常用等价无穷小

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等价无穷小的替换公式大全

等价无穷小的替换公式大全

等价无穷小的替换公式大全1.当x→0时,有以下等价无穷小替换公式:(a) sinx ≈ x;(b) tanx ≈ x;(c) arcsinx ≈ x;(d) arctanx ≈ x;(e)e^x-1≈x;(f) ln(1+x) ≈ x;(g) (1+ x)^n - 1 ≈ nx;(h) 1 - cosx ≈ 1/2 x^2;(i) ln(1- x) ≈ -x;(j) sqrt(1+x) ≈ 1/2 x;(k) sqrt(1-x) ≈ 1/2 x;(l) 1 - sqrt(1- x) ≈ 1/4 x^22.当x→∞时,有以下等价无穷小替换公式:(a)e^x≈1+x;(b) ln(1+x) ≈ x;(c) sinx ≈ x;(d) tanx ≈ x;(e) arcsinx ≈ x;(f) arctanx ≈ x;(g) sqrt(x^2 + a^2) ≈ x;(h) sqrt(x^2 - a^2) ≈ x;(i)x^(1/n)≈1;(j) ln(x + sqrt(x^2 + a^2)) ≈ ln(2x)3.当x→a时,以下是一些常用的等价无穷小替换公式:(a) sinx ≈ sin(a) + (x-a)cos(a);(b) cosx ≈ cos(a) - (x-a)sin(a);(c) tanx ≈ tan(a) + (x-a)sec^2(a);(d) cotx ≈ cot(a) - (x-a)csc^2(a);(e) arctanx ≈ arctan(a) + (x-a)/(1+a^2);(f) arcsinx ≈ arcsin(a) + (x-a)/sqrt(1-a^2);(g) arccosx ≈ arccos(a) - (x-a)/sqrt(1-a^2);(h) ln(x) ≈ ln(a) + (x-a)/a;(i)e^x≈e^a+(x-a)e^a这些等价无穷小替换公式在求解极限问题中非常有用,可以将原来难以处理的表达式转化为更简单的形式。

等价无穷小常用公式大全

等价无穷小常用公式大全

等价无穷小常用公式大全
等价无穷小是微积分中的重要概念,常用的等价无穷小公式有很多,下面我将列举一些常见的等价无穷小公式大全:
1. 当 x 趋近于 0 时,常用的等价无穷小有:
x 和 sin(x) 是等价无穷小。

x 和 tan(x) 是等价无穷小。

x 和 ln(1+x) 是等价无穷小。

x 和 e^x 1 是等价无穷小。

x 和 arctan(x) 是等价无穷小。

x 和 sinh(x) 是等价无穷小。

x 和 tanh(x) 是等价无穷小。

2. 当 x 趋近于正无穷或负无穷时,常用的等价无穷小有:
1/x 和 1/(x^2) 是等价无穷小。

e^x 和 e^(2x) 是等价无穷小。

sin(x) 和 cos(x) 是等价无穷小。

ln(x) 和 ln(x+1) 是等价无穷小。

x 和 x^2 是等价无穷小。

3. 在极限运算中,常用的等价无穷小公式有:
若 f(x) 和 g(x) 是 x 趋近于 a 时的等价无穷小,且 h(x) 是 g(x) 的一个连续函数,则 f(x) 和 h(x) 也是等价无穷小。

若 f(x) 和 g(x) 是 x 趋近于 a 时的等价无穷小,且 c
是一个常数,则 cf(x) 和 cg(x) 也是等价无穷小。

若 f(x) 和 g(x) 是 x 趋近于 a 时的等价无穷小,则 f(x) + g(x) 也是等价无穷小。

以上是一些常用的等价无穷小公式大全,这些公式在微积分和数学分析中经常被使用,对于理解极限、导数和微分等概念非常重要。

希望这些公式对你有所帮助!。

常用的等价无穷小及泰勒公式精编版

常用的等价无穷小及泰勒公式精编版

常用的等价无穷小及泰勒公式精编版等价无穷小是数学分析中常用的概念,用来描述趋于零时的极限行为。

它可以用来推导一些重要的数学公式,例如泰勒公式。

在以下文章中,我将介绍常用的等价无穷小及其推导,以及泰勒公式的精编版。

1.常用的等价无穷小:(1) 当x趋于零时,常用的等价无穷小包括:x、sinx、tanx、ln(1+x)、e^x-1等。

这些函数在x趋于零时的极限都为零,即都是等价无穷小。

(2)当x趋于无穷时,常用的等价无穷小包括:1/x、1/x^2、e^x-1/x 等。

这些函数在x趋于无穷时的极限都为零,即都是等价无穷小。

2.等价无穷小的推导方法:(1) 使用极限的定义。

例如,对于函数f(x)=sinx,可以使用极限的定义推导其等价无穷小。

根据极限的定义,当x趋于零时,sinx/x的极限为1、因此,sinx是x的等价无穷小。

(2) 使用泰勒展开。

对于一些函数,可以使用泰勒展开将其近似为一个多项式,并从中推导等价无穷小。

例如,对于函数f(x)=ln(1+x),可以使用泰勒展开将其近似为x-x^2/2+x^3/3+...,因此ln(1+x)是x的等价无穷小。

3.泰勒公式的精编版:泰勒公式是数学分析中非常重要的公式,用于将一个函数在特定点处展开为一个无穷级数。

下面是泰勒公式的精编版:设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数,且在区间[a,x]上的n+1阶导数存在,那么对于[a,x]内的一些点ξ,存在一个介于a和x之间的数c,使得f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中,R_n(x)是余项,满足,R_n(x),<=M,x-c,^(n+1)/(n+1)!这里的M是一个常数。

该公式可以用于近似计算函数的值。

当x与a之间的距离趋于零时,余项R_n(x)也趋于零,所以可以使用泰勒展开式来近似计算函数的值。

常用等价无穷小推导

常用等价无穷小推导

常用等价无穷小推导
常用等价无穷小是在极限计算中经常使用的一种技巧,它可以简化计算过程并得到更简洁的结果。

下面是一些常见的等价无穷小推导:
1. 当x 趋向于零时:
- sin(x) ≈x
- tan(x) ≈x
- arcsin(x) ≈x
- arctan(x) ≈x
- ln(1+x) ≈x
- e^x - 1 ≈x
2. 当x 趋向于正无穷时:
- e^x ≈+∞
- ln(x) ≈+∞
- a^x (其中a > 1)≈+∞
- x^k (其中k > 0)≈+∞
- sqrt(x) ≈+∞
3. 当x 趋向于负无穷时:
- e^x ≈0
- ln(x) ≈-∞
- a^x (其中0 < a < 1)≈0
- x^k (其中k > 0,且k 为奇数)≈-∞
- sqrt(x) ≈0
需要注意的是,这些等价无穷小是在特定的极限条件下成立的。

在具体的计算中,需要根据实际情况来判断是否可以使用这些等价无穷小进行近似计算。

同时,这些等价无穷小的推导也可以通过泰勒级数展开式来证明。

高等数学等价无穷小的几个常用公式

高等数学等价无穷小的几个常用公式

高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学中,等价无穷小是很常见的概念。

等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时,函数和它的无穷小表达式之间的关系。

在本文中,我们将介绍高等数学中几个常用的等价无穷小公式及其应用。

一、等价无穷小的定义在函数f(x)中,当x趋于a时,如果存在一个函数g(x),满足当x 趋于a时,f(x)与g(x)的差趋于0,那么我们称g(x)是f(x)在x趋于a时的等价无穷小。

使用符号记作f(x)≈g(x)。

二、常用的等价无穷小公式1. 当x趋于0时,有以下等价无穷小公式:- sin(x)≈x- tan(x)≈x- arcsin(x)≈x- arctan(x)≈x- ln(1+x)≈x- e^x-1≈x2. 当x趋于无穷大时,有以下等价无穷小公式:- e^x-1≈x- ln(1+x)≈x- sin(x)≈x- tan(x)≈x- arcsin(x)≈x- arctan(x)≈x三、等价无穷小的应用等价无穷小的公式在高等数学中有广泛的应用,特别是在极限计算中。

通过将函数替换为与其等价的无穷小形式,可以简化复杂的计算过程。

举个例子来说明,我们来计算lim(x→0) (sin(x)/x)。

由于sin(x)在x趋于0时与x是等价无穷小,因此可以将sin(x)替换为x。

这样,我们的极限计算就变成了lim(x→0) (x/x),结果为1。

四、高等数学等价无穷小的注意事项在使用等价无穷小公式时,需要注意以下几个问题:1. 应该选择与原函数在某一特定点附近具有相同性质的等价无穷小。

2. 当使用等价无穷小公式进行计算时,需要满足等价无穷小的定义,即两个函数的差趋于0。

3. 在实际应用中,需要结合具体问题进行思考,是否适用等价无穷小公式。

综上所述,等价无穷小是高等数学中的重要概念,可以简化复杂的计算过程。

通过掌握常用的等价无穷小公式,我们可以更加高效地进行极限计算,并且在实际问题中能够灵活运用。

希望本文对您理解和应用等价无穷小有所帮助。

高等数学等价无穷小的几个常用公式

高等数学等价无穷小的几个常用公式

高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学的学习中,等价无穷小是一个非常重要的概念,它在求极限等问题中有着广泛的应用。

等价无穷小的本质是在某个极限过程中,两个函数的比值趋近于 1。

下面我们来介绍几个常用的等价无穷小公式。

当$x \to 0$时,有以下几个常见的等价无穷小:1、$\sin x \sim x$这意味着当$x$趋近于 0 时,$\sin x$和$x$的比值趋近于 1。

我们可以通过泰勒展开来理解这个等价关系。

$\sin x$的泰勒展开式为$x \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\cdots$,当$x$很小时,高次项可以忽略不计,所以$\sin x$近似等于$x$。

2、$\tan x \sim x$同理,$\tan x$在$x \to 0$时,也与$x$等价。

因为$\tan x =\frac{\sin x}{\cos x}$,而$\cos x \to 1$(当$x \to 0$),所以$\tan x$与$\sin x$在$x \to 0$时具有相似的性质。

3、$\ln(1 + x) \sim x$对于对数函数$\ln(1 + x)$,当$x \to 0$时,它与$x$等价。

我们可以通过对$\ln(1 + x)$进行泰勒展开来证明这一点。

4、$e^x 1 \sim x$指数函数$e^x$在$x \to 0$时,$e^x 1$与$x$等价。

因为$e^x$的泰勒展开式为$1 + x +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$,所以$e^x 1$在$x$很小时近似等于$x$。

5、$1 \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$当$x \to 0$时,$1 \cos x$与$\frac{1}{2}x^2$等价。

同样可以通过$\cos x$的泰勒展开式来理解。

这些等价无穷小公式在求极限时非常有用,能够大大简化计算。

例如,计算$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$,由于$\sin x \sim x$(当$x \to 0$),所以该极限的值为 1。

等价无穷小替换公式常用

等价无穷小替换公式常用

等价无穷小替换公式常用关键信息项:1、等价无穷小的定义2、常见的等价无穷小替换公式3、适用条件和限制4、应用举例5、误差分析与注意事项11 等价无穷小的定义等价无穷小是指在某一极限过程中,两个函数的比值趋近于 1。

即当自变量趋近于某个值时,两个函数的差值相对于它们本身来说可以忽略不计。

111 例如,当 x 趋近于 0 时,sin x 和 x 是等价无穷小。

12 常见的等价无穷小替换公式以下是一些常见的等价无穷小替换公式,在满足一定条件下可以相互替换:当 x 趋近于 0 时:121 sin x ~ x122 tan x ~ x123 arcsin x ~ x124 arctan x ~ x125 ln(1 + x) ~ x126 e^x 1 ~ x127 1 cos x ~(1/2)x^2128 (1 + x)^a 1 ~ ax (a 为常数)13 适用条件和限制等价无穷小替换公式并非在所有情况下都能随意使用,需要满足一定的条件。

131 替换的无穷小必须是在极限过程中趋于 0 的量。

132 只能在乘除法中进行等价无穷小的替换,在加减法中一般不能直接替换,除非经过特殊的处理和判断。

133 替换后的式子必须存在极限,且极限值应与原式子的极限值相同。

14 应用举例通过以下例子来说明等价无穷小替换公式的应用:例 1:求极限lim(x→0) (sin x / x)解:因为当x→0 时,sin x ~ x,所以lim(x→0) (sin x / x) =lim(x→0) (x / x) = 1例 2:求极限lim(x→0) (tan x x) / x^3解:tan x x =(sin x / cos x) x =(sin x x cos x) / cos x当x→0 时,sin x x cos x 不能直接用等价无穷小替换。

通过泰勒展开:sin x = x (1/6)x^3 + o(x^3),cos x = 1 (1/2)x^2 + o(x^2)则 x cos x = x (1/2)x^3 + o(x^3)所以 sin x x cos x =(1/2)x^3 + o(x^3)因此lim(x→0) (tan x x) / x^3 =lim(x→0) (1/2)x^3 / x^3 =1/215 误差分析与注意事项在使用等价无穷小替换公式时,需要注意可能产生的误差。

常用的等价无穷小及泰勒公式

常用的等价无穷小及泰勒公式

常用的等价无穷小及泰勒公式常用的等价无穷小及泰勒公式一、等价无穷小等价无穷小是微积分中常用的概念,它在研究极限、无穷级数和泰勒公式等数学问题时具有重要的作用。

等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时,与之相对应的函数值的差异可以忽略不计。

在这里,我们将介绍几种常用的等价无穷小的概念。

1. 零阶无穷小零阶无穷小是最基本的一类等价无穷小。

它表示当自变量趋于某一特定值时,函数值的差异为无穷小,但它的阶数为0。

零阶无穷小通常表示为$o(x)$。

例如,当$x$趋于0时,$x^2$是一个零阶无穷小。

2. 一阶无穷小一阶无穷小是比零阶无穷小更高一级的概念。

它表示当自变量趋于某一特定值时,函数值的差异为无穷小,但它的阶数为1。

一阶无穷小通常表示为$O(x)$。

例如,当$x$趋于0时,$x$是一个一阶无穷小。

3. 高阶无穷小高阶无穷小是比一阶无穷小更高阶的概念。

它表示当自变量趋于某一特定值时,函数值的差异为无穷小,但它的阶数大于1。

高阶无穷小通常表示为$o(x^n)$或$O(x^n)$,其中$n>1$。

例如,当$x$趋于0时,$x^3$是一个三阶无穷小。

二、泰勒公式泰勒公式是一种重要的数学工具,用于将一个函数在某一点附近的局部信息转化为整体的近似信息。

泰勒公式可以将一个光滑函数表示为无穷级数的形式,使得我们可以通过有限项来近似计算函数的值。

1. 一元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式可以表示为以下形式:$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中,$a$为泰勒展开点,$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在点$a$处的$n$次导数。

2. 多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式可以表示为以下形式:$$f(\\mathbf{x}) = f(\\mathbf{a}) + \abla f(\\mathbf{a}) \\cdot (\\mathbf{x}-\\mathbf{a}) + \\frac{1}{2!}(\\mathbf{x}-\\mathbf{a})^T \\cdotH(\\mathbf{a}) \\cdot (\\mathbf{x}-\\mathbf{a}) + \\ldots $$其中,$\\mathbf{x}$和$\\mathbf{a}$为多元函数的向量自变量,$\abla f(\\mathbf{a})$为函数$f(\\mathbf{x})$在点$\\mathbf{a}$处的梯度向量,$H(\\mathbf{a})$为函数$f(\\mathbf{x})$在点$\\mathbf{a}$处的Hessian矩阵。

x趋于无穷的等价无穷小公式大全

x趋于无穷的等价无穷小公式大全

x趋于无穷的等价无穷小公式大全
1.当x趋于无穷时,常数对于无穷小来说可以忽略不计:
-a*x是无穷小,其中a为常数。

-a^n*x是无穷小,其中a为常数,n为正整数。

-a^n*x^k是无穷小,其中a为常数,n为正整数,k为实数。

2.多项式函数的无穷小公式:
-x^n是无穷大,其中n为正整数。

-x^n是无穷小,其中n为负整数。

-x^n是等价无穷小,其中n为实数。

3.幂函数的无穷小公式:
-x^a是无穷小,其中a为大于0的实数。

- ln(x)是无穷小。

4.指数函数和对数函数的无穷小公式:
-e^x是无穷大。

-a^x是无穷大,其中a为大于1的常数。

5.三角函数和反三角函数的无穷小公式:
- sin(x)是无穷小。

- cos(x) - 1是无穷小。

- tan(x)是无穷小。

- arcsin(x)是无穷小。

- arctan(x)是无穷小。

6.其它常用的等价无穷小公式:
- 1 - cos(x)是无穷小。

- x - sin(x)是无穷小。

- ln(1+x)是无穷小。

- ln(1+1/x)是无穷小。

这些公式是解决极限问题时经常用到的基本工具,可以帮助我们快速求解各种类型的极限。

在实际应用中,我们还可以根据具体情况结合这些公式来进行推导和判断。

等价无穷小公式大全

等价无穷小公式大全

当x→0时,sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x1-cosx~(1/2)*(x^2)~secx-1(a^x)-1~x*lna ((a^x-1)/x~lna)(e^x)-1~xln(1+x)~x(1+Bx)^a-1~aBx[(1+x)^1/n]-1~(1/n)*xloga(1+x)~x/lna(1+x)^a-1~ax(a≠0)值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换)等价无穷小的定义:设当时,和均为无穷小量。

若,则称和是等价无穷小量,记作。

例如:由于,故有。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化繁为简,化难为易。

求极限时,使用等价无穷小的条件1.被代换的量,在取极限的时候极限值为0;2.被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。

定理无穷小等价替换定理设函数,,,在内有定义,且有(1)若,则;(2)若,则。

证明:(1)。

(2)。

例如:利用等价无穷小量代换求极限解:由于,而,,,故有。

注意:等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换,不一定能随意单独代换或分别代换)。

如在上例中:若因有,,而推出,则得到的是错误的结果。

注:可直接等价替换的类型(以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则)需要满足一定条件才能替换的类型若,则(该条性质非常重要,这是判断在加减法中能否分别等价替换的重要依据)变上限积分函数(积分变限函数)也可以用等价无穷小进行替换。

公式编辑常见等价无穷小当时,注:以上各式可通过泰勒展开式推导出来。

极限数学分析的基础概念。

它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。

极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法,分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上,然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的,它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。

x趋于无穷的等价无穷小公式大全

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x趋于无穷的等价无穷小公式大全在数学中,当一个变量x趋向于无穷大时,我们会使用无穷小来描述其与无穷大的关系。

无穷小是指在这个过程中趋近于零的量,通常表示为dx。

以下是一些常见的x趋向于无穷大时的等价无穷小公式:1. 当x趋向于无穷大时,常数a与无穷小dx的乘积为无穷小: ax = o(dx)。

证明:当x趋向于无穷大时,a与dx相乘的结果远小于dx,因此可以表示为无穷小。

2. 当x趋向于无穷大时,无穷小的高次方比低次方的无穷小更小:xn = o(xn-1)。

证明:由于x趋向于无穷大,因此xn的增长速度比xn-1更快,所以xn可以表示为比xn-1更小的无穷小。

3. 当x趋向于无穷大时,ln(x)是比x的任何多项式更小的无穷小。

证明:根据对数函数的性质,当x趋向于无穷大时,ln(x)的增长速度远比x的任何多项式小。

4. 当x趋向于无穷大时,指数函数ex是比x的任何多项式更大的无穷小。

证明:根据指数函数的性质,当x趋向于无穷大时,ex的增长速度远比x的任何多项式大。

5.当x趋向于无穷大时,三角函数和反三角函数中的角度是弧度时,其值是有界的,因此可以表示为无穷小。

证明:当角度为弧度时,三角函数和反三角函数的值在一个有界范围内,因此当x趋向于无穷大时,其值可以表示为无穷小。

6.当x趋向于无穷大时,多项式函数中的高次项对于整个函数来说是主导的,因此可以简化为只考虑高次项。

证明:当x趋向于无穷大时,多项式函数中的高次项的增长速度远大于低次项,因此只考虑高次项可以得到简化的表达式。

这些是一些常见的x趋向于无穷大时的等价无穷小公式。

根据具体的数学问题,还可以使用其他的等价无穷小公式来进行推导和计算。

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