(1
v)(1 4E
2v)
K2
J积分的第二项(平面应变状态下)：
Tx
ux x
Ty
uy y
ds
1
v3
4E
2v
K2
所以，有源自文库积分：
J
(Wdy
Ti
ui x
ds)
(1
v)(1 4E
2v)
K2
1
v3 2v
4E
K
2
1 v2 E
K2
G
类似的，平面应力状态下有：
图2－1 J积分回路
J积分理论
由于我们研究的是二维问题，nz 0 。ds 为积分回路线的弧长。应
变能密度为：
W (mn )
d mn
0
ij ij
首先证明J积分的守恒性（即其值与积分回路无关）
沿ABCDA不包含裂纹尖端在内的一个闭合回路的积分。此闭合回路 所包围的面积为A，令：
I
Ñ [Wdy
Ti
J积分理论
一、J积分定义及其守恒性
Rice定义J积分为：
J
Wdy
T
u x
Wdy
Ti
ui x
ds
式中， 为包围裂纹尖端的一曲线(图
2向-终1)止，于起裂始纹于上裂表纹面下。表T面r 作，用逆于时积针分方 路径上单位长度上的力，其分量为：
Ti ijni i, j 1, 2, 3,
n 是 回路的外法线单位矢量。
ui x
ds]
应用Green公式，上式可写成：
I
W
x
dxdy
xi
ij
ui x
dxdy
(2.4)
J积分理论
又
W
x
W ij ij x
ij
ij
x
ij
x
1 2
ui,
j u j,i
考虑到 ij ji ，又对 ui 的偏导可以交换求导的顺序，上式可写为：
W
x
ij
第二章 弹塑性断裂力学
主要内容
一、J积分理论 1、J积分定义及其守恒型； 2、线弹性条件下J积分与K和G的关系；
二、裂纹顶端张开位移(COD) 1、按Irwin塑性区求COD；
三、J积分和COD的关系
J积分理论
Rice于1968年提出了一个与积分路径无关的J积分，在弹塑 性断裂力学发展中引起了很重要的作用。它避开了直接计算 在裂纹尖端附近的弹塑性应力、应变场，而用J机返作为表 示裂纹尖端应变几种特性的平均参量。对于服从弹塑形变理 论的材料，可以证明： 1、J积分与积分路径无关； 2、J积分在物理上可解释为变形功的差率； 3、J积分可作为弹塑性含裂纹体断裂准则，即在裂纹起裂时 有J JC，JC为平面应变条件的临界J积分——以J积分表示 的断裂韧度。
(1)
ij
W
ij
(2)
ij
1 2
ui, j u j,i
(3) ij, j 0
(4) ij ji
(1)是塑性力学中形变理论的结果；本质上与非线性弹性理论相
当，即 ij 由 ij 唯一确定，而与加载过程无关。在真实情况下， 意味着不允许发生卸载；因为若发生卸载， ij 与 ij 的关系就不是
ds)
(Wdy '
T
i
ui x
ds)
BC
(Wdy
T
i
ui x
ds)
(Wdy DA
T
i
ui x
ds)
(2.7)
由于在BC和DA段上dy 0及 Ti 0，所以(2.7)中后两个积分为零,即：
J
(Wdy
Ti
ui x
ds)
(Wdy '
T
i
ui x
ds)
所以J积分与路径无关。
J积分理论
J积分使用范围的前提条件：
E
并考虑到：COD 2v
得到：
4 E
a rp*
2
a2
4 E
2arp*
2
将
rp*
1 2
K I ys
带入上式，得：
4
K
2 I
E ys
(当 C时，发生破坏)
J积分和COD的关系
利用J积分值与积分回路无关的这一特性，通过Dugdale模型求J积分 和COD的关系，得到如下表达式：
J
1 E
K2
G
裂纹顶端张开位移(COD)
COD断裂准则：当裂纹顶端张开位移达到其临界值值，裂纹将会起裂
扩展，断裂准则可写成：
c COD是在真实裂纹顶端位移的虚拟裂纹的张开位移。 按Irwin塑性区求COD: 有效裂纹长度为真实裂纹长度与塑性区半径之和，即：
aeff a rp*
由式(1.19)知： v 2 a2 x2
J ys
其中 为裂纹尖端张开位移，即COD。
但Dugdale模型过于简化，实际上许多材料都存在硬化现象。由实验 和有限元计算证明，J积分与COD之间存在更一般的关系：
J k ys
其中k的值约在1.1～2.0之间，其数值主要由试件的几何形状、约束 条件和材料的硬化特性等决定。
第二章结束