《生物数学》 正弦级数和余弦级数
正弦级数与余弦级数
π
O
π
x
−1
8
代入得 f ( x ) 的正弦级数展开式，得 的正弦级数展开式，
π π 2 1 − sin 4 x + ⋯ x + 1 = (π + 2)sin x − sin 2 x + (π + 2)sin 3 x 4 2 3 π
(0 < x < π).
注： 级数的和为零， 它不代表原函数的值。 级数的和为零， 它不代表原函数的值。 在端点 x = 0 及 x = π 处， 而是该级数收敛于0. 而是该级数收敛于 ? y 偶延拓： 再求余弦级数。 对函数进行偶延拓 再求余弦级数。 对函数进行偶延拓： 余弦级数 2 π 2 π a n = ∫ f ( x )cos nxdx = ∫ ( x + 1)cos nxdx
(− ∞ < x < +∞ ; x ≠ ± π ,±3π ,⋯).
5
例2 将周期函数
t u(t ) = E sin 2
y
展开成傅立叶级数, 其中E 是正的常数. 展开成傅立叶级数 其中 是正的常数 解
O
x
所给函数满足收敛定理的条件， 它在整个数轴上连续， 因此 所给函数满足收敛定理的条件， 它在整个数轴上连续，
2 x cos nx sin nx 2 = − + 2 = − cos nπ π n n 0 n 2 n +1 = (− 1) , (n = 1 ,2 ,3 ,⋯). n 则 f ( x ) 的傅立叶级数展开式为
π
1 1 (− 1)n+1 sinnx + ⋯ f ( x) = 2sinx − sin2x + sin3x −⋯+ 2 3 n
正弦级数和余弦级数
正弦级数和余弦级数在数学中是两种非常重要的级数，它们是函数在区间 $[-\pi, \pi]$ 上的 Fourier 级数，常用于分析和表示周期性现象。
本文将详细介绍的定义、性质以及应用。
一、正弦级数正弦级数可以表示为：$$\frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \sin(nx),$$其中 $a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$ 都是常数，而 $x$ 是角度（或弧度），并且满足 $-\pi \leq x \leq \pi$。
在正弦级数中，每一项都是正弦函数的倍数，这些正弦函数的频率从 $1$ 开始，逐渐增加。
根据 Fourier 级数的理论，只要一个函数$f(x)$ 是周期性的，那么它就可以被表示为正弦级数的形式。
正弦级数有许多性质和应用，下面我们分别来介绍一下。
1. 正弦级数的系数在正弦级数中，系数 $a_n$ 可以用以下公式计算：$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(n x) \operatorname{d} x.$$这个公式叫做正弦级数的系数公式。
它的物理意义是将周期为 $2\pi$ 的周期信号 $f(x)$ 按照频率 $n$ 分解为若干个正弦信号的叠加，系数 $a_n$ 就是 $f(x)$ 中包含频率为 $n$ 的正弦信号的强度大小。
此外，由于正弦函数是奇函数，所以正弦级数系数满足 $a_{-n} = -a_n$。
2. 正弦级数的收敛性我们知道，对于周期为$2\pi$ 的周期函数$f(x)$，它可以用Fourier 级数展开，即可以表示为正弦级数的形式。
那么问题来了，这个正弦级数是否一定收敛呢？答案是肯定的，事实上，对于任何一个周期为 $2\pi$ 的周期函数 $f(x)$，它对应的正弦级数都是收敛的。
而且，这个级数的和函数 $S(x)$ 也是周期为 $2\pi$ 的函数。
10(7.8)傅里叶级数_正弦_余弦级数解析
4
( t , t 0)
11
傅里叶(Fourier)级数
设想
一个较复杂的周期运动(如矩形波)分解
为简谐振动的迭加. 会给分析问题带来方便. 反映在数学上,是把一个复杂的周期函数 f(t)
nt n )的迭加, 即 表示为各类正弦函数 Ansin(
A0 An sin( nt n )
21
傅里叶(Fourier)级数
狄利克雷(德)1805-1859 2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件 (收敛定理) 定义 若 f ( x)在区间a, b上 只有有限个单调区间,
则称 f ( x)在区间a, b上 逐段单调.
即,只有有限个极值点.
22
傅里叶(Fourier)级数
2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件 (收敛定理) 设函数 f ( x )是周期为 2的周期函数 , 它在 区间[ , ]上满足条件 :
1 2 an 0 f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) 2 1 b f ( x ) sin nxdx , ( n 1,2,) n 0
由这些系数作成的三角级数
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
利用三角函数系的正交性 两边同乘 cosnx, 再从 到逐项积分 Nhomakorabea
a0 f ( x ) cos nxdx cos nxdx 2
[ak cos kx cos nxdx bk sin kx cos nxdx ] k 1 kn 0 an cos 2 nxdx an 1 an f ( x ) cos nxdx ( n 1,2,3,)
高中数学重要知识点详细归纳
高中数学重要知识点详细归纳近年来，随着国内高中教育的改革和提升，高中数学日益成为学生所关注的一个重点科目。
而在学习高中数学的过程中，掌握重要的知识点是非常关键的，因为这些知识点是后续学习的基础和重点。
下面，将从教材中摘选出一些比较重要的知识点，简要地进行归纳和分析，以便高中学生能够更好地掌握数学的本质和精髓。
一、三角函数三角函数是高中数学中一个非常重要的知识点，它是许多数学领域的重要基础。
学习三角函数，不仅能够帮助我们了解各种常见函数的性质，还能够帮助我们建立复杂函数的理论模型，以及进行应用研究。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等，我们需要掌握它们的定义、性质、公式以及应用。
二、向量向量是三维几何中一个非常重要的概念，它可以用来表示位移、速度、加速度等物理量，也可以用于求解平面与空间中的几何问题。
在高中数学中，我们需要学习向量的基本概念、坐标表示、长度、模、夹角、向量的加减法、数量积和向量积、共面条件、平面方程等知识点。
此外，我们还需要掌握向量的应用，例如：空间几何问题、物理学中的位移、速度和加速度计算等。
三、导数导数是高中数学的一项重要内容，它是微积分的核心概念。
学习导数，不仅能够帮助我们研究各种复杂函数，还能够帮助我们理解各种物理量的变化以及相关变化规律。
我们需要掌握导数的定义、性质、公式、变化率、导数存在条件、一阶导数、二阶导数、高阶导数等知识点，在掌握这些知识的基础之上，我们还需要能够应用导数求解各种物理学、经济学、生物学等实际问题。
四、数列与级数数列与级数是高中数学中的另一个重要领域，它与函数、导数等概念都紧密相关。
学习数列与级数，不仅能够帮助我们了解各种数列的性质和规律，还能够帮助我们研究差分方程和微分方程的解法，从而进一步深入到微积分的领域。
我们需要掌握数列与级数的基本概念、通项公式、求和公式、收敛性、极限值、数值大小比较等知识点，此外，我们还需要掌握数列与级数的应用，例如：生物学中的种群模型、经济学中的投资收益和风险等。
高数：正弦级数和余弦级数
练习题答案
( 1) n+1 2 nπ + 2 sin ] sin nx . 一, f ( x ) = ∑ [ n nπ 2 n =1 ( x ≠ ( 2n + 1) π, n = 0, ±1, ±2,)
∞
4 2 π2 2 二, f ( x ) = ∑ [( 1) n ( 3 ) 3 ] sin nx n n n π (0 ≤ x < π) ;
( ∞ < t < +∞)
二,函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
设f ( x )定义在[0, π]上, 延拓成以2π为周期的 函数 F ( x ).
f ( x ) 0 ≤ x ≤ π 且F ( x + 2π ) = F ( x ), , 令 F ( x) = g( x ) π < x < 0
同理可证(2) 同理可证 定理证毕. 定理证毕
∞ n =1
定义 如果 f ( x ) 为奇函数,傅氏级数 ∑ bn sin nx 为奇函数,
称为正弦级数. 称为正弦级数. 正弦级数
a0 ∞ 为偶函数, 如果 f ( x ) 为偶函数, 傅氏级数 + ∑ a n cos nx 2 n =1
称为余弦级数. 称为余弦级数. 余弦级数
证明
(1) 设f ( x )是奇函数 ,
1 π a n = ∫ π f ( x ) cos nxdx = 0 π 奇函数
( n = 0,1,2,3,)
1 π 2 π bn = ∫ π f ( x ) sin nxdx = ∫0 f ( x ) sin nxdx π π 偶函数 ( n = 1,2,3,)
b.在[0, π ]上, 展成周期为2π的傅氏级数唯一;
傅里叶级数
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x 为间断点
其中
( 证明略 )
为 f (x) 的傅里叶系数 .
x 为连续点
注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,
它在
上的表达式为
解: 先求傅里叶系数
将 f (x) 展成傅里叶级数.
1) 根据收敛定理可知,
时,级数收敛于
2) 傅氏级数的部分和逼近
说明:
f (x) 的情况见右图.
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,
上的表达式为
将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
它在
说明: 当
为便于计算, 将周期取为2
2. 定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0, ] 上展成
周期延拓 F (x)
余弦级数
奇延拓
偶延拓
正弦级数
f (x) 在 [0, ]上展成
例6. 将函数
分别展成正弦级
数与余弦级数 .
解: 先求正弦级数.
去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,
奇函数
正弦级数
偶函数
余弦级数
3. 在 [ 0, ] 上函数的傅里叶展开法
作奇周期延拓 ,
展开为正弦级数
作偶周期延拓 ,
展开为余弦级数
1. 在 [ 0 , ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?
答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .
思考与练习
三角函数
三角函数——6类基本初等函数之一三角函数是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。
不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。
三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。
另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。
常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。
三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。
三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。
更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
中文名：三角函数外文名：trigonometric function别称：弦数提出者：印度数学家提出时间：公元前五世纪应用学科：数学、物理、地理、天文等发展历史起源公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。
尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。
三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。
我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。
函数常用公式及知识点总结
函数常用公式及知识点总结一、基本的函数类型及其表达式1. 线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k和b是常数，k代表斜率，b代表截距。
线性函数的图像通常是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线和y轴的交点位置。
2. 二次函数二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数。
二次函数的图像通常是一条开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。
3. 指数函数指数函数的一般形式是y = a^x，其中a是底数。
指数函数的特点是以指数形式增长或衰减，当底数a大于1时，函数图像呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，函数图像呈现衰减趋势。
4. 对数函数对数函数的一般形式是y = log_a(x)，其中a是底数。
对数函数和指数函数是互为反函数的关系，对数函数的图像通常是一条斜率逐渐趋近于零的曲线。
5. 三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示了角的正弦值、余弦值和正切值。
三角函数的图像是周期性的波形，具有很强的周期性和对称性特点。
二、函数的常见性质和变换1. 奇偶性函数的奇偶性是指当x取相反数时，函数值是否相等。
如果函数满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
2. 周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。
对于三角函数和指数函数等周期函数，周期可以通过函数表达式或图像来确定。
3. 平移、缩放和翻转函数可以通过平移、缩放和翻转等方式进行变换。
平移指的是将函数图像沿着x轴或y轴进行平移，缩放指的是改变函数图像的大小或形状，翻转指的是将函数图像进行对称变换。
4. 复合函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，通过这种方式可以得到新的函数。
复合函数的求导、积分和求极限等运算与单个函数类似，但需要注意变量的替换和链式求导法则。
正弦余弦正切余切三角函数起源
三角函数
正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。
尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉（1707-1783）在著名的《无穷小分析引论》一书中首次给出的。
在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。
如古希腊的托勒密（85-165）定半径为60；印度人阿利耶毗陀（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径为600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。
因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段（如弦）的长。
意大利数学家利提克斯（1514-1526）改变了前人的做法，即过去一般称AB为的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如图），而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了。
到欧拉时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。
正弦级数与余弦级数
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x )
2
3
2
(1)n1 sin nx
n1 n
( x ; x ,3 ,)
y 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x 1 sin 4x 1 sin 5x)
2
3
4
5
观
察
两
函 数
y x
图
形
函数定义在[0, ]上 函数延拓到一个周期[ , ]上
函数按周期延拓到整个数轴上
定义在[0, ]上的函数展开成傅立叶级数
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
设f ( x)定义在[0,]上, 延拓成以2为周期的
函数 F ( x).
令
F
(
x)
f ( x), g( x),
0 x ; 且F( x 2 ) F( x),
x 0.
傅里叶级数时, 它的傅里叶系数为
an 0,
(n 0,1, 2, )
2
bn
f ( x)sin nxdx,
0
(n 1, 2,
)
(2) 当周期 2 为的偶函数 f ( x) 展开成傅里叶
级数时, 它的傅里叶系数为
an
2
f ( x)cos nxdx,
0
(n 0,1, 2,
)
bn 0,
(n 1, 2, )
y
则F
(
x)
f f
( x), ( x),
0 x x 0
f ( x)的傅氏余弦级数
0 x
f
(x)
~
a0 2
an
n1
cos
nx,
三角函数在生物学中的应用
三角函数在生物学中的应用在数学领域里，三角函数是比较基础的知识之一，涵盖了正弦函数、余弦函数和正切函数等等。
但是，你是否知道三角函数还可以应用于生物学当中呢？本文将会探讨三角函数在生物学中的应用。
1. 声波检测在生物学中，声波检测是非常重要的技术。
例如，研究海洋生物时，需要使用声波来侦测水中生物的数量和位置。
三角函数在声波检测中起到了关键的作用。
利用三角函数中的正弦函数，我们可以找到声波的频率和振幅。
同时，余弦函数可以帮助我们计算声波传递的距离和速度。
2. 蛋白质结构蛋白质是生物体中的基本生化分子。
它们通常被折叠成三维结构，并且这个结构对于蛋白质的功能至关重要。
三角函数在蛋白质结构方面也有应用。
科学家们发现，蛋白质的空间转折可以通过正弦函数来描述。
此外，余弦函数也可以帮助我们计算蛋白质的三维结构中不同区域之间的距离和角度。
3. 动物迁徙许多动物都会进行季节性迁徙，以寻找更好的食物和栖息地。
三角函数在描述这一过程中也扮演了重要角色。
例如，科学家可以使用正弦函数来描述动物在春天和秋天间迁徙的距离和方向。
因此，三角函数不仅可以帮助我们理解动物迁徙的模式，还可以帮助我们预测它们的迁徙行为。
4. 呼吸频率呼吸是生物体的关键生命体征之一，同时也是进化论的关键因素。
通过正弦函数，我们可以描述人体的呼吸节律，呈现出规律性的周期性波动。
科学家可以利用这些波动来检测呼吸频率的变化，以及可能的疾病迹象和其他健康状况。
5. 生物钟生物钟是生物体内基因表达和生理活动的周期性调节系统。
三角函数在生物钟的研究中也有应用。
例如，科学家可以利用正弦函数来描述生物钟的节律和周期性。
这有助于我们更好地理解生物钟的调节机制，并且可以帮助我们预测不同年龄段和环境下的人体生物钟变化。
总结：以上列举仅仅是三角函数在生物学中的应用，还有很多其他的应用，例如食物链的构建和分析等等。
三角函数在生物学中的应用，说明了数学在各个领域中的重要性，从而为我们打开了解决生物学问题的新思路。
正余玄定理
正余玄定理正余玄定理是初中数学中的重要定理之一，它是关于三角函数的一个重要公式。
正余玄定理的全称为“正弦、余弦、正切、余切四倍角公式”，它是用于计算三角函数四倍角的公式，可以帮助我们更加方便地求解各种三角函数问题。
一、正弦、余弦、正切、余切四倍角公式的表述1. 正弦四倍角公式sin4α=2sin2αcos2α=4sinαcosα(1-2sin^2α)其中，α表示任意角度。
2. 余弦四倍角公式cos4α=2cos^22α-1=1-2sin^22α=cos^4α-6cos^22α+5其中，α表示任意角度。
3. 正切四倍角公式tan4α=(tan^2α)×(8tan^2α-1)/(1-6tan^2α+tan^4α)其中，0<|tan α|<√3。
4. 余切四倍角公式cot4 α=(cot² α)×(cot² α-8)/(cot² α+3)其中，0<|cot α|<√3/3。
二、正弦、余弦、正切、余切四倍角公式的推导1. 正弦四倍角公式的推导根据双角公式，可以得到：sin2α=2sinαcosα将上式代入双角公式中，可以得到：sin4α=2sin2αcos2α再将sin^22α用cos^22α表示，可以得到：sin4α=4sinαcosa(cos^22a-1/2)再将cos^22a用1-sin^22a表示，可以得到：sin4α=4sinαcosa(1-2sin^2a)因此，正弦四倍角公式为：sin4 α= 2 sin² α cos² α = 4 sin α cos α (1 - 2 sin² α)。
2. 余弦四倍角公式的推导根据双角公式，可以得到：cos2α=cos² α-sin² α将上式代入双角公式中，可以得到：cos4α=2cos² 2α-1再将cos² 2a用1-sin² 2a表示，可以得到：cos4 a = 1 - 2 sin^22 a - 6 cos^22 a + 8 cos^44 a因此，余弦四倍角公式为：cos4 α = 2 cos² 2 α - 1 = 1 - 8 sin² α +8 sin⁴ α。
第一节数项级数的概念及性质
故所给级数收敛，且和为1.
例
判定级数
ln
n
1
的收敛性.
n1 n
解
由
un
ln
n 1 n
ln(n
1)
ln
n
得
Sn u1 u2 un
(ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) [ln( n 1) ln n]
ln( n 1)
可知
lim
第七章 无穷级数
第一节 数项级数概念及性质 第二节 数项级数敛散性判别法 第三节 幂级数 第四节 函数的幂级数展开 第五节 幂级数应用 第六节 傅里叶级数
返回
第一节 数项级数概念及性质 一、数项级数概念 二、数项级数及其性质
返回
第七章 无穷级数
导言：无穷级数是研究无限个离散量之和的数学 模型.它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的有力工具.
因为
un
n1
S
， vn n1
T，所以
lim
n
Sn
S
lim
n
Tn
T
于是
lim
n
Rn
lnim(Sn
Tn )
lim
n
Sn
lim
n
Tn
S
T
所以，级数 (un vn )收敛于 S T
n1
性质3 在级数 un中去掉或添加有限项, 所得新级
本章主要介绍数项级数的概念、性质与敛散性判 别法；幂级数的收敛性及将函数展开为幂级数.
第一节 数项级数概念及性质
《高等数学》教学改革的研究与实践结题报告
黑龙江省新世纪高等教育教学改革工程项目项目研究报告报告名称：《高等数学》教学改革的研究与实践作者：李明哲、徐亚兰完成时间： 2012.4.1哈尔滨学院随着社会的进步及科技的发展，数学与当代科学技术高度融合，其应用超越了传统的领域,并且直接进入了人类活动的各个方面。
丘成桐院士在北大百年校庆学术报告会上题为《数学的内容、方法和意义》的报告中指出：西方技术的基础在科学，实际和抽象的桥梁是基本科学，而基本科学的工具和语言就是数学。
数学作为一门基础学科,所取得的成就已成为高科技时代赖以进一步发展的重要基础,数学本身的发展为各科学领域的发展提供了强大的支持。
正由于数学在当代科学地位的巨大变化,使得全面提高学生的数学素质、加强对数学综合应用能力的培养,成为新世纪实现高等教育根本目标的重要内容和高等数学教学改革的基本方向。
本项目正是在这样的前提和背景下立项的。
2010年以来，我们结合省新世纪高等教育教学改革工程立项项目“《高等数学》教学改革的研究与实践”，以“素质教育和能力培养”为目标，将“学生为主体、教师为主导”的传统教学原则和“互动、参与、提高”等现代化教学思想相融合，进行“教学内容、教学方法、学习指导为一体”的整合研究，对哈尔滨学院高等数学课程从教学思想、课程设置、教学内容、教学方法、学习指导和评价体系等方面进行了改革的研究与实践．一、项目研究的目的及意义《高等数学》课程是高等院校理、工、经济、管理类专业必修的公共基础课，我国高校一般在大学一、二年级开设《高等数学》课程。
通过这门课程的学习，一方面，它为学生学习后继课和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法；另一方面，它通过各个教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力和自学能力、综合运用所学知识去分析和解决问题的能力、初步抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力。
因此，高等数学课的教学一直深受重视并且不断提出高要求。
哈尔滨学院是合并组建的新升本本科院校，由于近年来的扩招，学生规模迅速扩大，地区性教育质量的不同导致学生的数学程度参差不齐。
教案正弦型函数的图像和性质
正弦型函数的图像和性质第一章：正弦型函数的定义与基本性质1.1 引入正弦型函数的概念解释正弦函数的定义：y = sin(x)说明正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)1.2 探究正弦函数的图像分析正弦函数在0≤x≤2π的图像特征总结正弦函数的振幅、周期、相位、对称性等基本性质1.3 引出正弦型函数的一般形式介绍正弦型函数的一般形式：y = A sin(Bx + C) + D解释各参数A、B、C、D对函数图像的影响第二章：正弦型函数的图像变换2.1 纵坐标变换：伸缩与平移分析纵坐标变换对正弦型函数图像的影响探究如何通过纵坐标变换实现图像的伸缩和平移2.2 横坐标变换：伸缩与平移分析横坐标变换对正弦型函数图像的影响探究如何通过横坐标变换实现图像的伸缩和平移2.3 综合图像变换结合纵坐标和横坐标变换，探究正弦型函数图像的综合变换方法第三章：正弦型函数的性质探究3.1 单调性分析正弦型函数的单调性：在单调增区间和单调减区间内举例说明单调性的应用3.2 奇偶性探究正弦型函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)分析奇偶性在函数图像上的表现3.3 极值与拐点求解正弦型函数的极值与拐点分析极值与拐点在函数图像上的特征第四章：正弦型函数的应用4.1 振动问题应用正弦型函数描述简谐振动：x = A sin(ωt + φ)分析振动过程中的位移、速度、加速度等物理量的变化规律4.2 波动问题应用正弦型函数描述波动：u = A sin(kx ωt + φ)分析波动过程中的波长、周期、波速等物理量的关系第五章：案例分析与拓展5.1 分析实际问题中的正弦型函数模型举例分析正弦型函数在实际问题中的应用：温度变化、电流强度等5.2 探究正弦型函数的周期性分析正弦型函数在不同周期下的图像特征探究周期性在实际问题中的应用5.3 总结与拓展总结正弦型函数的图像和性质及其应用提出拓展问题，引导学生深入研究正弦型函数的相关领域第六章：正弦型函数的积分与级数6.1 不定积分介绍正弦型函数的不定积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C讲解基本积分技巧，如分部积分法、换元积分法等6.2 定积分解释正弦型函数的定积分：∫[a, b] sin(x)dx = -cos(b) + cos(a)分析定积分的性质，如对称性、周期性等6.3 级数展开探究正弦型函数的级数展开：sin(x) = Σ(-1)^(n+1) (x^(2n+1))/(2n+1)! 讲解泰勒级数展开的概念及应用第七章：正弦型函数的三角恒等式7.1 和差化积介绍和差化积公式：sin(A ±B) = sin(A)cos(B) ±cos(A)sin(B)讲解如何利用和差化积公式简化正弦型函数的表达式7.2 积化和差讲解积化和差公式：sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) = sin(A + B)分析积化和差公式在函数求解中的应用7.3 二倍角公式与半角公式介绍二倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A), cos(2A) = cos^2(A) sin^2(A) 讲解半角公式：sin(A/2), cos(A/2)的求解方法及应用第八章：正弦型函数的解法与应用8.1 解正弦型方程讲解如何利用正弦函数的性质解正弦型方程：sin(x) = A, cos(x) = B等分析正弦型方程的解法技巧，如相位法、图像法等8.2 正弦型函数在物理中的应用介绍正弦型函数在电磁学、波动光学等物理领域的应用分析正弦型函数在物理问题中的作用及意义第九章：正弦型函数与现代数学方法9.1 傅里叶级数介绍傅里叶级数：将周期函数展开为正弦、余弦函数的和分析傅里叶级数在信号处理、热传导等领域的应用9.2 最小二乘法讲解最小二乘法在正弦型函数拟合中的应用举例说明最小二乘法在实际问题中的作用及意义第十章：总结与拓展10.1 总结正弦型函数的图像与性质回顾正弦型函数的图像变换、性质探究、应用等方面的重要知识点强调正弦型函数在数学及自然科学领域中的重要性10.2 提出拓展问题与研究建议针对正弦型函数的图像与性质提出拓展问题，引导学生深入研究鼓励学生探索正弦型函数在其他领域中的应用，如机器学习、生物信息学等第十一章：正弦型函数的数值方法11.1 数值解法概述介绍数值解法在求解正弦型函数相关问题中的应用讲解数值解法的基本概念和分类11.2 数值积分探究数值积分方法：梯形法则、辛普森法则等分析数值积分在正弦型函数应用中的实例11.3 数值微分介绍数值微分方法：中心差分法、向前差分法等讲解数值微分在正弦型函数应用中的实例第十二章：正弦型函数的编程实践12.1 编程基础介绍编程语言的选择（如Python、MATLAB等）讲解编程基本语法和数据结构12.2 正弦型函数的图像绘制展示如何使用编程语言绘制正弦型函数的图像分析图像绘制过程中的关键参数和技巧12.3 正弦型函数的数值计算讲解如何使用编程语言进行正弦型函数的数值计算分析数值计算过程中的误差和稳定性问题第十三章：正弦型函数在工程中的应用13.1 信号处理介绍正弦型函数在信号处理领域的应用：调制、解调等分析正弦型函数在信号处理中的优势和局限性13.2 机械振动探究正弦型函数在机械振动分析中的应用讲解振动系统的周期性、对称性等特性第十四章：正弦型函数在现代科学研究中的应用14.1 量子力学介绍正弦型函数在量子力学中的应用：波函数、能级等分析正弦型函数在量子力学中的基本作用14.2 天体物理探究正弦型函数在天体物理中的应用：星体运动、引力波等讲解正弦型函数在天体物理中的关键作用第十五章：总结与展望15.1 总结正弦型函数的图像与性质回顾本教程中正弦型函数的图像变换、性质探究、应用等方面的重要知识点强调正弦型函数在数学及自然科学领域中的重要性15.2 展望正弦型函数的发展趋势分析正弦型函数在科技、工程等领域的前景和挑战鼓励学生继续探究正弦型函数的奥秘，为相关领域的发展做出贡献重点和难点解析本文主要介绍了正弦型函数的图像和性质，涵盖了正弦型函数的定义、图像变换、性质探究、应用、积分与级数、三角恒等式、解法与现代数学方法、数值方法、编程实践、工程应用以及现代科学研究等领域。
三角级数论
三角级数论三角级数论是数学中的经典分支之一，它的研究对象是由三角函数构成的级数。
在实际应用中，三角级数论具有广泛的应用背景，例如信号分析、图像处理、物理、工程等领域。
三角级数是指形如下面的级数：$$ f(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)] $$其中 $a_0, a_n, b_n$ 都是实数系数。
这个级数通常被称为傅里叶级数，因为这个级数最早是由法国科学家傅里叶在热传导方程的研究中引入的。
三角级数一般具有周期性，这意味着该函数在任意一个周期内都可以用上式给出的级数来表示。
实际上，任何一个具有周期性的函数都可以表示成三角级数。
不同的是，具体的系数取值不同，因此三角级数在某些特定的领域有着不同的应用。
研究三角级数最常使用的工具是傅里叶变换，它是将信号从时域（即时钟信号上）转换到频域（即频谱，例如不同音键的音）。
在实际应用中，傅里叶变换可以大大简化信号分析的过程，使分析者更好地理解各种信号。
在物理领域中，三角级数是处理振动问题的主要工具。
例如，利用傅里叶级数分析机械结构的振动情况，可以得出机械结构的物理特性，并进一步使用这些特性进行优化设计。
在工程领域中，三角级数可以用来表示热传导的过程。
利用傅里叶级数可以研究热传导过程的特性，并设计相应的热传导处理器件，例如散热器、冷却器件等。
在图像处理领域中，三角级数被广泛应用于图像处理中。
例如，图像的压缩、降噪等过程都可以利用三角级数进行处理，使得处理后的图像有更高的清晰度和更好的可读性。
综上所述，三角级数论是数学中一个重要的分支，为空间分析、傅里叶变换、信号分析、图像处理、物理、工程等领域提供了强大的分析工具和优化算法，是广大科学家和工程师必修的数学课程之一。
傅里叶级数分解
傅里叶级数分解
傅里叶级数分解（Fourier Series Decomposition）是一种在数学分析中有重要应用的数学方法，用来对正弦和余弦函数进行级数展开。
简单来说，通过在无限的连续的正弦曲线及余弦曲线上做出不同的线性组合，可以得到任何一条实际运动曲线，其基本原理是将连续函数分解为无穷多次正弦和余弦函数之和。
傅里叶级数分解的方法也称为傅里叶分解，它将一个信号系统当中的连续信号分解成一组相互独立的正弦、余弦项，使得这一连续信号被视为由若干个谐波构成的正弦序列的叠加结果。
在傅里叶级数分解的理论中，每一个正弦周期由一定的“旋转”和“回旋”波数来表达，而这些波数处于某一范围内，都能够用正弦或余弦函数来表示。
它可以用来描述很多物理现象，比如光照变化、单一频率电流波形、声波的传播等。
傅里叶级数分解的应用很广泛，能够用来分析生物信号、影像信号以及其他的动态系统，还可以用来分析信号的频谱特性，用来研究系统的变化趋势，以及常见的音调识别等等。
傅里叶级数分解可以将某一连续函数进行级数展开，然后通过小的级数来拟合函数，从而了解函数的结构特征，探究函数的变化规律，用于函数的分析、估计、应用、预测等，并在此基础上得出关于函数的参数估计或形态确定结果，多用于模型参数估计和模型识别等。
正弦级数与余弦级数的性质
正弦级数与余弦级数的性质正弦级数与余弦级数是高等数学中常见的函数级数。
它们的形式非常相似，但是在性质上却有些不同。
首先，我们回顾一下正弦级数和余弦级数的定义。
正弦级数可以表示为：$$\sin x =\sum^{\infty}_{n = 0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$而余弦级数可以表示为：$$\cos x =\sum^{\infty}_{n = 0}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$$这两个级数看起来很相似，但是却有些微妙的差别。
首先，正弦级数是奇函数，而余弦级数是偶函数。
这可以从它们的定义中清楚地看出来。
其次，它们在不同的$x$值上收敛的速度也有所不同。
正弦级数在$x=\pm\pi$处收敛，而余弦级数在$x=(2n+1)\frac{\pi}{2}$处收敛。
这些点被称为级数的“收敛点”。
接下来，我们讨论一些正弦级数和余弦级数的性质。
首先是它们的周期性。
显然，正弦函数的周期是$2\pi$，而余弦函数的周期是$2\pi$。
这也导致了正弦级数和余弦级数的周期都是$2\pi$。
这可以简单地从它们的定义中得到证明，因为级数中只包含类似于$x^{2n+1}$和$x^{2n}$这样的项，周期为$2\pi$。
其次是它们的可导性质。
由于正弦函数和余弦函数都是光滑函数，因此它们的级数也是光滑函数。
换句话说，它们是可以无限次可导的。
这可以从级数的定义中逐项求导得到证明。
正弦级数在可导性质上与余弦级数是相同的。
第三个性质是它们的收敛性。
虽然正弦级数在$x=\pm\pi$处收敛，余弦级数在$x=(2n+1)\frac{\pi}{2}$处收敛，但是它们在整个实数轴上都是一致收敛的。
这意味着，当$x$取任何实数值时，级数都会收敛到一个唯一的值。
这可以从级数的定义中得到证明。
最后一个性质是它们的解析性质。
由于正弦级数和余弦级数都是无限次可导的光滑函数，因此它们是解析函数。
正弦级数与余弦级数
正弦级数与余弦级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ ()f x 141sin(21)π21k k x k ∞==--∑ (;0,π,2π,)x x -∞<<+∞≠±±, ()u t 21411cos π241n E nt n ∞=⎛⎫=- ⎪-⎝⎭∑(ππ)t -≤≤.正弦级数 对于周期为2π的函数()f x , ππ1()cos d πn a f x nx x -=⎰ ππ1()sin d πn b f x nx x -=⎰ (0,1,2,3,)n =, (1,2,3,)n =. 当()f x 为奇函数时,0= π02()sin d πf x nx x =⎰. 01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 1sin n n b nx ∞==∑.余弦级数 对于周期为2π的函数()f x , ππ1()cos d πn a f x nx x -=⎰ ππ1()sin d πn b f x nx x -=⎰ (0,1,2,3,)n =. (1,2,3,)n =, 当()f x 为偶函数时,0= π02()cos d πf x nx x =⎰. 01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 01cos 2n n a a nx ∞==+∑.例 设()f x 是周期为2π的周期函数， 它在[)π,π-上的 表达式为()f x x =. 将()f x 展开成傅里叶级数, 并作出 级数的和函数的图形.解 所给函数满足收敛定理的条件, 它在点(21)πx k =+ (0,1,2,)k =±±处不连续， 因此()f x 的傅里叶级数在点 (21)πx k =+处收敛于 (π)(π)π(π)022f f -++-+-==.在连续点x ((21)πx k ≠+)处收敛于()f x . 若不计间断点, ()f x 是周期为2π的奇函数， n a 0= (0,1,2,)n =,n b π02()sin d πf x nx x =⎰ π02sin d πx nx x =⎰ π202cos sin πx nx nx n n ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ 2cos πn n =- 12(1)n n+=- (1,2,3,)n =.()f x 的傅里叶级数展开式为11(1)()2sin n n f x nx n +∞=-=∑ (;π,3π,)x x -∞<<∞≠±±.级数的和函数的图形如下： ππ-y xO 3π3π-例 设()f x 是周期为2π的周期函数， 它在[)π,π-上的 表达式为()||f x x =, 将()f x 展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件,它在整个数轴上连续， 因此()f x 的傅里叶级数处处收敛于()f x . ()f x 是偶函数, n b 0= (1,2,3,)n =.n a π02()cos d πf x nx x =⎰ π02cos d πx nx x =⎰ π202sin cos πx nx nx n n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ 22(cos π1)πn n =- 24,1,3,5,,π0,2,4,6,;n n n ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩ ππ00022()d d πππa f x x x x ===⎰⎰. ()||f x x =()f x 的傅里叶级数展开式为22π411()cos cos 3cos 52π35f x x x x ⎛=-++++ ⎝21cos(21)(21)k x k ⎫-+⎪-⎭ 21π41cos(21)2π(21)k k x k ∞==---∑ ()x -∞<<∞.在实际应用中, 有时还需把定义在区间[]0,π上并且满足 收敛定理条件的函数()f x 展开成正弦级数或余弦级数. 1.奇延拓(偶延拓)在开区间()π,0-内补充函数()f x 的定义, 得到定义在使()F x 在()π,π-上成为奇函数(偶函数).(π,π]-上的函数()F x ,3、限制(]0,πx ∈, 此时()()F x f x ≡, 这样便得到()f x 的正弦级数(余弦级数)展开式.2、将()F x 展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数(余弦级数).例 将函数πcos ,0,2()π0,π2x x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩分别展开成正弦级 数和余弦级数.解 先展开成正弦级数.对函数作奇延拓.xyO1π2ππ2-π-1-π02()sin d πn b f x nx x =⎰π202cos sin d πx nx x =⎰ []π201sin(1)sin(1)d πn x n x x =-++⎰ π201cos(1)cos(1)π11n x n x n n -+⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦ 22πsin π(1)2n n n ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭(2,3,)n =. πcos ,0,2()π0,π2x x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩π102()sin d πb f x x x =⎰π22cos sin d πx x x =⎰ 1π=,得到()f x 的正弦级数展开式为2211π()sin +2sin sin π12n n f x x n nx n ∞=⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦∑(0π)x <≤.在端点0x =处级数收敛到零,它不等于(0)f . πcos ,0,2()π0,π2x x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩再展开成余弦级数. 对函数作偶延拓.π02()cos d πn a f x nx x =⎰ π202cos cos d πx nx x =⎰ []π201cos(1)cos(1)d πn x n x x =-++⎰ 221sin ππ(1)2n n -=- 120,21,2(1),2.π(41)k n k n k k -=-⎧⎪=-⎨=⎪-⎩x yO1π2ππ2-π-π22102cos d πa x x =⎰ π201(1cos 2)d πx x =+⎰ 12=, 得到()f x 的余弦级数展开式为121112(1)()cos +cos 2π2π41k k f x x kx k -∞=-=+-∑ (0π)x ≤≤.21π41||cos(21)2π(21)k x k x k ∞==---∑(ππ)x -≤≤, 令0x =, 2211π(21)8k k ∞==-∑. 记 211n n σ∞==∑， 1σ= 2211(2)n n σ∞==∑, 212π324σσ==. 12244σσσσ+==, 12σσσ=+ 22ππ824+ 26=. 13211(1)n n n σ∞-==-∑ 12σσ=- 22ππ46=- 2π12=.。
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0 x
f
(x)
a0 2
an
n1
cos
nx
(0 x )
例 3 将函数 f ( x) x 1 (0 x )分别展开成
正弦级数和余弦级数.
解 (1)求正弦级数. 对f ( x)进行奇延拓,
bn
2
0
f
( x)sin
nxdx
2
0( x
1) sin
nxdx
2 (1 cos n cos n) n
傅氏级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x (2k 1)(k 0,1,2, )处不连续,
收敛于 f ( 0) f ( 0) () 0,
2
2
在连续点x( x (2k 1))处收敛于f ( x),
x (2k 1)时 f ( x)是以2为周期的奇函数,
y
和 函 数 图 3 2 象
数轴上连续.
u(t )
u(t)为偶函数,
E
bn 0, (n 1,2, )
2 0
2 t
a0
2
0
u(t )dt
2
0E
sin
tdt
4E ,
an
2
0u(t
) cos
ntdt
2
0E
sin
t
cos
ntdt
E
[sin(n 1)t sin(n 1)t]dt
0
E
cos(n 1)t n1
1
2
1
4
(cos
x
1 32
cos
3
x
1 52
cos
5
x
1 72
cos
7
x)
y x1
三、小结
1、基本内容:
奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余 弦级数;非周期函数的周期性延拓;
2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确) a.只有周期函数才能展成傅氏级数; b.在[0, ]上, 展成周期为2的傅氏级数唯一;
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.
定理
(1)当周期为2 的奇函数 f ( x) 展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
an 0
(n 0,1,2, )
bn
2
0
f ( x)sin nxdx
[1
2
n1
cos 2nx 4n2 1
].
( x )
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
设f ( x)定义在[0,]上, 延拓成以2为周期的 函数 F ( x).
令
F(x)
f (x)
g(
x
)
0 x , 且F ( x 2 ) F ( x),
x0
则有如下两种情况 奇偶延延拓拓.
2
3
4
5
y x1
(2)求余弦级数. 对f ( x)进行偶延拓,
a0
2
( x 1)dx
0
2,
an
2
0( x
1) cos
nxdx
2 n2
(cos
n
1)
0 4 n2
当n 2,4,6, 当n 1,3,5,
x
1
2
1
4
(cos
x
1 32
cos
3
x
1 52
cos
5
x
]
(0 x )
x
(n 1,2, )
(2)当周期为2 的偶函数 f ( x) 展开成傅里叶级
数时,它的傅里叶系数为
an
2
0
f ( x)cos nxdx
(n 0,1,2, )
bn 0
(n 1,2, )
证明 (1) 设f ( x)是奇函数,
an
1
f
( x)cos nxdx 奇函数
0
(n 0,1,2,3, )
c.在[,]上连续且只有有限个极 值点时, 级数处处收敛于f ( x).
思考题
设f ( x)是在[a, b]上定义的函数, 应如何选择 A, B, 才能使F (t) f ( At B)成为[, ]上 定义的函数.
思考题解答
应使A() B a, A B b,
即A b a , B b a .
2
2
n
2
当n 1,3,5, 当n 2,4,6,
n
x 1 2 [( 2)sin x sin 2x 1 ( 2)sin 3x ]
2
3
(0 x )
x 1 2[( 2)sin x sin 2x 1 ( 2)sin 3x sin 4x 1 ( 2)sin 5x]
奇延拓: g( x) f ( x)
则F
(
x)
f( 0
x)
0 x x0
y
f ( x) x 0
0 x
f ( x)的傅氏正弦级数
f ( x) bn sin nx (0 x ) n1
偶延拓: g( x) f ( x)
y
则F
(
x)
f f
(x (
) x)
0 x x0
f ( x)的傅氏余弦级数
bn
1
f
( x)sin nxdx 偶函数
2
0
f
( x)sin nxdx (n 1,2,3,
)
同理可证(2)
定理证毕.
定义
如果 f ( x) 为奇函数,傅氏级数 bn sin nx
n1
称为正弦级数.
如果 f ( x)为偶函数,
傅氏级数a0 2
an
n1
cos
nx
称为余弦级数.
例 1 设 f ( x) 是 周 期 为2 的 周 期 函 数 , 它 在 [,)上的表达式为 f ( x) x ,将 f ( x) 展开成
2
2
练习题
一、设 f ( x) 是周期为2的周期函数,它在[, ) 上的表
2
,
x
2
达式为
f
(
x
)
x
,
2
x
2
.
2
,
2
x
二、将函数 f ( x) 2x2 (0 x ) 分别展开成正弦级数 和余弦级数 .
cos(n 1)t n1
0
,
0,
当n 2k (k 1,2, )
当n 2k 1
a1
2
0u(t )cos
tdt
2
0E
sin
t
cos
tdt
0,
u(t) 4E (1 1 cos 2t 1 cos 4t 1 cos 6t )
23
15
35
2E
0
2 3 x
an 0, (n 0,1,2, )
bn
2
0
f
( x)sin nxdx
2
0x sin
nxdx
2
[
x
cos n
nx
sin nx n2
]0
2 cos n 2 (1)n1,
n
n
(n 1,2, )
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x )
2
3
2
(1)n1 sin nx.
n1 n
( x ; x ,3, )
y 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x 1 sin 4x 1 sin 5x)
2
3
4
5
观
察
两
函 数
y x
图
形
例 2 将周期函数u(t ) E sin t 展开成傅氏级数,
其中E 是正常数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个