第二章 弹塑性断裂力学
弹塑性断裂理论简介
弹塑性断裂理论简介线弹性断裂力学是建立在线弹性力学基础上的，传统断裂力学理论认为，它没能考虑裂纹尖端附近塑性性区的影响，因而只适用于高强度（钢）脆性材料，对于工程中大量使用的中、低强度钢等具有较好塑性的材料是不适用的。
为了将应力强度因子推广到裂纹尖端有小范围塑性区的情况，人们推出了应力强度因子塑性区的修正方法，但适用性并不理想。
为了研究塑性材料的断裂问题，又产生了断裂力学的另一个分支——弹塑性断裂力学。
1. COD 原理及其判据Wells 根据裂纹尖端附近产生大范围屈服时，在裂纹尖端出现钝化，裂纹侧面随着外载增加逐渐张开的现象，提出来是否可用裂纹尖端的张开位移作为控制裂纹失稳扩展的参量。
裂纹的张开位移定义为承受外载情况下裂纹体的裂纹尖端沿垂直于裂纹方向产生的位移，一般用δ表示。
在裂纹失稳扩展的临界状态下，临界的COD 用c δ表示。
c δ也是材料的断裂韧性，是通过实验测定的材料常数。
COD 原理的基本思想是:把裂纹体受力后裂纹尖端的张开位移δ作为一个参量，而把裂纹失稳扩展时的临界张开位移c δ作为材料的断裂韧性指标，用c δδ=这个判据来确定材料在发生大范围屈服断裂时构件工作应力和裂纹尺寸间的关系。
2. J 积分理论1968年，Rice 提出了J 积分理论。
对于二维问题，J 积分的定义如下:⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-Γ=ds x v T x u T Wdy J y x （2-1） Γ--积分回路;ds --Γ上的弧元素;W --应变能密度;y x T T ,--应力分量;v u ,--位移分量;其中，积分回路的起点和终点分别位于裂纹的下表面和上表面，为逆时针回路，如图2-1所示。
J 积分的单位为MPa* mm 。
图2-1 裂纹尖端J 积分路径J 积分是围绕裂纹尖端的闭合曲线积分，在线弹性情况下有:E2I I K G J == （平面应力） （2-2） )1(E22I I v K G J -== （平面应变） （2-3） J 积分断裂准则可表述为:c J J = （2-4）其中，Jc 为裂纹扩展达到临界状态时的J 积分临界值。
弹塑性断裂力学概述及COD理论
指导老师： 王吉会教授
目录
弹塑性断裂力学的提出
弹塑性断裂力学的一种计算方法—— COD理论
对比COD和J积分理论
实际中弹塑性断裂力学的运用
第一章
弹塑性断裂力学的提出
线弹性 断裂力 学
小范围屈 服的金属 材料
脆性材料 高强度钢 大范围屈 服
弹塑性断 裂力学
全面屈服
COD理论与J积分对比
COD理论
计算简单，所得到的一些经 验公式能有效的解决工程实 际问题
在中、低强度钢焊接结构和 压力容器断裂分析中应用广 泛
第三章
J积分理论
计算复杂，但理论更严谨， 直接
已用于发电工业，特别是核 动力装置中材料的断裂准则
实际中的应用： 基于复合梁的钢桥面铺装断裂判 据及疲劳寿命的研究
研究方法
以复合梁为研究对象，从断裂力学的基本理论入手，
通过室内复合梁三点弯曲试验研究桥面铺装复合结构 的COD断裂参数，并建立COD断裂判据；（见论文中 第二章） 利用数值分析方法，选取三种不同复合梁尺寸研究桥 面铺装断裂参数的尺寸效应，并分析COD设计曲线在 铺装安全裕度评价中的应用；（见论文中第三章）
环氧青混凝土低温性能，
同时进行了SMA试件和AC改性沥青混合料试件的对比 试验，试验结果如图2.6
环氧沥青混凝土的塑性特征
根据环氧沥青混凝土的低温
性能可知，它不是一种完全 的弹性变形材料，其断裂特 性随着温度变化会有很大的 不同，并且以5℃为分界点。 因此文中采用弹塑性断裂力 学理论来研究钢桥面铺装的 断裂判据。
研究内容：
钢桥面铺装主要用于提高行车的舒适性和钢桥面 的耐久性，如何延长其使用寿命是钢桥面铺装设计的 重要内容。然而开裂却大大限制了其服役寿命。因此 钢桥面铺装层裂缝的萌生及扩展机理、铺装的剩余寿 命等断裂力学问题成为学术界和工程界关注的焦点。
弹塑性断裂力学
1)回路积分定义，围绕裂尖周围区域的应力、 应变和位移场所组成的围线积分(场强度)。
2)形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对 试样所作的形变功率(实验测定)。
4 J积分
二、J积分回路定义及守恒性
1．J积分回路定义
J Γwdx2Ti u x1i ds
B
G：围绕裂尖一条任意逆时针回 A
2)Paris位移公式
在裂纹面需求张开位移点虚加一对力F1，则
limV
F10 F1 在恒载荷作用下(单位厚度板)
G I V a F V ( F ， F 1 ， ) V 0 ( F ， F 1 ) 0 G I d a
V0(F， F1)为无裂纹体应变能，为裂纹扩展长度
2 基本假定和应用范围
承认结构中含有宏观裂缝，而远离裂缝缝端的广大区域仍假定为均匀连续体。既 均匀性假设仍成立，但仅在缺陷处不连续。断裂力学应用的前提是结构发生低应力脆 断，故其应用范围是，材料本身的微观结构对脆断敏感，且有拉（剪、扭）应力在起 用的带宏观裂缝的缺陷体。可见，断裂力学只处理和裂缝有关的问题，不可代替传统 的强度设计和校核，只是在出现宏观裂缝的条件下对传统理论的补充和发展。
2 裂尖塑性区的形成
➢ 上述塑性区尺寸按Irwin弹性应力 场公式得到， y 0 曲线如右图虚 线ABC所示。实际上，由于材料
y A
塑性变形，导致塑性区内应力重 新分布，产生应力松弛。考虑静
ys D B E
力平衡，应力松弛必然引起塑性
区扩大。对于理想塑性材料
， ymax
ys
如图中实线所示
➢ 根据力平衡，曲线AB下的面积
ys x
塑性区尺寸
R c a a s2 π es c 1 a 2 2 π s 2 π 8 K s I 2
断裂力学 弹塑性断裂力学共49页
Hale Waihona Puke 40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
断裂力学 弹塑性断裂力学
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
弹塑性断裂力学
思考题
线弹性断裂力学的局限性
材料的弹塑性问题
线弹性的适用范围
测试工作的要求
线弹性断裂力学的局限性
材料的弹塑性问题
实际材料的应力应变关系-低碳钢
应 力
塑性 应变
载荷增大
线弹性断裂力学的局限性
线弹性的适用范围
线弹性力学是建立在小范围屈服的基础上的
当裂纹尖端的塑性区尺寸比裂 纹尺寸或其它特征几何尺寸小 K主导区
E E 2 平面应变 1
c 8 s a c ln sec 2 E s
D-B模型塑性区宽度：
适用情况：
(1) 无限大板穿透裂纹体； (2) 材料被认为是理想弹塑性材料
R a(sec 1) 2 s
(3) =s, ,不适用于整体屈服 (4) (σ/σs)≤0.6的小范围到大范围屈服。
线弹性断裂力学的局限性
测试工作的要求
在测试材料的KIC时,为保证平面应变和小范围 屈服,要求试样厚度
B ≥ 2.5 K I s
如：中等强度钢 要求B=99mm
2
试样太大，浪费材料 一般试验机很难做到
线弹性断裂力学的局限性
弹塑性断裂力学的提出
对于塑性变形占很 大比重的弹塑性断 裂体的断裂问题 用小试样测试 KIC的问题
a
a*
2V
O O’
ry
原裂尖点处的张开位移就是COD(或）
COD参量及其计算
平面应变 沿y方向的位移 o点的坐标为：
KI V E
2r
sin
2 1 cos 2 2
2
1 r ry 2
KI s
第2章断裂力学4塑性区及修正
①特雷斯卡（Tresca）假设
最大剪应力是屈服的控制因素
即•1 2 c•,••2 3 c, •3 1 c 时，
材料屈服，屈服函数为：
f * [(1 2 )2 c2 ][( 2 3)2 c2 ][( 3 1)2 c2 ] 0
在主应力空间是六棱柱，在 1 2 平面是六边形
2
KⅠ2
2 s
同学验证
2024/8/5
27-17
塑性区形状
r r0
cos2
2
1
3
sin
2
2
当 0时,
r0
1
2
KⅠ2
2 s
平面应力 情况
塑性区形状
平面应变 情况
μ=0.1， 0.3，0.5
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塑性区形状
若是平面应变， z 3 0
3
1 E
[ 3
( 2
1 )]
a M P KⅠ
MP
1
2
1
s
塑性区修正因子
27-25
2024/8/5
27-26
••1 x y
2
2
(
x
2
y
)2
2 xy
••1 2
KⅠ
2 r
cos
2
1 sin
2
27-16
无穷大板双向受拉Ⅰ型裂纹
平面应力时Mises屈服条件是：
( 1
2)2
2 2
2 1
2
2 s
或 : •12
1 2
2 2
2 s
代入得：
r
KⅠ2
2
2 s
cos2
2
1 3sin2
弹塑性断裂力学
A
A
x
R
2a R
2c
COD参量及其计算
利用弹性化理论分析方法证明：
原裂纹尖端的张开位移（COD）
8a s ln sec( )
E
2 s
裂纹开始扩展的临界张开位移：
E E 平面应力
E
1
E
2
平面应变
c
8 sa E
ln
s
ec
2
c s
D-B模型塑性区宽度：
R a(sec 1) 2 s
适用情况：
弹塑性断裂力学
COD方法
J积分方法
阻力曲线等方法
主要内容
线弹性断裂力学的局限性 COD参量及其计算 J积分原理及全塑性解 各断裂参量之间的关系 断裂分析在有限元软件中处理方法 思考题
COD参量及其计算
COD的定义和基本思想 小范围屈服条件下的COD D-B带状屈服模型的COD 全屈服条件下的COD判据
极好的量度。
•英国、日本焊接验收标准 •我国压力容器缺陷验收标准
y R
o
O
a 2 v
COD参量及其计算
COD的基本思想
把裂纹体受力后裂纹尖端的张开位移作为一个参量， 建立这个参量与外加应力（或应变e）和裂纹长度a的 关系，计算弹塑性加载时裂纹尖端的张开位移，然后 把材料起裂时的c值作为材料的弹塑性断裂韧性指标。 利用＝c作为判据判断是够是否发生破坏。
y R
o
O
a 2 v
是裂纹开始扩展的判据,不是 裂纹失稳扩展的断裂判据
应力松弛引起的裂纹体刚度下降与裂纹 长度增加的效果是一样的
COD参量及其计算
小范围屈服条件下的COD
等效裂纹长度 a*=a+ry
断裂力学基础
断裂力学基础目 录第一章 绪论第二章 线弹性断裂力学 第三章 弹塑性断裂力学 第四章 疲劳裂纹扩展第五章 复合型裂纹的脆性断裂理论 附 录 弹性力学基础第一章 绪 论ssss2a2bss2a?一、引例][s s ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b a 21maxs s Inglis(1913)用分子论观点计算出绝大部分固体材料的强度103MPa ，而实际断裂强度100MPa ？——材料缺陷第一章 绪论第一章 绪论 二、工程中的断裂事故1．1860~1870英国铁路事故死200人/年；2．1938年3月14日比利时费廉尔大桥断成三节，1947~1950比利时又有14座大桥脆性破坏； 3．美国二次大战期间2500艘自由轮，700艘严重破坏，其中145艘断成两段，10艘在平静海面发生。
同时期大量的战机事故——广泛采用焊接工艺和高强度材料； 4．1954年1月10日英国大型喷气民航客机彗星号坠落，同时期共三架坠落；二、工程中的断裂事故5．1958美国北极星号导弹固体燃料发动机壳体爆炸； 6．1969年11月美国F3左翼脱落； 7．1972年我国歼5坠毁；8．近年来桥梁、房屋、锅炉和压力容器、汽车等第一章 绪论二、工程中的断裂事故 第一章 绪论 二、工程中的断裂事故9．2007年11月2日美国F15 空中解体；第一章 绪论三、断裂力学发展简史1．1913年，C. E. Inglis(英格列斯)将裂纹(缺陷)简化为椭圆形切口，用线弹性方法研究了含椭圆孔无限大板受均匀拉伸问题——按应力集中观点解释了材料实际强度远低于理论强度是由于固体材料存在缺陷的缘故。
2．1921 年，A. A. Griffith(格里非斯)用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题，提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则，成为线弹性断裂力学的核心之一—能量释放率准则。
第一章 绪论 三、断裂力学发展简史3．1955~1957年，G. R. Irwin(欧文)通过对裂尖附近应力场的研究，提出了新的断裂参量—应力强度因子，并建立断裂判据，成为线弹性断裂力学的另一核心—应力强度因子断裂准则。
断裂力学 弹塑性断裂力学
和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区 交界面上作用有均匀分布的屈服应力 s .
假想：挖去塑性区 在弹性区与塑性区的界面上加上均 匀拉应力 s 线弹性问题 裂纹尖端的应力强度因子
K Ic K I(1) K I( 2) c 2 s a c
c arccos
又
K I2 1 GI ' ' ( K IP K IF ) 2 E E
虚力Ｆ在裂纹尖端产生的应力强度因子
外力Ｐ在裂纹尖端产生的应力强度因子
10
U 0 1 U 2 lim lim[ ( K K ) ]da IP IF F F F E ' F 0 F 0 0 U K 2 lim( 0 ) lim ( K IP K IF ) IF da F F F 0 F 0 0 E '
4 K I ry v E 2 1 KI 2 ry ( ) 2 s
4 K I2 4GI 2v E s s
—小范围屈服时的COD计算公式
5
§4.2
D－B带状塑性区模型的COD
D－B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖端两端延 伸呈尖劈带状。塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹
弹塑性断裂力学
1
线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学 大范围屈服:端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸，
如：中低强度钢制成的构件． 全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的 接管部位.
2
弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以
弹塑性断裂力学
《弹塑性断裂力学》一、断裂力学研究现状与进展断裂力学是近几十年才发展起来的一支新兴学科，也是固体力学的新分支，是二十世纪六十年代发展起来的一门边缘学科。
它从宏观的连续介质力学角度出发，研究含缺陷或裂纹的物体在外界条件作用下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传播和止裂规律。
断裂力学应用力学成就研究含缺陷材料和结构的破坏问题，由于它与材料或结构的安全问题直接相关，因此它虽然起步晚，但实验与理论均发展迅速，并在工程上得到了广泛应用。
它不仅是材料力学的发展与充实，而且它还涉及金属物理学、冶金学、材料科学、计算数学等等学科内容。
断裂力学的创立对航天航空、军工等现代科学技术部门都产生了重大影响。
随着科学技术的发展，断裂力学这门新的学科在生产实践中得到越来越广泛的应用。
断裂力学包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、刚塑性断裂力学、粘弹性断裂力学、断裂动力学、复合材料断裂力学等分支。
断裂力学的发展主要是线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、断裂动力学这三种经典断裂力学的发展。
1921年,Griffith用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题，提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则。
1955年，Irwin用弹性力学理论分析了裂纹尖端应力应变场后提出了对于三种类型裂纹尖端领域的应力场与位移场公式。
弹塑性断裂与脆性断裂不同，在裂纹开裂以后出现明显的亚临界裂纹扩展(稳态扩展),达到一定的长度后才发生失稳扩展而破坏.而脆性断裂无明显的临界裂纹扩展，裂纹开裂与扩展几乎同时发生。
弹塑性断裂准则分为两类，第一类准则以裂纹开裂为根据，如COD准则，J积分准则；第二类准则以裂纹失效为根据，如R阻力曲线法，非线性断裂韧度G法。
1965年Wells在大量实验的基础上，提出以裂纹尖端的张开位移描述其应力、应变场。
1968年,Rice提出了J积分理论.以J积分为参数并建立断裂准则。
弹塑性断裂力学的重要成就是HRR解。
硬化材料I型裂纹尖端应力应变场的弹塑性分析是由Hutchinson，Rice与Rosengren(1968)解决的,故称为HRR理论。
(整理)弹塑性断裂力学
弹塑性断裂力学在断裂力学差不多节课的时候，我们开始上弹塑性力学。
而此之后就要求学一个有关断裂力学的文章，顺其自然的我就想到了二者之间应该有着某种联系，而已材料力学时单轴拉伸试验给我一个很重要的的思想就是材料的破坏是在弹性到塑性再到很大的材料应变最后破坏。
断裂是破坏的一种这样，这样就很容易的把断裂与弹塑性联系在一起。
虽然这里的联系我说的似乎有点牵强附会，或者只是从一些文字表面的理解所做的判断。
为此我就专门去网上搜了一下，果然有一个力学分支叫做弹塑性断裂力学。
于是大略的知道了什么叫做弹塑性断裂力学，其所依据的理论研究是什么，主要应用等等。
大范围屈服断裂或简称弹塑性断裂(“普遍屈服断裂”及“屈服后断裂”也是常见的称法)，指的是塑性区尺寸已经接近或显著超过裂纹尺寸的断裂，和高强度材料的小范围屈服断裂或低应力脆性断裂相似，也是工程结构中常见的断裂型式，因而是工程断裂力学的一个重要研究对象。
这个是一篇文章中的一个论断，由此可知弹塑性断裂力学所研究的对象是大范围的屈服断裂。
但是大范围的屈服断裂研究也可以通过线弹性断裂力学方法加入塑性区修正，但是对于很多的问题这个方法并不适用。
由此就提出了弹塑性断裂力学。
不同的情况需要不同分析方法和断裂判据。
例如，长条屈服区模型(或D一M摸型)法，裂纹顶端张开位移法(简称COD法)，J积分方法，最大断裂应力判据以及其他半经验分析方法等等。
由于J积分是一个应力形变场强度的参量，有较严密的力学理论基础，试验测定方法比较简单可靠，又可以利用有限元法和计算技术进行计算，并且，如本文中将抬出的，它为口前在工程界获得广泛应用的COD方法和D 一M模型法提供了有效的理论根据和分析手段。
不过有的文章中也有把COD法写作CTOD的。
COD法是弹塑性断裂力学中以裂纹顶端的张开位移作为断裂准则的一个近似的工程方法，是英国的A。
A。
韦尔斯于1963年提出的。
COD是英文crack opening displacement（意为裂纹张开位移）三字的缩写。
《弹塑性断裂力学》课件
断裂判据
03
应力强度因子、能量释放率。
03
弹塑性断裂力学分析方法
线弹性断裂力学分析方法
适用于裂纹张开位移较小 的裂纹扩展
裂纹扩展时，裂纹尖端应 力场不变
裂纹尖端附近应力场呈奇 异性
裂纹扩展时，裂纹尖端应 力场呈奇异性
弹塑性断裂力学分析方法
适用于裂纹张开位移较大的 裂纹扩展
裂纹尖端附近应力场呈奇异 性
复合材料的断裂分析
01
复合材料的断裂分析是弹塑性断裂力学在工程中的另一个重要应用。
02
复合材料由多种材料组成，其断裂行为较为复杂，需要考虑不同材料 之间的界面效应和应力传递机制。
03
复合材料的断裂分析主要应用于航空航天、汽车、船舶、建筑等领域 的结构强度和寿命评估。
04
复合材料的断裂分析方法包括实验测试、数值模拟和理论分析等，其 中数值模拟方法包括有限元分析和离散元分析等。
高分子材料的断裂分析
高分子材料的断裂分析是另一 个重要的应用领域。
高分子材料具有粘弹性和韧性 ，其断裂行为较为复杂，需要 考虑高分子链的取向、结晶度
、温度等因素。
高分子材料的断裂分析主要应 用于塑料、橡胶、纤维等材料 的强度和耐久性评估。
高分子材料的断裂分析方法主 要包括实验测试和数值模拟， 其中数值模拟方法包括有限元 分析和分子动力学模拟等。
和规律，为复合材料的设计和应用提供理论支持。
高分子材料的冲击断裂分析
总结词
高分子材料在冲击作用下会发生断裂，其断 裂行为受到分子链结构、温度、应变速率等 因素的影响。
详细描述
高分子材料的冲击断裂分析主要研究高分子 材料在受到冲击作用时的断裂行为和机理。 高分子材料在冲击作用下会发生断裂，其断 裂行为受到分子链结构、温度、应变速率等 因素的影响。通过实验和数值模拟，可以深 入了解高分子材料冲击断裂行为的机理和规 律，为高分子材料的设计和应用提供理论支
弹塑性断裂力学的J积分理论
弹塑性断裂力学的J积分理论
目录
断裂力学背景 J积分理论应用 全文总结
一、背景
断裂力学
线弹性断裂 弹塑性断裂
Dugdale理论
J理论
COD理论
有限元法
边界元法
无网格法
小波数值法
对材料和结构的安全性评估
一、背景
理论发展
1960年Dugdale 运用 Muskhelishvil i的方法，研究 了裂纹尖端的 塑性区 (D-M模型)
一、背景
计算理论4：
小波理论作为一种新的数学工具正在迅速的发展起来，被广泛应 用于信号处理、图像压缩、模式识别、微分方程求解等。他以同时 在时频两空间具有良好的局部化性质而优于傅立叶分析，并可以随 着小波空间的提高聚焦到对象的任意细节，这对奇异性分析具有重 要的意义，小波分析已用于奇异性探测、微分方程数值求解等方面。 小波数值方法是一种较新的数值方法，目前用于断裂力学问题的研 究还处于初始阶段。
一、背景
计算理论3：
无网格法起源于20世纪80年代，现在已经得到工程界的广泛关 注。该方法将整个求解域离散为独立的节点，而无须将节点连成单 元，它不需要划分网格，从而克服了有限元法在计算过程中更新网 格很麻烦的缺陷。另外，无网格法只需要计算域的几何边界点及计 算点，不需要单元信息，因此具有边界元的优点，而且无网格法的 基本方程和数学基础与有限元法相同，所以它又具有有限元法的优 点，还具有比边界元法更广泛的应用范围。
二、J积分理论应用
高组配焊接接头表面裂纹积分试验研究
试验原理：
1.焊接表面裂纹本质上属于三维裂纹体，积分公式如下：
2.对于半椭圆的表面裂纹，其最深点最有最大的J积 分值，即最容易引起裂纹和扩展。 3.理论表明：裂纹最深点的JA和JГ 积分相比较小。
疲劳与断裂力学弹塑性断裂力学基础PPT课件
由
8s E
a
ln[sec(2和s )]
ln[sec(2s
)]
22 8s2
故在小范围屈服时，平面应力的CTOD成为：
2 a
K
2 1
s E s E
在发生断裂的临界状态下，K1=K1c，=c。故上式给出了平面应力情况下， 小范围屈服时c与材料断裂韧性K1c的换算关系。
写为一般式：
K
2 1
s E
一j积分与能量释放率的关系线弹性平面应变条件下应变能密度为122211ijij又i型裂纹尖端的应力分量第三节第三节jj积分与其它参数的关系积分与其它参数的关系2112wrwdxsincos2111sincos2212coscossinsincossinsincossinsindsrd二j积分和cod的关系1小范围屈服条件下的j和cod关系在平面应力条件下irwin提出小范围屈服的cod计算公式2dugdale塑性区模型导出的j和cod关系dugdale模型为一个弹性化的模型塑性区为广大弹性区所包围满足积分守恒的条件
，此板的总势能为 。
引起的。ΠI
Π ΠII ΠI
a
( Ua0 a a
是缺口长度不同造成的势能差别率。这就是 J 的形变功定义。
可以看到：
1）J的定义对材料的应力-应变关系没有任何要求，所以J积分适用于弹性体（线弹 性体和非线性弹性体）和塑性体的单调加载（无卸载）情况。
周边，可能只有弹性应力和应变），简单地求得 J。
第25页/共58页
二、弹塑性裂纹尖端的应力场
与靠近裂纹尖端处行为相关的奇异场解是断裂力学发展中的核心问题。1968 年 Rice 提出 J 积分概念后，Hutchinson、Rice 等人，导出了弹塑性材料裂尖应 力应变场的表达式，即 HRR 理论，使断裂力学从线弹性发展到了弹塑性。
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J积分的第一项:
Wdy
/2
Wr
/ 2
cos d
(1
v)(1 4E
2v)
K2
J积分的第二项(平面应变状态下)：
Tx
ux x
Ty
uy y
ds
1
v3
4E
2v
K2
所以，有J积分：
J
(Wdy
Ti
ui x
ds)
(1
v)(1 4E
2v)
K2
1
v3 2v
4E
K
2
1 v2 E
K2
G
类似的，平面应力状态下有：
ds)
(Wdy '
T
i
ui x
ds)
BC
(Wdy
T
i
ui x
ds)
(Wdy DA
T
i
ui x
ds)
(2.7)
由于在BC和DA段上dy 0及 Ti 0，所以(2.7)中后两个积分为零,即：
J
(Wdy
Ti
ui x
ds)
(Wdy '
T
i
ui x
ds)
所以J积分与路径无关。
J积分理论
J积分使用范围的前提条件：
ui x
ds]
应用Green公式，上式可写成：
I
W
x
dxdy
xi
ij
ui x
dxdy
(2.4)
J积分理论
又
W
x
W ij ij x
ij
ij
x
ij
x
1 2
ui,
j u j,i
考虑到 ij ji ，又对 ui 的偏导可以交换求导的顺序，上式可写为：
W
x
ij
图2－1 J积分回路
J积分理论
由于我们研究的是二维问题，nz 0 。ds 为积分回路线的弧长。应
变能密度为：
W (mn )
d mn
0
ij ij
首先证明J积分的守恒性（即其值与积分回路无关）
沿ABCDA不包含裂纹尖端在内的一个闭合回路的积分。此闭合回路 所包围的面积为A，令：
I
Ñ [Wdy
Ti
J ys
其中 为裂纹尖端张开位移，即COD。
但Dugdale模型过于简化，实际上许多材料都存在硬化现象。由实验 和有限元计算证明，J积分与COD之间存在更一般的关系：
J k ys
其中k的值约在1.1～2.0之间，其数值主要由试件的几何形状、约束 条件和材料的硬化特性等决定。
第二章结束
2
xx
yy
2
2 xy
将裂尖附近应力、应变表达式带入上式
W K12 1 1 2 sin 2 cos2
2r 2
2
2
J积分理论
由于J积分与积分路无关，我们可以选以裂纹尖端点为圆心，r为半 径的圆弧作为积分回路，反时针向从裂纹下表面下一点沿弧线积分 至裂纹上表面上一点(P39页图2.2)。
x
j
ui, z
x j
ijui, x
ij, j
ui, x
(2.5)
又因为 ij, j 0
所以又可以写为：W x
x j
ijui, x
(2.6)
将式(2.6)带回(2.4)，可知 I 0。
J积分理论
现在考虑ABCDA回路，它由积分回路及加上BC段和DA段组成。即：
I
(Wdy
Ti
ui x
J积分理论
一、J积分定义及其守恒性
Rice定义J积分为：
J
Wdy
T
u x
Wdy
Ti
ui x
ds
式中， 为包围裂纹尖端的一曲线(图
2向-终1)止，于起裂始纹于上裂表纹面下。表T面r 作，用逆于时积针分方 路径上单位长度上的力，其分量为：
Ti ijni i, j 1, 2, 3,
n 是 回路的外法线单位矢量。
第二章 弹塑性断裂力学
主要内容
一、J积分理论 1、J积分定义及其守恒型； 2、线弹性条件下J积分与K和G的关系；
二、裂纹顶端张开位移(COD) 1、按Irwin塑性区求COD；
三、J积分和COD的关系
J积分理论
Rice于1968年提出了一个与积分路径无关的J积分，在弹塑 性断裂力学发展中引起了很重要的作用。它避开了直接计算 在裂纹尖端附近的弹塑性应力、应变场，而用J机返作为表 示裂纹尖端应变几种特性的平均参量。对于服从弹塑形变理 论的材料，可以证明： 1、J积分与积分路径无关； 2、J积分在物理上可解释为变形功的差率； 3、J积分可作为弹塑性含裂纹体断裂准则，即在裂纹起裂时 有J JC，JC为平面应变条件的临界J积分——以J积分表示 的断裂韧度。
E
并考虑到：COD 2v
得到：
4 E
a rp*
2
a2
4 E
2arp*
2
将
rp*
1 2
K I ys
带入上式，得：
4
K
2 I
E ys
(当 C时，发生破坏)
J积分和COD的关系
利用J积分值与积分回路无关的这一特性，通过Dugdale模型求J积分 和COD的关系，得到如下表达式：
J
1 E
K2
G
裂纹顶端张开位移(COD)
COD断裂准则：当裂纹顶端张开位移达到其临界值值，裂纹将会起裂
扩展，断裂准则可写成：
c COD是在真实裂纹顶端位移的虚拟裂纹的张开位移。 按Irwin塑性区求COD: 有效裂纹长度为真实裂纹长度与塑性区半径之和，即：
aeff a rp*
由式(1.19)知： v 2 a2 x2
唯一的了；函数W ij 就没有确定的意义了。
(2)要求结构在裂纹附近为小变形。
(3)是无体力条件下的平衡方程。
J积分理论
二、线弹性条件下J积分与K和G的关系
线弹性情况下，应变能密度可写成：
W
d mn
0
ij ij
1 2
mn
mn
考虑平面应变情况，得：
W 1 2E
1
2 xx
2 yy
(1)
ij
W
ij
(2)
ij
1 2
ui, j u j,i
(3) ij, j 0
(4) ij ji
(1)是塑性力学中形变理论的结果；本质上与非线性弹性理论相
当，即 ij 由 ij 唯一确定，而与加载过程无关。在真实情况下， 意味着不允许发生卸载；因为若发生卸载， ij 与 ij 的关系就不是