5.2解二元一次方程组1
北师大版数学八年级上 册5.2加减消元法解二元一次方程组教案
第五章二元一次方程组5.2 求解二元一次方程组第2课时加减法一、学情分析在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、合并同类项、去括号等法则，能熟练的进行简单的整式的加、减法运算整式的运算，知道方程的解的意义，能熟练的求解一元一次方程，了解了二元一次方程以及解的意义、二元一次方程组及其解的意义，能通过代人消元法求解二元一次方程组.二、教材分析教科书基于学生对前面解一元一次方程和用代入消元法解二元一次方程组基础之上，提出了本课的具体学习任务：会用加减消元法解二元一次方程组，了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想.《课程标准（2011年版）》把方程与方程组的重点放在解法和应用上，特别强调体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，如何解方程与方程组时方程与方程组教学的主体和重点.对于二元一次方程组来讲，强调“消元”的思想和方法，应是贯穿于始终的一条主线，通过“消元”，将二元一次方程转化为一元一次方程实现求解的目的，体现了化繁为简，以简驭繁的基本策略，对促进了学生理性思维的发展具有重要意义.通过第一课时是学习，学生已经能够解一般的二元一次方程组，但对于有些方程用代人消元法解可能比较繁杂，用加减消元法要简单一些，因此这个课时就进一步学习二元一次方程组的加减消元法.三、教学目标(1)会用加减消元法解二元一次方程组.(2)进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.(3) 选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力.四、教学重难点教学重点：用加减消元法解二元一次方程组.教学难点：在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.五、教学过程第一环节：复习引入内容：巩固练习，在练习中发现新的解决方法怎样解下面的二元一次方程组呢？（学生在练习本上做，教师巡视、引导、解疑，注意发现学生在解答过程中出现的新的想法，可以让用不同方法解题的学生将他们的方法板演在黑板上，完后进行评析，并为加减消元法的出现铺路.）35212511x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②学生可能的解答方案1：解1：把②变形，得：5112y x -=, ③ 把③代入①，得：51135212y y -⨯+=, 解得：y=3. 把y=3代入②，得：2=x所以方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩学生可能的解答方案2：解2：由②得5211y x =+, ③把5y 当做整体将③代入①，得：()321121x x ++=,解得：2x =.把2=x 代入③，得：3y =.所以方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩（此种解法体现了整体的思想）学生可能的解答方案3：（观察发现：两个方程中一个含有5y ，而另一个是-5y ，两者互为相反数）解3：根据等式的基本性质方程①+方程②得：105=x ,解得：2x =,把2x =代入①，解得：3y =,所以方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩说明：方法3如果学生想不到，留些时间给学生观察，注意引导学生观察方程中某一未知数的系数，如x 的系数或y 的系数引导学生发现方程①和②中的5y 和5y -互为相反数，根据相反数的和为零（方案3）将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y ，得到了一个关于x 的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的.这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法.设计意图：通过学生练习、对比、讨论，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中发现了新的解二元一次方程组的方法——加减消元法.第二环节：讲授新知内容1：（教师板书课题）下面我们就用刚才的方法解下面的二元一次方程组.（教师规范表达解答过程，为学生作出示范）例1 解下列二元一次方程组（若学生先前的环节接受得好，可以让学生独立完成，教师再跟进讲授）(1)257231x y x y -=⎧⎨+=-⎩分析：观察到方程①、②中未知数x 的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x .① ②解：②-①，得：88y =-,解得：1y =-,把1-=y 代入①，得：752=+x ,解得：1=x ,所以方程组的解为11x y =⎧⎨=-⎩解答完本题后，口算检验，让学生养成进行检验的习惯，同时教师需强调以下两点：(1)注意解此题的易错点是②-①时是()()232517x y x y +--=--，方程左边去括号时注意符号.另外解题时，①-②或②-①都可以消去未知数x ，不过在①-②得到的方程中，y 的系数是负数，所以在上面的解法中选择②-①；(2)把1y =-代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常的做法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值.内容2：跟踪训练：用加减消元法解下列方程组：（1）52953x y x y -=⎧⎨+=⎩（2）3827x y x y +=⎧⎨-=⎩ 设计意图：由学生做练习，体会加减消元法的基本特点，熟悉加减消元法的基本步骤，提升学生用加减消元法解二元一次方程组的基本技能，积累解二元一次方程的活动经验.师生一起分析上面的解答过程，归纳出下面的一些规律：在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法）内容3：例2 解方程组 23123417x y x y +=⎧⎨+=⎩ （先留一定的时间让学生观察此方程组，让学生说明自己观察到方程有什么① ②特点，能不能自己解决此方程组，用什么方法解决？如学生提出用代入消元法，可以让学生先按此法完成，然后再问能不能用刚学过的加减消元法解决？让学生讨论尝试，学生可能得到的结论如下）1.对于⎩⎨⎧=+=+17431232y x y x 用加减消元法解，x 、y 的系数既不相同也不是相反数，没有办法用加减消元法.2.是不是可以这样想，将方程组⎩⎨⎧=+=+17431232y x y x 中的方程用等式的基本性质将这个方程组中的x 或y 的系数化成相等(或互为相反数)的情形，再用加减消元法，达到消元的目的.3.只要在方程①和方程②的两边分别除以2和3，x 的系数不就变成“1”了吗？这样就可以用加减消元法了.4.不同意3的做法.如果这样做，是可以解决这一问题，但y 的系数和常数项都变成了分数，这样解是不是变麻烦了吗？那还不如用代入消元法了.不如找x 的系数2和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得3696=+y x ③,在方程②两边同乘以2，得3486=+y x ④,然后③-④，就可以将x 消去，得2=y ,把2=y 代入①得，3=x .所以方程组的解为⎩⎨⎧==.2,3y x （在引导的过程中，肯定学生的好的想法.）其实在我们学习数学的过程中，二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或-1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反.我们遇到的往往就是这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.请大家把解答过程写出来.解：①×3，得：6936x y +=， ③②×2,得：3486=+y x ， ④③－④，得：2=y .将2=y 代入①，得：3=x .所以原方程组的解是⎩⎨⎧==23y x 内容4：思考 根据上面几个方程组的解法，请同学们思考下面两个问题：(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？(由学生分组讨论、总结并请学生代表发言)［师生共析］(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：①变形----找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．②加减消元，得到一个一元一次方程.③解一元一次方程．④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．第三环节：当堂检测1.二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+83732y x y x 的解是 .2.方程组⎩⎨⎧==+xy y x 2102的解是 .3.已知⎩⎨⎧=+=+4252n m n m ，求 m+n 和m-n 的值.4.()222350x y x y +-++-=，求x,y 的值.第四环节：课堂小结1.解二元一次方程组的基本思路是什么？2.解二元一次方程组有哪些方法？3.本节课你还有哪些收获？第五环节：布置作业1.必做题知识技能1，数学理解2 2.选做题数学理解3。
2024-2025学年北师版中学数学八年级上册5.2求解二元一次方程组(第1课时代入法)教学课件
③
把③代入到②中，得 x 1 2x 2 1 ④
解得
x7
把 x 7 代入到③中，得 y 5
啊哈，二 元化成一 元了！
x y 2
这样我们得到二元一次方程组
x
1
2(y1)
的解
为
x
y
7 5
因此，老牛驮了7个包裹， 小马驮了5个包裹。
把求出的值代 入原方程组， 可以知道你求 的解对不对。
要点归纳
解二元一次方程组的基本思路“消元”
二元一次方程组
消元 转化
一元一次方程
用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组 的方法称为代入消元法，简称代入法.
代入法是解二元一次方程组常用的方法之一.
例题讲解
3x+2y=14 ① 例1：解方程组
x=y+3 ② 解：将②代入①，得 3(y+3)+2y=14
3y +9+2y =14
26 –8y +3y =16 -5y=-10 y=2
将y=2代入③ ，得 x=5. 所以原方程组的解是 x=5，
y=2.
x－y = 3, ① 例3 解方程组 3 x － 8 y = 14. ②
转化 解：由①,得 x = y + 3 .③ 代入 把③代入②,得 3(y+3)－8y=14. 求解 解这个方程,得 y=－1.
真的？！
它们各驮了多少包裹呢?
知识讲解
我们已经根据题意列出了一个二元一次方程组
x y 2
①
x 1 2(y1) ②
一元一次方程我会解！ 二元一次方程组怎么解 呢？要是二元能变成一
元就好啦！
方程组中相同字母的意义相同，所以我们可不可以用含x的式子对y做替 换呢？试试看吧。
5.2-加减消元法解二元一次方程组
6 7y 9 7y 96 7y 3 3 y 7
联系上面的解法，想一想怎样解方程组
3x 5 y 21 2 x 5 y 11
① + ②
① ②
异加
4x 5 y 3 2 x 5 y 1
① － ②
①
② 同减
3x 5 y 21 2 x 5 y -11
6x-5y=17②
1. 用加减法解方程组
应用（B ）
A.①-②消去y B.①-②消去x C. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
3x+2y=13
2.方程组
3x-2y=5
消去y后所得的方程是（B ）
A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18
三、指出下列方程组求解过程中有错误步骤， 并给予订正： 7x－4y＝4 ①
加减法
(4)
9x-5y=1 6x-7y=2
加减法
⑴ 如果方程组的两个方程中某一未知数的系数相等或者 互为相反数时，把两个方程的两边分别 相减或相加 ， 消去一个未知数，得到一元一次方程，解这个方程得一 个未知数的值。将求得的未知数代入其中一个方程得另 一个未知数的值，从而解得方程组的解。同减异加 ⑵如果方程组中某一未知数系数绝对值均不相等时，把 一个或两个方程两边 乘以一个适当的数 ， 使两个方程 中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为上述类型方 程组求解。 特别的，当一个方程中某未知数的系数是另一个方程同 一未知数的系数 的倍数时 ，加减消元法比较合适。
(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入 每一个方程看是否成立.
1、根据等式性质填空: <1>若a=b,那么a±c= b±c ( .等式性质1) 思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? <2>若a=b,那么ac= bc . (等式性质2)
北师版八年级数学 5.2 求解二元一次方程组(学习、上课课件)
5.2 求解二元一次方程组
学习目标
1 课时讲解 代入消元法解二元一次方程组
加减消元法解二元一次方程组
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 代入消元法解二元一次方程组
知1－讲
代入消元法 (1)定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一
个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而 消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这 种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
个方程
消去一个未知数， 将二元一次方程 组转化为一元一
次方程
变形后的方程只
能代入另一个方 程(或另一个方 程变形后的方程)
感悟新知
续表
知1－讲
步骤
具体做法
目的
注意事项
(3) 求解
解消元后的一元一 次方程
求出一个未知数 的值
去括号时不能漏乘， 移项时所移的项要
变号
(4) 回代
把求得的未知数的 值代入步骤(1)中变
感悟新知
1-2. 用代入法解方程组： (1)൝42xx－＋y3＝y＝5.－②1, ① 解：由②，得 y＝4x－5.③
知1－练
把③代入①，得 2x＋3(4x－5)＝－1，解得 x＝1.
把 x＝1 代入③，得 y＝4×1－5＝－1.
所以原方程组的解是xy＝＝－1，1.
感悟新知
(2)[中考·连云港]൝2xx＝＋14－y＝y. 5②，① 解：将②代入①，得 2(1－y)＋4y＝5，解得 y＝32. 将 y＝32代入②，得 x＝1－32＝－12. 所以原方程组的解为xy＝＝32－. 12，
所以这个方程组的解是ቊxy＝＝3－. 14，
北师大版八年级上册5.2求解二元一次方程组(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二元一次方程组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二元一次方程组的基本概念、求解方法及其在实际问题中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二元一次方程组的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《求解二元一次方程组》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要同时解决两个未知数的问题？”（如购物时计算总价和找零）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二元一次方程组的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二元一次方程组的定义及其组成元素；
-掌握代入法解二元一次方程组的步骤及要点；
-掌握加减法解二元一次方程组的步骤及要点；
-能够运用消元法解简单的二元一次方程组；
-将实际问题抽象为二元一次方程组，并解决问题。
举例：重点讲解代入法的适用条件、操作步骤，如选择哪个方程、如何代入、如何求解；以及加减法中如何选择方程、如何消元等。
北师大版八年级数学上册5.2.1求解二元一次方程优秀教学案例
4.理解数学在实际生活中的应用价值，认识到数学对于解决问题和发展思维的重要性。
三、教学策略
（一）情景创设
为了激发学生的学习兴趣和动机，我会在教学中创设与学生生活实际相关的情景。例如，可以通过设计一个购物问题，让学生思考如何计算两种商品的总价和找零，从而引出二元一次方程组的概念。通过这样的情景创设，学生能够更好地理解二元一次方程组的意义，并能够将其应用到实际问题中。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成小组，并给他们分配具体的问题或题目，要求他们在小组内进行讨论和合作。
例如，我可以给每个小组分配一个具体的二元一次方程组，要求他们通过讨论和合作，找到解题的思路和方法。学生可以在小组内分享自己的归纳
在总结归纳环节，我会邀请学生代表分享他们小组讨论的结果和经验。我会让学生用自己的语言总结和解说解题思路和方法，并鼓励其他学生进行提问和补充。
（五）作业小结
在作业小结环节，我会布置一些与本节课内容相关的作业，要求学生回家后进行练习和思考。
作业可以包括解决一些实际问题，如线性规划、几何问题等，也可以是一些练习题，要求学生运用二元一次方程组的解法进行解答。通过这样的作业，学生能够进一步巩固和应用所学的知识，提高解题能力。
同时，我会在下一节课的开始时，进行作业小结，让学生分享和展示自己的作业成果，互相学习和借鉴。通过这样的作业小结，学生能够进一步巩固和提高对方程组的理解和解题能力。
北师大版八年级数学上册5.2.1求解二元一次方程优秀教学案例
一、案例背景
北师大版八年级数学上册5.2.1“求解二元一次方程”是学生在掌握了二元一次方程的基本概念和运算法则后，进一步学习二元一次方程组的解法的重要内容。这一部分内容是学生初中数学学习中的一个重点，也是难点。
5.2 北师大版八年级数学上册求解二元一次方程组(一)
{
二元一次方程组
5.2 求解二元一次方程组（1）
学习目标：
会用代入消元法解
二元一次方程组.
接上节课的内容： 老牛和小马各自到底驮了多少个包裹呢？
这需要我们去解方程组 x-y=2 x+1=2(y-1)
怎么去解？ 想一想：我们会解一元一次方程，能不 能把这个二元一次方程组转化成一元一次方 程呢？
检验结果是否符合题目要求
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤:
1.给两个方程编号①、②; 2、变形.
通常将系数为1或-1的方程变形，用含有一个未 知数的代数式表示另一个未知数，并编号为③.
3.将③代入没有变形的方程,从而将二元一次 方程组转化为一元一次方程. 4.求解这个一元一次方程. 5.将已求出的未知数的值代入方程③,求出另 一个未知数的值. X= 6.下结论. ∴原方程组的解是 y= 7.检验.
（2） 2x+3y=16 x+4y=13
Байду номын сангаас
议一议：
上面解方程组的基本思路是什么?主要步骤有哪些?
基本思路是： "消元"--------把二元变为一元. 主要步骤是： 将其中一个方程中的某个未知数用另 一个未知数的代数式表示出来,并代入另 一个方程中,从而消去一个未知数,化二元 一次方程组为一元一次方程,这种解方程 组的方法称为代入消元法,简称代入法.
把 x=7,y=5代入原方程组的每一个方 程检验方程两边是否相等？ 像刚才这种先把一个方程变成一个字母 用另一个字母表示出来的关系式（方程）， 再把这个关系式（方程）代入另一个方程， 从而使二元一次方程组合变成一个一元一次 方程来求解的方式叫代入消元法，简称代入 法。
5.2 二元一次方程组的解法 北师大版数学八年级上册练习题(含解析)
第17课 二元一次方程组的解法课程标准1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.3. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；4. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；5．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．知识点01 消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做 思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点02 代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做 消元法，简称代入法．注意：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为 的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．代入消元法的一般步骤：（1）转化：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）代入：把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）求解：解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）回代、写解：把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.（5）检验: 把方程组的解代回方程组检验，当满足每个方程时才是方程组的解。
知识点03 加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做 消元法，简称加减法．注意：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．知识点04 选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．考法01 用代入法解二元一次方程组【典例1】用代入法解方程组：【即学即练】m 取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m 取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.【典例2】对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：能力拓展解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为请用同样的方法解方程组：．【即学即练】解方程组（1）（2）考法02 方程组解的应用【典例3】如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（ ）A．1B．2C．3D．4【典例4】已知和方程组的解相同，求的值．【即学即练】小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．考法03 加减法解二元一次方程组【典例5】用加减消元法解方程组【即学即练】方程组的解为：.【典例6】若关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于x、y的方程组的解．【即学即练】三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是： ．考法04 用适当方法解二元一次方程组【典例7】解方程组【即学即练】【典例8】试求方程组的解．【即学即练】若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．题组A 基础过关练1．用加减法解方程组下列解法错误的是（ ）A ．①×3－②×2，消去xB ．①×2－②×3，消去yC ．①×(－3)＋②×2，消去xD ．①×2－②×(－3)，消去y 2．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（ ）A ．①×2﹣②B ．②×（﹣3）﹣①C ．①×（﹣2）+②D ．①﹣②×33．解方程组，用加减法消去y ，需要（ ）A ．①×2﹣②B ．①×3﹣②×2C ．①×2+②D ．①×3+②×2分层提分4．用加减法将方程组中的未知数消去后，得到的方程是（）．A．B．C．D．5．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（）A．要消去y，可以将①×5＋②×2B．要消去x，可以将①×3＋②×（－5）C．要消去y，可以将①×5＋②×3D．要消去x，可以将①×（-5）＋②×26．用代入消元法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是( )A．由①得B．由①得C．由②得D．由②得y＝2x－57．已知a，b满足方程组则a+b的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．28．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（）A．±2B．C．2D．49．若，则x，y的值为（）A．B．C．D．10．以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．若方程组的解满足x+y＝0，则a的值为（ ）A．﹣1B．1C．0D．无法确定12．在解方程组时，甲同学正确解得乙同学把看错了，而得到那么，，的值为（ ）A．，，B．，，C．，，D．不能确定题组B 能力提升练13．已知，用含的代数式表示=________．14．已知、满足方程组，则的值为___．15．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为______．16．若方程组，则的值是_____．17．已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为__________________．18．已知是二元一次方程组的解，则m+3n的立方根为 ．19．若单项式﹣5x4y2m+n与2017x m﹣n y2是同类项，则m-7n的算术平方根是_________.20．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．21．若方程组的解是则方程组的解为________题组C 培优拔尖练22．解下列方程组（1）（2）23．（1）用代入法解方程组：（2）用加减法解方程组：24．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；乙解题时看错了n，解得．请你以上两种结果，求出原方程组的正确解．25．阅读探索解方程组解：设a&#ξΦ02∆;1&#ξΦ03∆;x，b&#ξΦ02B;2&#ξΦ03∆;y，原方程组可变为解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组：（2）能力运用已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为_______．第17课二元一次方程组的解法课程标准1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.3. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；4. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；5．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．知识点01 消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点02 代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．注意：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．代入消元法的一般步骤：（1）转化：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）代入：把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）求解：解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）回代、写解：把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.（5）检验: 把方程组的解代回方程组检验，当满足每个方程时才是方程组的解。
八年级数学上册 第五章 二元一次方程组 5.2 求解二元一次方程组 第1课时 代入消元法导学课件
A．xy＝ ＝23，
B．xy＝ ＝43，
C．xy＝ ＝48，
D．xy＝＝36，
第五页，共－y2＝y＝5，8，①②较简单的方法 是将_①___式化为___y_＝__2_x_－__5__，代入__②__式消元．
第六页，共十七页。
探究 ：用代入法解下列方程组：
5x－2y＝－2， (1)x＋3y＝3；
第八页，共十七页。
◎基础训练
1. 用代入法解方程组35xx＋ －4y＝y＝23②①，，代入后化简比
较容易的变形是( D )
A．由①得 x＝3－34y
B．由①得 y＝3－43x
C．由②得 x＝y＋5 2
D．由②得 y＝5x－2
第九页，共十七页。
2. 解二元一次方程组119977xx＋ ＝41y9＝－121y，得 y＝( A )
A．－4
B．－43
C．53
D．4
第十页，共十七页。
3. 已知方程 3x－13y＝－4 的一个解也是方程 x－3y x＝16，
＝4 的解，则这个解是___y_＝__4_______. 4. 若xy＝ ＝12，和xy＝＝23，都是方程 bx－ay＝3 的解，
则 a＝__－__3__，b＝__－_3___．
第十一页，共十七页。
5. 用代入法解下列方程组．
y＝2x－3， (1)3x＋2y＝8；
2x－y＝5， (2)3x＋4y＝2.
解：(1)xy＝ ＝21， ；
x＝2， (2)y＝－1.
第十二页，共十七页。
◎拓展提升
6. (2017·石家庄裕华区模拟)关于 x，y 的方程组
xx＋ ＋py＝y＝30，的解是xy＝＝1▲，，其中 y 的值被盖住了，不过 仍能求出 p，则 p 的值是( A )
5.2 求解二元一次方程组(第1课时)
解：
由①得：
y
5 2
x
③
把 ③ 代入②得：500x 250 5 x 22500000
2
解得：x=20000
把x=20000代入③得：y=50000
所以
x 20000
y
50000
探究新知 方法点拨
5.2 求解二元一次方程组
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知 数系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数系数的绝 对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
将 x=15代入③得y=5.则这个方程组的解是 答：这个队胜15场，负5场.
x
y
15, 5
课堂检测
5.2 求解二元一次方程组
拓广探索题
李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利
18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利
1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
解: 设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：
x+y=10
①
2000x+1500y=18000 ②
由①得y=10-x . ③
将③代入②,得 2000x+1500(10-x)=18000 .
解得 x=6.将x=6代入③，得y=4.
答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩.
课堂小结
解二元一 次方程组
(2)如果设胜的场数是x ,负的场数是y,
可得二元一次方程组
x y 2x
10， y 16.
那么怎样解这个二元一次方程组呢？
素养目标
5.2 求解二元一次方程组
3.初步体会化归思想在数学学习中的运用. 2.了解解二元一次方程组的基本思路.
5.2(1) 求解二元一次方程组 徐利华
课题：第五章第二节求解二元一次方程组第1课时授课人：徐利华课型：新授课授课时间：2013年11月15日，星期二，第3 节课教学目标：1．会用代入法解二元一次方程组．2．使学生在探究和交流中体验感悟“代入消元法”这一重要转化思想．3．通过等阶问题的构建逐步使学生掌握解二元一次方程组的方法步骤．教学重点：掌握代入法的技巧和解方程组的一般步骤.教学难点：代入消元法基本思想的探究.教法学法：学生在教师的引导下，通过对比同一题两种不同方程的解法，逐步探索出求解二元一次方程组的解法步骤，并在探究和交流中体验感悟“代入消元法”这一重要转化思想．课前准备：教师准备好多媒体课件。
教学过程：一、创设情境，导入新课师：还记得上节课的这个问题吗？（多媒体展示）生：记得，通过它我们认识了二元一次方程和二元一次方程组.师：看来同学们上节课学的不错，那么老牛和小马到底各驮了几个包裹呢？通过求解二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=-).1(21,2y x y x 得到答案，目前来说肯定不行，大家思考一下我们能不能用我们以前所学的知识来解决呢？ 生：（思考回答）老师，我们可以用一元一次方程来解决. 师：（追问）说的好，请你说一下具体怎么做.生：我们只需设老牛驮的包裹数为x 个，则根据题意知道小马驮的包裹数为y=x-2,然后就可以根据题目中的等量关系列出一个一元一次方程为x ＋1=2(x -2-1)，题目就变得简单多了. 师：说的好，大家掌声鼓励. 生：（掌声）师：大家仔细思考，刚才这位同学的解决问题的办法能为我们求解二元一次方程组带来什么启示？ 生：我觉得要是把二元转化为一元，我们就可以求出二元一次方程组的解.师：说的好，今天我们要通过学习一个新的数学思想来求解二元一次方程组的解.（教师板书课题） 【设计意图】：通过上一节课留存的问题激发学生的求知欲望，使学生在已有的基础上主动去探索新知，使知识的产生变得自然，并培养学生的思维习惯.二、探究交流，获取新知探究活动1：对比发现探究师：请同学观察大屏幕，我把这题的两种解法列在一起，大家通过对比，你能发现什么？生：（经过思考，小组交流）我通过对比看出，方程组的第二个方程和一元一次方程的式子非常相似. 师：看出相似，非常好，那么不同的地方是怎么变化来的，你能继续说一下吗？ 生：方程组的第二个方程中的y 其实就是x -2,我们完全可以由第一个方程得到. 师：怎么得到？又是怎么继续解？生：移项，得到y =x -2,然后用x -2去代替第二个方程的y ，那么整个方程组就变成一元一次方程，我们就可解了.师：说的非常好，也就是说我们只要把二元转化为一元，我们就可以求解二元一次方程组。
5.2 求解二元一次方程组-知识考点梳理 北师大版数学八年级上册课件
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变式衍生2
若 x，y 满足（x＋y）2＋|x－y－2|＝0，
重
难
题 则 x，y 的值分别是（ C ）
型
A. －1，1
B. 1，1
突
破
C. 1，－1
D. 无法确定
5.2 求解二元一次方程组
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解题通法
把非负数和为 0 问题转化成二元一次方程
重
难
题 组的问题是解题的关键.
（2） − 的平方根.
5.2 求解二元一次方程组
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［解析］根据题意得到等式 2 020（x＋y）2+
重
难
题
+ − =0，即 x+y=0，
型
突 程组解题即可.
破
+ − =0，联立方
5.2 求解二元一次方程组
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重
［答案］ 解：（1）∵2 020（x＋y）2 与 ቚ + −
难
题
2
型 ቚ的值互为相反数，∴2 020（x＋y） ＋ + − ＝0
突
破 ，
+ = ，
= ，
∴ቐ
解得ቊ
= .
+ − = .
（2）当 x＝－1，y＝1 时，
以
− 的平方根是± ．
− ＝
＝3，所
5.2 求解二元一次方程组
5.2 求解二元一次方程组
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重
+ = ，
5、2 《求解二元一次方程组》一课一练 21-22学年北师大版 八年级数学上册
5.2 《求解二元一次方程组》 习题1一、填空题1.解方程组5352323x y x y +=⎧⎨-=⎩，当采用加减消元法时，先消去未知数______比较方便． 2.已知关于,x y 的方程组231x ay bx y -=⎧⎨+=-⎩的解是13x y =⎧⎨=-⎩，则a b +=___________． 3.12x y =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的方程3ax y -=的解，则a =______． 4.如果方程组216x y x y +=*⎧⎨+=⎩的解为6x y =⎧⎨=∆⎩，那么被“△”遮住的数是______．二、选择题1．下列各等式中，是二元一次方程的是( )A ．120-=x yB ．30x y +=C ．210x x -+=D ．10xy +=2．已知45x y -=，用x 表示y ，得y =( )A ．54x -B ．45x -C ．54y +D ．54y -- 3．下列每对数值中是方程x-3y=1的解的是( )A ．x 2y 1=-⎧⎨=-⎩B ．x 1y 1=⎧⎨=-⎩C ．x 1y 1=⎧⎨=⎩D ．x 0y 1=⎧⎨=⎩4．已知21x y =⎧⎨=⎩是方程kx+y ＝3的一个解，那么k 的值是( ) A ．2 B ．﹣2 C ．1 D ．﹣15．返校后，老师给同学们发防疫口罩，如果该班每个学生分5个还差3个，如果每个学生分4个则多出3个，设这批口罩共有y 个，该班共有x 名学生，列出方程组为( ) A ．5343x y x y +=⎧⎨-=⎩ B ．5343x y x y +=⎧⎨+=⎩ C ．5343x y x y -=⎧⎨-=⎩ D ．5343x y y x -=⎧⎨-=⎩ 6．已知a ，b ，c 满足23a b a +=，则b a的值为( )A ．12B ．34C ．1D ．27．解方程组①216511y x x y =+⎧⎨+=-⎩与②2310236x y x y +=⎧⎨-=-⎩，比较简便的方法是( ) A ．均用代入法B ．均用加减法C ．①用代法，②用加减法D ．①用加减法，②用代入法8．已知关于x 、y 的方程组326x y x y a -=⎧⎨+=⎩的解满足不等式3x y +>，实数a 的取值范围( ) A ．1a > B ．1a < C ．1a >- D ．1a <-9．如果│x+y －1│和2(2x+y －3)2互为相反数，那么x ，y 的值为( )A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．12x y =-⎧⎨=-⎩C ．21x y =⎧⎨=-⎩D ．21x y =-⎧⎨=-⎩10．已知关于x ，y 的方程x 2m ﹣n ﹣2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为( )A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．14m ,n 33==-D ．14,33m n =-= 11．疫情期间，小王购买A ，B 两种不同的口罩对比试用，价格分别为每只2元和3元，一共花了24元，则有( )种不同的购买方案．A ．1B ．2C ．3D ．412．已知关于,x y 的方程组2106x y nx my +=⎧⎨+=⎩和10312mx y n x y -=⎧⎨-=⎩有公共解，则m n -的值为( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-13．已知方程组222x y k x y +=⎧⎨+=⎩的解满足x+y=2，则k 的算术平方根为( ) A ．4 B ．﹣2 C ．﹣4 D ．214．已知关于x 、y 的二元一次方程组356310x y x ky +=⎧⎨+=⎩给出下列结论：①当5k =时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程61516x y +=的解，则10k =；③无论整数k 取何值，此方程组一定无整数解(x 、y 均为整数)，其中正确的是( )A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①②三、解答题1.判断23x y =⎧⎨=⎩是否为方程组3418235x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②的解．2.用加减消元法解方程组：4333215x y x y +=⎧⎨-=⎩．3.用代入法解方程组：37528x y x y -=⎧⎨+=⎩①② 嘉淇是这样解得：解：由①，得37y x =-，③ 第一步把③代入①，得3(37)7x x --=到， 第二步即77=， 第三步所以此方程组无解 第四步(1)嘉淇的解法是错误的，开始错在第 步；(2)请写出正确的解法．4.已知关于x ，y 的两个方程组26035mx ny x y +=⎧⎨-=⎩与21022x y mx y n +=⎧⎨+=-⎩的解相同，求x ，y 的值5.小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下()()x y 21x 7y 82⎧+=⎪⎨-=⎪⎩▲■◆，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为{x 3y 2==-”，而小红说：“我求出的解是{x 2y 2=-=，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x 的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．6.已知关于x 、y 的二元一次方程组23221x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩(k 为常数)． (1)求这个二元一次方程组的解(用含k 的代数式表示)；(2)若方程组的解x 、y 满足+x y ＞5，求k 的取值范围；(3)若1k ≤，设23m x y =-，且m 为正整数，求m 的值．7.阅读下列材料：我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．例：由2312x y +=，得：1222433x y x -==-(x 、y 为正整数)．要使243y x =-为正整数，则23x 为正整数，由2，3互质，可知：x 为3的倍数，将3x =，代入得2423y x =-=．所以2312x y +=的一组正整数解为32x y =⎧⎨=⎩． 问题：(1)请你直接写出方程36x y -=的一组正整数解_______；(2)若123x -为自然数，则满足条件的正整数x 的值有( )个． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(3)为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球作为奖品，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，写出购买方案．8.已知关于x ，y 的方程组25{290x y x y mx +=-++=(1)请写出方程25x y +=的所有正整数解；(2)若方程组的解满足0x y +=，求m 的值；(3)无论实数m 取何值，方程290x y mx -++=总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？(4)如果方程组有整数解，求整数m 的值．答案一、填空题1.y．2.73．3.5．4.4．二、选择题1．B．2．B．3．A．4．C．5．D．6．A．7．C．8．A．9．C.10．A．11．C．12．A．13．D.14．A．三、解答题1.解：把23xy=⎧⎨=⎩代入①，34324318,x y+=⨯+⨯=把23xy=⎧⎨=⎩代入②，2322335,x y-=⨯-⨯=-所以23xy=⎧⎨=⎩同时满足方程①与②，所以23xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组的解，2.433 3315x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①×2得：8x+6y＝6③，②×3得：9x﹣6y＝45④，③+④得：17x＝51，解得：x＝3，把x＝3代入①，得4×3+3y＝3，解得：y＝﹣3，所以原方程组的解是33xy=⎧⎨=-⎩．3.(1)因为③是由①得到的，所以不能再代入①，所以第二步错误，故答案为：二；(2)由①得y=3x－7 ③将③代入②得5x+2(3x－7)=8，解得x=2，将x=2代入③得y=－1，所以方程组的解为21 xy=⎧⎨-⎩＝．4.解：∵两个方程组26035mx nyx y+=⎧⎨-=⎩与21022x ymx y n+=⎧⎨+=-⎩的解相同，∴35 210x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得：34xy=⎧⎨=⎩，∴x的值是3，y的值是4．5.设原方程组为278ax bycx y+=⎧⎨-=⎩①②，把32xy=⎧⎨=-⎩代入②得：3c+14=8，解得：c=-2，把32xy=⎧⎨=-⎩和22xy=-⎧⎨=⎩代入①得：322222a ba b-=⎧⎨-+=⎩，解得：a=4，b=5，即原方程组为452278x yx y+=⎧⎨--=⎩．6.(1)2x32 2x+y=1-k?y k-=-⎧⎨⎩①②②+①，得4x＝2k﹣1，即214kx-=；②﹣①，得2y＝﹣4k+3即342k y-=所以原方程组的解为214342kxk y-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩(2)方程组的解x、y满足x+y＞5，所以2134542k k--+>，整理得﹣6k ＞15，所以52k＜﹣；(3)m＝2x﹣3y＝2134 2342k k--⨯-⨯＝7k﹣5由于m为正整数，所以m＞0即7k﹣5＞0，k＞5 7所以57＜k≤1当k＝67时，m＝7k﹣5＝1；当k＝1时，m＝7k﹣5＝2．答：m的值为1或2．7.解：(1)由3x-y=6，得：y=3x-6，当x=3时，可得y=3；故答案为：33xy=⎧⎨=⎩(答案不唯一)；(2)由题意可知x-3是12的因数，则x-3=1,x-3=2,x-3=3,x-3=4,x-3=6,x-3=12; 则x的的取值有6种可能性故答案为B；(3)设购买蓝球x 个，排球y 个，依题意120901200x y ，即x=10-3y 4x 、y 均为非负整数. ∴100x y =⎧⎨=⎩，74x y =⎧⎨=⎩，48x y =⎧⎨=⎩，112x y =⎧⎨=⎩ ∴x 、y 购买有4种方案①买蓝球10个，不买排球；②买蓝球7个，排球4个；③买蓝球4个，排球8个；④买蓝球1个，12个排球.8.解(1)由已知方程x +2y =5，移项得x =5-2y ，∵x ，y 都是正整数，则有x =5-2y ＞0，又∵x ＞0，∴0＜y ＜2.5，又∵y 为正整数，根据以上条件可知，合适的y 值只能是y=1、2， 代入方程得相应x =3、1，∴方程2x+y=5的正整数解为12x y =⎧⎨=⎩；31x y =⎧⎨=⎩ (2) ∵x +y =0∴x +2y =5变为y =5∴x =-5将5{5x y =-=代入290x y mx -++=得65m =-. (3) ∵由题意得二元一次方程290x y mx -++=总有一个公共解 ∴方程变为(m +1)x -2y +9=0∵这个解和m 无关，∴x =0，y =92(4) 将方程组25{290x y x y mx +=-++=两个方程相加得295x mx ++=∴42x m =-+ ∵方程组有整数解且m 为整数∴21m +=±，22m +=±，24m +=±①m +2=1，计算得：4{92x y =-=(不符合题意) ②m +2=-1，计算得：4{12x y ==(不符合题意) ③m +2=2，计算得：2{72x y =-=(不符合题意) ④m +2=-2，计算得：2{32x y ==(不符合题意) ⑤m +2=4，计算得：13x y =-⎧⎨=⎩(不符合题意)∴m =2 ⑥ m +2=-4，计算得：12x y =⎧⎨=⎩(不符合题意)∴m =-6。
八年级上册数学 5.2 求解二元一次方程组
2 求解二元一次方程组第1课时 解二元一次方程组(1)教学目标【知识与技能】1.了解二元一次方程组的“消元”思想,体会学习数学中的“化未知为已知”、“化复杂为简单”的化归思想.2.了解代入法的概念,掌握代入法的基本步骤.3.会用代入法求二元一次方程组的解.【过程与方法】通过探索代入法的过程,培养学生观察、思考、归纳的能力,积累数学探究活动的经验.【情感、态度与价值观】通过探索代入法,并进一步探究二元一次方程组一般解法的过程,感受数学活动充满创造性,激发学生的学习兴趣.教学重难点【重点】了解代入法的一般步骤,会用代入法解二元一次方程组.【难点】理解代入消元法解方程组的过程.教学过程一、创设情境,引入新课师:今天这节课,我们首先来看一下第一节中节首的问题:牛比马多驮了2个包裹,若马拿出1个包裹给牛、那么牛的包裹数量是马的包裹数量的2倍,它们各驮了多少包裹呢?生:根据题意,我们可以设牛驮了x个包裹,马驮了y个包裹,则可得方程:师:那么怎么解这个方程组呢?生:由①,得y=x-2.将y=x-2代入②中,得x+1=2(x-2-1),解这个一元一次方程得x=7,把x=7代入y=x-2中,得y=5.∴二元一次方程组的解得∴牛驮了7个包裹,马驮了5个包裹.师:很好!但是你们所求出的方程组的解正确吗?让学生将求出的未知数的值代入原方程组,验证结果是否正确.二、讲授新课1.让学生谈谈如何求二元一次方程组的解.归纳:①解二元一次方程组的基本思路是“消元”即二元→一元;②将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程组.这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.2.例题讲解.【例1】解方程组先让学生讨论:如何用代入法解方程组?教师归纳:关键是把“二元”→“一元”,用y-1代替x代入①式中的x(可以动画演示y-1代替x的过程).【答案】把②代入①,得2y-3(y-1)=1,即2y-3y+3=1,解得y=2.(求得y后,让学生讨论:如何求x,代入②还是代入①简便?)把y=2代入②,得x=2-1=1∴方程组的解是注意:把2y-3(y-1)=1中的(y-1),x=2-1=1中的2用彩色粉笔处理.问:是不是原方程组的解,应如何体验?生:把解代入方程组.师:解方程组与解方程一样,要养成口头检验的良好习惯.【例2】解方程组:【答案】由②,得x=13-4y.将③代入①,得2(13-4y)+3y=16,26-8y+3y=16,-5y=-10,y=2.x=5.将y=2代入③,得所以原方程组的解是【例3】解方程组问:方程组的两个方程中未知数的系数都不是1(或-1).如何实现用一个未知数表示另一个未知数.生:x=(或y=).教师指出:一般选择系数相对较小的未知数,用另一个未知数的代数式表示,这样代入后能使计算简便.【答案】由①得2x=8+7y,即x=,③把③代入②得3×()-8y-10=0,∴12+y-8y-10=0,∴y=-.(讨论:求x的值时,把y=-代入方程①②③中都可以,代入哪个方程比较简便)把y=-代入③,得x==,∴原方程组的解是3.合作学习:观察刚才用代入法解方程组的过程,用代入法解二元一次方程组的一般步骤怎样?归纳:用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是:(投影显示,教师用彩色粉笔在例2的解题过程中标上序号)(1)将方程组中的一个方程变形,使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示;(2)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数,得到一个一元一次方程,求得一个未知数的值;(3)把这个未知数的值代入代数式,求得另一个未知数的值;(4)写出方程组的解.三、课堂小结教师引导学生总结:师:这节课同学们有什么收获?可以围绕以下几个问题讨论:1.解二元一次方程组的基本思想是“消元”,即消去一个未知数.2.代入法的一般步骤.3.养成口头检验的良好习惯.4.在解题过程中,经常会出现什么错误?第2课时 解二元一次方程组(2)教学目标【知识与技能】1.体会加减消元法形成的思路.2.了解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.3.掌握用加减法解二元一次方程组.【过程与方法】经历二元一次方程组一般解法的探究过程,理解加减消元法在解方程组中的作用,学会通过观察,结合方程特点选择合理的思考方向进行新知识探索.【情感、态度与价值观】通过寻求解决问题的方法,体会加减消元法形成的思路,初步形成用便捷的消元法来解题,体验“化归”的思想.教学重难点【重点】了解加减消元法的一般步骤,会用加减消元法解二元一次方程组.【难点】辨别使用哪种方法解二元一次方程组更方便.教学过程一、复习导入1.师:你是如何用代入法解二元一次方程组的?学生回答,教师予以点评.2.解方程组教师巡视学生的解题过程,对把(100-2x)作为3y整体代入的同学要予以表扬.二、讲授新课1.(1)用多媒体显示天平的一边拿掉2个小立方体和3个小球,右边拿掉100克的砝码,天平仍显示平衡.(2)合作学习:如何使方程组达到消元的目的.(3)让学生说说在解本题时的体会(①方法的不同;②比较两种解法哪种更便捷).(4)归纳:通过将方程组中的两个方程相加或相减,消去其中的一个未知数,转化为一元一次方程,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法(简称加减法).2.例题讲解.【例1】解方程组:【答案】②-①,得8y=-8,y=-1.将y=-1代入①,得2x+5=7,x=1.所以原方程的解是【例2】解方程组先让学生观察,然后问:本题与上面刚刚所做的两道题有什么区别?应用什么方法解?(如何有学生回答用代入法来解,可以让学生先动手用代入法来解一解,再问:是否可以用加减法求解?如何使x或y的系数变为相等或相反?)【答案】①×3,得9x-6y=33 ③②×2,得4x+6y=32 ④③+④,得13x=65,∴x=5,把x=5代入①,得3×5-2y=11,解得y=2.∴原方程组的解为归纳:①方程变形时,要乘以相同字母的最小公倍数;②方程左边乘以某一个数时,不能忘了右边的常数也要乘.变式:本题如果消去x,那么如何将方程变形?3.学生合作讨论:归纳解二元一次方程组的一般步骤.(1)将其中一个未知数的系数化成相同的(或互为相反数).(2)通过相减(或相加)消去这个未知数,得一个一元一次方程.(3)解这个一元一次方程,得到这个未知数的值.(4)将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程,求得另一个未知数的值.(5)写出方程组的解.三、课堂小结教师引导学生总结.问:这节课大家有什么收获?可以围绕以下几个问题展开讨论:1.解二元一次方程组有两种消元途径——代入法、加减法.2.加减法的一般步骤.3.用加减法解题常会出现什么错误?4.解二元一次方程组用加减法简便还是用代入法简便,应如何选择?。
北师大版数学八上 5.2 求解二元一次方程组--代入消元 课件
解得：x = 5.
x = 5代入③得：y = 3.
所以原方程组的解为：
x
y
5, 3.
典 例 分 析 例1：解方程组
3x+2y=14 ①
x=y+3
②
解：将②代入① ，得3（y+3）+2y=14
代
3y+9+2y=14
求
y=1
将y=1代入②，得 x=4
所以原方程组的解是 x=4
写
y=1
想一想：怎样检验
x=4 y=1
是不是方程组的解？
典例分析
例2 解方程组
2x+3y=16 x+4y=13
① ②
解：由② ，得 x=13 - 4y
③
变
将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16 代
求
所以原方程组的解是 x=5
写
y=2
归纳总结
将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示 出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一 次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元 法，简称代入法.
解方程组得： .
x=14 y=5.8
课 堂 练 习 【综合实践类作业】
对于平面直角坐标系 中的点 ( , ) ，若点 ' 的坐标为 ( + , + ) （其
中 k 为常数， ≠ 0 ）则称点 ' 为点 P 的“k 属派生点”，例如： (1,4) 的“2 属派生
点”为 '(1+ 2 × 4,2 × 1+ 4) ，即 '(9,6) .
第五章
5.2 求解二元一次方程组
北师大版数学八年级上册课件5.2求解二元一次方程组
x-y=2
解这个方程组时能先消去x吗
老牛和小马背上驮包裹。
x-y=2 如何将二元一次方程组转化成一元一次方程
将③代入② 得 y+2+1=2（y-1）
x+1=2(x－2－1)
解这个方程组时能先消去x吗
x+1=2（y-1） 把y=5代入③，得 x=7
什么是二元一次方程组的解？ 用代入法解二元一次方程组的步骤是什么？
本节课你有 哪些收获
再见
为把一左元 边一的次方方程程写成. 用含y 的式子表示x的形式
3.如果 是方程组 的解， x把+x1==72代（入y-1③），得 y=5
y 2 3 x y n 在设每：一 老步牛中驮应了该x个注包意裹哪,则些小？马 设把：y=老5代牛入驮③了，x个得包x裹=7,小马驮了y个包裹.
由把①y=，5代得入③y，=x得-2 x=③7
如何将二元一次方程组转化成一元一次方程
学习目标
1．会用代入消元法解二元一次方程组． 2．了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步 体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．
x-y=2 x+1=2（y-1）
转化
x+1=2(x－2－1)
自学书上108页，然后小组内交流， 最后全班共同交流
如何将二元一次方程组转化成一元一次方程
把x=7代入③，得 y=5
把y=5代入③，得 x=7
所以方程组的解是 x=7
所以方ห้องสมุดไป่ตู้组的解是 x=7
y=5
y=5
把求出的解代入原方程组，看是否 保证每一个方程左右两边的值相等.
例.用代入法解方程组
x-y=2
①
x+1=2（y-1） ②
5.2 求解二元一次方程组(第2课时)
把x=3代入②得
3+y=4，y=1
所以方程组的解是
x 3
y
1
课堂检测
5.2 求解二元一次方程组
基础巩固题
4.已知x、y满足方程组
x 3y 3x y
5, 1.
求代数式x－y的值．
解：3xx3yy
5, 1.
① ②
②-①得2x－2y＝－1－5，
得x－y＝－3.
课堂检测
5.2 求解二元一次方程组
x 1
y
1
探究新知
5.2 求解二元一次方程组
当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数 或相等时,可以把方程的两边分别相加(系数互为相反数)或 相减(系数相等)来消去这个未知数,得到一个一元一次方程, 进而求得二元一次方程组的解.
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法, 简称加减法.
课堂检测
5.2 求解二元一次方程组
拓广探索题
2辆大卡车和5辆小卡车工作2小时可运送垃圾36吨，3辆大卡
车和2辆小卡车工作5小时可运输垃圾80 吨, 那么1辆大卡车和1辆
小卡车每小时各运多少吨垃圾？
解：设1辆大卡车和1辆小卡车每小时各运x吨和y吨垃圾.
根据题意可得方程组：52((32xx
5y) 2y)
36, 80.
化简可得：145xx1100yy3860,①②. ②-①得 11x=44，解得x=4.
将x=4代入①可得y=2.
因此这个方程组的解
x
y
4, 2.
.
答：1辆大卡车和1辆小卡车每小时各运4吨和2吨垃圾.
课堂小结
5.2 求解二元一次方程组
基本思路“消元”
解二元一 次方程组
5.2求解二元一次方程组(第2课时)课件ppt
巩固练习
2.教材随堂练习
3x 2 y 4, ①选择：二元一次方程组 5 x 2 y 6
3.补充练习：
的解是（ C ）
x 1, x 1, A. B. y 1 ; y 1; 2
x 1, C. y 1 ; 3 y 5 0
x 1, ，求x,y的值. y 1.
x 1, 1 y 2.
1.解二元一次方程组的有两种解法：
代入消元法和加减消元法. 这两种解法其实质都是消元，化“二 元”为“一元”. 2.用加减消元法解方程组的条件. 3.用加减法解二元一次方程组的步骤. 1.课本习题5.3 2.阅读读一读 3.预习课本下一节
第五章
二元一次方程组
2. 求解二元一次方程组（第2课时）
复习导入
3x 5 y 21, ① 2 代入①，不就消去 x了！ 2 x 5 y 11.② 5 y 11 解：把②变形，得： x .③
2
2
怎样解下面的二元一次方程组? 把②变形得： 5 y 11 x
把③代入①，得： 5 y 11 5 y 21. 3 解得： y 3
③解一元一次方程． ④代入得另一个未知数的值，得方程组的解．
巩固练习
1.用加减消元法解方程组：
x y 4 4 3 3 3( x 4) 4( y 2)
注意：对于较复杂的二元一次方程组，应先化 简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要 把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边， 常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元 的考虑.
. .
把 y 3代入②，得： 2 x 所以方程组的解为 :
x 2, y 3.
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第五章 二元一次方程组
课题
教学目标 一次方程组的解。
2.通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的水平。
3.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学
生良好的数学应用意识。
教学重点 二元一次方程组的含义
教学难点 判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。
教学课时 第1课时 教学方法
探索归纳法
教学过程
教学内容
活动设计 备注
一、引入、实物投影（P215图）
1、师：在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
2、请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）
这个问题因为涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x 个包裹，小马驮y 个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍， 得方程：x+1=2(y-1)
师：同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？ （含有两个未知数，并且所含未知数项的次数是1）
师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
注意：这个定义有两个地方要注意
①、含有两个未知数，②、含未知数的次数是一次 练习：（投影）
下列方程有哪些是二元一次方程
x 1+2y=1 xy+x=1 3x-2
y =5 x 2
-2=3x xy=1 2x(y+1)=c 2x-y=1 x+y=0
学生讨论：用数学知识协助小马解决问题
让学生归纳出二元一次方程组的概念
二、议一议、
师：上面的方程中x-y=2，x+1=2(y-1)的x含义相同吗？y呢？
（两个方程中x的表示老牛驮的包裹数，y表示小马的包裹数，x、y的含义分别相同。
）
师：因为x、y的含义分别相同，因而必同时满足x-y=2和x+1=2(y-1)，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成
x-y=2
x+1=2(y-1)
像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
如： 2x+3y=3 5x+3y=8
x-3y=0 x+y=8
三、做一做、
1、x=6,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你还能
找到其他x,y值适合x+y=8方程吗？
2、X=5,y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2,y=8呢？
3、你能找到一组值x,y同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？各小
组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并
协助找到3题的结论.
由学生回答上面3个问题，老师作出结论
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方
程的解
x=6,y=2是方程x+y=8的一个解，记作 x=6 同样， x=5
y=2 y=3
也是方程x+y=8的一个解，同时又是方程5x+3y=34的一个解，
二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
小结：
板书设计：
课后反思：。